第四章 递归和分治
递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法都是常用的算法思想，可以很好地解决复杂问题。
递归算法是通过将问题分解为相同或相似的子问题来解决整个问题，然后再逐步合并回原问题的过程。
递归算法通常需要明确边界条件，以确保递归能够正确地停止。
分治算法是将问题分解成若干个相同或相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后合并这些子问题的解来解决原始问题。
通常，分治算法可以高效地解决问题，但需要注意分解问题的方式和合并子问题的解的过程。
在实际应用中，递归和分治算法可以相互结合，以解决更加复杂的问题。
例如，可以使用分治算法来将问题分解成多个子问题，然后使用递归算法来解决这些子问题。
此外，还可以在递归算法中使用分治算法来对子问题进行分解和合并。
总而言之，递归与分治算法都是非常有用的算法思想，可以在许多领域中得到应用。
但是，在实际使用时，需要仔细考虑问题的性质和算法的复杂度，以确保算法的正确性和效率。
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递归与分治算法心得
递归与分治算法心得
递归与分治算法是算法设计中常见的两种方法，它们在解决问题时都采用了“分而治之”的思想，将问题分解成更小的子问题，然后通过递归调用或者合并子问题的解来得到原问题的解。
通过我的学习和实践，我深刻认识到了递归与分治算法的重要性和优势。
首先，递归算法可以使问题的描述更加简单明了。
通过将问题转化为自身的子问题，我们可以建立起更为简洁优美的数学模型。
其次，递归算法可以使问题的解决过程更加自然。
在递归过程中，我们可以利用已知的子问题解决同类问题，实现代码的复用和模块化。
此外，递归算法还可以解决一些重要的数学问题，如斐波那契数列和二分查找等。
分治算法则更加注重问题的分解和合并。
它将问题划分成若干个规模相同或相近的子问题，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种方法在解决某些复杂问题时具有很大的优势。
例如，在排序算法中，归并排序采用了分治算法的思想，将待排序的序列分成两个长度相等的子序列，然后递归地对子序列排序，最后将子序列合并成有序序列。
这种算法具有较高的稳定性和灵活性，常常被应用于海量数据的排序任务中。
总之，递归与分治算法是算法设计中不可或缺的两种方法。
在解决问题时，我们应该根据具体情况选择合适的算法，并在实践中不断探索、总结和优化。
只有这样，我们才能更好地应对日益复杂多变的计算机科学挑战。
递归和分治法
递归和分治法摘要：1.递归和分治法的定义2.递归和分治法的区别3.递归和分治法的应用实例4.递归和分治法的优缺点正文：递归和分治法是计算机科学中常用的两种算法设计技巧。
它们在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但在具体实现上却有所不同。
下面，我们来详细了解一下递归和分治法。
1.递归和分治法的定义递归法是指在算法中调用自身来解决问题的方法。
递归函数在执行过程中，会将原问题分解成规模更小的相似子问题，然后通过调用自身的方式，解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法是指将一个大问题分解成若干个规模较小的相似子问题，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解合并，得到原问题的解。
分治法在解决问题时，通常需要设计一个主函数（master function）和一个子函数（subfunction）。
主函数负责将问题分解，子函数负责解决子问题。
2.递归和分治法的区别递归法和分治法在解决问题时都采用了将问题分解成更小子问题的思路，但它们在实现上存在以下区别：（1）函数调用方式不同：递归法是通过调用自身来解决问题，而分治法是通过调用不同的子函数来解决问题。
（2）递归法必须有递归出口，即必须有一个基线条件，而分治法不一定需要。
3.递归和分治法的应用实例递归法应用广泛，例如斐波那契数列、汉诺塔问题、八皇后问题等。
分治法也有很多实际应用，例如快速排序、归并排序、大整数乘法等。
4.递归和分治法的优缺点递归法的优点是代码简单易懂，但缺点是容易产生大量的重复计算，导致时间复杂度较高。
分治法的优点是时间复杂度较低，但缺点是代码实现相对复杂，需要设计主函数和子函数。
总之，递归和分治法都是解决问题的有效方法，具体应用需要根据问题的特点来选择。
递归与分治ppt课件
2023/10/8
计算机算法设计与分析
3
Hanoi塔问题的时间复杂性
n Hanoi塔问题的时间复杂性为O(2n)。 n 证明：对n归纳证明move(n) = 2n – 1。 n 归纳基础：当n = 1, move(1) = 1 = 21 – 1。 n 归纳假设：当n k, move(n) = 2n – 1。 n 归纳步骤：当n= k + 1，移动次数为
2、除法，即n / b，的形式
2023/11/4
计算机算法设计与分析
21
递归算法的时间复杂性
n 若~为减法，即n – b，则有：
T(n) = aT(n – b) + D(n)
= a(aT(n – 2b) + D(n – b)) + D(n) =
k–1
k–1
= akT(1) + ai D(n – ib) = ak + ai D(n – ib)
n q最(n简, m单)情{ 形1：(1) q(n, 1)=1, q(1, mn)==1 n或, mm≥1=;1 n 递q(iin归ff,((mnn关)<=系==1)：1q1)||(|((+|nm2(,)qmm<(qn=–(1,n1=)n,)–+1n1)q))(=rrnee–1ttmuu+rr,nqnm(01n);;, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1; n 产i生f (n的=新= 情1) 况|| (：n < m) return 1 + q(n, n–1); n (3r)eqtu(nr,nmq)(n=,qm(n–,1m) +–1q)(n+–qm(,nm–m);, m} ), n＞m＞1 n (整4)数q(nn的, m划)分= q数(nρ,(n),=nq＜(nm, n。)。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
主方法,递归法
主方法,递归法
"主方法" 和 "递归法" 通常在算法和数据结构的课程中提到，尤其是在介绍
排序算法的时候。
在这里，我将对它们进行简要的解释：
1. 主方法（Master Method）：这是用于分析某些特定的分治算法（如快
速排序和归并排序）的时间复杂度的方法。
主方法主要基于递归关系的分析，以及对于最坏、平均和最好情况下的时间复杂度估计。
2. 递归法（Recursive Method）：这是一种解决问题的方法，其中问题被
分解为更小的子问题，然后这些子问题的解被用来解决原始问题。
递归是许多算法（包括排序算法）的核心思想，因为它允许我们处理大规模数据集，通过将它们分解为更小的部分来简化问题。
在排序算法中，递归通常与分治策略一起使用。
例如，快速排序就是一个使用递归和分治的例子。
快速排序的基本思想是选择一个"主元"，然后将数组分为两部分，左边的元素都比主元小，右边的元素都比主元大。
然后对这两部分递归地进行排序。
如果你是在询问编程中的方法或函数，那么"主方法"可能是指某个特定语言或框架的主要入口点，如Java的`public static void main(String[] args)`。
在这种情况下，"递归法"可能是指一种通过反复调用自身来解决问题的编程技术。
希望这能帮到你！如果你有关于这两个概念的具体问题或需要更详细的解释，请告诉我！。
对于一个规模为n的问题
分治法简介对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
分治法的基本思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。
【算法】常见算法分类和思想
【算法】常见算法分类和思想我们在实际应⽤中，对⼀个问题会有不同的解题思路，⽐如我们在读书时候，往往对⼀道数学题⽬会有多种解题⽅法，可能有些⽅法⽐较简单，有些⽅法⽐较复杂，步骤较多。
所以找到⼀个合适的⽅法可以更快更好的去解决问题。
在程序应⽤中，我们也会有不同的算法去解决问题。
算法分类分为：1.基础算法：包括字符串，数组，正则表达式，排序，递归等。
2.数据结构：堆，栈，队列，链表，矩阵，⼆叉树等。
3.⾼级算法：贪⼼算法，动态规划等。
根据问题的不同，⼀般可以有以下算法思想去解决问题： 递推算法: 递推法，就是从已知的结果和条件出发，利⽤特定关系分解中间步骤得出推论，逐步推导⽽得到结果。
递推算法分为顺推和逆推两种。
递推与递归的⽐较 相对于递归算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值。
分治算法： 分治，顾名思义，分⽽治之，分治算法是⼀种化繁为简的算法思想，往往应⽤于计算步骤⽐较复杂的问题，通过将问题简化⽽逐步得到结果。
常⽤场景就是求出最轻、最重问题（在⼀堆形状相同的物品中找出最重或最轻的那⼀个，⼆分查找，快速排序和归并排序，分治算法也是许多⾼效算法的基础，⽐如快速傅⽴叶变换算法和 Karatsuba 乘法算法。
概率算法： 概率算法是在程序执⾏过程中利⽤概率统计的思路随机地选择下⼀个计算步骤，在很多情况下，算法在执⾏过程中⾯临选择时，随机性选择⽐最优选择省时，因此概率算法可以在很⼤程度上降低算法的复杂度。
概率算法⼤致分类如下： 1.贝叶斯分类算法。
2.蒙特卡罗（Monte Carlo）算法。
3.拉斯维加斯（Las Vegas）算法。
4.舍伍德（Sherwood）算法。
5.随机数算法。
6.近似算法。
7.机器学习算法中的的⼀些概率⽅法。
递归算法: 递归算法是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
具体来说就是就是⼀个函数或者类⽅法直接或间接调⽤⾃⾝的⼀种⽅法。
递归、分治、动态规划、回溯
n = 1, m = 1 n<m n=m n > m >1
递归举例
Hanoi塔问题 例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座.开始时,在塔座a上有一叠共n个圆 盘,这些圆盘自下而上,由大到小地叠在一起.各圆 盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一 叠圆盘移到塔座b上,并仍按同样顺序叠置.在移动圆 盘时应遵守以下移动规则: 规则1:每次只能移动1个圆盘; 规则2:任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘 之上; 规则3:在满足移动规则1和2的前提下,可将圆盘移至 a,b,c中任一塔座上.
边界条件
递归方程
A(1,0) = 2 A(0, m) = 1 m≥0 n≥2 A(n,0) = n + 2 A(n, m) = A( A(n 1, m), m 1) n, m ≥ 1
递归举例
例3 Ackerman函数 函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这 个函数是双递归函数 双递归函数. 双递归函数 Ackerman函数A(n,m) A(n, Ackerman A(n m)定义如下:
递归举例
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
n=0 1 n!= n(n 1)! n > 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函 数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出 结果.
递归举例
Fibonacci数列 例2 Fibonacci数列 无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,被 称为Fibonacci数列.它可以递归地定义为:
A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数: M=0时,A(n,0)=n+2 M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故 A(n,1)=2*n M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和 A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n .
递推-递归-分治-回溯
递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。
这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。
典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。
在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。
但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。
下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。
例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。
这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。
我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。
很明显，这是一个菲波拉契数列。
到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。
在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。
我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。
定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。
递归和分治法
递归和分治法摘要：一、递归与分治法的概念1.递归：函数调用自身的思想2.分治法：把一个大问题分解成若干个小问题二、递归与分治法的联系与区别1.递归通常作为分治法的实现方式2.分治法不一定要用递归实现三、递归与分治法的应用实例1.快速排序算法2.归并排序算法3.汉诺塔问题正文：递归和分治法是两种在计算机科学中经常使用的解决问题的方法。
递归是一种函数调用自身的思想，即函数在执行过程中，会调用自身来完成某些操作。
而分治法则是把一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后再把它们的解合并，得到大问题的解。
这两种方法在某些情况下可以相互转化，递归通常作为分治法的实现方式，但分治法不一定要用递归实现。
递归与分治法之间的联系在于，递归通常是分治法的实现方式。
在分治法中，我们会把一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归的方式，逐个解决这些小问题。
最后，再把它们的解合并，得到大问题的解。
在这个过程中，递归函数的调用栈会随着问题规模的减小而减小，最终回到原点，从而完成问题的求解。
然而，分治法并不一定要用递归实现。
在一些情况下，我们可以通过迭代的方式，逐个解决小问题，然后把它们的解合并。
这种方式虽然不是通过递归函数调用自身来实现的，但它仍然符合分治法的思想，即把大问题分解成小问题，逐个解决。
递归和分治法在实际问题中有很多应用。
例如，快速排序算法和归并排序算法都是基于分治法的思想设计的。
在快速排序算法中，我们选择一个基准元素，然后把数组中小于基准的元素放在左边，大于基准的元素放在右边，再对左右两个子数组递归地执行相同的操作，直到数组有序。
而在归并排序算法中，我们同样把数组分成左右两个子数组，然后递归地对它们进行排序，最后再把排序好的子数组合并成一个有序的数组。
另一个例子是汉诺塔问题。
在这个问题中，有三个柱子和一个大小不同的圆盘。
要求把圆盘从第一个柱子移动到第三个柱子，每次只能移动一个圆盘，并且大盘不能放在小盘上。
递归与分治算法
递归与分治算法
递归和分治算法是计算机科学中两种常见的算法设计技术。
递归是一种直接或间接调用自身函数或者方法的算法。
在递归算法中，函数在其定义中使用了函数自身的调用。
递归算法通常用于解决需要重复执行相同任务的问题，例如遍历树结构、递归搜索等。
递归算法的优点是代码简洁、易于理解，但需要注意递归深度的限制以及可能引发栈溢出的问题。
分治算法是一种将问题分解为多个子问题，并分别解决子问题的算法。
分治算法通过将大问题分解为小问题，并将小问题的解合并成大问题的解来解决问题。
分治算法通常用于排序、查找、矩阵乘法等问题。
分治算法的优点是可以将复杂问题分解为简单问题，降低问题的复杂度，但需要注意分解的子问题必须是相互独立的。
在实际应用中，递归和分治算法通常结合使用。
例如，快速排序算法就是一种典型的分治算法，它通过选择一个基准元素，将数组分为两个子数组，并对每个子数组递归地进行排序，最终合并两个有序子数组得到排序后的数组。
总之，递归和分治算法是计算机科学中重要的算法设计技术，它们可以有效地解决许多复杂的问题。
在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的算法，并注意算法的时间复杂度和空间复杂度。
启发式规则,分治法,递归,汉诺塔,排序算法
4.3 排序问题中的分治法
4.3.1 4.3.2 归并排序 快速排序
4.3.1 归并排序
二路归并排序的分治策略是： （1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个 长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn； （2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排 序，得到两个有序子序列；
二路归并排序的合并步的时间复杂性为O(n)， 所以，二路归并排序算法存在如下递推式：
1 T (n) = 2T ( n 2 ) + n
n =1 n >1
根据1.2.4节的主定理，二路归并排序的时间代价是 O(nlog2n)。 二路归并排序在合并过程中需要与原始记录序列同 样数量的存储空间，因此其空间复杂性为O(n)。
第4章 分治法
4.1 概 述
4.2 递 归 4.3 排序问题中的分治法 4.4 组合问题中的分治法 4.5 几何问题中的分治法
4.1 概 述
4.1.1 分治法的设计思想 4.1.2 分治法的求解过程
4.1.1 分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的
子问题，以便各个击破，分而治之。更一般地说，将要求解
4.2 递 归
4.2.1 递归的定义
4.2.2 递归函数的运行轨迹
4.2.3 递归函数的内部执行过程
4.2.1 递归的定义
递归（Recursion）就是子程序（或函数）直 接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己， 是一种描述问题和解决问题的基本方法。 递归有两个基本要素： ⑴ 边界条件：确定递归到何时终止； ⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题的。
分治法的典型情况
原问题 的规模是n
子问题1 的规模是n/2
计算机仿真常用算法
懂且易于分析，如阶乘函数，Fibonacci数列、整数划分问、九连环问题、
Hanoi塔问题等等。
递归与分治
动态规划
贪心算法
回溯法 分支限界法 蒙特卡罗算法
分治基本思想 分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模比较小的子 问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。将各子问题的解合并得到原问 题的解。设计模式如下： 从分治法的思想可以看出，用它设计的程序一般是递归算法，因此分
对于一个一致性的p的正确的蒙特卡罗算法，要提高获得正确率的概率，只要执行该算 法若干次，并选择出出现频次最高的解即可。
递归与分治
动态规划
贪心算法
回溯法
分支限界法
蒙特卡罗算法
有一个数组T[n],若其中有一元素T[i] = x ,当x的个数大于n/2,则
称x为数组T的主元素。
bool majority(int *T, int n){ int i = rand(time()) + 1; //随机选取x int x = T[i]; int k = 0; for(int j = 1; j <= n; j++) if(t[ j] == x) k++；
常见分支限界法
基本思想 搜索策略 队列式 优先队列式
每个活节点只有一 次机会成为扩展节点。 一旦成为扩展节点，就 一次性产生所有儿子节 点。判断不可行或不是 最优解的儿子节点并舍 弃，其他节点加入活节 点表，取下一个节点， 重复上述操作....
以广度优先或最 小耗费（最大效 益）优先的方式 搜索解空间数。
治法的计算效率通常可以用递归方程来进行分析。
递归与分治
动态规划
贪心算法
回溯法 分支限界法 蒙特卡罗算法
递归和分治区别
递归和分治区别分治法的基本思想：将⼀个规模为n的问题分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题相同。
递归地解这些问题，然后将各个⼦问题的解合并成原问题的解。
分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；因为问题的计算复杂性⼀般是随着问题规模的增加⽽增加，因此⼤部分问题满⾜这个特征。
该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质这条特征是应⽤分治法的前提，它也是⼤多数问题可以满⾜的，此特征反映了递归思想的应⽤利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，⽽不具备第三条特征，则可以考虑贪⼼算法或动态规划。
该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。
这条特征涉及到分治法的效率，如果各⼦问题是不独⽴的，则分治法要做许多不必要的⼯作，重复地解公共的⼦问题，此时虽然也可⽤分治法，但⼀般⽤动态规划较好(例如记忆化搜索是分治转化为动归的⼀个经典, 要注意)。
分治法的复杂性分析：⼀个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的⼦问题去解时间复杂度多为O(n)递归的优点：结构清晰，可读性强，⽽且容易⽤数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很⼤⽅便。
缺点：递归算法的运⾏效率较低，⽆论是耗费的计算时间还是占⽤的存储空间都⽐⾮递归算法要多。
解决⽅法：在递归算法中消除递归调⽤，使其转化为⾮递归算法。
采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。
该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
⽤递推来实现递归函数。
通过变换能将⼀些递归转化为尾递归(尾递归是极其重要的，不⽤尾递归，函数的堆栈耗⽤难以估量，需要保存很多中间函数的堆栈。
⽐如f(n, sum) = f(n-1) + value(n) + sum; 会保存n个函数调⽤堆栈，⽽使⽤尾递归f(n, sum) = f(n-1, sum+value(n)); 这样则只保留后⼀个函数堆栈即可，之前的可优化删去。
分治算法简介及习题选讲
方法一
• • • • • • • • • • • 枚举：枚举i和j，再计算Ai+Ai+1+...+Aj。程序如下： max:=a[1]; for i:=1 to n-1 do begin for j:=i to n do begin s:=0; for k:=i to j do inc(s,a[k]); if s>max then max:=s end; end; writeln(max); 时间复杂度为O(n3)，当n较大时会超时。
方法四
• 跟方法三一样，首先把n个数从小到大排序，跟方法三处理方法不同的是分 别求出两个下标： 1.low(a)表示>=a的最小下标；2.high(b)表示<=b的最大下标 答案就是high(b)-low(a)+1。其中high(b)跟方法三中的num(b)求法一样。 • 计算low[a]也是采用二分法，会因要求不同程序有所变动，程序如下,其中left 或right+1最终值就是low(a)： left:=1;right:=n; while left<=right do begin mid:=(left+right)shr 1; if x[mid]<a then left:=mid+1 else right:=mid-1; end实际情况，只要分析 好right=left+1和left=right的情况就能保证不出错。 • 方法四时间复杂度为O((n+m)lgn)。
方法一
• 枚举法 • 设f[x]=ax3+bx2+cx+d,从-100.00到100.00以 0.01的步长逐一枚举x并代入f[x]，找出最接近0 的三个f[x]，其对应的x就是答案。
算法设计与分析实验报告
本科实验报告课程名称：算法设计与分析实验项目：递归与分治算法实验地点：计算机系实验楼110专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真指导教师：郝晓丽2018年05月04 日实验一递归与分治算法1.1 实验目的与要求1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境；2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。
1.2 实验课时2学时1.3 实验原理分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。
需要注意的是，分治法使用递归的思想。
划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。
最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。
1.4 实验题目1．上机题目：格雷码构造问题Gray码是一个长度为2n的序列。
序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。
试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。
对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。
（1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。
（2）序列中无相同的编码。
（3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。
2．设计思想：根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。
两位是00 01 11 10。
三位是000 001 011010 110 111 101 100。
n位是前n-1位的2倍个。
N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。
3．代码设计：}}}int main(){int n;while(cin>>n){get_grad(n);for(int i=0;i<My_grad.size();i++)cout<<My_grad[i]<<endl;My_grad.clear();}return 0;}运行结果：1.5 思考题（1）递归的关键问题在哪里？答：1.递归式，就是如何将原问题划分成子问题。
计算机算法的数学原理
计算机算法的数学原理计算机算法的数学原理计算机算法是计算机科学中的核心概念之一。
算法是一种规定好的计算步骤，用来解决特定问题的方法。
算法的正确性、高效性和可扩展性非常重要，这些关键因素都与数学原理紧密相连。
因此，本文将讨论计算机算法的数学原理，重点探讨算法设计、分析和应用方面的数学，希望能对读者有所启示。
第一部分：算法设计算法设计是计算机算法中的重要部分，它需要设计者具有数学思维和计算思维。
在设计算法时，需要考虑输入、输出、执行步骤和运行时间等方面。
其中，输入是指算法能够处理的数据类型和数据格式，输出是指算法输出的结果类型和格式，执行步骤是指算法执行的操作和顺序，运行时间是指算法完成执行所需的时间。
在算法设计中，有一些基础的数学原理非常重要，包括递归、迭代和分治等。
这些数学概念可以用来描述算法的递推式和复杂度，并可以为算法的优化提供指导。
1.递归递归是指在函数或子过程中调用自身。
递归常常可以简化算法的实现和代码的可读性。
递归的本质是将规模大的问题分解为规模较小的子问题，并通过递推求解出最终解。
递归需要考虑递归终止条件和递归式两个方面。
例如，计算斐波那契数列的第n项可以使用递归算法，其递推式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n >= 3) f(1) = 1, f(2) = 1通过递归式和递归终止条件可以求解斐波那契数列的任意项，例如：int fib(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; return fib(n-1) + fib(n-2); }上述代码实现了斐波那契数列的递归算法，计算时间复杂度为O(2^n)，因为对于每一项都需要递归计算。
为了提高效率，可以使用动态规划等方法。
2.迭代迭代是指在一定条件下重复执行同一操作，直到满足结束条件。
迭代的本质是通过循环求解出问题的最终解。
迭代需要考虑循环终止条件和迭代式两个方面。
例如，计算斐波那契数列的第n项可以使用迭代算法，其迭代式为：f[1] = f[2] = 1; for (int i = 3; i <= n; i++) { f[i] = f[i-1] + f[i-2]; }通过迭代式和循环终止条件可以求解斐波那契数列的任意项，例如：int fib(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; int f[3] = {1, 1, 0}; for (int i = 3; i <= n; i++) { f[2] = f[0] + f[1]; f[0] = f[1]; f[1] = f[2]; } return f[2]; }上述代码实现了斐波那契数列的迭代算法，计算时间复杂度为O(n)，因为只需要遍历一遍数组即可求解。
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1第四章 递归和分治4.1 基于归纳的递归算法4.1.1 归纳法的思想方法归纳法的思想方法：对规模为n 的问题)(n P ：1. 基础步：1a 是问题)1(P 的解；2. 归纳步：对所有的n k k <<1,，若k b 是问题)(k P 的解，则)(k b p 是问题)1(+k P 的解。
其中，)(k b p 是对k b 的某种运算或处理。
例：1a 是问题)1(P 的解，若)(12a p a =，则2a 是问题)2(P 的解；以此类推，若1-n a 是问题)1(-n P 的解，且)(1-=n n a p a ，则n a 是问题)(n P 的解。
为求问题)(n P 的解n a ，先求问题)1(-n P 的解1-n a ，再对1-n a 进行p 运算或处理。
为求问题)1(-n P 的解，先求问题)2(-n P 的解2-n a ，再对2-n a 进行p 运算或处理 如此等等，不断地进行递归求解，直到)1(P 为止。
当得到)1(P 的解之后，再回过头来，不断地把所得到的解进行p 运算或处理，直到得到)(n P 的解为止。
4.1.2 递归算法的例子例4.1 计算阶乘函数!n 阶乘函数可归纳定义为：⎩⎨⎧>-==0!)1(01!n n n n n这是最简单、也是最为人们所熟知的例子。
实现它的递归算法如下：算法4.1 计算阶乘函数!n 输入：n 输出：!n1. int factorial(int n)2. {3. if (n==0)4. return 1;/* 基础步 */25. else6. return n * factorial(n-1); /* 归纳步 */7. }基本操作：第6行的乘法递归方程：⎩⎨⎧+-==1)1()(0)0(n f n f f由(2.4.2)式容易得到，)()(n n n f Θ==。
时间复杂性：)(n Θ例4.2 基于递归的插入排序。
1）基础步：当1=n 时，数组只有一个元素，它已经是排序的； 2）归纳步：如果前面1-k个元素已经按递增顺序排序，只要对第k个元素逐一与前面1-k 个元素比较，把它插入适当的位置，即可完成k 个元素的排序。
算法4.2 基于递归的插入排序算法 输入：数组A[],数组的元素个数n 输出：按递增顺序排序的数组A[] 1. template <class Type>2. void insert_sort_rec(Type A[],int n)3. {4. int k;5. Type a;6. n = n – 1;7. if (n>0) {/* n<=0 仅一个元素,已排序 基础步 */ 8. insert_sort_rec(A,n-1); /* 否则,排序前面n-1个元素 归纳步 */ 9. a = A[n];/* 把第n 元素插入合适位置 */10. k = n – 1;11. while ((k>=0)&&(A[k]>a)) { 12. A[k+1] = A[k]; 13. k = k - 1; 14. }15. A[k+1] = a; 16. } 17. }复杂性分析基本操作的选取：元素比较3递归方程：⎩⎨⎧-+-==)1()1()(0)0(n n f n f f由(2.4.2)式容易得到：)1(21)1()(111-==-=∑∑=-=n n i i n f ni n i时间复杂性：)(2n O 空间复杂性：每一次递归，都分配常数个工作单元用于递归栈，递归深度为n 。
空间复杂性：)(n Θ 例4.3 整数羃的计算。
计算以x 为底的n 次羃（整数羃）。
让x 乘以自身n 次，需)(n Θ个乘法。
算法4.3 计算整数羃 输入：整数x 和非负整数n 输出：x 的n 次羃1. int power(int x,int n)2. {3. int y;4. if (n=0) y = 1;/* 基础步 */5. else {6. y = power(x,n/2); /* 归纳步 */7. y = y * y; 8. if (n%2==1) 9. y = y * x; 10. }11. return y; 12. }基本操作：乘法⎩⎨⎧+==1)2/()(1)1(n f n f f 设k n 2=，)2()(k f k g =，把上式改写成：⎩⎨⎧+-==1)1()(1)0(k g k g g 得到：4)log (1log 1)()(n n k k g n f Θ=+=+==时间复杂性：)log (n Θ工作单元：)log(n Θ每一次递归，都需分配常数个工作单元用于递归栈，递归深度为n log4.1.3 多项式求值的递归算法 4.1.4 排列问题的递归算法存放于数组A 的n 个元素，生成其排列：1. 第一个元素不动，生成后面1-n 个元素的排列；2. 第一、第二个元素互换，生成后面1-n 个元素的排列；3. 最后，第一个、第n 个元素互换，生成后面1-n 个元素的排列； 为生成后面1-n 个元素的排列，继续采取下面的步骤： 1. 第二个元素不动，生成后面2-n 个元素的排列； 2. 第二、第三个元素互换，生成后面2-n 个元素的排列； 3. 最后，第二个、第n 个元素互换，生成后面2-n 个元素的排列； 当排列的前2-n 个元素已确定后，为生成后面2个元素的排列，可以：1. 第1-n 个元素不动，生成后面1个元素的排列，此时，n 个元素已构成排列；2. 第1-n 、第n 个元素互换，生成后面1个元素的排列，此时，n 个元素已构成排列； 令排列算法perm (A ,k ,n )表示生成数组后面k 个元素的排列。
有：1. 基础步：1=k ，只有一个元素，已构成一个排列；2. 归纳步：对任意的k ，n k ≤<1，为完成perm （A ，k ，n ），逐一对第k n -、第nkn ~-元素进行互换，每互换一次，就执行一次perm (A ,k -1,n )操作，产生一个排列。
算法4.5 排列的生成输入：数组A[],数组的元素个数n 输出：数组A[]的所有排列 1. template <class Type>2. void perm(Type A[],int k,int n)3. {4. int i;5. if (k==1)6. for (i=0;i<n;i++)/* 已构成一个排列,输出它 */7. cout << A[i]; 8. else {9. for (i=n-k;i<n;i++) { /* 生成后续的一系列排列 */ 10. swap(A[i],A[n-k]);511. perm(A,k-1,n); 12. swap(A[i],A[n-k]); 13. } 14. } 15. }基本操作：元素输出 递归方程：⎩⎨⎧>-==1)1()()1(n n f n n f n f得到!)(n n n f =。
算法的运行时间：)!(n n Θ。
每一次递归需常数个工作单元，递归深度为n ，递归栈的空间为)(n Θ。
例：对数组}3,2,1{=A ，算法的执行过程和递归栈的变化情况：ikn A 的内容 输出结果 i n – k = 1 k n A 的内容 i n – k = 0 k n A 的内容4.1.5 递归算法的讨论结构清晰明了、容易阅读、容易用数学归纳法证明它的正确性。
程序调试很方便 递归深度加深，工作栈所需空间增大，递归调用时所花辅助操作增多。
运行效率较低。
可修改为相应的循环迭代的算法。
4.2 分治法4.2.1 分治法引言例4.4最大最小问题。
算法4.6解最大最小问题的一般算法输入：n个元素的数组A[]输出：最大元素e_max和最小的元素e_min1. void max_min(int A[],int &e_max,int &e_min，int n)2. {3. int i;4. e_max = A[0]; e_min = A[0];5. for (i=2;i<=n;i++) {6. if (A[i]<e_min) e_min = A[i];7. if (A[i]>e_max) e_max = A[i];8. }9. }输入规模为n时，元素比较次数是2n。
2算法4.7分治法解最大最小问题输入：整数数组A[],数组的起始和结束边界low和high输出：最大元素e_max和最小的元素e_min1. void maxmin(int A[],int &e_max,int &e_min,int low,int high)2. {3. int mid,x1,y1,x2,y2;4. if ((high-low <= 1)) {5. if (A[high]>A[low]) {6. e_max = A[high];7. e_min = A[low];8. }9. else {10. e_max = A[low];11. e_min = A[high];12. }13. }6714. else {15. mid = (low + high) / 2; 16. maxmin(A,&x1,&y1,low,mid); 17. maxmin(A,&x2,&y2,mid+1,high); 18. e_max = max(x1,x2); 19. e_min = min(y1,y2); 20. } 21. }用分治法寻找最大最小元素的工作过程如图4.1所示：图4.1 寻找最大最小元素的工作过程时间复杂性分析：令)(n C 表示对n 个元素的数组所执行的比较次数，其中，假定n 是2的羃。
递归方程：⎩⎨⎧>+==22)2/(2)(1)2(n n C n C C令k n 2=，)()2()(k h C n C k ==，把上面方程改写成：⎩⎨⎧>+-==12)1(2)(1)1(k k h k h h解上述递归方程，有：2)2)2(2(2)(++-=k h k h22)2(222++-=k h=2222)1(22211+++++=--- k k k h∑-=-+=11122k i ik822221-+=kk223-=n元素比较次数从原来的22-n ，减少为2)2/3(-n 。
递归深度为n k log =，每递归调用一次，分配常数个工作单元。
工作空间为)log (n Θ。
4.2.2 分治法的设计原理思想方法：把规模为n 的问题)(n P ，分解为k 个规模较小、互相独立、结构与原来问题结构相同的子问题，又进一步的分解每个子问题，直到某个阀值0n 为止。