2.3离散型随机变量

也称X是参数为p的 贝努利随机变量.
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
X ~ 1 n
1 n
2 1 6 3 1 6
...
1 n
5 1 6 6 1 6
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~ 1 6 4 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 (“重复”指 重复进行n次独立试验, 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验,A发生的概率都是 p, A不发生的 概率都是 q 1 p 这样的 n 次独立重复试验 称作 n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X 表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
p1 p2 ... pk ... pk
k
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1 x2 p2 xk pk
3.离散型随机变量的分布函数为
F ( x) P( X x)
xi x
P( X x )
i

xi x
p
i
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
例 袋中有五张卡片，其中标有数字1的有一 张，标有数字2及3的各有两张.从中一次随机 抽取3张，X表示取到的3张卡片上的最大数字， 求X的概率分布.若Y表示最小数字呢？ X Y 2 3 1 2 解 P P 0 . 6 0 .4 0 .1 0 .9
1 2 C1 C2 0.1 P{ X 2} 3 C5
满足规范性.
1.模型：稠密或稀有事件的分布. 如等车人数、寻呼台接到的呼唤次数、放 射性物质在某段时间内放射的粒子数、某 页书的印刷错误、铸件的疵点、布的疵点 等.
0 1
离散型随机变量的分布函数 例 掷一颗骰子, 出现的点数为X
0
1 6 2 6 3 6
4 6
x 1 1 x 2 2 x3 3 x4 4 x5 5 x6 6 x
5 6
1
2
3 4
5 6
1 X ~ 1 6
5 6 3 6 1 6
0 1
1 1 1 1 6 6 6 6 F ( x ) P{ X x} 1 4 6 2 6
X P
0
1
2
...
k
...
n
1 1 n1 q n Cn pq
P X 0 P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) q
设 Ai 表示第 i次发生事件A P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q
n
§2.3
离散型随机变量
离散型随机变量与概率分布律 定义2.3.1 如果随机变量X 只可能取有限个 或可数 无穷多个值,则称 X 是 离散型随机变量. 离散型随机变量的特点是它的所有取值 可以逐 个一一列举出来. 如 “取到次品的个数” “掷骰子出现的点数” “某电话交换台 任一小时内收到的呼叫次数”
q n Cn p q
1
1 n1
例1 一批产品的合格率为0.9，重复抽取3 件：每次一件，连续3次.求3次中取到的合 格品件数X 的概率分布. 解 依题意X ~ B(3,0.9),
P{ X k } C 0.9 0.1
k 3 k
3 k
(k 0,1,2,3 )
2
0.243
X P
2 3 4 5 6 1 6
2 3 4 5 6
0
1 6 2 6 3 6
4 6
x 1 1 x 2 2 x3 3 x4 4 x5 5 x6 6 x
5 6
1
1, 2, 3, 4, 5, 6 处发生跳跃, 跳跃的高度 等于X在相应 取值点处的概率.
F ( x )是一个阶梯形函数, 它在X的可能取值点
X ~ B( n, p)
k n k
k 0,1, 2,..., n
称随机变量X 服从参数为 n, p 的二项分布,记为
2 2 n2 k k n k Cn p q ... C n p q ... p n ( q p )n 1 当n=1时, 二项分布 b( 1 , p) 1 0 X ~ q p 即是参数为p的0—1分布.
X pk 1 1 26 2 1 26 3 1 26 ...
...
26 1 26
一般地, 若 r .v . X 的概率分布是 P{ X xk }
x1 即 X ~1 n x2 x3
1 n
1 n
... xn 1 ... n
1 n k 1, 2,..., n
则称 r .v . X具有离散均匀分布.
2 n
k n
n P X n P ( A1 A ... A ) )P )... P( An ) p 2 ( A2n
X P
0
q
n
1 2 ... n 1 1 2 p 2q n 2 ... q p Cn Cn
k n
k
...
nk
n
C p q
k n
k
...
pn
即 P X k C p q
P X 1 P ( A1 A2 A3 ... An A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An1 An )
P ( A1 A2 A3 ... An ) P ( A1 A2 A3 ... An ) ... P ( A1 ... An1 An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) P ( A1 ) P ( A2 )... P ( An ) ...
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An )
k nk p q C
n1 p q P ( A1 )... P ( An1 ) P ( An ) C
1 n
X P
0
1
2
...
k n
k
...
n k
n
1 1 n1 2 2 n 2 ... q n Cn p q Cn pq 设 Ai 表示第 i次发生事件A
C pq
k
...
pn
P ( Ai ) p P ( Ai ) 1 p q P X 2 P ( A1 A2 A3 ... An ... A1 ... An2 An1 An )
0 1 2 3 4







其取值在数轴上 是有限个点 或一列离散的点.
定义2.3.2 设X 是离散型随机变量,它的一切可能 取值为 x1 , x2 ,..., xn ,... 且 X 取各个值的概率为
pi p( xi ) P X xi
i 1,2,3,...
(2.1)
(2)
{ x1 , x2 ,..., xk ,...} x1 x2 ... xk ...
k
1 P ( ) P x1 x2 ... xk ...
p{ X x1 } p{ X x2 } ... p{ X xk } ...
任一离散型随机变量 的分布函数, 都具有这个 特征. 反之, 若一随机变量X的分布函数 是阶梯型函数, 则X一定是离散型随机变量. 而且 F ( x ) 的全部跳跃点 就是X的全部取值点. F ( x )在跳跃点处 跳跃的高度 等于X在相应取值点 处的概率.
例2
P38
几个重要的离散型分布 一、退化分布 如果随机变量X
0
0.001
1
0.027
3
0.729
例2 某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次，求 最多投中两次的概率. 则 X ~ B(5, 0.8) 解 X "5次中投中的次数 "，
P{ X k } C 0.8 0.2
k 5 k
5 k
(k 0,1,2,3,4,5)
P{ X 2}
1 0.8 0.24 C 2 0.8 2 0.2 3 0.25 C 5 5 0.05792
P40 例4
五、泊松分布 定义 设随机变量 X 可能取的值为 0,1,2,, n, 且取这些值的概率为
k e P X k k!
k 0,1,2,, n,
其中 0, 为常数,则称 X 服从参数为λ的泊松 分布, 记为 X ~ P ( )
X P 0
e

1
2
...
k
...
1 2 ... e e 1! 2!
k ... e k!
X
0
e

1
1
2
2
...
k
k
...
X ~ P ( )
P

n
... e e 1! 2!
x1 有时也写成 X ~ p1
X
x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
概率分布的性质： 定理2.3.1 1. 非负性 pk 0 2. 规范性 pk 1