解奇异非光滑方程组的牛顿法和不精确牛顿法
牛顿法拟牛顿法
牛顿法拟牛顿法牛顿法是一种求解非线性方程的方法，其原理是在迭代中使用方程的导数来近似方程的根。
虽然牛顿法非常有效，但它往往需要非常精准的初始猜测才能保证收敛性。
另一种类似于牛顿法的方法是拟牛顿法，它可以通过逐步调整矩阵B来近似牛顿法的矩阵Hessian。
本文将介绍牛顿法和拟牛顿法的原理和应用。
一、牛顿法假设有一个n维非线性方程系统f(x)=0，其中x是一个n维向量。
牛顿法中的每个迭代都是通过以下公式来更新当前估计xk的：xk+1=xk-Hk^(-1)fk其中Hk是f(x)的Hessian矩阵在xk处的值，假设Hk是可逆的。
牛顿法的优点是它快速收敛，并且可以通过适当选择初始估计来实现收敛。
另一个好处是它可以直接用于求解大型系统，因为它只涉及二次导数的计算。
然而，牛顿法的缺点是它需要计算Hessian矩阵，这通常是一个费时且复杂的任务。
另一个问题是当Hessian矩阵的条件数（即最大特征值与最小特征值之比）很大时，牛顿法的收敛可能会变得很慢。
二、拟牛顿法拟牛顿法的思想是利用一个矩阵Bk来代替牛顿法中的Hk矩阵。
Bk是一个正定对称的矩阵，其初值通常为单位矩阵In。
在每个迭代中，Bk被更新为一个近似的Hessian逆矩阵。
最常用的拟牛顿法算法之一是BFGS算法，其更新规则如下：Bk+1=Bk+(yk^Tyk)/(yk^Ts)+(BkSkS^TBk)/(sk^TBksk)其中sk=xk+1-xk，yk=g(xk+1)-g(xk)，g表示f的梯度，^T表示矩阵转置。
该公式是基于以下观察得出的：Bk+1应该满足以下性质：Bk+1是正定对称的。
Bk+1应该近似于Hk+1的逆，其应该满足以下方程：Bk+1sk=yk另外，BFGS算法的收敛速度也相对比牛顿法要慢，因为BFGS算法需要逐步修正矩阵Bk，直到其逼近Hessian矩阵的逆。
三、应用牛顿法和拟牛顿法在许多实际问题中应用广泛，特别是在数学、物理、金融和工程领域。
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。
由泰勒展开式： ()()()()()Tk k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。
当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。
由Cauchy-Schwartz 不等式：T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。
牛顿法原理
牛顿法原理
牛顿法是一种可以将非线性收敛到最小值的迭代法，是以传统意义上的函数最小值求解和极值求解具有重要意义的数值解法之一。
牛顿法（Newton's Method）或称牛顿迭代法，由英国数学家牛顿提出。
它是一种以逐步逼近的方式来求解极值，也就是最优求解法。
它可以帮助求解数学中连续函数极值及根的值，是近代数值分析的重要组成部分，也是当今最重要的最优方法之一。
牛顿法的基本思想是，如果一个连续函数的图像在某一点处有极值，那么该点处函数的导数为零，它即为函数的极值点。
根据这一思想，牛顿法寻找极值点，即就是不断从起点开始，计算梯度并根据梯度计算新的点，然后继续重复上面的步骤，直到收敛为止。
牛顿法的具体步骤有：
（1）确定变量的初始值，使用方程组求解；
（2）计算变量的一阶偏导数；
（3）根据一阶偏导数的函数值更新变量的值；
（4）用新值计算梯度，若精度满足要求，则可结束；若未满足要求，则重复步骤2和3。
在求解函数极值时，牛顿法优于迭代法。
牛顿法不仅使函数值逐渐收敛到极值，而且保持精度高。
其收敛速度快，收敛精度高，且稳定性好，而迭代法则收敛缓慢，而且收敛精度也不高。
总之，牛顿法是通过不断迭代计算求取函数极值的一种简便有效的求解方法，利用它求解特定类型函数的极值及其根可以弥补非线性方程其他求解方法的盲点，大大的提高了求解的效率。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
牛顿法
牛顿法牛顿法，又称牛顿拉夫森法，是牛顿在17世纪提出的一种近似求解实数和复数领域方程的方法。
大多数方程没有根公式，因此很难找到确切的根，甚至无法求解，因此找到方程的近似根非常重要。
方法使用泰勒函数级数的前几个项来查找方程的根。
牛顿迭代法是找到方程根的重要方法之一。
它的最大优点是它在方程的单根附近具有平方收敛，也可以用于找到方程的多根和复根。
此时，线性收敛是线性的，但是可以通过某些方法将其变为超线性收敛。
另外，该方法广泛用于计算机编程。
设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，，则与轴交点的横坐标，称为的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得的近似值序列，其中，称为的次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把在点的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即，以此作为非线性方程的近似方程，若，则其解为，这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式：。
已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。
并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
1
本讲内容
Newton 法及其收敛性 牛顿下山法 弦截法与抛物线法
2
Newton 法
基本思想 将非线性方程线性化
设 xk 是 f (x)=0 的近似根，将 f(x) 在 xk 处 Taylor 展开
f ( ) f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 2! f ( xk ) f ( xk )( x xk ) P ( x )
弦截法迭代格式：
xk xk 1 xk 1 xk f ( xk ) f ( xk ) f ( xk 1 )
k = 1, 2, 3, . . . 注：弦截敛性
定理：设 x* 是 f(x) 的零点， f(x) 在 x* 的某邻域 U(x,) 内有二阶连续导数，且 f’(x)0，若初值 x0， x1 U(x,)，则当 U(x,) 充分小时，弦截法具有 p 阶收敛性，其中
1 5 p 2
( p2 p 1 0)
17
弦截法几何含义
y
x* xk xk+1 xk-1
x
18
抛物线法
抛物线法
基本思想： 用二次曲线与 x 轴的交点作为 x* 的近似值
19
抛物线法
y xk+1 xk
xk-1 xk-2
20
抛物线法
计算过程 二次曲线方程 (三点 Newton 插值多项式)
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
牛顿迭代法的求解精度和误差分析
牛顿迭代法的求解精度和误差分析牛顿迭代法是高等数学中一种常见的求解方程数值解法，它利用函数在某一点的切线来逼近方程的根，是一种非常有效的数值计算方法。
但是在使用牛顿迭代法时，其求解的精度和误差分析是非常重要的问题，本文将对此进行详细阐述。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是通过对函数f(x)进行一次泰勒展开得到其在x0处的切线方程，然后通过切线与x轴的交点作为新的起始点，再进行迭代，不断逼近方程的根。
其具体过程如下：设f(x)在x0处可导，则有：f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0)其中f'(x0)表示f(x)在x0处的导数，于是可以得到迭代公式：x1=x0-[f(x0)/f'(x0)]将x1带入上式，得到x2=x1-[f(x1)/f'(x1)]以此类推，直至x(k+1)与x(k)相差的绝对值小于所需的精度。
牛顿迭代法通常以图像的形式进行方程的求根过程，具体地，利用方程f(x)与x轴的交点来表示其根，然后以切线表示为黑色，再用红色表示下一次迭代的新起点，最终逼近方程的根。
二、精度分析牛顿迭代法的求根精度取决于初始点的选择和方程f(x)本身的性质，因此它并不一定总能取得最高的精度。
在选取初始点时，需要根据函数f(x)的性质进行选择，使得方程解在迭代过程中能够被准确的找到。
此外，还需要注意避免初始点与某些奇异点相距过近，导致迭代出现死循环等异常情况。
在迭代计算中，牛顿迭代法的精度主要由两个因素决定：一是x(k+1)与f(x(k+1))的值与方程的根的距离；二是两次迭代的差，即x(k+1)-x(k)，式中k表示当前迭代的次数。
因此，为了保证牛顿迭代法的求根精度，需要控制这两个因素的大小。
通常情况下，x(k+1)与f(x(k+1))的值越接近方程的根，其收敛速度就越快。
而x(k+1)-x(k)的值越接近0，则其收敛速度也越快。
因此，可以通过调整初始点以及改变迭代方向等方法来控制这两个因素的大小。
优化 数学 牛顿法
优化数学牛顿法优化数学牛顿法引言：牛顿法是一种常用的数值逼近方法，用于求解方程的根。
它以牛顿迭代公式为基础，通过不断逼近函数的零点来求解方程。
然而，牛顿法在某些情况下存在一些不足之处，需要进行优化，以提高收敛速度和稳定性。
本文将介绍几种优化牛顿法的方法。
一、牛顿法的原理和应用范围牛顿法是一种迭代方法，通过在初始点处对函数进行线性近似，求得近似零点，并以此作为下一次迭代的初始点，反复迭代直至收敛。
牛顿法在求解非线性方程、最优化和插值等问题中广泛应用。
二、牛顿法的不足之处1. 初始点的选择对收敛性有较大影响：牛顿法对初始点的选择十分敏感，不同的初始点可能导致不同的迭代结果，甚至可能无法收敛。
2. 收敛速度慢：在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，需要进行多次迭代才能达到精度要求。
3. 不稳定性：当函数的二阶导数为0或接近0时，牛顿法可能发散或陷入震荡。
三、优化牛顿法的方法为了克服牛顿法的不足，人们提出了一系列优化方法，旨在提高收敛速度和稳定性。
以下是几种常见的优化方法：1. 初始点的优化选择为了提高牛顿法的收敛性，可以采用合理的初始点选择策略。
例如，可以根据函数的性质和图像来选择初始点，使得初始点更接近函数的零点。
此外，还可以利用其他数值方法的结果作为初始点进行迭代，以提高收敛性。
2. 防止迭代过程发散为了避免迭代过程发散，可以引入合适的收敛判据。
例如，可以设置最大迭代次数，当迭代次数超过一定阈值时，停止迭代并输出结果。
此外，还可以通过判断函数值的变化情况来判断是否发散，如果函数值发散，则调整步长或迭代方法。
3. 改进迭代步长的选择牛顿法的迭代步长对于收敛速度起着重要作用。
为了提高收敛速度，可以采用自适应步长的方法，根据函数的性质和导数的大小来选择合适的步长。
此外，还可以使用加速技术，如割线法和拟牛顿法等，来改进迭代步长的选择。
4. 针对特殊情况的优化方法对于某些特殊的函数或方程，可以采用针对性的优化方法。
非线性方程组求解方法的比较与优化
非线性方程组求解方法的比较与优化非线性方程组的求解在科学计算、工程领域以及其他许多实际问题中扮演着重要的角色。
在实际应用中，往往需要高效准确地求解非线性方程组，以获得所需的结果。
本文将对几种常用的非线性方程组求解方法进行比较，并探讨如何进一步优化这些方法，以提高求解效率。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是最常用的非线性方程组求解方法之一。
该方法基于泰勒级数展开，通过迭代逼近非线性方程组的解。
具体而言，给定初始猜测值x0，牛顿法通过以下迭代公式进行求解：x^(k+1) = x^k - [J(x^k)]^(-1) * F(x^k)其中，J(x^k)表示方程组F(x)的雅可比矩阵，F(x^k)表示方程组的值向量。
牛顿法通常具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能出现发散或收敛速度慢的问题。
二、拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）拟牛顿法是对牛顿法的改进和优化。
由于求解雅可比矩阵的逆矩阵相对困难且计算量大，拟牛顿法通过逼近雅可比矩阵的逆矩阵，避免了对逆矩阵的直接求解。
其中，最著名的拟牛顿法是DFP算法和BFGS算法。
DFP算法通过计算Hessian矩阵的逆矩阵的逼近，不断更新该逼近矩阵，以逼近真实的Hessian矩阵的逆矩阵。
BFGS算法同样通过逼近矩阵的更新来求解方程组，但采用了更加复杂的更新策略，相较于DFP算法在某些问题上具有更好的性能。
拟牛顿法通过避免直接计算逆矩阵，一定程度上提高了计算效率，但其迭代过程中的计算相对复杂，因此在实际问题中需要综合考虑。
三、Levenberg-Marquardt算法Levenberg-Marquardt算法是一种解决非线性最小二乘问题的方法，也可用于求解非线性方程组。
该算法基于牛顿法，利用信赖域思想进行调整，以提高求解的稳定性和收敛性。
Levenberg-Marquardt算法通过在牛顿迭代中引入一个参数，将其视为步长的控制因子，从而在迭代过程中实现步长的自适应调整。
求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法
求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法解决非线性方程组是数学中的一个经典问题，其应用广泛，例如化学、物理、优化和金融等领域。
牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组的常见方法之一，本文将详细介绍牛顿法和拟牛顿法的原理、优缺点以及实现步骤。
一、牛顿法牛顿法是一种高效的求解非线性方程组的方法，其基本思路是利用一阶泰勒展开式近似于原方程组，并以此构造一个更新方案，通过一步步迭代找到原方程组的解。
以二元非线性方程组为例，假设有方程组：f1(x1, x2) = 0f2(x1, x2) = 0根据泰勒展开式的一阶近似可得：f(x + Δx) ≈ f(x) + Jx Δx其中，Jx为函数f(x)在点x处的Jacobian矩阵，Δx是待求解的更新量，它满足：f(x + Δx) = 0将近似式带入上述方程组中，可得：Jx Δx = - f(x)由此可以推导出牛顿法的迭代式：x(k+1) = x(k) - [Jx(k)]⁻¹f(x(k))其中，k表示迭代次数，x(k)表示第k次迭代的解，[Jx(k)]⁻¹为Jx(k)的逆矩阵。
牛顿法的优点在于它的收敛速度很快，尤其是在初始值接近解时，收敛更加快速。
但是，牛顿法也有很大的局限性，一是它需要求解Jacobian矩阵，在高维情况下计算复杂度很高，二是它的收敛性依赖于初始值，有时候可能会陷入局部最优。
二、拟牛顿法为了克服牛顿法的局限，拟牛顿法被发明出来。
和牛顿法一样，拟牛顿法同样是基于泰勒展开式的近似思想，但是它避免了Jacobian矩阵的计算，从而提高了算法的计算效率。
拟牛顿法的核心是对于迭代过程中的Jacobian矩阵的近似。
常见的近似方法有Damping BFGS（DBFGS）算法、DFP算法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法等。
其中，BFGS算法是拟牛顿法的代表，其迭代步骤如下：1. 初始化矩阵B0 = I2. 对于第k次迭代，求出pk = -Bk-1gk，并更新xk+13. 计算sk = xk+1 - xk，yk = gk+1 - gk4. 更新矩阵Bk+1 = Bk + ΔB，其中ΔB = ρskskT - BkykT - ykBkρ = 1/ (ykT sk)其中ΔB称为BFGS修正子，它近似于Jacobian矩阵的逆。
非线性方程组的Newton法与拟Newton法
非线性方程组的Newton 法与拟Newton 法一、简单迭代法设:nnF D R R ⊂→，由多元向量值函数形成的非线性方程组11212()0()0n n n f x x x f x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，，，，， （1） 11()()0()n n x f x x F x x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的求解，一般采用迭代法求解。
Newton 法就是一种特殊的迭代法，其迭代函数涉及到F 与F 的导数F '。
Newton 法是解方程组（1）的基本方法之一。
目前使用的很多方法基本以Newton 法为基础，是Newton 法的改进与变形。
1、定义1 （Frechet 导数）设F 是一个从nmD R R ⊂→的非线性映射，若存在m nA R⨯∈，对D 的内点x 及n h R ∈，有()()lim0h F x h F x Ahh→+--= （2）称F 在x 可导，称A 为F 在x 的导数，记作()F x A '=或F -可导。
当1m =时，即多元实函数：12()(,,,)()n F x f x x x f x ==，此时，1n A R ⨯∈，即A是一个行向量，记TA α=。
如果F 在x 可导，由定义有()()lim0T h F x h F x hhα→+--= （3）若记12(,,,)Tn αααα=，取j j h h e =，则不难验证()()()limj j j j h jjf x h e f x f x h x α→+-∂==∂ 所以，()f x 的导数就是()f x 在x 点的梯度12()()(),,,()Tn f x f x f x f x x x x α⎛⎫∂∂∂==∇ ⎪∂∂∂⎝⎭（4）对于一般情形，F ：n m D R R ⊂→，记A 的第i 行为Ti α，导数的定义可以写成等价形式0()()lim 0T i i i h f x h f x h hα→+--=，1,2,,i m =所以，可以得到()i i f x α=∇，1,2,,i m = （5）因此，得到多元向量值函数()F x 的导数'F x ()，:nnF D R R ⊂→，有111122221212()()()()()()'()()()n n n n n n n n f x f x f x xx x f x f x f x x x x F x DF x R f x f x f x x x x ⨯∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦()=()= （6）称()DF x 为()F x 在点x 的Jacobi （雅克比）矩阵。
牛顿下山法、弦截法、解非线性方程组的牛顿法 - 牛顿法、简化牛顿法
xk +1
xk
-
f ( xk ) f ﾢ( xk )
与前一步的近似值 xk 适当加权平均作为新的改进值，
xk+1 l xk+1 + (1- l)xk ， 其中 l(0 < l ﾢ1) 称为下山因子。
xk +1
xk
-l
f (xk ) f '(xk )
(k 0,1, 2...)
解：设 f (x) x2 - a ，求 a 即计算 f (x) 0 的根。
则由牛顿迭代公式可得：
xk +1
xk
-
f (xk ) f ﾢ(xk )
xk
-
xk2 - a 2xk
1 2
� � �xk
+
a xk
� � �.
令初始值 x0 3 ，得
x1
1 2
� � �3 +
7 3
� � �
2.667,
xk +1
xk
-
f (xk ) f ﾢ(x0 )
（牛顿法） 2. 牛顿重根法
（简化牛顿法）
如果 x0 为 f (x) 的 k 重根，牛顿迭代公式修改为：
(k 0,1,L)
【注】若三种方法 都收敛，则一般 重根法收敛最快， 牛顿法次之，简 化迭代法最慢。
xk +1 xk
-k
f (xk ) f '(xk )
以方程
f (x) ﾢ f (x0 ) + f ﾢ(x0 )(x - x0 )
f (x0 ) + f ﾢ(x0 )(x - x0 ) 0
近似方程（7-1），其解
x1
牛顿法求解非线性方程组的基本流程
牛顿法求解非线性方程组的基本流程下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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求解非线性方程组的非精确牛顿法
求解非线性方程组的非精确牛顿法摘要:在经典牛顿法的基础上,给出了求解非线性方程组的非精确牛顿法。
在一定的条件下,证明了该算法的超线性收敛性,并且这个收敛性是二阶的。
关键词:非线性方程组;非精确牛顿法;收敛性对于无约束问题： minf(x) (1) 其中x∈Rn,f∶Rn→R是一个连续可微函数。
求解无约束优化问题方法大都属于迭代法,这类算法特点是:每一次迭代都要求函数值有所下降,因此人们称这类算法为下降法。
当下降方向取为负梯度时,此时函数值下降量最大,人们称它为最速下降法。
它是无约束最优化问题中最简单的方法,它具有全局收敛性,并且存储最较少,因此它适合于解决大型优化问题。
但它的缺点是收敛速度慢,在最优点处附近容易产生锯齿现象,为了改善收敛速度,人们提出了牛顿法。
牛顿法的基本思想是,在极小点附近用二阶Taylor多项式近似目标函数f(x),进而求出极小点的估计值。
设f(x)是二次可微实函数,x∈Rn。
又设x(k)是f(x)的极小点的一个估计,把f(x)在x(k)展成Taylor级数,并取二阶近似：f(x)≈Φ(x)=f(x(k))+ f(x(k))T(x-x(k))+12(x-x(k))T 2f(x(k))(x-x(k)) (2) 令Φ(x)=0,可得:x(k+1)=x(k)- 2f(x(k))-1 f(x(k)) (3)运用牛顿法时,初点的选择十分重要。
如果初始点靠近极小点,则可能很快收敛;如果初始点远离极小点,迭代产生的点列可能不收敛于极小点。
为了克服这个缺点,可以改进迭代公式(3):x(k+1)=x(k)+λkd(k)(4)其中d(k)=- 2f(x(k))-1 f(x(k))为牛顿方向,λk是由一维搜索得到的步长,即满足：f(x(k)+λkd(k))=minλf(x(k)+λd(k)) 这样修改后的算法称为阻尼牛顿法。
由于阻尼牛顿法含有一维搜索,因此每次迭代目标函数值一般有所下降(绝不会上升)。
求非光滑方程的半光滑牛顿方法
求非光滑方程的半光滑牛顿方法非光滑方程指的是方程在一些点上不是光滑的，也就是不连续或处于转折点的方程。
这是一类常见的优化问题，需要使用半光滑牛顿方法来求解。
半光滑牛顿方法是一种针对非光滑方程的优化算法，它结合了牛顿方法和次梯度方法的特点，能够在光滑和非光滑区域都表现出良好的收敛性能。
半光滑牛顿方法的基本思想是在每次迭代中，使用牛顿方法来近似目标函数在当前点的局部曲线，并使用次梯度方法来处理非光滑点。
具体步骤如下：1.初始化。
选择初始点x0，并设置迭代次数k=0。
2. 计算下降方向。
首先使用牛顿方法计算目标函数在当前点xk的下降方向。
牛顿方法的步骤如下：(a) 计算当前点的梯度gk和Hessian矩阵Hk。
(b) 求解线性方程组Hkdk = -gk，得到下降方向dk。
3. 更新迭代点。
根据得到的下降方向dk，计算步长tk，然后更新迭代点xk+1 = xk + tk*dk。
4. 处理非光滑点。
如果下降方向dk经过非光滑点，那么在更新迭代点后需要使用次梯度方法来进一步下降。
次梯度方法的步骤如下：(a) 计算非光滑点gk的次梯度集合Gk。
(b) 在次梯度集合Gk中选择下降方向mk。
(c) 计算步长tk'，更新迭代点xk+1 = xk + tk'*mk。
5.判断停止条件。
如果满足一定的停止条件，算法停止；否则，返回步骤2半光滑牛顿方法的收敛性在一般情况下保证不了全局最优解，但在实际应用中取得了不错的效果。
由于半光滑牛顿方法同时利用了牛顿方法和次梯度方法的优点，能够在光滑区域快速收敛，在非光滑区域通过次梯度方法进行进一步下降，因此具有较好的适用性和收敛速度。
需要注意的是，半光滑牛顿方法的实现需要对非光滑点进行判断和处理，而非光滑点的存在使得目标函数不是处处可微的。
因此，在应用半光滑牛顿方法求解非光滑方程时，不仅需要考虑算法的收敛性和误差控制，还需要根据具体问题考虑非光滑点的特点和处理方法。
总之，半光滑牛顿方法是一种针对非光滑方程的优化算法，它结合了牛顿方法和次梯度方法的特点，兼顾了收敛性和计算效率。
求非光滑方程的半光滑牛顿方法
求非光滑方程的半光滑牛顿方法随着科技的发展，人们对于数学和物理问题的研究越来越深入。
其中，求解非光滑方程是一个具有挑战性的问题。
传统的牛顿法在求解非光滑方程时存在收敛速度慢、无法收敛等问题。
为了解决这些问题，学者们提出了半光滑牛顿方法。
本文将介绍这种方法的原理及应用。
一、非光滑方程在数学和物理领域中，我们经常会遇到非光滑方程。
这种方程通常具有不连续的导数或者函数值。
以一维非光滑方程为例：$$f(x) = |x|$$这个方程在$x=0$处的导数不存在，因此无法使用传统的牛顿法求解。
类似的方程还有很多，如绝对值函数、分段函数等。
二、传统的牛顿法传统的牛顿法是一种求解方程的常用方法。
其基本思想是通过不断逼近函数的根来求解方程。
具体来说，牛顿法通过以下公式求解： $$x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$x_n$是第$n$次迭代的解，$f(x_n)$和$f'(x_n)$分别是函数$f(x)$在$x_n$处的函数值和导数值。
这个公式的意义是在当前点$x_n$处，沿着切线方向走一段距离$frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，就可以到达下一个解$x_{n+1}$。
然而，当$f(x)$是非光滑函数时，$f'(x_n)$的值可能不存在或不连续，导致牛顿法无法收敛或收敛速度非常慢。
因此，需要寻找一种新的方法来解决这个问题。
三、半光滑牛顿方法半光滑牛顿方法是一种针对非光滑方程的求解方法。
它的基本思想是在非光滑点附近使用一阶或二阶导数的逼近来求解方程。
具体来说，半光滑牛顿方法通过以下公式求解：$$x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n) + lambda_n}$$ 其中，$lambda_n$是一个非负的参数，用来控制迭代的步长。
当$f'(x_n)$不存在或不连续时，可以使用其一阶或二阶导数的逼近来代替$f'(x_n)$，从而使得求解变得可行。
牛顿法的理解
牛顿法的理解
以下是对牛顿法的理解：
牛顿法是一种常用的数值计算方法，用于求解非线性方程的根。
它的基本思想是通过不断逼近函数图像上的点来找到方程的根。
具体来说，牛顿法采用了一种迭代的方式，通过不断地对函数进行求导并计算新的函数值，逐渐逼近方程的根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常在几次迭代后就能得到相对准确的结果。
但是，它也有一些局限性，例如对于某些非线性方程或初值选择不当的情况，牛顿法可能无法收敛或收敛到非解的点。
为了更好地理解牛顿法，可以从以下几个方面进行探讨：
1.原理：了解牛顿法的数学原理，包括函数和导数的基本概念、泰勒级数展
开等，有助于理解其迭代过程和收敛性质。
2.实现方式：可以通过编程实现牛顿法，并观察其在不同问题中的应用。
这
有助于加深对其迭代过程和收敛性的理解。
3.改进方法：为了克服牛顿法的局限性，可以尝试一些改进方法，例如采用
不同的初值选择、添加阻尼项等。
这些方法可以提高牛顿法的收敛性和求解精度。
4.应用领域：了解牛顿法在各个领域的应用案例，例如物理学、工程学、经
济学等，可以进一步加深对其重要性和应用价值的认识。
最后总结：对牛顿法的理解是指掌握其基本原理、实现方式、改进方法和应用领域等方面的内容。
通过深入探讨这些方面，可以更好地应用牛顿法来解决实际问题。
解非线性方程组的牛顿迭代法
3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
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计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
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7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
的导数为
(x) x f (x)
f (x)
(x*) 1 1 0
m
且 (x*) 1，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取
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(x) x m f (x) ,
f (x)
则 (x*) 0
. 用迭代法
xk 1
xk
m
f ( xk ) f (xk )
(k 0,1,)
7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk
f xk 1
xk 1
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在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
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（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
求解奇异问题的几种数值解法
求解奇异问题的几种常见数值解法摘要：非线性问题时近代数学研究的主流之一，而求解Banach空间中非线性方程=0的算法问题，由于其具有广泛的实际背景和重要的理论价值，一直是数值工作者感兴趣的问题之一的。
本文共分三个部分，第一章介绍了国内外有关求解奇异问题的发展状况、课题背景、主要意义。
第二章简要的介绍了求解非线性方程奇异问题的几种数值解法，例如：一类Chord法求解奇异问题、Halley法、Chebyshev法、Supper-Halley法。
由于Chord法计算量小，并且当利用Matlab运算时既简单又方便，本章在零空间为一维的情况下介绍了一类Chord法的收敛性的证明。
最后，简明扼要地总结了本文论述的主要内容、应用及理论价值。
关键词：数值解法；奇异问题；收敛性1. 绪论1.1课题背景现代科学技术的发展使数值计算日趋重要，数值计算方法是研究数学问题的数值求解方法，包括科学计算、系统模拟等领域，在很多的实际工程问题中，许多问题可归结为求解非F x=的求解问题。
线性方程()0在当今时代，随着计算机的出现与普及以及数学研究本身的发展与完完善，线性问题的研究已趋于完善，各种非线性问题的求解成为数学研究者研究的对象，也引起了科学工作者和工程人员的兴趣和重视。
尤其在近代物理和科学计算中的一些关键问题归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。
因此，无论在理论研究方面，还是在实际工程应用中，非线性方程的求解都占有相当重要的地位，是数学研究者必须面对的问题。
非线性问题具有广泛放入实际背景和重要的理论价值，是近代数学研究的主流之一，非F x=的数值解法又是非线性问题研究的一个重要的方向。
因此，非线性问题线性方程()0一直是数值工作者乃至基础数学大家，如Smale和Kantorovich等人所感兴趣并参与研究的热门课题之一。
迭代法一直是求解非线性方程的重要手段之一。
对于非奇异问题，以牛顿为代表的迭代方法一直是非线性问题的求解的重要方法，求解非奇异问题也是非线性问题求解的重要领F x=的牛顿迭代法及其变形的研究中，许多著名学者，如王兴华、Smale 域。