1996-2004学年高等数学试题
(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。
2004年高考试题——数学(江西卷)(理)
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第I 卷（选择题共60分）一、选择题(5分×12=60分)1．设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于（ ） A ．{1，2} B ． {3，4}C ． {1}D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 （ ）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ． 4D ．24 6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 （ ）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 2 9．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ） A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，-1 B ．1，-17 C ．3，-17 D ．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ ） A ．3 B ．32 C ．43 D ．6512．设函数)(1)(R x x x x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题(4分×4=16分)13．二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14．以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16．平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且a ·b =5，则向量b =__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17．已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18．在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线· B 1 P A C D A 1 C 1D 1 B O H ·l 的斜率.22．已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C11．B 12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．),3()2,(+∞--∞14．25)2()1(22=-+-y x 15．2 16．)53,54(- 三、解答题17．本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：由已知54sin ,25sin 22cot 2tan===+αααα得. .53s i n 1c o s ,202=-=∴<<ααπα 从而 3s i n c o s 3c o s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=- )334(10123532154-=⨯-⨯=. 18．本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.解法一：（I ）连结BP. ∵AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴AP 与平面BCC 1B 1所成的角就是∠APB,∵CC 1=4CP,CC 1=4，∴CP=I.在Rt △PBC 中，∠PCB 为直角，BC=4，CP=1，故BP=17.在Rt △APB 中，∠ABP 为直角，tan ∠APB=,17174=BP AB ∴∠APB=.17174arctan 19．本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,8.11.03.0,10y x y x y x目标函数z =x +0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于直线0l 的一组直线,,5.0R z z y x ∈=+与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且 与直线05.0=+y x 的距离最大，这里M 点是直线10=+y x和8.11.03.0=+y x 的交点.解方程组⎩⎨⎧=+=+,8.11.03.0,10y x y x 得x =4，y=6 此时765.041=⨯+⨯=z （万元）.07> ∴当x =4，y=6时z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.20．本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分12分.解：（I ）当1,231==d a 时，n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得， 即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得 ⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立 若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时 若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，21．本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分12分.解：（I ）设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by a x 由已知，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. （1） （2）故所求的椭圆方程是1342222=+m y m x（II ）设Q （Q Q y x ,），直线),0(),(:km M m x k y l 则点+= 当),,0(),0,(,2km M m F -=由于由定比分点坐标公式，得 ,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m km m Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点 km km y m m x Q Q -=-=-=--⨯-+=-=21,221)()2(0,2时当. 于是.0,134422222==+k m m k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±. 22．本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.证明：（I ）任取则由,,,2121x x R x x ≠⊂ )]()()[()(2121221x f x f x x x x --≤-λ和|||)()(|2121x x x f x f -≤- ② 可知 22121212121221|||)()(|||)]()()[()(x x x f x f x x x f x f x x x x -≤-⋅-≤--≤-λ，从而 1≤λ. 假设有则由使得,0)(,000=≠b f a b ①式知 .0)]()()[()(00000200矛盾=--≤-<b f a f b a b a λ∴不存在.0)(,000=≠b f a b 使得 （II ）由)(a f a b λ-= ③可知 220202020)]([)()(2)()]([)(a f a f a a a a a f a a a b λλλ+---=--=- ④ 由和0)(0=a f ①式，得20000)()]()()[()()(a a a f a f a a a f a a -≥--=-λ ⑤由0)(0=a f 和②式知，20202)()]()([)]([a a a f a f a f -≤-= ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 2022022020)()(2)()(a a a a a a a b -+---≤-λλ202))(1(a a --=λ （III ）由③式可知22)]()()([)]([a f a f b f b f +-= 22)]([)]()()[(2)]()([a f a f b f a f a f b f +-+-= 22)]([)]()([2)(a f a f b f ab a b +--⋅--≤λ （用②式）222)]([)]()()[(2)]([a f a f b f a b a f +---=λλ 2222)]([)(2)([a f a b a f +-⋅⋅-≤λλλ （用①式）2222222)]()[1()]([)]([2)]([a f a f a f a f λλλ-=+-=。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医 类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题宗旨答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，惟有一项乃是符合题目要求的。
参阅公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题1．设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合NM 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数2sin x y =的最小正周期乃是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．设数列{}n a 乃是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 乃是数列{}n a 的前n 项和，则 （ ）A ．54S S <B ．54S S =C ．56S S <D ．56S S = 4．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x 5．函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A ．[)(]2,11,2 -- B ．)2,1()1,2( --C ．[)(]2,11,2 --D ．)2,1()1,2( --6．设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（ ）A ．i 322--B ．i 232--C ．i 32+D ．i 232+7．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5B ．5 C ．25D ．45 8．不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．()2,0B ．())4,2(0,2 -C ．()0,4-D ．())2,0(2,4 --9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ）A ．322 B ．2C ．32D ．324 10．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3311．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种第Ⅱ卷步骤.）13．用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15．已知函数)(x f y =乃是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数乃是)(x g y =，则=-)8(g .16．设P 乃是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解读回答题（6道题，共76分）17．（本小题满分12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.18．（本小题满分12分）解方程 11214=-+xx.m的矩形蔬菜温室。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷福建卷文
2004年普通高等学校招生全国统一考试（文史类）（福建卷）数学（文史类）（福建卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则 （A ∩B ）等于（A ）{1，2，4} （B ）{4} （C ）{3，5} （D ）ø （2）︒+︒15cot 15tan 的值是（A ）2（B ）2+3 （C ）4（D ）334（3）命题p ：若a 、b ∈R ，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件； 命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（A ）“p 或q ”为假 （B ）“p 且q ”为真（C ）p 真q 假（D ）p 假q 真（4）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（A ）32（B ）33 （C ）22 （D ）23（5）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（A ）1 （B ）－1（C ）2 （D ）21（6）已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（7）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f -1(x)，则函数y= f -1(1－x)的图像是（8）已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（A ）6π（B ）3π（C ）32π （D ）65π（9）已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（A ）28（B ）38（C ）1或38（D ）1或28（10）如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（A ）arcsin63（B ）arccos63 （C ）arcsin33 （D ）arccos33（11）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，4]时，f(x)= x －2，则（A ）f(sin21)<f(cos 21) （B ）f(sin 3π)>f(cos 3π)（C ）f(sin1)<f(cos1)（D ）f(sin23)>f(cos 23) （12）如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（A ）(7+1)a 万元 （B ）(27－2) a 万元（C ）27a 万元（D ）(7－1) a 万元 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）直线x+2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 .（14）设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . （15）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是 . （16）将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）设函数f(x)=a ·b ，其中向量a=(2cosx ，1)，b=(cosx ，3sin2x)，x ∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.（18）（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. （19）（本小题满分12分）在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2 ，M 为AB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面SCM 的距离. （20）（本小题满分12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n21)万元（n 为正整数）.（Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ （21）（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q.（Ⅰ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离（22）（本小题满分14分） 已知f(x)=)(32432R x x ax x ∈-+在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)
2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)答案及评分标准一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.2. =--⎰+→xdt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x xf )(C x x x +-sin cos .6. ⎰-=+2223sin )sin (cos ππtdt t t 32. 7. =⎰∞+-022dx xe x 1.8. 若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b )4,2,4(--.二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.解 ()()x x x x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)()x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos sin 18lim 0-=-=→xxx x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）2. 求由参数方程⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t ab t a t b dx dy -=-= （3分） ta b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .解 ,ln cos x x e y = （2分）)cos ln sin (ln cos xx x x e y x x +-=' （5分） )cos ln sin (cos xx x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得0='++'y x y y e y （4分）)0(≠++-=∴y ye x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）解 ⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x . 解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+1001010221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分） 2ln 3121ln 312ln 10=-+-=x x （6分）3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=2110220)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(2131212=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰xdt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.解 ⎰+--=x dt t x x f 041113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）又0113)(4>+-='x x f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值. 解 x x a x f 3c o s c o s)(+=' （1分） 201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令πππ， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3(<''πf ， （5分） 3)3(=∴πf 为极大值. （6分）2．求抛物线22x y =与21x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分） 34)1(2)21(21022102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21022102πππ=-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线11122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，即 012=++-z y x ， （2分）令t z y x =-=-=-+11122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)32,31,32(-M ， （4分） )35,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 40==⎰n dx x u n n π，证明：(1) 1+≥n n u u ；(2) 当2>n 时，112-=+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tantan 1π∈≥+x x x n n ， （1分） 140140,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）（2）=+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππdx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=⎰⎰--ππ （3分） x d x x d x x n n t a n t a n s e c t a n 4022402⎰⎰--==ππ 402tan 11πx n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分）设a u n n =∞→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得 0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）五、（本题满分4分）设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有ab a f b f a x a f x f -->--)()()()(. 证明 设a b a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分） 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ，于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ，即有a b a f b f a x a f x f -->--)()()()( （4分）。
2004—数一真题、标准答案及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为(2)已知f(e x) xxe ，且f(1)=0,则f(x)=(3)设L为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分L xdy 2ydx的值为(4)欧拉方程x2d2ydx24x d^ 2y 0(x 0)的通解为•dx(5)2 1 设矩阵A 1 2矩阵，则(6)矩阵B满足ABA*2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX} =二、选择题(本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内)4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7)把x 0时的无穷小量X cost2dt,0 '2xtanX 30 si nt dt ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D)(8)设函数f(x)连续，且f (0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在( ,0)内单调减少•(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0).(9)设a n为正项级数，下列结论中正确的是n 1(A) 若lim na n=0，则级数na n收敛•n 1(B)若存在非零常数，使得lim na nn ，则级数a n发散•n 1阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?t t(10) 设f(x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx ，则F ⑵等于 (A)2f(2).(B) f(2).(C) -(2).(D) 0.[](11) 设A 是3阶方阵，将 A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,贝U 满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) A 的列向量组线性相关, (B) A 的列向量组线性相关, (C) A 的行向量组线性相关, (D) A 的行向量组线性相关,(A) Cov( X 1,Y)2n(B) Cov(X 1,Y)2.(C)D(X 1 Y)n 2 2 (D)D(X 1Y) n 1nn(15) (本题满分 12分)设ea b e 2 ,证明ln 2 bIn 2a —2(b a)e(16) (本题满分 11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 (C) 若级数2a n 收敛，则lim nn0.(D)若级数a n 发散，则存在非零常数n 1，使得 lim na nn0 1 00 1 00 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 . (B)1 0 1 . (C) 1 0 0 .(D)1 0 0 1 0 1 0 0 10 1 10 0 1的任意两个非零矩阵，则必有(12)设A,B 为满足AB=OB 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x}，则x 等于(A) U_.2(B) U .1I(C) u 」. ~2-(D) U 1(14)设随机变量X 1,X 2, 0.令Y 丄 X i ,则n i 1(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0,X n ( n 1)独立同分布，且其方差为飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?1F(x, )1x0, x 1,x 1,注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,数 x n 收敛.n 1(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)X 1X 2X n 0, 2x 1 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,并求出其通解9分)试问a 取何值时，该方程组有非零解, (21)(本题满分33的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论5(22)(本题满分9 分)求：(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布;(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为其中是曲面z 1(z 0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程x nnx 10，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根X n ,并证明当 1时，级(19)(本题满分 12 分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 22yzz 2 18 0确定的函数，求zz(x, y)的极值点和极值.设矩阵A 11A 是否可相似对角化.设A,B 为随机事件，且P(A) 右P(BA) 3‘P (AB)-，令XA发生, 0, A 不发生;Y 1, B 发生,0, B 不发生.(II ) X 和Y 的相关系数 XY -其中未知参数1,X!,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求: （I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.3 022004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由y (Inx)1，得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1 (x 1)，即 y x 1.1【评注】本题也可先设切点为 (x 0,|n x 0)，曲线y=lnx 过此切点的导数为 y— 1，得x 0 1，x x 0x 0由此可知所求切线方程为 y0 1(x1)，即yx1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到xx1 2(2) 已知 f (e ) xe ，且 f(1)=0,则 f(x) = (In x).2【分析】 先求出f (X )的表达式，再积分即可.【详解】令e x t ，则x lnt ，于是有ln tr, ln xf (t)，即f (x)t x 积分得f(x)In x, 1 2dx (ln x) C .利用初始条件 f(1)=0,得C=0，故所求函数为 f(x)x 2丄仲x)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分223 (3)设L 为正向圆周x y 2在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 2ydx 的值为 -【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分 2 2【详解】 正向圆周x y2在第一象限中的部分，可表示为x 、 2 cos , 小y -2sin ,：0222si n 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参于是Lxdy 2ydx o 2 [一 2 cos 2 cos2 2sin ■- 2 sin ]d9数法化为定积分计算即可【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e t 化为常系数线性齐次微分方程即可【详解】令xe t ，则 dy dy dt e 电1 dydx dt dxdt x dtd 2y 1 dy 1 d 2y dt 1[d 2 x 2[dt y dy F dt ]dx 2x 2 dt x dt 2dx 代入原方程，整理得d 2y c dy2y 0，.2 3 - dtdt解此方程，得通解为y tqe c 2e2tC1C22・2x x【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e t ，则欧拉方程【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA *A 2BA *A A ，而 A 3，于是有3AB 6B A ，即(3A 6E)B A ，再两边取行列式，有3A 6E||B A 3，1而3A 6E 27,故所求行列式为 B(4)欧拉方程2d 2y x dx 24x2y 0(x 0)的通解为y 纟乌dx x x可化为2 axd 2y dx 2cy f (x)，2眷貉哼cy 讪.(5)设矩阵A2 1 01 2 0，矩阵B 满足ABA * 2BA * E ,其中A *为A 的伴随矩阵, 0 0 1E 是单位矩阵，则B【分析】可先用公式A *AA E 进行化简【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A ，一般均应先利用公式A A AA * AE 进行化简.(6)设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则P{X , DX } = 1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可1【详解】 由题设，知DX 冷，于是一1XP{X DX} = P{X -}ie X dx【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算 二、选择题(本题共8小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7 )把x0时的无穷小量Xcost 2dt,2xtan 、tdt,0 ':X 30 si nt dt ,使排在后面的是前(A)(B)(C)(D)【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可【详解】 lim — x 0 tan 一tdt lim 卫厂 x 0cost 2dt 0limtanx 2x 2cosx0，可排除 (C),(D)选项,【评注】 limx 0limx 0=-lim 4 x 0x3sint dt_0 ___________X 2 tan )t dt3 2sin x 2 ，可见 lim2x tanx是比低阶的无穷小量，故应选 (B).本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ,,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在0，使得 (A) f(x)在(0，)内单调增加. (B) f(x)在(，0)内单调减少.(C) 对任意的 x (0,)有 f(x)>f(0)(D)对任意的 x ( ,0)有 f(x)>f(0)【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可•【详解】 由导数的定义，知f(0) lim f(x) f(0)0，x 0 x根据保号性，知存在 0，当x (,0) (0,)时，有f(x) f(0)x即当 x (,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论 (9) 设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是n 12(C)若级数a n 收敛，则limn a “0.nn 1(E)若级数n1a n 发散，则存在非零常数，使得^m na n* "]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项1 2又取a n ----------------- ，则级数a n 收敛，但lim n a “nUnn1 n【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,a1 lim na n lim n0，而级数发散，因此级数a n 也发散，故应选(B).n n1n 1nn 1n【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有(A)若lim na n =0，则级数na n 收敛.n 1(B )若存在非零常数，使得lim na nn，则级数a n 发散•n 1【详解】 取a n1 nln n，则 lim na n =0，但na nn 111n ln n发散，排除(A)，(D)；，排除(C),故应选(B).(10) 设f(x)为连续函数，F(t) (A)2f(2). (B) f(2).t t1 dy y f(x)dx ，贝U F (2)等于(C) -(2).(D)0.变量 t.【详解 】 交换积分次序，得t t t x tF(t) 1dy y f(x)dx = 1[1 f(x)dy]dx 1 f(x)(x 1)dx于是，F (t) f(t)(t 1)，从而有 F (2)f(2)，故应选(B).评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: b(x)[ a(x) f(t)dt] f [b(x)]b (x) f[a(x)]a(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上 .( 11) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0. (B)1 0 1. (C) 1 0 0. (D) 10 0 1 0 10 0 11 10 0 1[ D ]分析 】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等 矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解 】由题设，有0 1 01 0 0A 1 0 0B ， B 0 1 1C ，0010 0 10 1 0 10 00 1 1 于是，A 1 0 0 0 1 1A 1 0 0 C.0 0 1 0 0 10 0 1可见， 应选 (D). 评注 】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12) 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关， (E) A 的列向量组线性相关， (F)A 的行向量组线性相关， (D) A 的行向量组线性相关，【详解1】 设A 为m n 矩阵，B 为n s 矩阵，则由AB=O 知,r(A) r(B) n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线 性相关，故应选 (A).【详解 2】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关 .B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关【分析 】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 零解进行分析讨论 .A,B 是否行(或列)满秩或 Ax=0 (Bx=0 )是否有非同理，由AB=O知，B T A T O,于是有B T的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=O r(A) r(B) n；2) AB=O B的每列均为Ax=0的解.(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于(A) u_2(B) u1 -2(C) u L~2(D) u1(A) Cov(X n Y) (B) Cov(X「Y)Cov(X1, X i) 1Cov(X1,X1) 1 Cov(X1,X i)n i 1 n n i 2【分析】此类问题的求解，可通过u的定义进行分析, 也可通过画出草图, 直观地得到结论【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{XP{X x} P{X x} P{X x} P{X x} 2P{X x}即有P{X x}1，可见根据定义有x2本题【评注】A，故应选(C).u相当于分位数，直观地有2(14)设随机变量X1,X2, ,X n( n 1)独立同分布，且其方差为nX i，则n i 1(C) D(X1 Y) (D)【分析】本题用n方差和协方差D(X1 Y)-n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:Cov(X1,X i) 0,i 2,3, n.【详解】Cov( X1,Y)(x) (e 2)= -DX 11 2.n n本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n 3n2 nn 2 2n 22n(15) (本题满分12分)$ (b a). e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明In 2 b In 2 a24In x ，则e【证法1】 对函数2In x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理,设(t)平，则(t)，当t>e 时,0, 所以(t)单调减少，从而2 (e )，即In In e~2e2~~2，e故 In 2 b In 2 a 4(b a).所以当 即当e(x) (x) x>e 时, 2 .x e 时,In x 2 -xJ In x 2 2x(x)0,4_2 ， e (x)单调减少，从而当(x)单调增加.e 2时,【评注】 D(X iY) D(^X 1n-X 2 n^X n ) n(1 n)2 n 2n 1 22nD(X in 1 Y) D( X 1n 1 X n )n(n 1)2 2nn 1 22~n2o2设 e a b e ,证明 In b In ab.【证法2】(x)因此当e x e 2时，(b)(a),v 0解得C v 0，两端积分得通解 v Cek —tm，代入初始条件v即 ln 2beln 2a4 ~~2a，故In 2 b ln 2 af (b e a).【评注】 本题也可设辅助函数为(x) 2 2 42In x In a 2 (x a),e a x e 或 e(x) ln 2 b ln 2 x$(b x),e x b2e ，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可 【详解1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 700km/h .从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvm kv . dt dv dx dx dt所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dvvdx ，又史dt由以上两式得dx 积分得x(t) x(t)m .dv ，k mv k m (v0 kC. 由于v(0)V 0, x(0)0，故得C — v °，从而k当 v(t)0时, v(t)). x(t)mv °k9000 700 66.0 101.05(km).【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dv m — dtkv ,所以dv±dt. m【详解】取1为xoy 平面上被圆x 2 y 2 1所围部分的下侧，记 为由 与1围成的空间闭区域,(17) (本题满分12分) 计算曲面积分2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面z 1 x 2 y 2(z 0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直 接投影法求解即可.jkt故 v(t)v 0e m .飞机滑行的最长距离为v(t)dtmv ° ekmv ° k1.05( km).或由dr上t v °e m,知x(t)t0v 0e上tmdtItm1)，故最长距离为当t时，kv ox(t)m1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，d 2x m —亏dt 2dx k , dtd 2x dt 2k dx dt其特征方程为解之得m0, 2C 2edxx0,v --t 01 t 0dtkC 2 emV 0，得C 1C 2x(t) mv 0Atm).所以, 时，x(t)mv 0 1.05(km).k飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意•由 mv 0t 0C 1 Jkt m3 3 2I 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy13 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知3 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy122 1 1 r 2 2=6 d dr (z r )rdz3322x dydz 2y dzdx 3(z1 )dxdy 3dxdy 3x 2 y 2 1故123【评注】 本题选择 1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).(18) (本题满分11分) 设有方程x nnx 1 0，其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ，并证明当 1时，级数x n 收敛.n 1【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性 .而正项级数的敛散性可用比较法判定 .【证】记 f n (x)x n nx 1.由f n (O) 1 0， f n (1) n 0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx 10存在正实数根x n (0,1).当x>0时，f n (x) n x n 1 n 0,可见f n (x)在［0,)上单调增加，故方程x n nx 1 0存在惟一正实数根 X n ・由x n nx1 0与 X n0知1 X ：11 0 X n，故当1 时，0 X n(-).n nn 而正项级数1丄收敛, 所以当1时，级数x n 收敛n 1nn 1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要2 26( x y z)dxdydz=121[1r(1 r 2) 22、2 r 3(1 r 2)]dr1(9, 3, 3)i ，C2z2x2z2z(9, 3, 3)(9, 3, 3)基本概念清楚，应该可以轻松求证 (19) (本题满分12分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 2 2yz z 218 0确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然 后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2 2 2因为 x 6xy 10y 2yz z 18 0，所以2x 6y 2^z 2z^0，x x6x 20 y 2z 2y-^ 2z —z 0. y y故 x 3y ， z y.x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3z3.类似地，由【详解】—0, x —0 yx 3y 0, 3x 10y z 0,将上式代入x 26xy 10y 2 2yz z 218 0，可得由于22 2— 2(上)2x x2z2z2x2z2yx y2z2z0,202— 2二 y y2y- 2z 2y2(二)2 y22z z y 0，2所以 A—z x1 B2 z1，C2z5 (9,3,3)6，x y(9,3,3)2y(9,3,3)3，21 1 故 AC B 236，又A6z(9,3)=3.6xxx y0 ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为21 1 可知AC B 0，又A0 ,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程•(20) (本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)x 1 X 2 X n 0, 2捲 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 a 1 1 1 1 a 1 11A2 2 a 2 2 2a aBnnnn ana 0 0 a当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为X i X 2x n 0,由此得基础解系为1( 1,1,0,,0)T,2( 1,0,1, ,0)Tj , n 1 (1,0,0,,1)T ,于是方程组的通解为x k 1 1 k n 1 n 1,其中k 1, ,k n1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换, 有1 a 11 1a n(n 1)0 0 0 B2 1 0 022 1n 00 1n0 01可知an(n 2 1)时，r(A) n 1 n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为2%X20, 3%X3,n^X n0 ,由此得基础解系为(1,2, ,n)T,于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数. 【详解2】方程组的系数行列式为1 a 1 12 2 a 2An n n当A 0，即a=0或a n(n 1)时，方程组有非零解2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 1 11 1 1112 2 220 000An n n n0 00 00故方程组的同解方程组为x1x2X n 0,由此得基础解系为1 ( 1,1,0, ,0)T,2 ( 1,0,1,,0)T,,n 1(1,0,0, ,1)T于是方程组的通解为x k1 1 k n 1 n 1 ,其中k1, , k n 1为任意常数a2卫时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 a111 1 a 1112 A 2 a222a a00n n n n a na 00a(a 3)a n112 3E A1 4 31a 511 0 =(2) 14 31a52 (2) 0 14 3 1a522 16 18 3a 0,解得 a= -2.1 a 1 1 1 0 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0 n 01n 01故方程组的同解方程组为2% x 2 0,3x 1 X 30,n% x 0,由此得基础解系为(1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x k ，其中k 为任意常数【评注】 矩阵A 的行列式 A 也可这样计算:1 a 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 A2 2 a 2 2 2 =aE +2 22，矩阵2 2 2 2的nnnn an n nn n n nn特征值为0,,0, n(n °，从而A 的特征值为a,a, ,a n(n 1),故行列式 A (a n(n 1))a n 1.2 2 2(21) (本题满分9分)1 23设矩阵A 1 43的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.1 a 5【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可•【详解】 A 的特征多项式为(2)( 2 8 18 3a).2是特征方程的二重根，则有323a2时，A的特征值为2, 4，4,矩阵4E-A= 103秩为2，故4对应的线性无关32113的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II) X和Y的相关系数XY-【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于P(AB) P(A)P(BA) 2，P(B)P(AB) 1 P(AB) 6'所以，P{X1,Y1}1 P(AB)—，12P{X1,Y0}P(AB) P(A)P(AB)1 6P{X0,Y1}P(AB) P(B)P(AB)1 12,1 当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=12 32 3的秩为1,故2 32对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则18 3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是: 对于A的任意k i重特征根i，恒有n r( i E A) 而单根一定只有一个线性无关的特征向量•(22) (本题满分9分)1设A,B为随机事件，且P(A) -,P(B A)43,P(AB)1, A发生，0, A不发1, B发生，P{X 0,Y 0} P(AB) 1 P(A B)=1 P(A) P(B) P(AB)(或P{X 0,Y 0}故(X,Y)的概率分布为i 1 1 丄2),12 6 12 3【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强•通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1,X1,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量•【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可【详解】X的概率密度为——X 1,X 1，40, X「(I)由于则EXX01Y013151P——P一—446611351-,EY DX DY=——,E(XY)=46163612'(II) X, Y的概率分布分别为故Cov(X,Y) E (XY) EX EY —，从而24XYCov(X,Y) 1515F(x,)x0,1,1其中未知参数f(x,)1，X i 1(i 1,2, ,n),(X 1X 2 X n )0,其他 n1) In X i ， i 1dInL()d故的最大似然估计量为 nnIn X ii 1难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性 EX Xf (X ; )dX X — 1 X T dx 令X ，解得 1 1，所以参数 的矩估计量为(II )似然函数为两边对求导，得 令dInL( ) 0，可得 d nn， In x ii 1L() f (X i ； 当x i1(i 1,2, ,n)时, L( 0,取对数得 lnL()n In In X i ，【评注】本题是基础题型,。
2004年高考数学江苏卷及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于 ( ) (A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( ) (A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 ( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2 9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 ( ) (A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )0.时间(小0 1.1.2.(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个 二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量a ，b 中，已知a =(4，-3)，b =1，且ab =5，则向量b =__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值.18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；(Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的· BPACD AC DBO H ·常数). (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和 2121)()(x x x f x f -≤-， 其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -= (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ； (Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-； (Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年高考数学江苏卷答案一、选择题二、填空题13、),3()2,(+∞⋃--∞； 14、25)2()1(22=-+-y x ；15、2； 16、)53,54(-三、解答题（17）由已知得：25sin 22cot2tan==+ααα得54sin =α，20πα<< ，53sin 1cos 2=-=∴αα，从而103343sin cos 3cos sin )3sin(-=-=-παπαπα（18）（1）连结BP ，⊥AB 平面11B BCC ，AP ∴与平面11B BCC 所成角就是APB ∠，1,4,411=∴==CP CC CP CC ，在PBC Rt ∆中，PCB ∠为直角，1,4==CP BC ，故17=BP ，在APB Rt ∆中，ABP ∠为直角，17174tan ==∠BP AP APB ，17174arctan=∠∴APB ，即直线AP 与平面11B BCC 所成角为17174arctan 。
2004山西高考数学真题
2004山西高考数学真题2004年山西高考数学真题2004年山西高考数学真题分为第一卷和第二卷，共计150分。
下面将分别给出每一部分的试题内容及解析。
一、第一卷第一卷共有12道选择题，每道题目均配有四个选项，考生需要根据题目要求选择出正确答案。
1. 若直角三角形ACB中，sinA=4/5，cosB=12/13，则tanC=（）A. 3B. 4C. 5D. 60解析：由三角函数的关系sin^2A+cos^2A=1可得cosA=3/5，tanC=sinC/cosC=4/3，故选A。
2. 一次函数f(x)=|k|e^x的图象在（0,a）与(a,0)处的切线分别与y轴围成的三角形面积为8（a>0），则整数k的取值范围是（）A. k≤0B. -4≤k≤4C. k≥4D. k≥0解析：三角形的面积为8，可知e^a=8，所以a=ln8，即地图象在x=ln8处与y轴相交。
此时切线斜率为2k，解出2k=±4，得k=±2，故选B。
3. 已知函数f(x)=3x^2-6x-15，g(x)=x^2-ax+b，当f(x)=g(x)的两根均在区间（0,4）内时，实数a,b的取值范围是（）A. 6≤a≤8，b≤2B. 2≤a≤6，b≥2C. a≥8，b≥2D. a≤2，b≤2解析：由方程f(x)=g(x)可得2x^2+(6-a)x+b+15=0。
根据判别式Δ=(a-6)^2-8(b+15)≥0，解得8≤a≤6，b≥2，故选B。
4. 若a+b=1，a^2+b^2=3，则a^3+b^3=（）A. -5B. 5C. -1D. 1解析：根据公式(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)，代入已知条件解得a^3+b^3=-1，故选C。
5. 半径为R的圆O和点C在平面α上，则圆O内部到点C的距离的最大值为（）A. RB. 2RC. R^2D. R^2-OC^2解析：由题意可知圆O的圆心到点C的距离为OC=R，所以圆O内部到点C的最大距离为R，故选A。
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( I A)∪B=IB ．( I A)∪( I B)=IC ．A ∩( I B)=φD ．( I A)∪( I B)= I B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K ,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工类)(福建卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工类)(福建卷)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数10)11(ii +-的值是( )A.－1B.1C.－32D.32 2.tan15°＋cot15°的值是 ( )A.2B.2＋3C.4D.334 3.命题p:若a 、b ∈R,则|a |＋|b|>1是|a ＋b|>1的充分而不必要条件； 命题q:函数y ＝2|1|--x 的定义域是(－∞,－1]∪[3,＋∞).则 ( )A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C.p 真q 假D.p 假q 真4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是真正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( )A.33B.32C.22D.23 5.已知m 、n 是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:①若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n ； ②若m ∥α,m ∥β,则α∥β；③若α∩β＝n,m ∥n,则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β. 其中真命题的个数是 ( )A.0B.1C.2D.36.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ( )A.2426C AB.242621C A C.2426A AD.262A7.已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f —1(x ),则函数y ＝ f —1(1－x )的图象是( )8.已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ,(b －2a ) ⊥b,则a 与b 的夹角是( )A.6πB.3πC.32π D.65π 9.若(1－2x )9展开式的第3项为288,则)111(lim 2n n xx x +++∞→ 的值是( )A.2B.1C.21D.5210.如图,A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点,AB ＝2,BC ＝4,∠ABC ＝60°,O 为球心,则直线 OA 与截面ABC 所成的角是( ) A.arcsin 63B.arccos 63C.arcsin33 D.arccos 3311.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2),当x ∈[3,5]时,f(x)＝2－|x －4|,则( ) A.f (sin6π)＜f (cos 6π) B.f (sin1)>f (cos1)C.f (cos 32π)＜f (sin 32π)D.f (cos2)>f (sin2)12.如图,B 地在A 地的正东方向4 km 处,C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处,河流 的没岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运 货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km, 那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(27－2)a 万元 B.5a 万元C.(27＋1) a 万元D.(23＋3) a 万元第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于 .x 11-+(x ≠0),14.设函数f(x)＝ a (x ＝0). 在x ＝0处连续,则实数a 的值为 .15.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是 (写出所有正 确结论的序号).16.如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时,其容积最大.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设函数f(x)＝a ·b ,其中向量a ＝(2cos x ,1),b ＝(cos x , 3sin2x ),x ∈R.(Ⅰ)若f(x)＝1－3且x ∈[－3π,3π],求x ； (Ⅱ)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m,n)(|m|＜2π)平移后得到函数y ＝f(x)的图象,求实数m 、n 的值.18.(本小题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19.(本小题满分12分)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝23,M、N分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB；(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小；(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.20.(本小题满分12分)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n 年(今年为第一年)的利润为500(1＋n21)万元(n 为正整数). (Ⅰ)设从今年起的前n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金),求A n 、B n 的表达式；(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21.(本小题满分14分) 已知f(x)＝222+-x ax (x ∈R)在区间[－1,1]上是增函数. (Ⅰ)求实数a 的值组成的集合A ； (Ⅱ)设关于x 的方程f(x)＝x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问:是否存在实数m,使得不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立？若存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)如图,P 是抛物线C:y ＝21x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q. (Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程； (Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S,与y 轴交于点T,试求||||||||SQ ST SP ST的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学答案(理工类)(福建卷)一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B 二、13.45 14.1/2 15.1,3 16.2/3三、17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考查运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)依题设,f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π). 由1＋2sin(2x ＋6π)＝1－3,得sin(2 x ＋6π)＝－23. ∵－3π≤x ≤3π,∴－2π≤2x ＋6π≤65π,∴2x ＋6π＝－3π, 即x ＝－4π.(Ⅱ)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m,n)平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)＋n 的图象,即函数y ＝f(x)的图象.由(Ⅰ)得 f(x)＝2sin2(x ＋12π)＋1. ∵|m|＜2π,∴m ＝－12π,n ＝1. 18.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力.满分12分.ξ的概率分布如下:E ξ＝0×301＋1×103＋2×21＋3×61＝59. (Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则P(A)＝310361426C C C C +＝1202060+＝32, P(B)＝310381228C C C C +＝1205656+＝1514. 因为事件A 、B 相互独立,方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(B A ⋅)＝P(A )P(B )＝1－32)(1－1514)＝451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(B A ⋅)＝1－451＝4544. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P(A ·B )＋P(A ·B)＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＋P(A)P(B) ＝32×151＋31×1514＋32×1514＝4544. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 19.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一:(Ⅰ)取AC 中点D,连结SD 、DB. ∵SA ＝SC,AB ＝BC, ∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD,∴AC ⊥平面SDB,又SB ⊂平面SDB, ∴AC ⊥SB.(Ⅱ)∵AC ⊥平面SDB,AC ⊂平面ABC, ∴平面SDB ⊥平面ABC.过N 作NE ⊥BD 于E,NE ⊥平面ABC, 过E 作EF ⊥CM 于F,连结NF, 则NF ⊥CM.∴∠NFE 为二面角N －CM －B 的平面角.∵平面SAC ⊥平面ABC,SD ⊥AC,∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC,∴NE ∥SD.∵SN ＝NB,∴NE ＝21SD ＝2122AD SA -＝21412-＝2,且ED ＝EB. 在正△ABC 中,由平几知识可求得EF ＝41MB ＝21,在Rt △NEF 中,tan ∠NFE ＝EFEN＝22,∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22. (Ⅲ)在Rt △NEF 中,NF ＝22EN EF +＝23, ∴S △CMN ＝21CM ·NF ＝233,S △CMB ＝21BM ·CM ＝23.设点B 到平面CMN 的距离为h, ∵V B －CMN ＝V N －CMB ,NE ⊥平面CMB,∴31S △CMN ·h ＝31S △CMB ·NE,∴h ＝CMNCMB S NE S ∆∆⋅＝324.即点B 到平面CMN 的距离为324.解法二:(Ⅰ)取AC 中点O,连结OS 、OB.∵SA ＝SC,AB ＝BC, ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC,平面SAC ∩平面 ABC ＝AC ∴SO ⊥面ABC,∴SO ⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O －x yz. 则A(2,0,0),B(0,23,0),C(－2,0,0), S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2). ∴AC ＝(－4,0,0),SB ＝(0,23,－22), ∵·＝(－4,0,0)·(0,23,－22)＝0, ∴AC ⊥SB.(Ⅱ)由(Ⅰ)得CM ＝(3,3,0),MN ＝(－1,0,2).设n ＝(x ,y,z)为平面CMN 的一个法向量, CM ·n ＝3x ＋3y ＝0,则 取z ＝1,则x ＝2,y ＝－6,MN ·n ＝－x ＋2z ＝0,∴n ＝(2,－6,1),又＝(0,0,22)为平面ABC 的一个法向量, ∴cos(n ,)31. ∴二面角N －CM －B 的大小为arccos31. (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得＝(－1,3,0),n ＝(2,－6,1)为平面CMN 的一个法向量, ∴点B 到平面CMN 的距离d ||n 324. 20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识,考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)依题设,A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；B n ＝500[(1＋21)＋(1＋221)＋…＋(1＋n 21)]－600＝500n －n 2500－100.(Ⅱ)B n －A n ＝(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2) ＝10n 2＋10n －n 2500－100＝10[n(n ＋1) － n 250－10]. 因为函数y ＝x (x ＋1) －x 250－10在(0,＋∞)上为增函数, 当1≤n ≤3时,n(n ＋1) － n 250－10≤12－850－10＜0； 当n ≥4时,n(n ＋1) － n 250－10≥20－1650－10>0. ∴仅当n ≥4时,B n >A n .答:至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21.本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解:(Ⅰ)f ＇(x)＝222)2(224+-+x x ax ＝ 222)2()2(2+---x ax x , ∵f(x)在[－1,1]上是增函数,∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1,1]恒成立,即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立. ①设ϕ(x )＝x 2－ax －2,方法一:ϕ(1)＝1－a －2≤0,① ⇔ ⇔－1≤a ≤1,ϕ(－1)＝1＋a －2≤0.∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a ＝1时,f ＇(－1)＝0以及当a ＝－1时,f ＇(1)＝0∴A ＝{a |－1≤a ≤1}.方法二:2a ≥0, 2a ＜0, ①⇔ 或ϕ(－1)＝1＋a －2≤0 ϕ(1)＝1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ＜0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a ＝1时,f ＇(－1)＝0以及当a ＝－1时,f ＇(1)＝0∴A ＝{a |－1≤a ≤1}.(Ⅱ)由222+-x a x ＝x1,得x 2－ax －2＝0, ∵△＝a 2＋8>0 ∴x 1,x 2是方程x 2－ax －2＝0的两实根,x 1＋x 2＝a ,∴ 从而|x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝82+a .x 1x 2＝－2,∵－1≤a ≤1,∴|x 1－x 2|＝82+a ≤3.要使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,当且仅当m 2＋tm ＋1≥3对任意t ∈[－1,1]恒成立,即m 2＋tm －2≥0对任意t ∈[－1,1]恒成立. ②设g(t)＝m 2＋tm －2＝mt ＋(m 2－2),方法一:g(－1)＝m 2－m －2≥0,②⇔g(1)＝m 2＋m －2≥0,⇔m ≥2或m ≤－2.所以,存在实数m,使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}.方法二: 当m ＝0时,②显然不成立； 当m ≠0时,m>0, m ＜0,②⇔ 或g(－1)＝m 2－m －2≥0 g(1)＝m 2＋m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以,存在实数m,使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}.22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解:(Ⅰ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由y ＝21x 2, ① 得y ＇＝x .∴过点P 的切线的斜率k 切＝ x 1,∵x 1＝0不合题意,∴x 1≠0∴直线l 的斜率k l ＝－切k 1＝－11x , ∴直线l 的方程为y －21x 12＝－11x (x －x 1), 方法一:联立①②消去y,得x 2＋12x x －x 12－2＝0. ∵M 是PQ 的中点x 0＝221x x +＝－11x , ∴y 0＝21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1,得y 0＝x 02＋2021x ＋1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y ＝x 2＋2021x ＋1(x ≠0). 方法二:由y 1＝21x 12,y 2＝21x 22,x 0＝221x x +, 得y 1－y 2＝21x 12－21x 22＝21(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝x 0(x 1－x 2), 则x 0＝2121x x y y --＝k l ＝－11x , ∴x 1＝－01x , 将上式代入②并整理,得y 0＝x 02＋2021x ＋1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y ＝x 2＋2021x ＋1(x ≠0).(Ⅱ)设直线l :y ＝k x ＋b,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴,QQ ＇⊥y 轴,垂足分别为P ＇、Q ＇,则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y ＝21x 2 由 消去x ,得y 2－2(k 2＋b)y ＋b 2＝0. ③y ＝kx ＋by 1＋y 2＝2(k 2＋b),则y 1y 2＝b 2.方法一:∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y ＝2|b|21b ＝2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数,∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞). 方法二:∴||||||||SQ ST SP ST +＝|b|2121y y y y +＝|b|22)(2b b k +.当b>0时,||||||||SQ ST SP ST +＝b 22)(2bb k +＝b b k )(22+＝b k 22＋2>2； 当b ＜0时,||||||||SQ ST SP ST +＝－b 22)(2b b k +＝b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根,得△＝4(k 2＋b)2－4b 2＝4k 2(k 2＋2b)>0,于是k 2＋2b>0,即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2＝2. ∵当b>0时,bk 22可取一切正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞). 方法三:由P 、Q 、T 三点共线得k TQ ＝K TP , 即22x b y -＝11x b y -. 则x 1y 2－b x 1＝x 2y 1－b x 2,即b(x 2－x 1)＝(x 2y 1－x 1y 2).于是b ＝122212122121x x x x x x -⋅-⋅＝－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +＝||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x ＋||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞).。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理)及答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共15小题，1—10小题每小题4分，11—15小题每小题5分，共65分。
在每一小题给出的四个结论，只有一个结论是满足条件的。
1．已知全集I ＝N ，集合A ＝{ x |x ＝2n , n ∈N }, B ＝{ x |x ＝4n , n ∈N }，则 A ．I ＝A B B ．I ＝B A C ．I ＝B A D ．I ＝B A2．当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝x a -与y ＝x log a 的图象是 A B C D 3．若x cos x sin 22＞，则x 的取值范围是A ．},412432|{Z k k x k x ∈+-ππππ＜＜ B ．},452412|{Z k k x k x ∈++ππππ＜＜C ．},4141|{Z k k x k x ∈+-ππππ＜＜D ．},4341|{Z k k x k x ∈++ππππ＜＜4．复数54)31()22(i i -+等于A ．1＋3iB ．－1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i5．如果直线l 、m 与平面γβα、、满足：l ＝γβ ，l ∥α，m α⊂和m ⊥γ，那么必有 A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ 6．当22ππ≤≤x -时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－21C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1 7．椭圆{ϕϕsin y cos x 5133+-+＝＝ 的两个焦点坐标是A ．(－3，5)，(－3，－3)B ．(3，3)，(3，－5)C ．(1，1)，(－7，1)D ．(7，－1)，(－1，－1) 8．若0＜α＜2π，则arcsin [cos (απ+2)]＋arccos [sin (απ+)]等于A ．2πB ．－2πC ．απ22- D ．－απ22-9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 A ．361a B ．3121a C ．3123a D ．3122a 10．等比数列的首项为－1，前n 项和为n S ，若3231510＝S S ，则n n S lim ∞→＝A ．32 B ．－32C ．2D ．－2 11．椭圆的极坐标方程为θρcos -23＝，它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3，0)，(1，π)B ．)233()23(ππ，，，C ．)352()32(ππ，，， D ．)232,7(),23,7(arctg arctg -π 12．等差数列的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．26013．设双曲线2222by a x -＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a , 0), (0, b )两点。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
——笛卡尔web试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？分，共？分）1、已知函数的最小正周期为3，则A= .2、设满足约束条件：则的最大值是.二、选择题（每空？分，共？分）3、在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为A. B. C.D.4、设集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（U N）=（A）{5} （B）{0，3} （C）{0，2，3，5}（D） {0，1，3，4，5}5、函数的反函数为（A）（B）（C）（D）6、正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（A）（B）（C）（D）7、函数在处的导数等于（A）1 （B）2 （C）3 （D）48、为了得到函数的图像，可以把函数的图像（A）向左平移3个单位长度（B）向右平移3个单位长度（C）向左平移1个单位长度（D）向右平移1个单位长度9、等差数列中，，则此数列前20项和等于（A）160 （B）180 （C）200（D）22010、已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（A）（B）（C）（D）11、已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）12、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（A）210种（B）420种（C）630种（D）840种13、函数的最小值等于（A）－3 （B）－2 （C）－1 （D）－14、已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为（A）1 （B）（C ） (D）215、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b=A.B. C.D.16、已知函数（A）（B）－（C）2 （D）－217、函数的反函数是A. B.C. D.18、的展开式中常数项是（A）14 （B）－14 （C）42 （D）－4219、设若则=A. B. C. D.420、设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是A. B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4]21、已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T ，则等于A. B. C. D.22、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A. B. C.D.三、计算题（每空？分，共？分）23、已知数列{}为等比数列，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设是数列{}的前项和，证明24、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.25、双曲线的焦距为2c ，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.参考答案一、填空题1、3/22、2二、选择题3、B4、B5、C6、A7、D8、D9、B10、A11、D12、B13、C14、A15、B16、B17、B18、A19、B20、C21、A22、C三、计算题23、解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.a1q=6,依题意，得方程组a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{a n}的通项公式为a n=2・3n－1.（II）24、解：（Ⅰ）y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x－3.设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2 因为l1⊥l2，则有2b +1=所以直线l2的方程为（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积25、解：直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（－1，0）到直线的距离由即于是得解不等式，得由于所以的取值范围是读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
2004年高考试题全国卷2文科数学及答案(必修 选修Ⅰ四川吉林黑龙江云南等地区)
2004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）函数y ＝51+x (x ≠－5)的反函数是 （A ）y ＝x1－5(x ≠0) （B ）y ＝x ＋5(x ∈R ) （C ）y ＝x1＋5(x ≠0) （D ）y ＝x －5(x ∈R ) （3）曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（A ）y ＝3x －4 （B ）y ＝－3x ＋2 （C ）y ＝－4x ＋3 （D ）y ＝4x －5（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是 （A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30° （7）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 （B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称（D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称2（8）已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（A ）4x ＋2y ＝5 （B ）4x －2y ＝5 （C ）x ＋2y ＝5 （D ）x －2y ＝5 （9）已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）6 （10）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个 （B ）57个 （C ）58个 （D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）已知a 为实数，(x ＋a )10展开式中x 7的系数是－15，则a ＝ （14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是 ．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本题满分12分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5 ＝21 (Ⅰ)求{a n }的通项公式；2004年高考试题全国卷2 文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学王新敞 当前第3 页共6页(Ⅱ)令b n ＝n a2，求数列{b n }的前n 项和S n（18） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高． （19）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率． （20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． （21）(本题满分12分)若函数f (x )＝31x 3－21ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4) 内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围（22）(本小题满分14分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．42004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)参考答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）B （4）C （5）A （6）C （7）D （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． （13）－21 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．解：a 5-a 2=3d,d=4,a n =a 2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1 {b n }是首项为32公比为16的等比数列，Sn=)12(15324-n. 18．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan =设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+19．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率72482523=C C C (II)解：A 组中至少有两支弱队的概率2481533482523=+C C C C C C 20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2，BA'C'2004年高考试题全国卷2 文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 王新敞新疆奎屯市第一高级中学王新敞 当前第5 页共6页∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形， 又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3， 又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1， 所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23. ∴cos ∠B 1GF=2123223)21()23(222121221=∙∙-+=∙-+FGG B F B FG G B 即所求二面角的大小为π解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=(22,21,21),=A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线， 所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .33||||11-=∙=G B CD θ 所以所求二面角的大小为π21．解：=)('x f x 2-ax+a-1, 函数f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,＋∞)上为增函数. 设=)('x f x 2-ax+a-1=0的两根为1,a-1,则614≤-≤a ,75≤≤a .622．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,.41413-= 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1……………………………………(3) 联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤ 直线l 在y 轴上截距的变化范围是34,43[]43,34[ --解：(II)由定比分点公式求解。
2004年高考.江苏卷.数学试题及答案
时间(小时) 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={R x x x ∈≤,2}，则P ∩Q 等于( )(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为( ) (A)2π (B)π (C)π2 (D)π4 3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) (A)2 (B)22 (C) 4 (D)246.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A)5216 (B)25216 (C)31216 (D)9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( )(A)3 (B)32 (C)43 (D)6512.设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个二、填空题(4分×4=16分)13.二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax+bx+c>0的解集是_______________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的数值是_______________________.16.平面向量,中，已知=(4，-3)=1，且⋅=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值. 18.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP.(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100· B 1 P A CD A 1 C 1 D 1BO H ·﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？20.设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k kS S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. =，求直线l 的斜率.22.已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；(Ⅱ)证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考答案一、选择题ABDCA BCADC BA二、填空题13、{2x x <-或3}x >14、22(1)(1)25x y -+-=15、216、43(,)55b =-三、解答题17、解：由题意可知4sin 5α=，sin()3πα∴-=18、解（1）APB ∠=（2）略（319、解：10318x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，设0.5z x y =+ 当46x y =⎧⎨=⎩时，z 取最大值7万元20、解：（1）4k =（2）100a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或110a d =⎧⎨=⎩21、解：（1）2222143x y m m +=（2）k =±或022、解：（1）不妨设12x x >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-可知12()()0f x f x ->，()f x ∴是R 上的增函数∴不存在00b a ≠，使得0()0f b = 又[]2212121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-1λ∴≤（2）要证：222000()(1)()b a a a λ-≤--即证：2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦(*) 不妨设0a a >，由[]2121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅- 得00()()()f a f a a a λ-≥-，即0()()f a a a λ≥-，则2002()()2()f a a a a a λ-≥- （1）由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦ （2）由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦222000()(1)()b a a a λ∴-≤--（3）220[()]()f a a a ≤-,22220(1)[()](1)()f a a a λλ∴-≤-- 220[()]()f b b a ≤-又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤--222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷Ⅱ.文)
web 试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？ 分，共？ 分）1、从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为_______2、设满足约束条件：则的最大值是 .3、设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是4、下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）5、已知a 为实数，展开式中的系数是－15，则.6、设满足约束条件：则的最大值是 .7、下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）二、计算题（每空？ 分，共？ 分）8、已知锐角三角形ABC 中，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高.9、已知等差数列{}，（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n 项和S n .10、已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率11、已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=x ln x.（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a )+g(b)-2g()<(b-a)ln2.参考答案一、填空题1、0.1，0.6，0.32、53、4、②④5、6、57、②④二、计算题8、（Ⅰ）证明：所以（Ⅱ）解：，即，将代入上式并整理得解得，舍去负值得，设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.9、解：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组解得所以的通项公式为（Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.于是得的前n项和10、解；（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为故有一组恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为11、（Ⅰ）解：函数的定义域为.令当当又故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.（Ⅱ）证法一：由（Ⅰ）结论知由题设因此所以又综上证法二：设则当在此内为减函数. 当上为增函数.从而，当有极小值因此即设则当因此上为减函数.因为即。
2004年全国各地高测验题分类解析(函数部分)
04高考函数一）选择题1 (2004. 天津卷)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =(A)(A)42 (B)22 (C)41 (D)21 2. （2004.江苏）若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( A ) (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 23. （2004.江苏）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B ) (A)3 (B)32 (C)43 (D)654．(2004.全国理)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ B ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b1 5．(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)6、（2004.上海理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x. 7、（2004. 上海卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=(A )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x-1. 8．（2004.湖北理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解读式可取为（ C ） A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-9．（2004.湖北理）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A ．41B ．21 C ．2D ．410．（2004. 福建理）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是 （ B ）11 (2004. 天津卷)函数123==x y )01(<≤-x 的反函数是(D)(A))31(log 13≥+=x x y (B))31(log 13≥+-=x x y(C))131(log 13≤<+=x x y (D))131(log 13≤<+-=x x y12．（2004. 福建理）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ D ） A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)13．（2004. 重庆理）函数y =的定义域是：（ D ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]14．（2004. 重庆理）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（C ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 15．（2004. 辽宁卷）对于10<<a ，给出下列四个不等式D ①)11(log )1(log a a a a +<+②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是 A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④(16) (2004. 天津卷)定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数。
高等数学-历年真题
2004年《高等数学》试题一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211x xy --=的定义域是 。
2、=+→xx xx 52tan 30lim。
3、若=-=dxdyx x e y x 则),cos (sin 。
4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 02112)(,=)21(f 则 。
5、设23,32a i j k b i j k c i j =-+=-+=-和,()()a b b c +⨯+=则 。
二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231（ ）（A ）C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 21（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(xyx y x f +=,=），f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)21 8、曲线2,,1===x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx xx )1(21-⎰（C ）dx y dx y)2()12(2121-+-⎰⎰（D ）dx x dx x )2()12(2121-+-⎰⎰9、函数项级数∑∞=-1)2(n nx n的收敛区间是（ ）（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）（A ）210(,)x xdx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10),(yydx y x f dx（C ）⎰⎰12),(y ydx y x f dx （D ）⎰⎰yydx y x f dx 1),(三、简单计算题（每题9分，共36分）11、求极限xx x e x x 30sin )2()2(lim++-→12、求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd 。
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199—1997学年第一学期试卷一、 试解下列各题（7分2⨯）1、 讨论极限x xx cos 22lim 0-→。
2、讨论函数⎩⎨⎧<≥=0x1-x 0x sin )(x x f 在0=x 处的可导性。
二、 试解下列各题（8分3⨯）1、 求)1ln(44)(2++-=x x x x f 的极大值与极小值。
2、 求dx axax⎰cos sin 。
3、计算dx e x ⎰--32||。
三、 （9分）设函数)(t x x =由方程0sin 12=-⎰--du e t t x u 所确定，求022|=t dtx d 的值。
四、 （10分）叙述并证明微积分基本公式。
五、 （8分）一质点沿着抛物线x x y )8(-=运动，其横坐标随时间的变化规律为t t x =，求该质点的纵坐标在点)7,1(M 处的变化率。
六、 （10分）设函数f(x)在[a ,b]上非负连续，求证在[a ,b]上存在一点A ，使直线x=A将曲线y=f(x)与直线x=a,x=b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积二等分。
七、 （8分）已知单位向量,,满足0=++c b a ，计算c a c b b a ⋅+⋅+⋅。
（此题不作） 八、（7分）决定参数k ，使原点到平面62=+-kz y x 的距离等于2。
（此题不作）九、 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=1x x11x ln 2)(x x f ，求函数f(x)的连续区间、间断点，并指出间断点的类型。
1997—1998学年第一学期试卷一、试解下列各题（6分3⨯）1、 求极限x x x 232sec )sin 1(lim -→π。
2、求函数xx ey 1+=的连续区间，若有间断点，指出间断点类型。
2、 求函数)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间。
二、 试解下列各题（7分3⨯）1、 设⎰=20)(x dt t f y ，求22dxyd 。
2、设),0( ln >+=x xe y x 求其反函数的导数。
3、计算dx e x x ⎰⋅2ln 0。
三、试解下列各题（9分2⨯）1、 设{}2,3,4-=，u 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角，求a 在u 轴上的投影。
2、求不定积分⎰xx dx3cos sin 。
四、（11分）轮船航行的费用有两部分组成，每小时的燃料费与速度的立方成正比，（设k 为比例常数）其它费用每小时a 元，问轮船的速度为多大时，可使航行s 公里的费用最小。
五、（10分）若1千克力能使弹簧伸长1厘米，要使弹簧伸长10厘米，问需作多少功。
六、（10分）设)(x Φ具有三阶导数，而且0)(≠Φx ，证明曲线)()(30x x x y Φ-=必有拐点，其坐标为)0,(0x 。
七、（6分）求由曲线x x e y e y -==,和x 轴所围城的图形的面积。
八、（6分）已知⎰<<=+)2x (0 sin )('sin πxdx x f x x ，求)(x f 。
1998—1999学年第一学期试卷一、试解下列各题（5分5⨯）1、 求xx x ln 110)2(sin lim +→+。
2、设f(x)在0x 处可导，求000)()(lim 0x x x f x x xf x x --→。
3、设x x y 22=，求y 的单调减少区间。
4、设dt t t x f b x ⎰=2sin )(，求)2('πf 。
5、求函数21cos )(2-=x x f 的连续区间。
二、 试解下列各题（6分3⨯）1、 求dx xx⎰-1arcsin 。
2、求⎰-1032)1(dx x 。
3、求曲线x y x y cos sin ==和在]23,0[π之间所围城的面积。
三、 试解下列各题（8分3⨯）1、 设0>>a b ，证明不等式a ab a b b a b -<<-ln 。
2、 求dt ex f x t ⎰--=22)1(0)(在（0，2）内的极点，并判断函数图形在（0，2）内是否有拐点。
3、 设)(''x f 连续，1)(,2)0(==πf f ，求⎰+πsin )]('')([xdx x f x f 。
四、（10分）求由曲线x y ln =与直线e x =和x 轴所围城的图形绕直线e x =旋转一周所形成的立体的体积。
五、（8分）已知：ye x y ++=ln 1，求22dxy d 。
六、（7分）求函数)0( 1lim)(>+=∞→x x x x f nnn 的间断点，并指出间断点的类型。
七、（8分）已知x x f 22sec )(tan '=，求)(x f 。
2000—2001学年第一学期试卷一、求下列极限（5分4⨯）1.17315lim 323++++∞→n n n n n2. xx x 3tan )21ln(lim 0+→ 3.)1(lim 1-+∞→xx x π4.])1(sin 2sin [sin 1lim n n n n n n πππ-+++∞→ 二、解下列各题（5分7⨯）1.设)1ln(2x x y ++=,求dy.2.设32)3()2)(1(+++=x x x y , 求)6(y .3. 设)(),(x g x f 具有二阶导数，且x x g f =))((，求)(''),('x g x g4.求 dx x x x ⎰-++1432 5.求⎰eedx x 1|ln |6.求⎰30)(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=1 111)(x xx xe x f x 。
7.求微分方程22'x y xe y -=的通解。
三、（9分）求微分方程t te x x x -=--3'2''的通解。
四、 证明或以反例否定下列命题（5分2⨯） 1. 若)(x f 在点0x 处连续，则)(x f 在点0x 处可导。
2. 设)(),(x g x f 在区间[0，1]上连续，且⎰⎰=11)()(dx x g dx x f ，则存在]1,0[∈c ，使得)()(c g c f =。
五、 证明下列不等式（5分2⨯）1． 对任意的),(,+∞-∞∈y x ，|||arctan arctan |y x y x -≤-。
2． 设)(x f 在区间[0，1]上单调增加，证明对任意的]1,0[∈α，有⎰⎰≤1)()(dx x f dx x f αα。
六、（8分）求函数3232x x y +=的极值。
七、（8分）有圆锥形容器，深15m ，口径20m ，尖朝下并且盛满水，设水的比重为1吨3/m ,将水抽完需作多少功。
2001—2002学年第一学期试卷一、 解下列各题（4X4=16）1、_________)21(lim 3=-∞→xx x解题过程是：2、_______)]1sin[ln(2tan tan lim 2=--→x x x 解题过程是：3、_______sin lim32=-→x xx x 解题过程是： 4、要使函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=0,0,0,)(x b x x a x e x f x 处处连续，a=_____,b=_______.解题过程是： 二、 解下列各题(5X5=25)1、 设函数_____,2ln 1arcsin =+++=dx dyex x y x则解题过程是： 2、 设函数___)()2(lim )(0000=--+→hh x f h x f x x f h 处可导，则在点解题过程是： 3、 摆线2,)cos 1()sin (π=⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 在处切线的斜率=_________,解题过程是：4、 当a>0时，定积分________)(222=-⎰-dx x a x aa，解题过程是：5、 不定积分⎰=________arctan xdx x ，解题过程是：三（8）设函数1223=+++=x cx bx ax y 在处有极小值0，并且函数图形在点（0，2）出有拐点，则常数a=______,b=_______,c=_______.解题过程是： 四（8）求曲线x y x y =-=及曲线22围成的平面图形的面积。
五（8）微分方程02=--'x xyy 的通解是=_______,解题过程是： 六（9）微分方程x xe y y 2=-''的通解是=_______,解题过程是：七（9）设函数___,0sin )(012==-==--⎰x xy t dx dydt ex x y y ，所确定，则由方程==022x dx y d ___解题过程是：八（8）设有一个半径为2米的半球型水池。
开口向上，池中充满了水，求把池中水完全吸尽需要做功多少？ 九（9）证明方程 )2,(0121≥∈=-+++-n N n x x x x n n 在区间(0,1)内必有唯一的实根n x ，并求数列{}n x 的极限n n x lim ∞→。
2002—2003学年第一学期试卷一：解答下列各题：1．123lim 2321+--+-→x x x x x x 的值等于解题过程：2．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,30,sin cos 2222x b x x b xx f 在点0=x 处连续，则=b 。
解题过程：3．设()1cos 22+=x y ，则=dxdy。
解题过程：4．曲线x y ln =在点()1,e 处的切线方程是解题过程： 二：解答下列各题：1．设函数()x y 是由方程⎰⎰=220cos x yt tdt dt e 所确定的函数，则=dxdy 。
解题过程：2．椭圆的参数方程为：()π20,0,0,sin cos ≤≤>>⎩⎨⎧==t b a tb y t a x ，则=dx dy；=22dxyd 解题过程：3．不定积分=⎰xdx x cos 2解题过程：4．不定积分=++⎰dx x xx )tan 1(222解题过程：5．定积分()⎰-=-+11224dx xx解题过程：三：方程025123223=+--x x x 的实根的个数是：。
解题过程：四：曲线2x y =与直线x y =及x y 2=围成的平面图形的面积是：。
解题过程：五：()1微分方程()0122=+-+dx x xy dy x 的通解是：。
解题过程：()2微分方程032=-'-''y y y 的通解是：。
解题过程：六：极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++∞→22222222321lim n n n n n n n n nn 。
解题过程：七：某工厂要将边长为a 米的正方形铁板，四角各截掉一个大小相同的小正方形块，然后把截去后的铁板四边折起，焊成一个无盖长方体形的油箱，要使该油箱容积最大，截掉的小正方形的边长应等于，最大容积等于。