高中数学教案：必修5第一章教学设计(新人教A版).doc
人教版高中数学必修五教案(全册)
人教版高中数学必修五教案(全册)
本教案共包括必修五全部章节，共计 xx 课时，主要涵盖以下
内容：
第一章函数的概念
本章主要介绍函数的概念、性质、分类以及函数图像的绘制等
方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够掌握函数的基本概念，理解函数的重要性以及掌握函数图像的绘制方法。
第二章三角函数
本章主要介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义、图像及其性质等方面的知识点，并针对不同类型的三角函数进
行了详细的讲解。
通过本章的研究，学生将能够深入理解三角函数
的概念，掌握三角函数的性质，运用三角函数解决实际问题。
第三章数学归纳法与递推数列
本章主要介绍数学归纳法的基本原理及其在数学证明中的运用，同时通过递推数列的研究，进一步巩固对数学归纳法的理解和应用。
通过本章的研究，学生将能够掌握数学归纳法的基本原理及其在数
学证明中的应用，同时掌握递推数列的推导与实际应用技巧。
第四章极坐标系与参数方程
本章主要介绍极坐标系的定义、性质，以及参数方程的基本概
念与运用等方面的知识点。
通过本章的研究，学生将能够理解极坐
标系的概念与性质，掌握参数方程的推导与实际应用技巧。
第五章一元函数微积分学初步
本章主要介绍导数与微分、不定积分、定积分等知识点。
通过
本章的学习，学生将能够掌握导数与微分的基本概念与计算方法，
掌握不定积分与定积分的计算方法，以及这些知识在实际问题中的
应用。
高中数学必修五 第一章教案
高中数学必修五第一章教案1．1.1 正弦定理1．1.2 余弦定理1．角度问题1．三角形中的几何计算1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升1．2应用举例距离和高度问题1．1.1 正弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【问题导思】 正弦定理1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c，∴a sin A ＝bsin B＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C .2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： asin A ＝b sin B ＝csin C.2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．【思路探究】 (1)由sin B ＝12能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？(2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝12，∴B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得，C ＝90°； 当B ＝150°时，不合题意，舍去． 由正弦定理可得：b sin B ＝c sin C ＝asin A .故b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin C sin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.1．解答本题时首先应把已知条件sin B ＝12进行转化，把问题化归为已知两角及一边解三角形问题，要注意当B ＝150°时不合题意．2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( ) A.322 B.322C.32D.62【解析】 因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c＝3，根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c sin B sin C＝3×3222＝322.【答案】 A已知两边及一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，若c ＝6，C ＝π3，a ＝2.求A ，B ，b .【思路探究】 (1)条件中已知边c 和其对角C ，又知边a ，能否用正弦定理求得A值？(2)求得A 值后，怎样求其他元素？ 【自主解答】 由a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝22. ∴A ＝π4或A ＝34π.又∵c >a ，∴C >A ，∴只能取A ＝π4，∴B ＝π－π3－π4＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.1．解题时由已知条件用正弦定理直接得到的是sin A 的值，由sin A 求A 可能有两种情况，要根据题意进行取舍．2．在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况如下：角A 为锐角角A 为钝角或直角图形关系式①a ＝b sin A②a ≥b b sin A <a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数一解两解无解一解无解(2013·青岛高二检测)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形的解的情况是( )∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin (B －C )＝0，∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．2．正弦定理的变形公式：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.实际题目中，我们是通过以上两个变形公式完成边化角和角化边的．(2013·淄博高二期中)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 由正弦定理，已知条件可以变形为sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，△ABC 为等腰三角形或直角三角形．易错专练 解三角形时忽视大边对大角致误在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B . 【错解】 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝2sin 45°2＝12， ∴B ＝30°或150°.1．1.2余弦定理高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日【自主解答】 (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角． 由正弦定理，得sin A ＝a csin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. 法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°. (2)法一 由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2＝3＋c 2－23·22c ， 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝2＋6－222－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°. 法二 由正弦定理知sin A ＝a sin Bb ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6＋2432＝6＋22.当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin Csin A＝3×6－2432＝6－22.1．本题的两小题均为已知两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为已知边的对角，故解法不同，解题时应注意体会解法．2．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．若把本例(2)条件改为“b ＝3，c ＝33，B ＝30°”，试解此三角形． 【解】 法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二 由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3. 故a ＝3或6. 已知三边解三角形在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角． 【思路探究】 (1)由a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，如何设出三边的长度？(2)最大内角应该是哪条边所对的角？能否用余弦定理求解？【自主解答】 由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°， 即最大内角为120°.1．本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关键．2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．(2013·洛阳高二检测)边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150° 【解析】 设边长为5、7、8的对角分别为A 、B 、C . 则A <B <C .由题意cos B ＝52＋82－722×5×8＝12.∴cos(A ＋C )＝－cos B ＝－12，∴A ＋C ＝120°.【答案】 B 判断三角形的形状在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状．【思路探究】 可以先利用三边之间的数量关系式，应用余弦定理求A ，再应用三角公式求出另外两角，进而判断△ABC 的形状．【自主解答】 因为(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc ，由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝12，即A ＝60°.又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，且sin A ＝2sin B cosC ，所以sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，所以B ＝C ， 又因为A ＝60°，所以B ＋C ＝180°－A ＝120°，即B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形．1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2>c 2且b 2＋c 2>a 2且c 2＋a 2>b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2<c 2或b 2＋c 2<a 2或c 2＋a 2<b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ．试判断△ABC 的形状． 【解】 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab，等式两边同乘以2abc ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4， ∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2，故△ABC 是以A (或B )为直角的直角三角形.正余弦定理的综合应用(12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【思路点拨】 (1)由已知条件用正弦定理替换变形，找到a ，b 的关系． (2)用余弦定理求cos B 的值进而求B .【规范解答】 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，所以b a＝ 2.6分 (2)由余弦定理及c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.8分由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，所以cos 2B ＝12.10分又cos B >0，故cos B ＝22，∴B ＝45°.12分在三角形中，正、余弦定理可以实现边角转化，通过正、余弦定理就搭建起了边和角关系的桥梁，结合三角知识，既可以求边也可以求角．巩固练习：1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4【解析】 由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴BC ＝213.【答案】 B2．(2013·青岛高二期中)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513 C ．0 D.23【解析】 ∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 为最大角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0. 【答案】 C 3．在△ABC 中，若a 2－c 2＋b 2＝ab ，则cos C ＝________.1角度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日方位角与方向角【问题导思】课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？【提示】老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．图1－2－171．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α°(如图1－2－17)．方位角的取值范围：0°～360°. 2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.俯角、仰角与坡角(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.图1－2－18(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的比．确定航向的角度问题一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)图1－2－19【思路探究】 (1)如图AB ，BC 已知，只要求出它们的夹角ABC 就可以用余弦定理求出AC ，∠ABC 怎样求？(2)∠CAB 怎样求？若求出∠CAB ，航向该怎样表示？【自主解答】 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137°≈113.15.由正弦定理，得BCsin ∠CAB ＝ACsin ∠ABC， sin ∠CAB ＝BC sin ∠ABCAC＝54.0×sin 137°113.15≈0.3255，所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.1．本题中由于A 、C 均为固定点，故所求航向是确定的，只要解出∠CAB 的大小，可用方向角表示出来．2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，π2]上时，用正、余弦定理皆可．如图1－2－20所示，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m ，试计算从A 到D 的方位角和距离．图1－2－20【解】 连接AC ，在△ABC 中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 150°≈1 289 m，由正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ≈860sin 150°1 289≈0.333 6， ∴∠BAC ≈19.5°，∴∠ACB ≈10.5°.在△ACD 中，∠ACD ≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.由余弦定理，得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ≈1 531 m. ∴cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD≈0.911 1， ∴∠CAD ≈24.3°.∴从A 到D 的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.即从A 到D 的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.不确定航向的角度问题某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的等量关系？【自主解答】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)， 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10.在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin 120°， ∴sin ∠CAB ＝BC ·sin 120°AB ＝10×32103＝12. ∴∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B ，画出可以求解的三角形．2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．在甲船A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C处用时为t .由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 120°，∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt . ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0,解得vt ＝－a2(舍去)或vt ＝a . ∴BC ＝a ， 在△ABC 中AB ＝BC ＝a ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°. 60°－30°＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a 海里． 易错辨析题：应用正余弦定理时出现增根致误图1－2－21某观测站C 在A 城的南偏西20°方向上，由A 城出发的一条公路走向是南偏东40°.在C 处测得公路上距C 为31 km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，则这人还要走多远才可到达A 城？【错解】 如题图所示，∠CAD ＝60°，在△BCD 中，由余弦定理，得：cos B ＝BC 2＋BD 2－CD 22BC ·BD ＝312＋202－2122×31×20＝2331. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝12331. 在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠BAC＝24(km)． 在△ACD 中，由余弦定理，得：CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即212＝242＋AD 2－24AD . 所以AD ＝15或AD ＝9，即这人还要走15 km 或9 km 才能到达A 城．【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题意，导致了错误．【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．【正解】 设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理，得：cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17. 所以sin β＝437. 所以sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，由正弦定理，得CD sin 60°＝ADsin α，所以AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)． 即这人还要走15 km 才可以到达A 城．巩固练习：图1－2－221．对右图正确的描述应为( ) A ．东偏北α° B ．东北方向α° C ．北偏东α°【答案】 C2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°【解析】 如图，由题意，知AC ＝BC ，∠ACB ＝80°，∴∠CBA ＝50°，α＋∠CBA ＝60°.∴α＝10°，即A 在B 的北偏西10°.【答案】 B3．△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝7，则cos C ＝( )A ．－15 B.15C.79D.45【解析】 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－840＝－15. 【答案】 A4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．【解】 如图，B ，C 为两灯塔，行驶半小时后船从A 到达D ，由∠ADC ＝75°，∠ADB ＝60°，∴∠BCD ＝∠BDC ＝15°.∴BD ＝BC ＝10，∴AD ＝10×cos 60°＝5.设船速为x ，则12x ＝5，即x ＝10(海里/小时)．课堂小结：1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.布置作业：1．三角形中的几何计算高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日教学过程：步骤、内容、教学活动【问题导思】三角形的面积公式如图，在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a ，h b 和h c .1．你能用△ABC 的边角分别表示h a ，h b ，h c 吗？【提示】 h a ＝b sin C ＝c sin B . h b ＝c sin A ＝a sin C . h c ＝b sin A ＝a sin B .2．你能用边a 与高h a 表示△ABC 的面积吗？【提示】 S △ABC ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12ac sin B . 已知△ABC 中，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，其面积为S ，则：S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B例题讲解： 三角形中的面积计算△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)AB 、AC 是不是C 的两夹边？(2)要使用三角形的面积公式应求哪个角？怎样求？【自主解答】 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ， ∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12. 因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 【解析】 由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32， ∴AC ＝1.由余弦定理得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝22＋12－2×2×1×12＝3. ∴BC ＝ 3.【答案】 3三角形中的证明问题在△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.【思路探究】 去掉括号再考虑用正弦定理求解．【自主解答】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 则a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B ，所以左边＝a sin B －a sin C ＋b sin C －b sin A ＋c sin A －c sin B ＝(a sin B －b sin A )＋(b sin C －c sin B )＋(c sin A －a sin C ) ＝0＋0＋0＝0＝右边，所以原式成立．1．证明本题的关键在于充分借助正、余弦定理实现边角互化．2．恒等式证明通常采用以下三种方法：(1)从等式的左边证到右边；(2)从等式的右边证到左边；(3)对等式的两边同时变形，化为同一个式子．方法的选择原则是从复杂的一边证明到简单的一边．3．证明过程中，要注意三角函数和、差、倍角公式的灵活运用．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.求证sin C sin A＝2. 【证明】 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B .化简可得s in(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. 三角形中的综合问题(2013·黄冈高二检测)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列且cos B ＝35.(1)求cos A sin A ＋cos C sin C的值；(2)设BA →·BC →＝3，求a ＋c 的值． 【思路探究】 (1)结合已知条件，用正弦定理与三角恒等公式求值．(2)用余弦定理解决．【自主解答】 (1)由已知b 2＝ac ，及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，由cos B ＝35，则sin B ＝45. cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ＝54. (2)由BA →·BC →＝3，得ac cos B ＝3，ac ＝3cos B＝5， 由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ×35，得ac ＝a 2＋c 2－65ac ， a 2＋c 2＋2ac ＝215ac ＝21，∴(a ＋c )2＝21.∴a ＋c ＝21.1．本题体现了正、余弦定理在三角形中的综合应用．解答本类综合问题时，还常常用到同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式．2．以下结论也常常用到： (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cosC ，(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 【解】 (1)由已知条件得2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得 7＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60° ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 将b ＋c ＝4代入，得bc ＝3故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.解三角形中的函数思想(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小； (2)求sin A ＋sin B 的最大值．【解析】 由12bc sin A ＝2203，∴c ＝55.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401.∴a ＝49. 【答案】 D3．边长为a 的等边三角形的高为________． 【解析】 高h ＝a sin 60°＝32a . 【答案】32a 4．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，求AC 边上的高． 【解】 设AC 边上的高为h ，由余弦定理知 cos B ＝32＋132－162×3×13＝1313，∴sin B ＝23913，∴S ＝12×3×13×23913＝332×2＝3 3.又S ＝12×4×h ，∴2h ＝33，∴h ＝332，∴AC 边上的高为332.课堂小结：1．对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．2．许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．3．解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日.利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形： (1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.【思路点拨】 已知两边和其中一边的对角解三角形，可以用正弦定理，也可以用余弦定理解决，解题时一定要准确判断解的情况．【规范解答】 (1)∵a >b ，∴B 为锐角，由正弦定理，sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一 由正弦定理sin B ＝ba·sin A ＝1， ∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理c ＝a sin A ·sin C ＝433.法二 设第三边长为c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0， ∴c ＝433，由正弦定理sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a >c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理sin B ＝b a·sin A ＝3>1，无解．已知a ＝5，b ＝53，A ＝30°，解三角形． 【解】 由题可知，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝53×12＝532，∴a >b sin A ，∴本题有两解．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝53×125＝32，∴B ＝60°或B ＝120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝512＝10. 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝5.综上，B ＝60°，C ＝90°，c ＝10或B ＝120°，C ＝30°，c ＝5. 正、余弦定理在三角形中的综合应用正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ．求角A 的大小．【思路点拨】 根据正弦定理，把已知中的角转化成边再求解． 【规范解答】 ∵2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )·si n C ， 由正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .又由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0<A <π， ∴A ＝2π3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B . 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1，因此b ＝2.正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【思路点拨】 由题意图出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．【规范解答】 如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．如图1－1是曲柄连杆机结构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复运动，当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处．设连杆AB 长为340 mm ，曲柄CB 长为85 mm ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(连杆的端点A 移动的距离A 0A )．(精确到1 mm)图1－1【解】 在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＝BC sin C AB ＝85×sin 80°340≈0.246 2.∵BC <AB ，∴A 为锐角，得A ≈14°15′.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(14°15′＋80°)＝85°45′. 由正弦定理，得AC ＝AB sin B sin C ≈340×sin 85°45′0.984 8≈344.3(mm)． ∴AA 0＝A 0C －AC ＝(AB ＋BC )－AC ≈(340＋85)－344.3＝80.7≈81(mm)， 即活塞移动的距离约为81 mm.转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．已知△ABC 中，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 转化第一个已知条件，应用余弦定理求C .转化第二个已知条件，应用正弦定理判断△ABC 的形状．【规范解答】 由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝12，∴C ＝60°. 由a cos B ＝b cos A ，得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴sin(A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 是锐角，则△ABC的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解】 由3b ＝23a sin B ，得bsin B ＝23a 3， 根据正弦定理，得b sin B ＝asin A，1．2应用举例距离和高度问题高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线． 2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高测量中的有关概念1.坡角坡面与水平面的夹角，如图1－2－1所示，α为坡角．图1－2－12．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α，如图1－2－1所示．3．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1－2－2所示)．图1－2－24．铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面．【例题讲解】 求两点间可视但不可到达的距离问题图1－2－3如图1－2－3，在河岸边有一点A ，河对岸有一点B ，要测量A ，B 两点的距离，先在岸边取基线AC ，测得AC ＝120 m ，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝75°，求A ，B 两点间的距离．【思路探究】(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？(2)能用正弦定理求出AB 的长度吗？【自主解答】在△ABC 中，AC ＝120，A ＝45°，C ＝75°则B ＝180°－(A ＋C )＝60°，由正弦定理，得AB ＝AC sin C sin B ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)． 即A ，B 两点间的距离为20(32＋6)m.如图所示，设A (可到达)，B (不可到达)是地面上两点，要测量A ，B 两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC (尽量长)，且使AB ，AC 不共线；(2)测量AC ，∠BAC ，∠BCA ；(3)用正弦定理解△ABC ，得AB ＝AC sin C sin B ＝AC sin C sin 180°－A －C.图1－2－4如图1－2－4，为了开凿隧道，要测量隧道上D ，E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，又测得A ，B 两点到隧道口的距离AD ＝80 m ，BE ＝40 m(A ，D ，E ，B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长．(精确到1 m)。
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
高中数学人教版必修5教案
b Ac a Bcos B。
2.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系3.培养数形结合的能力.二、教学重点: 熟练掌握一元二次不等式的解法;教学难点: 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。
三、教学过程: 1、复习回顾:一元二次方程、二次函数。
2.引入:P 76 互联网的收费问题。
3.一元二次不等式:(1) 一元二次不等式的定义:只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式. (2) 一元二次不等式 的解集:画出二次函数 的图象, 如图, 观察函数图象, 可知:当 x<0, 或x>5时, 函数图象位于x 轴上方, 此时, y>0,即 ； 当0<x<5时, 函数图象位于x 轴下方, 此时, y<0,即 ； 所以, 不等式 的解集是 .(3) 探究一般的一元二次不等式的解法(a>0) 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根a bx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩画出不等式组所表示的平面区域。
(2) 若生产一件甲产品获利2万元, 生产一件乙产品获利3万元, 采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件, 乙产品y 件时, 工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.可以看到, 直线 与不等式组的区域的交点满足不等式组, 而且当截距 最大时, z 取得最大值。
高中数学必修五教案Word
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第一课：二次函数的基本概念和性质
1. 教学目标：
- 了解二次函数的概念和性质
- 掌握二次函数的图像特点
- 能够通过公式确定二次函数的图像
2. 教学内容：
- 二次函数的定义
- 二次函数的一般式和标准式
- 二次函数的图像特点
3. 教学过程：
- 导入：通过实际生活中的例子引入二次函数的概念
- 讲解：介绍二次函数的定义和一般式、标准式的转换方法
- 实例演练：通过例题让学生掌握二次函数的图像特点和变化规律
- 拓展：让学生通过练习巩固所学知识
4. 课堂练习：
1. 求解二次函数f(x)=2x²-4x+3的顶点坐标和对称轴方程
2. 根据二次函数的图像特点，判断下列函数的开口方向：
- a) f(x)=x²+3x-2
- b) f(x)=-2x²+4x-1
5. 课后作业：
- 完成练习册中关于二次函数的练习题
- 总结本课中所学知识，写出二次函数的定义和性质
注意：教案仅供参考，具体内容和教学方式可根据教学情况进行调整。
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版
新课标人教A版高中数学必修5教案完整版一、教学目标1.了解函数的基本概念，能够将现实中的问题转化为函数的形式。
2.理解函数的性质，掌握常用函数的性质及图像特征。
3.能够利用函数的性质，解决实际问题。
二、教学重点1.函数的基本概念；2.常用函数的性质；3.利用函数解决实际问题。
三、预备知识1.初中数学基本概念；2.函数概念的初步了解。
四、教学内容第一节函数基本概念1.函数的定义；2.定义域、值域和对应关系；3.奇偶性、周期性、单调性等基本性质。
第二节常用函数及其性质1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；2.函数的图像特征及性质。
第三节函数的应用1.函数与方程的联系；2.应用题解法：建立函数模型，求解实际问题。
五、教学方法本节课采用“导入-讲解-演示-练习-总结”等教学方法，其中：1.导入：通过举例子，引导学生了解相关概念。
2.讲解：深入浅出，分析函数性质及应用。
3.演示：通过实例，引导学生理解函数的应用。
4.练习：课后布置作业，帮助学生掌握相关知识。
5.总结：概括本节课所学知识，为下一步教学打下基础。
六、教学过程导入教师通过一个实际问题，引导学生思考如何把问题转化为函数的形式，如：某人5年前的年龄是现在年龄的2倍减3年，建立相关函数模型。
讲解1.函数的定义：函数是一种对应关系，它将定义域内的每一个元素都对应唯一的一个值。
2.函数的基本概念：定义域、值域及对应关系等。
3.常用函数的性质及图像：函数的奇偶性、周期性和单调性等。
其中幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等为常用函数。
4.函数的应用：函数与方程的联系以及实际问题的应用，通过建立函数模型，解决实际问题。
演示老师通过现实中的例子，引导学生理解函数的应用，如：电费问题、最小二乘法问题等。
练习1.要求学生掌握函数的基本概念及性质；2.要求学生了解常用函数及其图像特征，掌握函数的基本变换和应用；3.练习题包括基础练习题和应用题，要求学生灵活掌握函数的应用。
人教A版高中数学必修五全册教案
人教A版高中数学必修五全册教案教案：高中数学必修五全册教材：人教A版高中数学必修五教学目标：1.掌握数列概念，能够计算等差数列和等比数列的通项和前n项和；2.理解极限的概念，能够计算函数在其中一点的极限；3.理解一元一次方程、二次方程的根及其性质，能够求解一元一次方程和二次方程；4.理解函数概念，能够绘制简单的函数图像，计算函数值及函数的性质；5.掌握数学应用题的解题方法和技巧。
教学内容：第一单元数列与数学归纳法1.1数列的概念与通项的求法1.2等差数列及其求和公式1.3等比数列及其求和公式第二单元函数与极限2.1函数的概念及表示法2.2函数的图像和性质2.3极限的概念及计算第三单元一元一次方程与不等式3.1一元一次方程与方程的解3.2一元一次方程组与解的性质3.3一元一次不等式及其解第四单元二次函数与一元二次方程4.1二次函数的图像和性质4.2一元二次方程及其性质4.3一元二次方程的解法与应用第五单元测度与图形的性质5.1弧长与扇形面积5.2直线与圆的相交关系5.3平面向量的概念与性质5.4弧度制与角的变化率教学方法：1.通过讲解掌握基本概念与定理，引导学生分析例题，提高解题技巧；2.运用举一反三、归纳法，培养学生的综合运用能力和思维能力；3.坚持理论与实践相结合，通过练习和应用题，巩固知识点和技能；4.引导学生进行思考与讨论，激发学生的兴趣，培养其数学思维。
教学步骤：第一步：导入通过引入相关例子，激发学生的兴趣，预习相关内容，引起学生的思考。
第二步：知识点讲解通过课本中的例题和习题，详细讲解每个知识点的概念、公式、性质、注意事项等。
第三步：练习与讨论学生进行课后习题的练习，老师对错的例题进行解析和讲解，学生之间进行讨论和交流。
第四步：拓展与应用通过一些应用题目，让学生把所学内容应用到实际问题中，提高学生的应用能力。
第五步：总结与归纳对所学内容进行总结归纳，涵盖知识点和解题技巧，为下一节课的学习做好准备。
人教版高中必修五数学教案
人教版高中必修五数学教案
课时：第一课时
教学内容：数学基础概念
教学目标：
1.了解数学的起源和发展历史。
2.理解数学基本概念和术语。
3.掌握数学基础知识。
教学重点、难点：
1.数学的起源和发展历史。
2.数学基本概念和术语的理解。
教学方法：讲授、示范演练、讨论
教具准备：教科书、黑板、彩色粉笔
教学过程：
一、导入：用一个问题引导学生思考数学的起源和意义。
二、讲解：介绍数学的起源和发展历史，引导学生了解数学的重要性。
三、讲解：介绍数学的基本概念和术语，引导学生掌握数学基础知识。
四、示范演练：通过例题演练，让学生掌握数学基础知识。
五、讨论：让学生讨论数学在日常生活中的应用，并分享自己的观点。
六、总结：对本节课的内容进行总结，并布置作业。
教学反思：本节课主要介绍了数学的基础概念和发展历史，通过讲解、示范演练和讨论，让学生深入理解数学的重要性和应用价值。
在未来的教学中，应该注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
新课标高中数学人教A版必修五第一单元教案
新课标高中数学人教A版必修五第一单元教案1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程一.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, 则从而在直角三角形ABC中，思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C 同理可得， b a 从而A cB （2）当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）思考2：还有其方法吗？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点A作单位向量，由向量的加法可得则∴∴，即同理，过点C作，可得从而从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；（2）等价于，，思考：正弦定理的基本作用是什么？①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
高中数学 人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))
无解（B=60°，b=5cm，c= cm） （2） 数列：更换等差、等比数列通项公式与求和公式推导方法， 更换个别问题背景。 （3） 不等式：更换基本不等式发现与证明的过程，直接利用 发 现、导出。 3、调序：三角形面积公式放在余弦定理之前，一元二次不等式教 学改为探究总结解法 应用举例。 4、删除：删除习题与复习参考题中超过学生能力的题目。 5、整合：三角形、数列、不等式建模整合复习；部分探究与发现 与课堂教学整合；“阅读与思考”与研究性学习整合。 6、教学体系重新构建（略）。 三、 实施过程 （一） 教学资源分析： 1、 教师资源：专业水平、团体力量、 2、 学情分析：大部分来自城市，具有一定的数学基础，知识结构 有待于进一步完善等。 3、 设备资源；校园网、计算机、投影、课件、几何模型、学生用 计算器等。 （二） 教学流程设计 1、 解三角形：从回顾三角形的边角关系入手，探索正弦定理和余 弦定理；通过解三角形训练，掌握正弦定理和余弦定理；通过对实际 问题的测量和几何计算，培养应用所学知识解决问题的能力。
第 7 页，共 10 页 郑州市第二中学
引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法，不必在恒等 变形上进行过于繁琐的训练。 2、 等差数列和等比数列教学中，要重视通过具体实例抽象出这两 种数列的特征， 使学生理解这两种数列类型的作用， 感受其广泛应用， 培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。 3、 在数列中，应保证基本的训练，引导学生必要的练习，掌握数 列中各量之间的基本联系，体会化归与方程的思想方法。训练要控制 难度和复杂程度。 4、 不等式教学中， 应注意使学生了解一元二次不等式与二元一 次不等式的实际背景；通过举反例或推理论证，初步理解不等式的基 本性质，了解不等式与等式的区别与联系，通过几何意义、推理论证 及简单应用理解基本不等式 。 5、 应通过探索一元二次不等式、相应的方程和函数的关系，体会 函数、方程、不等式的关系，掌握一元二次不等式的图象解法，了解 代数解法，尝试设计求解一元二次不等式上午程序框图。 6、 应通过直观描述，理解画二元一次不等式所表示的平面区域的 基本原理和方法，体会线形规划的基本思想，并能借助几何直观解决 一些简单的线形规划问题。 7、 本学段教学中，要坚持由具体到抽象，由特殊到一般的原则， 重视引导学生对公式、 性质、 原理的理解， 通过适当的有针对性训练， 培养学生的推理运算能力。
高中数学 1.1.1正弦定理教学设计 新人教A版必修5(1)
第一章解三角形1.1.1正弦定理教材分析与导入三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。
正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
教学难点用向量法证明正弦定理。
虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。
突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。
用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。
教学建议正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。
此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。
它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。
高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习.教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形.2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用.3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用.二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，b 2=a 2+c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ;abc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形.生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积.师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习.推进新课 多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式 适用类型 备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C(1) 已知三边 （2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和类型（3）在有解时只有一解，R CcB b A a 2sin sin sin === 一边（4）已知两边及其中一边的对角类型（4）可有解、一解和无解三角形面积公式S ＝21bc sin A =21ac sin B =21ab sin C (5)已知两边及其夹角生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为_________. 生 这个题目以前做过的，A 与B 的大小关系不定． 师 对吗？生 我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2sin sin sin ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简. 师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧. 生 不对，应该先化简等式右边，得(A +B )2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得 ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan 2C=2．从而有344142tan 12tan2tan 2-=-=-=C CC ． 师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？ 生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式． 生 还有余切的二倍角公式． 师 你能总结这类题目的解题思路吗？生 拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口． 师 对，你讲得很好．生 正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 c m 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值. 师 本题是应用题，怎么处理？生 由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决.分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论. 解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠M OA =θ，则|MP|=20sinθ,|OP |=20co sθ, 从而S=400sinθco sθ=200sin2θ， 即当4πθ=时，S m a x =200.按图（2）的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q 中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin 2340120sin sin 20=︒.又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以 S=|MQ |·|MN |=331600sinθsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］. 所以当θ=30°时，S m a x =33400. 由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2. 评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决.【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.师 接下来怎么做呢？生 因为co sθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值． 师cosθ的最小值怎么求呢？ 生 因为cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞2. 又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． （教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ.因为cosθ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co sθ的最小值，且cosθ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2． 因此，当n=3时，（cosθ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ） A.26- B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．7B ．8.2C ．10.3D ．9.83.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） A.d 1＞d 2B.d 1=d 2C.d 1＜d 2D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：1.C 2.D 3.C 4.等腰5.70°课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式.生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理.生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题.生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式.生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是: （1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值X 围是__________．2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,13)2.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=•-+=-+=+BA B A B A ． 因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ），AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠•∠=ABC BCA AB AC ,所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 本章复习例1 例3 例2 例4(投影区)备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角； （3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B c a(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．90°≤A ＜180°0°＜A ＜90°a ＞b 一解 一解 a =b 无解 一解a ＜b无解A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
高中数学 人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))
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高 中 数 学 课 程 纲 要
人民教育出版社（高中课程标准实验教科书）（必修 5）
课程类型：必修 授课教师： 一、课程目标 （一） 解三角形 1、在已知三角形边角关系的基础上，经历探索正弦定理和余弦定 理的过程，发现新的三角形边长与角度之间的数量关系。 2、 掌握正弦定理和余弦定理。 3、 运用正弦定理、余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。 4、培养分析、解决实际问题的能力与推理运算能力。 （二） 数列 1、通过观察、分析，感受数列是反映自然规律的基本数学模型， 是一种特殊的函数，并感受等差、等比数列模型的广泛应用。 2、通过对日常生活中大量实际问题的分析，归纳，抽象出等差数 列与等比数列的基本特征，经历探索等差、等比数列的通项公式与求 和公式的过程，感受倒序求和、错项相减等思想方法。 3、掌握等差数列和等比数列，会用它们解决一些实际问题。 4、体会归纳、演绎方法，进一步培养推理运算能力。 （三）不等式 1、通过具体情况，感受不等关系的广泛性，理解不等式（组）对 于刻画不等关系的意义与价值。
引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法，不必在恒等 变形上进行过于繁琐的训练。 2、 等差数列和等比数列教学中，要重视通过具体实例抽象出这两 种数列的特征， 使学生理解这两种数列类型的作用， 感受其广泛应用， 培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。 3、 在数列中，应保证基本的训练，引导学生必要的练习，掌握数 列中各量之间的基本联系，体会化归与方程的思想方法。训练要控制 难度和复杂程度。 4、 不等式教学中， 应注意使学生了解一元二次不等式与二元一 次不等式的实际背景；通过举反例或推理论证，初步理解不等式的基 本性质，了解不等式与等式的区别与联系，通过几何意义、推理论证 及简单应用理解基本不等式 。 5、 应通过探索一元二次不等式、相应的方程和函数的关系，体会 函数、方程、不等式的关系，掌握一元二次不等式的图象解法，了解 代数解法，尝试设计求解一元二次不等式上午程序框图。 6、 应通过直观描述，理解画二元一次不等式所表示的平面区域的 基本原理和方法，体会线形规划的基本思想，并能借助几何直观解决 一些简单的线形规划问题。 7、 本学段教学中，要坚持由具体到抽象，由特殊到一般的原则， 重视引导学生对公式、 性质、 原理的理解， 通过适当的有针对性训练， 培养学生的推理运算能力。
新课标高中数学人教A版必修五全册教案第一章复习
第一章 复习一、基本知识复习： 知识结构：二、举例分析例1、在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+Q ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<Q ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =πQ ， AB ∴边最大，即17AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭Q ，，，， ∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin A = 由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C==g 所以，最小边2BC = 例2、在ABC △中，已知内角A π=3，边3BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知 23sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 正弦定理 余弦定理 解三角形应用举例2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭， （2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 例3、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =u u u r u u u r g ，且9a b +=，求c ． 解：（1）sin tan cos C C C =∴=Q 又22sin cos 1C C +=Q 解得1cos 8C =±． tan 0C >Q ，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =u u u r u u u r Q g ， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=．又9a b +=Q 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=， 两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得13BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==g g ， 所以60C =o ．三、作业：《习案》作业八。
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数学5 第一章解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置
相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知
识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。
比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。
学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。
针对这些实际情
况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。
在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。
如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。
在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。
对于一些常见的测量问题
甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的
解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强
学生应用数学的意识和数学实践能力。
教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际
测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。