第四章随机事件及其概率

1 0.4 0.2 0.1 0.992
全概公式
设事件 A 1 , A 2 , , A n 是 n 个互不相容的事件 , 且事件 B A1 A 2 A n，则有 P ( B ) P ( A1 B A 2 B A n B ) P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A 2 ) P ( B A 2 ) P ( A n ) P ( B A n )
r3 7, P ( B ) 7 8 。
古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念
Cm
n
m! n ! m n !
例3 从0，1，2, …，9共10个数字中任取3 个不同 的数字，求三个数字中不含0，5的概率。 解 从0，1，2, …，9共10个数字中任取3个共有
C 10
几个重要的事件运算的式子
( 1 ) AB A , AB B ;
(2) A A B , B A B;
( 3 ) A B A B A AB ;
( 4 ) A B A A B B A B A B AB A B ;
( 5 ) A B A B , AB A B .
解 设H表示某个孩子是男孩,T表示某个孩子是女孩。 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} n 8 3 A={HTT,TTH,THT}, r1 3, P ( A) ; 8 1 B={HHH}， r2 1, P ( B ) ;
8
D={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}

n
P ( Ai ) P ( B Ai )
i 1
例13 在某厂有甲,乙,丙三台机器生产同一型号产品, 它们的产量各占30%,35%,35%,且在各自的产品中废品率分 别为5%,4%,3%,求从该厂这种产品中任选一件是废品的概率。 解 设B=“从该厂任取一件是废品”,
排列三：彩票总数=10×10×10 = 1000， 中一等奖率=1/1000 36选7：
彩票总数 C 36
7
8347680 7！ ！ 29
1 1 . 2 10
7
36！
中一等奖率=
8347680
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次， 每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，
n n n
共有nk种排列方式.
n
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径 有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有 n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）
乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方 法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
P ( A1 ) 0 . 6 , P ( A 2 A1 ) 0 . 8 , P ( A 3 A1 A 2 ) 0 . 9 .
P ( A 2 | A1 ) 1 P ( A 2 | A1 ) 1 0 .8 0 .2
P ( A ) P ( A1 ) P ( A1 A 2 ) P ( A1 A 2 A3 )
解
样本空间为
{1，， 4， 6 } 2 3， 5，
P ( A) 1 6 ; 3 6 1 2 2 6 ; 1 3 ;
事件 A={掷出1点}
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
P (B )
事件 C {出现的点数大于4} 5,6 . P ( C )
例2 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,设A=“恰有一个男孩”，B=“三个均为男孩”，D=“至少 有一个男孩”,P(A),P(B),P (D)概率是多少?
中任抽2个球，求:①取到 “2白” ;②“1红1白”的概率;③
求取到“至少 1白”的概率。 解 设A=“取到2白”,B=“取到1红1白” ； C=“至少 1白” = “2白”或“1白1红”=A+B
n C ,
2 5
r1 C
2 3
3； P ( A )
1
C3 C
2 5
2
r2 C C
P ( A) ; 400
P ( A B） P ( AB ) P(B )
男
女 40 160 200
总数 60 340 400
20
20 200 1 10 .
优秀 20 一般 180 总数 200
概率的乘法公式
P ( AB ) P ( A ) P ( B A ), P ( A ) 0 ; P ( AB ) P ( B ) P ( A B ), P ( B ) 0 .
1 3
1 2
3 2 6； P ( B )
1 3 1 2
C 3C C
2 5 1 2
3 5
3 10
r3 C
2 3
C C
3 3 2 9;
P (C ) P ( A B )
9 10
.
答:取到2白的概率为3/10；取到1红1白的概率为3/5； 取到“至少 1白”的概率为9/10.
解 设A=“取到2白”,B=“取到1红1白”，C=“至少1白” ； C=“至少 1白” = “2白”或“1白1 2 C 3 红”=A+B 1 1
P ( A)
3
C5
2

10
P (B )
C 3C 2 C
2 5

3
5
3 3 5 9 10 .
P (C ) P ( A B ) P ( A ) P ( B )
P ( A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A 2 )
0.60＋ 0.4 0.8 0.4 0.2 0.9 0.992
亦可：
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A1 A 2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A 2 | A1 ) P ( A3 | A1 A 2 )
概率的加法公式
(1)当 A ， B 互不相容时，有 P ( A B ) P ( A) P ( B )
（2）对任意事件
A ， B ，有 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB );
（3 P ( B A ) P ( B ) P ( AB ); ） ( 4 ) P ( A ) 1 P ( A ).
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ) 0 . 3 0 . 4 0 . 2 0 . 5
P ( A B ) 1 P ( A B ) 1 0 .5 0 .5 .
例9 抽球问题 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒
中任抽2个球，求取到“至少 1白”的概率。
例11 在10个产品中，有2个次品，不放回地抽取2个， 每次取1个，求:（1）取到两件都是次品的概率是多少？ （2）第一次取到次品第二次取到正品的概率是多少？ 解 设A=“第一次取到次品”，B=“第二次取到次品”
（1 P ( A ) ） 2 10 1 5 , P (B A) 1 9 , P ( AB ) P ( A ) P ( B A )
随机事件的概率
随机事件的概率是度量随机事件发生可能性大小的一 个数量指标。 一般随机事件的概率具有下面性质：
（1 0 P ( A ) ห้องสมุดไป่ตู้1 ; ） (2) P ( ) 0, P ( ) 1.
古典概型
具有下列特点的试验称为古典概型：
(1)每次试验只有有限种可能的试验结果；
(2)每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的试验结
1 5 1 5 1 9 8 9 1 45 8 45 。 ；
（2） P ( A )
2 10

1 5
, P (B A)
8 9
, P ( AB ) P ( A)P (B A)
条件概率下的加法公式 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A) P ( B A) ，
B
AB A
(可以推广到有限个事件和的概率)

例7 已知事件A，B互不相容，P(A)=0.3，P(B)=0.4， 求P(A+B)= ？
因为A，B互不相容，
所以 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
0 .3 0 .4 0 .7
例8 已知事件A，B的概率为P(A)=0.3，P(B)=0.4， P(AB)=0.2,求 P ( A B ).
10
条件概率
定义 设事件A,B,若P(B)>0,称
P(A B) P ( AB ) P (B ) ,
B
ABA

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 例10 某厂有400名职工，其中有男女职工各一半，男 女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职 工，试问:（1）该职工是技术优秀的概率是多少？（2）已 知选出的是男职工，他技术是优秀的概率是多少？ 解 设A=“技术优秀职工”，B=“男职 工” 60 3
果, 因此每个基本事件发生的概率为
1 n
, 如果事件A包
r n
含有r个基本事件, 则事件A发生的概率则为
P( A) r n A中样本点数 中样本点总数

.
A 所包含的基本事件数 基本事件总数
例1 掷一枚均匀的骰子，求(1)“出现1点”的概率； (2)“出现奇数点” 的概率;(3) “出现 大于4点”的概率 .