[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编18.doc
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数三考研真题及答案
数三考研真题及答案数学是考研数学一和数学二中的一门科目，也是许多考生最为关注的科目之一。
为了更好地备考数学，考生们普遍会通过做真题来提高自己的解题能力。
本文将为大家提供一份数学三（数三）考研真题及答案，希望对考生们的备考有所帮助。
一、选择题1. 集合A由m个不同的整数组成，集合B由n个不同的整数组成，A与B有r个公共元素。
则A与B的并集有几个元素？A. m + nB. m + n - rC. m + n + rD. m - n + r答案：B2. 设函数f(x) = x^n，其中n为大于1的正整数。
若f(2+x) = f(2-x)，则x的值为多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A二、填空题1. 若f(x) = x^2 + 1，则f(a) + f(-a)的值为________。
答案：22. 设A为一个n阶方阵，若A^2 = A，则称A满足条件________。
答案：幂等矩阵三、解答题1. 解方程组：2x + 4y = 103x - 2y = 7解答：首先，将第二个方程两边同乘以2，得到方程6x - 4y = 14。
然后，将第一个方程和得到的方程相加，得到8x = 24，解得x = 3。
将x的值代入第一个方程，得到3*2 + 4y = 10，解得y = 1。
因此，方程组的解为x = 3，y = 1。
2. 求函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域。
解答：首先，根据指数函数的定义域可知，e^x的定义域为实数集R。
其次，根据对数函数的定义域可知，ln(1 - x)的定义域为(-∞, 1)。
因此，函数f(x) = e^xln(1 - x)的定义域为x < 1。
以上就是数学三（数三）考研真题及答案的部分内容。
希望通过这些题目的练习，考生们能够提高自己的解题能力，为考研数学的顺利通过打下坚实的基础。
祝愿所有的考生都能在考试中取得优异的成绩！。
近年考研数学三线性代数部分题目整合
线性代数-考研题第一章 行列式一．选择题1． （95）若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式m =|,,,|1321βααα，n =|,,,|3221αβαα，则四阶行列式|)(,,,|21321ββααα+等于（ ） （A ）n m +． （B ）)(n m +−．（C ）m n −．（D ）n m −．二．填空题：1． （96）五阶行列式=−−−−−−−−−=aa a aa aa aaD 110001100011000110001 ． 2． （97）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0111110111110111110111110L L L L L L L L L L L A ，则=||A ． 3． （99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=n n j i X ijL 独立同分布，2)(=ij X E ，则行列式 nnn n n n X X X X X X X X X Y L LLL L L L 212222111211=的数学期望=)(Y E ．4． （01）设行列式2235007022220403−−=D ，则第四行各元素余子式之和的值为 ．5． （05）设321,,ααα均为三维列向量，记三阶矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ．如果1||=A ，那么=||B ．6． （06）已知21,αα为2维列向量，矩阵),2(2121αααα−+=A ，),(21αα=B ．若行列式6||=A ，则=||B ．第二章 矩阵一．选择题：1． （96）设n 阶矩阵A 非奇异)2(≥n ，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则（ ）（A ）A A A n 1||*)*(−=． （B ）A A A n 1||*)*(+=． （C ）A A A n 2||*)*(−=．（D ）A A A n 2||*)*(+=．2． （97）设B A ,为同阶可逆矩阵，则（ ）（A ）BA AB =．（B ）存在可逆矩阵P ，使B AP P =−1． （C ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T =． （D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使B PAQ =． 3． （98）设)3(≥n n阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A ， 若矩阵A 的秩为1−n ，则a 必为（ ） （A ）1．（B ）n−11． （C ）1−． （D ）11−n ． 4． （01）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=00010100001010001P ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10000010010000012P ，其中A 可逆，则1−B 等于（ ） （A ）211P P A −．（B ）211P A P −．（C ）121−A P P ．（D ）112P A P −．5． （02）设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 分别为B A ,对应的伴随矩阵，分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ，则C 的伴随矩阵=*C （ ）（A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B B O O A A ． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A A O O B B ． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||A B O O B A ． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛*||*||B A O O A B ． 6． （03）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ． （C ）b a ≠且02=+b a ． （D ）b a ≠且02≠+b a ． 7． （04）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ）（A ）当)0(||≠=a a A 时，a B =||．（B ）当)0(||≠=a a A 时，a B −=||．（C ）当0||≠A 时，0||=B ． （D ）当0||=A 时，0||=B ．8． （05）设矩阵33)(×=ij a A 满足T A A =*，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵，若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为（ ）（A ）33． （B ）3． （C ）31． （D ）3．9． （05）设C B A ,,均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若AB E B +=，CA A C +=，则C B −为（ ） （A ）E ． （B ）E −． （C ）A ． （D ）A −．10．（06）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的−1倍加到第2列得C ，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100010011P ，则（ ）（A ）AP P C 1−=． （B ）1−=PAP C ． （C ）AP P C T =． （D ）T PAP C =．11．（08）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若O A =3，则（ ）（A ）A E −不可逆，A E +不可逆． （B ）A E −不可逆，A E +可逆． （C ）A E −可逆，A E +可逆． （D ）A E −可逆，A E +不可逆． 12．（09）设B A ,均为2阶矩阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵，若3||,2||==B A ，则分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O 的伴随矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *2*3． （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O A B O *3*2． （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *2*3． （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛O B A O *3*2． 13．（09）设P A ,均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200010001AP P T ，若),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则AQ Q T 为（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200011012．（B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200021011．（C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200010002．（D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020001．14．（11）设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得单位矩阵，记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000110011P ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******P ，则=A （ ）（A ）21P P ．（B ）211P P −．（C ）12P P ．（D ）112−P P ．15．（12）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−2111AP P ，),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则=−AQ Q 1（ ） （A ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛121． （B ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛211． （C ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛212． （D ）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛122． 二．填空题：1． （95）设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为 ．2． （98）设矩阵B A ,满足E BA BA A 82*−=，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001A ，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则=B ．3． （98）设B A ,均为n 阶矩阵，3||,2||−==B A ，则=−|*2|1B A ．4． （99）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=−−12n n A A ．5． （99）已知A B AB =−，其中⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B ，则=A ．6． （00）设T )1,0,1(−=α，矩阵T A αα=，n 为正整数，则=−||n A aE ．7． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A 秩，则=k ．8． （02）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A ，E A A B 232+−=，则=−1B ．9． （03）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T L α，T E A αα−=，T aE B αα1+=，E 是n 阶单位矩阵，其中A 的逆矩阵为B ，则=a ．10．（03）设B A ,均为三阶矩阵，E 三阶单位矩阵，已知B A AB +=2，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=202040202B ，则=−−1)(E A ．11．（04）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100001010A ，AP P B 1−=，其中P 为三阶可逆矩阵，则=−220042A B ．12．（06）设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则=B ．13．（07）设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000100001000010A ，则3A 的秩为 ．14．（10）设B A ,为3阶矩阵，且2||,2||,3||1=+==−B A B A ，则=+−||1B A ．15．（12）设A 为3阶矩阵，3||=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则=|*|BA ． 三．解答题：1． （95）已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵．2． （97）设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A IP T *0α，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=b A Q T αα，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵． （1）计算并化简PQ ；（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T ≠−αα1．第三章 线性方程组一．选择题：1． （96）设有任意两个n 维向量组α1, …, αm 和β1, …, βm ，若存在两组不全为零的数λ1, …, λm 和k 1, …, k m ，使 (λ1 + k 1)α1 + … + (λ m + k m )α m + (λ1 − k 1)β1 + … + (λ m − k m )β m = 0，则（ ） （A ）α1, …, α m 和β1, …, β m 都线性相关． （B ）α1, …, α m 和β1, …, β m 线性无关． （C ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性无关． （D ）α1 + β1 , … , α m + β m , α1 − β1 , … , α m − β m 线性相关．2． （97）设向量组α 1, α 2, α 3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 + 2α 2 + α 3．（C ）α 1 + 2α 2 , 2α 2 + 3α 3 , 3α 3 + α 1． （D ）α 1 + α 2 + α 3 , 2α 1 − 3α 2 + 22α 3 , 3α 1 + 5α 2 − 5α 3 ． 3． （97）非齐次线性方程组AX = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ ）（A ）r = m 时，方程组AX = b 有解． （B ）r = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （C ）m = n 时，方程组AX = b 有唯一解． （D ）r < n 时，方程组AX = b 有无穷多解． 4． （98）齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,03213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B ≠ O 使得AB = O ，则（ ）（A ）λ = −2且 | B | = 0． （B ）λ = −2且 | B | ≠ 0． （C ）λ = 1且 | B | = 0． （D ）λ = 1且 | B | ≠ 0． 5． （98）若向量组α, β, γ 线性无关，α, β, δ 线性相关，则（ ）（A ）α必可由β, γ, δ线性表示． （B ）β必不可由α, γ, δ线性表示．（C ）δ必可由α, β, γ线性表示． （D ）δ必不可由α, β, γ线性表示． 6． （99）设向量β可由向量组α 1 , α 2 , …, α m 线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α 1 , α 2 , …, α m −1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α 1 , α 2 , …, α m −1 , β ，则（ ） （A ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示． （B ）α m 不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示． （C ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示． （D ）α m 可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．7． （00）设α 1, α 2, α 3是四元非齐次线性方程组AX = b 的三个解向量，且秩(A ) = 3 ，α 1 = (1, 2, 3, 4)T ，α 2 + α 3 = (0, 1, 2, 3)T ，c 表示任意常数，则线性方程组AX = b 的通解X =（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c ．（B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c ．（C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c ．（D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c ．8． （01）设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若秩=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0TααA秩(A )，则线性方程组（ ） （A ）AX = α必有无穷多解．（B ）AX = α必有唯一解．（C ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα仅有零解． （D ）00T=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛y X Aαα必有非零解． 9． （02）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，则线性方程组 (AB ) X = θ（ ）（A ）当n > m 时仅有零解． （B ）当n > m 时必有非零解． （C ）当m > n 时仅有零解． （D ）当m > n 时必有非零解． 10．（03）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）（A ）若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … + k s α s ≠ θ ，则α 1 , α 2 , …, αs线性无关．（B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , …, k s ，都有k 1α 1 + k 2α 2 + … +k s α s = θ ．（C ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）α 1 , α 2 , …, α s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 11．（04）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A * ≠ O ，若ξ 1, ξ 2, ξ 3, ξ 4是非齐次线性方程组Ax = b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax = θ 的基础解系（ ） （A ）不存在． （B ）仅含一个非零解向量． （C ）含两个线性无关的解向量． （D ）含三个线性无关的解向量．12．（06）设α 1 , α 2 , …, α s 均为n 维列向量，A 是m × n 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （B ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性相关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关． （C ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性相关． （D ）若α 1 , α 2 , …, α s 线性无关，则A α 1 , A α 2 , …, A α s 线性无关．13．（07）设向量组α 1 , α 2 , α 3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）α 1 − α 2 , α 2 − α 3, α 3 − α 1． （B ）α 1 + α 2 , α 2 + α 3, α 3 + α 1． （C ）α 1 − 2α 2 , α 2 − 2α 3, α 3 − 2α 1． （D ）α 1 + 2α 2 , α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1． 14．（10）设向量组I ：r ααα,,,21L 可由向量组II ：s βββ,,,21L 线性表示，下列命题正确的是（ ）（A ）若向量组I 线性无关，则s r ≤．（B ）若向量组I 线性无关，则s r >．（C ）若向量组II 线性无关，则s r ≤． （D ）若向量组II 线性无关，则s r <．15．（11）设A 为34×矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组β=Ax 的3个线性无关的解，21,k k 为任意常数，则β=Ax 的通解为（ ）（A ）)(212132ηηηη−++k ．（B ）)(212232ηηηη−+−k ． （C ）)()(212213132ηηηηηη−+−++k k ．（D ）)()(213312232ηηηηηη−+−+−k k ．16．（12）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=4433221111,11,10,00c c c c αααα，其中4321,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）321,,ααα．（B ）421,,ααα．（C ）431,,ααα．（D ）432,,ααα．二．填空题：1． （02）设向量组α 1 = (a , 0, c ) , α 2 = (b , c , 0) , α 3 = (0, a , b )线性无关，则a , b , c 必满足关系式 ．2． （02）设三阶矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=403212221A ，三维列向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a α．已知A α 与α 线性相关，则a = ．3． （05）设行向量组 (2, 1, 1, 1), (2, 1, a , a ), (3, 2, 1, a ), (4, 3, 2, 1) 线性相关，且a ≠ 1，则a = ．三．解答题：1． （95）设A 是m × n 矩阵，B 是n × m 矩阵，E 是n 阶单位矩阵（m > n ），已知BA = E ，试判断A 的列向量组是否线性相关？为什么？ 2． （95）k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−=++42,,43212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解．3． （96）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−−−=+++−=+−+=+−+,6,1723,1462,0324321432143214321t x x x x x px x x x x x x x x x x 讨论参数p , t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．4． （98）设已知下列非齐次线性方程组（I ），（II ），（I ）⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−−−=−+,33,14,623214321421x x x x x x x x x x （II ）⎪⎩⎪⎨⎧+−=−−=−−=−−+.12,112,434324321t x x x x nx s x x mx x（1）求解方程组（I ），用其导出组的基础解系表示通解；（2）当方程组（II ）中的参数m , n , s , t 为何值时，方程组（I ）与（II ）同解． 5． （99）已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0,0322212321321x c x b x a cx bx ax x x x （1）a , b , c 满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a , b , c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解．6． （00）设向量组α 1 = (a , 2, 10)T , α 2 = (−2, 1, 5)T , α 3 = (−1, 1, 4)T , β = (1, b , c )T ．试问：满足什么条件时，（1）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，且表示唯一？ （2）β 不能由α 1, α 2, α 3线性表出？（3）β 可由α 1, α 2, α 3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式． 7． （02）设四元齐次线性方程组（I ）为⎩⎨⎧=−++=−+,02,0324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 α 1 = (2, −1, a +2, 1)T , α 2 = (−1, 2, 4, a +8)T ，（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解． 8． （02）设齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++,0,0,0321321321nn n ax bx bx bx bx bx ax bx bx bx bx ax L L L L L L L L L L 其中a ≠ 0, b ≠ 0, n ≥ 2．试讨论a , b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解． 9． （03）设向量组（I ）：α 1 = (1, 0, 2)T , α 2 = (1, 1, 3)T , α 3 = (1, −1, a +2)T 和向量组（II ）：β 1 = (1, 2, a +3)T ,β 2 = (2, 1, a +6)T , β 3 = (2, 1, a +4)T ．问：a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）等价；a 为何值时，向量组（I ）与向量组（II ）不等价． 10．（03）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211n n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 其中01≠∑=ni i a ，试讨论a 1 , a 2 , …, a n 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．11．（04）设α1 = (1, 2, 0)T ，α 2 = (1, a + 2, −3a )T ，α 3 = (−1, −b − 2, a + 2b )T ，β = (1, 3, −3)T ，试讨论a , b 为何值时，（1）β 不能由α1 , α 2 , α 3线性表示；（2）β 可由α1 , α 2 , α 3唯一地线性表示，并求出表达式；（3）β 可由α1 , α 2 , α 3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．12．（04）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++=+++.14)4()2(3,022,0432143214321x x x x x x x x x x x x µλµλ 已知 (1, −1, 1, −1)T 是该方程组的一个解，试求（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足x 2 = x 3的全部解． 13．（05）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 （ii ）⎩⎨⎧=+++=++0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a , b , c 的值．14．（06）设4维向量组α 1 = (1 + a , 1, 1, 1)T , α 2 = (2, 2 + a , 2, 2)T , α 3 = (3, 3, 3 + a , 3)T , α 4 = (4, 4, 4, 4 + a )T ，问a 为何值时α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关？当α 1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关时，求一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．15．（07）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321x a x x ax x x x x x ①与方程x 1 + 2x 2 + x 3 = a − 1 ②有公共解，求a 的值及所有公共解．16．（08）设n 元线性方程组AX = b ，其中nn a a a aa A ×⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2121222O O O ，X = (x 1, …, x n)T ，b = (1, 0, …, 0)T， （1）证明行列式 | A | = (n + 1)a n ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，求x 1； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解．17．（09）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=240111111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=2111ξ， （1）求满足12ξξ=A ，132ξξ=A 的所有向量32,ξξ； （2）对（1）中任一向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关．18．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=λλλ1101011A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11a b ．已知线性方程组b Ax =存在两个不同的解，（1）求a ,λ；（2）求方程组b Ax =的通解．19．（11）T T T )5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由T T T a )5,3,1(,)3,2,1(,)1,,1(321===βββ线性表出．（1）求a ；（2）将321,,βββ由321,,ααα线性表出．20．（12）设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100100010001a a a a A ，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0011b ， （1）求||A ；（2）已知线性方程组b Ax =有无穷多解，求a ，并求b Ax =的通解．第四章 向量空间一．选择题：1． （00）设A 为n 阶实矩阵，A T 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：AX = O 和（Ⅱ）：A T AX = O ，必有（ ） （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解． （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解． （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解． （D ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解． 二．填空题：1． （04）设A = (a i j ) 3×3是实正交矩阵，且a ii = 1, b = (1, 0, 0)T ，则线性方程组AX = b 的解是 ． 三．解答题：1． （01）设α i = (a i 1 , a i 2 , …, a in )T (i = 1, 2, …, r , r < n ) 是n 维实向量，且α 1, α 2, …, α r 线性无关．已知β = (b 1, b 2, …, b n )T 是线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n rn r r nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L L L L 的非零解向量．试判断向量组α 1, α 2, …, α r , β的线性相关性．第五章 特征值与特征向量一．选择题：1． （95）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件．（B ）充分而非必要条件．（C ）必要而非充分条件．（D ）既非充分也非必要条件．2． （95）设λ = 2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1231−⎟⎠⎞⎜⎝⎛A 有一特征值等于（ ）（A ）34．（B ）43．（C ）31．（D ）41．3． （99）设A , B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）（A ）λE − A = λE − B ．（B ）A 与B 有相同的特征值和特征向量． （C ）A 与B 都相似于同一个对角矩阵． （D ）对任意常数t ，tE − A 与tE − B 相似．4． （02）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α 是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P −1AP )T 属于特征值λ 的特征向量是（ ）（A ）P −1α ． （B ）P T α ． （C ）P α ． （D ）(P −1)T α ．5． （03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，则秩（A − 2E ）与秩（A − E ）之和等于（ ）（A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）5．6． （05）设λ1 , λ 2是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α 1 , α 2 ，则α1 , A (α 1 + α 2)线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）λ1 = 0． （B ）λ 2 = 0． （C ）λ1 ≠ 0． （D ）λ 2 ≠ 0．7． （10）设A 为4阶实对称矩阵，且O A A =+2，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）（A ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛0111． （B ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−0111． （C ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−0111． （D ）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−0111． 二．填空题： 1． （00）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式 | B −1 − E | = ． 2． （00）四阶矩阵A 相似于B ，A 的特征值为2, 3, 4, 5．E 为四阶单位矩阵，则 | B − E | = ．3． （08）设3阶矩阵A 的特征值1, 2, 2，则 | 4A −1 − E | = ．4． （08）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式 | A | = 0，则A 的秩为 ．5． （09）设T T k ),0,1(,)1,1,1(==βα，若矩阵T αβ相似于⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛000000003，则=k ．三．解答题：1． （96）设有4阶方阵A 满足条件 | 3I + A | = 0 , AA T = 2B , | A | < 0 , | B | = 1，其中I 是4阶单位阵，求方阵A 的伴随矩阵A *的一个特征值．2． （97）设三阶实对称矩阵A 特征值是1, 2, 3；矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是α 1 = (−1, −1, 1)T ,α 2 = (1, −2, −1)T ，（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求矩阵A ．3． （97）设矩阵A 与B 相似，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=a A 33242111， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b B 00020002， （1）求a , b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使P −1AP = B ．4． （98）设向量α = (a 1, a 2, …, a n )T , β = (b 1, b 2, …, b n )T 是非零向量且满足条件αT β = 0，记n 阶矩阵A =αβ T ，求：（1）A 2；（2）矩阵A 的特征值和特征向量．5． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k k A ．问当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P −1AP = B 为对角阵？并求出P 和相应的对角矩阵．6． （99）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，且 | A | = −1，又设A 的伴随矩阵A *有特征值λ 0，属于λ 0的特征向量为α = (−1, −1, 1)T ，求a , b , c 及λ 0的值．7． （00）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=5334111y x A ，已知A 有三个线性无关的特征向量，λ = 2是A 的二重特征值．试求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角形矩阵．8． （01）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211β． 已知线性方程组AX = β 有解但不唯一，试求： （1）a 的值，（2）正交矩阵Q ，使Q T AQ 为对角矩阵．9． （02）设实对称阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵P ，使P −1AP 为对角形矩阵，并计算行列式 | A − E |的值．10．（03）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=a A 11121112可逆，向量⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11b α是矩阵A *的一个特征向量，λ 是α 对应的特征值，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵．试求a , b 和λ 的值．11．（04）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，λ1 = λ2 = 6是A 的二重特征值．若α1 = (1, 1, 0)T , α 2 = (2, 1, 1)T , α 3 = (−1, 2, −3)T 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．12．（04）设n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111L L L L L L L b b b b b b A ． （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．13．（05）设A 为三阶矩阵，α 1 , α 2 , α 3是线性无关的三维列向量，且满足A α 1 = α 1 + α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + α 3 , A α 2 = 2α 2 + 3α 3 ，（1）求矩阵B ，使得A (α 1 , α 2 , α 3) = (α 1 , α 2 , α 3)B ；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P ，使得P −1AP 为对角矩阵．14．（06）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α 1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1, 1)T 是线性方程组AX = θ 的两个解．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ = Λ；（3）求A 及6)23(E A −，其中E 为3阶单位矩阵． 15．（07）设3阶实对称矩阵A 的特征值 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = −2，α1 = (1, −1, 1)T 是A 的属于λ1的一个特征向量．记B = A 5 − 4A 3 + E ，其中E 为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（2）求矩阵B ．16．（08）设A 为3阶矩阵，α 1, α 2为A 的分别属于特征值−1, 1的特征向量，向量α 3满足A α 3 = α 2 + α 3，（1）证明α 1, α 2, α 3线性无关；（2）令P = (α 1, α 2, α 3)，求P −1AP ． 17．（10）设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T 为对角矩阵，若Q 的第1列为T )1,2,1(61，求Q a ,．18．（11）A 为三阶实对称矩阵，2)(=A R ，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−110011110011A ．（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A ．第六章 二次型一．选择题：1． （07）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=211121112A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000010001B ，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似．（B ）合同，但不相似．（C ）不合同，但相似．（D ）既不合同，也不相似．2． （08）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−2112．（C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2112．（D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−1221．二．填空题：1． （97）若二次型f (x 1, x 2, x 3) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 2x 1x 2 + tx 2x 3是正定的，则t 的取值范围是 ．2． （04）二次型f (x 1, x 2, x 3) = (x 1 + x 2)2 + (x 2 − x 3)2 + (x 3 + x 1)2的秩为 ．3． （11）设二次型Ax x x x x f T =),,(321的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为 ．三．解答题：1． （95）设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2α x 1x 2 + 2β x 2x 3 + 2x 1x 3，经正交变换X = PY 化成f = y 22 +2y 32，其中X = (x 1, x 2, x 3)T 和Y = (y 1, y 2, y 3)T 是三维列向量，P 是3阶正交矩阵，试求常数α, β．2． （98）设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101A ，矩阵B = (kE + A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．3． （99）设A 为m × n 实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵B = λE + A T A ，试证：当λ > 0时，B 为正定矩阵．4． （00）设有n 元实二次型f (x 1, x 2, …, x n ) = (x 1 + a 1x 2 ) 2 + (x 2 + a 2x 3 ) 2 + … + (x n −1 + a n −1x n ) 2 + (x n + a n x 1 ) 2，其中a i (i = 1, 2, …, n )为实数．试问：当a 1, a 2, …, a n 满足何种条件时，二次型f (x 1, x 2, …, x n )为正定二次型．5． （01）设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A ) = n ，A ij 是A = (a ij )n ×n 中元素a ij 的代数余子式（i , j = 1, 2, …, n ）， 二次型j i n i n j ijn x x A A x x x f ∑∑===1121),,,(L ．（1）记X = (x 1, x 2, …, x n )T ，把f (x 1, x 2, …, x n )写成矩阵形式，并证明二次型f (X )的矩阵为A −1；（2）二次型g (X ) = X T AX 与f (X )的规范形是否相同？说明理由．6． （02）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件A 2 +2A = O ，已知A 的秩r (A ) = 2．（1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵A + kE 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．7． （03）设二次型)0(222),,(312322211321>+−+==b x bx x x x a AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12−．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用正交变换和对应的正交矩阵．8． （05）设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B C C A D T 为正定矩阵，其中B A ,分别为m 阶、n 阶对称矩阵，C 为n m ×矩阵， （1）计算DP P T ，其中⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−n m E O C A E P 1； （2）利用（1）的结果判断矩阵C A C B T 1−−是否为正定矩阵，并证明你的结论．9． （09）设二次型323123222132122)1(),,(x x x x x a ax ax x x x f −+−++=， （1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（2）若二次型),,(321x x x f 的规范型为2221y y +，求a 的值． 10．（12）已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=1001110101a a A ，T A 为矩阵A 的转置，二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2．（1）求实数a的值；x=将二次型f化为标准型．（2）求正交变换Qy。
考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc
考研数学三（线性代数）历年真题汇编1(总分：50.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00）A.必有，一个行向量线性无关．B.任意r个行向量都线性无关．C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组．D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出．3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例．B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合．D.A中至少有一行(列)的元素全为0．4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量．B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00）A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关．D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关．6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α37.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。
(完整版)2018考研数学三真题.docx
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题 :1 : 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在 x 0 处不可导的是（）(A)f x x sin x(B)f x x sin x(C)f x cos x(D)f x cos x设函数 f x在 0,11x dx0,则（）(2)上二阶可导，且f(A) 当f( x)10(B)当 f( x)0时 , f(10 0时, f ()) 22(C)当 f ( x)10(D)当 f( x)0时 , f(10 0时 , f ( ))22 2xxdx, K(3)设 M21x2 dx, N 2121cosx dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D)K N M(4)设某产品的成本函数 C (Q )可导，其中 Q为产量 .若产量为 Q0时平均成本最小，则()(A) C (Q0 )0(B) C (Q0 ) C (Q0 )(C) C (Q0 )Q0C (Q0 )(D)Q0 C (Q0 ) C (Q0 )110(5)下列矩阵中，与矩阵011相似的为（）001111101(A)011(B)011001001111101(C)010(D)010001001(6)设A、B为n阶矩阵，记 r X 为矩阵 X的秩， X ,Y 表示分块矩阵，则（）(A)r A, AB r A(B)r A, BA r A(C)(D)r A T B TX 的概率密度f x 满足 f1x f 120.6, 则 P X 0 （（ 7 ）设随机变量x , 且 f x dx）(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5(8)设 X1 , X 2 ,..., X n (n 2)为来自总体 N (,2 )(0) 的简单随机样本，令X 1 n X i ,n i 1S1n( X i X ) 2 , S* 1 n( X i)2 , 则（）n 1 i 1n i 1n( X)(B)n ( X)1)(A)S ~ t( n)S~ t( nn( X)(D)n ( X)1)(C)S*~ t( n)S*~ t( n二、填空题： 9 :14 小题 , 每小题 4分, 共 24 分 .(9)曲线 y x22ln x在其拐点处的切线方程是________.(10)e x arcsin 1 e2 x dx________.(11)差分方程2 y x y x 5的通解是________.(12)设函数 f x 满足 f x x f x2xf x x o x x0 ,且 f0 2,则 f 1______.(13)设A为3阶矩阵 , a1 ,a2 , a3是线性无关的向量组 , 若Aa1a1a2 , Aa2 a2a3 , Aa3a1 a3 ,则A =__________.(14)随机事件 A, B,C 相互独立 , 且 P A P B P C 1, 则P AC A U B__________. 2三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)( 本题满分 10 分)1已知实数 a, b 满足lim ax b e x x 2, 求a, b.x(16)( 本题满分 10 分)设平面区域 D由曲线 y 3 1x2与直线 y3x及 y轴围成 , 计算二重积分x2dxdy.D(17)( 本题满分 10 分)将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.(18)( 本题满分 10 分)已知 cos2 x1a n x n ( 1x1),求 a n .(1 x)2n 0(19)( 本题满分 10 分)设数列 x n满足： x10, x n e x n 1e x n1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .n (20)( 本题满分 11 分)设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (x1, x2x3 )2( x2x3 )2( x1ax3) 2 , 其中 a是参数 .(I)求 f (x1, x2 , x3 ) 0的解；(II)求 f ( x1 , x2 , x3 )的规范形 .(21)( 本题满分 11 分)12a1a2已知 a是常数，且矩阵 A= 130可经初等列变换化为矩阵B= 01 1 .27a111(I)求a;(II)求满足 AP B的可逆矩阵 P.(22)( 本题满分 11 分 )设随机变量 X 与 Y相互独立， X的概率分布为 P X 1 P X11,Y服从参数为的泊松分布 . 2令 Z XY .(I)求Cov X , Z ;(II)求 Z的概率分布 .(23)( 本题满分 11 分 )设总体 X的概率密度为1xf (x,) e ,x,2其中(0,)为未知参数，X1, X2,L, X n为来自总体X的简单随机样本记的最大似然估计量为μ..(I)求 ?；(II)求 E ?和 D ( ?).。
考研试题[线性代数部分]
![考研试题[线性代数部分]](https://img.taocdn.com/s3/m/eddd511b3169a4517723a3b6.png)
05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。
（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。
三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．行列式=( )A．(ad一bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．一a2d2+b2c2。
正确答案：B解析：由行列式的展开定理展开第一列。
=一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。
故选B。
知识模块：线性代数2．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。
故E—A，E+A均可逆。
知识模块：线性代数3．设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E一ααT不可逆。
B．E+ααT不可逆。
C．E+2ααT不可逆。
D．E一2ααT不可逆。
正确答案：A解析：由α是n维单位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。
矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0，则E一ααT不可逆。
E+ααT的特征值为1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值为1(n 一1重)和3，E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。
不可逆的只有A选项。
知识模块：线性代数4．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A 的转置矩阵。
若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( ) A．。
B．3。
C．。
D．。
正确答案：A解析：由A*=AT及AA*=A*A=｜A｜E，有aij=Aij，i，j=1，2，3，其中Aij，为aij的代数余子式，且AAT=｜A｜E→｜A｜2=｜A｜3→｜A｜=0或｜A｜=1。
历年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
【考点】初等函数的连续性
【难易度】★
【详解】
解析：因为 ，又 ，
所以，当 时， ，即 在点 处连续，当 时， ，即 是 的第一类间断点，因此， 在点 处的连续性
与 的取值有关，故选（D）．
（9）设 ，则（）
（A） 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点．
（B） 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点．
【详解】
解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知， ，于是
即有 ，可见根据定义有 ，故应选（C）.
三、解答题（本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（15）（共题满分8分）
方法3： 与 等价，经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：（1） 中某两行（列）互换得 ，则 .
（2） 中某行（列）乘 得 ，则 .
（3） 中某行倍加到另一行得 ，则 .
故当 时， ，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但 ，则 ，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若 ，若 .故应选（D）.
（C） 是 的极值点，且 是曲线 的拐点．
（D） 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点．
【答案】（C）
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析：方法1： 的图形是一条抛物线，
的图形如图.点 是极小值点；
又在点 左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，
所以点 是拐点，选 .
方法2：写出 的分段表达式： ,
.但在 上 .
方法2：证明（A）、（B）、（C）正确.
由已知 在 上连续，且 ，则由介值定理，
至少存在一点 ，使得 ；
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
正确答案：A解析：若α是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解，即Aα=0，两边左乘AT，得ATAα=0，即α也是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
若β是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即ATAβ=0，两边左乘βT得βTATAβ-=(Aβ)TA β=0。
Aβ是一个向量，设Aβ=(b1，b2，…，bn)T，则(Aβ)TAβ=bi2=0。
故有bi=0，i=1，2，…，n，从而有Aβ=0，即β也是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解。
知识模块：线性代数2．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。
已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ) A．P-1α。
B．PTα。
C．Pα。
D．(P-1)Tα。
正确答案：B解析：由已知Aα=λα，于是PTAα=λPTα，且(P-1AP)T=PTAT(P-1)T，又由于AT=A，有(P-1AP)T(PTα)=PTA(P-1)TPTα=λPTα，可见矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是PTα，故答案选B。
知识模块：线性代数3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1=0。
B．λ2=0。
C．λ1≠0。
D．λ2≠0。
正确答案：D解析：方法一：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(K1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
线性代数历年考研真题.pdf
(A)当|A| = a ̸= 0时, |B| = a (B)当|A| = a ̸= 0时, |B| = −a
2
(C)当|A| ̸= 0时, |B| = 0
(D)当|A| = 0时, |B| = 0
8.【04数三】设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗ ̸= O, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次线性方程组Ax = b的互不
(B)若α1, α2, ..., αs线性相关, 则若对于任意一组不全为0的数k1, k2, ..., ks, 都有k1α1 + k2α2 +
... + ksαs = 0 (C)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其秩为s (D)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其中任意两个向量都线性无关 7.【04数三/四】设n阶矩阵A与B等价, 则( ).
(B)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1
(C)α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D)α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1
13.【07数一/二/三/四】设矩阵A
=
2 −1
−1 2
−1 −1
,
B
=
1 0
0 1
0 0
,
则A与B(
).
−1 −1 2
0 0 1
1 0 0
,
P2
=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
,
其中A可逆,
则B−1
=
(
).
0001
0001
(A)A−1P1P2
(B)P1A−1P2
考研数学三线性代数(向量)-试卷1
考研数学三线性代数（向量）-试卷1(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 2α2+…+k sαs =0．√C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为sD.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：选项A的条件即齐次线性方程组x 1a 1+x 2a 2+…+x s a s=0 只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，A选项正确．对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组 x 1α1 +x 2α2+…+x sαs =0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．3.设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A的列向量线性无关．√B.A的列向量线性相关．C.A的行向量线性无关．D.A的行向量线性相关．解析：解析：齐次线性方程组Ax=0的向量形式为x 1α1+x 2α2+…+x nαn=0，其中α1，α2，…，αn为A的x个m维的列向量．由Ax=0只有零解α1，α2，…，αn线性无关．可知选项A 正确．对于选项C、D，只要m＜n，不管A的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故C、D均不正确．所以应选A．4.设则三条直线a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 1 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.α1，α2，α3线性相关B.α1，α2，α3线性无关C.r(α1，α2，α3 )=r(α1，α2 )．D.α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．√解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 xα1 +yα2 +α3， (2) 有唯一解．由(2)式可得α3 =-xα1 -yα2而方程组(2)(或(1))有唯一解α3可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．5.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A.α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1√B.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α1C.α1 -2α2，α2 -2α3，α3 -2α1D.α1 +2α2，α2 +2α3，α3 +2α1解析：解析：利用向量组线性相关的定义，令 x 1 (α1 -α2 )+x 2 (α2 -α3 )+x 3 (α3 -α1 )=0，(x 1，x 2，x 3为不全为零的实数) 可得(x 1 -x 3 )α1 +(-x 1 +x 2 )α2 +(-x 2 +x 3 )α3 =0 又已知α1，α2，α3线性无关，则则齐次线性方程组(母)有非零解，故α1 -α2，α2 -α3，α3 -α1线性相关．故应选A．6.若α1，α2线性无关，β是另外一个向量，则α1 +β与α2 +β( )（分数：2.00）A.线性无关．B.线性相关．C.即线性相关又线性无关．D.不确定．√解析：解析：例如，令α1=(1，1)，α2=(0，2)，β=(-1，-1)，则α1，α2线性无关，而α1+β=(0，0) 与α2 +β=(-1，1)线性相关．如果设β=(0，0)，那么α1 +β与α2 +β却是线性无关的．故选D7.已知向量组α1，α2，α3，α4，α5的一个极大无关组为( )（分数：2.00）A.α1，α3B.α1，α2C.α1，α2，α5D.α1，α3，α5√解析：解析：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵作初等行变换，有α1，α3，α5是一个极大无关组，且α2 =α1 +3α5，α4 =α1 +α3 +α58.设α1 =(1，2，3，1) T，α2 =(3，4，7，-1) T，α3 =(2，6，0，6) T，α4 =(0，1，3，a) T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件．B.充分而非必要条件．√C.必要而非充分条件．D.既不充分也非必要条件解析：解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α1，…αn｜是否为零去判断．因为｜α1，α1，…，α4｜因此，当a=8时，行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，…，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件．9.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )（分数：2.00）A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．√C.αm可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．D.αm可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．解析：解析：按题意，存在组实数k 1，k 2，…，k m使得 k 1α1 +k 2α2+…+k mαm =β (*) 且必有k m≠0．否则与β不能由α1，α2，…，αm-1线性表示相矛盾，从而即αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．若αm可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l 1，l 2，…，l m-1，使得αm =l 1α1 +l 2α2+…+l m-1αm-1，将其代入(*)中，整理得β=(k 1 +k m l 1 )α1 +(k 2 +k m l 2 )α2+…+(k m-1 +k m l m-1 )αm-1，这与题设条件矛盾．因而αm不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.10.已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1 =α1 +α3 +α4，β2 =α2 -α4，β3 =α3 +α4，β4 =α2 +α3，β5 =2α1 +α2 +α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5 )=( )（分数：2.00）A.1．B.2．C.3．√D.4．解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 (β1，β2，β3，β4，β5 )=(α1，α2，α3，α4) 因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5故知r(β1，β2，β3，β4，β5 )=r(C)=3，因此应选C.11.设A是n阶方阵，且｜A｜=0，则A中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为0．B.必有两列元素对应成比例．C.必有一列向量是其余列向量的线性组合．√D.任一列向量是其余列向量的线性组合．解析：解析：对于方阵A(列)向量组的秩小于n，所以A的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．选项A、B仅是｜A｜=0的充分条件，故均不正确．由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D也不正确．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.如果β=(1，2，t) T可以由α1 =(2，1，1) T，α2 =(-1，2，7) T，α3 =(1，-1，-4) T线性表示，则t的值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x 1α1+x 2α2 +x 3α3 =β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t-5=0，即t=5．13.设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E—xx T的秩为 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵xx T的特征值为0，0，1，故E-xx T的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xx T )=2．14.向量组α1 =(1，0，0)，α2 =(1，1，0)，α3 =(-5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为0的行向量的个数就是向量，因此秩是2．15.已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：已知r(α1，α2，…，αs )=r(α1，α2，…，αs，β)=r，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得 (α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r+1．16.设α1 =(1，2，1) T，α2 =(2，3，a) T，α3 =(1，a+2，-2) T，若β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：根据题意，β1 =(1，3，4) T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β1有解，β2 =(0，1，2) T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，满足方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β有解，方程组x 1α1 +x 2α2 +x 3α3 =β2无解的条件，故a=-1．17.已知α1 =(1，4，2) T，α2 =(2，7，3) T，α3 =(0，1，a) T可以表示任意一个三维向量，则a 的取值是 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a≠1）解析：解析：α1，α2，α3可以表示任一个3维向量，因此向量α1，α2，α3与ε1 =(1，0，0) T，ε2 =(0，1，0) T，ε=(0，0，1) T是等价向量，因此α1，α2，α3的秩为3，即｜α1，α2，α3｜≠0，于是因此a≠1．18.与α1 =(1，2，3，-1) T，α2 =(0，1，1，2) T，α3 =(2，1，3，0) T都正交的单位向量是 1 （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：已知，若向量α，β正交，则内积αTβ=0，设β=(x 1，x 2，x 3，x 4 ) T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1，1，0) T，将这个向量单位化得，即为所求向量．三、解答题(总题数：7，分数：20.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(完整word版)2000--2018年考研数学三真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= [ ](A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 [ ] (A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 [ ](A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 [ ](A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 [ ](A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件 [ ](A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.三、（本题满分8分） 设： ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂五、（本题满分8分）计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni i a 试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-11=T T T T a a E αααααααα)(11-+-=T T T a a E αααααα21-+-=E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--aa ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 0.9 . 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为 )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有 )0(0)0()(lim )(lim )(lim 000f x f x f x x f x g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】 若∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有(A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a a b b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则sααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立. 综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 三 、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ=xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vf x u f y xg ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e te t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x +-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于 ,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni i a 试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a A n nn n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a由01≠∑=ni i a 可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当∑=-=ni i a b 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni i a b 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ， 得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(20020022b a a b b aA E +----=+----=-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ 解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. [ ](A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则 [ ](A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则[ ](A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.(10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 [ ] (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4).(D) (1) (4).(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是[ ] (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有 [ ](A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B .(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系[ ] (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于[ ] (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=y 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ，(1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ； 另外，0)()(lim )(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,。
考研数学三(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（线性方程组）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设A是m×n矩阵，B是n×m的矩阵，则线性方程组(AB)X=0( )．A．当n＞m时，仅有零解B．当n＞m时，必有非零解C．当m＞n时，仅有零解D．当m＞n时，必有非零解正确答案：D解析：解一显然AB为m阶矩阵，因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组，而当m＞n时，有秩(AB)≤秩(A)≤n＜m．因而(AB)X=0有非零解．仅(D)入选．解二因秩(A)≤min(m，n)，秩(B)≤min(m，n)，而秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B))，于是当n＞m时，有秩(A)≤m，秩(B)≤m，秩(AB)≤m，而AB为m阶矩阵．由于秩(AB)可能小于等于m，只能说当n＞m时，如果秩(AB)=m，则(AB)X=0只有零解，如果秩(AB)＜m，(AB)X=0必有非零解，因而(A)、(B)都不对．又当n＜m时，秩(AB)≤n＜m，而AB为m阶矩阵，因而矩阵AB 的秩小于未知数的个数，齐次方程(AB)X=0必有非零解，于是(C)也不对．仅(D)入选．知识模块：线性方程组2．[2004年] 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O．若考ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系( )．A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含有两个线性无关的解向量D．含有三个线性无关的解向量正确答案：B解析：解一当A*≠O时，秩(A*)≠0．因而秩(A*)=n或秩(A*)=1．于是秩(A)=n或秩(A)=n-1．由题设知AX=b有四个互不相等的解，因而解不唯一，于是秩(A)=n-1．因而其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解二因A*≠O，故秩(A*)≥1，则秩(A)≥n-1．又因AX=0有解且不唯一，故秩(A)≤n－1．因而秩(A)=n-1．其基础解系仅含一个解向量．仅(B)入选．解三因A*≠o，故A*中至少有一个元素Aij=(－1)i+jMij≠0，即A的元素aij的余子式Mij≠0，而Mij为A的n一1阶子行列式，故秩(A)≥n一1．又由AX=b有解且不唯一，有秩(A)≤n－1＜n，故秩(A)=n－1，于是AX=0的一个基础解系所含解向量的个数为n－秩(A)=n－(n－1)=1．仅(B)入选．知识模块：线性方程组3．[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．A．[1，2，3，4]T+c[1，1，1，1]TB．[1，2，3，4]T+c[0，1，2，3]TC．[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]TD．[1，2，3，4]T+c[3，4，5，6]T正确答案：C解析：解一仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量．将特解的线性组合2α1，α2+α3写成特解之差的线性组合，即2α1－(α2+α3)=(α1－α2)+(α1－α3)．因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α1－(α2+α3)=[2，3，4，5]T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为X=α1+k[2α1－(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+k[2，3，4，5]T．解二仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α1及(α2+α3)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故α1－(α2+α3)=[2α1－(α2+α3)]=[2，3，4，5]T是AX=0的一个解，从而2×[2，3，4，5]T=[2，3，4，5]T=η也是AX=0的一个解，且因η≠0，故η为Ax=0的一个基础解系，所以AX=b的通解为X=α1+cη=[1，2，3，4]T+c[2，3，4，5]T，c为任意常数．知识模块：线性方程组4．[2011年] 设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX=β的通解为( )．A．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)B．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)C．(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)D．(η2－η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)正确答案：C解析：解一仅(C)入选．因n元非齐次线性方程组AX=b的线性无关的解向量最多的个数为n－秩(A)+1，故3－秩(A)+1≥3，即秩(A)≤1．又秩(A)≥1(如秩(A)=0，则A=0与AX=β≠0矛盾)，故秩(A)=1，所以AX=0的一个基础解系含n－秩(A)=3=1－2个解向量，而η3－η1，η2－η1均为AX=0的非零解，因而它们为AX=0的基础解系．又(η2+η3)／2中的系数1／2+1／2=1．由命题2．4．4．1知，(η2+η3)／1为AX=β的一特解．于是AX=β的通解为(η2+η3)／2+k1(η2－η1)+k2(η3－η1)．解二由非齐次线性方程组AX=B 通解的结构(该方程组的一特解加上对应齐次线性方程组AX=0的基础解系)可分别排除选项(A)、(B)、(D)．事实上，(B)、(D)中的为AX=0的解，不是AX=B的特解，可排除(B)、(D)．又因AX=0的解η2－η1，η3－η1线性无关，故AX=0的基础解系至少包含2个解向量，从而排除(A)．仅(C)入选．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
-历年考研数学三真题及答案解析
是c+等价无穷小，则(C) R = 3,c = 4已知 f(x)在 X = O 处可导，且 /(0) = 0,则 Iim x ~f M~2 / CV)Λ→0设｛冷｝是数列，则下列命题正确的是OOX若£心收敛’则∑(∕G H -I +U 2π)收敛/1-1n-1X OC若£(%如)收敛，则收敛“■]/1-1OO X若X ©收敛，则X(∕Y 2^1 T6)收敛 ∕ι≡lπ-! 若X("2-1 Tf 2』收敛‘则X ©收敛π-l ∕ι≡lπ JT π设/ =JJIn(Sin x)dx , J = JJ In(COt x)dx, K = U In(COS x)dx 贝IJ 八 J , K的大 小关系是解，k lt k 2为任意常数.则Ax = β的通解为(A) k = l,c = 4(B) IC = ^C =-4⑷-2/(0)(B) -/'(O) (C) /(O) (D) 0(C) (D)(A) I<J<K (B) I<K<J (C) J <I<K (D) K<J<I⑸ 设A 为3阶矩阵・将A 的第2列加到第1列得矩阵3.再交换B 的第2行与第31 O OU O 0,行得单位矩阵记为片=1 1 O，£ = O O 1,0 0 1’O 1 O 丿(C) P 2P 1 (D) P['P ∖(6)设人为4x3矩阵，7，J Il > “3 是非齐次线性方程组AX = 0的3个线性无关的(B) P^P I (A)砒 ,则4 =(B)t h∑211 + k2{η2-η^(C)T h；+ & (% - 帀)+ £(“2 - 7)(D)+ «2(〃2 一〃1)+ 鸟3(〃3一帀)(7)设F i(x), F2(X)为两个分布函数，其相应的概率密度f l(x), /I(X)是连续函数, 则必为概率密度的是(A)∕1U)Λ(x)(B) If2(X)FM(C) ∕1(X)F2(X)(D) f l(x)F2(x) + f2(x)F i(x)(8)设总体X服从参数2(Λ>0)的泊松分布，X P X l,..∙X,1(∕z≥2)为来自总体的简1" IilZil单随即样本，贝IJ对应的统iiS7；=-yx(., T l =——Vx1-+-X,,刃台^ H-I ⅛r IJ '(A) ET i > ET2i DT l > DT2(B) ETl > ET^DT i < DT2(C) ET x < ET2.DT x > DT1(D) ET x < ET1,DT x < DT1二、填空题：旷14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.X(9)设/(x) = IimX(I+ 3r)7,则 / (X) = __ ・∕→0X(10)设函数2 = (1 +丄)匚则^I(II= _______ ・y(11)曲线tan(x + y + -)="在点(0,0)处的切线方程为_______ ・4(12)曲线y = 直线X = I及X轴所囤成的平面图形绕X轴旋转所成的旋转体的体积 _____ .(13)设二次型/(X P X2,X3)= XΓAΛ-的秩为1, A中行元素之和为3,则/在正交变换下X = Qy的标准型为 ____ •(14)设二维随机变⅛(X,K)服从N(“,“;bSb?;。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(98年)齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB＝O，则【】A．λ＝－2且｜B｜＝0B．λ＝－2且｜B｜≠0C．λ＝1且｜B｜＝0D．λ＝1且｜B｜≠0正确答案：C解析：设B按列分块为B＝[β1 β2 β3]，则由题设条件，有O＝AB＝[Aβ1 Aβ2 Aβ3] 所以Aβj＝0(j＝1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Aχ＝0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Aχ＝0存在非零解，从而有得λ＝1 另一方面，必有｜B｜＝0，否则｜B｜≠0，则B可逆，于是由给AB＝O两端右乘B-1，得A＝O，这与A≠O矛盾，故必有｜B｜＝0．因此C正确．知识模块：线性代数2．(00年)设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Aχ＝b的3个解向量，且A的秩r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝【】A．B．C．D．正确答案：C解析：由于AX＝b的通解等于AX＝b的特解与AX＝0的通解之和，故只要求出AX＝0的基础解系，即得AX＝b的通解．因为r(A)＝3，故4元齐次方程组Aχ＝0的基础解系所含向量个数为4－r(A)＝1，所以AX＝0的任一非零解就是它的基础解系．由于α1及(α2＋α3)都是Aχ＝b的解．故是AX＝0的一个解，从而ξ＝(2，3，4，5)T也是AX＝0的一个解，由上述分析知ξ是AX＝0的一个基础解系，故AX＝b的通解为X＝α1＋cξ因此C正确．知识模块：线性代数3．(00年)设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Aχ＝0和(Ⅱ)：ATAχ＝0，必有【】A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若向量X满足方程组AX＝0，两端左乘AT，得ATAX＝0，即X也满足方程组ATAX＝0，故AX＝0的解都是ATAX＝0的解．反之，若X满足ATAX＝0，两端左乘XT，得XTATAX＝0，即(AX)T(AX)＝0，或‖AX‖2＝0，故AX＝0，即X也满足方程组AX＝0，故ATAX＝0的解都是AX＝0的解由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．知识模块：线性代数4．(01年)设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩＝秩(A)，则线性方程组【】A．AX＝α必有无穷多解．B．AX＝α必有惟一解．C．＝0仅有零解．D．＝0必有非零解．正确答案：D解析：方程组＝0是λ＋1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩＝An×n，的秩≤n＜n＋1，故该λ＋1元齐次线性方程组必有非零解．于是知D 正确．知识模块：线性代数5．(02年)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)χ＝0 【】A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D 涉及知识点：线性代数6．(04年)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Aχ＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系【】A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij＝(－1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij为A的n－1阶子式，故r(A)≥n－1，又由Aχ＝b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)＝n－1，因此，Aχ＝0的基础解系所含向量个数为n－r(A)＝n(n－1)＝1，只有B正确．知识模块：线性代数7．(11年)设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Aχ＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Aχ＝β的通解为【】A．＋k1(η2－η1)．B．＋k1(η2－η1)．C．＋k1(η2－η1)＋k2(η3－η1)．D．＋k1(η2－η1)＋k2(η3－η1)．正确答案：C解析：首先，由A[(η2＋η3)]＝β，知(η2＋η3)是Aχ＝β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Aχ＝0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2－η1，η3－η1]＝[η1，η2，η3] 及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1线性无关，因此，方程组Aχ＝0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解，于是η2－η1，η3－η1可作为Aχ＝0的基础解系，A χ＝0的通解为k1(η2－η1)＋k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性代数8．(15年)设矩阵，若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Aχ＝b有无穷多解的充分必要条件为【】A．aΩ，dΩ．B．aΩ，d∈Ω．C．a∈Ω，dΩ．D．a∈Ω，d∈Ω．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a－1)(a－2)＝0，即a＝1或a＝2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选D．知识模块：线性代数9．(91年)设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征根，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是【】A．λ-1｜A｜nB．λ-1｜A｜C．λ｜A｜D．λ｜A｜n正确答案：B解析：因为λ为可逆方阵A的特征值，故λ≠0，且存在列向量χ≠0，使A χ＝λχ，用A*左乘两端并利用A*A＝｜A｜E，得｜A｜χ＝λA*χ两端同乘，得A*χ＝｜A｜χ，由特征值的定义即知｜A｜为A*的一个特征值且χ为对应的一个特征向量，故只有B正确．知识模块：线性代数10．(93年)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的【】A．充分必要条件．B．充分而非必要条件．C．必要而非充分条件．D．既非充分也非必要条件．正确答案：B 涉及知识点：线性代数填空题11．(89年)若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_______．正确答案：λ为不等于1的任意常数．解析：方程组的系数行列式为由于该齐次方程组只有零解甘D≠0，故得λ≠1．知识模块：线性代数12．(90年)若线性方程组有解，则常数α1，α2，α3，α4应满足条件_______．正确答案：a1＋a2＋a3＋a4＝0．解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：可见r(A)＝3，由原方程组有解，应有r()＝r(A)＝3．故得a1＋a2＋a3＋a4＝0．知识模块：线性代数13．(96年)设其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)．则线性方程组ATX ＝B的解是_______．正确答案：(1，0，…，0)T解析：因为a1，a2，…，an两两不相等，故范德蒙行列式｜A｜＝(ai－aj)≠0，所以方程组ATX＝B的系数行列式｜AT｜＝｜A｜≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X＝(1，0，…，0)T．知识模块：线性代数14．(00年)设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式｜B-1－E｜＝_______．正确答案：24解析：由于相似矩阵有相同的特征值，故B的特征值为：因此，B-1的特征值为：2，3，4，5．从而知B-1－E的特征值为：1，2，3，4．由特征值的性质，得｜B-1－E｜＝1×2×3×4＝24 知识模块：线性代数15．(08年)设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1－E｜＝_______．正确答案：3解析：｜A｜＝λ1λ2λ3＝4≠0，故A可逆，A-1的特征值为1，1／2，1／2，知4A-1－E的特征值为4×1－1＝3，4×1／2－1＝1，4×1／2－1＝1，故｜4A-1－E｜＝3×1×1＝3．知识模块：线性代数16．(15年)设3阶矩阵A的特征值为2，－2，1，B＝A2－A＋E,，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜＝_______．正确答案：21解析：因为B＝A2－A＋E＝f(A)，其中多项式f(t)＝t2－t＋1，所以由A的特征值2，－2，1，得B的特征值为f(2)＝3，f(－2)＝7，f(1)＝1 这是3阶矩阵B的全部特征值，由特征值的性质得｜B｜＝3×7×1＝21 知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数三试题及答案
考研数三试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3x^2C. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3答案：A2. 计算积分∫(0到1) x dx。
A. 1/2B. 1C. 0D. 2答案：A3. 设矩阵A为3x3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 4答案：C4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。
A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^2+2x+1，求g(-1)的值为_________。
答案：06. 计算定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值为_________。
答案：27. 设向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则向量a和向量b的点积a·b 为_________。
答案：-58. 设函数h(x)=e^x，求h'(x)的值为_________。
答案：e^x三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数y=x^2-4x+4的极值。
答案：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，因此它没有极值。
10. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：011. 设矩阵B为2x2矩阵，B=|1 2; 3 4|，求矩阵B的行列式。
答案：-212. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e13. 计算二重积分∬D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π14. 设函数z=x^2y+y^2x，求偏导数∂z/∂x和∂z/∂y。
答案：∂z/∂x = 2xy + y^2，∂z/∂y = x^2 + 2xy四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
考研数学3真题
考研数学3真题一、概述考研数学3部分是数学专业考研初试的一部分，主要测试考生在数学领域的基础知识和解题能力。
本文将对数学3真题进行分析和解答，帮助考生更好地应对考试。
二、第一道题第一道题目是关于线性代数的，要求求解一个线性方程组。
我们可以采用矩阵的方法对这个问题进行求解。
首先，将方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式，然后通过高斯消元法将增广矩阵化简为行最简形式，最后根据行最简形式得到解的形式。
三、第二道题第二道题目是关于微积分的，要求计算一个二次曲线所围成的面积。
我们可以通过定积分的方法求解这个问题。
首先，根据给定的二次曲线方程确定积分的上下限，然后将方程表示为关于x的函数形式，接着进行积分运算，最终得到所求面积的数值。
四、第三道题第三道题目是关于概率论的，要求计算一个事件的概率。
我们可以利用概率的基本公式和性质来求解这个问题。
首先，根据给定的条件确定所求事件的样本空间和可能事件，然后利用事件的互斥性和可列加性计算所求事件发生的概率，最后得到结果。
五、第四道题第四道题目是关于偏微分方程的，要求求解一个偏微分方程。
我们可以采用分离变量法对这个问题进行求解。
首先，将偏微分方程中的变量分离，然后将分离后的常微分方程求解，最终得到所求的解函数。
六、总结通过对考研数学3真题的分析和解答，我们可以看到，在准备考试时，掌握基础知识和解题方法非常重要。
同时，要善于运用数学理论和方法，灵活应用于具体问题的解决中。
希望考生们能够针对真题进行有针对性的复习和练习，以提高数学3部分的应试能力。
祝愿各位考生在考试中取得优异的成绩！。
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[考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编18
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 下列矩阵中，与矩阵相似的为
( )
2 设矩阵则A与B( )
（A）合同，且相似．
（B）合同，但不相似．
（C）不合同，但相似．
（D）既不合同，也不相似．
3 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为
( )
4 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22－y32其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，－e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( )
（A）2y12－y22+y32．
（B）2y12+y22－y32．
（C）2y12－y22－y32．
（D）2y12+y22+y32．
5 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则( )
（A）a＞1
（B）a＜－2
（C）－2＜a＜1
（D）a=1或a=－2
二、填空题
6 若二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是
_______．
7 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2－x3)2+(x3+x1)2的秩为_______．
8 设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为_______．
9 设二次型f(x1，x2，x3)=x12－x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10 问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2－2x1x3+4x2x3为正定二次型?
11 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．
12 设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1，x2，x3)T和Y=(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β．
12 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．
13 写出二次型f的矩阵表达式；
14 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
15 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+A T A，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
16 设有n元实二次型 f(x1，x2，…，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n－1+a n－
x n)2+(x n+a n x1)2，其中a i(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，a n满足何1
种条件时，二次型f(x1，x2，…，x n)为正定二次型．
16 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij是A=(a ij)n×n中元素a ij的代数余子式(i，
j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，x n)=x i x j．
17 记X=(x1，x2，…，x n)T，把f(x1，x2，…x n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A－1．
18 二次型g(X)=X T AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
19 设二次型f(x1，x2，x3)=X T AX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b的值； (2)利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
20 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩
阵．(Ⅰ)计算P T DP，其中(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B－C T A －1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
20 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a1)x32+2x1x3－2x2x3．
21 求二次型f的矩阵的所有特征值；
22 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．
22 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=x T(A T A)x的秩为2．
23 求实数a的值；
24 求正交变换x=Qy将f化为标准形．
24 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
25 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
26 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
27 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
28 设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1－x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．。