淄博一中高三数学10月测试题及答案(理科)

淄博一中高三学年第一学期 阶段检测一 数学（理科）试题一．选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.设A ＝{x||x －a|＜1}，B ＝{x|1＜x ＜5}，A ∩B ＝φ，则a 的范围为（ ）A ．{a|0≤a ≤6}B ．{a|a ≤0或a ≥6}C ．{a|a ≤2或a ≥4}D ．{a|2≤a ≤4} 2.下列说法错误．．的是（ ） A ．如果命题“﹁p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1＜0，则﹁p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件3. 设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是（ ）A ．ab ＜b 2＜1B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b＜2a＜2 D ．a 2＜ab ＜14.设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是（ ）A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5. 设方程3x =x 2的根为x 0，则x 0一定在区间（ ）A ．[0, 1]B ．[1, 2]C ．[－1, 0]D ．[－2，－1]6. 设命题p ：|2x －3|＜1，q ：2x －3x －2≤1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 若函数ƒ(x)=－12x 2+bln(x+2)在(－1, +∞)上是减函数，则b 的取值范围为( )A. [－1, +∞)B. (－1, +∞)C. (－∞, －1)D. (－∞, －1] 8.在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝e x ＋4ex －2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 9. 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝10. 若f (1)＝2，则f (99)等于A ． 10B ．5 C. 2 D. 5210. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜2a x －1， x ≥2在(－∞，＋∞)上对任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫53，2 B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2) D. (0，＋∞) 11. 已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2，则目标函数z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最大值是（ ）A ．10B ．90 C.509D ．212. 函数f (x )＝log 2(3－a x )在(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (1, 3) B. [1, 3) C. [1, 3] D. (1, 3] 二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13. 若函数f (a)＝⎠⎛0a (2＋sin x )d x ，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于________ 14.已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表．f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若实数a 满足f (2a ＋1)＜1，则a 的取值范围是_________15.关于x[0,1]上，另一根在区间2b 的最大值为________．16.以下说法正确的是______⑴若1a <1b <0, 则b a +ab>2;⑵若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假;(3) 不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则a ∈(－35,1);(4) 曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中斜率最小的切线方程为3x －y －11＝0．三．解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）已知f (x)=a →·b →－1，其中向量a →=(sin2x, 2cosx), b →=(3, cosx)(x ∈R). (1) 求f (x)的最小正周期和最小值；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(A4)=3 ，a=213 ，b=8，求边长c 的值.18. （本小题满分12分）研究性学习小组要从6名（其中男生4人，女生2人）成员中任意选派3人去参加某次社团调查.(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； 19．（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ⊥侧面AA 1C 1C, AC=BC=1，CC 1=2，∠CAA 1=π3 , D 、E分别为AA 1 、A 1C 的中点. (1)求证：A 1C ⊥平面ABC;(2)求平面BDE 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,，且S n =2 a n －2(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且b 3=3，b 10－b 4=6.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n =b na n,求数列{c n }的前n 项和T n . 21．（本小题满分12分）已知圆G ：x 2+y 2－2x －2y=0经过椭圆x 2 a 2 ＋y 2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一点M(m ，0)(m>a)作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C 、D 两点.(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以CD 为直径的圆上，求m 的值.ED A BCB 1C 1A 122．（本小题满分14分） 已知函数2()23xf x e x x =+-．(1)求证：函数)(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极值点。

(2)当12x ≥时，若关于x 的不等式25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，试求实数a 的取值范围.淄博一中高三学年第一学期阶段检测一数学（理科）试题答案一、 选择题BDCAC ADBBA BD 二、 填空题13、1+π 14、)23,23(- 15、11 16、)4)(1( 三、解答题17、解：（1）f(x)= a →·b →-1= 3 sin2x+2cos2x-1=2sin(2x+π6)∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2（2）f(A 4 )=2sin(A 2 +π6 )= 3∴sin(A 2 +π6 )= 3 2 ∴A=π3由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bccosA 即c 2-8c+12=0解得c=2或c=618、解：（1）P=2514C C =52（2）由题意得ξ=0，1，2P(ξ=0)=51, P(ξ=1)=53, P(ξ=2)= 51 所以E(ξ)=0⨯51+1⨯53+2⨯51=120、解:(Ⅰ)由S n =2a n -2(n ∈N *)得:a 1=2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2a n -2)-(2a n-1-2)=2a n -2a n-1,∴a n =2a n-1.又即a 1=2≠0,∴a na n-1=2(n ≥2). ……………………………………………2分∴数列{a n }是以a 1=2为首项公比为q=2的等比数列,∴a n =a 1q n-1=2n . ………………4分设数列{b n }的公差为d,则⎩⎨⎧b 3=b 1+2d=3b 10-b 4=(b 1+9d)-(b 1+3d)=6,∴⎩⎨⎧b 1=1d=1,b n =b 1+(n-1)d=n. …6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知C n =b n a n =n 2n =n ∙(12)n .T n =1∙(12)+2∙(12)2+3∙(12)3+……+n ∙(12)n ①12T n = 1∙(12)2+2∙(12)3+……+(n -1)∙(12)n +n ∙(12)n+1 ② …………………9分 ①-②得12T n =(12)+(12)2+(12)3+……+(12)n -n ∙(12)n+1=12∙[1- (12)n]1-12-n ∙(12)n+1=1-(12)n -n ∙(12)n+1=1-(n+2)∙(12)n+1 …………………………………11分∴T n =2-(n+2)∙(12)n . …………………………………12分21.解：⑴由题意可知F(2,0)、B(0， 2 )∴c=2，b=2∴a= 6 ∴所求椭圆的方程为x 26 +y 22 =1⑵由题意可设直线l 的方程为y=-33(x-m) C(x 1,y 1) D(x 2,y 2)联立22)162y x m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2x 2-2mx+m 2-6=0则：12212620x x m m x x +=⎧⎪-⎪=⎨⎪>⎪⎩∵F 在以CD 为直径的圆上，∴⊥FD ∴FC −∙FD −=0 FC −=( x 1-2，y 1) FD −=( x 2-2，y 2) ∴(x 1-2) (x 2-2)+ y 1 y 2=0 解得：m=0，m=3由：0m m ⎧>⎪<<⎨>⎪⎩ ∴m=322、解：（Ⅰ）()43xf x e x '=+-， ………………………………………………………1分∵ 0(0)320f e '=-=-<，(1)10f e '=+>， ∴ (0)(1)0f f ''⋅<． ……………………………………………………………2分令 ()()43x h x f x e x '==+-，则()40xh x e '=+>， ……………………3分 ∴ ()f x '在区间[0,1]上单调递增， ∴ ()f x '在区间[0,1]上存在唯一零点，∴ )(x f 在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． …… （Ⅱ）由25()(3)12f x x a x ≥+-+，得22523(3)12x e x x x a x +-≥+-+， 即 2112x ax e x ≤--， ∵ 12x ≥， ∴ 2112x e x a x--≤， ……………………………………8分 令 2112()x e x g x x--=， 则221(1)12()x e x x g x x --+'=． ………………10分 令 21()(1)12x x e x x ϕ=--+，则()(1)xx x e ϕ'=-．∵12x ≥，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在1[,)2+∞上单调递增，∴17()()028x ϕϕ≥=>，因此()0g x '>，故()g x 在1[,)2+∞上单调递增， ……………………………12分则1211198()()1242e g x g --≥==， ∴ a的取值范围是94a ≤． ………………………14分。