一元二次方程拓展练习
一元二次方程专项练习(含答案)
一元二次方程专项练习（含答案）一、选择题（本大题共58小题，共174.0分）1.某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，关于代数式300(1+x)2下列说法正确的是()A. 2007年已有的绿化面积B. 2008年增加的绿化面积C. 2008年已有的绿化面积D. 2007、2008年共增加的绿化面积2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m−2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为()A. 6B. 5C. 4D. 33.方程2x(x+1)=3(x+1)的根为()A. x=32B. x=−1C. x1=−1,x2=23D. x1=−1,x2=324.已知关于x的方程：(1)ax2+bx+c=0，(2)x2−4x=0，(3)3x2=0，(4)1+(x−1)(x+1)=0中，一元二次方程的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.若关于x的方程x2+6x−a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的()A. −10B. −9C. 9D. 106.若关于x的一元二次方程x2+mx+m2−3m+3=0的两根互为倒数，则m的值等于()A. 1或2B. 1C. 2D. 07.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设AB=x米，则可列方程()A. x(81−4x)=440B. x(78−2x)=440C. x(84−2x)=440D. x(84−4x)=4408.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于()A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm9.若矩形的长和宽是方程x2−7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为()A. 5B. 7C. 8D. 1010.如图，在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个面积相同的小矩形田地作为良种试验田，设道路的宽为x米，要使每小块试验田的面积为135m2，则可列方程为()A. (32−x)(20−x)=135B. 4(32−x)(20−x)=135C. 14(32−x)(20−x)=135 D. (32−x)(20−x)−x2=13511.把方程x(x+2)=5x化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是()．A. 1，3，5B. 1，−3，0C. −1，0，5D. 1，3，012.若α，β是一元二次方程3x2+2x−9=0的两根，则βα+αβ的值是()A. 427B. −427C. −5827D. 582713.若一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第象限.()A. 四B. 三C. 二D. 一14.关于x的方程(a−1)x2+√a+1x+2=0是一元二次方程，则a的取值范围是()A. a≠1B. a≥−1且a≠1C. a>−1且a≠1D. a≠±115.甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为()A. 3：5B. 4：3C. 4：5D. 3：416. 有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．如果不及时控制，第三轮被传染的人数为( )A. 234人B. 264人C. 284人D. 294人17. 若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2−12x +k =0的两个根，则k 的值是( )A. 27B. 36C. 27或36D. 1818. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2−3x =4(x −3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是( )A. 3B. 4C. 6D. 2.519. 甲、乙两人共同解关于x ，y 的方程组{ax +by =5 ①3x +cy =2 ②，甲正确地解得{x =2y =−1，乙看错了方程②中的系数c ，解得{x =3y =1，则(a +b +c)2的值为( )A. 16B. 25C. 36D. 4920. 下列关于x 的方程是一元二次方程的是( )A. 3x 2−5y +4=0B. 3x 2−2x −1=0 C. 2x 3+3x 2−7=0D. 5x(x −3)=921. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A. x +5y =2B. x 2+5=2xC. 3x 2+x −5=3x 2D. 3x +3x =722. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( )A. 500(1+2x)=7500B. 5000×2(1+x)=7500C. 5000(1+x)2=7500D. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750023. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台其他电脑，由题意列方程应为( )A. 1+2x =100B. x(1+x)=100C. (1+x)2=100D. 1+x +x 2=10024. 已知关于x 的一元二次方程x 2+bx −1=0，则下列关于该方程根的判断，正确的是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b的取值有关25.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+4=0的一个根是2，则a的值为()A. 1B. −1C. 2D. −226.一元二次方程kx2−6x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A. k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠027.若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2−10x+21=0的一根，则这个三角形的周长为()A. 7B. 3或7C. 15D. 11或1528.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x=0B. x2+4x−4=0C. (x−2)2−3=0D. 3x2+2=029.某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是()A. 1280(1+x)=1600B. 1280(1+2x)=1600C. 1280(1+x)2=2880D. 1280(1+x)+1280(1+x)2=288030.已知m是方程x2−x−1=0的一个根，则代数式m2−m的值等于(()A. 2B. 1C. 0D. −131.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()+x=3 B. x2+2x−3=0A. 2xC. 4x+3=xD. x2+x+1=x2−2x32.2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为()A. 50(1+x)2=182B. 50(1+2x)=182C. 182(1−x)2=50D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=18233.如图1，有一张长80cm，宽50cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盘的底面积是2800cm2，设纸盒的高为x(cm)，那么x满足的方程是()A. (80−x)(50−2x)=2800B. (80−x)(50−x)=2800C. (80−2x)(50−x)=2800D. (80−2x)(50−2x)=280034.近几年来安徽省各地区建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某地区在2017年给每个经济困难学生发放的资助金额为800元，2019年发放的资助金额为1250元，则该地区每年发放的资助金额的平均增长率为()A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%35.下列一元二次方程没有实数根的是()A. x2+2x+1=0B. x2+x−2=0C. x2+1=0D. x2−2x−1=036.将方程x2−6x+1=0配方后，原方程变形为()A. (x−3)2=8B. (x−3)2=−8C. (x−3)2=9D. (x−3)2=−937.关于x的一元二次方程x2−2√3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. m<3B. m>3C. m≤3D. m≥338.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个39.一个菱形的边长是方程x2−8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为()A. 48B. 24C. 24或40D. 48或8040.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为()A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=541.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2−10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为()A. 16B. 24C. 16或24D. 4842.一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定43.当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx−c=0的根的情况为()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定44.下列方程中，关于x的一元二次方程是()A. x+2=3B. x+y=1=1C. x2−2x−3=0D. x2+1x45.方程x2+x−3=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于()A. 1B. −1C. 3D. −346.定义新运算：a∗b=a(m−b).若方程x2−mx+4=0有两个相等正实数根，且b∗b=a∗a(其中a≠b)，则a+b的值为()A. −4B. 4C. −2D. 2x2−(k+5)x+k2+2k+25=0的根的情况为47.对于任意实数k，关于x的方程12()A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定48.下列哪个方程是一元二次方程()=3 D. x2=2x−3A. 2x+y=1B. x2+1=2xyC. x2+1x49.下列一元二次方程中，没有实数根的是()A. x2−2x−3=0B. x2+2x+1=0C. x2−x+1=0D. x2=150.下列是一元二次方程的是()A. x2+3=0B. xy+3x−4=0+2x−6=0C. 2x−3+y=0D. 1x51.在下列方程中，以3，−4为根的一元二次方程是()A. x2−x−12=0B. x2+x−12=0C. x2−x+12=0D. x2+x+12=052.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则x等于()A. 4B. 5C. 6D. 753.以x=b±√b2−4c2为根的一元二次方程可能是()A. x2+bx+c=0B. x2+bx−c=0C. x2−bx+c=0D. x2−bx−c=054.方程x2−4x=0的解是()A. x=4B. x1=1，x2=4C. x1=0，x2=4D. x=055.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场．若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是()A. x(x+1)=15B. 12x(x+1)=15 C. x(x−1)=15 D. 12x(x−1)=1556.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤2B. m≥2C. m≤2且m≠1D. m≥−2且m≠157.给出方程甲：x2+p1x+q1=0，方程乙：x2+p2x+q2=0，其中p1，p2，q1，q2均为实数，且满足p1p2=2(q1+q2)，则()A. 甲、乙都必有实根B. 甲、乙都没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否有实根无法确定58.如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……前n行的点数和不能是以下哪个结果()A. 741；B. 600；C. 465；D. 300。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
一元二次方程(拓展练习)
一元二次方程（拓展练习）一．选择题1．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣20192．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2020+2a﹣2b的值为（）A．2018B．2020C．2022D．20243．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，694．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．11B．16C．11或16D．不能确定5．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣26．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（）A．24B．25C．26D．277．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0B．x2+x﹣1＝0C．x2﹣2x﹣1＝0D．x2﹣2x+1＝08．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④9．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t＜D．t＞10．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（）A．3B．﹣3C．2D．二．填空题11．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m．12．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则x1+x2＝，x1x2＝，x12+x22＝．13．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为．14．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三．解答题16．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）2x2+3x﹣1＝017．解下列方程：（1）3x2+8x﹣3＝0（用配方法）（2）4x2+1＝4x（用公式法）（3）2（x﹣3）2＝x2﹣9（用因式分解法）（4）x2+5x﹣6＝0（用适当的方法）18．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？19．已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．（1）求n的取值范围；（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．。
人教版九年级数学上《一元二次方程》拓展练习 (1)
《一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣24．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣65．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？《一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，解得m＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，解得m＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣2【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：根据题意知，解得m＝﹣2，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣6【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴a2﹣3a+4＝5+4＝9．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为2021．【分析】把x＝﹣2代入方程，求出2a+b＝﹣3，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，∴代入得：4a+2b+6＝0，4a+2b＝﹣6，2a+b＝﹣3，∴2018﹣2a﹣b＝2018﹣（2a+b）＝2018﹣（﹣3）＝2021，故答案为：2021．【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2a+b＝﹣3是解此题的关键．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝2．【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，再求出即可．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，即﹣2m+2n＝﹣4，m﹣n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝2．【分析】把x＝0代入方程，求出m，再判断即可．【解答】解：把x＝0代入方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0得：0+0+m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠﹣2，所以m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能根据题意得出m2﹣4＝0和m+2≠0是解此题的关键．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝0．【分析】利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．【解答】解：由已知得a+b＝﹣c①（a+b）2+c2﹣2ab＝2 ②将①代入②得（﹣c）2+c2﹣2ab＝2，∴ab＝c2﹣c+2 ③由①③可知，a、b是关于t的方程t2﹣（﹣c）t+c2﹣c+2＝0 ④的两个实数根．∴△＝（﹣c）2﹣4（c2﹣c+2）≥0，化简得（c﹣）2≤0，而（c﹣）2≥0，∴c＝．将c＝代入④，解得t1＝t2＝，∴a＝b＝，∴a＝b＝c＝，∴2a﹣b﹣c＝0，故答案是：0．【点评】考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，需要认真对待．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝﹣2017．【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，则原式＝a（a2﹣2017a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣2017，故答案为：﹣2017．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．【分析】（1）把x＝2代入方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1＝m+2，x2＝m+1，则AC＝m+2，AB＝m+1．然后讨论：当AB＝BC时，有m+1＝；当AC＝BC时，有m+2＝，再分别解关于m 的一次方程即可．【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m＝0或m＝1；（2）∵△＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，＝1；∴x＝∴x1＝m+2，x2＝m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC＝m+2，AB＝m+1．∵BC＝，△ABC是等腰三角形，∴当AB＝BC时，有m+1＝，∴m＝﹣1；当AC＝BC时，有m+2＝，∴m＝﹣2，综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的判定．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56＝0，则（x﹣7）（x﹣8）＝0，解得：x1＝7，x2＝8；（2）第n个方程为：x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，解得：x1＝n﹣1，x2＝n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝4，＝14，＝194；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？【分析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【解答】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或，解得k＝﹣1或k＝0，当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1，当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》拓展练习
《实际问题与一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30 2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝1113．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝2154．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）销售利润W（元）（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？《实际问题与一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝111【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝111，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝111，故选：A．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．3．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝215【分析】设每次降价的百分率为x，根据该运动服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：460（1﹣x）2＝215．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200【分析】由建筑材料的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可表示出平行于墙的一边的长度，然后根据长方形的面积公式结合牛饲养室的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（58﹣2x）m．根据题意得：x（58﹣2x）＝200，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：（1）根据建筑材料的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1750吨列方程即可．【解答】解：依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）＝864．【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有11名同学．【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（舍去），即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给7个人．【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．故答案为：7．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为x（x﹣1）＝110．【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝110．故答案是：x（x﹣1）＝110．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意可得，解得：，则y＝﹣10x+800；（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为（1120﹣2x）个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【分析】（1）根据每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，可得现在销售数量为[160+2（480﹣x）]个，化简即可；（2）根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）＝（1120﹣2x）个．故答案为（1120﹣2x）；（2）由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，整理，得：x2﹣920x+211600＝0，解得：x1＝x2＝460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【解答】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）﹣x+100销售利润W（元）﹣x2+130x﹣30000（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？【分析】（1）根据销售单价每涨10元，销售量就减少1件，可以表示出y与x的关系，根据利润＝每件的利润×销售量，即可表示出W与x的关系．（2）列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意y＝60﹣＝﹣x+100．W＝（x﹣300）•（﹣x+100）＝﹣x2+130x﹣30000．故答案为﹣x+100，﹣x2+130x﹣30000．（2）由题意﹣x2+130x﹣30000＝10000，解得x＝500或800，为了尽可能增加销售量，x＝500．答：该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是500．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，记住利润、销售量、每件的利润之间的关系．15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（公斤）；故答案为：100+200x；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（公斤）．∵每天至少售出260公斤，∴x＝1．则4﹣1＝3（元）答：售价应为3元．【点评】题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．。
《一元二次方程》拓展精练
数学篇同步1.关于x 的一元二次方程2x 2+x -k =0没有实数根，则k 的取值范围是（）.A.k <-18 B.k ≤-18C.k >-18 D.k ≥-182.已知a 、b 满足等式x =a 2+b 2+5，y =2（2b -a ），则x 、y 的大小关系是（）.A.x <yB.x >yC.x ≤yD.x ≥y 3.已知2是关于x 的方程x 2-2mx +3m =0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）.A.10B.14C.10或14D.8或104.一元二次方程（4x +1）（2x -3）=5x 2+1化成一般式后a ，b ，c 的值为（）.A.3，-10，-4B.3，-12，-2C.8，-10，-2D.8，-12，45.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x %，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x %，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）.A.2x %B.1+2x %C.（1+x %）x %D.（2+x %）x %6.若m 是关于x 的一元二次方程x 2-3x +1=0的一个根，则2m 2-6m +2022=.7.写一个你喜欢的实数m 的值，使关于x 的一元二次方程2x 2-x +m =0有两个不相等的实数根.8.把一元二次方程x 2-4x -8=0化成（x-m ）2=n 的形式，则m +n 的值为.9.现要在一个长为35m ，宽为22m 的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为625m 2，设小道的宽为x m ，则根据题意，可列方程为.10.若a ，b ，c 是实数，且a +b +c =2a +1+4b +1+6c -2-14，则2b +c =.11.已知关于x 的一元二次方程x 2-（m +1）x +14m 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.（1）m 取何值时，方程有两个正实数根.（2）当矩形的对角线长为5时，求m 的值.12.金都百货某小家电经销商销售一种每个成本为40元的台灯，当每个台灯的售价定为60元时，每周可卖出100个.经市场调查发现，该台灯的售价每降低2元，其每周的销量可增加20个.（1）台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为个.（2）如果该经销商每周要获得利润2240元，那么这种台灯的售价应降价多少元？（3）在（2）的条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？（答案见下期）《一元二次方程》拓展精练福建泉州苏阳31Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题21.2 一元二次方程(拓展提高)(解析版)
专题21.2 一元二次方程（拓展提高）一、单选题1．已知()23460a x x ---=是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（ ） A ．3a =B ．3a ≠C ．a ≥3D ．a ＜3【答案】B 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．【详解】解：∵()23460a x x ---=是关于x 的一元二次方程， ∴30a -≠，∴3a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．下面关于x 的方程中：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3（x ﹣9）2﹣（x ＋1）2＝1；③x 2＋1x ＋5＝0；④x 2＋5x 3﹣6＝0；⑤3x 2＝3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．【详解】解：①ax 2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；③x 2＋1x＋5＝0是分式方程； ④x 2＋5x 3﹣6＝0是一元三次方程；⑤3x 2=3（x-2）2是一元一次方程；⑥12x-10=0是一元一次方程．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．3．若a ﹣b +c ＝0，则一元二次方程ax 2﹣bx +c ＝0（a ≠0）必有一根是（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．无法确定【答案】B【分析】由a ﹣b +c ＝0特点可知把x 换成1成立，则可求得答案．【详解】解：∵a ﹣b +c ＝0，∴a ×12﹣b ×1+c ＝0，∴方程ax 2﹣bx +c ＝0必有一根为1．故选：B ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的定义，熟知方程根的含义，观察出a 、b 、c 的特点是解题的关键．4．已知m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m 的值为（ ）A ．2020B ．2021C ．2019D ．-2020【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2-3m =-1，再把2020﹣m 2+3m 变形为2020﹣（m 2-3m ），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 为一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根．∴m 2-3m +1=0，即m 2-3m =-1，∴2020﹣m 2+3m =2020﹣（m 2-3m ）=2020-（-1）=2020+1=2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．若(),a b a b <是关于方程()()()10x m x n m n --+=<的两个实数根，则实数,,,a b m n 的大小关系是（）A ．a b m n <<<B ．m n a b <<<C ．a m n b <<<D ．m a b n <<< 【答案】D【分析】利用a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根得到（a-m ）（a-n ）=-1＜0，进而判断出m ＜a ＜n ，同理判断出m ＜b ＜n ，即可得出结论．【详解】解：∵a 是关于x 的一元二次方程（x-m ）（x-n ）+1=0的根，∴（a-m ）（a-n ）+1=0，∴（a-m ）（a-n ）=-1＜0，∵m ＜n ，∴m ＜a ＜n ，同理：m ＜b ＜n ，∵a ＜b ，∴m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m ）（a-n ）＜0是解本题的关键．6．若关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 满足0a b c -+=，称此方程为“月亮”方程．已知方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程，求22199919991a a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1D ．2-【答案】D 【分析】根据“月亮”方程的定义得出2+199910a a +=，变形为2+19991a a =-，211999a a +=-代入计算即可．【详解】解：∵方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程， ∴2+199910a a +=∴2+19991a a =-，211999a a +=- ∴222199919991999=199191919()219a a a a a a aa -++++-+-=-+ 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题7．已知关于x 的一元二次方程()221210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为________． 【答案】-1．【分析】把0x =代入方程，转化为关于a 的一元二次方程，求得a 值，结合二次项系数不能为零，确定结果即可．【详解】∵一元二次方程()221210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=∴a =1或a =-1，∵方程()221210a x x a --+-=是一元二次方程， ∴a -1≠0，∴a =-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解题的一个陷阱，要注意．8．若m 是方程2x 2-3x ﹣1＝0的根，则式子6m -4m 2+2023的值为_____．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x =m 代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【详解】解：把x =m 代入2x 2-3x -1=0，得2m 2-3m -1=0，则2m 2-3m =1．所以6m -4m 2+2023=-2（2m 2-3m ）+2023=-2+2023=2021．故答案为：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．9．若关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0有一个解是2，则3а+1的值是____________．【答案】7【分析】将x =2代入方程求出a =2，代入代数式求值即可．【详解】解：将x =2代入方程，得4-6+a =0，解得a =2，∴3a +1=6+1=7，故答案为：7．【点睛】此题考查方程的解，已知字母的值求代数式的值，正确理解方程的解是解题的关键．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0（a ≠0）的解是x =-1，则2021-a +b 的值是___．【答案】2022【分析】把x=-1代入方程可以得到-a+b 的值，从而得到所求答案．【详解】解：∵x=-1，∴a-b+1=0，∴-a+b=1，∴2021-a+b=2022，故答案为2022 ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键．11．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，则m 的值为____． 【答案】1．【分析】把x =n 代入方程求出mn 2-4n 的值，代入已知等式求出m 的值即可．【详解】解：把x =n 代入方程得：mn 2-4n -5=0，即mn 2-4n =5，代入246mn n m -+=，得：5+m =6，解得：m =1．故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ＞0或m≤-3．【分析】把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n 的任意性，构造不等式求解即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，∴△≥0，且m≠0，∴2()4(3)n m m -++≥0，∴22412n m m ++≥0，∵对于任意实数n 都有实数根，∴2412m m +≥0，∴030m m ≥⎧⎨+≥⎩或030m m ≤⎧⎨+≤⎩， ∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m ＞0或m≤-3，故答案为：m ＞0或m≤ -3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．13．已知a 是方程2202110x x -+=的一个根，则322202120211a a a --=+____． 【答案】2021-【分析】由方程根的定义可得2202110a a -+=，变形为212021a a +=．再将2202110a a -+=等号两边同时乘a 并变形得322021a a a -=-，代入322202120211a a a --+逐步化简即可． 【详解】∵a 是方程2202110x x -+=的一个根．∴2202110a a -+=，即212021a a +=．将2202110a a -+=等号两边同时乘a 得： 2(20211)0a a a -+=，即322021a a a -=-．∴2322202120211120212021202112021a a a a a a a a a a a +--=--=--=-=-=-+． 故答案为：-2021．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 14．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①BE +DF ＝EF ；②CE ＝CF ；③∠AEB ＝75°；④四边形ABCD 面积＝2+3，其中正确的序号是_____．【答案】②③④【分析】由正方形的性质得AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，由等边三角形的性质得AE ＝AF ，则可判断Rt △ABE ≌△ADF ，得到BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF ，加上∠EAF ＝60°，易得∠BAE ＝∠DAF ＝15°，利用互余得∠AEB ＝75°，则可对③进行判断；由于CB ＝CD ，BE ＝DF ，则CE ＝CF ，于是可对②进行判断；先判断△CEF 为等腰直角三角形得到CE ＝CF＝2EF ，设正方形的边长为x ，在Rt △ABE 中利用勾股定理得x ，则可计算出BE +DF ，即可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵△AEF 为等边三角形，∴AE ＝AF ＝EF ＝2，∠EAF ＝60°，∴90AB AD B D AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADF ，∴BE ＝DF ，∠BAE ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝15°，∴∠AEB ＝90°-∠BAE ＝75°，即③正确∵CB ＝CD ，∴CB ﹣BE ＝CD -DF ，∴CE ＝CF ，即②正确；∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CE ＝CF＝2EF设正方形的边长为：x ，则BE ＝x，Rt △ABE 中，AB 2+BE 2＝AE 2，∴(2222x x +=解得：x 1x 2＝2（舍去）， ∴BE +DF ＝2（x）＝2，即①错误；四边形ABCD 面积＝x 2＝2⎝⎭＝2+④正确． 故答案为：②③④．【点睛】本题考查了全等三角形、正方形、等边三角形、等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、直角三角形两锐角互补、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、正方形、等边三角形、勾股定理、一元二次方程的性质，从而完成求解．三、解答题15．已知：P ＝3a （a +1）﹣（a +1）（a ﹣1）（1）化简P ；（2）若a 为方程23x 2+x ﹣53＝0的解，求P 的值． 【答案】（1）2a 2+3a +1；（2）6【分析】（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；（2）把原方程整理得2x 2+3x ﹣5＝0，再根据解的定义得到2a 2+3a =5，进而即可求解．【详解】解：（1）P ＝3a （a +1）﹣（a +1）（a ﹣1）=3a 2+3a -a 2+1=2a 2+3a +1；（2）23x 2+x ﹣53＝0， 整理得：2x 2+3x ﹣5＝0， ∵a 为方程23x 2+x ﹣53＝0的解， ∴2a 2+3a ﹣5＝0，即：2a 2+3a =5，∴P =2a 2+3a +1=5+1=6．【点睛】本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．16．化简求值：22211369x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是一元二次方程260x x --=的解． 【答案】原式=31x x -+，当x =-2时，原式=5 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据2-60x x -=，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】原式=22211+369x x x x -⎛⎫÷ ⎪--+⎝⎭ =()()()2113233x x x x x +--+÷-- ()()()231311x x x x x --=•-+- 31x x -=+ 解方程2-60x x -=得1x =3，2x =－2∵3x =时分式无意义∴当x =－2 时， 原式23521--==-+ 【点睛】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 17．先化简，再求值：2111m m m -⎛⎫-+⎪+⎝⎭÷2221m m m -+++2m ，其中m 是方程x 2-x -5=0的根． 【答案】2m m -+，-5【分析】首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据m 是方程x 2-x -5=0的根，代入即可得到关于m 的式子，代入分式化简后的结果即可求解． 【详解】解：221212121m m m m m m m --⎛⎫-+÷+ ⎪+++⎝⎭=()()()2111212112m m m m m m m m ⎡⎤+-+--⨯+⎢⎥++-⎣⎦ =()221211212m m m m m m +--+⨯++- =()()221212m m m m m m -+-⨯++-=()12m m m -++=2m m -+∵m 是方程250x x --=的根，∴25m m -=，∴2m m -+=()2m m --=-5．【点睛】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．18．（1）解下列方程：2410x x ++=；（2）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +--+=有两个相等的实数根．求m 的值．【答案】(1)1222x x =-+=-(2)m=±2. 【分析】(1)计算根的判别式判断即可；(2)利用判别式等于零，解关于m 的一元二次方程即可.【详解】(1)∵2410x x ++=，∴a=1，b=4，c=1，∴△=24b ac -=2441112-⨯⨯=>0，∴2x ===-±，∴1222x x =-=-(2) ∵2(2)20x m x m +--+=，∴a=1，b=m-2，c=-m+2，∴△=24b ac -=2m 2)41(2)m --⨯⨯-+（=24448m m m -++-=24m -，∵一元二次方程2(2)20x m x m +--+=有两个相等的实数根,∴△=0，∴24m -=0，解得m=±2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，灵活运用根的判别式是解题的关键.19．已知方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=-，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得 ()2a 1x 3ax 8a 160-+-+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程，得 a 10-≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16-=++-+是关于x 的一元二次方程； ()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160-+=，即2x 160-=．因式分解得()()x 4x 40+-=，解得1x 4=-，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.20．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，从点C 为圆心，CB 长为半径画弧交线段AC 于点D ，以点A 为圆心AD 长为半径画弧交线段AB 于点E ，连结BD ．(1)若A ABD ∠=∠，求C ∠的度数：(2)设BC a AB b ==，．①请用含a b ，的代数式表示AD 与BE 的长；②AD 与BE 的长能同时是方程22 2 0x ax b +-=的根吗？说明理由．【答案】（1）60C ∠=°；（2）①22AD a b a =+，22=+-+BE a b a b ；②是，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC 是等边三角形，即可得到结论； （2）①根据线段的和差即可得到结论；②根据方程的解得定义，判断AD 是方程的解，则当AD=BE 时，同时是方程的解，即可得到结论．【详解】解：（1）∵90ABC ∠=︒，90A C ∴∠+∠=︒，90ABD CBD ∠+∠=︒又A ABD ∠=∠，C CBD ∴∠=∠DC DB ∴=DC BC =DBC ∴∆是等边三角形．60C ∴∠=︒．（2）①∵BC a AB b ==，， 22AC a b ∴=+22 AD AC BC a b a ∴=-=+又AD AE =，()2222BE b a b a a b a b ∴=-+=+-+． ②∵()()22222220a b a a b a a b +-++= ∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根．若AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根，则 AD BE =，a ab =+-243ab b ∴=，0b ≠，34a b ∴= ∴当34a b =时，AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习(附答案)(1)x^2+17x+72=0答案：x1=-8x2=-9(2)x^2+6x-27=0答案：x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案：x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案：x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案：x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案：x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案：x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案：x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案：x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案：x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案：x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案：x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案：x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案：x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案：x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案：x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案：x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案：x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案：x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案：x1=-16x2=19(21)x^2+13x-140=0答案：x1=7x2=-20(23)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案：x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案：x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案：x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案：x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案：x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案：x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案：x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案：x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案：x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案：x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案：x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案：x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案：x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案：x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案：x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案：x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案：x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案：x1=-6x2=-4(43)x^2+28x+180=0答案：x1=-10x2=-18(45)x^2+23x+90=0答案：x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案：x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案：x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案：x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案：x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案：x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案：x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案：x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案：x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案：x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案：x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案：x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案：x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案：x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案：x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案：x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案：x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案：x1=-4x2=-2(67)x^2+24x+119=0答案：x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案：x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案：x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案：x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案：x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案：x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案：x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案：x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案：x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案：x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案：x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案：x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案：x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案：x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案：x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案：x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案：x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案：x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案：x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(87)x^2+13x+12=0答案：x1=-1x2=-12(89)x^2+26x+133=0答案：x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案：x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案：x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案：x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案：x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案：x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案：x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案：x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案：x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案：x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案：x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案：x1=15x2=-6。
人教版数学九年级上学期课时练习- 解一元二次方程39题(拓展篇)(人教版)
专题21.27 解一元二次方程39题（拓展篇）（专项练习）一、解答题1．解方程：231213x x -=-2．解方程2233937x x x x +-=+-．3．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =，原方程化为260y y --=①，解①得12y =-，23y =．当12y =-时，22x =-无意义，舍去；当23y =时，23x =，解得x =①原方程的解为1x =2x =； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）()222251060x x x x --++=； （2）23152x x ++=．4．解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=．5．用适当方法解下列方程：（1）21329505100x x +=； （2）527x x -=-；（3）1320.50.25()0.75323x x x x ⎧⎫⎡⎤----=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭； （4）若x 为整数，252464x x +⋅-=；6．解关于x 的方程：4322102(11)2(56)20x x a x a x a a ---++++=．7．解方程：(1)43229280x x x x +--+=；(2)12234x x x -+-+-=；(3)22330x y xy y ++-+=．8．先阅读下面的内容，再解决问题例题：若m 2+2mn +2n 2-6n +9=0，求m 和n 的值．解：①m 2+2mn +2n 2-6n +9=0①m 2+2mn +n 2+n 2-6n +9=0①(m +n )2+(n -3)2=0①m+n=0，n-3=0①m=-3，n=3问题（1）若x2+2y2-2xy-4y+4=0，求x y的值（2）已知a，b，c是①ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41，且c是①ABC中最长的边，求c的取值范围．9．阅读下列材料：解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，x2＝1，①x＝±1；当y＝5时，x2＝5，①x＝所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3x4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为；求出x（2）利用换元法解方程：224224x xx x-+-＝2．10．解方程：2232mx x-=+()1m≠11．解方程：22261810 32x xx x-+-+= +-12．解方程：2(1)x+-2（x+1）=313．按要求解方程：（1）直接开平方法：4(t-3)2=9(2t-3)2（2）配方法：2x2-7x-4=0（3）公式法：3x2+5(2x+1)=0（4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)（6）用配方法求最值：6x2-x-1214．（1）解方程组：221104100x yy⎧+-=⎪-+=（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x yx y x y+-=-+⎧⎨-+=++⎩15．已知22,2,2x y x x y y≠-=-=，求5225x y x y-的值16．阅读理解：解方程：30-=x x ．解：方程左边分解因式，得()()110x x x +-=，解得10x =，21x =，31x =-．问题解决：（1）解方程：324120x x x --=．（2）解方程：()()22230x x x x ---=． （3）方程()()222212250x x x x -+---=的解为 ．17．解方程（1）236160x -= （2）()3811x -=（3）()225920x --= （42=-18．若实数a,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=，求19．用适当的方法解方程 2(23)3(23)t t +=+ ．20．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x 2–3|x|+2=0．解：设|x|=y ，则原方程可化为：y 2–3y+2=0．解得：y 1=1，y 2=2．当y=1时，|x|=1，①x=±1；当y=2时，|x|=2，①x=±2．①原方程的解是：x 1=1，x 2=–1，x 3=2，x 4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x 4–10x 2+9=0．(2)解方程：21x x +–221x x +=1． (3)若实数x 满足x 2+21x –3x–3x =2，求x+1x的值．21．解方程：22103703x x x x +++=+.22．解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.23．解方程：22110x x x x+++=24x 的一元二次方程291350244a x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的解．252+=这里a b c ===①224432b ac -=-=．①2x ==．①1222x x ==，．请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．26．观察下列方程：①2227910x x -+=；①2223660x x -+=；①2219450x x -+=；①2215280x x -+=；①2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．27．解方程：（1）224x x -=．（2）2(3)2(3)0x x x -+-=．28．解关于x 的一元二次方程：5(3)(1)(3)x x x x -=+-．29．解方程：(1)x (x ＋8)＝16;(2)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.30x 的方程（a ﹣2）x 2+2x ﹣3=0的解．31．解方程（1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．32．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.33．解方程：（3x+1）2=9x+3．34．如果x2－4x+y2，求（xy）z的值．35．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．36．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.37．用适当的方法解方程(1) ()2136x-=(2) 2870++=x x(3) 25x += (4) ()()22452x x -=-38．解方程：（1）（2）39．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．参考答案1．123,1x x ==【分析】将原方程整理，移项，令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，获得t 的值，代回原方程即可求解．解：231213x x -=-移项，整理得：()234780x x -+-=令)0t t ≥，原式变为23280t t --= 解得12t =，243t =-（舍去）2，即2430x x -+= 解得13x =，21x = 故答案为 13x =，21x =．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 2．12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【分析】将2233937x x x x +-=+-化为223372037x x x x ，设237ax x ，则原方程可化为320aa，解得13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=-，分别求解即可得到结果．解：①2233937x x x x +-=+-，①22339037x x x x ①223372037x x xx设237ax x ，则原方程可化为320aa，化简得：2230a a --= ①310a a①13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=- 解之得：12x =，25x =-，或33332x ，43332x ，经检验，12x =，25x =-，33332x ，43332x 都是原方程得解，则原方程得解为：12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【点拨】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．3．（1）11x =21x =33x =，41x =-；（2）10x =，25x =-． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令22y x x =-，即原方程=2560y y -+=，求解即可．（2y =，即原方程=23250y y ，求解即可． 解：（1）设22y x x =-，得：2560y y -+=， 解得：12y =，23y =．当12y =时，222x x -=，解得：1x = 当23y =时，223x x -=，解得：3x =，1-．①原方程的解为11x =21x =33x =，41x =-．（2y ，则方程可变成23250y y ， ①(35)(1)0y y +-=， 153y =-，21y =．当153y =-53=-，所以无解．当21y =1=， ①250x x +=， ①10x =，25x =-．经检验10x =，25x =-是原方程的解．【点拨】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．4．1234x x x x ====【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得22(514)(54)19x x x x +-++=，然后设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，解得y 的值，最后解得x 的值．解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得（x 2+5x -14）（x 2+5x +4）=19．设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，①则（y -9）（y +9）=19， 即y 2-81=19．解得1210y =±，，将y 1、y 2的值代入①式得， 255=10x x +-或255=10x x +--，解得1234x x x x ====【点拨】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 5．（1）152x =，212x =；（2）12x =，24x =；（3）149114x =-；（4）14x =，22x =【分析】（1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可； （2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可；（3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变为系数为整数的一元一次方程，解方程即可；（4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于2x 的一元二次方程，用换元法解即可． 解：（1）原方程化简得：2229600x x -+=分解因式得：(25)(12)0x x --= 即2x －5=0或x －12=0 ①152x =，212x = （2）由题意得：x －5=±(2x －7) 即x －5=2x －7或x －5=－（2x －7）①12x =，24x =（3）方程两边同乘3，得：3290.50.25()3234x x x x ⎡⎤----=+⎢⎥⎣⎦即3350.50.25()2212x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦方程两边同乘12，得：136()243542x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦即336()243522x x x -+-=+即33()303522x x -=+ 方程两边同乘4，得：69120140x x -=+ 即114x =－149 即：149114x =-（4）原方程可化为：2(2)202640x x -⨯+= 设2x X =，则方程可化为：220640X X -+= 即(X －16)(X －4)=0 ①116X =，24X =当116X =时，42162x ==，14x = 当24X =时，2242x ==，22x =即原方程的解为14x =，22x =【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用． 6．当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【分析】 先把方程变形为224322511022120,a x x ax x x x 再分解因式可得226420,ax xax x 再分两种情况解一元二次方程即可.解：把原方程变形为：224322*********,a x x ax x x x226420,ax xax x解得：26a x x 或242,ax x 当26ax x 时，则260,xx a当=36+40a 时，即9,a方程的解为：1239,39,x a x a当242a x x 时，则2420,xx a当16420a时，即6,a方程的解为：1226,26,x a x a 综上：当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a -≤<时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【点拨】本题考查的是利用因式分解法解高次方程，一元二次方程根的判别式的应用，熟练的进行因式分解是解本题的关键. 7．(1)12341,1,4,2x x x x (2)52x =或12x =(3)12x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可； （2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；（3）先整理为关于y 的一元二次方程，根据根的判别式求解1,x =- 再代入原方程求解y 即可.(1)解：43229280x x x x +--+=432228280,x x x x x 22228+280,x x x x x221280,x x x11420,x x x x解得：12341,1,4,2x x x x(2)解：12234x x x -+-+-=当2x ≥时，原方程为：12234,x x x 即410,x解得：5,2x = 经检验符合题意；当322x ≤<时，原方程为：12234,x x x 即26,x = 解得：3x =，经检验不符合题意舍去， 当312x ≤<时，原方程为：12324,x x x 即424,x 解得：0,x = 经检验不符合题意，舍去，当1x <时，原方程为：12324,x x x 即42,x 解得：12x =，经检验符合题意； 综上：方程的解为52x =或12x = (3)解：22330x y xy y ++-+=整理为：22330,yx y x 222343310,x x x2310,x 则2310,x1,x ∴=-所以原方程化为：2440,y y 解得：2,y =所以方程的解为：12x y =-⎧⎨=⎩ 【点拨】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键. 8．（1）4；（2）5≤c ＜9． 【分析】（1）将原式变形为x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0，得到：（x -y ）2+（y -2）2=0，利用非负数的性质求得x 、y ，从而确定代数式的值；（2）根据a 2+b 2=10a+8b -41，可以求得a 、b 的值，由a ，b ，c 为正整数且是△ABC 的三边长，c 是△ABC 的最长边，可以求得c 的值，本题得以解决． 解：（1）①x 2+2y 2-2xy -4y+4=0，①x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0 ①（x -y ）2+（y -2）2=0 ①x -y=0，y -2=0 ①x=2，y=2 ①x y =22=4（2）①a 2+b 2=10a+8b -41，①a 2-10a+25+b 2-8b+16=0 ①（a -5）2+（b -4）2=0 ①a -5=0，b -4=0 ①a=5，b=4 ，①a ，b ，c 是△ABC 的三边， ①c 的取值为：1＜c ＜9 又①c 是△ABC 中最长的边，且a=5 ①c 的取值为：5≤c ＜9．【点拨】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．9．（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设y=224xx -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ， ①(6)(2)0y y -+=， ①6y =或2y =-， ①26x x -=或22x x -=- 解得：x 1＝-2，x 2＝3．（2）设y ＝224xx -，则2412x x y -=， 原方程变形为：120y y+-=，去分母，得y 2﹣2y +1＝0， 即（y ﹣1）2＝0 解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ①224xx -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，①原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．10．当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.解：移项得：2223mx x -=+，化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-，1x ∴=2x ==∴当1m 时，原方程的解是x =当1m <时，原方程无实数解．【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 11．原方程的解为2x =-或4x = 【分析】令223x y x -=+，将方程转化为260y y +-=，解出2y =或3y =-，再代回223x y x -=+中，即可解答．解：令223x y x -=+，则原方程转化为：610y y -+=，整理得：260y y +-=， 解得：2y =或3y =-，经检验：2y =或3y =-都是方程的根， 当2y =时，即2223x x -=+， 去分母得：222(3)x x -=+，解得：2x =-或4x = 经检验，2x =-或4x =是方程2223x x -=+的根，当3y =-时，2233x x -=-+， 去分母得：223(3)x x -=-+， 整理得： 2370x x ++= ①947190∆=-⨯=-<， ①方程无解，综上，原方程的解为2x =-或4x =．【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为610y y-+=． 12．122,2x x ==- 【分析】先将2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x ．解：①2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0①（x+1-3）(x+1+1)=0 ①x+1-3=0或x+1+1=0 ①122,2x x ==-【点拨】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．13．（1）12315,48t t ==；（2）1214,2x x ==-；（3）12x x ==（4）12135,3x x ==；（5）12,b a x x a b ==；（6）112x =时，有最小值28924-【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）将原式进行配方变形即可得出答案． 解：（1）4(t -3)2=9(2t -3)2开方得：2(3)3(23)t t -=±-，①2(3)3(23)t t -=-或2(3)3(23)t t -=--， ①12315,48t t ==；（2）2x 2-7x -4=0 方程两边同时除以2得： 27202x x --=， 2722x x -=， 222777()2()244x x -+=+，2781()416x -=，7944x -=±，①1214,2x x ==-； （3）3x2+5(2x+1)=0方程整理为一般式为：231050x x ++=，①3,10,5a b c ===，①2241043540b ac -=-⨯⨯=，①x =，①12x x =（4）3(x -5)2=2(5-x)方程变形为：23(5)2(5)0x x -+-=，①[](5)3(5)20x x --+=，①(5)(313)0x x --=， ①12135,3x x ==； （5）abx 2-(a 2+b 2)x+ab=0()()0ax b bx a --=，①0ab ≠，①0,0a b ≠≠， ①12,b a x x a b==； （6）6x 2-x -12222211112896(2)6()()26()612121224x x x x ⎡⎤=--=---=--⎢⎥⎣⎦， ①当112x =时，原式有最小值28924-． 【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题的关键．14．（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.解：（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由①410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入①12100-+=，解得：x 将139y =代入①1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点拨】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.15．36±【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系可得：x+y=1，xy=-2，对代数式进行因式分解变形整体代入即可.解：根据题意得：x+y=1，xy=-2①224189x y x y xy①3-=±x y()()()()()()()()()223322225222223336x y x y xy x y x xy y xy x y x y y x x yy x =-=-++⎡⎤=-+-⎣-⎦=-⨯±⨯=±【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式的求值，能根据根与系数的关系求出x 与y 的和与积，并能根据公式对算式进行分解变形是关键.16．（1）10x =，2x =，3x （2）10x =，21x =，3x =，4x =（3）1x =2x = 【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．解：（1）324120x x x --=，①()241210x x x --=， ①0x =，241210x x --=，解得：10x =，2x =，3x （2）()()22230x x x x ---=，①()()2230x x x x ---=， ①20x x -=，230x x --=，解得：10x =，21x =，3x =，4x = （3）()()222212250x x x x -+---=，整理得：()2224x x -=，开方得：222x x -=±，①2220x x --=，2220x x -+=，解方程2220x x --=得：1x =2x = 方程2220x x -+=中150∆=-<，此方程无解，所以原方程的解为：1x =2x =故答案为1x =2x = 【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．17．()()()()21332211133346x x x x x =±====-或【分析】(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;(2) 把x -1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;(3) 把x -2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解;(4) 根据立方根的定义解答即可;解：（1）①36x 2-16=0，①36x 2=16，①4263x ==±=±; （2）① 38(1)1x -= , ①31(1)8x -=,①112x -==, ①32x = .（3）①2259(2)0x --=, ①225(2)9x -=,①523x -=±, ①552233x x -=-=-或, ①11133x x ==或 .（4）2,2=--=①28x -=- ;①6x =- .【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．18．【分析】把a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，根据根与系数的关系得到8,8a b ab +=-=，得出0,0a b <<，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可.解：①实数a ,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=①a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，①8,8a b ab +=-=①0,0a b <<①====【点拨】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.19．123,02t t =-=． 试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可.解：， ①， ① ，①， ① 123,02t t =-= 20．(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1x=4． 【分析】（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为y 2–3y –4=0，解方程求得y 的值，即可求得x+1x的值． 解：（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，即（a –1）（a –9）=0，解得：a =1或a =9，当a =1时，x 2=1，①x =±1；当a =9时，x 2=9，①x =±3；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0， ①（m +1）（m –2）=0，解得：m =–1或m =2，当m =–1时，21x x +=–1，即x 2+x +1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解； 当m =2时，21x x+=2，即2x 2–x –1=0，解得：x =1或x =–12， 经检验x =1和x =–12都是原分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为：y 2–2–3y =2，即y 2–3y –4=0， ①（y +1）（y –4）=0，解得：y =–1或y =4，即x +1x =–1（方程无解，舍去）或x +1x=4， 故x +1x=4． 【点拨】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．21．1x =-或2-．【分析】利用换元法，根据方程的特点设23x x y +=，则原方程可化为1070y y++=，解方程求y ，再求x 即可.解：设23x x y +=，则原方程可化为1070y y ++= 解得12y =-，或25y =-．当12y =-时，232x x +=-，解得11x =-,22x =-.当25y =-时，235x x +=-，方程无解．经检验11x =-,22x =-都是原方程的根，①原方程的根是11x =-,22x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 22．2x =或1-．【分析】 根据方程的特点用完全平方公式将分式化为2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-=解一元二次方程求y ，再求x 即可. 解：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 2224()522x x x x +=++， 设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-= 解得15y =-，21y =-.当5y =-时，252x x =-+，方程无解，后者解得2x =或1-． 当1y =-时，212x x =+，解得2x =或1-． 经检验：2x =或1-都是原方程的根，①原方程的根是12x =,21x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 23．x ＝－1.【分析】 设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x+的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设1 y x x =+，则222211()22x y x x x+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x+=1，即210x x -+=．由30=-＜知，此方程无实根， 当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=， 解得121x x ==-经检验，x ＝－1是原分式方程的解.原方程的解为x ＝－1. 【点拨】此题考查了换元法方程，关键是利用22211()2x x x x+=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程． 24．52或1.3 【分析】先求出a 的值，再代入求出方程的解即可.解：①①2612a a a -=-，解得3a =或4，当3a =时，2913530244x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，化简得261350x x -+-=，解得52x =或13， 当4a =时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃. 故答案为：52或13. 【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a 的值. 25．见解析.【分析】这位同学没有把方程化为一般式就使用了求根公式，导致c 的值错误，整个解题错误.解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c 应为-6-±【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决此题的关键.26．（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案. （2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.解：（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点拨】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.27．(1) 11x =21x =(2) 13x =，21x =．解：分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可.（1）224x x -=．解：原式可化为2240x x --=，()()2242414200b ac ∆=-=--⋅⋅-=>，①x ==①11x =21x =（2）()()23230x x x -+-=．解：()()3320x x x --+=， ()()3330x x --=，①13x =，21x =．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键.28．13x =，214x =解：由()()()5313x x x x -=+-得，()()()53130x x x x --+-=，因式分解，得()()3510x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，即()()3410x x --=，于是得30x -=或410x -=，解得13x =，214x =．29．(1)x 1＝－4＋，x 2＝－4－(2)x 1＝2，x 2＝4.分析：（1）先把方程化为一般式，然后确定a 、b 、c ，然后利用公式法求解；（2）先把方程化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可.解：(1)x(x ＋8)＝16;x 2+8x -16=0①a=1，b=8，c=-16①①=b 2-4ac=128＞0=-即x 1＝－4＋x 2＝－4－(2)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－74x 2-4x+1=3x 2+2x -7x 2-6x+8=0（x-2）（x-4）=0x-2=0或x-4=0①x1＝2，x2＝4.【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是先化简方程为一般式，然后选择公式法、配方法、因式分解法、直接开平方法求解即可.30．x=1、x=﹣3或x=32．整体分析：由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0中求解.解：①①a2﹣a=4a﹣6，解得：a=2或a=3，当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，解得：x=32，当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，解得；x=1，x=﹣3，①关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=32．31．（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.解：（1）①x2+4x﹣5=0，①（x﹣1）（x+5）=0，则x﹣1=0或x+5=0，解得：x=1或x=﹣5；（2）①（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，①（x+3）（x﹣5）=0，则x+3=0或x﹣5=0，解得：x=﹣3或x=5．32．x1x 2试题解析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.解：(x ＋1)(x －1)＝x 2-x -1=0①a=1，b=-c=-1①①=b 2-4ac=8+4=12＞0①x1x 233．x1=﹣13，x2=23． 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.解：方程整理得：（3x +1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x +1）（3x+1﹣3）=0，可得3x +1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x2=23． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.34．（xy ）z =136. 试题分析：观察分析可知，原式可化为：22(44)(69)0x x y y -++++，即：22(2)(3)0x y -+++，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：()z xy 中计算即可.解：①2246x x y y -++，①22(44)(69)0x x y y -++++，①22(2)(3)0x y -++，①203020x y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ，解得：232x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ①221()[2(3)](6)36z xy --=⨯-=-=. 【点拨】象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.35．原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ①原方程最多有两个实数解，①原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．36．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13. 解：本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0,然后分组提公因式可得: 6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0,此时设 y ＝1x x +, 则221x x+＝y 2－2,原方程可化为: 6(y 2－2)－35y ＋62＝0,解方程求出y ,然后把求出的y 值代入y ＝1x x+,得到关于x 的方程,然后解方程即可求解. 经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0， 即6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0.设y ＝1x x +，则221x x+＝y2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y2＝103. 当1x x +＝52时，解得x1＝2，x2＝12； 当1x x +＝103时，解得x 3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.37．（1）127,5x x ==- ；（2）127,1x x ；（3）12x x ==；（4）123,1x x == =试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.解：（1）()2136x -=x -1=±6127,5x x ==- ； （2）2870x x ++=（x+7）（x+1）=0127,1x x =-=-；（3）25x +=移项得250x -+=2(0x -=12x x =；（4）()()22452x x -=-移项得()()224520x x ---=（x -4+5-2x ）（x -4-5+2x ）=0解得123,1x x ==38．(1) 122,43x x ==- (2)；解：（1）利用一般式求出a 、b 、c 的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后用公式法其解即可；（2）根据完全平方公式因式分解，然后可求解.试题解析：(1)231080x x +-=解：a=310,8b c ==-，()224104381960b ac -=-⨯⨯-=>①10146x -±== 即122,43x x ==- （2）2210x x --=解：①； 39．x=15或x=1 【分析】设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,①3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ①原方程的解是x=15或x=1． 【点拨】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．。
一元二次方程专题强化训练
《一元二次方程》专题练习一、一元二次方程的解法1．已知x 为实数，且满足（x 2+3x ）2+3（x 2+3x ）﹣18=0，则x 2+3x 的值为 ． 2. 若16)3(222=-+y x ，则22y x +的值为 3．已知实数x 满足（x 2﹣5x+5）x =1，实数x 的值可以是 ． 4．已知x 是实数且满足（x ﹣3）=0，则相应的代数式x 2+2x ﹣1的值为 ．二、一元二次方程的根的定义及韦达定理的运用1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ． 2009 B ． 2010 C ． 2011 D ．2012 2．已知m 、n 是方程x 2﹣2002x+2003=0的两根，则（n 2﹣2003n+2004）与（m 2﹣2003m+2004）的积是 ．3．设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x ﹣3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a=2，则a= ． 4．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x 2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．5．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）满足a ﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知2x 2﹣mx ﹣n=0是关于x 的凤凰方程，m 是方程的一个根，则m 的值为 ． 三、判别式定理的运用1．如果关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜ B ． k ＜且k≠0 C ．﹣≤k ＜D ．﹣≤k ＜且k≠02．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．3．若m 是非负整数，且关于x 的方程（m ﹣1）x 2﹣2mx+m+2=0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．四、判别式定理与韦达定理的综合运用1．已知方程x 2﹣（m ﹣1）x+（m+7）=0有一个正根和一个负根，那么（ ） A ． m ＞7 B ． m ＞1 C ． m ＜1 D ．m ＜﹣72．已知方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有一个正根一个负根，求m的取值范围．3．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是．4．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．5．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=10，求a的值；（2）已知等腰△ABC的一边为6，另外两边的长都是整数且恰好是方程x2﹣2（a+1）x+a2+3=0的根，求这个三角形的周长．6．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．7．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．8．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x l﹣2x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数k的整数值．9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．10．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0 （m＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？11．已知方程a（2x+a）=x（1﹣x）的两个实数根为x 1，x2，设．（1）当a=﹣2时，求S的值；（2）当a取什么整数时，S的值为1；（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．12．已知关于x的一元二次方程x2+（3﹣a）x+a﹣5=0（1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求实数a的取值范围．五、一元二次方程应用题1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．（1）小球滚动了多少时间？（2）平均每秒小球的运动速度减少多少？（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？2．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？3．某商场购进一批商品，在进价基础上加价120元后，再打九折销售，每件商品售价为360元，每月可售出60件．（1）求该商品的进价．（2）为了扩大销售，商场决定采取适当的降价方式促销，经调查发现，如果每件商品降价a%，那么商场每月可以多售出30a%，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，求a的值．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？6．把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）要使折成的长方体盒子的底面积为324cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．7．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．8．某汽车销售公司1月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为16万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．①若该公司当月卖出4部汽车，则每部汽车的进价为万元；若该公司当月卖出m（1≤m≤20）部汽车，则每部汽车的进价为万元；②如果汽车的销售价位17万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）9．某广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A（m2）的范围内，每张广告收费1000元，如果超过Am2，则除了要交1000元的基本广告费外，超过部分还按每平方米50A元收费，下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载：单位广告面积（单位：m2）收费金额（单位：元）烟草公司 6 1400食品公司 3 1000红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白处，并且四周各空0.5米，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告面积，若矩形长宽之比为3：2，并且红星公司只能支出110400元的广告费．（1）求A的值．（2）求这张广告的长和宽各是多少米？10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6m？（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．11．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）求四边形APQC的面积最小值．12．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=x cm（x≠0），则AP=2x cm，CM=3x cm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以P、N两点重合？（2）问Q、M两点能重合吗？若Q、M两点能重合，则求出相应的x的值；若Q、M两点不能重合，请说明理由．（3）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．。
一元二次方程100道计算题练习(含答案)
一元二次方程100道计算题练习（含答案）1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =648、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x 01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0. 3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为5 m2，则矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
一元二次方程综合提高训练卷(20大题)
一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。
(完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =64 8、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=一、用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x--xx x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). 3(=11)2)(2答案第二章 一元二次方程备注：每题2.5分，共计100分，配方法、公式法、分解因式法，方法自选，家长批阅，错题需在旁边纠错。
一元二次方程拓展训练题及答案
一元二次方程1. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A. 21503x x -+=B. 2134x x x +=C. 2110x x--= D. 2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 （ ） A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0) 3. 若px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. p ＝1B. p ＞0C. p ≠0D. p 为任意实数4. 关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ）A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a －95. 若（m 2－4）x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠26. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .7. 已知0是关于x 的方程（m ＋3）x 2－x ＋9－m 2＝0的根，则m ＝ .8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . （不解）9. 若关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，则k .10. 当m 时，方程（m －1）x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.11.已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.12. 如图所示，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？参考答案1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]2. C3. C[提示：二次项系数不为0. ]4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 故选C. ]5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8. 2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想.解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，则垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322x -＝120，即x 2－32x ＋240＝0. 13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋c )，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，。
初三数学。一元二次方程拓展问题
一些一元二次方程拓展问题1. 实际问题建模例1：一个矩形花园的面积是100平方米，如果它的长比宽多5米，那么花园的长和宽分别是多少？解析：设花园的宽为x米，则长为x+5米。
根据面积公式，有x(x+5)=100。
这是一个一元二次方程，解这个方程可以找到x的值，从而得到长和宽。
2. 根的判别式应用例2：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，讨论a、b、c的取值范围，使得方程有两个不相等的实数根。
解析：根据根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
因此，需要讨论a、b、c的取值范围，使得Δ>0。
3. 方程的根与系数的关系例3：已知一元二次方程x2−6x+k=0的两个根分别为x1和x2，且x1+x2=5，求k的值。
解析：根据一元二次方程根与系数的关系，有x1+x2=−ab 。
在这里，a=1，b=−6，所以x1+x2=6。
但题目给出x1+x2=5，这是一个矛盾，说明原方程在给定的条件下没有解，或者题目有误。
4. 复杂方程的解法例4：解方程(x−1)2=4x(x+2)。
解析：这是一个复杂的一元二次方程，需要先展开并整理为标准形式，然后利用一元二次方程的解法（如配方法、公式法、因式分解法等）求解。
5. 方程组的解法例5：解方程组{x2+y2=25x−y=1解析：这是一个包含一元二次方程和一元一次方程的方程组。
通常需要先解出其中一个变量（如通过代入法或消元法），然后代入另一个方程求解。
总结初三数学中一元二次方程的拓展问题涉及多种类型，包括实际问题建模、根的判别式应用、方程的根与系数的关系、复杂方程的解法以及方程组的解法等。
解决这些问题需要综合运用一元二次方程的知识和技巧，以及分析问题和解决问题的能力。
通过大量的练习和实践，你可以逐渐掌握这些拓展问题的解法。
一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)
一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)1.某单位组织职工旅游，旅行社的收费标准如下：人数不超过25人，每人旅游费用为100元；超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但不低于70元。
该单位按照旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元。
求该单位这次旅游共有多少人参加？2.国务院于4月7日公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～20XX年）》。
某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，并计划到20XX年提高到7260万元。
如果从现在到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增，求到20XX年的平均增长率。
3.某商场按照定价销售某种电器时，每台可获利48元。
如果按照定价的九折销售该电器6台，则将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等。
1）该电器每台进价和定价各是多少元？2）按照（1）的定价，该商场一年可销售1000台。
经市场调查，每降低一元，一年可多卖该种电器10台。
如果商场想在一年中使该种电器获利元，那么商场应该按几折销售？4.5月1日，杭州湾跨海大桥通车。
通车后，苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地。
如果有一批货物（不超过10车）从A地按照外运路线运到B地，运费为8320元。
其中，从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用为380元。
从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元。
如果这批货物有x车。
1）用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费；2）求x的值。
5.有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。
在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒。
如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？6.近年来，我市某乡的蔬菜产值不断增加，蔬菜的产值从640万元增加到1000万元。
(完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习1、(x 4)25(x 4) 2、(x 1)24x 3、(x 3)2(1 2x)24、2x210x 35、〔x+5〕2=166、2〔2x－1〕－x〔1－2x〕=07、x2=648、5x229、8〔3-x〕2–72=0-=0510、3x(x+2)=5(x+2) 11、〔1－3y〕2+2〔3y－1〕=0 12、x2+2x+3=013、x2+6x－5=0 14、x2－4x+3=0 15、x2－2x－1=016、2x2+3x+1=0 17、3x2+2x－1=0 18、5x2－3x+2=019、7x2－4x－3=0 20、-x2-x+12=0 21、x2－6x+9=022、(3x 2)2(2x 3)223、x2-2x-4=0 24 、x2-3=4x25、3x2＋8x－3＝0〔配方法〕26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x－3)2＝x2－9 29、－3x2＋22x－24＝0 30、〔2x-1〕2+3〔2x-1〕+2=031、2x2－9x＋8＝0 32、3〔x-5〕2=x(5-x) 33 、(x＋2)2＝8x34、(x－2)2＝(2x＋3)235、7x22x036、4t24t12xx3038、6x231x350237、4x339、2x31210 40、2x223x 65 0一、用因式分解法解以下方程(x－2)2＝(2x-3)2x24x03x(x1)3x3x2-2 3x+3=0 x 528x 5 16 0二、利用开平方法解以下方程(2y1)214〔x-3〕2=25(3x2)2245三、利用配方法解以下方程x252x203x26x120x27x100四、利用公式法解以下方程－3x2＋22x－24＝02x〔x－3〕=x－3．3x2+5(2x+1 )=0五、选用适当的方法解以下方程(x＋1)2－3(x＋1)＋2＝0(2x1)29(x3)2x22x302x(x 1)(x1)(x2 )314(3x 11)(x 2) 2 x〔x＋1〕－5x＝0. 3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).答案第二章一元二次方程备注：每题分，共计100分，配方法、公式法、分解因式法，方法自选，家长批阅，错题需在旁边纠错。
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一元二次方程
1．若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0(a≠0)的一个根，则2015－2a＋2b的值等于( )
A. 2011
B. 2013
C. 2015
D. 2018
2．若k＞1，关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0的根的情况是( )
A. 有一正根和一负根
B. 有两个正根
C. 有两个负根
D. 没有实数根3．已知x1，x2是方程x2－5x＋1＝0的两根，则x12＋x22的值为( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 5
4．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A. －3，2
B. 3，－2
C. 2，－3
D. 2，3
5．已知实数a≠b，且满足(a＋1)2＝3－3(a＋1)，3(b＋1)＝3－(b＋1)2，则b b
a＋a
a
b的值
为_______．
6．若两个不等实数m，n满足条件：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2的值是____________．
7．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是_________.
8．解方程：x2－5x－6＝0.
9．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求a
b＋
b
a的值．
(3)已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
10．选做题：已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．。