期末考试二

期末考试考试范围：导数、微积分、推理与证明、复数 考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，i3＋3i＝( ) A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i解析：i 3＋3i ＝i 3－3i 3＋3i 3－3i ＝3i －3i 23－9i 2＝3i ＋312＝14＋312i. 答案：B2．设m ≠n ，x ＝m 4－m 3n ，y ＝n 3m －n 4，则x 与y 的大小关系为( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．无法确定解析：x －y ＝m 4－m 3n －n 3m ＋n 4＝m (m 3－n 3)－n (m 3－n 3)＝(m －n )2(m 2＋mn ＋n 2)＝(m －n )2[(m ＋12n )2＋34n 2]>0，故x >y .答案：A3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数． 答案：D4.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =4.解析： C 若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。

由三次函数的图象可知，若0x 是f(x)的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间（-∞, 0x ）单调递减是错误的，D 正确。

选C.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3的虚部为( ) A ．8i B ．－8i C ．8 D ．－8解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1i 3＝⎝⎛⎭⎪⎫i 2－1i 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 3＝(2i)3＝－8i ，虚部为－8. 答案：D6 ．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是 （ ）A ．125ln5+B ．11825ln 3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+6.解析: C 本题考查微积分的基本应用。

由v(t)=7-3t+t125+=0，解得4t =，所以所求的路程为42400253(73)(725ln(1))425ln 512t dt t t t t -+=-++=++⎰，选C. 7．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 012(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：由题意可知，函数f n (x )的表达式是呈周期性变化的，周期为4，而2 012＝4×503，故f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x ，故选A. 答案：A8 ．直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ）A ．43B ．2C ．83D ．38.解析：C 抛物线x 2=4y 的焦点坐标为（0，1），因为直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y=1，由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 =（ x ﹣）|=．故选C ．9．若x ，y >0且x ＋y >2，则1＋y x 和1＋xy 的值满足( ) A.1＋y x 和1＋xy 中至少有一个小于2 B.1＋y x 和1＋xy 都小于2 C.1＋y x 和1＋xy 都大于2 D ．不确定解析：假设1＋y x ≥2，1＋xy ≥2，x >0，y >0，则1＋y ≥2x,1＋x ≥2y ⇒2＋x ＋y ≥2x ＋2y ⇒x ＋y ≤2，这与x ＋y >2矛盾．答案：A10．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数时，必有a －b ＝0，即a ＝b ，但当a ＝b 时，(a －b )＋(a ＋b )i 不一定为纯虚数，例如a ＝b ＝0时．答案：C11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)11．C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x＝2a ，且f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝a 2－4a 2，此时只需a 2－4a 2>0，即可解得a <－2；若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 12．、[2014·辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.18 12．B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 012＝________. 解析：因为1＋i 1－i ＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 4＝1.答案：114.若曲线ln y kx x =+在点()1,k处的切线平行于x 轴,则k =______.解析： 1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.15．观察下图：1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10…则第________行的各数之和等于2 0132.解析：观察知，图中的第n 行的各数构成一个首项为n ，公差为1，共(2n －1)项的等差数列，其各项和为：S n ＝(2n －1)n ＋2n －1 2n －2 2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2.令(2n －1)2＝2 0112，得2n －1＝2 013， ∴n ＝1 007. 答案：1 00716．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是______.16解析： 因为函数f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax+b ）的图象关于直线x=﹣2对称， 所以将函数y=f （x ）的图象向右平移2个单位，得函数y=f （x ﹣2）的图象关于x=0对称，可得f （x ﹣2）=[1﹣（x ﹣2）2][（x ﹣2）2+a （x ﹣2）+b]是偶函数设g （x ）=f （x ﹣2）=﹣x 4+（8﹣a ）x 3+（12a ﹣b ﹣23）x 2+（28﹣11a+4b ）x+8a ﹣4b因为g （﹣x ）=g （x ）， 所以，解之得因此，f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+8x+15）=﹣x 4﹣8x 3﹣14x 2+8x+15 求导数，得f'（x ）=﹣4x 3﹣24x 2﹣28x+8令f'（x ）=0，得x 1=﹣2﹣，x 2=﹣2，x 3=﹣2+当x ∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f'（x ）＞0；当x ∈（﹣2﹣，﹣2）时，f'（x ）＜0；当x ∈（﹣2，﹣2+）时，f'（x ）＞0； 当x ∈（﹣2+，+∞）时，f'（x ）＜0所以f （x ）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数 又因为f （﹣2﹣）=f （﹣2+）=16 所以f （x ）的最大值为16三、解答题(本大题共6小题，第17小题10分，第18～22小题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 为实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 为纯虚数．(4)当⎩⎨⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.18．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，且a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22.因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ， a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. (2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n .因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0， 从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n. 19．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．19．解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x<0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19.所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，19.20．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n)．(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12(a 1＋1a 1)，得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1a 2)，得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝2－1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1a 3)．得a 23＋22a 3－1＝0，∴a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立； ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k .∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知， n ∈N *，a n ＝n －n －1.21.设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .解析：(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x (),0-∞0 ()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()f x ' + 0- 0+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.22． 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)． 22．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ， g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)] ＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.。