汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺卷(文数)

汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺卷数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的）1、已知全集U R =，集合{|2}A x x =>，{1,2,3,4}B =，那么()B A C U ⋂=（ ） A.{}4,3 B.{}3,2,1 C.{}2,1 D. {}4,3,2,12、已知复数z 满足(1)5i z i -=+，则z =（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -3、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，1234,2,a a a 成等差数列，11a =，则4S =（ ） A.15 B.-15 C.4 D.-44、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=5、下列命题正确的是（ ）A ．命题2000,13x R x x ∃∈+>的否定是：2,13x R x x ∀∈+<B ．命题ABC ∆中，若A B >，则cos cos A B >的否命题是真命题 C ．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 为真命题，q 为假命题D ．1=ω是函数()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期为2π的充分不必要条件6、若如右图所示的程序框图输出的S 是30， 则①可以为 ( )A ．?2≤nB ．?3≤nC ．?4≤nD ．?5≤n7、已知函数12cos 2sin 3)(+-=x x x f ， 下列结论中错误的是（ ）A ．)(x f 的图像关于)1,12(π中心对称B ．)(x f 在)1211,125(ππ上单调递减 C ．)(x f 的图像关于3π=x 对称D ．)(x f 的最大值为38、若23log (log )a ＝34log (log )b ＝42log (log )c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．b ＞c ＞a9、已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为（ ）A. 9B. 32C.34D.5210、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是 一个几何体的三视图.则该几何体的体积为( )11A.3 .3B .7C 23.3D11、抛物线28y x =的焦点为F ，设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的两个动点，若124x x ++=，则AFB ∠的最大值为（ ）A. 3π B. 34πC. 56π D. 23π12、已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13、已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-100y y x y x ,则52-+=y x z 的最小值为 ．14、已知动点A 在圆221:P x y +=上运动,点Q 为定点()34,B -与点A 距离的中点，则点Q 的轨迹方程为15、三棱锥D-ABC 中，DC ⊥平面ABC ，且AB=BC=CA=DC=2，则该三棱锥的外接球的表面积是16、定义{}max ,a b 为,a b 中的最大值，函数()(){}()2max log 1,2,1f x x x x =+->-的最小值为c ，如果函数()()321,4,x c m x x g x m x c ≥⎧-+⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递减，则实数m 的范围为三、解答题（共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知()2sin()26x f x π=+(1)若向量(3cos ,cos )44x x m =，(cos ,sin )44x xn =-，且m ∥n ，求()f x 的值(2)在ABC ∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c ，且满足)cos cos c B b C -=， 求()f A 的取值范围18（12分）2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与AlphaGo 的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与AlphaGo 的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面22⨯列联 表，并据此资料你是否有95%的把握认为 “围棋迷”与性别有关？（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.参考数据:22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++19（12分）如下图，四梭锥-P ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , //,3,4AD BC PA AB AC AD BC =====,M 为线段AD 上一点，2AM MD =,N 为PB 的中点.(1) 证明://MN 平面PCD ； （2）求四面体M BCN -的体积.20（12分）已知椭圆2215x y +=的右焦点为F ,坐标原点为O .椭圆C 的动弦AB 过右焦点F 且不垂直于坐标轴，AB 的中点为N ,过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点M (I)证明:点M 在直线52x =上; (Ⅱ)当四边形OAMB 是平行四边形时,求MAB ∆的面积.21(12分)已知函数()32693f x x x x =-+- （1）求函数()f x 的极值（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“美丽区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号22（10分）选修：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数，a R ∈）．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23（10分）选修：不等式选讲已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++.数学（文科）参考答案一、选择题1C 2B 3A 4B 5D 6C 7B 8D 9B 10A 11D 12A二、填空题13、 -6 14、223460x y x y ++-+= 15、 283π 16、10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题17（1）211//3cos sin cos cos 04442222x x x x x m n ⇔+=++=，………2分即1sin 262x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以()1f x =- ……………5分（2）因为()C b B c a cos cos 2=-，由正弦定理得：()C B B C A cos sin cos sin sin 2=-……………6分cos sin cos cos sin sin()A B B C B C B C =+=+……………7分又ABC ∆中A B C π++=cos sin A B A =……………8分∵,(0,)A B π∈，∴cos 2B =，则4πB =， ……………9分 因此34A C π+=，于是30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，… ………10分 由()2sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∴()132sin ,2662624A A f A ππππ⎛⎫=+<+<⎪⎝⎭， …………11分故()f A 的取值范围为(1,2] …………12分18（1）由频率分布直方图可知，(0.0200.005)1010025+⨯⨯= 所以在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而22⨯列联表如下22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(30101545)100 3.0304555752533⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.030 3.841<，所以没有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关.…………6分 （2）由（1）中列联表可知25名“围棋迷”中有男生15名，女生10名，所以从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取的5名学生中，有男生3名，记为123,,B B B ，有女生2名，记为12,G G .则从5名学生中随机抽取2人出赛，基本事件有：12(,)B B ，13(,)B B ，11(,)B G ，12(,)B G ，23(,)B B ，21(,)B G ，22(,)B G ，31(,)B G ，32(,)B G ，12(,)G G ，共10种； 其中2人恰好一男一女的有：11(,)B G ，12(,)B G ，21(,)B G ，22(,)B G ，31(,)B G ，32(,)B G ，共6种；故2人恰好一男一女的概率为63105P ==.…………12分 19（1)由已知得113AM AD ==，2,DM ∴= 取CP 的中点T ，连接,DT TN ，由N 为PB 中点知//TN BC ，221==BC TN . 又//AD BC ，故TN //DM ，四边形DMNT 为平行四边形，于是//MN DT . 因为DT ⊂平面PCD ，⊄MN 平面PCD ，所以//MN 平面PCD …………5分 （Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PB 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为1322PA =. 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由//C AM B 得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S .所以四面体M BCN -的体积132M BCN N BCMBCM PA V V S --∆==⨯⨯=…………12分 20（Ⅰ）易知(2,0)F ，设AB 所在直线为：(2)y k x =-(0)k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y联立方程组2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得2222(51)20(205)0k x k x k +-+-=由韦达定理得21222051k x x k +=+，212220551k x x k -=+，则222102(,)5151k kN k k -++，从而ON 所在直线方程为15y x k =-又FM 所在直线方程为1(2)y x k =--，联立两直线方程解得52M x =.所以点M 在直线52x =上.…………5分 （Ⅱ）∵点N 是AB 的中点，且四边形OAMB 是平行四边形 ∴点N 是OM 的中点由（Ⅰ）知222102(,)5151k k N k k -++，51(,)22M k -，则22210515143k k k =⇒=+ 此时121255,28x x x x +==12|||AB x x =-==||1FM ==.从而1||||22MAB S AB FM ∆=⋅=…………12分 21（1）因为()32693f x x x x =-+-， 所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--． 令'()0f x =，可得1x =或3x =． 则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-．…5分（2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“美丽区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根． 设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+． 令()g x '0=，解得123x =-，223x =+>． 当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增． 因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>， 所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“美丽区间”． ………12分22题：（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，- 2分由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y xx a y ===⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+=-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94．------- 10分 23.题：解：（1）()()23235x x x x --+≤--+=, 若不等式231x x m --+≥+有解， 则满足15m +≤，解得64m -≤≤， ∴4M =.…………4分（2）由（1）知正数 a b c ，，满足24a b c ++=， ∴()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭124b c a b a b b c ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭124⎛≥+ ⎝ 1=.当且仅当a c =，2a b +=时，取等号.…………10分。