精编2018高考数学(理科)习题第四章三角函数422和答案

1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )
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A.⎝
⎛
⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1
4
，k ＋34，k ∈Z
D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z
答案 D
解析 由图象可知ω
4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π
2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ
＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间
为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋3
4
，k ∈Z ，故选D.
2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1
解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.
3．已知函数f (x )＝sin 2
x －sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π6，x ∈R .
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(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π4上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有
f (x )＝1－cos2x －1－cos ⎝
⎛
⎭⎪
⎫2x －π3
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋3
sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6.
所以，f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π4上是增函
数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π4上的最大值
为34，最小值为－1
2
. 解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，
f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为3
.
4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，
且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋3π2的值．
解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T
＝2.
又因为f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2×π3＋φ＝k π＋π
2，k ＝0，±1，±2，….
因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π
6
.
(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.
由π6<α<2π3得0<α－π6<π
2， 所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π6＝
1－sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π6＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142
＝154.
因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π＋π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6
＝14×32＋154×12＝3＋158
. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．
解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2，
所以⎩⎨⎧
3＝m sin π6＋n cos π6
，
－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3，即
⎩⎪⎨⎪⎧
3＝1m ＋3
n ，－2＝－32m －12n ，
解得m ＝3，n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6.
由题意知g (x )＝f (x ＋φ) ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.
设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，
因为0<φ<π，所以φ＝π
.
因此g (x )＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，
由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z ，
所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π2，k π，k ∈Z .。