高中数学立体几何部分错题精选
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题测试综合卷学能测试试题一、立体几何多选题1.已知球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球,平面11A C B 截球O 的面积为24π,下列命题中正确的有( )A .异面直线AC 与1BC 所成的角为60°B .1BD ⊥平面11AC B C .球O 的表面积为36πD .三棱锥111B AC B -的体积为288 【答案】AD 【分析】连接11A C ,1A B ,通过平移将AC 与1BC 所成角转化为11A C 与1BC 所成角可判断A ;通过反证法证明B ;由已知平面11A C B 截球O 的面积为24π求出正方体棱长,进而求出内切球的表面积可判断C ;利用等体积法可求得三棱锥111B AC B -的体积可判断D. 【详解】对于A ,连接11A C ,1A B ,由正方体1111ABCD A B C D -,可知11//A C AC ,11AC B ∴∠为异面直线AC 与1BC 所成的角,设正方体边长为a,则1111AC A B BC ==,由等边三角形知1160A C B ∠=,即异面直线AC 与1BC 所成的角为60,故A 正确; 对于B ,假设1BD ⊥平面11A C B ,又1A B ⊂平面11A C B ,则11BD B A ⊥,设正方体边长为a ,则11A D a =,1A B =,1BD =,由勾股定理知111A D B A ⊥,与假设矛盾,假设不成立,故1BD 不垂直于平面11A C B ,故B 错误; 对于C ,设正方体边长为a,则11AC =,内切球半径为2a,设内切球的球心O 在面11A C B 上的投影为O ',由等边三角形性质可知O '为等边11A C B △的重心,则11123233O A AC a ='=⨯=,又12OA a =,∴球心O 到面11A C B 的距离6a ==,又球心与截面圆心的连线垂直于截面,∴=,又截面圆的面积2246S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=,解得12a =,则内切球半径为6,内切球表面积214644S ππ==⨯,故C 错误;对于D ,由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=,故D 正确; 故选:AD【点睛】关键点点睛:本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,从而求出正方体的棱长,进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积,考查了空间想象能力,数形结合的思想,属于较难题.2.在长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,18AA =,点P 在线段11A C 上,M 为AB 的中点,则( ) A .BD ⊥平面PACB .当P 为11AC 的中点时,四棱锥P ABCD -外接球半径为72C .三棱锥A PCD -体积为定值D .过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面,所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误;判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥,求出该四棱锥的外接球半径,可判断B 选项的正误;利用等体积法可判断C 选项的正误;计算出截面圆半径的最小值,求出截面圆面积的最小值,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,因为AB BC =,所以,矩形ABCD 为正方形,所以,BD AC ⊥, 在长方体1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD AA ∴⊥,1AC AA A ⋂=,AC 、1AA ⊂平面PAC ,所以,BD ⊥平面PAC ,A 选项正确;对于B 选项,当点P 为11A C 的中点时,()22221182262PA AA PA =+=+=同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形,所以,四棱锥P ABCD -为正四棱锥, 取AC 的中点N ,则PN 平面ABCD ,且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上,设该四棱锥的外接球半径为R ,由几何关系可得222PN R AN R -+=, 即2288R R -+=,解得92R =,B 选项错误; 对于C 选项,2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=, 三棱锥P ACD -的高为18AA =,因此,116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△,C 选项正确;对于D 选项,设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ,则E 为1BD 的中点, 连接EN 、MN ,则1142EN DD ==,122MN AD ==, E 、N 分别为1BD 、BD 的中点,则1//EN DD , 1DD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,EN MN ∴⊥,EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α,点E 到平面α的距离为d ,直线EM 与平面α所成的角为θ,则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时,等号成立,长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==,所以,截面圆的半径2r =≥=,因此,截面圆面积的最小值为4π,D 选项正确.故选:ACD. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为11A D 的中点,若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H ,则下列结论正确的是( )A .11//A D 平面EFGHB .1AC ⊥平面EFGHC .11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D .平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图,计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点,利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否,计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确,而几何体BHE CGF -为三棱柱,利用公式可求其体积,从而可判断D 正确与否. 【详解】如图,连接OA ,则2115OA AA =+=,故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理,棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2,而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ,F ,G ,H , 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点, 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形,故22651AE OE OA -=-=,故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC , 同理//GH BC ,故//EF GH ,故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ,故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ,EF ⊂平面EFGH ,故11//A D 平面EFGH ,故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中,122A B =2BC = ,190A BC ∠=︒, 1A C 与BC 不垂直,故1A C 与GH 不垂直,故1A C ⊥平面EFGH 不成立,故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ,而1A B ⊂平面11AA B B , 所以1BC A B ⊥,所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中,因为,E H 分别为1,AB BB 的中点,故1EH A B ⊥, 因为EFEH E =,故1A B ⊥平面EFGH ,所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角,而45BEH ∠=︒, 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒,因为11//AB A B ,故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点,故几何体BHE CGF -为三棱柱, 其体积为111212⨯⨯⨯=,而正方体的体积为8,故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算,注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点,本题属于中档题.4.已知直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==,D 是AC 的中点,O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点,则下列说法正确的是( )A .当点P 运动到1BC 中点时,直线1A P 与平面111ABC 5 B .无论点P 在1BC 上怎么运动,都有11A P OB ⊥C .当点P 运动到1BC 中点时,才有1A P 与1OB 相交于一点,记为Q ,且113PQ QA = D .无论点P 在1BC 上怎么运动,直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠,由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误;利用线面垂直的性质,可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误;由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误;由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠,结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中,AB BC ⊥,1AB BC BB ==选项A 中,当点P 运动到1BC 中点时,有E 为11B C 的中点,连接1A E 、EP ,如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值:1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =,22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan PA E ∠=,故A 正确选项B 中,连接1B C ,与1BC 交于E ,并连接1A B ,如下图示由题意知,11B BCC 为正方形,即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱,有11A B ⊥面11B BCC ,1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥,又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ,1OB ⊂面11A B C ,故11BC OB ⊥ 同理可证:11A B OB ⊥,又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ,又1A P ⊂面11A BC ,即有11A P OB ⊥,故B 正确选项C 中,点P 运动到1BC 中点时,即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:112PQQA=,故C错误选项D中,由于11//A B AB,直线1A P与AB所成角即为11A B与1A P所成角:11B A P∠结合下图分析知:点P在1BC上运动时当P在B或1C上时,11B A P∠最大为45°当P在1BC中点上时,11B A P∠最小为23arctan30>=︒∴11B A P∠不可能是30°,故D正确故选:ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角,并计算其正弦值;利用线面垂直证明线线垂直;中位线的性质:中位线交点分中位线为1:2的数量关系;由动点分析线线角的大小5.已知正方体1111ABCD A B C D-棱长为2,如图,M为1CC上的动点,AM⊥平面α.下面说法正确的是()A .直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B .点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大 C .点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D .已知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可判断A 选项的正误;证明出1AC ⊥平面1A BD ,分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ,比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小,可判断B 选项的正误;利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ,判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误;将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短,利用平行线分线段成比例定理求得MC ,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤,AM ⊥平面α,则AM 为平面α的一个法向量,且()2,2,AM a =-,()0,2,0AB =, 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦, 所以,直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦,A 选项正确; 对于B 选项,当M 与1CC 重合时,连接1A D 、BD 、1A B 、AC , 在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD CC ∴⊥,四边形ABCD 是正方形,则BD AC ⊥,1CC AC C =,BD ∴⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥,同理可证11AC A D ⊥, 1A D BD D ⋂=,1AC ∴⊥平面1A BD ,易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点,易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形,且平面//EFQNGH 平面1A BD , 正六边形EFQNGH 的周长为62,面积为()236233⨯⨯=,则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误; 对于C 选项,设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ,点()0,2,1M ,()2,2,1AM =-,AM ⊥平面α,DE ⊂平面α,AM DE ∴⊥,即220AM DE b ⋅=-+=,得1b =,()1,0,2E ∴,所以,点E 为棱11A D 的中点,同理可知,点F 为棱11A B 的中点,则()2,1,2F ,()1,1,0EF =,而()2,2,0DB =,12EF DB ∴=,//EF DB ∴且EF DB ≠, 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=,DE BF ∴=,所以,四边形BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若AM MN +最短,则A 、M 、N 三点共线,11//CC DD ,2222222MC AC DN AD ∴===+, 11222MC CC =≠,所以,点M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.6.在边长为2的等边三角形ABC 中,点,D E 分别是边,AC AB 上的点,满足//DE BC 且AD ACλ=,(()01λ∈,),将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是( )A .在边A E '上存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD 'B .存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面A BC '⊥平面BCDEC .若12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,||104A B '= D .在翻折过程中,四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ,()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,即可判断出结论.对于B ,102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,即可判断出结论.对于C ,12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+,结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-,()01λ∈,,利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,如图所示,则可得FN 平行且等于BG ,即四边形BGNF 为平行四边形, ∴//NG BE ,而GN 始终与平面ACD 相交,因此在边A E '上不存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD ',A 不正确.对于B ,102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ,因此B 不正确. 对于C.12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,如图所示:可得AM ⊥平面BCDE , 则22223111010()1()21cos12022224A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠,因此C 不正确;对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-,()01λ∈,,()213f λλ'=-,可得33λ=时,函数()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,因此D 正确. 综上所述,不成立的为ABC. 故选:ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力空间想象能力与计算能力,属于难题.7.如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段B 1C 上运动,则( )A .直线BD 1⊥平面A 1C 1DB .三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C .异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°,90°] D .直线C 1P 与平面A 1C 1D 6【答案】ABD 【分析】在A 中,推导出A 1C 1⊥BD 1,DC 1⊥BD 1,从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ;在B 中,由B 1C ∥平面 A 1C 1D ,得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,再由△A 1C 1D 的面积是定值,从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值;在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°];在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63. 【详解】解:在A 中,∵A 1C 1⊥B 1D 1,A 1C 1⊥BB 1,B 1D 1∩BB 1=B 1, ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1,∴A 1C 1⊥BD 1,同理,DC 1⊥BD 1, ∵A 1C 1∩DC 1=C 1,∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ,故A 正确; 在B 中,∵A 1D ∥B 1C ,A 1D ⊂平面A 1C 1D ,B 1C ⊄平面A 1C 1D ,∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ,∵点P 在线段B 1C 上运动,∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值,又△A 1C 1D 的面积是定值,∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值,故B 正确; 在C 中,异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°,90°],故C 错误;在D 中,以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系, 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1,P (a ,1,a ),则D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1),1DA =(1,0,1),1DC =(0,1,1),1C P =(a ,0,a ﹣1), 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =,则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取x =1,得1,1,1n,∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为:11||||||C P n C P n ⋅⋅=22(1)3a a +-⋅=21132()22a ⋅-+, ∴当a =12时,直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤:(1)、①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解; (2)、用空间向量坐标公式求解.8.如图所示,正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1,E ,F 分别是棱AA ',CC '的中点,过直线EF 的平面分别与棱BB ',DD '交于点M ,N ,以下四个命题中正确的是( )A .0MN EF ⋅=B .ME NE =C .四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D .四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B '',进而得EF MN ⊥,即可得A 选项正确;证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确;由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅,再分别讨论MN 的最大值与最小值即可;根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项,如图,连接BD ,B D '',MN .由题易得EF BD ⊥,EFBB '⊥,BD BB B '⋂=,所以EF ⊥平面BDD B '',又MN ⊂平面BDD B '',所以EF MN ⊥,因此0MN EF ⋅=,故A 正确.对于B 选项,由正方体性质得:平面''//BCC B 平面''ADD A ,平面''BCC B 平面EMFN MF =,平面''ADD A 平面EMFN EN =, 所以//MF EN ,同理得//ME NF ,又EF MN ⊥,所以四边形MENF 为菱形, 因此ME NE =,故B 正确.对于C 选项,由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅, 所以当点M ,N 分别为BB ',DD '的中点时,四边形MENF 的面积S 最小, 此时2MN EF ==,即面积S 的最小值为1;当点M ,N 分别与点B (或点B '),D (或D )重合时,四边形MENF 的面积S 最大,此时3MN =,即面积S 的最大值为6, 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6,故C 不正确. 对于D 选项,四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△; 因为E ,F 分别是AA ',CC '的中点,所以BM D N '=,DN B M '=,于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的,则它们的体积也是相同的,因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体,所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3,故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积,考查空间思维能力与运算求解能力,是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形,利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和,将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
立体几何易错题精选(部分解析).
立体几何易错题精选(部分解析)16.已知三棱锥P-
ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,D是底面三角形内一点,且∠DPA=450,∠DPB=600,则∠DPC=_____
答案:600
点评:以PD为对角线构造长方体,问题转化为对角线PD与棱PC的夹角,利用co s2450+cos2600+cos2α=1得α=600,构造模型问题能力弱。
29.点P在直径为2的球面上,过P作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的2倍,则这三条弦长之和为最大值是
正确答案:
错误原因:找不到解题思路
20.自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则
=_____。
正解:,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。
误解:没有考虑到球内接矩形,直接运算,易造成计算错误。
25.异面直线a ,
b所成的角为,过空间一定点P,作直线L,使L与a ,b
所成的角均为,这样的直线L有条。
答案:三条
错解:一条
错因:没有能借助于平面衬托,思考问题欠严谨。
过P作
确定一平面,画相交所成角的
平分线m、g,过m,
g分别作平面的垂面,则在中易找到所求直线共有3条。
详解十五道高中立体几何典型易错题
例1 设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长都相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4分析:命题①是假命题.因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体.底面是矩形,侧棱不垂直于底面,这样的四棱柱仍是斜平行六面体;命题②是假命题.底面是菱形,底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体; 命题③是假命题.因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直. 命题④是真命题,如图所示,平行六面体1111-D C B A ABCD 中所有对角线相等,对角面11BDD B 是平行四边形,对角线D B BD 11=,所以四边形11BDD B 是矩形,即BD BB ⊥1,同理四边形11ACC A 是矩形,所以AC AA ⊥1,由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ,即该平行六面体是直平行六面体.故选A .说明:解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别,要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题.下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”,由此,我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的.见表表例2 如图,正四棱柱1111-D C B A ABCD 中,对角线81=BD ,1BD 与侧面C C BB 11所成角为 30,求:(1)1BD 与底面ABCD 所成角;(2)异面直线1BD 与AD 所成角;(3)正四棱柱的全面积.分析:正四棱柱是一种特殊的长方体,它的两底面ABCD 、1111D C B A 是正方形,长方体中有比较多的线面垂直关系,而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件.题中无论是已知线面成角,还是求线面成角,都要把它们转化为具体的角,落实线面成角,先要找线面垂直关系.异面直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ,落实为具体的B D A 11∠.正四棱柱各个面都是矩形,求面积只要用矩形面积公式. 解:(1)在正四棱柱C A 1中,∵⊥11C D 面C C BB 11,∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角,即 3011=∠BC D .∵ 81=BD ,∴ 411=C D ,341=BC ,∵ 1111D C B A 是正方形,∴41111==C D C B ,⊥D D 1平面ABCD ,∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角,在Rt △DB D 1中,2411==D B BD ,81=BD , ∴22cos 11==∠BD BD BD D ,∴ 451=∠BD D , 即1BD 与底面ABCD 所成角为 45.(2)∵11//D A AD ,∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角(或补角).∵⊥11A D 平面B B AA 11,∴ B A A D 111⊥,Rt △B D A 11中,411=D A ,81=BD , ∴21cos 11=∠B D A ,∴ 6011=∠B D A ,即异面直线AD 与1BD 所成角为 60.(3)Rt △11C BB 中,411=C B ,341=BC .∴ 241=BB ,∴ ()()12232244244442+=⨯+⨯+⨯=全S .说明:长方体是一种特殊的棱柱,充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键,各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件.典型例题三例3 如图,已知长方体1111-D C B A ABCD 中,棱长51=AA ,12=AB ,求直线11C B 与平面11BCD A 的距离.分析:求直线到平面的距离,首先要找直线上的点到平面的垂线,而找平面的垂线的一个很有用的思路是,找平面内一条直线与某一平面垂直,这里我们不难看出,长方体中有⊥CB 平面11BB AA ,这样,只要作B A H B 11⊥,又有CB H B ⊥1,得到⊥H B 1平面11A BC D . 解:长方体1AC 中,有⊥BC 平面11BB AA ,过1B 作B A H B 11⊥于H ,又有H B BC1⊥,∴ ⊥H B 1平11A BCD ,即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离.在Rt △11A BB 中,由已知可得,51=BB ,1211=B A ,∴ 131=B A ,∴13601=H B . 即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为1360. 说明:长方体中有棱与面的线面垂直关系,正方体除此之外,还有对角线与对角面的线面垂直关系,比如,求正方体1AC 中,11C A 与面BD C 1所成角.这里,要找11C A 与BD C 1所成角,必须找1A 到平面BD C 1的垂线,因为⊥BD 面C C AA 11,在对角面1AC 内,过1A 作11OC H A ⊥于H ,则H A BD 1⊥,所以⊥H A 1面BD C 1,可以得到O C A 11∠为11C A 与面BD C 1所成角,在对角面C C AA 11中可计算2arctan 11=∠O C A .典型例题四例4 如图,已知直三棱柱1111-D C B A ABCD 中,AC AB =,F 为侧棱1BB 上一点,a BC BF 2==,a FB =1.(1)若D 为BC 的中点,E 为AD 上不同于A 、D 的任一点,求证:1FC EF ⊥;(2)若a B A 311=,求1FC 与平面B B AA 11所成角的大小. 分析:E 点在AD 上变化,EF 为平面ADF 内变化的一组相交直线(都过定点F ),要证明F C 1与EF 垂直,必有⊥F C 1平面ADF .求1FC 与平面11A ABB 所成角的关键是找1C 到面11A ABB 的垂线,从而落实线面成角,直三棱柱中,侧棱⊥1AA 平面111C B A 给找点1C 到面1AB 的垂线创造了方便的条件.解:(1)∵AC AB =,且D 是BC 的中点,∴BC AD ⊥,又∵ 直三棱柱中⊥1BB 平面ABC ,∴1BB AD ⊥,∴ ⊥AD 平面C C BB 11,∴F C AD 1⊥.在矩形C C BB 11中,a BC BF 2==,a F B =1, ∴a DF 5=,a FC 51=,a DC 101=,∴21212DC FC DF =+,∴ 901=∠DFC ,即DF FC ⊥1,∴⊥1FC 平面ADF ,∴EF FC ⊥1.(2)过1C 作111B A H C ⊥于H ,∵⊥1AA 平面C B A 11,∴H C AA 11⊥,∴⊥H C 1平面B B AA 11,连接FH ,FH C 1∠是F C 1与平面1AB 所成角.在等腰△ABC 中,a AC AB 3==,a BC 2=,∴a AD 22=,在等腰△111C B A 中,由面积相等可得,a a H C 22231⨯=⨯, ∴a H C 3241=,又a F C 51=, 在Rt △HF C 1中,15104sin 1=∠FH C , ∴15104arcsin1=∠FH C , 即F C 1与平面1AB 所成角为15104arcsin . 说明:由于点E 在AD 上变化,给思考增加了难度,但仔细思考,它又提供了解题的突破口,使得线线垂直成为了1CF 与一组直线垂直.本题的证明还有一个可行的思路,虽然E 在AD 上变化,但是由于⊥AD 平面C C BB 11,所以E 点在平面1BC 上的射影是定点D ,EF 在平面1BC 上射影为定直线DF ,使用三垂线定理,可由DF F C ⊥1,直接证明EF F C ⊥1.三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具,再看一个例子,正方体1AC 中,O 是底面ABCD的中心,E 是11B A 上动点,F 是1DD 中点,求AF 与OE 所成角.我们取AD 中点G ,虽然E 点变化,但OE 在面1AD 上射影为定直线G A 1,在正方形D D AA 11中,易证AF B A ⊥1,所以,OE AF ⊥,即AF 与OE 所成角为 90.典型例题五例5 如图,正三棱柱111-C B A ABC 的底面边长为4,侧棱长为a ,过BC的截面与底面成 30的二面角,分别就(1)3=a ;(2)1=a 计算截面的面积.分析:要求出截面的面积,首先必须确定截面的形状,截面与底面成 30的二面角,如果a 较大,此时截面是三角形;但是如果a 较小,此时截面与侧棱不交,而与上底面相交,截面为梯形.解:截面与侧棱1AA 所在直线交于D 点,取BC 中点E ,连AE 、DE ,△ABC 是等边三角形,∴BC AE ⊥,∵⊥1AA 平面ABC ,∴BC DE ⊥.∴DEA ∠为截面与底面所成二面角的平面角,∴ 30=∠DEA .∵等边△ABC 边长为4,∴32=AE .在Rt △DAE 中,2tan =∠=DEA AE DA .(1)当3=a 时,D 点在侧棱1AA 上,截面为△BCD ,在Rt △DAE 中,422=+=AE AD DE , ∴8442121=⨯⨯=⋅=∆DE BC S BCD . (2)当1=a 时,D 点在1AA 延长线上,截面为梯形BCMN ,∵2=AD ,11=AA ∴MN 是△DBC 的中位线, ∴684343=⨯==∆DBC BCMN S S 梯形. 说明:涉及多面体的截面问题,都要经过先确定截面形状,再解决问题的过程,本例通过改变侧棱长而改变了截面形状,我们也可以通过确定侧棱长,改变截面与底面成角而改变截面形状.典型例题六例6 斜三棱柱111-C B A ABC 中,平面⊥C C AA 11底面ABC ,2=BC ,32=AC ,90=∠ABC ,C A AA 11⊥,且C A AA 11=.(1)求1AA 与平面ABC 所成角;(2)求平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的大小;(3)求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离.分析:按照一般思路,首先转化条件中的面面垂直关系,由C A A A 11=,取AC 的中点D ,连D A 1,则有AC D A ⊥1,从而有⊥D A 1平面ABC ,在此基础上,A A 1与底面所成角以及平面11ABB A 与底面所成二面角都能方便地找到,同时⊥D A 1底面ABC 也为寻找B 点到面C C AA 11的垂线创造了条件.解:(1)取AC 的中点D ,连接D A 1,∵C A A A 11=,∴AC D A ⊥1,∵平面⊥C C AA 11底面ABC ,∴⊥D A 1底面ABC ,∴AC A 1∠为A A 1与底面ABC 所成角.∵C A AA 11=且C A AA 11⊥,∴ 451=∠AC A .(2)取AB 中点E ,则BC DE //,∵ 90=∠ABC ,∴AB CB ⊥,∴AB DE ⊥.连E A 1,∵⊥D A 1底面ABC ,∴E A 1在平面ABC 上射影为DE ,∴AB E A ⊥1,∴ED A 1∠为侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角. 在等腰Rt △AC A 1中,32=AC ,∴31=D A .在Rt △ABC 中,2=BC ,∴1=DE .在Rt △DE A 1中,3tan 11==∠DED A ED A , ∴ 601=∠ED A ,即侧面B B AA 11与底面ABC 所成二面角的大小为 60.(3)过B 作AC BH ⊥于H ,∵⊥D A 1底面ABC ,∴BH D A ⊥1,∴⊥BH 平面C C AA 11,在Rt △ABC 中,32=AC ,2=BC ,∴22=AB , ∴632=⋅=AD BC AB BH ,即1BB 到平面C C AA 11的距离为632. 说明:简单的多面体是研究空间线面关系的载体,而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系,立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系,所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键.典型例题七例7 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形, 90=∠C ,cm 2=BC ,1B 在底面上的射影D 恰好是BC 的中点,侧棱与底面成 60角,侧面B B AA 11与侧面C C BB 11所成角为 30,求斜棱柱的侧面积与体积.分析:1B 在底面ABC 上射影D 为BC 中点,提供了线面垂直⊥D B 1平面ABC ,另外又有 90=∠C ,即BC AC ⊥,又可以得到⊥AC 平面C C BB 11,利用这两个线面垂直关系,可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角.解:∵1B 在底面ABC 上,射影D 为BC 中点.∴⊥D B 1平面ABC .∴BD B 1∠为侧棱B B 1与底面ABC 所成角,即 601=∠BD B ,∵ 90=∠C ,即BC AC ⊥,又D B AC 1⊥,∴⊥AC 平面C C BB 11,过A 作B B AE 1⊥于E ,连接CE ,则B B CE 1⊥. ∴AEC ∠是侧面B B AA 11与侧面B B CC 11所成二面角的平面角,∴ 30=∠AEC ,在直角△CEB 中,∵ 60=∠CEB ,2=BC ,∴3=CE ,在直角△ACE 中,∵ 30=∠CEA ,3=CE ,∴130tan == EC AC ,22==AC AE ,在直角△DB B 1中, 601=∠BD B ,121==BC BD , ∴221==BD BB ,360sin 11== BB D B .∴侧面积为111AA AC BB AE BB CE S ⋅+⋅+⋅=侧()()()2cm 3322332123+=⨯+=⨯++=. 体积为311cm 33212121=⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅=∆D B BC AC D B S V ABC .说明:本例中△ACE 是斜棱柱的一个截面,而且有侧棱与该截面垂直,这个截面称为斜棱柱的直截面,我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分,并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱,斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长,体积为该截面面积乘以侧棱长.典型例题八例8 如图所示,在平行六面体1111D C B A ABCD -中,已知a AD AB 2==,a AA =1,又︒=∠=∠=∠6011AB A DAB AD A .(1)求证:1AA ⊥截面C D B 11;(2)求对角面11ACC A 的面积.分析:(1)由题设易证111D B AA ⊥,再只需证C B AA 11⊥,即证11CD CC ⊥.而由对称性知,若C B CC 11⊥,则11CD CC ⊥,故不必证111D B AA ⊥.(2)关键在于求对角面的高.证明:(1)∵a AD C B 211==,a A A CC ==11,︒=∠=∠60111AD A C C B ,∴在C C B 11∆中,由余弦定理,得2213a C B =.再由勾股定理的逆定理,得C B C C 11⊥.同理可证:11CD C C ⊥.∴C C 1⊥平面C D B 11.又A A C C 11//,∴1AA ⊥平面C D B 11.解:(2)∵AD AB =,∴平行四边形ABCD 为菱形.AC 为BAD ∠的平分线. 作O A 1∴⊥平面AC 于O ,由AB A AD A 11∠=∠,知AC O ∈.作AB M A ⊥1于M ,连OM ,则AB OM ⊥. 在AM A Rt 1∆中,a A A AM 2160cos 1=︒⋅=, 在AOM Rt ∆中,330sec a AM AO =︒⋅=.在AO A Rt 1∆中,a AO A A O A 322211=-=. 又在ABC ∆中,由余弦定理,得a AC 32=. ∴212211a O A AC S ACC A =⋅=.说明:本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.另外,还有一个值得注意的结论就是:如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上.典型例题九例9 如图所示,已知:直三棱柱111C B A ABC -中,︒=∠90ACB ,︒=∠30BAC ,1=BC ,61=AA ,M 是1CC 的中点.求证:M A AB 11⊥.分析:根据条件,正三棱柱形状和大小及M 点的位置都是确定的,故可通过计算求出M A 1与1AB 两异面直线所成的角.因为C C C B 111⊥,1111C A C B ⊥,所以11C B ⊥侧面C C AA 11.1AC 是斜线1AB 在平面C C AA 11的射影,设1AC 与M A 1的交点为D ,只需证得︒=∠901MDC 即可.证明:∵C C C B 111⊥,1111C A C B ⊥,C C 1与11C A 交于点1C ,∴11C B ⊥面C C AA 11.∵M 为1CC 的中点,∴262111==C C MC . 在111B C A Rt ∆中,︒=∠30111C A B ,∴221111==C B B A ,311=C A .在M C A Rt 11∆中, ()22332622211211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=C A MC M A . 在11C AA Rt ∆中,33622211211=+=+=C A AA AC . 又1MDC ∆∽DA A 1∆且21=MC AA ∶, ∴22122331311=⨯==M A MD , 13313111=⨯==AC D C . 在1MDC ∆中,23122122212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D C MD , 2326221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M C , ∴︒=∠901DM C ,11AC M A ⊥,∴11AB M A ⊥.说明:证明两直线垂直,应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一.证明过程中的有关计算要求快捷准确,不可忽视.本题证明两异面直线垂直,也可用异面直线所成的角,在侧面C C AA 11的一侧或上方一个与之全等的矩形,平移M A 1或1AB ,确定两异面直线所成的角,然后在有关三角形中通过计算可获得证明.典型例题十例10 长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,求这个长方体的一条对角线长.分析:要求长方体对角线长,只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可. 解:设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ,对角线长为l ,则由题意得:⎩⎨⎧=++=++②①24)(411)(2z y x zx yz xy由②得:6=++z y x ,从而由长方体对角线性质得:5116)(2)(22222=-=++-++=++=zx yz xy z y x z y x l .∴长方体一条对角线长为5.说明:(1)本题考查长方体的有关概念和计算,以及代数式的恒等变形能力.在求解过程中,并不需要把x 、y 、z 单个都求出来,而要由方程组的①②从整体上导出222z y x ++,这需要同学们掌握一些代数变形的技巧,需要有灵活性.(2)本题采用了整体性思维的处理方法,所谓整体性思维就是在探究数学问题时,应研究问题的整体形式,整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理.整体思维的含义很广,根据问题的具体要求,需对代数式作整体变换,或整体代入,也可以对图形作出整体处理.典型例题十一例11 如图,长方体1111D C B A ABCD -中,a AB =,b BC =,c BB =1,并且0>>>c b a .求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长.分析:解本题可将长方体表面展开,可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答.解:将长方体相邻两个展开有下列三种可能,如图.三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为:ab c b a c b a 2)(22222+++=++bc c b a c b a 2)(22222+++=++ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ,∴0>>>bc ab ab . 故最短线路的长为bc c b a 2222+++.说明:(1)防止只画出一个图形就下结论,或者以为长方体的对角线2221c b a AC ++=是最短线路.(2)解答多面体表面上两点间,最短线路问题,一般地都是将多面体表面展开,转化为求平面内两点间线段长.典型例题十二例12 设直平行六面体的底面是菱形,经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成︒60的二面角,面积为Q ,求直平行六面体的全面积.分析:如图,由于⊥'DD 面AC .作出截面与底面所成的二面角的平面角HD D '∠后,因DH D Rt '∆中︒=∠60'HD D ,可分别求出D D '、DH 和H D '的值.又上下底面的边长是相等的,便可进一步求出全面积.解:设平行六面体为''''D C B A ABCD -,过D 作AB DH ⊥,H 为垂足,连结H D '.∵⊥'DD 平面ABCD ,∴AB H D ⊥',︒=∠60'HD D , ∴H D D D ''23=,H D DH '21=. 又在菱形ABCD 中,有CD BC AB AD ===,∴截面''D ABC 的面积为:Q AB H D S =⋅='1.侧面''DCC D 的面积为:Q AB H D AB D D DC D D S 2323'''2=⋅=⋅=⋅= 底面ABCD 的面积为:Q AB H D AB DH S 2121'3=⋅=⋅=. 所以Q S S S )132(2432+=+=全.典型例题十三例13 设有三个命题:甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;乙:底面是矩形的平行六面体是长方体;丙:直四棱柱是直平行六面体.以上命题中,真命题的个数是( ).A .0B .1C .2D .3解:甲命题是真命题,因为它就是平行六面体的定义;乙命题不是真命题,因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面;丙命题也不是真命题,因为四棱柱的底面不一定是平行四边形.∴应选B .说明:要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质.典型例题十四例14 如图,ABC C B A -111是直三棱柱,︒=∠90BCA ,点1D 、1F 分别是11B A 、11C A 的中点.若1CC CA BC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是( ).A .1030B .21 C .1530 D .1015 解:可将异面直线所成角转化为相交直线的角,取BC 的中点E ,并连结1EF 、EA .∵11F D BC 21BE =, ∴11//BD EF ,∴A EF 1∠是1BD 与1AF 所成角.设a BC 2=,则a CC 21=,a CA 2=.∴a AB 22=,a AF 51=,a AE 5=,a D B B B BD EF 62112111=+==. ∴1030652)5()6()5(2cos 22211221211=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠a a a a a EF AF AE EF AF A EF ∴应选A .说明:本题主要考查棱柱的性质,以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容:对运算能力和空间想象能力也有较高的要求.典型例题十五例15 如图,已知ABC C B A -111是正三棱柱,D 是AC 的中点.(1)证明://1AB 平面1DBC ;(2)假设11BC AB ⊥,求以1BC 为棱,1DBC 与1CBC 为面的二面角α的度数.(1)证明:∵ABC C B A -111是正三棱柱,∴四边形11BCC B 是矩形.连结C B 1交1BC 于E ,则E 是C B 1的中点.连结DE .∵D 、E 分别是AC 、C B 1的中点,∴1//AB DE .又⊄1AB 平面1DBC ,⊂DE 平面1DBC ,.∴//1AB 平面1DBC .(2)解:作BC DF ⊥于F ,则⊥DF 平面C C BB 11,连结EF 则EF 是ED 在平面C C BB 11上的射影.∵11BC AB ⊥又ED AB //1.∴1BC ED ⊥.根据三垂线定理的逆定理,得1BC EF ⊥.从而DEF ∠是二面角C BC D --1的平面角,即α=∠DEF ,设1=AC ,则21=DC ∵ABC ∆是正三角形,∴在DCF Rt ∆中,有4360sin =︒=DC DF ,4160cos =︒=DC CF 取BC 的中点G ,∵EC EB =,∴BC EG ⊥.在BEF Rt ∆中,FG BF EF ⋅=2 而43=-=FC BC BF ,41=GF , ∴41432⋅=EF ,∴43=EF , ∴在DEF Rt ∆中,14343tan ===∠EF DF DEF . ∴︒=∠45DEF ,即︒=45α.从而所求二面角的大小为︒45.说明:(1)纵观近十年高考题,其中解答题大多都是以多面体进行专利权查,解答此类题,有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质,从而解题时,思维受阻.今后要引以为戒.(2)本题考查空间的线面关系,正棱柱的概念和性质,空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.本题涉及到的知识面宽,有一定的深度,但入手不难,逐渐加深;逻辑推理和几何计算交织为一体;正三棱柱放倒,与课本习题不同,加强了对空间想象能力的考查;在解答过程中,必须添加适当的辅助线,不仅考查了识图,而且考查了作图.本题是一道综合性试题,较深入和全面地考查了各种数学能力,正确解答本题,要求同学们有较高的数学素质.。
高中数学必修二第八章立体几何初步易错题集锦(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步易错题集锦单选题1、若直线a //平面α,A ∉α,且直线a 与点A 位于α的两侧,B ,C ∈a ,AB ,AC 分别交平面α于点E ,F ,若BC =4,CF =5,AF =3,则EF 的长为( )A .3B .32C .34D .23答案:B分析:根据线面平行可得线线平行,从而可求EF =32.∵BC //α,BC ⊂平面ABC ,平面ABC ∩α=EF , ∴EF //BC ,∴AF AC=EF BC,即35+3=EF 4,∴EF =32.故选:B.2、下列说法中正确的是( )A .如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行B .平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行 C .α//β,a//α,则a//βD .a//b ,a//α,b ⊄α,则b//α 答案:D分析:根据线面关系,逐一判断每个选项即可.解:对于A 选项,如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的无数条直线平行,而不是任意的直线平行,故错误;对于B 选项,如图1,D ,E ,F ,G 分别为正方体中所在棱的中点,平面DEFG 设为平面β,易知正方体的三个顶点A,B,C到平面β的距离相等,但△ABC所在平面α与β相交,故错误;对于选项C,a可能在平面β内,故错误;对于选项D,正确.故选:D.3、已知直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上,且该棱柱的体积为√3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则该球的表面积为()A.4πB.4√2πC.8πD.32π答案:C解析:利用三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为√3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,求出AA1,再求出ΔABC外接圆的半径,即可求得球的半径,从而可求球的表面积.∵三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为√3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,∴1×2×1×sin60°×AA1=√3,∴AA1=22∵BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos60°=4+1−2=3,∴BC=√3.=2R,∴R=1.设ΔABC外接圆的半径为R,则BCsin60°∴外接球的半径为√1+1=√2,∴球的表面积等于4π×(√2)2=8π.故选:C.小提示:本小题主要考查根据柱体体积求棱长,考查几何体外接球有关计算,属于基础题.4、已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中,点D为B1C1的中点,若在棱AB上存在一点P,使得B1P//平面ACD,则B1P的长度为()A .2B .√5C .√6D .3 答案:B解析:设点P 为AB 的中点,取A 1B 1的中点Q ,连接AQ ,DQ ,然后证明B 1P//平面AQD 即可. 如图,设点P 为AB 的中点,取A 1B 1的中点Q ,连接AQ ,DQ ,则B 1P//AQ ,又B 1P ⊄平面AQD ,AQ ⊂平面AQD ,∴B 1P//平面AQD , 易知AC//DQ ,故平面AQD 与平面ACD 是同一个平面, ∴B 1P //平面ACD ,此时B 1P =√5, 故选:B5、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E 为线段A 1B 1的中点,则异面直线D 1E 与BC 1所成角的余弦值为( ) A .√55B .√105C .√155D .2√55答案:B分析:连接AD 1,AE ,得到AD 1//BC 1,把异面直线D 1E 与BC 1所成角转化为直线D 1E 与AD 1所成角,取AD 1的中点F ,在直角△D 1EF 中,即可求解.在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,连接AD 1,AE ,可得AD 1//BC 1, 所以异面直线D 1E 与BC 1所成角即为直线D 1E 与AD 1所成角, 即∠AD 1E 为异面直线D 1E 与BC 1所成角,不妨设AA 1=2,则AD 1=2√2,D 1E =AE =√5, 取AD 1的中点F ,因为D 1E =AE ,所以EF ⊥AD 1, 在直角△D 1EF 中,可得cos∠AD 1E =D 1FD 1E =√2√5=√105. 故选:B.6、在△ABC 中,AB =1,AC =2,∠BAC =60°,P 是△ABC 的外接圆上的一点,若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则m +n 的最小值是( ) A .−1B .−12C .−13D .−16 答案:B分析:先解三角形得到△ABC 为直角三角形,建立直角坐标系,通过AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ + nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出m +n ,借助三角函数求出最小值.由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC = 1+4−2×1×2×cos 60∘=3,所以BC =√3,所以AB 2+BC 2=AC 2,所以AB ⊥BC .以AC 的中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易得A (-1,0),C (1,0),B (-12,√32),设P 的坐标为(cosθ,sinθ),所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32),AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0),AP ⃑⃑⃑⃑⃑ = (cosθ+1,sinθ),又AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,所以(cosθ+1,sinθ)=m (12,√32)+ n (2,0)=(m 2+2n ,√32m),所以m =2√33sin θ,n =cos θ2+12−√36sin θ,所以m +n =2√33sin θ+cos θ2+12−√36sin θ =√32sin θ+cos θ2+12=sin (θ+π6)+12≥−1+12=−12,当且仅当sin (θ+π6)=−1时,等号成立.故选:B.7、如图,矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,BD=2,DE=1,点P在线段EF上.给出下列命题:①存在点P,使得直线DP//平面ACF;②存在点P,使得直线DP⊥平面ACF;③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是[√5,1];5.④三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9π8其中所有真命题的序号()A.①③B.①④C.①②④D.①③④答案:D分析:当点P是线段EF中点时判断①;假定存在点P,使得直线DP⊥平面ACF,推理导出矛盾判断②;利用线面角的定义转化列式计算判断③;求出△ACF外接圆面积判断④作答.取EF中点G,连DG,令AC∩BD=O,连FO,如图,在正方形ABCD中,O为BD中点,而BDEF是矩形,则DO//GF且DO=GF,即四边形DGFO是平行四边形,即有DG//FO,而FO⊂平面ACF,DG⊄平面ACF,于是得DG//平面ACF,当点P与G重合时,直线DP//平面ACF,①正确;假定存在点P,使得直线DP⊥平面ACF,而FO⊂平面ACF,则DP⊥FO,又DG//FO,从而有DP⊥DG,在Rt△DEF中,∠DEF=90∘,DG是直角边EF上的中线,显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG,因此,假设是错的,即②不正确;因平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,则线段EF上的动点P在平面ABCD上的射影在直线BD上,于是得∠PDB是直线DP与平面ABCD所成角的,在矩形BDEF中,当P与E不重合时,∠PDB=∠DPE,sin∠PDB=sin∠DPE=DEDP =√DE2+EP2=√1+EP2,而0<EP≤2,则√55≤sin∠PDB<1,当P与E重合时,∠PDB=π2,sin∠PDB=1,因此,√55≤sin∠PDB≤1,③正确;因平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,BF⊥BD,BF⊂平面BDEF,则BF⊥平面ABCD,BC=√2,在△ACF中,AF=CF=√BC2+BF2=√3,显然有FO⊥AC,sin∠FAC=FOAF =√BO2+BF2AF=√2√3,由正弦定理得△ACF外接圆直径2R=CFsin∠FAC =√2,R=2√2,三棱锥A−CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆,其面积为πR2=9π8,④正确,所以所给命题中正确命题的序号是①③④.故选:D小提示:名师点评两个平面互相垂直,则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.8、边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是()A.10cm B.5√2cmC.5√π2+1cm D.52√π2+4cm答案:D分析:将圆柱展开,根据题意即可求出答案.圆柱的侧面展开图如图所示,展开后E′F=12×2π×52=52π(cm),∴E′G=√52+(5π2)2=52√π2+4(cm),即为所求最短距离.故选:D.多选题9、如图所示,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE,若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,则下列命题正确的是()A.|BM|是定值B.点M在球面上运动C.一定存在某个位置,使DE⊥A1CD.一定存在某个位置,使MB//平面A1DE答案:ABD解析:取CD中点N,连接MN、NB,则MN//A1D、NB//DE,由平行线性质得∠A1DE=∠MNB,可判断A,这时可得出平面MNB//平面A1DE,从而判断D,利用BM长为定值可判断B,结合A1C在平面ABCD内的射影可判断C.A对,取CD中点N,连接MN、NB,则MN//A1D、NB//DE,∠A1DE=∠MNB,MN=12A1D=定值,NB= DE=定值,根据余弦定理得,MB2=MN2+NB2−2MN⋅NB⋅cos∠MNB,∴|BM|是定值,B对,B是定点,∴M是在以B为球心,MB为半径的球面上,C错,当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在,其他情况不存在,否则若AC⊥DE不成立,作CF⊥DE于F,连接A1F,可得DE⊥平面A1CE,从而有DE⊥A1F,因此有原图形中A,F,C共线,AC⊥DE,矛盾.D对,取CD中点N,连接MN、NB,则MN//A1D、NB//DE,∴平面MNB//平面A1DE,∵MB⊂平面MNB,∴MB//平面A1DE.故选ABD.小提示:关键点点睛:本题考查空间的位置关系,考查空间距离概念,掌握直线与平面平行,平面与平面平行的判定方法是解题关键.方法是取CD中点N,连接MN、NB,引入平行线,则可得线面平行,面面平行,利用等角定理得角相等,题中会出现许多定值,从而可判断结论.10、(多选题)下列说法中,正确的结论有()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行答案:BD分析:由等角定理可判断A的真假;根据直线夹角的定义可判断B的真假;举反例可判断C的真假;由平行公理可判断D的真假.对于选项A:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;对于选项B:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;对于选项C:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在立方体中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但是∠A1D1C1=π2,∠A1BC1=π3,二者不相等也不互补.故选项C错误;对于选项D:如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故选项D正确.故选:BD.11、下列说法正确的是()A.四棱柱的所有面均为平行四边形B.长方体不一定是正四棱柱C.底面是正多边形的棱锥,是正棱锥D.正四面体一定是正三棱锥答案:BD分析:利用棱柱以及棱锥的定义,判断选项的正误即可.解:四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形,故A不正确;长方体不一定是正四棱柱,正确,因为长方体的三边可以不相等,所以B正确;不仅底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,才是正棱锥,故C不正确;正四面体一定是正三棱锥,故D正确.故选:BD.小提示:本题考查棱锥,棱柱的定义的应用,结构特征的判断,是基础题.关键是要准确掌握有关几何体定义. 填空题12、设地球半径为R,地球上北纬30°圈上有A,B两点,点A在西经10°,点B在东经110°,则点A和B两点东西方向的距离是___________.答案:√3πR3分析:求出O′A,O′B的长度,确定∠AO′B的大小,再由弧长公式求得A,B两地的东西方向的距离.如图示,设O ′为北纬30°圈的圆心,地球球心为O ,则∠AOO ′=60∘ ,故AO ′=√32R ,即北纬30°圈的圆的半径为√32R ,由题意可知∠AO ′B =120∘=2π3,故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB ⌢的长, 故AB ⌢的长为2π3×√32R =√3πR3, 所以答案是:√3πR313、若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球,则该球的半径为______. 答案:√23分析:根据球的体积等于两个半径为1的球的体积之和即可求其半径. 设大球的半径为r ,则根据体积相同,可知43π+43π=43πr 3,则r 3=2,解得r =√23. 所以答案是:√23.14、已知一三角形ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为√3的正三角形A ′B ′C ′(如图),则三角形ABC 中边长与正三角形A ′B ′C ′的边长相等的边上的高为______.答案:2√6分析:根据面积公式求出三角形的边长,以及高,利用斜二测画法的原理还原出原三角形的高,并求出答案.设正三角形A′B′C′的边长为a,∵S△A′B′C′=√34a2=√3∴a=2,DC′=√3O′C′=√6∴O′C=2√6所以答案是:2√6.解答题15、如图,已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱的底面半径r和高ℎ为何值时,圆柱的侧面积最大?答案:当r=√22R,ℎ=√2R时,圆柱的侧面积最大.分析:由题得r2+(ℎ2)2=R2,然后利用基本不等式即得.由题可得r2+(ℎ2)2=R2,所以圆柱的侧面积S=2πrℎ=2π⋅2⋅r⋅ℎ2≤2π[r2+(ℎ2)2]=2πR2,当且仅当r=ℎ2时取等号,即当r=√22R,ℎ=√2R时,圆柱的侧面积最大,最大值为2πR2.。
立体几何中的典型易错题剖析
ʏ袁华立体几何中的概念多㊁定理多,且图形复杂,解题时需要有较强的空间想象能力,稍不注意,就会出错㊂下面就解题中的典型易错题进行举例剖析㊂易错点1:在直线与平面平行中,忽视直线是否在平面内的情况例1若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是()㊂A.l⊂αB.lʊαC.l⊂α或lʊαD.l和α相交错解:应选A㊂错因分析:若平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行㊂错解忽视了 平面外 这个重要条件㊂题中的直线l 与平面α内的一条直线平行,也可能lʊα㊂正解:直线l与平面α内的一条直线平行,当l⊄α时,由线面平行的判定定理知,lʊα,也有可能l⊂α,这时lʊα㊂应选C㊂动手实战1:下列结论错误的个数是()㊂①若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;②若直线aʊ平面α,Pɪα,则过点P且平行于直线a 的直线有无数条;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;④如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面㊂A.0B.1C.3D.2提示:若一条直线和平面内的一条直线平行,当该直线也在平面内时,那么这条直线和这个平面不平行,①错误㊂若直线aʊ平面α,Pɪα,则过点P且平行于直线a的直线只有一条,②错误㊂一个平面内的两条直线平行于另一个平面,当这两条直线平行时,这两个平面平行或相交,③错误㊂如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,④正确㊂应选C㊂易错点2:错误认为无数等于所有例2下列命题正确的是()㊂A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C.各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥错解:应选A㊂错因分析:一条直线与平面内的无数条直线垂直,这里的 无数条直线 不等于 所有直线 ㊂正解:对于A,一条直线与平面内的任意直线垂直,则这条直线与平面垂直,而无数条直线可以是一组平行直线,A不正确㊂对于B,由平行公理知,过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行,B不正确㊂对于C,因为各面都是正三角形的四面体是正四面体,而正四面体的外接球球心和内切球球心重合,所以C正确㊂对于D,在三棱锥P-A B C 中,A B=B C=C A=P A=2,P B=P C=3,显然三棱锥P-A B C的侧面都是等腰三角形,而三棱锥P-A B C不是正三棱锥,D不正确㊂应选C㊂动手实战2:下列命题中正确的个数是()㊂①若直线a上有无数个点不在平面α内,则aʊα;②若直线aʊ平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都平行;③若直线aʊ直线b,直线bʊ平面α,则直线aʊ平面α;13易错题归类剖析高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.④若直线a ʊ平面α,则直线a 与平面α内的任意一条直线都没有公共点㊂A.0B .1C .2D .3提示:对于①,若直线a 上有无数个点不在平面α内,则直线a 可能与平面α相交,也可能与平面α平行,①错误㊂对于②,当直线a ʊ平面α时,直线a 与平面α内的直线平行或异面,②错误㊂对于③,当直线a ʊ直线b ,直线b ʊ平面α,则直线a ʊ平面α,或直线a 在平面α内,③错误㊂对于④,当直线a ʊ平面α时,则直线a 与平面α无公共点,所以直线a 与平面α内的任意一条直线都没有公共点,④正确㊂应选B ㊂易错点3:忽视异面直线所成角的范围例3 如图1,在直三棱柱A B C -A 'B 'C '中,A C =B C =A A ',øA C B =120ʎ,E 为B B '的中点,则异面直线C E 与C 'A 所成角的余弦值是()㊂ 图1A.-105B .105C .-1010D .1010错解:直三棱柱A B C -A 'B 'C '向上方补形为直三棱柱A B C -A ᵡB ᵡC ᵡ,其中A ',B ',C '分别为各棱的中点,取B 'B ᵡ的中点D ',可知C E ʊC 'D ',则异面直线C E 与C 'A 所成角即为C 'D '与C 'A 所成角㊂设C B =2,则C 'D '=5,C 'A =22,A D '=21㊂在әA C 'D '中,由余弦定理得c o søA C 'D '=8+5-212ˑ22ˑ5=-105㊂应选A ㊂错因分析:上述解法忽视了异面直线所成角的范围为0,π2㊂显然,两条异面直线所成角的余弦值一定是正数㊂正解:直三棱柱A B C -A 'B 'C '向上方补形为直三棱柱A B C -A ᵡB ᵡC ᵡ,其中A ',B ',C '分别为各棱的中点,取B 'B ᵡ的中点D ',可知C E ʊC 'D ',则异面直线C E 与C 'A 所成角就是C 'D '与C 'A 所成角,即øA C 'D '㊂设C B =2,则C 'D '=5,C 'A =22,A D '=21㊂在әA C 'D '中,由余弦定理得c o søA C 'D '=8+5-212ˑ22ˑ5=-105,故异面直线C E 与C 'A 所成角的余弦值为105㊂应选B ㊂动手实战3:如图2,空间四边形A B C D中,A B ㊁B C ㊁C D 的中点分别是P ㊁Q ㊁R ,且 图2P Q =3,Q R =5,P R=7,那么异面直线A C 和B D 所成的角是( )㊂A.30ʎB .60ʎC .120ʎD .150ʎ提示:由题意得P Q ʊA C ,Q R ʊB D ,所以异面直线A C 和B D 所成的角即为øP Q R(或其补角)㊂在әP Q R 中,由余弦定理得c o søP Q R =P Q 2+Q R 2-P R 22P Q ㊃Q R =-12,所以øP Q R =120ʎ,所以异面直线A C 和B D 所成的角为60ʎ㊂应选B ㊂设α,β为两个不同的平面,则αʊβ的充要条件是( )㊂A .α内有无数条直线与β平行B .α,β垂直于同一平面C .α,β平行于同一条直线D .α内的任何直线都与β平行提示:α内有无数条直线与β平行,这时α与β可能相交,A 错误㊂α,β垂直于同一平面,这时α与β可能相交,B 错误㊂α,β平行于同一条直线,这时α与β可能相交,C 错误㊂若α内的任何直线都与β平行,则αʊβ,D 正确㊂应选D ㊂作者单位:重庆市开州中学(责任编辑 郭正华)23 易错题归类剖析 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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立体几何易错题集1. 三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,P 为侧棱BB 1上任意一点,Q 为底面A 1B 1C 1上任意一点,四棱锥P —AA 1C 1C 的体积为V 1,三棱锥Q —ABC 的体积为V 2,则V 1:V 2是A. 3B. 2C. 3;2D. 2;32. 已知PA 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线,每两条的夹角都是60°,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为A.21B.36 C.33 D.23 3. 如图所示,矩形ABCD 中,AB=2AD ,E 、F 、G 分别是AB 、CD 、EF 的中点,把矩形沿EF折成60°的二面角,则异面直线AE 和BG 所成角为A. 55arccosB. 43arctanC. 43arcsinD. 53arctan4. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A1A=AB=2,若棱AB 上存在点P ,使D1P ⊥PC ,则棱AD 的长的取值范围是A. ]1,0(B. ]2,0(C. ]2,0(D. ]2,1(5. 一个三棱锥的所有棱长均为1,那么这个三棱锥在平面α上的射影的面积不可能是A.43 B.23 C.21 D.42 6. 设长方体的对角线之长为4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°,则长方体的体积是____________.7. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体表面上与点A 距离是332的点抗体 合形成一条曲线,这条曲线的长度是A. π33 B.π23 C.π3D. π3658. 若一个简单的F 面体的各面都是三角形,则其顶点数是_____________9. 如图E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1,面BCC 1B 1的中心,则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________________(要求:把可能的图的序号都填上).10.四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是一个正方形,PD ⊥面ABCD ,则这个四棱锥的五个面内,互相垂直的平面共有A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对11. 一座大型建筑的地下水泥桩基深a m ,由4个同中心的空心正四棱柱构成(空中俯视该桩基如图所示,阴影部分灌注水泥),自内向外的第k 个正方形的边长a k =2k (k=1,2,…,8),则制造此桩基需灌注的水泥的体积为( )A. 112a m 3B. 56a m 3C. 144a m 3D. 72a m 312. 正方体1111D C B A ABCD -中,若M 、N 分别为1AA 与1BB 的中点,则直线CM 与N D 1所成角为A. 552arccosB. 549arccosC. arccos91 D. 35arccos13. 在正方体1111D C B A ABCD -中,EF 是异面直线AC 和D A 1的公垂线,则EF 和1BD 的关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面直线D. 互相平行14. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D 、DC 的中点,N 为BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其MN内部运动,设AB 的长为a ,MN 与底面ABCD 所成的角为θ,的长为f (θ)。
高三数学易错立体几何多选题 易错题学能测试
高三数学易错立体几何多选题 易错题学能测试一、立体几何多选题1.已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2,M 为1DD 的中点,N 为正方形ABCD 所在平面内一动点,则下列命题正确的有( )A .若2MN =,则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB .若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等,则N 的轨迹为抛物线C .若1D N 与AB 所成的角为3π,则N 的轨迹为双曲线 D .若MN 与平面ABCD 所成的角为3π,则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ,连接MN ,ND ,DP ,得到直角MDN △,且P 为斜边MN 的中点,所以1PD =,进而得到P 点的轨迹为球面的一部分,即可判断选项A 错误;对于B ,可知1NB BB ⊥,即NB 是点N 到直线1BB 的距离,在平面ABCD 中,点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等,利用抛物线定义知B 正确;对于C ,建立空间直角坐标系,设(,,0)N x y ,利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅,化简可知N 的轨迹为双曲线;对于D ,MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=,3ND =,可知N 的轨迹是以D 为圆心,33为半径的圆周; 【详解】对于A ,如图所示,设P 为MN 的中点,连接MN ,ND ,DP ,由正方体性质知MDN △为直角三角形,且P 为MN 的中点,2MN =,根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半,知MDN △不管怎么变化,始终有1PD =,即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心,1为半径的球的18,其面积214182S ππ=⨯⨯=,故A 错误;对于B ,由正方体性质知,1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥,即NB 是点N 到直线1BB 的距离,在平面ABCD 中,点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等,所以点N 的轨迹是以点B 为焦点,直线DC 为准线的抛物线,故B 正确; 对于C ,如图以D 为直角坐标系原点,建立空间直角坐标系,(,,0)N x y ,1(0,0,2)D ,(0,2,0)A ,(2,2,0)B ,则1(,,2)D N x y =-,(0,2,0)AB =,利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅,化简整理得:2234y x -=,即221443y x -=,所以N 的轨迹为双曲线,故C 正确;对于D ,由正方体性质知,MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠,即3MND π∠=,在直角MDN △中,3ND =,即N 的轨迹是以D 3D 错误; 故选:BC 【点睛】关键点睛:本题考查立体几何与解析几何的综合,解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义,考查学生的逻辑推理能力,转化与划归能力与运算求解能力,属于难题.2.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点,1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题正确命题的序号是( )A .平面1MB P 1ND ⊥ B .平面1MB P ⊥平面11ND AC .1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D .1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合,结合勾股定理可判断A 选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误;分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论,利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误;取点P 与点1C 重合,判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,如下图所示:当点P 与点N 重合时, 若1ND ⊥平面1MB P ,1B N ⊂平面1MB P ,则11ND B N ⊥,由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=,同理可得15B N =1122B D =2221111B N D N B D ∴+≠,则1ND 与1B N 不垂直,假设不成立,A 选项错误;对于B 选项,取1BB 的中点E ,连接1A E 、EN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB CC ,且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点, 则11//B E C N 且11B E C N =,所以,四边形11B ENC 为平行四边形,则11//EN B C 且11EN B C =,1111//A D B C 且1111A D B C =,所以,11//A D EN 且11A D EN =,所以,四边形11A END 为平行四边形,所以,11//A E D N ,111A B BB =,1B E BM =,11190A B E B BM ∠=∠=,所以,111Rt A B E Rt B BM ≅△△,所以,111B A E BB M ∠=∠,所以,111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=,190B FE ∴∠=,所以,11B M A E ⊥,11A D ⊥平面11AA B B ,1B M ⊂平面11AA B B ,111B M A D ∴⊥, 1111A D A E A =,11A D 、1A E ⊂平面11ND A ,1MB ∴⊥平面11ND A ,1MB ⊂平面1MB P ,所以,平面1MB P ⊥平面11ND A ,B 选项正确;对于C 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时,1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △, 此时,射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△; 若点P 在棱11C D 上运动时,设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ,则G CD ∈, 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ,则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △,且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述,1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值,C 选项正确; 对于D 选项,当点P 与1C 重合时,P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合, 此时,1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形,D 选项错误. 故选:BC. 【点睛】方法点睛:证明面面垂直常用的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时,一般假设面面垂直成立,然后利用面面垂直转化为线面垂直,即为所证的线面垂直,组织论据证明即可.3.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2,则下列结论正确的是( ) A .异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B .点A 到平面BCD 的距离为263C .四面体ABCD 6πD .动点P 在平面BCD 上,且AP 与AC 所成角为60︒,则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ,通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误;在四面体ABCD 中,过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心,因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=即点A 到平面BCD 26,故B 正确;设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径,OA 我外接球的半径, 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△,所以4AF OF =,即6=6OF AO =,, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确; 建系如图:26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ,则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=,所以222324812241393972y x y +=++⨯+⨯, 即222388=33y x y +++,平方化简可得:22323400399y x y ----,可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选:BC .【点睛】方法点睛:立体几何中动点轨迹的求解问题,解决此类问题可采用空间向量法,利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系,从而得到轨迹方程.4.正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1DD 的中点,F 在侧面11CDD C 上运动,且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有( )A .侧面11CDD C 上存在点F ,使得11B F CD ⊥ B .直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C .平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D .设正方体棱长为1,则过点E ,F ,A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,易证得平面1//B MN 平面1A BE ,可得点F 的运动轨迹为线段MN .取MN 的中点F ,根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥,即有11B F CD ⊥,A 正确;当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线BC 所成角最大,可判断B 错误;根据平面1//B MN 平面1A BE ,11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角,计算可知C 正确;【详解】取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得11//B N A E ,1//MN A B ,从而平面1//B MN 平面1A BE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN .取MN 的中点F ,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故A 正确;设正方体的棱长为a ,当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线BC 所成角最大,此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=,所以B 错误; 平面1//B MN 平面1A BE ,取F 为MN 的中点,则1MN C F ⊥,1MN B F ⊥,∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角,11111tan B C B FC C F∠==22C 正确;因为当F 为1C E 与MN 的交点时,截面为菱形1AGC E (G 为1BB 的交点),面积为62D 错误.故选:AC.【点睛】本题主要考查线面角,二面角,截面面积的求解,空间几何中的轨迹问题,意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力,综合性较强,属于较难题.5.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,如图,M 为1CC 上的动点,AM ⊥平面α.下面说法正确的是()A .直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦B .点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大 C .点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D .已知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可判断A 选项的正误;证明出1AC ⊥平面1A BD ,分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ,比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小,可判断B 选项的正误;利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ,判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误;将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短,利用平行线分线段成比例定理求得MC ,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤,AM ⊥平面α,则AM 为平面α的一个法向量,且()2,2,AM a =-,()0,2,0AB =, 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦, 所以,直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦,A 选项正确; 对于B 选项,当M 与1CC 重合时,连接1A D 、BD 、1A B 、AC , 在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD CC ∴⊥,四边形ABCD 是正方形,则BD AC ⊥,1CC AC C =,BD ∴⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥,同理可证11AC A D ⊥, 1A D BD D ⋂=,1AC ∴⊥平面1A BD ,易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点,易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形,且平面//EFQNGH 平面1A BD , 正六边形EFQNGH 的周长为62,面积为()236233⨯⨯=,则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误; 对于C 选项,设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ,点()0,2,1M ,()2,2,1AM =-,AM ⊥平面α,DE ⊂平面α,AM DE ∴⊥,即220AM DE b ⋅=-+=,得1b =,()1,0,2E ∴,所以,点E 为棱11A D 的中点,同理可知,点F 为棱11A B 的中点,则()2,1,2F ,()1,1,0EF =,而()2,2,0DB =,12EF DB ∴=,//EF DB ∴且EF DB ≠, 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=,DE BF ∴=,所以,四边形BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若AM MN +最短,则A 、M 、N 三点共线,11//CC DD ,2222222MC AC DN AD ∴===+, 11222MC CC =≠,所以,点M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.6.在长方体1111ABCD A B C D -中,23AB =12AD AA ==,,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点,下列结论正确的是( ) A .对于任意给定的点P ,存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B .对于任意给定的点Q ,存在点R 使得1D R CQ ⊥ C .当1AR A C ⊥时,1AR D R ⊥D .当113AC A R =时,1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系,计算142D P CQ b ⋅=-,()12222D R CQ b λλ⋅=--,134AR D R ⋅=-,10D R n ⋅=,得到答案.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,设()2,,0P a ,0,23a ⎡∈⎣,()2,23,Q b ,[]0,2b ∈,设11A R AC λ=,得到()22,23,22R λλλ--,[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=,()2,0,CQ b =,142D P CQ b ⋅=-,当2b =时,1D P CQ ⊥,A 正确;()122,23,2D R λλλ=--,()12222D R CQ b λλ⋅=--,取22bλ=+时,1D R CQ ⊥,B 正确; 1AR A C ⊥,则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=, 14λ=,此时11333313,,,,022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,C 错误; 113AC A R =,则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =,则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得()3,1,3n =-,故10D R n ⋅=,故1//D R 平面1BDC ,D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直,线面平行,意在考查学生的计算能力和空间想象能力,推断能力.7.如图,点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,S 是棱PC 上的点,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,则( )A .若//MN 平面PAB ,则//AB RQ B .存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQC .存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+= D .111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB , 13SC PC =时,通过线面垂直的判定定理,证明此时PC ⊥平面SRQ ,即可证明,存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ;对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=,利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断; 对于选项D ,利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++,即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A , 若//MN 平面PAB ,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ,又MN ⊂平面SMN ,//MN 平面PAB ,∴//MN RQ ,点O 在面ABC 上,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,∴MN ⊂平面ABC ,又//MN 平面PAB ,平面ABC平面PAB AB =,∴//MN AB , ∴//AB RQ ,故A 正确; 对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB ,S 为线段PC 上靠近C 的三等分点,即13SC PC =, 此时PC ⊥平面SRQ ,以下给出证明: 在正四面体P ABC -中,设各棱长为a ,∴ABC ,PBC ,PAC △,PAB △均为正三角形,点O 为ABC 的中心,//MN AB ,∴由正三角形中的性质,易得23CN CM a ==, 在CNS 中,23CN a =,13SC a =,3SCN π∠=,∴由余弦定理得,3SN a ==, ∴222249SC SN a CN +==,则SN PC ⊥, 同理,SM PC ⊥,又SM SN S =,SM ⊂平面SRQ ,SN ⊂平面SRQ ,∴PC ⊥平面SRQ ,∴存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ,故B 正确; 对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=, 设QR 中点为K ,则2PQ PR PK +=,∴PS PK ⊥,即PC PK ⊥,()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=,∴PC AB ⊥,又易知AB 与PK 为相交直线,AB 与PK 均在平面PQR 上,∴PC ⊥平面PQR ,即PC ⊥平面PAB ,与正四面体P ABC -相矛盾,所以假设不成立, 故C 错误; 对于选项D ,易知点O 到面PBC ,面PAC ,面PAB 的距离相等,记为d , 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α,α为常数,则sin α也为常数, 则点S 到PQR 的距离为sin PS α,又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅, 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅, 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅, 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅, ()312S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅, ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅, ∴111sin d PQPRPSα++=为常数,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.8.如图,正三棱柱11ABC A B C -中,11BC AB ⊥、点D 为AC 中点,点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A .()1112DA A A B A BC =-+ B .若//DE 平面11ABB A ,则动点E 的轨迹的长度等于22ACC .异面直线AD 与1BCD .若点E 到平面11ACC AEB ,则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案. 【详解】解析:对于选项A ,()1112AD A A B A BC =-+,选项A 错误; 对于选项B ,过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D .以D 为坐标原点,1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz .设棱柱底面边长为a ,侧棱长为b ,则002aA ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,所以12a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,,12a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,. ∵11BC AB ⊥,∴110BC AB ⋅=,即222022a a b ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2b a =. 因为//DE 平面11ABB A ,则动点E的轨迹的长度等于1BB =.选项B 正确. 对于选项C ,在选项A 的基础上,002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,,00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,()0,0,0D ,1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,,所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,1222a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,,因为2111cos ,||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===1,BC DA 所成角C 正确. 对于选项D ,设点E 在底面ABC 的射影为1E ,作1E F 垂直于AC ,垂足为F ,若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ,即有312E F EB =,又因为在1CE F ∆中,311E F E C =,得1EB E C =,其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离,故点E 满足抛物线的定义,另外点E 为四边形11BCC B 内(包含边界)的动点,所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应用.。
数学立体几何部分错题精选
二填空题:1. (如中)有一棱长为a 的正方体骨架,其内放置一气球,使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状),则气球表面积的最大值为__________.错解:学生认为球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为a ,球的表面积为2a π。
这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子,球最大时与正方体的各棱相切,直径应为,所以正确答案为:22a π。
2. (如中)一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆,椭圆的离心率为e =________。
错解:答6π。
错误原因是概念不清,入射角应是光线与法线的夹角,正确答案为:3π。
3. (如中)已知正三棱柱111ABC A B C -底面边长是10,高是12,过底面一边AB ,作与底面ABC 成060角的截面面积是___________________。
错解:学生用面积射影公式求解:0100cos60S S S ===底底截=。
错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。
正确答案是:。
4. (如中)过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解:1个。
错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况,可作无数个。
正确答案是不能确定。
5. (如中)判断题:若两个平面互相垂直,过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线,则此直线垂直于另一个平面。
正确。
错误原因是未能认真审题或空间想象力不够,忽略过该点向平面外作垂线的情况。
正确答案是本题不对。
6. (如中)平面α外有两点A,B ,它们与平面α的距离分别为a,b ,线段AB 上有一点P ,且AP:PB=m:n ,则点P 到平面α的距离为_________________. 错解为:na mb m n++。
错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形,忽略AB 在平面两测的情况。
正确答案是:|na mb mb na m n m n +-++或| 。
7. (如中)点AB 到平面α距离距离分别为12,20,若斜线AB 与α成030的角,则AB 的长等于_____.错解:16. 错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形,忽略AB 在平面两测的情况。
(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结
(名师选题)(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结单选题1、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,P 为B 1D 1的中点,则直线PB 与AD 1所成的角为( )A .π2B .π3C .π4D .π6 答案:D分析:平移直线AD 1至BC 1,将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角,解三角形即可.如图,连接BC 1,PC 1,PB ,因为AD 1∥BC 1,所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角,因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥PC 1,又PC 1⊥B 1D 1,BB 1∩B 1D 1=B 1,所以PC 1⊥平面PBB 1,所以PC 1⊥PB ,设正方体棱长为2,则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2, sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12,所以∠PBC 1=π6. 故选:D2、如图,△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图,其中B ′C ′=C ′A ′=2,A ′B ′,A ′C ′分别与x ′轴,y ′轴平行,则BC=()A.2B.2√2C.4D.2√6答案:D分析:先确定△A′B′C′是等腰直角三角形,求出A′B′,再确定原图△ABC的形状,进而求出BC.由题意可知△A′B′C′是等腰直角三角形,A′B′=2√2,其原图形是Rt△ABC,AB=A′B′=2√2,AC=2A′C′=4,∠BAC=90°,则BC=√8+16=2√6,故选:D.3、阿基米德(Arcℎimedes,公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现,后人按照他生前的要求,在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示),该球与圆柱的两个底面及侧面均相切,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,若球的体积为36π,则圆柱的体积为()A.36πB.45πC.54πD.63π答案:C解析:根据球的体积公式求出半径,根据圆柱的体积公式可求得结果.πR3=36π,所以R=3,设球的半径为R,则43所以圆柱的底面半径为R=3,圆柱的高为2R=6,所以圆柱的体积为πR2×2R=2πR3=54π.故选:C4、设α,β为两个不同的平面,则α∥β的充要条件是()A.α内有无数条直线与β平行B.α,β垂直于同一平面C.α,β平行于同一条直线D.α内的任何直线都与β平行答案:D分析:根据面面平行、相交的知识确定正确选项.A选项,α内有无数条直线与β平行,α与β可能相交,A选项错误.B选项,α,β垂直于同一平面,α与β可能相交,B选项错误.C选项,α,β平行于同一条直线,α与β可能相交,C选项错误.D选项,α内的任何直线都与β平行,则α//β,D选项正确.故选:D5、如图.AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P−BC−A 的平面角为()A.∠PAC B.∠CPA C.∠PCA D.∠CAB答案:C解析:由圆的性质知:AC⊥BC,根据线面垂直的判定得到BC⊥面PAC,即BC⊥PC,结合二面角定义可确定二面角P−BC−A的平面角.∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,∴AC⊥BC,PA⊥BC,AC∩PA=A,即BC⊥面PAC,而PC⊂面PAC,∴BC⊥PC,又面ABC∩面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义:∠PCA为二面角P−BC−A的平面角.故选:C6、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点P在棱AD上,过点P作该正方体的截面,当截面平行于平面B1D1C且面积为√3时,线段AP的长为()A.√2B.1C.√3D.√32答案:A分析:过点P作DB,A1D的平行线,分别交棱AB,AA1于点Q,R,连接QR,BD,即可得到△PQR为截面,且为等边三角形,再根据截面面积求出PQ的长度,即可求出AP;解:如图,过点P作DB,A1D的平行线,分别交棱AB,AA1于点Q,R,连接QR,BD,因为BD//B1D1,所以PQ//B1D1,B1D1⊂面B1D1C,PQ⊄面B1D1C,所以PQ//面B1D1C因为A1D//B1C,所以PR//B1C,B1C⊂面B1D1C,PR⊄面B1D1C,所以PR//面B1D1C又PQ∩PR=P,PQ,PR⊂面PQR,所以面PQR//面B1D1C,则PQR为截面,易知△PQR是等边三角形,则12PQ2⋅√32=√3,解得PQ=2,∴AP=√22PQ=√2.故选:A.7、如图,“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象,重叠后的底面为正方形,直三棱柱的底面是顶角为120°,腰为3的等腰三角形,则该几何体的体积为()A.23B.24C.26D.27答案:D分析:作出几何体直观图,由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成,作HM⊥CB于M,如图,因为CH=BH=3,∠CHB=120∘,所以CM=BM=3√32,HM=32,因为重叠后的底面为正方形,所以AB=BC=3√3,在直棱柱AFD−BHC中,AB⊥平面BHC,则AB⊥HM, 由AB∩BC=B可得HM⊥平面ADCB,设重叠后的EG与FH交点为I,则V I−BCDA=13×3√3×3√3×32=272,V AFD−BHC=12×3√3×32×3√3=814则该几何体的体积为V=2V AFD−BHC−V I−BCDA=2×814−272=27.故选:D.8、如图直角△O′A′B′是一个平面图形的直观图,斜边O′B′=4,则原平面图形的面积是()A.8√2B.4√2C.4D.√2答案:A解析:根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度,利用三角形的面积公式即可求解. 由题意可知△O′A′B′为等腰直角三角形,O′B′=4,则O′A′=2√2,所以原图形中,OB=4,OA=4√2,故原平面图形的面积为12×4×4√2=8√2.故选:A9、已知直线l⊥平面α,有以下几个判断:①若m⊥l,则m//α;②若m⊥α,则m//l;③若m//α,则m⊥l;④若m//l,则m⊥α;上述判断中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④答案:B分析:根据线面的位置关系,线面垂直的性质定理,线面平行的性质定理及线面垂直的性质逐项分析即得.对于①,当m⊂平面α也可以有m⊥l,但m不平行于平面α,故①错;对于②,根据线面垂直的性质定理可知②正确;对于③,根据线面平行的性质定理可得存在n⊂α且m∥n.而直线l⊥平面α,故可根据线面垂直的性质得出l⊥n,故l⊥m正确;对于④,根据直线l⊥平面α,可在平面α内找到两条相交直线p,n,且l⊥p,l⊥n,又m∥l,所以m⊥p,m⊥n,故根据线面垂直的判定定理可知,m⊥α正确.即②③④正确.故选:B.10、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1,由于木棍和木板之间没有固定好,第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1,如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1,斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2,则().A.V1S1>V2S2B.V1S1<V2S2C.V1S1=V2S2D.V1S1与V2S2的大小关系无法确定答案:A分析:根据柱体体积、表面积的求法,分别表示出V1S1和V2S2,分析即可得答案.设底面面积为S,底面周长为C,则V1=S⋅AA1,S1=C⋅AA1,所以V1S1=SC,设斜棱柱的高为ℎ,则V2=S⋅ℎ,S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选:A填空题11、如图,在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,当底面ABCD满足条件___________时,有A1C⊥B1D1.(只需填写一种正确条件即可)答案:AC⊥BD(答案不唯一)分析:直四棱柱ABCD−A1B1C1D1,A1C1是A1C在上底面A1B1C1D1的投影,当A1C1⊥B1D1时,可得A1C⊥B1D1,当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.根据直四棱柱ABCD−A1B1C1D1可得:BB1∥DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是矩形,所以BD∥B1D1,同理可证:AC∥A1C1,当AC⊥BD时,可得:A1C1⊥B1D1,且CC1⊥底面A1B1C1D1,而B1D1⊂底面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,而A1C1∩CC1=C1,从而B1D1⊥平面A1CC1,因为A1C⊂平面A1CC1,所以A1C⊥B1D1,所以当AC⊥BD满足题意.所以答案是:AC⊥BD.12、在长方体的12条棱之中,我们把两条异面的棱称为“一对”,则12条棱中,共有___________对异面直线.答案:24分析:由异面直线的定义可得答案.解:在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB与DD1,CC1、A1D1,B1C1构成异面直线,共构成4对异面直线,每一条棱=24对异面直线,都构成4对异面直线,长方体共有12条棱,再排除重复计算共有4×122所以答案是:24.13、空间给定不共面的A,B,C,D四个点,其中任意两点间的距离都不相同,考虑具有如下性质的平面α:A,B,C,D中有三个点到的距离相同,另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍,这样的平面α的个数是___________个答案:32分析:按照四个点的位置不同分类讨论,即可求解首先取3个点相等,不相等的那个点由4种取法;然后分3分个点到平面α的距离相等,有以下两种可能性:(1)全同侧,这样的平面有2个;(2)不同侧,必然2个点在一侧,另一个点在一侧,1个点的取法有3种,并且平面过三角形两个点边上的中位线,考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能,每种情况下都唯一确定一个平面,故共有6个,所有这两种情况共有8个,综上满足条件的这样的平面共有4×8=32个,所以答案是:3214、如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是____.①平面A1D1P⊥平面BB1P;②DC1⊥PC;,π);③∠APD1的取值范围是[π2.④三棱锥C1−D1PC的体积为定值43答案:①②④分析:由正方体的特征知A1D1⊥平面AA1B1B,DC1⊥对角面A1BCD1,由面面垂直的判定和线面垂直的性质可知①②正确;当点P为线段A1B的一个四等分点且靠近点B时,由长度关系可求得cos∠APD1>0,知③错误;由体积桥和三棱锥体积公式可确定④正确.对于①,∵几何体是正方体,∴A1D1⊥平面AA1B1B,又A1D1⊂平面A1D1P,∴平面A 1D 1P ⊥平面BB 1P ,①正确;对于②,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,DC 1⊥对角面A 1BCD 1,PC ⊂对角面A 1BCD 1,∴ DC 1⊥PC ,②正确; 对于③,当点P 为线段A 1B 的一个四等分点且靠近点B 时, 可得:AP =√102,D 1P =√342,AD 1=2√2,由余弦定理得:cos∠APD 1=AP 2+D 1P 2−AD 122AP⋅D 1P=52+172−82×√102×√342=√85>0,此时∠APD 1<π2,③错误;对于④,∵△D 1C 1C 的面积是定值S =12×2×2=2,点P 到面D 1C 1C 的距离为BC =2, ∴三棱锥C 1−D 1PC 的体积V =13×2×2=43,④正确. 所以答案是:①②④.15、一个正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为______. 答案:9π分析:画出正四棱锥及对角截面,找到外接球的球心,设OE =ℎ,利用PO =OB =r 建立方程,求出ℎ=12,进而求出半径和球的表面积.如图所示,正四棱锥P -ABCD ,PE 为正四棱锥的高,因为正四棱锥的顶点都在同一球面上,所以外接球球心一定在该棱锥的高上,设球心为O ,半径为r ,连接EB ,OB ,则EB 为正方形ABCD 对角线的一半,PO =OB =r . 因为棱锥的高为2,底面边长为2,所以PE =2,BE =√2,设OE =ℎ,则OP =|2−ℎ|,由勾股定理得:OB 2=OE 2+EB 2=ℎ2+2,所以ℎ2+2=|2−ℎ|2,解得:ℎ=12,所以r =|2−ℎ|=32,所以该球的表面积为4πr =4π×(32)2=9π所以答案是:9π.解答题16、如图所示的几何体由三棱锥P−ADQ和正四棱锥P−ABCD拼接而成,PQ⊥平面ADQ,AB//PQ,PQ=1,AB=2,AQ=√5,O为四边形ABCD对角线的交点.(1)求证:OP//平面ADQ;(2)求二面角O−AP−D的正弦值.答案:(1)证明见解析(2)√155分析:(1)取AD中点M,连QM,OM,证得PO//QM即可得解.(2)在正四棱锥P−ABCD中作出二面角O−AP−D的平面角,借助直角三角形计算即可.(1)取AD中点M,连QM,OM,如图,因O 是正四棱锥P −ABCD 底面中心,即O 是BD 中点,则OM //AB //PQ ,OM =12AB =1=PQ , 于是得PQMO 是平行四边形,PO //QM ,而PO ⊄平面ADQ ,DM ⊂平面ADQ , 所以PO //平面ADQ . (2)在正四棱锥P −ABCD 中,DO ⊥AO ,PO ⊥平面ABCD ,DO ⊂平面ABCD ,则PO ⊥DO ,而PO ∩AO =O ,PO,AO ⊂平面POA ,因此,DO ⊥平面POA ,而PA ⊂平面POA ,则DO ⊥PA ,过O 作OE ⊥PA 于E ,连DE ,如图,DO ∩OE =O ,DO,OE ⊂平面DOE ,则有PA ⊥平面DOE ,即PA ⊥DE ,从而得∠DEO 是二面角O −AP −D 的平面角, 因PQ ⊥平面ADQ ,则PQ ⊥AQ ,AP =√PQ 2+AQ 2=√6,而AO =12AC =√2,则PO =2,OE =PO⋅AO PA=2√33, Rt △DOE 中,DO =√2,DE =√DO 2+OE 2=√303,于是得sin∠DEO =DODE =√155, 所以二面角O −AP −D 的正弦值√155. 17、如图,在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,F 为CC 1的中点.(1)求证:BD1//平面AEC;(2)求证:平面AEC//平面BFD1.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析分析:(1)连接BD交AC于点O,利用中位线的性质可得出BD1//OE,利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)证明出D1F//平面AEC,利用面面平行的判定定理可证得结论成立.(1)证明:连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,因为E为DD1的中点,则BD1//OE,∵BD1⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,因此,BD1//平面AEC.(2)证明:因为CC1//DD1且CC1=DD1,E为DD1的中点,F为CC1的中点,所以,CF//D1E,CF=D1E,所以,四边形CED1F为平行四边形,所以,D 1F //CE ,∵D 1F ⊄平面AEC ,CE ⊂平面AEC ,所以,D 1F //平面AEC , 因为BD 1∩D 1F =D 1,因此,平面AEC //平面BFD 1.18、在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ,AD 为∠BAC 的角平分线,已知c =2且a 2+c 2−b 2=(23−2cosA)bc ,AD =65√5. (1)求△ABC 的面积;(2)设点E,F 分别为边AB,AC 上的动点,线段EF 交AD 于G ,且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半,求AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值. 答案:(1)245 (2)4825分析:(1)结合余弦定理和正弦定理边化角可得sinC =13sinB ,进而得到c =13b ;利用正弦定理可推导得到BD CD=13,设BD =t ,在△ABD 和△ACD 中,利用余弦定理可构造方程求得t ;在△ABC 中利用余弦定理可求得cos∠BAC ,进而得到sin∠BAC ,利用三角形面积公式可求得结果;(2)设|AE ⃑⃑⃑⃑⃑ |=m (0<m ≤2),|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |=n (0<n ≤6),AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,由向量线性运算可得AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =3λ4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λ4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ;由E,F,G 三点共线可得AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =μAE ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)AF ⃑⃑⃑⃑⃑ ,进而可构造方程组得到μ=n m+n ,结合平面向量线性运算和向量数量积运算性质可将AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示为485⋅(126+m 2−1),由m 范围可求得最小值. (1)由余弦定理可得:a 2+c 2−b 2=2accosB ,则2accosB =(23−2cosA)bc , ∴acosB =13b −bcosA ,由正弦定理得:sinAcosB =13sinB −cosAsinB , ∴sinAcosB +cosAsinB =sin (A +B )=sin (π−C )=sinC =13sinB ,则c =13b ; 又c =2,∴b =6, ∵ABsin∠ADB =BDsin∠BAC2,AC sin∠ADC =CDsin∠BAC 2,又sin∠ADC =sin (π−∠ADB )=sin∠ADB ,∴c b =AB AC =BD CD =13,设BD =t ,则CD =3t ,∵cos∠BAC 2=AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC,即4+365−t 24×6√55=36+365−9t 212×6√55,解得:t =2√105,∴BC =4t =8√105, ∴cos∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=4+36−128524=35,则sin∠BAC =45,∴S △ABC =12AB ⋅ACsin∠BAC =12×2×6×45=245.(2)设|AE⃑⃑⃑⃑⃑ |=m (0<m ≤2),|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |=n (0<n ≤6),由(1)知:BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13DC ⃑⃑⃑⃑⃑ ; ∴AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ; 设AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAD ⃑⃑⃑⃑⃑ ,则AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =3λ4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λ4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ , ∵E,F,G 三点共线,∴可令AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =μAE ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =mμ2AB⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−μ)n 6AC ⃑⃑⃑⃑⃑ , 则{3λ4=mμ2λ4=(1−μ)n 6 ,解得:μ=n m+n ,∴AG ⃑⃑⃑⃑⃑ =mn 2m+2n AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +mn 6m+6n AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ; 又EF ⃑⃑⃑⃑⃑ =AF ⃑⃑⃑⃑⃑ −AE⃑⃑⃑⃑⃑ =n 6AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −m 2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠BAC =365, ∴AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(mn 2m+2n AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +mn 6m+6n AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(n 6AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −m 2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =−m 2n 4m+4n AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+mn 236m+36n AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+mn (n−m )12m+12n AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−m 2n m+n+mn 2m+n+3mn (n−m )5m+5n =−8m 2n+8mn 25m+5n =85⋅mn (n−m )m+n ;∵S △AEF =12S △ABC =12mnsin∠BAC =25mn =125,∴mn =6,∴AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF⃑⃑⃑⃑⃑ =485⋅n−m m+n=485⋅6m −m 6m+m =485⋅6−m 26+m2=485⋅(126+m 2−1),∵0<m ≤2,∴当m =2时,(AG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EF ⃑⃑⃑⃑⃑ )min =485×(126+4−1)=4825.19、如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,且DH=13AD,DG=13CD.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:EH,FG必相交且交点在直线BD上.答案:(1)证明见解析(2)证明见解析分析:(1)根据线段成比例得出直线与直线平行,利用平行直线确定一个平面可证结论;(2)根据平面的公理进行证明.(1)证明:连接AC,因为E,F分别是AB,BC的中点,DH=13AD,DG=13CD;所以EF//AC,HG//AC,所以EF//HG,所以E,F,G,H四点共面.(2)证明:易知HG=13AC,又EF=12AC,所以HG≠EF,结合(1)的结论可知,四边形EFGH是梯形,因此直线EH,FG不平行.设它们交点为P,P∈平面ABD,同理P∈FG,所以P∈平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,因此P∈BD,即EH,FG必相交且交点在直线BD上.。
错题宝典高考复习易错题分类《立体几何》易错题
错题宝典高考复习易错题分类《立体几何》易错题 测试题 2019.91,已知02=-b ax 是关于x 的一元二次方程,其中a 、}4,3,2,1{∈b ,求解集不同的一元二次方程的个数.2,从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.3,设ABCD 是空间四边形,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,则,,满足( )A 共线B 共面C 不共面D 可作为空间基向量4,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心,M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点,则直线OM( )A 是AC 和MN 的公垂线B 垂直于AC 但不垂直于MNC 垂直于MN ,但不垂直于ACD 与AC 、MN 都不垂直5,已知平面α∥平面β,直线L ⊂平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8,则在β内到点P 的距离为10,且到L 的距离为9的点的轨迹是( )A 一个圆B 四个点C 两条直线D 两个点6,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹( )A 线段B 1C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段C 线段BC 1D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段7,5. 下列命题中:a.若向量a 、b 与空间任意向量不能构成基底,则a ∥b 。
b.若∥, ∥,则∥ .c.若 、 、是空间一个基底,且 =31+ +31 ,则A 、B 、C 、D 四点共面。
d.若向量 a + b , b + c , c + a 是空间一个基底,则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基底。
其中正确的命题有( )个。
A 1B 2C 3D 48,已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等,把它们拼接起来,使一个表面重合,所得多面体的面数有( )A 、7B 、8C 、9D 、109,下列正方体或正四面体中,P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )10,a 和b 为异面直线,则过a 与b 垂直的平面( )A 、有且只有一个B 、一个面或无数个 31C 、可能不存在D 、可能有无数个测试题答案1, 误解:从集合}4,3,2,1{中任意取两个元素作为a 、b ,方程有24A 个,当a 、b 取同一个数时方程有1个,共有13124=+A 个.错因分析:误解中没有注意到题设中:“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情况,由于⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4221b a b a 和同解、⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2412b a b a 和同解,故要减去2个。
高二数学 专题 空间向量与立体几何(六个混淆易错点)(解析版)
专题空间向量与立体几何(六个混淆易错点)易错点1对空间向量的运算理解不清1.在棱长为1的正四面体A BCD -中,点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =++--,点N 满足()1DN DB DC λλ=-- ,当线段AM 、DN 的长度均最短时,AM AN ⋅= ()A .23B .23-C .43D .43-【答案】A【分析】根据题意得到M ∈平面BCD ,N ∈直线BC ,从而求得,AM DN 最短时,得到M 为BCD △的中心,N 为BC 的中点,求得AM 的长,结合向量的运算公式,即可求得AM AN ⋅的值.【详解】解:如图所示,因为(1)AM x AB y AC x y AD =++-- ,()1DN DB DC λλ=--,可得M ∈平面BCD ,N ∈直线BC ,当,AM DN 最短时,AM ⊥平面BCD ,且DN BC ⊥,所以M 为BCD △的中心,N 为BC 的中点,如图所示,又由正四面体的棱长为1,所以13NM DN ==AN =所以3AM =,因为AM ⊥平面BCD ,所以AM MN ⊥,所以Rt ANM △中,6223cos 332AM MAN AN ∠===,所以326222cos 333AM AN AM AN MAN ⋅=⋅∠=⨯=⨯ 故选:A2.下列命题中正确的个数是().①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c共线.②向量a ,b ,c共面,即它们所在的直线共面.③如果三个向量a ,b ,c不共面,那么对于空间任意一个向量p ,存在有序实数组(),,x y z ,使得p xa yb zc =++.④若a ,b 是两个不共线的向量,而c a b λμ=+(,λμ∈R 且0λμ≠),则{},,a b c 是空间向量的一组基底.A .0B .1C .2D .3【答案】B【分析】举例0b =,判断①,由向量共面的定义判断②,由空间向量基本定理判断③,由共面向量定理和空间向量基本定理判断④.【详解】①当0b = 时,a 与c不一定共线,故①错误;②当a ,b ,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,或在同一平面内,故②错误;由空间向量基本定理知③正确;④当a ,b 不共线且c a b λμ=+时,a ,b ,c 共面,故④错误.故选:B .3.以下命题:①若//a b r r ,则存在唯一的实数λ,使得λa b = ;②若a b b c ⋅=⋅r r r r,则a c = 或0b = ;③若{},,a b c为空间的一个基底,则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底;④()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 一定成立.则其中真命题的个数为()A .4B .3C .2D .1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断①;由数量积判断②;由基底的概念判断③;由数量积的性质判断④【详解】对于①:根据共线向量的基本定理,//a b r r 的充要条件是存在唯一的实数λ,使得λa b = ,其中0b ≠r r;这里没有限制b,所以①错误;对于②:cos ,,cos ,a b a b a b b c b c b c ⋅=⋅⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ,若a b b c ⋅=⋅r r r r ,则cos ,cos ,a a b c b c ⋅=r r r r r r ,即只要a 在b 上的投影与c 在b 上的投影相等即可,故②错误;对于③:若{},,a b c 为空间的一个基底,则,,a b c不共面,则,,a b b c c a +++ 也不共面,则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底,故③正确;对于④:因为,a b b a c d d c ⋅=⋅⋅=⋅,所以()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,故④正确;所以正确的有2个,故选:C4.下面四个结论正确的个数是()①空间向量(),0,0a b a b ≠≠ ,若a b ⊥ ,则0a b ⋅=;②若空间四个点P ,A ,B ,C ,1344PC PA PB =+,则A ,B ,C 三点共线;③已知向量(1,1,)a x = ,(3,,9)b x =- ,若310x <,则,a b 〈〉为钝角;④任意向量,,a b c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.A .4B .3C .2D .1【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可.【详解】对于①,因0,0a b ≠≠ ,a b ⊥ ,则·0a b =,①正确;对于②,因1344PC PA PB =+ ,则1144PC PA - =3344PB PC -,即3AC CB = ,即A 、B 、C 三点共线,②正确;对于③,a b ⋅ =10x -3,若,a b 〈〉 为钝角,则0a b ⋅< ,且a 与b 不共线,由0a b ⋅<得310x <,当//a b 时,1139xx ==-,即3x =-,由a 与b 不共线得3x ≠-,于是得当310x <且3x ≠-时,,a b 〈〉为钝角,③错误;对于④,()a b c ⋅⋅ 是c 的共线向量,而()a b c ⋅⋅是a 的共线向量,④错误,综上可知,①②正确.故选:C5.(多选)给出下列命题,其中正确的是()A .若{},,a b c是空间的一个基底,则{},,a b b c +r r r r 也是空间的一个基底B .在空间直角坐标系中,点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C .若空间四个点P ,A ,B ,C 满足1344PC PA PB =+,则A ,B ,C 三点共线D .平面α的一个法向量为()1,3,4m =-u r ,平面β的一个法向量为()2,6,n k =--r.若//αβ,则8k =【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A ,由点关于坐标面的对称判断B ,由向量的运算确定三点共线可判断C ,根据向量共线求参数可判断D 。
高考复习易做易错题精选立体几何全国通用.
高考复习易做易错题精选立体几何、选择题:(石庄中学)设ABCD 是空间四边形,E ,F 分别是AB ,CD 的中点,贝U EF,AD,BC 满足()A 共线B 共面C 不共面D 可作为空间基向量 正确答案:B 错因:学生把向量看为直线。
(石庄中学)在正方体 ABCD-A i B i C i D i ,0是底面ABCD 的中心,M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点,则直线OM ()保持AP 丄BD i ,则动点P 的轨迹(正确答案:A错因:学生观察能力较差,对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
(石庄中学)下列命题中:1. 2. A 是AC 和MN 的公垂线C 垂直于MN ,但不垂直于 AC 正确答案:A 错因:学生观察能力较差, B 垂直于AC 但不垂直于MND 与AC 、MN 都不垂直 找不出三垂线定理中的射影。
3. (石庄中学)已知平面//平面 ,直线 L 平面,点P 直线L,平面间的距离为8, 则在 内到点P 的距离为10,且到L 的距离为9的点的轨迹是()A 一个圆B 四个点C 两条直线 正确答案:B 错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
四个点D 两个点 4. (石庄中学)正方体 ABCD-A i B i C i D i 中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且总A 线段B 1C BB 1的中点与CC i 中点连成的线段 C 线段BC 1CB 中点与B i C i 中点连成的线段5. 若向量a 、b 与空间任意向量不能构成基底,则 a // b 。
若 a // b , b // c ,贝 U c // a . 若 OA 、 OB 、 --- * ------------------------------------ 1 ----- 1O C 是空间一个基底,且OD =3 OA +1--- 1 ---------OB + - OC ,则 A 、B 、C 、3D 四点共面。
高三数学易错立体几何多选题 易错题专项训练学能测试试题
高三数学易错立体几何多选题 易错题专项训练学能测试试题一、立体几何多选题1.如图①,矩形ABCD 的边2BC =,设AB x =,0x >,三角形BCM 为等边三角形,沿BC 将三角形BCM 折起,构成四棱锥M ABCD -如图②,则下列说法正确的有( )A .若T 为BC 中点,则在线段MC 上存在点P ,使得//PD 平面MATB .当)3,2x ∈时,则在翻折过程中,不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC .若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上,则此时该四棱锥的体积最大值为1 D .若1x =,且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时,三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ,延长AT 与DC 的延长线交于点N ,此时,DP 与MN 必有交点; 对于B ,取AD 的中点H ,表示出2223MH MT HT x --,验证当)3,2x ∈时,无解即可; 对于C ,利用体积公式21233V x x =⨯⨯-,借助基本不等式求最值即可; 对于D ,要求外接球半径与内切球半径,找外接圆的圆心,又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ,如图,延长AT 与DC 的延长线交于点N ,则面ATM ⋂面()MDC N MN =.此时,DP 与MN 必有交点,则DP 与面ATM 相交,故A 错误; 对于B ,取AD 的中点H ,连接MH ,则MH AD ⊥.若面MAD ⊥面ABCD ,则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时,无解,所以在翻折过程中,不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确;对于C ,由题可知,此时面MAD ⊥面ABCD ,由B 可知,(3x ∈,所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-,即6x =时等号成立.故C 正确; 对于D ,由题可知,此时面MAD ⊥面ABCD ,且2MH =因为AHB ,MHB 都是直角三角形,所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点,所以1R =,由等体积法,可求得内接圆半径为2323r =++,故61322R r ++=,故D 正确.故选:BCD . 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容,注意辅助线的作法,以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想.2.已知图1中,A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点,分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起,使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直,再顺次连接EFGH ,得到一个如图2所示的多面体,则( )A .AEF 是正三角形B .平面AEF ⊥平面CGHC .直线CG 与平面AEF 2D .当2AB =时,多面体ABCD EFGH -的体积为83【答案】AC【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ,连接OH 、OM ,证明出OH ⊥平面ABCD ,然后以点O 为坐标原点,OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,求出EF ,可判断A 选项的正误,利用空间向量法可判断BC 选项的正误,利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ,连接OH 、OM , 在图1中,A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点,则1122CH GH EH DH ===,O 为CD 的中点,OH CD ∴⊥,平面CDH ⊥平面ABCD ,平面CDH 平面ABCD CD =,OH ⊂平面CDH ,OH ∴⊥平面ABCD ,在图1中,设正方形EFGH的边长为()0a >,可得四边形ABCD 的边长为2a , 在图1中,ADE 和ABF 均为等腰直角三角形,可得45BAF DAE ∠=∠=, 90BAD ∴∠=,∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形,O 、M 分别为CD 、AB 的中点,则//OC BM 且OC BM =,且90OCB ∠=,所以,四边形OCBM 为矩形,所以,OM CD ⊥,以点O 为坐标原点,OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A选项,由空间中两点间的距离公式可得AE AF EF ===,所以,AEF 是正三角形,A 选项正确;对于B 选项,设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =,(),0,AE a a =-,()0,,AF a a =,由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取11z =,则11x =,11y =-,则()1,1,1m =-, 设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =,(),0,CG a a =,()0,,CH a a =-, 由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取21z =-,可得21x =,21y =-,则()1,1,1n =--,()22111110m n ⋅=+--⨯=≠,所以,平面AEF 与平面CGH 不垂直,B 选项错误;对于C 选项,6cos ,323CG m CG m a CG m⋅<>===⨯⋅, 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ,则sin 63θ=,23cos 1sin θθ=-=,所以,sin tan 2cos θθθ==,C 选项正确; 对于D 选项,以ABCD 为底面,以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -,则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点,因为2AB =,即1a =,则1OH =,长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=,11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△,因此,多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=, D 选项错误. 故选:AC. 【点睛】方法点睛:计算线面角,一般有如下几种方法:(1)利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角的垂足,明确斜线在平面内的射影,即可确定线面角;(2)在构成线面角的直角三角形中,可利用等体积法求解垂线段的长度h ,从而不必作出线面角,则线面角θ满足sin hlθ=(l 为斜线段长),进而可求得线面角; (3)建立空间直角坐标系,利用向量法求解,设a 为直线l 的方向向量,n 为平面的法向量,则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为底面ABCD 内(含边界)一点.( ) A .若13A P P 点有且只有一个B .若12A P =,则点P 的轨迹是一段圆弧C .若1//A P 平面11BD C ,则1A P 长的最小值为2D .若12A P =且1//A P 平面11B DC ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π【答案】ABD 【分析】选项A ,B 可利用球的截面小圆的半径来判断;由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上,1A P 长的最大值为2;结合以上条件点P 与B 或D 重合,利用12sin 60A P r =︒,求出63r =,进而求出面积. 【详解】对A 选项,如下图:由13A P =,知点P 在以1A 为球心,半径为3的球上,又因为P 在底面ABCD 内(含边界),底面截球可得一个小圆,由1A A ⊥底面ABCD ,知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧,半径为22112r A P A A =-=,则只有唯一一点C满足,故A 正确;对B 选项,同理可得点P 在以A 为圆心,半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上,在底面ABCD 内(含边界)中,可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确;对C 选项,移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行,则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内,由平面1//A BD 平面11B D C ,知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上,则1A P 长的最大值为12A B =,则C 不正确; 对选项D ,由以上推理可知,点P 既在以A 为圆心,半径为1的小圆圆弧上,又在线段BD 上,即与B 或D 重合,不妨取点B ,则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆,利用2126622,,sin 603A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选:ABD 【点睛】(1)平面截球所得截面为圆面,且满足222=R r d +(其中R 为球半径,r 为小圆半径,d 为球心到小圆距离);(2)过定点A 的动直线平行一平面α,则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.4.如图,一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -,其中,以顶点A 为端点的三条棱长都等于1,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是( )A .()()2212AA AB ADAC ++=B .1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C .1AA 与平面ABCD 所成角大于45 D .1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC 【分析】对A ,分别计算()21++AA AB AD 和2AC ,进行判断;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,应得10⋅=O AB A ,计算10⋅≠O AB A ,即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点;对C ,计算11,,A A AC AC ,根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ,1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,再计算1tan ∠A AC ;对D ,计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅,再利用向量的夹角公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】对A ,由题意,11111cos602⋅=⋅=⋅=⨯⨯=AA AB AA AD AD AB ,所以()2222111112221113262++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ,AC AB AD =+,所以()222221113=+=+⋅+=++=AC AB ADAB AB AD AD ,所以()()22126++==AA AB AD AC ,故A 正确;对B ,设BD 中点为O ,连接1A O ,1111111222=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ,若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点,则1A O ⊥平面ABCD ,则应10⋅=O AB A ,又因为21111111111110222222224⎛⎫⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ,故B 错误;对D ,11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+,所以()()2211=2,=3=+-=+AD A B A AB AC AB AD D ()()2211111⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD ABAB AD BD,111cos ,2⋅<>===B AC D BD BD AC ACD 不正确;对C,112==AC BD ,在1A AC 中,111,===A A AC AC 22211+=A A AC AC ,所以11⊥A A AC ,所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠,又1tan 1∠=>A AC ,即145∠>A AC ,故C 正确;故选:AC【点睛】方法点睛:用向量方法解决立体几何问题,需要树立“基底”意识,利用基向量进行线性运算,要理解空间向量概念、性质、运算,注意和平面向量类比;同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解.5.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是棱AB 、1CC 的中点,1MB P 的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动,有以下四个命题正确命题的序号是( )A .平面1MB P 1ND ⊥ B .平面1MB P ⊥平面11ND AC .1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值 D .1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形是三角形 【答案】BC 【分析】取N 与P 重合,结合勾股定理可判断A 选项的正误;利用面面垂直的判定定理可判断B 选项的正误;分点P 在棱1CC 、11C D 上运动两种情况讨论,利用三角形的面积公式可判断C 选项的正误;取点P 与点1C 重合,判断1MB P 在侧面11D C CD 上射影图形形状,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,如下图所示:当点P 与点N 重合时, 若1ND ⊥平面1MB P ,1B N ⊂平面1MB P ,则11ND B N ⊥,由勾股定理可得2211115D N C N C D =+=,同理可得15B N =,1122B D =,2221111B N D N B D ∴+≠,则1ND 与1B N 不垂直,假设不成立,A 选项错误;对于B 选项,取1BB 的中点E ,连接1A E 、EN ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB CC ,且E 、N 分别为1BB 、1CC 的中点, 则11//B E C N 且11B E C N =,所以,四边形11B ENC 为平行四边形,则11//EN B C 且11EN B C =,1111//A D B C 且1111A D B C =,所以,11//A D EN 且11A D EN =,所以,四边形11A END 为平行四边形,所以,11//A E D N ,111A B BB =,1B E BM =,11190A B E B BM ∠=∠=,所以,111Rt A B E Rt B BM ≅△△,所以,111B A E BB M ∠=∠,所以,111111190A EB BB M A EB B A E ∠+∠=∠+∠=,190B FE ∴∠=,所以,11B M A E ⊥,11A D ⊥平面11AA B B ,1B M ⊂平面11AA B B ,111B M A D ∴⊥, 1111A D A E A =,11A D 、1A E ⊂平面11ND A ,1MB ∴⊥平面11ND A ,1MB ⊂平面1MB P ,所以,平面1MB P ⊥平面11ND A ,B 选项正确;对于C 选项,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a .若点P 在棱1CC 上运动时,1MB P 在底面ABCD 上的射影为MBC △, 此时,射影图形的面积为21224MBCa a S a =⋅=△; 若点P 在棱11C D 上运动时,设点P 在底面ABCD 上的射影点为G ,则G CD ∈, 且点G 到AB 的距离为a ,1MB 在底面ABCD 内的射影为MB ,则1MB P 在底面ABCD 内的射影为MBG △,且21224MBGa a S a =⋅⋅=△.综上所述,1MB P 在底面ABCD 内的射影图形的面积为定值,C 选项正确; 对于D 选项,当点P 与1C 重合时,P 、1B 两点在平面11D C CD 上的射影重合, 此时,1MB P 在侧面11D C CD 上的射影不构成三角形,D 选项错误. 故选:BC. 【点睛】方法点睛:证明面面垂直常用的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时,一般假设面面垂直成立,然后利用面面垂直转化为线面垂直,即为所证的线面垂直,组织论据证明即可.6.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2,则下列结论正确的是( ) A .异面直线AC 与BD 所成角为60︒B .点A 到平面BCD 的距离为3C .四面体ABCDD .动点P 在平面BCD 上,且AP 与AC 所成角为60︒,则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ,通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误;在四面体ABCD 中,过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心,因为所有棱长均为2,AF ==即点A 到平面BCD ,故B 正确;设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径,OA 我外接球的半径, 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△,所以4AF OF =,即OF AO =所以四面体ABCD 的外接球体积334433V R OA ππ===,故C 正确;建系如图:0,0,,0,,033A C ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ,则,,AP x y AC →→⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭,因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=24192y +=,即833y +,平方化简可得:2240039y x y ---,可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选:BC .【点睛】方法点睛:立体几何中动点轨迹的求解问题,解决此类问题可采用空间向量法,利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系,从而得到轨迹方程.7.在边长为2的等边三角形ABC 中,点,D E 分别是边,AC AB 上的点,满足//DE BC 且AD ACλ=,(()01λ∈,),将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是( )A .在边A E '上存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD 'B .存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,使得在翻折过程中的某个位置,满足平面A BC '⊥平面BCDEC .若12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,||104A B '= D .在翻折过程中,四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ,()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,即可判断出结论.对于B ,102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,即可判断出结论. 对于C ,12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+.对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-,()01λ∈,,利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ,在A D '上取一点N ,使得//FN ED ,在ED 上取一点H ,使得//NH EF ,作//HG BE 交BC 于点G ,如图所示,则可得FN 平行且等于BG ,即四边形BGNF 为平行四边形, ∴//NG BE ,而GN 始终与平面ACD 相交,因此在边A E '上不存在点F ,使得在翻折过程中,满足//BF 平面A CD ',A 不正确.对于B ,102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,,在翻折过程中,点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上,因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ,因此B 不正确. 对于C.12λ=,当二面角A DE B '--为直二面角时,取ED 的中点M ,如图所示:可得AM ⊥平面BCDE , 则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠,因此C 不正确;对于D.在翻折过程中,取平面AED ⊥平面BCDE ,四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-,()01λ∈,,()213f λλ'=-,可得3λ=()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,因此D 正确.综上所述,不成立的为ABC. 故选:ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理能力空间想象能力与计算能力,属于难题.8.如图,点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,S 是棱PC 上的点,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,则( )A .若//MN 平面PAB ,则//AB RQ B .存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQC .存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+= D .111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ,根据线面平行的性质定理,进行推理判断即可;对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB , 13SC PC =时,通过线面垂直的判定定理,证明此时PC ⊥平面SRQ ,即可证明,存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ;对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=,利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ,此时通过反证法说明矛盾性,即可判断; 对于选项D ,利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++,即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A , 若//MN 平面PAB ,平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ,与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ,又MN ⊂平面SMN ,//MN 平面PAB ,∴//MN RQ ,点O 在面ABC 上,过点O 的直线交AC ,BC 于点M ,N ,∴MN ⊂平面ABC ,又//MN 平面PAB ,平面ABC平面PAB AB =,∴//MN AB , ∴//AB RQ ,故A 正确; 对于选项B ,当直线MN 平行于直线AB ,S 为线段PC 上靠近C 的三等分点,即13SC PC =, 此时PC ⊥平面SRQ ,以下给出证明: 在正四面体P ABC -中,设各棱长为a ,∴ABC ,PBC ,PAC △,PAB △均为正三角形,点O 为ABC 的中心,//MN AB ,∴由正三角形中的性质,易得23CN CM a ==, 在CNS 中,23CN a =,13SC a =,3SCN π∠=,∴由余弦定理得,SN a ==, ∴222249SC SN a CN +==,则SN PC ⊥, 同理,SM PC ⊥,又SM SN S =,SM ⊂平面SRQ ,SN ⊂平面SRQ ,∴PC ⊥平面SRQ ,∴存在点S 与直线MN ,使PC ⊥平面SRQ ,故B 正确; 对于选项C ,假设存在点S 与直线MN ,使()0PS PQ PR ⋅+=, 设QR 中点为K ,则2PQ PR PK +=,∴PS PK ⊥,即PC PK ⊥,()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=,∴PC AB ⊥,又易知AB 与PK 为相交直线,AB 与PK 均在平面PQR 上,∴PC ⊥平面PQR ,即PC ⊥平面PAB ,与正四面体P ABC -相矛盾,所以假设不成立, 故C 错误; 对于选项D ,易知点O 到面PBC ,面PAC ,面PAB 的距离相等,记为d , 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α,α为常数,则sin α也为常数, 则点S 到PQR 的距离为sin PS α, 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅, 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅, 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅, 13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅,()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅,∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅, ∴111sin d PQPRPSα++=为常数,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理,考查了三棱锥体积的计算,考查了向量的运算,考查了转化能力与探究能力,属于较难题.。
2023年人教版高中数学第八章立体几何初步易错题集锦
(名师选题)2023年人教版高中数学第八章立体几何初步易错题集锦单选题1、如图,已知正方体的棱长为a,沿图1中对角面将它分割成两个部分,拼成如图2的四棱柱,则该四棱柱的全面积为()A.(8+2√2)a2B.(2+4√2)a2C.(4+2√2)a2D.(6−4√2)a2答案:C分析:拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面,减少了原来两个正方形面,据此变化,进行求解.由题意,拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面,减少了原来两个正方形面,由于截面为矩形,长为√2a,宽为a,所以面积为√2a2,所以拼成的几何体的表面积为4a2+2√2a2=(4+2√2)a2.故选:C.2、下列说法正确的有()①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;②经过球面上不同的两点只能作一个大圆;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;④圆锥的轴截面是等腰三角形.A .1个B .2个C .3个D .4个答案:A解析:根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质,分析判断,即可得答案.①中若两个底面平行且相似,其余各面都是梯形,并不能保证侧棱延长线会交于一点,所以①不正确; ②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点,则过此两点的大圆有无数个,所以②不正确; ③中底面不一定是正方形,所以③不正确;④中圆锥的母线长相等,所以轴截面是等腰三角形,所以④是正确的.故选:A3、《九章算术·商功》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,AC ⊥CD ,AC =BC +CD =2,当△BCD 的面积最大时,鳖臑ABCD 的表面积为( )A .√3+√62B .3+√62C .2+√3+√62D .3+√3+√62答案:D分析:根据题意可证明CD ⊥BC ,从而说明三角形BCD 是直角三角形,求得BD ,进而求得四个直角三角形的面积,可得答案.由题意可知:AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,故AB ⊥CD ,又AC ⊥CD ,AC ∩AB =A,AB,AC ⊂平面ABC ,故CD ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,故CD ⊥BC ,所以S △BCD =12BC ⋅CD ≤12×(BC+CD 2)2=12 ,当且仅当BC =CD =1时取得等号,故BD=√1+1=√2 ,由AB⊥平面BCD,可知AB⊥BD,AB⊥BC, 故AB=√AC2−BC2=√4−1=√3 ,所以S△ABD=12AB⋅BD=√62,S△ABC=12AB⋅BC=√32,S△BCD=12BC⋅CD=12,S△ACD=12AC⋅CD=1,所以鳖臑ABCD的表面积为√62+√32+12+1=3+√3+√62,故选:D4、过半径为4的球O表面上一点M作球O的截面,若OM与该截面所成的角是30°,则O到该截面的距离是()A.4B.2√3C.2D.1答案:C分析:作出球的截面图,根据几何性质计算,可得答案.作出球的截面图如图:设A为截面圆的圆心,O为球心,则OA⊥截面,AM在截面内,即有OA⊥AM,故∠OMA=30∘,所以OA=4×12=2 ,即O到该截面的距离是2,故选:C5、如图,用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图,则正确的图形是()A.B.C.D.答案:A分析:由斜二侧画法的规则分析判断即可先作出一个正三角形A1B1C1,然后以B1C1所在直线为x轴,以B1C1边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,画对应的x′,y′轴,使夹角为45°,画直观图时与x轴平行的直线的线段长度保持不变,与y轴平行的线段长度变为原来的一半,得到的图形如图,然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图,故选:A6、在正方体ABCD−A1B1C1D1中,M是正方形ABCD的中心,则直线A1D与直线B1M所成角大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案:A分析:如图,连接B1C,MC,MB,利用余弦定理可求∠CB1M的值,从而可得直线A1D与直线B1M所成角大小. 设正方体的棱长为2a,连接B1C,MC,MB,因为B1C//A1D,故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成角.而B1C=2√2a,MC=√2a,B1M=√B1B2+BM2=√4a2+2a2=√6a,故B1C2=B1M2+CM2,所以MB1⊥CM,所以cos∠CB1M=√6a2√2a =√32,因为∠CB1M为锐角,故∠CB1M=30°,故选:A.7、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,若∠BAC =90°,AB =AA 1=1,AC =2,E 是棱A 1C 1上的中点,则点A 到平面BCE 的距离是( )A .1B .√23C .√63D .√33答案:C分析:作出草图,根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1,可得A 1C 1⊥BA 1,再根据勾股定理分别求出A 1B ,BE ,CE ,BC 的值,再根据V A−BCE =V E−ABC ,即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图,在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,连接BA 1,CE,AE,BE ,由题知,AA 1⊥平面A 1B 1C 1,AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1,又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°,∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1,所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1,所以A1C1⊥BA1,由于AB=AA1=CC1=1,A1C1=AC=2,E点是棱AC上的中点,根据勾股定理,A1B=√AB2+AA12=√12+12=√2,BE=√A1B2+A1E2=√(√2)2+12=√3 CE=√(C1C)2+(C1E)2=√12+12=√2,BC=√AB2+AC2=√12+22=√5,所以BE2+CE2=BC2,即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d,则d=1,设点A到平面BCE的距离为ℎ,在四面体A−BCE中,V A−BCE=V E−ABC,V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13,解得ℎ=√63.故选:C.8、鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为()A.8(6+6√2+√3)B.6(8+8√2+√3)C.8(6+6√3+√2)D.6(8+8√3+√2)答案:A解析:该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,然后按照表面积公式计算即可.由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为√2,则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选:A.小提示:本题考查数学文化与简单几何体的表面积,考查空间想象能力和运算求解能力.9、已知a、b、c为三条直线,则下列四个命题中是真命题的为()A.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面B.若a与b相交,b与c相交,则a与c相交C.若a∥b,则a、b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c答案:C分析:根据空间里面直线的位置关系逐项分析判断即可.在A中,若直线a、b异面,b、c异面,则a、c相交、异面或平行,故A错误;在B中,若直线a、b相交,b、c相交,则a、c平行、相交或异面,故B错误;在C中,若a∥b,则a、b与c所成的角相等,故C正确;在D中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交、平行或异面,故D错误.故选:C.10、如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形ABCD为底面,则四边形EFGH的形状为()A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.矩形答案:B解析:利用面面平行的性质判断EF与GH的平行、EH与FG平行.因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CGHD=GH,根据面面平行的性质可知EF//GH,同理可证明EH//FG.所以四边形EFGH为平行四边形.故选:B.小提示:本题考查长方体截面形状判断,考查面面平行的性质应用,较简单.11、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品,经典的有西施壶,石瓢壶,潘壶等,其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容积约为()A.100cm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3答案:B分析:根据题意可知圆台上底面半径为3,下底面半径为5,高为4,由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积,设大圆锥的高为ℎ,所以ℎ−4ℎ=610,求出ℎ的值,最后利用圆锥的体积公式进行运算,即可求出结果.解:根据题意,可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,圆台上底面半径为3,下底面半径为5,高为4,可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积,设大圆锥的高为ℎ,所以ℎ−4ℎ=610,解得:ℎ=10, 则大圆锥的底面半径为5,高为10,小圆锥的底面半径为3,高为6,所以该壶的容积V =13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm 3.故选:B.12、已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为( )A .6B .12C .24D .48答案:D分析:首先由勾股定理求出斜高,即可求出侧面积;解:正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则其斜高ℎ′=√52−(62)2=4,所以正四棱锥的侧面积S =12×4×6×4=48故选:D双空题13、在三棱锥P -ABC 中,已知△ABC 是边长为2的正三角形,PA ⊥平面ABC ,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,若异面直线MN ,PB 所成角的余弦值为34,则PA 的长为_____;三棱锥P -ABC 的外接球表面积为_____.答案: 228π3##283π分析:取BC 中点E ,设PA =x ,利用x 表示出△MNE 的边长,然后由余弦定理可解;过△ABC 的外心O 1作底面的垂线,则球心必在垂线上,再由△ABC 的外接圆半径、三棱锥的高与外接球半径之间的关系可得. 取BC 中点E ,连接NE ,ME ,cos ∠MNE =34设PA =x ,∴PB =√x 2+4,NE =√x 2+42.ME =1取AC 中点F ,连接NF 、MF ,则PA ∥NF ,因为PA ⊥平面ABC ,所以NF ⊥平面ABC ,由MF ⊂平面ABC ,所以NF ⊥MF ,所以MN =√NF 2+MF 2=√x 2+42∴cos ∠MNE =x 2+44+x 2+44−12⋅√22⋅√22=34⇒x =2,∴PA =2设底面△ABC 外心为O 1,由正弦定理得O 1A =BC 2sin∠BAC =2√33,过O 1作O 1Q ⊥平面ABC ,则三棱锥P —ABC 外接球球心O 一定在O 1Q 上,由OP =OA ,取PA 中点R ,则OR ⊥AP ,∴OR =O 1A =2√33∴外接球半径R =√1+(2√33)2=√73,S n =4π×73=28π3所以答案是:2,28π314、如图,平面四边形ABCD, ∠B=∠D=90∘, ∠A=120∘,AB=AD=2,将ΔACD沿AC折起到ΔPAC的位置,此时二面角B−AC−P的大小为60∘,连接BP,则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______;三棱锥P−ABC的体积为___________.答案:16π√3 分析:根据题意,可知△APC、△ABC都是以AC为斜边的直角三角形,故三棱锥P−ABC外接球的球心为AC中点,直径为AC,即可求出三棱锥P−ABC外接球的表面积;结合题意求出点P到平面ABC的距离,即可得到三棱锥P−ABC的体积.由∠B=∠D=90∘,可知三棱锥P−ABC外接球的直径为AC,三棱锥P−ABC外接球的半径R=AC2=ABcos60∘2=2,故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=16π;由题意得点P到直线AC的距离d=APsin60∘=√3,因二面角B−AC−P的大小为60∘,所以点P到平面ABC的距离ℎ=dsin60∘=32,故三棱锥P−ABC的体积V=13S△ABCℎ=13×2×2√32×32=√3.所以答案是:16π;√3 .15、连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体,设正方体的棱长为a,则该几何体的表面积为_______,该几何体的体积为_______.答案:√3a216a3解析:根据正方体的几何结构特征,得到这正八面体每个面是全等的正三角形,求得其边长,结合表面积公式和体积公式,即可求解.由题意,这正八面体每个面是全等的正三角形,且AD=√22a,所以几何体的表面积为:S=8SΔSDA=8×12×√64a×√22a=√3a2,又由OS=12a,OD=12BD=a,所以S ABCD=(√22a)2=12a2,所以该几何体的体积为:V正八面体=2×13×S ABCD×OS=2×13×12a2×12a=16a3.所以答案是:√3a2,16a3.小提示:求空间几何体的表面积与体积的求法:(1)公式法:对于规则的几何体的表面积和体积,可直接利用公式进行求解;(2)割补法:把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积的计算,或不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算;(3)等体积法:等体积法也称积转化或等积变形,通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥体的体积,特别时三棱锥的体积.16、如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴旋转一周时,得到一几何体,则该几何体的表面积是_________,体积是_______.(其中∠BAC=30°)答案:11+√32πR256πR3分析:由题意,分析旋转体的几何性质可知,阴影部分旋转后,可看作是球体中间扣除两个同底倒扣的圆锥体,其表面积为外侧球体的表面积加上两个圆锥的侧面积,其体积为球体体积减掉两个圆锥的体积,计算求解.如图所示,过C作CO1⊥AB于点O1,由题意得∠BCA=90°,∵∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=√3R,BC=R,CO1=√32R.∴S球=4πR2,S圆锥AO1侧=π×√32R×√3R=32πR2,S圆锥BO1侧=π×√32R×R=√32πR2,∴S几何体表=S球+S圆锥AO1侧+S圆锥BO1侧=4πR2+32πR2+√32πR2=11+√32πR2.又∵V球=43πR3,V 圆锥AO 1=13⋅AO 1⋅π⋅CO 12=14πR 2⋅AO 1,V 圆锥BO 1=13⋅BO 1⋅π⋅CO 12=14πR 2⋅BO 1,∴V 几何体=V 球−(V 圆锥AO 1+V 圆锥BO 1)=56πR 3. 所以答案是:11+√32πR 2,56πR 3小提示:本题考查空间想象能力,旋转体的形成过程,属于中等题.17、在等腰梯形ABCD 中,AB =2CD =2,∠DAB =∠CBA =π3,O 为AB 的中点.将△BOC 沿OC 折起,使点B 到达点B ′的位置,则三棱锥B′−ADC 外接球的表面积为_________;当B ′D =√32时,三棱锥B′−ADC 外接球的球心到平面B′CD 的距离为_________.答案: 4π3√1313分析:由题可得三棱锥B′−ADC 外接球的球心为O ,利用球的表面积公式即求,然后利用等积法可求O 到平面B′CD 的距离.∵等腰梯形ABCD 中,AB =2CD =2,∠DAB =∠CBA =π3,O 为AB 的中点,∴△BOC,△ADO,△DOC 为等边三角形,OA =OB =OC =OD =1, ∴三棱锥B′−ADC 外接球的球心为O ,半径为1, ∴S =4π×1=4π;连BD 与OC 交于M ,则OC ⊥MD ,OC ⊥MB ,OC ⊥MB ′, 所以∠B ′MD 为二面角的平面角,又BM =DM =√32,又B ′D =√32, ∴二面角B ′−OC −D 为π3,∴B′到平面COD的距离为ℎ′=√32sinπ3=34,在△B′CD中,B′C=1,B′D=√32,CD=1,S△B′CD=12×√1−(√34)2×√32=√3916,设球心O到平面B′CD的距离h,由V O−B′CD=V B′−COD,得13S△B′CD⋅ℎ=13S△COD⋅ℎ′,∴13×√3916⋅ℎ=13×√34×34,解得ℎ=3√1313,所以三棱锥B′−ADC外接球的球心到平面B′CD的距离为3√1313.所以答案是:4π;3√1313.解答题18、如图,已知正三棱锥S−ABC的高SO=ℎ,侧面上的斜高SM=l,求经过SO的中点O1且平行于底面的截面△A1B1C1的面积(用l,ℎ表示).答案:3√34(l2−ℎ2).分析:利用正三棱柱的性质可得S△ABC=3√3(l2−ℎ2),根据面面平行的性质可得A1B1//AB,进而可得S△A1B1C1 S△ABC =14,即得.连接OM,OA,在Rt△SOM中,OM=√l2−ℎ2,∵棱锥S−ABC是正三棱锥,∴O是△ABC的中心,∴AB=2AM=2OM⋅tan60°=2√3√l2−ℎ2,S△ABC=√34AB2=3√3(l2−ℎ2),因为平面A1B1C1//平面ABC,O1为SO的中点,平面A1B1C1∩平面SAB=A1B1,平面ABC∩平面SAB=AB,∴A1B1//AB,A1B1=12AB,同理可得,C1B1//CB,C1B1=12CB,A1C1//AC,A1C1=12AC,所以△A1B1C1∽△ABC,所以S△A1B1C1S△ABC =14,∴截面△A1B1C1的面积为S△A1B1C1=3√34(l2−ℎ2).19、已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形,高为4cm,试用斜二测画法画出此长方体的直观图.答案:作图见解析.分析:根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.1 .画轴:画出x′轴,y′轴,z′轴,三轴相交于点O′,使得∠x′O′y′=45∘,∠x′O′z′=90∘;2 .画底面:以点O′为中点,在x′轴上画MN=3cm,在y′轴上画PQ=32cm,分别过点M,N作y′轴的平行线,过点P,Q作x′轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为该四棱柱的底面;3 .画侧棱:过点A,B,C,D分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′,如图(1)所示;4 .成图:连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到该棱柱的直观图,如图(2)所示.图(1)图(2)20、如图所示,在三棱柱ABC−A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:平面EFA1∥平面BCHG.答案:证明见解析分析:证明EF//BC,进而证明出EF//平面BCHG,再证明A1E//GB,得到A1E∥平面BCHG,从而证明面面平行. 证明:∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF//BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF//平面BCHG.∵A1G=EB,且A1G//EB∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E//GB.∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.。
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题提高题学能测试试卷
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题提高题学能测试试卷一、立体几何多选题1.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12AC BC AA ===,90ACB ∠=︒,D ,E ,F分别为AC ,1AA ,AB 的中点.则下列结论正确的是( )A .1AC 与EF 相交B .11//BC 平面DEF C .EF 与1AC 所成的角为90︒D .点1B 到平面DEF 的距离为322【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系,线面平行的判定方法,利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离,对各个选项逐一判断. 【详解】对选项A ,由图知1AC ⊂平面11ACC A ,EF 平面11ACC A E =,且1.E AC ∉由异面直线的定义可知1AC 与EF 异面,故A 错误;对于选项B ,在直三棱柱111ABC A B C -中,11B C //BC .D ,F 分别是AC ,AB 的中点, //∴FD BC ,11B C ∴ //FD .又11B C ⊄平面DEF ,DF ⊂平面DEF ,11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确;对于选项C ,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0C ,0,0),(2A ,0,0),(0B ,2,0),1(2A ,0,2),1(0B ,2,2),1(0C ,0,2),(1D ,0,0),(2E ,0,1),(1F ,1,0).(1EF ∴=-,1,1)-,1(2AC =-,0,2). 1·2020EF AC =+-=,1EF AC ∴⊥,1EF AC ∴⊥. EF 与1AC 所成的角为90︒,故C 正确;对于选项D ,设向量(n x =,y ,)z 是平面DEF 的一个法向量. (1DE =,0,1),(0DF =,1,0), ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨⊥⎩,,,即·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩,,,得00.x z y +=⎧⎨=⎩,取1x =,则1z =-,(1n ∴=,0,1)-, 设点1B 到平面DEF 的距离为d . 又1(1DB =-,2,2),1·102DB n d n-+∴===, ∴点1B 到平面DEF 的距离为2,故D 正确.故选:BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系,线面平行的判定,异面直线所成角以及点到面的距离,还考查思维能力及综合分析能力,属难题.2.如图,正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2,则下列说法正确的是( )A .异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB .1BD ⊥平面11AC DC .平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D .正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ,利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角;选项B ,根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证;选项C ,由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一;选项D ,分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高,然后判断数量关系即可得解. 【详解】A :正方体1111ABCD ABCD -中,易知11//AD BC ,异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角,即11A BC ∠,11A BC 为等边三角形,113A BC π∠=,正确;B :连接11B D ,1B B ⊥平面1111DC B A ,11A C ⊂平面1111D C B A ,即111AC B B ⊥,又1111AC B D ⊥,1111B B B D B ⋂=,有11A C ⊥平面11BDD B ,1BD ⊂平面11BDD B ,所以111BD AC ⊥,同理可证:11BD A D ⊥,1111AC A D A ⋂=,所以1BD ⊥平面11AC D ,正确;C :易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=,错误;D :易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -22222262213⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭,故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23,正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:利用正方体的性质,找异面直线所成角的平面角求其大小,根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ,由正四面体的性质,结合几何图形确定截面的面积,并求高,即可判断C 、D 的正误.3.已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,其长度分别为a ,b ,c .点A 在底面BCD 内的射影为O ,点A ,B ,C ,D 所对面的面积分别为A S ,B S ,C S ,D S .在下列所给的命题中,正确的有( ) A .2A BCO D S SS ⋅=; B .3333A B C D S S S S <++;C .若三条侧棱与底面所成的角分别为1α,1β,1γ,则222111sin sin sin 1αβγ++=;D .若点M 是面BCD 内一个动点,且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α,2β,2γ,则22cos α+2222cos cos 1βγ+=.【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似,得边长关系,进而判断A 正确;当M 与O 重合时,注意线面角与线线角的关系,即可得C 正确;构造长方体,建立直角坐标系,代入夹角公式计算可得D 正确;代入特殊值,可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -,连接DO 并延长交BC 于O ', 则AO BC ⊥.对A :由Rt O OA '与Rt O AD '相似,则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅,12BCOS BC O O '=⋅, 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=,故A 正确.对B :当1a b c ===时,33318B C D S S S ===,则33338B C D S S S ++=,而3332288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭,此时3333A B C D S S S S >++,故B 不正确. 对D :分别以AB ,AC ,AD 为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系.设(),,M x y z ,则(),,AM x y z =,222AM x y z =++,(),0,0AB a =,()0,,0AC b =,()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=,所以D 正确.对C :当M 与O 重合时,AO ⊥面BCD ,由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=,由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角,可得C 正确. 故选:ACD.【点睛】关键点睛:本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题,计算角的问题关键是建立空间直角坐标系,写出点的坐标,利用数量积的公式代入计算,解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.4.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动,且满足直线//BM 平面1D EF ,则( )A .过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B .三棱锥1D EFM -的体积为定值C .动点M 10D .过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,进而计算即可排除A 选项;根据//BM平面1D EF ,由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确;取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知M 的轨迹为线段HI 10,故C 选项正确;过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,易知过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而得当H 位于点I 时,截面面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅= 【详解】解:对于A 选项,如图,取BF 中点G ,连接1A G ,由点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=,故四边形11A D EG 为平行四边形,故11//AGD E ,由于在11A B G △,F 为1B G 中点,当N 为11A B 中点时,有11////NF A G D E ,故过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,此时221335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形,故A 选项错误;对于B 选项,三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积,由于//BM平面1D EF ,故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积,三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积,而三棱锥1D BEF -的体积为定值,故B 选项正确; 对于C 选项,取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知1////HB AG NF ,1//BI D F ,由于1,HI BI I NFD F F ==,故平面//BHI 平面1D EF ,故M 的轨迹为线段HI ,其长度为10,故C 选项正确;对于D 选项,过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,则过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,易知当H 位于点I 时,平行四边形BPOE 边BP 最小,且为AB ,此时截面平行四边形BPOE 的面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅=,故D 选项正确; 故选:BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意,依次做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而讨论AD选项,通过//BM平面1D EF ,并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确,通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ,进而讨论C 选项,考查回归转化思想和空间思维能力,是中档题.5.如图四棱锥P ABCD -,平面PAD ⊥平面ABCD ,侧面PAD 是边长为26角形,底面ABCD 为矩形,23CD =Q 是PD 的中点,则下列结论正确的是( )A .CQ ⊥平面PADB .PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C .三棱锥B ACQ -的体积为62D .四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD 【分析】取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP ,则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ,而底面ABCD 为矩形,所以以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量依次求解即可. 【详解】解:取AD 的中点O ,BC 的中点E ,连接,OE OP , 因为三角形PAD 为等边三角形,所以OP AD ⊥, 因为平面PAD ⊥平面ABCD ,所以OP ⊥平面 ABCD , 因为AD OE ⊥,所以,,OD OE OP 两两垂直,所以,如下图,以O 为坐标原点,分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴,y 轴 ,z 轴, 建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(6,0,0),(6,0,0)O D A ,(0,0,32),6,23,0),(6,23,0)P C B ,因为点Q 是PD 的中点,所以632)2Q , 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =,632(23,22QC =-,显然 m 与QC 不共线, 所以CQ 与平面PAD 不垂直,所以A 不正确;3632(6,23,32),(,0,),(26,23,0)22PC AQ AC =-==, 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =,则360260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩,令=1x ,则y z ==, 所以(1,2,n =-, 设PC 与平面AQC 所成角为θ,则21sin 36n PC n PCθ⋅===, 所以cos θ=,所以B 正确; 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABCV V SOP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=, 所以C不正确;设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ,则MQ MD=,所以2222222a a⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得0a =,即M 为矩形ABCD 对角线的交点,所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3,设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x , 将四面体拓展成正方体,其中正四面体棱为正方体面的对角线,故正方体的棱长为2x,所以22362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,得224x =, 所以正四面体的表面积为244x ⨯=,所以D 正确. 故选:BD【点睛】此题考查线面垂直,线面角,棱锥的体积,棱锥的外接球等知识,综合性强,考查了计算能力,属于较难题.6.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且2EF =.则下列结论正确的是( )A .三棱锥A BEF -的体积为定值B .当E 向1D 运动时,二面角A EF B --逐渐变小C .EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D .当E 与1D 重合时,异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC【分析】对选项分别作图,研究计算可得.【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形,11122122BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯= 连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以,AO 是点A 到平面11BDD B 的距离,即22AO = 11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯= A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ,连接11,AD AB ,由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点,AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角,在直角三角形1AA M 中,12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图,作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥在直角三角形EFT 中,221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴== 选项D:当E 与1D 重合时,F 与M 重合,连接AC 与BD 交于点R ,连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角,在三角形1AD R 中,22111132,2AD D R MB BB M B ===+=22AR = 由余弦定理得13cos 6AD R ∠=故选:AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路:关键是弄清(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.求空间几何体体积的思路:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.7.如图,矩形ABCD 中,M 为BC 的中点,将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ,连结1B D ,N 为1B D 的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )A .存在某个位置,使得CN AB ⊥B .翻折过程中,CN 的长是定值C .若AB BM =,则1AM BD ⊥D .若1AB BM ==,当三棱锥1B AMD -的体积最大时,三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π【答案】BD【分析】对于选项A ,取AD 中点E ,取1AB 中点K ,连结KN ,BK ,通过假设CN AB ⊥,推出AB ⊥平面BCNK ,得到AB BK ⊥,则22AK AB BK AB =+>,即可判断; 对于选项B ,在判断A 的图基础上,连结EC 交MD 于点F ,连结NF ,易得1NEC MAB ∠=∠,由余弦定理,求得CN 为定值即可;对于选项C ,取AM 中点O ,1B O ,DO ,由线面平行的性质定理导出矛盾,即可判断; 对于选项D ,易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥1B AMD -的体积最大,说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.【详解】如图1,取AD 中点E ,取1AB 中点K ,连结EC 交MD 于点F ,连结NF ,KN ,BK ,则易知1//NE AB ,1//NF B M ,//EF AM ,//KN AD ,112NE AB =,EC AM =由翻折可知,1MAB MAB ∠=∠,1AB AB =,对于选项A ,易得//KN BC ,则K 、N 、C 、B 四点共面,由题可知AB BC ⊥,若CN AB ⊥,可得AB ⊥平面BCNK ,故AB BK ⊥,则22AK AB BK AB =+>,不可能,故A 错误;对于选项B ,易得1NEC MAB ∠=∠,在NEC 中,由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠,整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+, 故CN 为定值,故B 正确;如图2,取AD 中点E ,取AM 中点O ,连结1B E ,OE ,1B O ,DO ,,对于选项C ,由AB BM =得1B O AM ⊥,若1AM B D ⊥,易得AM ⊥平面1B OD ,故有AM OD ⊥,从而AD MD =,显然不可能,故C 错误;对于选项D ,由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大,此时1B O ⊥平面AMD ,则1B O OE ⊥,由1AB BM ==,易求得122BO =,2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此1EB EA ED EM ===,E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心,此外接球半径为1,表面积为4π,故D 正确.故选:BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系,考查了空间想象能力,属于较难题.8.半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为2,则( )A .BF ⊥平面EABB .该二十四等边体的体积为203C .该二十四等边体外接球的表面积为8πD .PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为22【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断;B 先补齐八个角成正方体,再计算体积判断;C 先找到球心与半径,再计算表面积判断;D 先找到直线与平面所成角,再求正弦值判断.【详解】解:对于A ,假设A 对,即BF ⊥平面EAB ,于是BF AB ⊥,90ABF ∠=︒,但六边形ABFPQH 为正六边形,120ABF ∠=︒,矛盾,所以A 错;对于B ,补齐八个角构成棱长为2的正方体,则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=, 所以B 对;对于C ,取正方形ACPM 对角线交点O ,即为该二十四等边体外接球的球心, 其半径为2R =248R ππ=,所以C 对;对于D ,因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ,所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠, 其正弦值为222PS PN ==,所以D 对. 故选:BCD .【点睛】本题考查了正方体的性质,考查了直线与平面所成角问题,考查了球的体积与表面积计算问题.。
高中数学立体几何部分错题精选
高中数学立体几何部分错题精选一、选择题:1.(石庄中学)设ABCD是空间四边形,E,F分别是AB,CD的中点,则满足()A 共线B 共面C 不共面D 可作为空间基向量正确答案:B 错因:学生把向量看为直线。
2.(石庄中学)在正方体ABCD-ABCD,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD、DC的中点,则直线OM( )A 是AC和MN的公垂线B 垂直于AC但不垂直于MNC 垂直于MN,但不垂直于ACD 与AC、MN都不垂直正确答案:A 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影。
3.(石庄中学)已知平面∥平面,直线L平面,点P直线L,平面、间的距离为8,则在内到点P的距离为10,且到L的距离为9的点的轨迹是( )A 一个圆B 四个点C 两条直线D 两个点正确答案:B 错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
4.(石庄中学)正方体ABCD-ABCD中,点P在侧面BCCB及其边界上运动,并且总保持A P⊥BD,则动点P的轨迹()A 线段BCB BB的中点与CC中点连成的线段C 线段BCD CB中点与BC中点连成的线段正确答案:A 错因:学生观察能力较差,对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
5.(石庄中学)下列命题中:1 若向量、与空间任意向量不能构成基底,则∥。
2 若∥, ∥,则∥.3 若 、 、是空间一个基底,且 =+ + ,则A、B、C、D四点共面。
4 若向量 + , + , + 是空间一个基底,则 、 、 也是空间的一个基底。
其中正确的命题有( )个。
A 1B 2C 3D 4正确答案:C 错因:学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
6.(磨中)给出下列命题:①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c,直线a⊥c,则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形,其中真命题是( )正确答案:①错误原因:空间观念不明确,三垂线定理概念不清7.(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等,把它们拼接起来,使一个表面重合,所得多面体的面数有( )A、7B、8C、9D、10正确答案:A错误原因:4+8—2=108.(磨中)下列正方体或正四面体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )RS··PQ·R··S·PBS·S·R·CDQ·P·R··Q·P·Q·A正确答案:D错误原因:空间观点不强9.(磨中)a和b为异面直线,则过a与b垂直的平面( )A、有且只有一个B、一个面或无数个C、可能不存在D、可能有无数个正确答案:C错误原因:过a与b垂直的夹平面条件不清10.(一中)给出下列四个命题:(1)各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(2)若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4.(3)若直线l⊥平面α,l∥平面β,则α⊥β.(4)命题“异面直线a、b不垂直,则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.其中,正确的命题是 ( )A.(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4)正确答案:A11.(一中)如图,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角应为()A.75° B.60° C.50° D.45°正确答案:C12.(蒲中)一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α,β,则α+β满足()A、α+β<900B、α+β≤900C、α+β>900D、α+β≥900答案:B点评:易误选A,错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况。
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题自检题学能测试
高三数学易错立体几何多选题 易错题难题自检题学能测试一、立体几何多选题1.如图,在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中,M 为BC 边的中点,下列结论正确的有( )A .AM 与DB ''10 B .过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A BCD ''''-的截面面积为92C .四面体A C BD ''的内切球的表面积为3π D .正方体ABCD A B C D ''''-中,点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使MAC PAC ''∠=∠,那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系,由异面直线方向向量的夹角cos ,||||AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=''为AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误;同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示,2221543x y =++⨯P 的轨迹知D 的正误;由立方体的截面为梯形,分别求,,,MN AD AM D N '',进而得到梯形的高即可求面积,判断B 的正误;由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ,进而求内切球表面积,判断C 的正误. 【详解】A :构建如下图所示的空间直角坐标系:则有:(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D '', ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-,10cos ,10||||58AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>===''⨯,故正确.B :若N 为CC '的中点,连接MN ,则有//MN AD ',如下图示,∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面, 而2,2,5MN AD AM D N ''====322, ∴梯形的面积为132932222S =⨯=,故正确. C :如下图知:四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积,∴118848323V =-⨯⨯⨯=,而四面体的棱长都为22,有表面积为142222sin 8323S π=⨯⨯⨯⨯=,∴若其内切圆半径为r ,则有188333r ⨯⋅=,即33r =,所以内切球的表面积为2443r ππ=.故错误. D :正方体ABCD A B C D ''''-中,点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动且MAC PAC ''∠=∠,即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线,AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线,如下图曲线GPK ,构建如下空间直角坐标系,232(0,0,2),(2),(0,22,0)22A M C '-,若(,,0)P x y ,则232(,,0),(0,22,2),(,,2)22AM AC AP x y '=-=-=-,∴15cos ||||512AM AC MAC AM AC '⋅'∠==='⨯222cos ||||43AP AC PAC AP AC x y '⋅'∠=='++⨯22215543x y =++⨯,整理得22(102)9216(0)y x y +-=>,即轨迹为双曲线的一支,故错误.故选:AB 【点睛】关键点点睛:应用向量的坐标表示求异面直线的夹角,并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹,综合立方体的性质求截面面积,分割几何体应用等体积法求内切球半径,进而求内切球的表面积.2.在正三棱柱111ABC A B C -中,2AC =11CC =,点D 为BC 中点,则以下结论正确的是( ) A .111122A D AB AC AA =+- B .三棱锥11D AB C -3C .1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC DD .ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】A .根据空间向量的加减运算进行计算并判断;B .根据1111D ABC A DB C V V --=,然后计算出对应三棱锥的高AD 和底面积11DB C S,由此求解出三棱锥的体积;C .先假设1AB BC ⊥,然后推出矛盾;取AB 中点E ,根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立;D .将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹,然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】A .()11111111222A D A A AD AD AA AB AC AA AB AC AA =+=-=+-=+-,故正确; B .1111D AB C A DB C V V --=,因为D 为BC 中点且AB AC =,所以AD BC ⊥, 又因为1BB ⊥平面ABC ,所以1BB AD ⊥且1BB BC B =,所以AD ⊥平面11DB C ,又因为363AD BD BC ===,11111122DB C S BB B C =⨯⨯=, 所以1111111162333226D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅⋅=,故正确;C .假设1AB BC ⊥成立,又因为1BB ⊥平面ABC ,所以1BB BC ⊥且111BB AB B =,所以BC ⊥平面1ABB ,所以BC AB ⊥,显然与几何体为正三棱柱矛盾,所以1AB BC ⊥不成立;取AB 中点E ,连接11,,ED EA AB ,如下图所示:因为,D E 为,BC AB 中点,所以//DE AC ,且11//AC A C ,所以11//DE AC ,所以11,,,D E A C 四点共面,又因为1A E 与1AB 相交,所以1AB //平面11AC D 显然不成立,故错误;D .“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”,根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分,故正确; 故选:ABD. 【点睛】方法点睛:求解空间中三棱锥的体积的常用方法:(1)公式法:直接得到三棱锥的高和底面积,然后用公式进行计算;(2)等体积法:待求三棱锥的高和底面积不易求出,采用替换顶点位置的方法,使其求解高和底面积更容易,由此求解出三棱锥的体积.3.如图,已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ,E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有( )A .11EB AD ⊥B .二面角11E A B A --的大小为4πC .三棱锥11A BDE -体积的最小值为313a D .1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ,则易证1AD ⊥平面11A DCB ,1EB ⊂平面11A DCB ,则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确;二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠,易知14DA A π∠=,则可判断选项B 正确;用等体积法,将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积,当点E 与D 重合时,三棱锥11E AB D -的体积最小,此时的值为316a ,则选项C 错误;易知平面11//D DCC 平面11A B BA ,而1D E ⊂平面11D DCC ,则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ,可判断选项D 正确. 【详解】选项A ,连接1A D 、1B C ,则由正方体1ABCD ABC D -可知,11A D AD ⊥,111A B AD ⊥,1111A DA B A =,则1AD ⊥平面11A DCB ,又因为1EB ⊂平面11A DCB ,所以11EB AD ⊥,选项A 正确; 选项B ,因为11//DE A B ,则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --, 由正方体1ABCD ABC D -可知,11A B ⊥平面1DA A , 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角,且14DA A π∠=,所以选项B 正确;选项C ,设点E 到平面11AB D 的距离为d , 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅,连接1C D 、1C B ,易证平面1//BDC 平面11AB D ,则在棱CD 上,点D 到平面11AB D 的距离最短, 即点E 与D 重合时,三棱锥11A B D E -的体积最小, 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD , 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=, 则选项C 错误;选项D ,由正方体1ABCD ABC D -知,平面11//CC D D 平面11A B BA ,且1D E ⊂平面11CC D D , 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ,则选项D 正确. 故选:ABD.【点睛】关键点点睛:本题对于选项C 的判断中,利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.4.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动,且满足直线//BM 平面1D EF ,则( )A .过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B .三棱锥1D EFM -的体积为定值C .动点M 10D .过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,进而计算即可排除A 选项;根据//BM平面1D EF ,由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确;取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知M 的轨迹为线段HI 10,故C 选项正确;过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,易知过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而得当H 位于点I 时,截面面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅= 【详解】解:对于A 选项,如图,取BF 中点G ,连接1A G ,由点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=,故四边形11A D EG 为平行四边形,故11//AGD E ,由于在11A B G △,F 为1B G 中点,当N 为11A B 中点时,有11////NF A G D E ,故过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,此时22133532D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,223110EF =+=,故梯形1D EFN 不是等腰梯形,故A 选项错误;对于B 选项,三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积,由于//BM平面1D EF ,故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积,三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积,而三棱锥1D BEF -的体积为定值,故B 选项正确; 对于C 选项,取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知1////HB AG NF ,1//BI D F ,由于1,HI BI I NFD F F ==,故平面//BHI 平面1D EF ,故M 的轨迹为线段HI ,其长度为10,故C 选项正确;对于D 选项,过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,则过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,易知当H 位于点I 时,平行四边形BPOE 边BP 最小,且为AB ,此时截面平行四边形BPOE 的面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为310S AB BE =⋅=,故D 选项正确; 故选:BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意,依次做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而讨论AD选项,通过//BM平面1D EF ,并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确,通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ,进而讨论C 选项,考查回归转化思想和空间思维能力,是中档题.5.在三棱锥M ABC -中,下列命题正确的是( )A .若1233AD AB AC =+,则3BC BD = B .若G 为ABC 的重心,则111333MG MA MB MC =++C .若0MA BC ⋅=,0MC AB ⋅=,则0MB AC ⋅=D .若三棱锥M ABC -的棱长都为2,P ,Q 分别为MA ,BC 中点,则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图,在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ,由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-,即2CD DB =,则32BD BD DC BC =+=,故A 错误; 对于B ,由G 为ABC 的重心,得0GA GB GC ++=,又MG MA AG =+,MG MB BG =+,MG MC CG =+,3MA MB MC MG ∴++=,即111333MG MA MB MC =++,故B 正确;对于C ,若0MA BC ⋅=,0MC AB ⋅=,则0MC MA BC AB ⋅+⋅=,即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅,即0MB AC ⋅=,故C 正确;对于D ,111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+-()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-,又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=,1822PQ ∴==,故D 错误. 故选:BC 【点睛】关键点睛:本题考查向量的运算,用已知向量表示某一向量的三个关键点: (1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.6.如图,线段AB 为圆O 的直径,点E ,F 在圆O 上,//EF AB ,矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直,且2AB =,1EF AD ==,则下述正确的是( )A .//OF 平面BCEB .BF ⊥平面ADFC .点A 到平面CDFE 的距离为217D .三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】由1EF OB ==,//EF OB ,易证//OF 平面BCE ,A 正确;B , 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直, 易证AD ⊥平面ABEF ,所以AD BF ⊥,由线段AB 为圆O 的直径,所以BF FA ⊥,易证故B 正确.C ,由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为217,C 正确. D ,确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心,进一步可求其体积,可判断D 错误. 【详解】解:1EF OB ==,//EF OB ,四边形OFEB 为平行四边形,所以//OF BE ,OF ⊄平面BCE ,BE ⊂平面BCE ,所以//OF 平面BCE ,故A 正确.线段AB 为圆O 的直径,所以BF FA ⊥,矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直,平面ABCD 平面ABEF AB =,AD ⊂平面ABCD ,所以AD ⊥平面ABEF ,BF ⊂平面ABEF ,所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ,AF ⊂平面ADF ,AD AF A =, 所以BF ⊥平面ADF ,故B 正确.1OF OE EF ===,OFE △是正三角形,所以1EF BE AF ===, //DA BC ,所以BC ⊥平面ABEF ,BC BF ⊥,3BF =,22312CF CB BF =+=+=,22112DF DA AF =+=+=,2AB CD ==,CDF 是等腰三角形,CDF 的边DF 上的高2222214222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11472222CDF S =⨯⨯=△, //DA BC ,AD ⊂平面ADF ,BC ⊄平面ADF , //BC 平面ADF ,点C 到平面ADF 的距离为3BF =, 111122DAF S =⨯⨯=△,C DAF A CDF V V --=,设点A 到平面CDFE 的距离为h ,1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△,11173323h ⨯⨯=⨯⨯, 所以21h =,故C 正确. 取DB 的中点M ,则//MO AD ,12MO =,所以MO ⊥平面CDFE ,所以215122ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -外接球的球心,其半径52, 三棱锥C BEF -外接球的体积为33445553326V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,故D 错误, 故选:ABC. 【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断,求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法,难题.7.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E ,F ,且22EF =.则下列结论正确的是( )A .三棱锥A BEF -的体积为定值B .当E 向1D 运动时,二面角A EF B --逐渐变小C .EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D .当E 与1D 重合时,异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图,研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形,1112212224BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以,AO 是点A 到平面11BDD B 的距离,即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ,连接11,AD AB , 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点,AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角,在直角三角形1AA M 中,12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图,作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中,221cos 452FT EF =⨯== 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时,F 与M 重合,连接AC 与BD 交于点R ,连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中,22111132,2AD D R MB BB M B ===+=,22AR = 由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选:AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路:关键是弄清(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)线的变化,应注意其位置关系的变化;(3)长度、角度等几何度量的变化.求空间几何体体积的思路:若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法;若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.8.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,如图,M 为1CC 上的动点,AM ⊥平面α.下面说法正确的是()A .直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦B .点M 与点1C 重合时,平面α截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大 C .点M 为1CC 的中点时,若平面α经过点B ,则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D .已知N 为1DD 中点,当AM MN +的和最小时,M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可判断A 选项的正误;证明出1AC ⊥平面1A BD ,分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ,比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小,可判断B 选项的正误;利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ,判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误;将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短,利用平行线分线段成比例定理求得MC ,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,以点D 为坐标原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤,AM ⊥平面α,则AM 为平面α的一个法向量,且()2,2,AM a =-,()0,2,0AB =, 2232cos ,288AB AM AB AM AB AMa a ⋅⎡<>===⎢⋅⨯++⎣⎦, 所以,直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦,A 选项正确;对于B 选项,当M 与1CC 重合时,连接1A D 、BD 、1A B 、AC , 在正方体1111ABCD A B C D -中,1CC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,1BD CC ∴⊥,四边形ABCD 是正方形,则BD AC ⊥,1CC AC C =,BD ∴⊥平面1ACC ,1AC ⊂平面1ACC ,1AC BD ∴⊥,同理可证11AC A D ⊥, 1A D BD D ⋂=,1AC ∴⊥平面1A BD ,易知1A BD 是边长为22的等边三角形,其面积为()12322234A BD S =⨯=△,周长为22362⨯=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点,易知六边形EFQNGH 2//EFQNGH 平面1A BD , 正六边形EFQNGH 的周长为622362334⨯=则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 选项错误; 对于C 选项,设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ,点()0,2,1M ,()2,2,1AM =-,AM ⊥平面α,DE ⊂平面α,AM DE ∴⊥,即220AM DE b ⋅=-+=,得1b =,()1,0,2E ∴,所以,点E 为棱11A D 的中点,同理可知,点F 为棱11A B 的中点,则()2,1,2F ,()1,1,0EF =,而()2,2,0DB =,12EF DB ∴=,//EF DB ∴且EF DB ≠, 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=,()()()2222212205BF =-+-+-=,DE BF ∴=,所以,四边形BDEF 为等腰梯形,C 选项正确;对于D 选项,将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面,如下图所示:若AM MN +最短,则A 、M 、N 三点共线,11//CC DD ,2222222MC AC DN AD ∴===+, 11222MC CC =≠,所以,点M 不是棱1CC 的中点,D 选项错误.故选:AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.。
高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题同步练习
高三数学下学期立体几何多选题单元 易错题难题同步练习一、立体几何多选题1.如图,正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2,则下列说法正确的是( )A .异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB .1BD ⊥平面11AC DC .平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D .正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ,利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角;选项B ,根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证;选项C ,由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一;选项D ,分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高,然后判断数量关系即可得解. 【详解】A :正方体1111ABCD ABCD -中,易知11//AD BC ,异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角,即11A BC ∠,11A BC 为等边三角形,113A BC π∠=,正确;B :连接11B D ,1B B ⊥平面1111DC B A ,11A C ⊂平面1111D C B A ,即111AC B B ⊥,又1111AC B D ⊥,1111B B B D B ⋂=,有11A C ⊥平面11BDD B ,1BD ⊂平面11BDD B ,所以111BD AC ⊥,同理可证:11BD A D ⊥,1111AC A D A ⋂=,所以1BD ⊥平面11AC D ,正确;C :易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=,错误;D :易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭,故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23,正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点点睛:利用正方体的性质,找异面直线所成角的平面角求其大小,根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ,由正四面体的性质,结合几何图形确定截面的面积,并求高,即可判断C 、D 的正误.2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点E ,F 在平面1111D C B A 内,若||5AE =,AC DF ⊥,则( )A .点E 的轨迹是一个圆B .点F 的轨迹是一个圆C .EF 21-D .AE 与平面1A BD 21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项,需要对各个选项一一验证. 选项A :由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =,分析得E 的轨迹为圆;选项B :由AC DBF ⊥,而点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,; 选项C :由E 的轨迹为圆,F 的轨迹为线段11B D ,可分析得min ||EF d r =-; 选项D :建立空间直角坐标系,用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =,即点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上;故A 正确;对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中,AC ⊥BD ,又AC DF ⊥,且BD ∩DF=D ,所以AC DBF ⊥,所以点F 在11B D 上,即F 的轨迹为线段11B D ,故B 错误;对于C:在平面1111D C B A 内,1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ,F 落在11A C 上时,min ||21EF =-;故C 正确; 对于D:建立如图示的坐标系,则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内,以1A 为圆心、半径为1 的圆上,可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =,则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩ 不妨令x =1,则()1,1,1n =, 设AE 与平面1A BD 所成角为α,则:2|||sin|cos,|||||n AEnAEn AEπθα⎛⎫++⎪====⨯当且仅当4πθ=时,sinα15=,故D正确故选:CD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型,需要要对选项一一验证.3.已知球O为正方体1111ABCD A B C D-的内切球,平面11A C B截球O的面积为24π,下列命题中正确的有()A.异面直线AC与1BC所成的角为60°B.1BD⊥平面11A C BC.球O的表面积为36πD.三棱锥111B AC B-的体积为288【答案】AD【分析】连接11A C,1A B,通过平移将AC与1BC所成角转化为11A C与1BC所成角可判断A;通过反证法证明B;由已知平面11A C B截球O的面积为24π求出正方体棱长,进而求出内切球的表面积可判断C;利用等体积法可求得三棱锥111B AC B-的体积可判断D.【详解】对于A,连接11A C,1A B,由正方体1111ABCD A B C D-,可知11//A C AC,11AC B∴∠为异面直线AC与1BC所成的角,设正方体边长为a,则1111AC A B BC==,由等边三角形知1160A C B∠=,即异面直线AC与1BC所成的角为60,故A正确;对于B,假设1BD⊥平面11A C B,又1A B⊂平面11A C B,则11BD BA⊥,设正方体边长为a,则11A D a=,1A B=,1BD=,由勾股定理知111A D BA⊥,与假设矛盾,假设不成立,故1BD不垂直于平面11A C B,故B错误;对于C,设正方体边长为a,则11AC=,内切球半径为2a,设内切球的球心O在面11A C B上的投影为O',由等边三角形性质可知O'为等边11A CB△的重心,则11123233O A AC a='=⨯=,又12OA a=,∴球心O到面11A C B的距离为12122232633a a a OA O A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-='-,又球心与截面圆心的连线垂直于截面,∴截面圆的半径为2236626a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=,又截面圆的面积2624S a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=,解得12a =,则内切球半径为6,内切球表面积214644S ππ==⨯,故C 错误;对于D ,由等体积法知111111111111212122812383B A C B B A C B A C B V V S a --==⨯⨯=⨯⨯=,故D 正确; 故选:AD【点睛】关键点点睛:本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,从而求出正方体的棱长,进而求出内切球的表面积及三棱锥的体积,考查了空间想象能力,数形结合的思想,属于较难题.4.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,090B F ∠=∠=,060,45,A D BC DE ∠=∠==,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥F CAB -,取BC 中点O 与AC 中点M ,则下列判断中正确的是( )A .BC FM ⊥B .AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C .平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D .设平面ABF 平面MOF l =,则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ;根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ;利用特殊位置判断C ;先证明//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可判断D ; 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=,所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥,故A 正确;因为BC ⊥面FOM ,所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=,所以余弦值为12,故B 错误; 对于C 选项可以考虑特殊位置法,由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ,所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上,不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ,过点M 作//BC MN ,连结NF .易证AB ⊥面MNF ,则l ⊥面MNF ,所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角,不妨设2AB =,因为060A,所以23BC =,则13,12OF BC OM ===,显然MFN ∠不等于45°,故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ,又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ,OM ⊂面MOF ,所以//AB 面MOF ,由线面平行的性质定理可得://l AB ,故D 正确; 故选:AD.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.5.如图,矩形ABCD 中,M 为BC 的中点,将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ,连结1B D ,N 为1B D 的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )A .存在某个位置,使得1CN AB ⊥ B .翻折过程中,CN 的长是定值C .若AB BM =,则1AM BD ⊥D .若1AB BM ==,当三棱锥1B AMD -的体积最大时,三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ,取AD 中点E ,连接EC 交MD 与F ,可得到EN NF ⊥,又EN CN ⊥,且三线,,NE NF NC 共面共点,不可能;对于B ,可得由1NEC MAB ∠=∠(定值),112NE AB =(定值),AM EC =(定值),由余弦定理可得NC 是定值.对于C ,取AM 中点O ,连接1,B O DO ,假设1AM B D ⊥,易得AM ⊥面1ODB ,即可得OD AM ⊥,从而AD MD =,显然不一定成立.对于D ,当平面B 1AM ⊥平面AMD 时,三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大,可得球半径为1,体积是43π. 【详解】对于A 选项:如图1,取AD 中点E ,连接EC 交MD 与F ,则11////NE AB NF MB ,,又11AB MB ⊥,所以EN NF ⊥, 如果1CN AB ⊥,可得EN CN ⊥,且三线,,NE NF NC 共面共点, 不可能,故A 选项不正确;对于B 选项:如图1,由A 选项可得1AMB EFN ≈△△,故1NEC MAB ∠=∠(定值),112NE AB =(定值),AM EC =(定值), 故在NEC 中,由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠,整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+, 故CN 为定值,故B 选项正确.对于C 选项:如图,取AM 中点O ,连接1,B O DO , 由AB BM =,得1B O AM ⊥,假设1AM B D ⊥,111B D B O B =,所以AM ⊥面1ODB ,所以OD AM ⊥,从而AD MD =,显然不恒成立,所以假设不成立,可得C 选项不正确.对于D 选项:由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥1B AMD -的体积最大,此时1B O ⊥平面AMD ,则1B O OE ⊥,由1AB BM ==,易求得122BO =,2DM =,故22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此1EB EA ED EM ===,E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心,此外接球半径为1,体积是43π.故D 选项正确. 故答案为:BD . 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明,进而推出矛盾解题,D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时,三棱锥1B AMD -的体积最大.6.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动,且满足直线//BM 平面1D EF ,则( )A .过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B .三棱锥1D EFM -的体积为定值C .动点M 10D .过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,进而计算即可排除A选项;根据//BM平面1D EF ,由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确;取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知M 的轨迹为线段HI ,故C 选项正确;过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,易知过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而得当H 位于点I 时,截面面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为S AB BE =⋅= 【详解】解:对于A 选项,如图,取BF 中点G ,连接1A G ,由点E ,F 分别在1CC ,1BB 上,12C E EC →→=,12BF FB →→=,故四边形11A D EG 为平行四边形,故11//AGD E ,由于在11A B G △,F 为1B G 中点,当N 为11A B 中点时,有11////NF A G D E ,故过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,此时1D N ==,EF ==1D EFN 不是等腰梯形,故A 选项错误;对于B 选项,三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积,由于//BM平面1D EF ,故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积,三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积,而三棱锥1D BEF -的体积为定值,故B 选项正确; 对于C 选项,取1AA 靠近1A 点的三等分点H , 1DD 靠近D 点的三等分点I ,易知1////HB AG NF ,1//BI D F ,由于1,HI BI I NFD F F ==,故平面//BHI 平面1D EF ,故M 的轨迹为线段HI ,故C 选项正确;对于D 选项,过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ,交1DD 于O ,连接,BP OE ,则过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,易知当H 位于点I 时,平行四边形BPOE 边BP 最小,且为AB ,此时截面平行四边形BPOE 的面积最小,为四边形ABEI 的面积,且面积为S AB BE =⋅=D 选项正确; 故选:BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意,依次做出过1D ,E ,F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ,过B ,E ,M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ,进而讨论AD选项,通过//BM平面1D EF ,并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确,通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ,进而讨论C 选项,考查回归转化思想和空间思维能力,是中档题.7.在直角梯形ABCD 中,2ABC BCD π∠=∠=,1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,现将ADE 沿AE 折起,得到一个四棱锥D ABCE -,则下列命题正确的有( ) A .在ADE 沿AE 折起的过程中,四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B .在ADE 沿AE 折起的过程中,异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C .在ADE 沿AE 折起的过程中,二面角A EC D --的大小为45︒D .在四棱锥D ABCE -中,当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时,DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155【答案】ABD 【分析】对于A ,四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ;对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角,由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ;对于C ,利用线面垂直的判定定理,结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A ECD --的在大小为2π判断C ;对于D ,利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,15tan DF DBF BF ∠==,可判断D 正确;【详解】对于A ,ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE ⊥平面ABCE ,此时DE CE ⊥,由已知得1DE =,则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=,故A 正确; 对于B ,在ADE 沿AE 折起的过程中,//AE BC ,所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角,又1AB BC ==,2DC =,E 为DC 中点,可知4DAE π∠=,即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π,故B 正确; 对于C ,由翻折前知,,AE EC AE ED ⊥⊥,且ECED E =,则AE ⊥平面DEC ,又AE ⊂平面ABCE ,所以平面DEC ⊥平面ABCE ,即二面角A EC D --的大小为2π,故C 错误; 对于D ,如图连接,DF BF ,由C 选项知,AE ⊥平面DEC ,又DF ⊂平面DEC ,则AE DF ⊥,又由已知得EC DF ⊥,且EC AE E ⋂=,则DF ⊥平面ABCE ,所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角,在直角DFB △中,222222113122152tan 5111222DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB 与平面ABCE所成的角的正切为155,故D正确;故选:ABD【点睛】关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难题.8.已知直三棱柱111ABC A B C-中,AB BC⊥,1AB BC BB==,D是AC的中点,O 为1A C的中点.点P是1BC上的动点,则下列说法正确的是()A.当点P运动到1BC中点时,直线1A P与平面111A B C5B.无论点P在1BC上怎么运动,都有11A P OB⊥C.当点P运动到1BC中点时,才有1A P与1OB相交于一点,记为Q,且113PQQA=D.无论点P在1BC上怎么运动,直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【分析】构造线面角1PA E∠,由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误;利用线面垂直的性质,可证明11A P OB⊥即可知B的正误;由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误;由直线的平行关系构造线线角为11B A P∠,结合动点P分析角度范围即可知D的正误【详解】直三棱柱111ABC A B C-中,AB BC⊥,1AB BC BB==选项A中,当点P运动到1BC中点时,有E为11B C的中点,连接1A E、EP,如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值:1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =,22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan PA E ∠=,故A 正确选项B 中,连接1B C ,与1BC 交于E ,并连接1A B ,如下图示由题意知,11B BCC 为正方形,即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱,有11A B ⊥面11B BCC ,1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥,又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ,1OB ⊂面11A B C ,故11BC OB ⊥ 同理可证:11A B OB ⊥,又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ,又1A P ⊂面11A BC ,即有11A P OB ⊥,故B 正确选项C 中,点P 运动到1BC 中点时,即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q为中位线的交点∴根据中位线的性质有:112PQQA=,故C错误选项D中,由于11//A B AB,直线1A P与AB所成角即为11A B与1A P所成角:11B A P∠结合下图分析知:点P在1BC上运动时当P在B或1C上时,11B A P∠最大为45°当P在1BC中点上时,11B A P∠最小为23arctan30>=︒∴11B A P∠不可能是30°,故D正确故选:ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角,并计算其正弦值;利用线面垂直证明线线垂直;中位线的性质:中位线交点分中位线为1:2的数量关系;由动点分析线线角的大小9.如果一个棱锥的底面是正方形,且顶点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,则该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是().A.棱的高与底边长的比为22B.侧棱与底面所成的角为4πC2D.侧棱与底面所成的角为3π【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a ,由21183V a h ==得254h a=,然后可得侧面积为242108a a+,运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值,此时3h =,然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ,底面边长为a 可得21183V a h ==,即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+,则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<,()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>,()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值,即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22,故A 正确,C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠,由3h =,32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=,故B 正确,D 错误【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合题.10.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱11AA =,P 为上底面1111D C B A 上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )A .若3PD =,则满足条件的P 点有且只有一个B .若3PD =,则点P 的轨迹是一段圆弧C .若PD ∥平面1ACB ,则DP 长的最小值为2D .若PD ∥平面1ACB ,且3PD =,则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【分析】若3PD =,由于P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一;()313PD =∈,,则12PD =,即点P 的轨迹是一段圆弧;当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为3=,可判断C ;平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆,其半径为32=,可得D . 【详解】 如图:∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2, ∴1122B D =11AA =, ∴()2212213DB =+=,则P 与1B 重合时3PD =,此时P 点唯一,故A 正确;∵()313PD =,,11DD =,则12PD P 的轨迹是一段圆弧,故B 正确;连接1DA ,1DC ,可得平面11//A DC 平面1ACB ,则当P 为11A C 中点时,DP 有最小值为=C 错误;由C 知,平面BDP 即为平面11BDD B ,平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接32=,面积为94π,故D 正确. 故选:ABD . 【点睛】本题考查了立体几何综合,考查了学生空间想象,逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.。
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正确答案:B 错因:学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
4.(石庄中学)正方体ABCD-A B C D 中,点P在侧面BCC B 及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD ,则动点P的轨迹( )
22.(薛中)空间四边形中,互相垂直的边最多有( )
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
答案:C
错解:D
错因:误将空间四边形理解成四面体,对“空间四边形”理解不深刻。
23.(案中)底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是
正确答案:①
错误原因:空间观念不明确,三垂线定理概念不清
7.(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等,把它们拼接起来,使一个表面重合,所得多面体的面数有( )
A、7 B、8 C、9 D、10
正确答案:A
错误原因:4+8—2=10
20.(丁中)若平面 外的直线 与平面 所成的角为 ,则 的取值范围是 ( )
(A) (B) (C) (D)
错解:C
错因:直线在平面 外应包括直线与平面平行的情况,此时直线 与平面 所成的角为0
正解:D
21.(薛中)如果a,b是异面直线,P是不在a,b上的任意一点,下列四个结论:(1)过P一定可作直线L与a , b都相交;(2)过P一定可作直线L与a , b都垂直;(3)过P一定可作平面 与a , b都平行;(4)过P一定可作直线L与a , b都平行,其中正确的结论有( )
C的逆命题是 ,若 ,则 显然不成立。
误解:选B。源于对C是 在 内的射影理不清。
16.(江安中学) 和 是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面 和 平行的是( )。
A. 和 都垂直于平面
B. 内不共线的三点到 的距离相等
C. 是 平面内的直线且
D. 是两条异面直线且
② 若 ∥ , ∥ ,则 ∥ .
③ 若 、 、 是空间一个基底,且 = + + ,则A、B、C、D四点共面。
④ 若向量 + , + , + 是空间一个基底,则 、 、 也是空间的一个基底。其中正确的命题有( )个。
A 1 B 2 C 3 D 4
A.
B.
C.
D.
正解:D。
当平面EFD处于水平位置时,容器盛水最多
最多可盛原来水得1-
误解:A、B、C。由过D或E作面ABC得平行面,所截体计算而得。
18.(江安中学)球的半径是R,距球心4R处有一光源,光源能照到的地方用平面去截取,则截面的最大面积是( )。
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
答案:B
错解:C 认为(1)(3)对
D 认为(1)(2)(3)对
错因:认为(2)错误的同学,对空间两条直线垂直理解不深刻,认为作的直线应该与a,b 都垂直相交;而认为(1)(3)对的同学,是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。
高考复习易做易错题精选
立体几何
一、选择题:
1.(石庄中学)设ABCD是空间四边形,E,F分别是AB,CD的中点,则 满足( )
A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量
正确答案:B 错因:学生把向量看为直线。
2.(石庄中学)在正方体ABCD-A B C D ,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD 、D C 的中点,则直线OM( )
A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN
C 垂直于MN,但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直
正确答案:A 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影。
3.(石庄中学)已知平面 ∥平面 ,直线L 平面 ,点P 直线L,平面 、 间的距离为8,则在 内到点P的距离为10,且到L的距离为9的点的轨迹是( )
8.(磨中)下列正方体或正四面体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
正确答案:D
错误原因:空间观点不强
9.(磨中)a和b为异面直线,则过a与b垂直的平面( )
A、有且只有一个 B、一个面或无数个
C、可能不存在 D、可能有无数个
14.(蒲中)△ABC的BC边上的高线为AD,BD=a,CD=b,将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C,若 ,则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形
H. 或
正解:A。过B作BB’∥ ,在BB’上截取BP’=AP,连结PP’,过P’作P’Q 连结PQ, PP’ 由BB’和 所确定的平面, PP’
PQ即为所求。在Rt PQP’中,PP’=AB=2,P’Q=BP’, =AP =2, PQ= 。
误解:D。认为点P可以在点A的两侧。本题应是由图解题。
其中,正确的命题是 ( )
A.(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4)
正确答案:A
11.(一中)如图,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角应为( )
E.
F. 4
G.
A.
B.
C.
D.
正解:B。
如图,在 中, 于
则 即
又
以 为半径的圆的面积为
误解:审题不清,不求截面积,而求球冠面积。
19.(江安中学)已知AB是异面直线的公垂线段,AB=2,且 与 成 角,在直线 上取AP=4,则点P到直线 的距离是( )。
4. (如中)过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解:1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况,可作无数个。
正确答案是不能确定。
5. (如中)判断题:若两个平面互相垂直,过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线,则此直线垂直于另一个平面。
错解:学生认为球最大时为正方体的内切球,所以球的直径为a,球的表面积为 。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子,球最大时与正方体的各棱相切,直径应为 ,所以正确答案为: 。
2. (如中)一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆,椭圆的离心率为 ,则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。
点评:易误选A,错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况。
13.(蒲中)在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为( )
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
答案:B
点评:易瞎猜,6个面不合,6个对角面中有4个面适合条件。
正解:D
对于 可平行也可相交;对于B三个点可在 平面同侧或异侧;对于 在平面 内可平行,可相交。
对于D正确证明如下:过直线 分别作平面与平面 相交,设交线分别为 与 ,由已知 得 ,从而 ,则 ,同理 , 。
误解:B
往往只考虑距离相等,不考虑两侧。
17.(江安中学)一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F,且知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( )
A 线段B C B BB 的中点与CC 中点连成的线段
C 线段BC D CB中点与B C 中点连成的线段
正确答案:A 错因:学生观察能力较差,对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
5. (石庄中学)下列命题中:
① 若向量 、 与空间任意向量不能构成基底,则 ∥ 。
A.75° B.60° C.50° D.45°
正确答案:C
12.(蒲中)一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α,β,则α+β满足( )
A、α+β<900 B、α+β≤900 C、α+β>900 D:C
点评:将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清,易瞎猜。
15.(江安中学)设a,b,c表示三条直线, 表示两个平面,则下列命题中逆命题不成立的是( )。
A. ,若 ,则
B. , ,若 ,则
C. ,若 ,则
D. , 是 在 内的射影,若 ,则
正解:C
错解:答 。错误原因是概念不清,入射角应是光线与法线的夹角,正确答案为: 。
3. (如中)已知正三棱柱 底面边长是10,高是12,过底面一边AB,作与底面ABC成 角的截面面积是___________________。
错解: 。学生用面积射影公式求解: 。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是: 。
A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥
正确答案:(D)
错误原因:此是正三棱锥的性质,但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形,则侧棱长相等,所以一定是正三棱锥,事实上,只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D
24.(案中)给出下列四个命题:
正确答案:C 错因:学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
6.(磨中)给出下列命题:①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c,直线a⊥c,则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形,其中真命题是( )
正确答案:C
错误原因:过a与b垂直的夹平面条件不清
10.(一中)给出下列四个命题:
(1)各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
(2)若一个简单多面体的各顶点都有3条棱,则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F-V=4.