信号与系统课后习题_第1章 习题讲解

by1(t ) y2(t ) + a[y1(t ) + y2(t )] = f 1(t ) + f 2(t )
齐次性证明：对任意常数b和c
可见 b f 1( t ) +c f 2( t )→ b y 1( t )+c y 2( t )；满足其次性。 综上所述，系统为线性系统。
cy2(t ) + a[by1(t ) + cy2(t )] =b f 1(t ) +c f 2(t )
① 微分特性：若f ( t ) y( t )，则 f (t ) y (t ) ② 积分特性：若f ( t ) y( t )，则
③ 频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的频
0 0

t
f ( )d y ( )d
t
率分量。 尽管各频率分量的大小和相位可能发生 变化。
时不变系统：系统的元件参数不随时间变化； 或系统的方 时不变性： 若f(t)y(t) 程为常系数。否则为时变系统。 则 f ( t t0 ) y ( t t0 )
从而
于是
满足时不变性。
f ( t - t0 )→ y ( t - t0 )
1-13 设有题1-13图示信号f( t )，对(a)写出f′ ( t )的表达式，对(b)写出f″ ( t )的表达 式，并分别画出它们的波形。
题1-13图 解：
(a)，t < 0 和 t > 4时，f (t ) = 0，f′ ( t ) = 0; 0 ≤ t < 2时，f′ ( t ) = 0.5; t = 2 时，f′ ( t ) = (t -2);
积分： f d
t
1
f t

O
2

f t 2
2
t

O
2

2t O 2 Nhomakorabea

冲激信号
2




t
f d
1
t
O
2

2
t
f ( 0)
f (t )

o
t
推广：
，

f (t )δ t t0 f (t0 )δ(t t0 ) f (t0 )δ (t t0 )
1-5 试证明题1-4的系统满足时不变性。
1-4 试证明方程
所描述的系统为线性系统。式中a 为常数。
y′(t ) + ay(t ) = f (t )
证明： 思路 f ( t )→ y ( t )；f ( t - t0 )→ y ( t - t0 ) 即证明：y′( t - t0 ) + ay( t - t0 ) = f ( t - t0 )
第一章习题讲解：1-1, 1-2, 1-4, 1-5, 1-13, 1-15, 1-17
1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪 些是非周期信号？哪些是有始信号？
解：
连续信号：(a)、(c)、(d)；离散信号：(b)； 有始（因果）信号：(a)、(b)、(c)。
线性时不变系统（LTI）
系统既是线性的，又是 时不变的； 或系统的方程为线性常 系数微分方程
> 0，右移(滞后);
f (t )
1 1 O
将信号f t 沿 t 轴平移 即得时移信号 f t , 为常数
f (t ) f (t )
< 0，左移(超前)
题1-13图
2 0 1 3 4 (2) 0 (2) 3 (-2)
1
-2
-2
4 (-2)
1-15 试计算下列结果。
解：
b c d c d e b
1-17 计算下列各式。 a b a
解：
b
确定性信号与 随机信号 周期信号与非 周期信号 连续信号与离 散信号 因果信号与非 因果信号
若 f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t ) 则对于任意常数a1和a2，有 则为线性系统。 a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t )
将方程y′(t ) + ay(t ) = f (t )中的t变换为 t − t0 ，有 t − t0 t − t0 f ( t − t0 ) t − t0 t − t0 对任意常数t0, 有
t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 t − t0 f ( t − t0 )
综上所述，f′ ( t )的表达式为;
2 < t < 4时，f′ ( t ) = 0; t = 4时，f′ ( t ) = -2 (t -4);
其他
1-13 设有题1-13图示信号f( t )，对(a)写出f′ ( t )的表达式，对(b)写出f″ ( t )的表达 式，并分别画出它们的波形。
解： (b)
不能满足：f 1( t )+f 2( t )→ | f 1( t )| + | f 2( t )| 可加性； 故不是线性时不变系统；为非线性时不变系统； 若 f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t )
a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t )
t f 2
1 T
2
1
2T
O
t→t/2 , 波形扩展
t
O
t
f(t)f(2t)
2
O
f t f at a > 0 波形的压缩与扩展，尺度变换
f t
1 T t
2
O
f 2t
1
t→2t , 波形压缩
T 2
t
d f t 微分：f t ， dt
1
f t
又 | f 1( t )+ f 2( t )| ≠ | f 1( t )| + | f 2( t )|；
则对于任意常数a1和a2，有 则为线性系统。
1-4 试证明方程
所描述的系统为线性系统。式中a 为常数。 证明： 可加性证明：取 f 1( t )→ y 1( t )；f 2( t )→y 2( t ) 则有：y1′(t ) + ay1(t ) = f 1(t )
f(t+1)的波形？
t
) 1) ff(( tt
1
1
2
1 O
1
t
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 例：
f (t ) f ( t )
f t 1
f t 1 1 t 1 O 2 t
2
O
f ( t ) f t 2
2
f t
f t f at a > 0 波形的压缩与扩展，尺度变换
周期信号：(d)；非周期信号：(a)、(b)、(c)；
1-2 已知某系统的输入 f (t)与输出 y(t) 的关系为 y (t) = | f ( t )|
试判定该系统是否为线性时不变系统？ 解： 根据y (t) = | f ( t )|，即 f ( t )→ y (t) = | f ( t )| 取：f 1( t )→ | f 1( t )|； f 2( t )→| f 2( t )| 则：f 1( t )+f 2( t )→ | f 1( t )+ f 2( t )|；
y2′(t ) + a y2(t ) = f 2(t ) y1(t )
y′(t ) + ay(t ) = f (t )
相加得：y1′(t ) + ay1(t ) + y2′(t ) + a y2(t ) = f 1(t ) + f 2(t ) 即： 可见 f 1( t ) + f 2( t )→ y 1( t )+ y 2( t )；满足可加性。 有 b[y1′(t ) + ay1(t ) ]= bf 1(t )，c[y2′(t ) + a y2(t )] = c f 2(t ) 即：



f (t )δ(t t0 )dt f (t0 )
f (t )δ(t ) dt f (0)