2017-2018学年上海市实验学校高三(上)第一次月考数学试卷

2017-2018学年上海市实验学校高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）设全集U=R ，集合M={x |0＜x ≤1}，N={x |x ≤0}，则M ∩（∁U N ）= ．2．（4分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= ．3．（4分）设集合A ={5，log 2(a 2−3a +6)}，集合B={1，a ，b }，若A ∩B={2}，则集合A ∪B 的真子集的个数是 ．4．（4分）设集合M={（x ，y ）|3x ﹣4y =127，x ，y ∈R }，N={（x ，y ）|log 3（x﹣y ）=2，x ，y ∈R }，则M ∩N= ．5．（4分）设x ，y 满足的约束条件 x +y −1≥0x −y −1≤0x −3y +3≥0，则z=x +2y 的最大值为 ．6．（4分）若关于x 的不等式|ax ﹣2|＜3的解集为{x |﹣53＜x ＜13}，则a= ． 7．（5分）已知x ＞0，y ＞0，若不等式x +2y xy ≥k 2x +y恒成立，则实数k 的最大值为 ．8．（5分）已知全集U={a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∈A ，则a 2∈A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ，则集合A= ．9．（5分）关于x 的不等式0≤x 2+px +q ≤1的解集为[3，4]，则p +q= ．10．（5分）已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x +12|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．11．（5分）方程（a 2+1）x 2﹣2ax ﹣3=0的两根x 1，x 2满足|x 2|＜x 1（1﹣x 1），且0＜x 1＜1，则实数a 的取值范围为 ．12．（5分）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）=2x ，若对任意的x ∈[a ，a +2]，不等式f （x +a ）≥f 2（x ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每题5分）13．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}14．（5分）已知命题甲是“{x|x2+xx−1≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．333 B．336 C．1678 D．201516．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9三、解答题（本大题有5题，满分76分）17．（14分）若奇函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数（1）求满足f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0的集合M（2）对（1）中的a，求函数F（x）=log a[1﹣(1a)x2−x]的定义域．18．（14分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a∈R）．（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．（14分）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以f（n）=200n+2000，n∈[1，8]360⋅3n−812+3000，n∈[9，32]32400−720n，n∈[33，45]表示第n时进入人数，以g（n）=0，n[1，18]500n−9000，n∈[19，32]8800，n∈[33，45]表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f （22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：20．（16分）已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．21．（18分）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（3）当a＞4时，求函数y=f（f（x）+a）零点的个数．2017-2018学年上海市实验学校高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）设全集U=R，集合M={x|0＜x≤1}，N={x|x≤0}，则M∩（∁U N）= {x|0＜x≤1} ．【分析】由题意和补集的运算求出∁U N，由交集的运算求出M∩（∁U N）．【解答】解：由N={x|x≤0}得，∁U N={x|x＞0}，因集合M={x|0＜x≤1}，所以M∩（∁U N）={x|0＜x≤1}，故答案为：{x|0＜x≤1}．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．2．（4分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论，运用周期性可得f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3．【解答】解：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（4﹣x）=f（x），﹣x代入式子的x得出：f（4+x）=f（﹣x）=f（x）即f（x+4）=f（x），周期为4，则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．3．（4分）设集合A={5，log2(a2−3a+6)}，集合B={1，a，b}，若A∩B={2}，则集合A∪B的真子集的个数是15．【分析】由题意可得出log2(a2−3a+6)=2，从中解出a的值，即可得出两个集合的所有元素，求出两集合的并集，即可得出并集的真子集个数【解答】解：因为集合A={5，log2(a2−3a+6)}，集合B={1，a，b}，A∩B={2}，所以log2(a2−3a+6)=2，即a2﹣3a+6=4，解得a=1或a=2因为a=1时，B中有相同元素，不满足互异性，故舍∴a=2所以A∪B={1，2，5，b}，有四个元素，所以它的真子集的个数是15个故答案为15【点评】本题考查子集与真子集，集合的交集，解题的关键是理解交集的定义，得出关于参数a的方程，解出并集含有的元素个数4．（4分）设集合M={（x，y）|3x﹣4y=127，x，y∈R}，N={（x，y）|log3（x﹣y）=2，x，y∈R}，则M∩N={（5，2）} ．【分析】根据M与N，确定出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出M与N的交集．【解答】解：由M中3x﹣4y=127=3﹣3，x，y∈R，得到x﹣4y=﹣3，由N中log3（x﹣y）=2=log33，得到x﹣y=3，联立解得：x=5，y=2，则M∩N={（5，2）}，故答案为：{（5，2）}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．（4分）设x，y满足的约束条件x+y−1≥0x−y−1≤0x−3y+3≥0，则z=x+2y的最大值为7．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣12x+z2，平移直线y=﹣12x+z2，由图象可知当直线y=﹣12x+z2经过点B时，直线y=﹣1 2x+z2的截距最大，此时z最大．由x−y−1=0x−3y+3=0，得x=3y=2，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（4分）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣53＜x＜13}，则a=﹣3．【分析】由题意可得﹣53和13是|ax﹣2|=3的两个根，故有a⋅(−53)−2=±3a⋅13−2=±3，由此求得a的值．【解答】解：∵关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣53＜x＜13}，∴﹣53和13是|ax﹣2|=3的两个根，∴a⋅(−53)−2=±3a⋅13−2=±3，∴a=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．（5分）已知x ＞0，y ＞0，若不等式x +2y xy ≥k 2x +y 恒成立，则实数k 的最大值为 9 ． 【分析】由已知不等式分离变量k ，得k ≤(x +2y )(2x +y )xy =5+2x y +2y x ，然后利用基本不等式求得k 的最大值．【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，不等式x +2y xy ≥k 2x +y 恒成立等价于k ≤(x +2y )(2x +y )xy =5+2x y +2y x ，5+2x y +2y x ≥5+2 2x y ⋅2y x =9，当且仅当2x y =2y x，即x=y 时“=”成立． ∴k ≤9．故答案为：9【点评】本题考查了恒成立问题，体现了分离变量法，涉及了利用基本不等式求最值，是中档题．8．（5分）已知全集U={a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∈A ，则a 2∈A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ，则集合A= {a 2，a 3} ．【分析】若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，则不成立；同理讨论若a 4∈A ．从而得到集合A ．【解答】解：∵全集U={a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∈A ，则a 2∈A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ，∴若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，则a 1∈A 不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，则a 4∈A 不成立；∴集合A={a 2，a 3}．故答案为：{a 2，a 3}．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．9．（5分）关于x的不等式0≤x2+px+q≤1的解集为[3，4]，则p+q=6．【分析】由题意，得到方程x2+px+q=0无实数根，并且x=3，4时x2+px+q的值为1，列方程组解出p，q．【解答】解：由题意，方程x2+px+q=0无实数根，并且x=3，4时x2+px+q的值为1，所以9+3p+q=116+4p+q=1解得p=−7q=13，所以p+q=6；故答案为：6．【点评】本题考查了已知一元二次不等式的解集求不等式中的参数的问题；关键是由已知判断出对应方程根的情况．10．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+12|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，12）．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+12|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知a∈(0，1 2)．故答案为：（0，12）．【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．11．（5分）方程（a2+1）x2﹣2ax﹣3=0的两根x1，x2满足|x2|＜x1（1﹣x1），且0＜x1＜1，则实数a的取值范围为a∈(−32，1−3)∪(1+3，+∞)．【分析】根据方程根的个数与判别式之间的关系证明△＞0恒成立，由题意判断出另一个根的范围，再由f（1）＞0求出a的范围，利用f（0）＜0进一步确定两个根的关系，再由韦达定理求出a范围，再取交集．【解答】解：∵|x2|＜x1（1﹣x2），∴x1（1﹣x2）＞0，又∵0＜x1＜1，∴x2＜1设f（x）=（a2+1）x2﹣2ax﹣3，∵方程有两根，∴△=4a2+12（a2+1）＞0恒成立，则f（1）=a2﹣2a﹣2＞0，解得a＞1+3或a＜1﹣3；∵f（0）=﹣3，∴x2＜0＜x1＜1，则|x2|＜x1（1﹣x2）可化简为：x1+x2＞x1x2，利用韦达定理得2aa2+1＞﹣3a2+1，解得a＞﹣3 2．∴实数a的取值范围是：（﹣32，1﹣3）∪（1+3，+∞）故答案为：a∈(−32，1−3)∪(1+3，+∞)【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．12．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x，若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣32] ．【分析】根据函数为偶函数，求出函数f（x）的表达式，然后将不等式f（x+a）≥f2（x）化简，对a进行讨论，将x解出来，做到参数分离，由恒成立思想，即可求出a的范围．【解答】解：由题意，f（x）=2x，(x≥0)(12)x，(x＜0)（4分）（1）当a≥0时，即有2x+a≥22x，x≤a，不合；（6分）（2）当a+2≤0时，即有（12）x+a≥（12）2x，x≥a，恒成立，a≤﹣2符合；（8分）（3）当﹣2＜a＜0时，若x+a＞0，则a+2≥﹣a，a≥﹣1由（1）得不合若x＜0由（2）得成立，则x+a＜0，x＞0时恒成立，即（12）x+a≥22x，x≤﹣a3，∴a+2≤﹣a3，a≤﹣32，∴﹣2＜a≤﹣32（14分）综上，实数a的取值范围a≤﹣3 2，故答案为：（﹣∞，﹣32]（15分）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性及运用，求出函数在定义域上的解析式是解题的关键，考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离，必须掌握．二、选择题（每题5分）13．（5分）设全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}，则∁U A=（）A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁U A．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≥2}，集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={2}，故选：B．【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题．14．（5分）已知命题甲是“{x|x2+xx−1≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则（）A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【分析】分别化简解出甲乙的不等式，即可判断出结论．【解答】解：x2+xx−1≥0，⇔x（x+1）（x﹣1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．由log3（2x+1）≤0，∴0＜2x+1≤1，解得：−12＜x≤0．∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（）A．333 B．336 C．1678 D．2015【分析】由已知得到函数的周期为6，找到与2015函数值相等的（﹣3，3）的自变量，按照周期求值．【解答】解：由已知函数周期为6，并且2015=6×335+5，并且f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3+6）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2+6）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1+6）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，所以f（1）+f（2）+…+f（6）=1，所以f（1）+f（2）+…+f（2015）=1×335+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336；故选B．【点评】本题考查了函数的周期性的运用；关键是由已知明确所求是几个周期的函数值另外加上前几个自变量的函数值．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得−1+a−b+c=−8+4a−2b+c−1+a−b+c=−27+9a−3b+c，解得a=6b=11，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．三、解答题（本大题有5题，满分76分）17．（14分）若奇函数f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数（1）求满足f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0的集合M（2）对（1）中的a，求函数F（x）=log a[1﹣(1a)x2−x]的定义域．【分析】（1）由f（x）是奇函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，可得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），结合f（x）在x∈（﹣1，1）是减函数得﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解不等式可求M（2）由题意可得1−(1a)x2−x＞0，结合0＜a＜1，可知，u=(1a)x2−x是增函数可得x2﹣x＜0，可求【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，又f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，∴f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1）又∵f（x）是减函数，∴1﹣a＞a2﹣1再由x∈（﹣1，1）得﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1即−1＜a2−1＜1−1＜1−a＜1a2−1＜1−a即0＜a2＜20＜a＜2a2+a−2＜0解得M={a|0＜a＜1}（2）为使F（x）=log a[1﹣（1a）x2﹣x]有意义，则1−(1a)x2−x＞0即(1a)x2−x＜1∵0＜a＜1，∴1a ＞1，u=(1a)x2−x是增函数∴x2﹣x＜0，解得0＜x＜1，∴F（x）的定义域为{x|0＜x＜1}【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性及函数的单调性解不等式，对数函数定义域的求解及知识函数单调性的应用，属于函数知识的综合应用．18．（14分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a∈R）．（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a﹣1大于0，a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x=a2﹣4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．【解答】解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，a＞1a+2＜a2−4或a＜1a+2＞a2−4，分别化为：a＞1(a−3)(a+2)＞0或a＜1(a−3)(a+2)＜0，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．19．（14分）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以f（n）=200n+2000，n∈[1，8]360⋅3n−812+3000，n∈[9，32]32400−720n，n∈[33，45]表示第n时进入人数，以g（n）=0，n[1，18]500n−9000，n∈[19，32]8800，n∈[33，45]表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1：9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f （22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由：【分析】（1）根据条件利用代入法即可得f（21）+f（22）+f（23）+f（24）和g （21）+g（22）+g（23）+g（24）的值，（2）根据分段函数的表达式，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为f（21）+f（22）+f（23）+f（24）=360×[31312+31412+31512+31612]+3000×4≈17460（人） (3)分离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000 （人）…6分（2）当f（n）﹣g（n）≥0 时，园内游客人数递增；当f（n）﹣g（n）＜0时，园内游客人数递减．…7分①当19≤n≤32 时，由f（n）﹣g（n）=360•3n−812﹣500n+12000≥0，可得：当19≤n≤28 时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当29≤n≤32 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； (11)分（f（28）﹣g（28）=246.49＞0；f（29）﹣g（29）=﹣38.13＜0 ）②当33≤n ≤45 时，由f （n ）﹣g （n ）=﹣720n +23600 递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． …13分综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人．…14分【点评】本题主要考查函数的应用问题，分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义是解决本题的关键．20．（16分）已知函数y=f （x ），若在定义域内存在x 0，使得f （﹣x 0）=﹣f （x 0）成立，则称x 0为函数f （x ）的局部对称点．（1）若a ∈R 且a ≠0，证明：函数f （x ）=ax 2+x ﹣a 必有局部对称点；（2）若函数f （x ）=2x +b 在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b 的取值范围；（3）若函数f （x ）=4x ﹣m•2x +1+m 2﹣3在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据定义构造方程ax 2+x ﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x +2﹣x +2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x ，求出b 的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x +4﹣x ﹣2m （2x +2﹣x ）+2（m 2﹣3）=0…（*）在R 上有解，再利用换元法，设t=2x +2﹣x ，方程变形为t 2﹣2mt +2m 2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m 的范围即可【解答】解：（1）由f （x ）=ax 2+x ﹣a 得f （﹣x ）=ax 2﹣x ﹣a ，代入f （﹣x ）=﹣f （x ） 得ax 2+x ﹣a +ax 2﹣x ﹣a=0得到关于x 的方程ax 2﹣a=0（a ≠0），其中△=4a 2，由于a ∈R 且a ≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f （x ）=ax 2+x ﹣a 必有局部对称点；（2）f （x ）=2x +b 在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x +2﹣x +2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x +2﹣x ，设t=2x ，12≤t ≤4，∴﹣2b=t +1t ，其中2≤t +1t ≤174， 所以﹣178≤b ≤﹣1 （3）∵f （﹣x ）=4﹣x ﹣m•2﹣x +1+m 2﹣3，由f （﹣x ）=﹣f （x ），∴4﹣x ﹣m•2﹣x +1+m 2﹣3=﹣（4x ﹣m•2x +1+m 2﹣3）， 于是 4x +4﹣x ﹣2m （2x +2﹣x ）+2（m 2﹣3）=0…（*）在R 上有解，令t=2x +2﹣x （t ≥2），则4x +4﹣x =t 2﹣2，∴方程（*）变为t 2﹣2mt +2m 2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：△=4m 2−8(m 2−4)≥02m + 4(8−m 2)2≥2 即 −2 2≤m ≤2 21− 3≤m ≤2 2， 化简得1﹣ 3≤m ≤2 2【点评】本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题21．（18分）设a ∈R ，函数f （x ）=x |x ﹣a |﹣a ．（1）若f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的x ∈[2，3]，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围；（3）当a ＞4时，求函数y=f （f （x ）+a ）零点的个数．【分析】（1）根据f （0）=0即可求出a ；（2）讨论a 的取值：a ＜2，2≤a ≤3，a ＞3，三种情况，求出每种情况下的f （x ）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a 的取值范围；（3）代入f （x ），原函数变成y=f （x |x ﹣a |），这时候换元t=x |x ﹣a |，y=t |t ﹣a |﹣a ．然后画出函数t=x |x ﹣a |和函数y=t |t ﹣a |﹣a 的图象，通过图象找出有几个t 使得y=t |t ﹣a |﹣a=0，并找出对应的x 的个数，从而找到原函数的零点个数．【解答】解：（1）∵f （x ）在原点有定义，f （x ）为奇函数；∴f （0）=﹣a=0；∴a=0；（2）f （x ）=x |x ﹣a |﹣a ；∴①若a ＜2，则x=2时，f （x ）在[2，3]上取得最小值f （2）=2（2﹣a ）﹣a=4﹣3a ；∴4﹣3a ≥0，a ≤43； ∴a ≤43；②若2≤a ≤3，则x=a 时，f （x ）取得最小值f （a ）=﹣a ；﹣a ＜0，不满足f （x ）≥0；即这种情况不存在；③若a ＞3，则x=3时，f （x ）取得最小值f （3）=3（a ﹣3）﹣a=2a ﹣9；∴2a ﹣9≥0，a ≥92；∴a ≥92；∴综上得a 的取值范围为（﹣∞，43]∪[92，+∞）； （3）f （x ）+a=x |x ﹣a |，令x |x ﹣a |=t ；∴y=t |t ﹣a |﹣a ；下面作出函数t=x |x ﹣a |={x 2−ax amp ;x ≥a −x 2+axamp ;x ＜a 和函数y=t |t ﹣a |﹣a={t 2−at −a amp ;x ≥a −t 2+at −a amp ;x ＜a 的图象：函数y=t |t ﹣a |﹣a 的图象可以认为由函数y=t |t ﹣a |的图象向下平移a 个单位得到；显然函数y=t |t ﹣a |﹣a 的左边两个零点t=t 1，t=t 2都在（0，a ）区间上，而通过t=x |x ﹣a |的图象可看出：∵a ＞4，a 24−a =a (a 4−1)＞0，∴a ＜a 24；∴t 1，t 2分别有三个x 和它对应；∴这时原函数有6个零点；由t （t ﹣a ）﹣a=t 2﹣ta ﹣a=0可以解出t 3=a + a 2+4a 2； ∴a 24−a + a 2+4a 2=2224(a 2−2a +2 a 2+4a )； 显然4(a 2−2a +2 a 2+4a )＞0；而（a 2﹣2a ）2﹣4（a 2+4a ）=a [a 2（a ﹣4）﹣16]；显然a 2（a ﹣4）﹣16可能大于0，可能等于0，可能小于0；∴t 3可能和它对应的x 个数为3，2，1；∴此时原函数零点个数为3，2，或1；∴原函数的零点个数为9个，8个，或7个．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时f （0）=0，函数零点的定义，含绝对值函数求最值的方法：观察解析式的方法，以及画出分段函数的图象，以及根据图象求函数零点个数的方法．。