第十三届“同梦杯”数模校赛论文

魅力数模美丽师大浙江师范大学第十三届“同梦杯”数学建模竞赛自信创新合作快乐BA编号 1114评分监制：浙江师范大学数学建模研究会（2014年5月8日）论文摘要地板砖铺设问题实在工程建设中最常遇见的问题之一，良好地解决这个问题能减少施工成本，加快施工进度，美化施工效果。

因此，我们将考虑到地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本、切割对美观性的影响这几方面。

从这几方面出发来使成本最小、美观性最大，达到性价比最优的目的，并采用动态规划法和单位面积划分法来取得实际可行的最优解。

问题一，我们将不规则的房屋化为规则的12个矩形区域，通过对每种地板砖的单位价格比较，确定了地板砖选择使用的优先顺序。

最后得出费用为问题二，由题目得一次性只能选用一种地板砖铺设。

因此对于5种地板砖我们依次进行了在12块矩形区域内的铺设，对其成本进行排序。

我们由通过切割次数来评判美观性，对美观性也进行了排序。

得到结果：砖块尺寸 600*300 300*300 600*600 800*800 400*400 切割数 3334546386问题三，在问题二和问题一的基础上我们对12个矩形使用5种不同的地板砖铺设。

最优先考虑800*800尺寸的地板砖。

插入结果的表格问题四，我们从性价比、户型、地砖形状与组合、切割方式、破损度、余料利用等方面提出了建议。

关键词：动态规划法、最优化、综合砖块尺寸 800*800 600*600 600*300 400*400 300*300 成本 4056250958598176352766590现已知工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。

需要铺设的房屋地面结构如下图所示。

我们需要在这些条件已给定的情况下建立数学模型来解决一下问题：1.综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。

2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，我们要设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。

3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，我们要建立实现地板砖自动铺设的模型，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。

4.根据我们的模型、算法和计算结果，还要为地板砖铺设提出一些意见和建议。

表1 各种地板砖相关参数问题一需要我们建立计算地板砖铺设总成本的模型，由于所需铺设的房屋地面结构比较复杂，我们将不规则房间划分为12个矩形。

对每一块小矩形依次进行分析，我们便可通过计算每块矩形区域的铺设费用得到地板砖铺设总成本的模型。

问题二需要我们设计一种算法可以进行一种尺寸的地板砖的自动铺设。

我们分别对五种尺寸进行铺设和计算，其中我们发现各个砖的尺寸就有一定的关联，并利用这一点大大简化了计算。

同时我们又在考虑了余料利用最大化的基础之上对算法进行了优化。

最后我们再综合考虑美观和经济，拿出最优解。

问题三需要我们建立不同尺寸的地板砖混合铺设的模型。

我们还是按照之前的12块分法，由于考虑到地板砖尺寸越大，其单位面积的购买成本就越便宜，而地板砖的购买成本在总费用中所占份额最大，所以我们优先考虑800*800的地板砖。

同时再综合考虑切割次数和地板砖利用率，最终建立起问题所需的模型。

问题四需要我们为地板砖铺设提一些意见和建议。

我们可根据前三题的模型结合实际最终得到我们的结论。

模型假设1）假设所有的地板砖厚度相同，可以做到无缝铺设。

2）假设地板砖的破损主要发生在运送过程中，即只有在购买所需的地板砖时考虑破损，进行地板砖切割时不考虑。

3）假设地板砖铺设时只考虑房间的室内面积。

4）铺设地板砖时不考虑家具的限制，进行地面全铺设。

符号说明问题一的解决在问题一中，我们首先对各种地板的性价比进行了分析,得出下表有上表可知，800*800的性价比最高，因此在铺砖的时候最优先考虑铺该砖。

同时，我们设单位平方米的人工费用为W ，因此总成本W 总即为人工总费用W 人和砖头的总费用W 物的和。

为了解问题的方便起见，我们先将这个房户的空间分成了12块，如图所示其中每块空间的面积分别为因此，总成本即为各块成本之和。

我们设在第j （j=1，2……12）个空间里,每一种砖所用的块数分别是k j i 块（这里的块数包括破损与不破损），并假设其中切割的占了k j a 块，不切割的占了k j b 块。

这里因为只有3号砖是矩形，切割的方法有两种所以在设其中按较长边切的块数是k j c ，按较短边切的块数是k j d 。

根据以上所设，我们建立模型如下，并根据动态规划拿出最优解：123450.640.360.180.160.09j j j j j j i i i i i S ∴++++≥ 1234512334180130807245433 1.52 1.5j j j j j j j j j j j W i i i i i a a c d a a =++++++++++物 =i W S W ⋅人 j W W W =+人物121j W W =∑总问题二的解决针对本问题，我们小组先考虑分别在只用一种不同尺寸的砖块下对12个空间进行铺砖。

首先，我们不难发现，一号砖就是4块四号砖拼在一起组成的，二号砖就是4块五号砖拼在一起组成的，这就大大的简化了我们的计算过程。

而由于砖最后所铺的面积是一样的，故而安装费用相同，在问题二和问题三不予考虑。

同时，在考虑如何只用一种尺寸的砖块来铺满一个空间的时候，我们采取了内部密铺，并在外面用余料进行补充填满的方法来解决本次的问题。

利用第一小问的得出的式子进行改变（即除去其他尺寸的砖块之后）之后，得出的数据如下在考虑切割的同时，我们把破损率计算进去，使得总个问题的思考更加全面以及合理。

从该表格中我们可以看到，在只用一种尺寸的砖块进行铺地面时，虽然800*800的利用率低，但成本却是最少的。

但于此同时我们发现在同一块空间中，不同的铺法导致的成本费用也不同，余料的利用率达到最大化（即用余料拼成愿尺寸大小），即为方法的最优化，基于对此的考虑，我们对原来的铺法进行了优化，得到的数据如下（之后拿出两者的对比图，再说明优化后的数据就是我们所需要的，并拿出成本最低的那组数据）问题三的解决在第一小题中，我们已经给出了具体的计算模型.同时在本小题的解决时，我们重点参考了在解决第二小问的时候得出来的数据以及结论。

由上一题可知，800*800的成本最低，因此我们小组就在800*800的铺的方法的基础之上，加入其他尺寸的砖块来降低成本，而且加入尺寸的顺序也是一定的，就是按性价比的顺序来加入，但若是遇上面积较小的空白，优先考虑用尺寸较小的砖块进行填补。

同时，为了进一步简化我们的计算。

我们在将整个空间分为12个区域的同时,再在每个区域里以400*400以及300*300作为单位面积对每块区域进行尽可能的划分，进过计算之后，我们得出来以下数据，如下表所示：于此同时，我们利用问题二中提出的优化想法进行了优化之后，得出了一下的数据，如下表所示：（这里也要拿出对比图）因此，优化后的数据即为最优解。

问题四的解决首先，我们申明，现实中的铺砖与该问题还是存在一定的差距的，同时还要考率一定的美观性。

因此会与我们的模型有一定的出入，但若是只考虑成本问题，则我们的模型具有极佳的参考性。

地板砖铺设会受到性价比、户型、地砖形状与组合、切割方式、破损度、余料利用等的影响，对此需要从多个角度提出建议。

1.性价比：为了使得成本将至最低，所限应当采用性价比最高的砖来铺地面2.户型：对户型要分区，但是每个分区之间都要不能完全独立。

比如如果两区之间没有墙体，在内部密铺后，在外面用余料进行补充填满时，可以考虑将两区合并，分析能否用整块地砖代替切割的地砖组合。

3.地砖形状与组合：地砖除了正方形、矩形以外，还有三角形、六边形、菱形等等。

不同的地砖形状是决定铺设地砖的方式的最主要因素。

比如等边三角形可以和六边形组合拼接等等，形式多样的组合能增强美观性，甚至可以降低成本。

4.切割方式：本题中每块砖只能切割一次，而现实中可以多次切割。

多次切割会有损美观，但能满足实际需要，并且降低成本。

5.破损度：在本题中砖块的面积越大破损度越大，实际生活中和这种情况相近。

但是破损度很少参与实际的考虑范围。

6.余料利用：对余料进行利用能有效的降低成本，同时对余料的最大化合理利用不仅能够美化外观，还能最大程度上的降低成本。

模型的检验与分析模型的检验对于我们在问题一中提出的模型，我们将在问题二和问题三之中，应用模型来来解决问题并拿出数据。

得到数据之后，我们将通过计算检验数据是否符合实际来进行对模型的检验。

经过对问题二、问题三所得出的数据进行计算之后（即对模型进行了验证之后）我们认为该模型符合要求并具有解决实际问题的能力。

模型的优缺点模型的优点：（1）模型综合考虑了地板砖的铺设费用和利用率，并结合余料的的再次利用以及美观度，给出了优化的铺设方案。

（2）模型较简易，可操作性强，且易懂，可以推广使用。

我们将房间分为12个空间来进行地板砖的铺设，实际上，如果空间很小，例如阳台等地就不必对其单独考虑。

（3）我们考虑了美观，这在实际生活中也是十分重要的。

模型的缺点：（1）采用线性规划求解问题时，模型较为理想化，实际上存在的一些问题不能完全考虑进去。

（2）对美观度的考虑不够。