信号与系统-6_gl

F (j )



f (t ) e
e
j t
dt

F ( j) f (t ) e

t j t
d t f (t ) e( j )t d t jω
Fb ( s) f (t )e st d t
0 α σ
一、从拉普拉斯变换到z变换
右移：
双：信息全 单：信息多
f(k-2)
k f(k-2)ε(k) 3 k
k
k
二、移位特性
单边、双边Z变换差别大！
5 k 5 k 5, k 5
5
5 k 例1 f ( k ) 0 F ( z ) f (k )z k
k
f(k)
5
f(k)ε(k)
双：信息全 左移： 单：信息丢
f(k+2)
1 z 1 z ,z 1 cos(k ) (k ) j j 2 ze 2 ze
二、移位特性
单边、双边Z变换差别大！
5 k 5 k 5, k 5
5
5 k f (k ) 0 F ( z ) f (k )z k
k
f(k)
5
f(k)ε(k)
k
k 0
称为序列f(k)的 双边z变换
称为序列f(k)的 单边z变换
若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Z[f(k)] , f(k)= Z-1[F(z)] ； f(k)←→F(z)
1730年英国数学家棣莫弗（De Moivre）将生成函 数的概念用于概率论的研究，其实这就是Z变换。 19世纪拉普拉斯，20世纪沙尔等人继续在这一方面做 出了贡献。 Z变换在当时并没有发挥多大的作用。 到了20世纪50-60年代，控制系统和数字计算机的出 现使Z变换开拓了应用空间。 Z变换在离散信号系统的地位相当于拉普拉斯变换在连 续信号系统中的地位。

k
f (kT ) (t kT )e st dt


k
f (kT )e skT

令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；
二、z变换定义--离散的拉普拉斯变换 k k F ( z ) f (k )z F ( z ) f (k )z
F2 ( z ) f 2 ( k ) z k 3 2 z 1 z 2 收敛域为z > 0
k 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞， 有时它在0或/和∞也收敛。
例2 求因果序列
解：根据定义
k 0
N
0, k 0 f y (k ) a (k ) k a , k 0
k

k
可见，其单边、双边z变换相等，与z 无关，所 以其收敛域为整个z 平面。
例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) ↓k=0 (2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1}
k
F ( z ) f (k )z 解 (2) f2(k)的双边z 变换为 k 2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0<z<∞ F2(z) = z f2 (k)的单边z变换为
对连续信号进行均匀冲激取样，就得到离散信号: f S ( t ) f ( t ) T ( t ) f ( t ) ( t kT ) f ( KT ) ( t kT ) k k 取双边拉普拉斯变换: st st F ( s) f s (t )e dt f (kT ) (t kT )e dt k
k
k 0
称为序列f(k)的 双边z变换
称为序列f(k)的 单边z变换
傅里叶变换中，e-jωt, ω 拉普拉斯变换中，e-st=e-(σ+jω)t，s=σ+jω Z变换中，z-k=e-skT=e-(σ+jω)kT，z= esT=e(σ+jω)T
二、z变换定义--离散的拉普拉斯变换 k F ( z ) f (k )z k F ( z ) f (k )z
解：根据定义 1 ( az 1 ) N 1 lim Fy (z ) N 1 az 1 当az-1=1，结果不确定； 当az-1>1，结果无穷大，无界； 当az-1<1，(az-1)N+1在N无穷大时为0，
0, k 0 f y (k ) a (k ) k a , k 0
常用序列z变换 1. (k ) 1 ,z>0
z 2. (k ) ,z>1 z 1 z (-k-1) ↔ ,z<1 z 1 z k ,|z|>|a| 3. a ( k ) za z k ,|z|<|b| b ( k 1)
第六章
离散系统的z域分析
在连续系统中，为了避免解微分方程，我们通过 拉氏变换（数学方法）把微分方程转换为代数方程。 出于同样的目的，也可以通过另外一种数学工具---z变 换，把差分方程转换为代数方程。 §6.1 z 变换 • 从拉普拉斯变换到Z变换
• Z变换定义
• 收敛域
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Z[f(k)] , f(k)= Z-1[F(z)] ； f(k)←→F(z)
三、收敛域
序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，若z变换存在，单双边相同，收敛 域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，双边z变换，若存在，收敛域为 某个圆内区域，单边z变换为零； （4）对双边序列，单双边如果都存在，双边z变换的 收敛域为环状，单边z变换的收敛域为圆外区域；
组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
例1求以下有限序列的z变换(1) f1(k)=(k) ↓k=0 (2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1}
k
解（1）F1 ( z ) k ( k ) z
(k ) 1
k

F ( z ) f (k )z
三、收敛域
z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该 幂级数收敛，即 f ( k ) z k 时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。
k
收敛域的定义：
对于序列f(k)，满足
k
f (k )z

k

所有z值
k

的z变换
k
Fy ( z ) a k z k (az1 )k
k 0
1 k
F ( z ) f (k )z k
1 ( az 1 ) N 1 lim ( az ) lim N N 1 az 1 k 0
例2 求因果序列
物 理 科 学 与 技 术 学 院
济 南 大 学
第 六 章 离 散 系 统 的 域 分 析
N
Tell Me Why Declan Galbraith
In my dream, children sing a song of love for every boy and girl . The sky is blue and fields are green and laughter is the language of the world. Then I wake and all I see is a world full of people in need. Tell me why(why), does it have to be like this? Tell me why(why), is there something I have missed? Tell me why(why), cos I don't understand, when so many need somebody, we don't give a helping hand. Tell me why? Every day, I ask myself, what will I have to do to be a man? Do I have to stand and fight, to prove to everybody who I am? Is that what my life is far, to waste in a world full of war?
收敛域为|z|< |b|
bk , k 0 bk ( k 1) 求反因果序列 f f (k ) k 0, N 1 0 1 1
的z变换
jIm[ z]
|b|
o Re[z]
z F f (z) zb
b k , k 0 的z变换 例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= k a , k 0
b ( k 1) z
1
F ( z ) f (k )z
k

( bz 1 ) k
m=-k
( b 1 z ) m
b 1 z (b 1 z ) N 1 lim N 1 b 1 z
m 1
例3
b z (b z ) 解 Ff (z ) lim N 1 b 1 z 当b-1z=1，结果不确定； 当b-1z>1，结果无穷大，无界； 当b-1z<1，(b-1z)N+1在N无穷大时为0，