人教A版高中数学选修2-1 3.2第2课时同步练习习题(含解析)

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人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案

答案：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明：充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ，则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立．而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．解析：先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1

最新高中数学：选修2-3人教A全册课时同步练习及解析第1章1.2.1第二课时同步训练及解析

人教A高中数学选修2-3同步训练1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14×A24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14×A24(个)．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14×A24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A45个；第二类：个位上为5的五位数有A14×A34(个)，故满足条件的五位数共有A45＋A14×A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共有A14×A35 (个)；第二类：形如14，15，共有A12×A24(个)；第三类：形如134，135，共有A12×A13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A14×A35＋A12×A24＋A12×A13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法，所以有不同站法A22×A66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A44种，所以共有不同站法A33×A44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右和从＝420(种)．右到左的不同，所以共有不同站法2×A77A44(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A12×A14×A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A14×A24×A44种站法，所以共有不同站法A12×A14×A55＋A14×A24×A44＝960＋1152＝2112(种)．。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第三章空间向量与立体几何 3.2.3 含解析

第3课时用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)；第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种．解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法；第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)．答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

(人教A版)高中数学选修2-1(全册)同步练习汇总

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习汇总课堂效果落实1.下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是平面图形吗解析：A、D是疑问句, 不是命题, C不能判断真假, 故B为正确答案．答案：B2．[2014·大连高二检测]若M、N是两个集合, 则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N, 那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N, 那么M⊆NC．如果M⊆N, 那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N, 那么N⊆M解析：用集合的定义理解．答案：A3．在下列4个命题中, 是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：对于③, 举一反例, 若A＝15°, B＝15°, 则C为150°, 三角形为钝角三角形．答案：D4．[2014·辽宁高二检测]下列命题：①若xy＝1, 则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2, 则a>b.其中真命题的序号是________．解析：①④是真命题, ②四条边相等的四边形也可以是菱形, ③平行四边形不是梯形．答案：①④5．[2014·武汉高二测试]判断下列语句是不是命题, 如果是命题, 指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)∅A；(5)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(6)方程x2－2x＋5＝0无解．解：(1)负数都是小于零的, 因此“任何负数都大于零”是不正确的；它能构成命题, 而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的, 本题无法判定△ABC 与△A1B1C1是否为全等三角形, 所以它不是命题．(3)因为x是未知数, 无法判断x2＋x是否大于零, 所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集, 集合A是不是非空集合我们无法判断, 所以无法判断“∅A”是否成立, 因此, 它不是命题．(5)6确实是所给方程的解, 所以它是命题, 且是真命题．(6)由于给定方程x2－2x＋5＝0, 我们就可以用其判别式来判断它是否有解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知, 方程x2－2x＋5＝0无解, 是命题, 且是真命题．04课后课时精练一、选择题1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗, 在这4句诗中, 可作为命题的是()A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 意思是“红豆生长在中国南方”, 这在唐代是事实, 故本语句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题．答案：A2．[2013·安徽高考]在下列命题中, 不是．．公理的是()A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：本题考查了立体几何中的公理与定理, 意在要考生注意回归课本, 明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的, 定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理, 是由公理推证出来的, 而公理是不需要证明的．答案：A3．下列命题中()①a·b＝a·c且a≠0时, 必有b＝c②如a∥b时, 必存在唯一实数λ使a＝λb③a, b, c互不共线时, a－b必与c不共线④a与b共线且c与b也共线时, 则a与c必共线其中真命题的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：对于①, 由a·b＝a·c且a≠0, 得a·(b－c)＝0, 未必有b＝c；对于②, 若b＝0时, 不成立；对于③, 如图△ABC中, E, F分别为AB, AC的中点,AB →＝a , AC →＝b , 则CB →＝AB →－AC →.又因为EF →＝12BC →.即c ＝－12(a －b ), 故③不正确．④若b ＝0时, a 与c 不一定共线, 故选A.答案：A4．[2014·辽宁高考]已知m , n 表示两条不同直线, α表示平面．下列说法正确的是( )A. 若m ∥α, n ∥α, 则m ∥nB. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥nC. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥αD. 若m ∥α, m ⊥n , 则n ⊥α解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断, 意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A, 若m ∥α, n ∥α, 则m 与n 可能相交、平行或异面, A 错误；显然选项B 正确；对于选项C, 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ⊂α或n ∥α, C 错误；对于选项D, 若m ∥α, m ⊥n , 则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交, D 错误．故选B.答案：B5．[2014·海南高二检测]设U为全集, 下列命题是真命题的有()①若A∩B＝∅, 则(∁U A)∪(∁U B)＝U；②若A∪B＝U, 则(∁U A)∩(∁B)＝∅；③若A∪B＝∅, 则A＝B＝∅.UA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由Venn图容易判断, ①②③均为真命题．答案：D6．设l1、l2表示两条直线, α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2⊂α, 则以其中两个为条件, 另一个为结论, 可以构造的所有命题中, 正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意得三个命题, 即②③⇒①、①③⇒②和①②⇒③.由②③⇒①正确, ①③⇒②错误, ①②⇒③错误, 故选B.答案：B二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x, y都是无理数, 则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内, 则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句, 所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定, 所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句, 所以不是命题．故填①③④.答案：①③④8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”, 条件p：________________, 结论q：________________, 是________________(填“真”或“假”)命题．解析：根据命题的结构形式填空．答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程此方程有两个不相等的实数根假9．把下列不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题：若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称, 则g(x)＝________.解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x, y), 则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x, －y), 点P1在函数f(x)＝log3x的图象上, 将对称点P1坐标直接代入f(x),即得：g(x)＝－log3(－x)．答案：－log3(－x)三、解答题10．判断下列语句是否为命题．(1)若a⊥b, 则a·b＝0；(2)2是无限循环小数；(3)三角形的三条中线交于一点；(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；(5)非典型肺炎是怎样传染的？(6)2014年北京的高考题真难！答案：(1)是(2)是(3)是(4)是(5)不是(6)不是11．把下列命题写成“若p, 则q”的形式, 并判断其真假：(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0；(3)正方形是矩形又是菱形；(4)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．(2)若x ＝2或x ＝4, 则x 2－6x ＋8＝0, 真命题．(3)若一个四边形是正方形, 则它既是矩形, 又是菱形, 为真命题．(4)若一个方程为x 2－x ＋1＝0, 则这个方程有两个实数根, 为假命题．12．[2014·南昌高二检测]已知命题p ：|x 2－x |≥6, q ：x ∈Z , 若p 假q 真, 求x 的值．解：因为p 假q 真, 所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x 2－x >－6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3，x ∈R ，x ∈Z ，故x 的值为－1,0,1,2.03课堂效果落实1.下列命题：①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说, 也能搞发明创造⑥任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案：D2．下列全称命题中真命题的个数为()①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0解析：①②③均为全称命题且均为真命题, 故选C.答案：C3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x0∈R, x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R, 使得x20>3成立B．对有些x0∈R, 使得x20>3成立C．任选一个x∈R, 使得x2>3成立D．至少有一个x0∈R, 使得x20>3成立解析：C答案已经是全称命题了．答案：C4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成特称命题为__________________．解析：“有些”即存在．答案：∃x0∈R, x0<0, (1＋x0)(1－9x20)>05．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数, 使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交；(3)若对所有的正实数, 不等式m ≤x ＋1x 都成立, 则m ≤2； (4)如果对任意的正整数n , 数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a , b 为常数), 那么数列{a n }为等差数列．解：(1)特称命题．∵x 2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0,∴命题为假命题． (2)全称命题, 假命题．如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交． (3)全称命题． ∵x 是正实数, ∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1时“＝”成立)．即x ＋1x 的最小值是2, 而m ≤x ＋1x , 从而m ≤2. 所以这个全称命题是真命题． (4)全称命题．∵S n ＝an 2＋bn , ∴a 1＝a ＋b .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2na ＋b －a ,又n ＝1时, a 1＝a ＋b 也满足上式, 所以a n ＝2an ＋b －a (n ∈N *)．从而数列{a n }是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．04课后课时精练一、选择题1．给出下列命题：①存在实数x0>1, 使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a, 使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：只有②是全称命题．答案：C2．“存在集合A, 使∅A”, 对这个命题, 下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题解析：当A≠∅时, ∅A, 是特称命题, 且为真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c, 若a≤b＋c, 则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立解析：C、D是特称命题, A是假命题．答案：B4．特称命题“存在实数x0使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R, 则x2＋1<0B．∀x∈R, x2＋1<0C．∃x0∈R, x20＋1<0D．以上都不正确解析：特称命题“存在一个x0∈R, 使p(x0)成立”简记为“∃x0∈R, 使p(x0)成立”．答案：C5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数为()①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*, (x－1)2>0③∃x0∈R, lg x0>1 ④∃x0∈R, tan x0＝2⑤∃x0∈R, sin2x0＋sin x0＋1＝0A．1 B．2C．3 D．4解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．①中命题是全称命题, 易知2x－1>0恒成立, 故是真命题；②中命题是全称命题, 当x＝1时, (x－1)2＝0, 故是假命题；③中命题是特称命题, 当x＝100时, lg x＝2, 故是真命题；④中命题是特称命题, 依据正切函数定义, 可知是真命题．⑤(sin x0＋12)2＋34≥34>0成立, 可知为假命题．答案：B6．若对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立, 则实数a的取值范围是()A．a<－1 B．a≤－1C．a>－1 D．a≥－1解析：对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立,即a≤x2－2|x|恒成立．令f(x)＝x2－2|x|, x∈R,则f(－x)＝f(x)．当x ≥0时, f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1, 故a ≤－1. 答案：B 二、填空题7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．答案：∀x ≤0, x 3≤08．[2014·西安高二检测]若∃x ∈R , 使x ＋1x ＝m 成立, 则实数m 的取值范围是________．解析：依题意, 关于x 的方程x ＋1x ＝m 有实数解, 由基本不等式得x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2, ∴m ≥2或m ≤－2. 答案：(－∞, －2]∪[2, ＋∞)9．下列命题中, 是全称命题或特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为特称命题, ①②③为全称命题, 而⑤不是命题．答案：①②③④ 三、解答题10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题, 若是, 用符号表示, 并判断其真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)存在一条直线, 其斜率不存在；(3)对所有的实数a , b , 方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x0, 使得1x20－x0＋1＝2.解：(1)是全称命题, 是真命题；(2)是特称命题, 用符号表示为“∃直线l, l的斜率不存在”, 是真命题；(3)是全称命题, 用符号表示为“∀a, b∈R, 方程ax＋b＝0都有唯一解”, 是假命题．(4)是特称命题, 用符号表示为“∃x0∈R,1x20－x0＋1＝2”, 是假命题．11. [2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m, 使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x, 使不等式m－f(x)>0成立, 求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x), 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立, 只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立, 此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立, 只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4, ∴f(x)min＝4,∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4, ＋∞)．12．(1)若全称命题“任意x∈[－1, ＋∞), x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题, 求a的取值范围；(2)若特称命题“存在x 0∈R , 使log 2(ax 20＋x 0＋2)<0”为真命题, 求a 的取值范围．解：(1)当x ∈[－1, ＋∞)时, x 2－2ax ＋2≥0恒成立, 等价于二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象在x 轴的上方, 只需满足Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ≤－1，f (－1)≥0，即4a 2－8<0或⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－8≥0，a ≤－1，2a ＋3≥0，所以－2<a <2或－32≤a ≤－2,所以a 的取值范围是[－32, 2)．(2)log 2(ax 20＋x 0＋2)<0⇔0<ax 20＋x 0＋2<1, 即存在x 0∈R , 使0<ax 2＋x 0＋2<1成立．当a ＝0时, －2<x 0<－1满足题意, 即存在实数x 0满足题意；当a ≠0时, ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，8a －1<0，即0<a <14或a <0. 综上所述, a <14, 即所求a 的取值范围是(－∞, 14)．03课堂效果落实1.命题“x ＝±1是方程|x |＝1的解”中, 使用逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“或”C ．使用了逻辑联结词“且”D ．使用了逻辑联结词“或”与“且” 答案：B2．以下判断正确的是()A．命题p是真命题时, 命题“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”为真命题时, 命题p一定是真命题C．命题“p∧q”为假命题时, 命题p一定是假命题D．命题p是假命题时, 命题“p∧q”不一定是假命题解析：若“p∧q”为真, 则p、q二者皆真, 若“p∧q”为假, 则p、q中至少有一个为假, 故选B.答案：B3．已知命题p：∅⊆{0}, q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p 且q”形式的命题中真命题有________个．解析：p为真命题, q为假命题, “p或q”为真命题, “p且q”为假命题．答案：14．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．答案：(1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q5．已知命题p：0不是自然数, q：π是无理数, 写出命题“p∨q”, “p∧q”, 并判断其真假．解：p∧q：0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q：0不是自然数或π是无理数．真命题.04课后课时精练一、选择题1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x , y 至少一个不为0D ．x , y 不都是0解析：xy ≠0当且仅当x ≠0且y ≠0. 答案：A2．已知命题p ：2＋2＝5, 命题q ：3>2, 则下列判断正确的是( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真, “p 或q ”为假D ．以上均不对解析：显然p 假q 真, 故“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 故选B.答案：B3．p ：点P 在直线y ＝2x －3上, q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上, 则使“P ∧q ”为真命题的一个点P (x , y )是( )A ．(0, －3)B ．(1,2)C ．(1, －1)D ．(－1,1)解析：点P (x , y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中, 只有C 正确．答案：C4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题, 又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形解析：“有两个角是45°的三角形是等腰三角形, 而且是直角三角形”, 是“p且q”的形式且为真．答案：D5．若命题p：∃x∈R, x2＋2x＋5<0, 命题q；∀a, b∈R, a2＋b2≥2ab, 则下列结论正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对解析：p是假命题, q是真命题, 故p∨q为真．答案：B6．[2014·南宁高二检测]下列命题, 其中假命题的个数为()①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b, 则a＋c＞b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①“5＞4”为真, 故“5＞4或4＞5”为真命题；②“9≥3”表示为“9＞3(真)或9＝3”, 故“9≥3”为真命题；③若“a ＞b, 则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．答案：A二、填空题7．若p：2是8的约数, q：2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．答案：2是8的约数, 或者是12的约数'2既是8的约数, 又是12的约数8．[2014·郑州高二检测]已知p(x)：x2＋2x－m>0, 如果p(1)是假命题, p (2)是真命题, 则实数m 的取值范围是________．解析：∵p (1)是假命题, p (2)是真命题,∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m <8. 答案：[3,8)9．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．解析：对于①, f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数, 故p 为假命题．对于②, f (x ＋2)＝x 2是偶函数, 则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 则q 为真命题, 故“p ∧q ”为真命题．对于③, f (x )＝cos(x －2)显然不是(2, ＋∞)上的增函数, 故q 为假命题．故填②.答案：② 三、解答题10．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的复合命题的真假．(1)P ：3>3 q ：3＝3； (2)p ：∅{0} q ：0∈∅；(3)p ：A ⊆A q ：A ∩A ＝A ；(4)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点； q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实根．解：(1)∵p 假q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (2)∵p 真q 假, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (3)∵p 真q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为真；(4)∵p 假q 假, ∴“p ∨q ”为假, “p ∧q ”为假．11．[2014·沈阳高二检测]对命题p ：“1是集合{x |x 2<a }中的元素”, q ：“2是集合{x |x 2<a }中的元素”, 则a 为何值时, “p 或q ”是真命题？a 为何值时, “p 且q ”是真命题？解：由1是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >1, 由2是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >4, 即使得p , q 为真命题的a 的取值集合分别为P ＝{a |a >1}, T ＝{a |a >4}．当p , q 至少一个为真命题时, “p 或q ”为真命题, 则使“p 或q ”为真命题的a 的取值范围是P ∪T ＝{a |a >1}；当p , q 都为真命题时, “p 且q ”才是真命题, 则使“p 且q ”为真命题的a 的取值范围是P ∩T ＝{a |a >4}．12．已知P ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真, p 且q 为假, 求m 的取值范围．解：若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, 则－m 2≤－1, ∴m ≥2, 即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零, 则Δ＝16(m －2)2－16<0, 解得1<m <3, 即q ：1<m <3.因为“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 所以p 、q 一真一假,当p 真q 假时, 由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3,当p 假q 真时, 由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上, m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}．03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0, ＋∞), x3＋x≥0”的否定是()A. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x<0B. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x≥0C. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0<0D. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0≥0解析：本题考查含有量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”, 并把结论加以否定, 故选C.答案：C2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是() A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数, 不能被5整除解析：全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A, B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.答案：C3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 那么() A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．p 与q 的真假相同解析：∵“非p ”为真命题, ∴p 为假命题．又∵p 或q 为真命题, ∴q 为真命题．故选B.答案：B4．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }, 命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }, 则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的假命题的个数是________．解析：因命题p 、q 均为假命题, 所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题, “綈p ”为真命题．答案：25．写出下列命题的否定, 并判断其真假：(1)三角形的内角和为180°；(2)∃x 0∈R , x 20＋1＝0；(3)∀x ∈R , x 2－3x ＋2＝0.(4)至少有两个实数x 0, 使x 30＋1＝0.(5)∃x 0, y 0∈N , 如果x 0＋|y 0|＝0, 则x 0＝0且y 0＝0.解：(1)此命题为全称命题, 其否定为：存在一个三角形, 它的内角和不等于180°, 是假命题．(2)此命题为特称命题, 其否定为：∀x ∈R , x 2＋1≠0, 是真命题．(3)此命题为全称命题, 其否定为：∃x 0∈R , x 20－3x 0＋2≠0, 是真命题．(4)此命题为特称命题, 其否定为：至多有一个实数x 0, 使x 30＋1≠0, 是假命题．(5)此命题为特称命题, 其否定为：∀x, y∈N, 如果x＋|y|＝0, 则x＝0或y＝0, 是假命题．04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况, 其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R, x2≠x”的否定是()A. ∀x∉R, x2≠xB. ∀x∈R, x2＝xC. ∃x∉R, x2≠xD. ∃x∈R, x2＝x解析：本题考查全称命题的否定, 意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R, x2＝x, 选D.答案：D3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”为假命题, 则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题, 所以p∨q为真命题, 所以p、q一真一假或都是真命题．答案：C4．[2014·天津高考]已知命题p：∀x>0, 总有(x＋1)e x>1, 则綈p 为()A. ∃x0≤0, 使得(x0＋1)e x0≤1B. ∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1C. ∀x>0, 总有(x＋1)e x≤1D. ∀x≤0, 总有(x＋1)e x≤1解析：命题p为全称命题, 所以綈p为∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.答案：B5．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R, 总有|x|≥0；q：x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A. p∧綈qB. 綈p∧qC. 綈p∧綈qD. p∧q解析：由题意知, 命题p为真命题, 命题q为假命题, 故綈q为真命题, 所以p∧綈q为真命题．答案：A6．已知全集S＝R, A⊆S, B⊆S, 若命题p：2∈(A∪B), 则命题“綈p”是()A. 2∉AB. 2∈∁S BC. 2∉A∩BD. 2∈(∁S A)∩(∁S B)解析：∵p＝2∈(A∪B), ∴2∈A或2∈B,∴綈p：2∉A且2∉B, 即2∈∁S A∩∁S B.答案：D二、填空题7. 已知命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”, 命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”, 若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”为真, 则a≤x2, x∈[1,2]恒成立, ∴a≤1；命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”为真, 则“4a2－4(2－a)≥0, 即a2＋a－2≥0”, 解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R, 使sin x＝52；命题q：∀x∈R, 都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题, 其中正确的是________．解析：因为对任意实数x, |sin x|≤1, 而sin x＝52>1, 所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0, 所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．[2014·青岛高二检测]若命题“∃x0∈R, x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题, 则实数a的取值范围为________．解析：依题意可得“∀x∈R, x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题, 所以Δ＝(a－1)2－4≤0, 所以－1≤a≤3.答案：[－1,3]三、解答题10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p, 并判断它们的真假：(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1<tan x2；(4)∃T0∈R, 使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根, 如0x＝1, 所以p为假命题, 綈p为真命题．(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数, 如2只有1和它本身这两个约数, 所以p为真命题, 綈p为假命题．(3)綈p：存在实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1≥tan x2.原命题中若x1＝0, x2＝π, 有tan x1＝tan x2, 故为假命题, 所以綈p 为真命题．(4)綈p：∀T∈R, 有|sin(x＋T)|＝|sin x|.原命题为真命题, 如T0＝2kπ(k∈Z), 所以綈p为假命题．11．已知命题p：∀m∈[－1,1], 不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x, 使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题, 綈q是真命题, 求a的取值范围．解：根据p或q是真命题, 綈q是真命题, 得p是真命题, q是假命题．∵m ∈[－1,1], ∴m 2＋8∈[22, 3]．因为∀m ∈[－1,1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, ∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2<0,∴Δ＝a 2－8>0, ∴a >22或a <－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22,所以命题p 为真命题, q 为假命题时, a 的取值范围为－22≤a ≤－1.12．[2014·衡水高二测试]已知命题p ：“∀x ∈R , ∃m 0∈R 使4x ＋2x ·m 0＋1＝0”, 若命题綈p 是假命题, 求实数m 0的取值范围．解：该题可利用綈p 假, 则p 为真, 求原命题为真时m 0的取值范围．令t ＝2x >0, 则方程4x ＋2x ·m 0＋1＝0变为t 2＋m 0·t ＋1＝0有正解, 假设方程有两个正根t 1, t 2.∵t 1·t 2＝1>0, t 1、t 2同号,∴t 1＋t 2>0, 故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 20－4≥0，－m 0>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 0≤－2或m 0≥2，m 0<0， ∴m 0≤－2, 即实数m 0的取值范围是(－∞, －2]．03课堂效果落实1.[2014·长春高二检测]x >3的一个充分不必要条件是( )A. x >0B. x <0C. x>5D. x<5解析：x>5⇒x>3,x>3D⇒/x>5.答案：C2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：x2＋(y－2)2＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－2)＝0, 即x＝0或y＝2, x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案：B3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题：①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中, x<－1⇒x2－1>0；x2－1>0D⇒/x<－1, 故①为真命题．②中, a与a＋5同为无理数或同为有理数, 故②为真命题．③中, 显然a>bD⇒/a2>b2, 故③为假命题．④中, a<5D⇒/a<3, 而a<3⇒a<5, 故④为真命题．答案：C4．[2014·福州高二测试]若“x2－2x－8>0”是x<m的必要不充分条件, 则m的最大值为________．解析：不等式解集为(－∞, －2)∪(4, ＋∞), 题目等价于(－∞, m)是其真子集, 故有m≤－2, 即m的最大值为－2.答案：－25．设命题p：x>1或x<－3, q：5x－6>x2, 则綈p是綈q的什么条件？解：∵p：x>1或x<－3,∴綈p：－3≤x≤1.又∵q：5x－6>x2即2<x<3, ∴綈q：x≤2或x≥3,∴綈p⇒綈q, 但綈q⇒/綈p,∴綈p是綈q的充分不必要条件．04课后课时精练一、选择题1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A⊆B”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当a＝3时, A＝{1,3}, A⊆B；反之, 当A⊆B时, a＝2或3, 所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件, 选A.答案：A2. [2014·湖北高考]设U为全集．A, B是集合, 则“存在集合C使得A⊆C, B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之, A ∩B ＝∅时, 不妨取C ＝∁U B , 此时A ⊆C .必要性成立．故选C.答案：C3. [2013·浙江高考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0, ω>0, φ∈R ), 则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：f (x )是奇函数时, φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时, f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx , 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件, 选B.答案：B4．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12, 则实数m 的取值范围是( )A. [－43, 12] B. [－12, 43] C. (－∞, －12)D. [43, ＋∞)解析：由题易知不等式|x －m |<1的解集为{m |m －1<x <m ＋1}, 从而有{m |m －1<x <m ＋1}(13, 12),∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m －1<13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>12m －1≤13解得－12≤m ≤43, 故选B. 答案：B5．[2014·广东高考]在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件解析：设R 为△ABC 外接圆的半径．由正弦定理可知, 若a ≤b , 则2R sin A ≤2R sin B ⇒sin A ≤sin B , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分条件；若sin A ≤sin B , 则a 2R ≤b 2R ⇒a ≤b , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的必要条件．综上所述, “a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故答案为A.答案：A6. [2014·唐山模拟]已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R , |x ＋1|≤x , 则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：由于函数y ＝2x 是单调递增函数, ∴a >b 时, 2a >2b , 反之2a >2b 时, a >b , 故p 是真命题, 而不存在实数x , 使|x ＋1|≤x , 故q 是假命题．∴p ∨q 为真命题．答案：D 二、填空题7. 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－2<x<1.其中, 可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1, ①显然不能使－1<x<1一定成立, ②③满足题意．④中当x＝－1.5时, x2显然大于1, ∴④不行．答案：②③8．设p、r都是q的充分条件, s是q的充分必要条件, t是s的必要条件, t是r的充分条件, 那么p是t的________条件, r是t的________条件．解析：由题意有：s⇔q⇐p⇓⇑t⇒r答案：充分不必要充要9．有以下四组命题：(1)p：(x－2)(x－3)＝0, q：x－2＝0；(2)p：同位角相等；q：两直线平行；(3)p：x<－3；q：x2>9；(4)p：0<a<1；q：y＝a x为减函数．其中p是q的充分不必要条件的是_______, p是q的必要不充分条件是________, p是q的充要条件的是________．解析：(1)x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0, 但(x－2)(x－3)＝0D⇒/x－2＝0, 所以p是q的必要不充分条件．(2)同位角相等⇔两直线平行, 所以p是q的充要条件,(3)x<－3⇒x2>9, 但x2>9D⇒/x<－3,所以p是q的充分不必要条件．(4)0<a<1⇔y＝a x是减函数, 所以p是q的充要条件．答案：(3) (1) (2)(4) 三、解答题10．下列各题中, p 是q 的什么条件？ (1)p ：lg x 2＝0, q ：x ＝1；(2)p ：b ＝c , q ：a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0)； (3)p ：x ≥1且y ≥1, q ：x ＋y ≥2； (4)p ：x , y 不全为0, q ：x ＋y ≠0.解：(1)当lg x 2＝0时, x 2＝1, 即x ＝±1, 则p ⇒/q , q ⇒p , 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)易知p ⇒q .而a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0), 即a ·(b －c )＝0, 可得b ＝c 或a ⊥(b －c ), 即q ⇒/p , 所以p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q , 而q ⇒/ p , ∴p 是q 的充分不必要条件．(4)綈p ：x ＝0且y ＝0, 綈q ：x ＋y ＝0, ∵綈p ⇒綈q , 而綈q ⇒/ 綈p , ∴p ⇐q 且p ⇒/ q , ∴p 是q 的必要不充分条件．11．[2014·江苏高二检测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1, x ∈[34, 2]}, B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A , 命题q ：x ∈B , 并且命题p 是命题q 的充分条件, 求实数m 的取值范围．解：化简集合A ,由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716,∵x ∈[34, 2], ∴y min ＝716, y max ＝2. ∴y ∈[716, 2], ∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B , 由x ＋m 2≥1, ∴x ≥1－m 2, B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件, ∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716, ∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞, －34]∪[34, ＋∞)．12．证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.证明：先证充分性：若a ＝1, 则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1.∵f (x )的定义域为R , 且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x －112x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x＋1＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．再证必要性：①若函数f (x )是奇函数, 则f (－x )＝－f (x )． ∴a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2, ∴2(a －1)(2x ＋1)＝0, ∴a ＝1.综上所述：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.03课堂效果落实。

人教A版高中数学选修2-3同步课时跟踪检测(一)1.1 第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课时跟踪检测一一、题组对点训练对点练一分类加法计数原理的应用1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A ．13B ．16C ．24D ．48解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.2．已知两条异面直线a ，b 上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A ．40B ．16C ．13D ．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( ) A ．3种 B ．6种 C ．7种D ．9种解析：选C 分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．4．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y 轴上，所以0＜m ＜n ，考虑m 依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n 值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.答案：205．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.对点练二分步乘法计数原理的应用6．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()A．8B．6C．5D．3解析：选B从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有()A．8本B．9本C．12本D．18本解析：选D完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．答案：4210．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．对点练三两个计数原理的综合应用11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．二、综合过关训练1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A．27种B．36种C．54种D．81种解析：选C小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A．96种B．24种C．120种D．12种解析：选A先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为()A．7 B．12C．81 D．64解析：选D第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4C．6 D．8解析：选D以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B ＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为()A．34B．43C．12 D．以上都不对解析：选C由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．答案：7207．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．由Ruize收集整理。

2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习

高二年级（数学）学科习题卷曲线方程一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答

高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]高中数学选修2-1 课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习（ P4）1、例:(1)若x2x 2 0,则 x 1;(2) 若x 1,则x2x 20 .2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题 .（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称 . 这是真命题 .（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题 .练习（ P6）1、逆命题：若一个整数能被 5 整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题 .否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被 5 整除 . 这是假命题 .逆否命题：若一个整数不能被 5 整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题 .2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题 .否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题 .逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题 .3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题 .否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题 .逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题 .练习（ P8）证明：证明：命题的逆否命题是：若 a b 1，则 a2b22a 4b 3a2b22a 4b 3 (a b) (a b) 2 (a b )2b当 a b 1时原式 a b 2 2 b 3 a b 10所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题 1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数 a 与b的和a b 是偶数，则 a,b 都是偶数 . 这是假命题 .否命题：若两个整数a,b 不都是偶数，则 a b 不是偶数 . 这是假命题 .逆否命题：若两个整数 a 与b的和a b 不是偶数，则a, b 不都是偶数 . 这是真命题 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ] （ 2）逆命题：若方程x2x m 0 有实数根，则 m 0 . 这是假命题 .否命题：若 m 0 ，则方程 x2x m 0 没有实数根 . 这是假命题 .逆否命题：若方程x2x m 0 没有实数根，则m 0 . 这是真命题 .3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等 .逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题 .否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等 .这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上 .这是真命题.（ 2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题 .否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题 .逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题 .4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则 q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分 .此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设AB,CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E，若 E和圆心 O 重合，则 AB,CD 是经过圆心 O 的弦， AB,CD 是两条直径 . 若 E 和圆心O 不重合，连结AO, BO ,CO 和DO，则OE是等腰AOB，COD的底边上中线，所以，OE AB OE CD.，AB 和 CD 都经过点 E ，且与 OE 垂直，这是不可能的 . 所以， E 和 O 必然重合 . 即 AB 和 CD 是圆的两条直径 .原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2充分条件与必要条件练习（ P10）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真 .练习（ P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是 q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是 q 的必要条件 .2、（1） p 是 q 的必要条件；（2）p是q的充分条件；（ 3） p 是 q 的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题 1.2 A组（P12）1、略 .2、（ 1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是 a2b2r 2 .习题 1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（ 1）充分性：如果 a2b2c2ab ac bc ，那么 a2b2c2ab ac bc0 .所以 (a b)2(a c)2(b c)20所以， a b 0 ， a c 0 ， b c0 .即 a b c ，所以，ABC 是等边三角形 .（ 2）必要性：如果ABC 是等边三角形，那么 a b c所以 (a b)2 (a c)2 (b c)2 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc 0所以 a2 b2 c2 ab ac bc1.3简单的逻辑联结词练习（ P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1） 2 2 5 ，真命题；（2）3不是方程x290 的根，假命题；（3） ( 1)21，真命题 .习题 1.3 A组（P18）1、（1） 4 {2,3} 或 2 {2,3} ，真命题；（2）4{2,3} 且 2 {2,3} ，假命题；（3）2 是偶数或 3 不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1） 2 不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3） 2 3 ，假命题；（4）8715 ，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 1.3 B组（P18）（1）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（2）真命题 . 因为 p 为真命题， q 为真命题，所以 p q 为真命题；（3）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题；（4）假命题 . 因为 p 为假命题， q 为假命题，所以 p q 为假命题 .1.4全称量词与存在量词练习（ P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（ P26）1、（1）n0Z, n0Q ；（2）存在一个素数，它不是奇数；（ 3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题 1.4 A组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）x0N , x03x02；（2）存在一个可以被 5 整除的整数，末位数字不是0；（3）x R, x2x 1 0 ；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题 1.4 B组（P27）（ 1）假命题 . 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（ 2）假命题 . 存在一个二次函数，它的图象与x轴不相交；（ 3）假命题 . 每个三角形的内角和不小于 180 ；（ 4）真命题 . 每个四边形都有外接圆 .第一章复习参考题 A 组（ P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题 .2、略 .3、（ 1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）n N ,n2 0 ；（2）P { P P 在圆 x2 y2 r 2上}， OP r (O 为圆心)；（3）( x, y) {( x, y) x, y是整数 } ， 2x 4y 3 ；（ 4）x0 { x x 是无理数}， x03 { q q 是有理数} .6、（1） 3 2 ，真命题；（2） 5 4 ，假命题；（ 3）x0 R, x0 0 ，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题 B 组（ P31）1、（1） p q；（2） ( p) ( q) ，或( p q) .2、（1）Rt ABC ， C 90，A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，则 c2 a2 b2；（2）ABC ，A, B, C 的对边分别是a b c a, b, c ，则.sin A sin B sin C第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习（ P37）1、是 . 容易求出等腰三角形 ABC 的边 BC 上的中线 AO 所在直线的方程是 x 0 .2、 a 32 , b 18 .25 253、解：设点 A, M 的坐标分别为 (t,0) ， ( x, y) .（1）当 t 2 时，直线 CA 斜率 k CA2 0 22 t2 t1 t 2所以， k CB2kCA由直线的点斜式方程，得直线 CB 的方程为 y2 t 2 ( x 2) .2令 x 0 ，得 y 4 t ，即点 B 的坐标为 (0,4 t) .由于点 M 是线段 AB 的中点，由中点坐标公式得xt, y 4 t .t4 t ，22由 x得 t 2x ，代入 y2 2得 y42x，即 x y 20 ⋯⋯①2（ 2）当 t 2 时，可得点 A, B 的坐标分别为 (2,0) ， (0,2)此时点 M 的坐标为 (1,1) ，它仍然适合方程①由（ 1）（ 2）可知，方程①是点 M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题 2.1 A组（ P37）1、解：点 A(1, 2) 、 C (3,10) 在方程 x 2xy 2 y 1 0 表示的曲线上；点 B(2, 3) 不在此曲线上2、解：当 c 0 时，轨迹方程为 xc 1；当 c 0 时，轨迹为整个坐标平面 .23、以两定点所在直线为 x 轴，线段 AB 垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，得点 M 的轨迹方程为 x 2y 24.4、解法一：设圆 x 2 y 2 6x 5 0 的圆心为 C ，则点 C 的坐标是 (3,0) .由题意，得 CMAB ，则有 k CM k AB1 .高中数学选修 2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]所以，yy 1 (x 3, x0)x 3x化简得 x 2y 2 3x 0 (x 3, x 0)当 x 3 时， y0 ，点 (3,0) 适合题意；当 x 0 时， y0 ，点 (0,0) 不合题意 .解方程组x 2 y 2 3x 0，得 x5, y2 5x 2y 26x 5 033所以，点 M 的轨迹方程是 x2y 2 3x0 ，5x 3.OCM 是直角三角形，3解法二：注意到利用勾股定理，得 x 2 y 2 ( x 3)2 y 2 9 ，即 x 2 y 2 3x0 . 其他同解法一 .习题 2.1 B 组（ P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线 l 的方程为 xy 1 .a b因为直线 l 经过点 P(3,4) ，所以34 1 因此， ab 4a 3ba b由已知点 M 的坐标为 (a,b) ，所以点 M 的轨迹方程为 xy4x 3y 0 .2、解：如图，设动圆圆心 M 的坐标为 (x, y) .y由于动圆截直线 3x y 0 和 3x y 0 所得弦分别为BAB ， CD ，所以， AB8 ， CD4 .过点M 分别CMF E作直线 3xy 0 和 3x y 0 的垂线，垂足分别为 E ，DF ，则 AE4， CF 2 . A3x y3x yME， MF10 .10Ox连接 MA ， MC ，因为 MAMC ，（第 2题）22CF 22 则有， AE MEMF所以， 16 (3 x y)24 (3 x y) 2 ，化简得， xy 10 .10 10因此，动圆圆心的轨迹方程是xy 10 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]2.2椭圆练习（ P42）1、 14. 提示：根据椭圆的定义，PF1 PF2 20 ，因为 PF1 6 ，所以 PF22、（1）x2y2 1；（2） y2 x2 1；（3） x2 y2 1，或 y2 x2 16 16 36 16 36 163、解：由已知， a 5 ， b 4 ，所以c a2 b2 3.（1）AF1 B 的周长 AF1 AF2 BF1 BF2.由椭圆的定义，得 AF1 AF2 2a ， BF1 BF2 2a .所以，AF1B 的周长4a20 .（2）如果 AB 不垂直于x轴，AF1B的周长不变化 .这是因为①②两式仍然成立，AF1B 的周长20，这是定值.4、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，由已知，得直线 AM 的斜率y(x 1) ；kAMx 1直线 BM 的斜率y(x 1) ；kBMx 1由题意，得kAM2 ，所以y 2 y (x 1, y 0) k BM x 1 x 1化简，得 x 3 ( y 0)因此，点 M 的轨迹是直线 x 3 ，并去掉点 ( 3,0) .练习（ P48）yB2 1、以点B2（或B1）为圆心，以线段OA2 （或 OA1）为半径画圆，圆与 x 轴的两个交点分别为 F1 , F2. A 1 F1O点 F1 , F2就是椭圆的两个焦点.B 1 这是因为，在 Rt B2OF2中， OB2 b ， B2 F2 OA2 a ，（第 1题）所以， OF2 c . 同样有 OF1 c .2、（1）焦点坐标为( 8,0) ， (8,0) ；14 .1.F2A2x（ 2）焦点坐标为 (0,2) ， (0, 2) .3、（1）x 2 y 21；（ 2） y2x 2 1 .36 3225 164、（1）x 2y21（ 2） x2y21 ，或 y 2x 2 1. 94100 64100645、（1）椭圆 9x2y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是 1 ，316 12 2因为221，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 9x 2y 2 36 更扁；3216 12（2）椭圆 x29 y236 的离心率是22 ，椭圆 x 2y 2 1 的离心率是10 ，36105 因为2210，所以，椭圆x 2y 2 1 更圆，椭圆 x 2 9 y 2 36更扁 .356106、（1） (3, 8) ；（2） (0,2) ；（3） ( 48 , 70) .7、82 . 5 3737 7习题 2.2 A组（ P49）1、解：由点 M (x, y) 满足的关系式x 2 ( y 3)2 x 2 ( y 3) 2 10 以及椭圆的定义得，点 M 的轨迹是以 F 1(0, 3) ， F 2 (0,3) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆 .它的方程是y 2x 2 1.25 162、（1）x 2y 21；（ 2）y 2x 21 ；（3） x2y 21 ，或 y 2x 21.36 3225 9494049403、（1）不等式 2 x 2 ， 4 y 4 表示的区域的公共部分；（2）不等式 25 x2 5 ， 10 y10表示的区域的公共部分 .图略 .334、（1）长轴长 2a8，短轴长 2b 4 ，离心率 e 3 ，2焦点坐标分别是 ( 2 3,0) ， (2 3,0) ，顶点坐标分别为 ( 4,0) ， (4,0) ， (0, 2) ， (0,2) ；（2）长轴长 2a18 ，短轴长 2b6 ，离心率 e2 2 ，3焦点坐标分别是 (0, 6 2) ， (0,6 2) ，顶点坐标分别为 (0, 9) ，(0,9) ， ( 3,0) ， (3,0) .5、（1）x2y2 1 ；（2） x2 y2 1，或 y2 x2 1 ；8 5 9 81 9（3） x2 y2 1，或 y 2 x2 1 .25 9 25 96、解：由已知，椭圆的焦距F1F2 2.因为PF1F2的面积等于1，所以，1F1F2 y P 1，解得y P1. 2代入椭圆的方程，得x2 1 1 ，解得 x 15 .P5 4 215 l所以，点 P 的坐标是1) ，共有 4 个 .( ,2 QA 7、解：如图，连接 QA . 由已知，得 QA QP . O所以， QO QA QO QP OP r .又因为点 A 在圆内，所以OA OP（第 7题）根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O, A 为焦点，r为长轴长的椭圆 .8、解：设这组平行线的方程为y 3 x m .2把 y 3 x2 y21 ，得 9x2 6mx 2 18 0.x m 代入椭圆方程92m2 4这个方程根的判别式36m2 36(2m2 18)（ 1）由0 ，得 3 2 m 3 2 .当这组直线在 y 轴上的截距的取值范围是( 3 2,3 2) 时，直线与椭圆相交. （ 2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段 AB 的中点为 M (x, y) .则 x x1 x2 m .2 3因为点 M 在直线 y 3 x m 上，与 x m联立，消去 m ，得3x 2y 0 .2 3这说明点 M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上 .高中数学选修2-1 课后习题答案 [ 人教版 ]x2y29、3.5252 2.87521.10、地球到太阳的最大距离为 1.5288 108 km，最下距离为 1.4712108 km. 习题 2.2 B 组（ P50）1、解：设点 M 的坐标为 ( x, y) ，点 P 的坐标为( x0, y0)，则 x x0，y 3y0 . 所以 x0 x ，y0 2 y ⋯⋯① .2 3因为点 P(x0 , y0 ) 在圆上，所以 x02 y02 4 ⋯⋯②.将①代入②，得点 M 的轨迹方程为 x2 4 y2 4，即 x2 y2 19 4 9所以，点 M 的轨迹是一个椭圆与例 2 相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为P( x, y) ，半径为 R ，两已知圆的圆心分别为 O1, O2.分别将两已知圆的方程x 2 y2 6x 5 0 ， x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y 2 4 ， ( x 3)2 y2 100当 P 与O1： ( x 3)2 y2 4 外切时，有O1P R 2 ⋯⋯①当P 与O2：( x 3)2y2100内切时，有O2P 10 R⋯⋯②①②两式的两边分别相加，得 O1P O2 P 12即， ( x 3)2 y2 (x 3) 2 y2 12 ⋯⋯③化简方程③ .先移项，再两边分别平方，并整理，得 2 (x 3)2 y2 12 x ⋯⋯④将④两边分别平方，并整理，得3x2 4 y2 108 0 ⋯⋯⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得x2y2 1 ⋯⋯⑥36 27由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，6 3 . 解法二：同解法一，得方程( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12 ⋯⋯①由方程①可知，动圆圆心P(x, y) 到点O1( 3,0)和点O2(3,0) 距离的和是常数12，第11页共38页。

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.4空间向量与空间距离》课时提升作业(含答案解析)

课时提升作业(二十八)空间向量与空间距离(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A. aB. aC.aD.a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E.所以|EF|=== a.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为( )A.5B.14C.D.【解析】选C.因为=(-2,-6,2).所以·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,|n|==5.所以点P到直线l的距离为=.3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则P(1,2,-2)到α的距离为( )A. B. C.2 D.【解析】选 A.因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===.4.(2014·安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为( )A. B. C. D.【解析】选D.设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=a+b+c,=+=(a-b)+a+b+c=a+b+c.由·=0,a·b=b·c=a·c=,可解得λ=.||=||=.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,所以MN=AB=.又G为△ABC的中心,所以NG=,故MG==.5.(2014·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC 间的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),=(1,1,0),=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设=(x,y,z),则⊥,⊥,得x+y=0,-y+z=0,令y=t,则=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),=(-m,a-m,b)N(0,2t,t),2t+t=1,t=,=,==.6.(2014·邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=, N为BB1的中点,则|MN|的长为( )A. aB. aC. aD. a【解析】选A.设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,a·b=b·c=c·a=0,由条件知,=-=(+)-=(++)-(++)=(2a-c)-(-c+a+b)=a-b-c,||2==(2a-b-c)2=(4|a|2+|b|2+|c|2-4a·b-2a·c+b·c)=,所以||= a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+2[1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°]=2,所以||=,所以EF的长为.答案:二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A 到直线A1C的距离为.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),=(1,1,2),=(0,0,2),又cos∠AA1C===.设A到直线A1C的距离为d,则d=||sin∠AA1C=2×=.答案:8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为 .【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=,又=,所以d==.答案:9.(2014·石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知=,=,设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,所以n·=x+z=0,n·=-y+z=0,所以x=-2z,y=z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M 在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标,利用空间两点的距离公式求出距离.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,据题意有|A1C1|=2,因为|MC1|=2|A1M|,所以|A1M|=.所以M.又C(2,2,0),D1(0,2,4),N为CD1的中点,所以N(1,2,2),所以|MN|==.11.三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)求点C到平面AB1D的距离.【解析】(1)如图所示,取AB1中点M,则=++,又=++.所以2=+=+.2·=(+)·=0,2·=(+)·(-)=||2-||2=0, 所以DM⊥AA1,DM⊥AB.所以DM⊥平面ABB1A1.因为DM⊂平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)因为A1B⊥DM,A1B⊥AB1.所以A1B⊥平面AB1D.所以是平面AB1D的一个法向量.所以点C到平面AB1D的距离为d===== a.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·济南高二检测)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】先利用=2的关系求出P点坐标,再求两点间的距离.【解析】选D.设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2),所以||=.2.(2014·衡水高二检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,||=1,点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为( )A.1B.C.D.【解析】选B.如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.则B(,0,0),P(0,0,),E.由||=1,得D(0,1,0),C(,1,0),从而=(,0,0),=,=,设平面DEC的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.故所以x=0,z=y.可取y=1,则n=(0,1,).故点A到平面ECD的距离d===,又直线AB∥平面ECD,所以直线AB到平面ECD的距离为.【变式训练】在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为( )A. B.3 C.2 D.【解析】选D.由已知AB,AD,AP两两垂直.所以以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2).=(0,2,0),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则所以n=(1,0,1),又=(2,0,0),所以d==.3.(2014·昆明高二检测)ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60°,则P到AB的距离是( )A.2B.C.2D.【解析】选D.如图建立直角坐标系,易知∠PDC为二面角P-AD-C的平面角,PD=AD=2,得P(0,1,),A(2,0,0),B(2,2,0),=(-2,1,),=(0,2,0),设点P到AB的距离为d,则d=||sin∠PAB,cos∠PAB===,sin∠PAB===,所以d=×=.4.(2014·西安高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )A. B. C. D.【解析】选B.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C1(0,1,1).因O为A1C1的中点,所以O,=,设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1),所以O到平面ABC1D1的距离为:d===.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为.x【解析】以C为坐标原点,CA,CB,CC轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则⇒令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=得=,即a=,故AD=.答案:6.(2014·南京高二检测)等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD 与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:①BD⊥AC;②∠BAC=60°;③异面直线AB与CD之间的距离为;④点D到平面ABC的距离为;⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°.其中正确结论的序号是.【解析】因为AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,所以①正确;又知AD=BD=CD=1,所以△ABC为正三角形,∠BAC=60°,所以②正确;以D为原点,DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设n=(x,y,z),由n·=0,n·=0得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),所以异面直线AB与DC之间的距离d==,故③正确;因为△ABC边长为,所以S△ABC=,由V A-BDC=V D-ABC得×(×1×1)×1=××h,所以h=,故④正确;因为CD⊥平面ABD,所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确.答案:①②③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·泰安高二检测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别为A1A和B1B的中点.(1)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.(2)求点D1到平面MDC的距离.【解析】(1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D1(0,0,2).所以=(-2,2,-1),=(2,2,-1),cos<,>==,所以异面直线CM与D1N所成角的余弦值为.(2)=(2,0,1),=(0,2,0),=(0,0,2).设面DMC的法向量为n=(x,y,z),则⇒n=(1,0,-2),所以点D1到平面MDC的距离h===.【变式训练】(2014·安庆高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形.(1)求BF的长.(2)求点C到平面AEC1F的距离.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z). 因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).于是||=2.即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以即所以又=(0,0,3),设与n1的夹角为α,则cosα===.所以C到平面AEC1F的距离为d=||·cosα=3×=.【拓展延伸】用向量法求点面距离的方法与步骤8.(2014·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解析】(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=,=,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·=0且n·=0,所以令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d===,因此,点D到平面PEF的距离为.(2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d===,所以AC到平面PEF的距离为.【变式训练】如图所示,已知边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC 的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α间的距离.【解析】设,,的单位向量分别为e1,e2,e3,选取{e1,e2,e3}作为空间向量的一组基底,易知e1·e2=e2·e3=e3·e1=0,=2e1,=2e2,=2e3,=+=+=+(+)=-2e1+e2+e3,设n=x e1+y e2+e3是平面α的一个法向量, 则n⊥,n⊥,所以⇒⇒所以n=e1+e3.所以直线AE与平面α间的距离为。

高中数学 3.1.2课时同步练习新人教A版选修2-1

第3章 3.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量答案： A2．当|a |＝|b |≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．共面B ．不共面C ．共线D ．无法确定解析：由加法法则知：a ＋b 与a －b 可以是菱形的对角线．答案： A3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ， OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( ) A ．3B ．0 C.13 D ．1解析： ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M 、A 、B 、C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13.故选C. 答案： C4．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( )A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a ＝μe 2，则a ∥e 2；当λ≠0，μ＝0时，a ＝λe 1，则a ∥e 1；当λ≠0，μ≠0时，a 与e 1，e 2共面．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 解析： ∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA →＝OB →＋λB C →＋μBD →＝OB →＋λ(O C →－OB →)＋μ(O D →－OB →)＝(1－λ－μ) OB →＋λO C →＋μOD →＝(λ＋μ－1) BO →－λCO →－μDO →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，∴2x ＋3y ＋4z ＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ)＝－1.答案：－1 6．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC→＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析： ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即O B →－OA →＝k (OC →－O A →)，∴(k －1) OA →＋OB －kOC →＝0，又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案： 0三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，求满足M N →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值．解析： MN →＝MC →＋CD →＋DN →＝12BC →＋BA →＋12DP → ＝12AD →－AB →＋12(AP →－AD →) ＝－AB →＋12AP →， ∴x ＝－1，y ＝0，z ＝12.中点，判断MN →与8.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 1中点，N 是BD D 1C →是否共线？解析： ∵M ，N 分别是AD 1，BD 的中点，四边形ABCD 为平行四边形，连结AC ，则N 为AC 的中点．∴MN →＝A N →－A M →＝12A C →－12AD 1→＝12(A C →－AD 1→)＝12D 1C →∴MN →与D 1C →共线．尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AG AH＝m .若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．解析：连结BD ，BG ，∵AB →＝PB →－PA →且AB →＝DC →，∴DC →＝PB →－PA →.∵PC →＝PD →＋DC →，∴PC →＝PD →＋PB →－PA →＝－PA →＋PB →＋PD →.∵PHHC ＝12，∵PH →＝13PC →＝13(－PA →＋PB →＋PD →)＝－13PA →＋13PB →＋13 PD →.又∵AH →＝PH →－PA →，∴AH →＝－43PA →＋13PB →＋13PD →.∵AGAH ＝m ，∴AG →＝mAH →＝－4m 3PA →＋m 3 PB →＋m 3PD →.∴BG →＝－A B →＋AG →＝PA →－PB →＋AG →，∴BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4m3PA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m3－1PB →＋m 3PD →.又∵B ，G ，P ，D 四点共面，∴1－4m3＝0，∴m ＝34.。

数学教案人教a版选修2_3 同步练习--第2章随机变量及其分布第2节跟踪训练含解析

条件概率[A 组学业达标]1．已知A 与B 是两个事件，P(B)＝14，P(AB)＝18，则P(A|B)等于( )A.13 B.14 C.38D.12解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝P ABP B ＝1814＝12.答案：D2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )A.49B.29 C.12D.13解析：由题意可知，n(B)＝C 1322＝12， n(AB)＝A 33＝6.∴P(A|B)＝n AB n B ＝612＝12.答案：C3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：根据条件概率公式P(B|A)＝P AB P A ，得所求概率为0.60.75＝0.8.答案：A4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( )A.112 B.14 C.29D.23解析：由题意事件A 包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是(1,3)，(3,1)共2个，所以P(B|A)＝29.答案：C5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A.18B.14C.25D.12解析：P(A)＝C 23C 22C 25＝25，P(AB)＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝P ABP A ＝11025＝14.答案：B6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X ，则X≤6的概率为________．解析：设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“X≤6”，则P(A)＝3036＝56，P(AB)＝13，∴P(B|A)＝P AB P A ＝25.答案：257．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活动25岁的概率是________．解析：设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B ⊆A ，故P(AB)＝P(B)，于是P(B|A)＝P AB P A ＝P B P A ＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 答案：0.58．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解析：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个．则P(A)＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P(BC)＝C 15·C 15C 110·C 19＝2590＝518， P(B)＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12. 故P(C|B)＝P BCP B ＝51812＝59.9．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．解析：抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝1236＝13. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4＞8,4＋6＝6＋4＝5＋5＞8,5＋6＝6＋5＞8,6＋6＞8. 所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P(B)＝1036＝518.事件AB 的基本事件数为6. 故P(AB)＝636＝16.由条件概率公式得： (1)P(B|A)＝P ABP A ＝1613＝12.(2)P(A|B)＝P ABP B ＝16518＝35.[B 组能力提升]10．将三颗骰子各掷一次，设事件A 表示“三个点数都不相同”，B 表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )A.6091B.12C.518D.91216解析：因为P(A|B)＝P ABP B ，P(AB)＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P(B)＝1－P(B )＝1－5363＝1－125216＝91216.所以P(A|B)＝P ABP B ＝6021691216＝6091.答案：A11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A.119B.1738C.419D.217解析：设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．而P(AB)＝C 25C 220＝119，P(B)＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738.∴P(A|B)＝P AB P B ＝217. 答案：D12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P(A)＝5100＝120，P(AB)＝C 15C 195A 2100＝19396. 所以P(B|A)＝P AB P A ＝9599.答案：959913．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．解析：设第一支取好晶体管为事件A ，第二支取好晶体管为事件B ，则P(A)＝610＝35，P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×59＝13，则P(B|A)＝1335＝59.答案：5914．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为 n(Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A 14A 15＝20，于是P(A)＝n A n Ω＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A 24＝12，于是 P(AB)＝n AB n Ω＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝P ABP A ＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n AB n A ＝1220＝35.15．三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33解析：设事件A ＝{任取的三个数中有a 22}，事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C 28＝28，n(A B )＝2，故P(B |A)＝nA B n A＝228＝114，则P(B|A)＝1－P(B |A)＝1－114＝1314. 即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.事件的相互独立性[A组学业达标]1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决，甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.答案：B2．下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．答案：A3．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 、事件B ，则P ＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 答案：B5．甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为( )A.720 B.1220 C.120D.220解析：第一种：甲答对，乙答错，此时概率为15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝320；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×14＝420.综上，两人中恰有一人答对的概率为320＋420＝720.答案：A6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P(A ∪B)＝________，P(A|B)＝________. 解析：因为A ，B 相互独立，所以P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.65 0.37．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：加工出来的零件的正品率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×(1－168)＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.答案：3708.如图所示，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为________．解析：设P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7，则P(A )＝0.1，P(B )＝0.2，P(C )＝0.3，故该系统的可靠性为1－P(A )P(B )P(C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：0.9949．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，故概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.10．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A 与B 是相互独立的．[B 组能力提升]11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：按A→B→C→A 的顺序的概率为13×13×13＝127，按A→C→B→A 的顺序的概率为23×23×23＝827，故跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝127＋827＝13.答案：A12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：记“A，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(C )P(D )[1－P(AB)]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316，∴灯亮的概率为1－316＝1316. 答案：C13．国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P(A B C )＝1－P(A )·P(B )·P(C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35.答案：3514．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：①P(B)＝P(A 1B)＋P(A 2B)＋P(A 3B)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，①不正确，⑤不正确；②P(B|A 1)＝510×51112＝511，正确；③事件B 与事件A 1有关系，故不正确；④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．答案：②④15．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．解析：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)，则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.4，P(A 3)＝0.5，P(A 4)＝0.2. (1)法一：该选手被淘汰的概率： P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976. (2)法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A3)＋P(A 1)P(A 2)·P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.16．某示范性高中的校长推荐甲，乙，丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A ，B ，C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是P(E)＝1－P(A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P(ξ＝30)＝P(A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝118，P(ξ＝40)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝518，P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＝49，.P(ξ＝60)＝P(ABC)＝23×23×12＝29.所以ξ的分布列为：独立重复试验与二项分布[A 组学业达标]1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125 B.48125 C.16125D.96125解析：播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝48125.答案：B2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P(X ＝3)等于( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14解析：P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34.答案：C3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析：由题意知C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A. 答案：A4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＝827.答案：A5．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1127. 答案：B6．如果X ～B(20，p)，当p ＝12且P(X ＝k)取得最大值时，k ＝________.解析：当p ＝12时，P(X ＝k)＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220C k 20，显然当k ＝10时，P(X ＝k)取得最大值．答案：107．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝1132. 答案：11328．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②9．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.用X 表示乙投篮3次的进球数，求随机变量X的分布列．解析：随机变量X 的可能值为0,1,2,3，则P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k×⎝ ⎛⎭⎪⎫353－k (k ＝0,1,2,3)．X 的分布列为：10.根据以往统计资料，为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．(2)用X 表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的分布列．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C ＝A ＋B ， P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D ＝C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，由已知得X ～B(5,0.2)，所以P(X ＝k)＝C k50.2k0.85－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，分布列如表：[B 组能力提升]11．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P(X ＝2)＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233解析：∵随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， ∴P(X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233.答案：D12．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p)4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13.答案：A13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球4次的概率为C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25； ④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，所以P(X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}．则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④14．张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝6581.答案：658115．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．解析：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P(A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，则P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P(X ＝1)＝C 12×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.所以X 的分布列为：16.两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率．(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．解析：设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ，因为P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，P(C)＝310，所以P(D)＝P(A ∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，知X ＝0,1,2,3,4，设A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，则P(A 0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P(A 1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P(A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625，P(A 3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P(A 4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫254×⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝16625.所以X 的分布列为：。

2020秋高中数学人教版2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-1学案：3.2.2空间向量与垂直关系含解析3。

2。

2空间向量与垂直关系自主预习·探新知情景引入1．两向量垂直时,它们所在的直线垂直吗?2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系?新知导学空间垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,a2,a3)，b＝(b1，b2，b3），平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3),v＝（v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥m__a⊥b____a·b＝0__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥α__a∥u____a＝λu，λ∈R__a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥β__u⊥v__u·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0预习自测1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝（－2,2,1），b＝（3,－2，m），若l1⊥l2，则m等于（D)A．－2B．2C．6D．10［解析]l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(A)A．n1＝（1，2,1），n2＝（－3,1，1)B．n1＝（1,1,2），n2＝（－2，1，1)C．n1＝(1,1，1），n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1，2,1）,n2＝(0，－2,－2）3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测）已知直线l的方向向量a＝（－1,2,1），平面α的法向量b＝（－2，4,2),则直线l 与平面α的位置关系是（B)A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l∈α[解析]∵直线l的方向向量a＝(－1,2，1），平面α的法向量b＝（－2，4,2）,∴b＝2a，∴则b与a共线,可得：l⊥a。

故选B．4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，1，2)，b＝（x，－2，3），且α⊥β，则x＝__－4__.[解析］α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4。

高中数学选修2-1课时作业23：2.2.2 第2课时直线与椭圆的位置关系(一)

第2课时直线与椭圆的位置关系(一)一、选择题1．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为() A.⎝⎛⎭⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.⎝⎛⎭⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43考点题点 [答案] B [解析] 因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断考点题点[答案] A[解析] 方法一直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．3．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题[答案] B[解析] 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19<1，所以P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( ) A.32B.3C.72D ．4 [答案] C[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12， ∴|PF 2|＝4－12＝72. 5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m ≥1C ．m >3D ．m >1且m ≠3[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∴Δ>0，即16m 2－4m (3＋m )>0，∴m >1且m <0，又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22B ．±22C.12D ．±12考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交的其他问题[答案] B[解析] 根据椭圆的离心率为22，得ca ＝22.由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b2c 2a 2，所以y 0＝±bca ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是() A ．m >1 B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5[答案] D[解析] 方法一由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m ≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.8．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题[答案] C[解析] 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1， ⎩⎨⎧ x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1，则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.二、填空题9．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为____________________________．考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 27 [解析] 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.10．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题[答案] 2[解析] 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________. [答案] 57[解析] 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57. 三、解答题12.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．考点题点解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )．化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.14．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 考点题点 [答案] A[解析] 由F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0，① 由x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204，② ②代入①可得，34x 20－2<0，即－263<x 0<263. 15．已知椭圆x 2＋y 24＝1，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，点P 是椭圆上一点，则使得点P 到直线l 的距离为55的点P 的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设直线l ′：2x ＋y ＋n ＝0与椭圆相切，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋n ＝0，x 2＋y 24＝1，整理得8x 2＋4nx ＋n 2－4＝0，则该方程有且只有一个解，由Δ＝16n 2－4×8(n 2－4)＝0，得n ＝22或n ＝－22，∴l ′的方程为2x ＋y ＋22＝0或2x ＋y －22＝0，易知直线2x ＋y ＋22＝0与直线l 的距离为22－25<55，直线2x ＋y －22＝0与直线l 的距离为2＋225>55， ∴在直线l 的右侧有两个符合条件的P 点，在直线l 的左侧不存在符合条件的P 点， ∴符合条件的点P 有2个．故选C.。

数学教案人教a版选修2_3 同步练习-第1章计数原理第2节跟踪训练含解析

第1课时排列与排列数公式[A 组学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种．答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个．答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时组合与组合数公式[A 组学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________．解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！，整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.2空间向量与垂直关系》课时提升作业(含答案解析)

课时提升作业(二十六)空间向量与垂直关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确【解析】选C.因为n1·n2=2〓(-3)+(-3)〓1+5〓(-4)≠0,所以n1与n2不垂直,又≠≠,所以α与β相交但不垂直.2.(2014·青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直【解析】选C.建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.3.(2014·丹东高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )A.(1,-1,1)B.C. D.【解析】选B.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足·n=0.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E(,,1),所以=(,-,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1),所以·=0,所以⊥,即CE⊥BD.5.(2014·桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.6.下列命题中,正确命题的个数为( )①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).【解析】m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为.【解析】因为=(-1,-1,1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由·=0,·=0,得则x=,z=-,所以P.答案:9.(2014·长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是. 【解析】由于·=-1〓2+(-1)〓2+(-4)〓(-1)=0,·=4〓(-1)+2〓2+0〓(-1)=0,所以①②③正确.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解析】已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.求证:l⊥γ.证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.因为a,b与e不共面,故存在实数x,y,z,使c=x a+y b+z e.因为a⊥c,b⊥c,所以即因为α与β相交,所以a与b不共线,所以所以方程组有惟一解所以c=z e,即c∥e,从而有l⊥γ.11.(2014·上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=,M是AD 中点,N是B1C1中点.(1)求证:NA1∥CM.(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1.【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.所以B(,1,0),A1(,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M,N.(1)=,=.所以=,所以NA1∥CM.(2)方法一:=(,1,-1),=(0,1,1),=,所以·=0+1-1=0,·=1-1+0=0,所以D1B⊥MN,D1B⊥CM,又MN∩CM=M,所以D1B⊥平面A1MCN,又D1B⊂平面A1BD1,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.方法二:=(,0,0),=(,1,-1),=(0,1,1),=.设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),所以取n=(,1,-1).设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),所以取m=(0,1,1),因为n·m=(,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0,所以n⊥m,所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求证:平面GEF⊥平面PBC.【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0),故=3,所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC.【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0). 所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥.所以令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.=(-3,-2,-5),=(-1,4,-1),则·=-3〓(-1)-2〓4+5=0.所以⊥,故△ABC为直角三角形.又||≠||故选C.2.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s=( )A.(0,1,-1)B.±C.(0,,-)D.±(0,,-)【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=〒.3.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为·=0,·=0.所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,①·≠0;②AB⊥DC;③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0), =(-1,0,0)从而有·=0+0+1=1,故①错误,·=0,故②正确,·=0,故③正确,易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故④错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x 的值为.【解析】由题意得⊥.所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=.又x∈[0,π],所以x=或x=.答案:或6.(2014·南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点)则E点的坐标为. 【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.【解析】=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·银川高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M,N分别在面对角线AD′和面对角线BD上,并且=.求证:MN⊥AD.【证明】设正方体棱长为1,==λ,=a ,=b ,=c ,则=-=+-=+λ-λ=a +λ(b -a )-λ(b +c )=(1-λ)a -λc 且a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0, 所以·=b ·[(1-λ)a -λc ]=(1-λ)b ·a -λb ·c =0, 所以⊥,所以MN ⊥AD.【变式训练】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,M 为四边形ABCD 的中心.求证:对A 1B 1上任一点N,都有MN ⊥AP.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),P , M ,N(1,y,1).所以=,=.所以·=(-1)〓+0〓+〓1=0,所以⊥,即对A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP.8.(2014·广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为2的正方形,O 为AC 与BD 的交点,BB 1=,M 是线段B 1D 1的中点.(1)求证:BM ∥平面D 1AC. (2)求证:D 1O ⊥平面AB 1C.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则点O(1,1,0),D1(0,0,),所以=(-1,-1,),又点B(2,2,0),M(1,1,),所以=(-1,-1,),所以=,又因为OD1与BM不共线,所以OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,所以BM∥平面D1AC.(2)连接OB1.因为·=(-1,-1,)·(1,1,)=0,·= (-1,-1,)·(-2,2,0)=0,所以⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,所以D1O⊥平面AB1C.【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.【解题指南】思路一:EF⊥AB1,EF⊥B1C得EF⊥平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明∥n从而EF⊥平面B1AC.【证明】设=a,=b,=c,则=+=(+)=(+)=(+-)=(-a+b+c).因为=+=a+b,所以·=(-a+b+c)·(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(|b|2-|a|2+0+0)=0.所以⊥,即EF⊥AB1.同理,EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解1】设正方体的棱长为2,以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).所以·=(-1,-1,1)·(0,2,2)=(-1)〓0+(-1)〓2+1〓2=0,·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,所以EF⊥平面B1AC.【一题多解2】同一题多解1得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z),则·n=0,·n=0,即取x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),所以=-n,所以∥n,所以EF⊥平面B1AC.。

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．组合数及组合数的公式从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．

人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2— 2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3． 1 变化率与导数练习（ P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为 1 和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3℃／ h 的速率上升 . 练习（ P8）函数 h(t ) 在 tt 3 附近单调递增，在 t t 4 附近单调递增 . 并且，函数 h(t ) 在 t 4 附近比在 t 3 附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲” 1的思想.练习（ P9）函数 r (V )33V V 5) 的图象为(04根据图象，估算出 r (0.6) 0.3， r (1.2)0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 . 习题 1.1 A 组（ P10）1、在 t 0W 1 (t 0 ) W 1 (t 0 t) W 2 (t 0 ) W 2 (t 0 t ) 处，虽然 W 1 (t 0 ) W 2 (t 0 ) ，然而 t t. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1 t) h(1)3.3 .2、t 4.9 t 3.3，所以， h (1)t这说明运动员在 t 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降 .3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s(t) 在 t5 时的导数 .s s( 5t ) s ( 5 )t 10 ，所以， s (5)10 .tt因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／ s ，它在第 5 s 的动能E k13 102150 J.24、设车轮转动的角度为，时间为 t ，则kt 2(t0) .由题意可知，当 t0.8 时，2 . 所以 k25 ，于是25 t 2.88 车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在 t 3.2 时的导数 .( 3. 2 t ) (3. 2) 2 5，所以(3.2) 20.tt8 t 20因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s 1.说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f ( x) 在 x5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x5 附近单调递增 . 同理可得，函数 f ( x) 在 x 4 ， 2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减 .说明：“以直代曲”思想的应用 .6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x) 的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数 f(x) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f (x) 小于零，当 x 大于零时， f (x)大于零，并且随着 x 的增加， f (x) 的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 .说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 .习题 3.1B 组（ P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t) 的信息获得 s(t) 的相关信息，并据此画出 s(t ) 的图象的大致形状 .这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（ 1）的题意可知，函数f ( x) 的图象在点 (1, 5) 处的切线斜率为1，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（ 2）（ 3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 .说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 . 1． 2 导数的计算练习（ P18）1、 f (x) 2x 7 ，所以， f (2) 3， f (6) 5.2、（1） y1 ；（2） y2e x；x ln 2（3） y 10x46x ；（ 4） y 3sin x 4cos x ；（5） y1 sin x；（6） y1 .3 32 x 1习题 1.2 A 组（P18）S S( r r ) S( r )rr ，所以， S (r )lim (2 rr ) 2 r .1、2rrr 02、 h (t )9.8t 6.5 .3、 r (V ) 1 3334V 2.4、（1） y 3x2 1 ；（ 2）y nx n 1e x x n e x；x ln 2（ 3） y 3x2 sin x x3 cos x cos x ；（ 4）y 99(x 1)98；sin 2 x（ 5）y 2 x ；（ 6）y 2sin(2 x 5) 4x cos(2x 5). e5、f (x) 8 2 2x .由 f ( x0 ) 4 有 4 8 2 2x0，解得 x0 3 2 .6、（1） y ln x 1 ；（2） y x 1.7、 y x1.8、（1）氨气的散发速度 A (t ) 500 ln0.834 0.834t.（2） A (7) 25.5 ，它表示氨气在第7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少 .习题 1.2 B 组（P19）1、（1）（ 2）当 h 越来越小时， y sin( x h) sin x就越来越逼近函数 y cos x.h（ 3） y sin x 的导数为 y cos x.2、当 y 0 时， x 0 . 所以函数图象与x轴交于点 P(0,0) .y e x，所以 y x 0 1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y x .2、 d (t) 4sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为0.42 m／ h；上午 9:00 时潮水的速度为0.63 m／ h；中午 12:00 时潮水的速度为0.83 m／h；下午 6:00 时潮水的速度为 1.24 m／ h.1． 3 导数在研究函数中的应用练习（ P26）1、（1）因为f ( x) x2 2x 4 ，所以 f ( x) 2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x2 2x 4 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f ( x) x 22 x 4 单调递减 .（2）因为 f ( x) exx ，所以 f (x) ex1.当 f (x) 0 ，即 x0 时，函数 f ( x) e xx 单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 0 时，函数 f ( x) e xx 单调递减 .（3）因为 f ( x) 3x x 3，所以 f ( x)3 3x 2.当 f (x) 0 ，即 1 x 1时，函数 f ( x) 3x x 3单调递增；当 f (x) 0 ，即 x 1或 x 1 时，函数 f (x) 3x x 3单调递减 .（4）因为 f ( x) x3x 2x ，所以 f ( x) 3x22 x 1.当 f (x) 0 ，即 x1或 x 1时，函数 f ( x) x 3 x 2 x 单调递增；1 3当 f (x) 0 ，即 x 1时，函数 f (x)x3x2x 单调递减 .3、2注：图象形状不唯一 .3、因为 f ( x) ax 2bx c(a 0) ，所以 f (x)2ax b .（1）当 a 0 时，f (x)0 ，即 x b时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x)ax2bx c(a 0) 单调递减 .（ 2）当 a 0 时， 2af (x)0 ，即 xb 时，函数 f (x) ax2bx c(a 0) 单调递增；2af (x)0 ，即 xb时，函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 单调递减 .2a4、证明：因为 f (x)2x 3 6x27 ，所以 f (x) 6x212x .当 x (0, 2) 时， f ( x) 6x 212x 0 ，因此函数 f ( x) 2 x36x27 在 (0, 2) 内是减函数 .练习（ P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y f ( x) 的极值点，其中 x x 2 是函数 y f ( x) 的极大值点， x x 4 是函数 y f (x) 的极小值点 .2、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x1 .令 f ( x) 12x 1 0 ，得 x1 .12当 x1时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 1 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12121时， f ( x)有极小值，并且极小值为所以，当 x12f ( 1) 6 ( 1)21 249 . 12 121224（2）因为 f ( x) x327x ，所以 f ( x) 3x 227 .令 f ( x) 3x227 0 ，得 x3 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x3 或 x 3时；②当 f (x) 0 ，即 3 x 3 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,3) 3 ( 3,3) 3 (3, ) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当 x3 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 54；当 x 3时， f ( x) 有极小值，并且极小值为 54 .（3）因为 f ( x)6 12x x 3，所以 f (x) 12 3x 2.令 f ( x)12 3x20 ，得 x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 2 x 2 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( , 2) 2 (2,2) 2 (2, )f ( x)－ 0 ＋ 0 －f (x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当 x 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为 10；当 x 2 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 22（4）因为 f ( x) 3xx 3，所以 f ( x) 3 3x 2.令 f ( x) 3 3x20 ，得 x1 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0，即 1 x 1 时；②当 f ( x) 0 ，即 x 1 或 x 1时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,1) 1 ( 1,1) 1 (1, ) f ( x) － 0 ＋ 0 － f (x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当 x1 时， f (x) 有极小值，并且极小值为2 ；当 x 1时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 2练习（ P31）（1）在[0, 2]x1 时， f ( x) 2上，当6x x 2有极小值，并且极小值为12f ( 1)49 .1224又由于 f (0) 2 ， f (2)20 .因此，函数 f ( x) 6 x2x 2 在 [0, 2] 上的最大值是 20、最小值是49 .24（2）在 [ 4,] 上，当 x 3 时， f ( x) x327x 有极大值，并且极大值为 f ( 3) 54 ；当 x 3时， f ( x) x327x 有极小值，并且极小值为 f(3)54 ；又由于 f ( 4) 44 ， f (4)44 .因此，函数 f ( x) x327x 在 [ 4, 4] 上的最大值是 54、最小值是 54 .1 上，当 x 2时， f ( x)3有极大值，并且极大值为 f (2) 22 .（3）在[ 3],6 12x x 3又由于 f ( 1)55 ， f (3) 15 .3271,3] 上的最大值是 22、最小值是55.因此，函数 f ( x) 6 12x x 3在 [327（ 4）在 [2,3] 上，函数 f (x)3x x 3无极值 .因为 f (2)2， f (3)18 .因此，函数 f (x) 3xx 3在 [2,3] 上的最大值是 2 、最小值是 18 .习题 1.3 A 组（ P31）1、（1）因为 f ( x)2x 1，所以 f ( x) 2 0 .因此，函数 f ( x)2x 1是单调递减函数 .（2）因为 f ( x)xcos x ， x (0, ) ，所以 f(x)1 sin x 0 ， x (0, ) .22因此，函数 f ( x)xcos x 在 (0, ) 上是单调递增函数 .2（3）因为 f ( x) 2x 4 ，所以 f ( x)20 .因此，函数 f ( x) 2x 4 是单调递减函数 .（4）因为 f ( x) 2x34x ，所以 f ( x) 6x24 0 .因此，函数 f ( x) 2x34 x 是单调递增函数 .2、（1）因为 f ( x) x22x 4 ，所以 f ( x)2x 2.当 f (x) 0 ，即 x 1 时，函数 f (x) x 22x 4 单调递增 .当 f (x)0 ，即 x1时，函数 f ( x) x22x 4 单调递减 .（ 2）因为 f ( x) 2 x23x 3 ，所以 f ( x) 4 x 3 .当 f (x)0 ，即 x3 时，函数 f ( x) 2x23x3 单调递增 .4当 f (x)0 ，即 x 3 时，函数 f ( x) 2x 23x3 单调递减 .4（ 3）因为 f ( x) 3x x 3 ，所以 f (x) 3 3x20 .因此，函数 f ( x) 3x x 3是单调递增函数 .（ 4）因为 f ( x) x3x2x ，所以 f ( x) 3x22x 1.当 f (x)0 ，即 x1或 x1时，函数 f ( x)x 3x2x 单调递增 .3当 f (x)0，即 1x1时，函数 f (x) x 3x2x 单调递减 .33、（1）图略 .（2）加速度等于 0.4、（1）在 x x 2 处，导函数 yf ( x) 有极大值；（2）在 x x 1 和 x x 4 处，导函数 y f ( x) 有极小值；（3）在 x x 3 处，函数 y f (x) 有极大值；（4）在 xx 5 处，函数 y f (x) 有极小值 .5、（1）因为 f ( x) 6x2x 2 ，所以 f ( x) 12x 1.令 f ( x)12x 1 0 ，得 x 1 .12当 x1 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递增；12当 x1时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减 .12所以， x 1 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为12 f (1)6( 1 )21 2 49 .12121224（2）因为 f ( x) x312x ，所以 f ( x) 3x 212.令 f ( x) 3x212 0 ，得 x2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x)0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,) f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当 x2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为16；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为16 .（3）因为 f ( x) 6 12x x3，所以 f (x) 12 3x2.令 f ( x) 12 3x2 0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,2) 2 ( 2,2) 2 (2,)f ( x) ＋0 －0 ＋f (x) 单调递增22 单调递减10 单调递增因此，当 x 2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为22；当 x 2 时， f ( x) 有极小值，并且极小值为10 .（4）因为 f ( x) 48x x3，所以 f ( x) 48 3x2.令 f ( x) 48 3x2 0 ，得 x4 .下面分两种情况讨论：①当 f ( x) 0 ，即 x 2 或 x 2时；②当 f ( x) 0 ，即 2 x 2 时 .当 x 变化时， f (x) ， f (x) 变化情况如下表：x ( ,4) 4 ( 4,4) 4 (4, )f ( x) －0 ＋0 －f (x) 单调递减128 单调递增128 单调递减因此，当 x 4 时， f (x) 有极小值，并且极小值为128 ；当 x 4 时， f ( x) 有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在 [ 1,1]上，当 x 1时，函数 f ( x) 6x2 x 2 有极小值，并且极小值为47.12 24由于 f ( 1) 7， f (1) 9 ，所以，函数 f ( x) 6x2x 2 在 [ 1,1] 上的最大值和最小值分别为 9，47 .24（2）在 [ 3,3] 上，当 x 2 时，函数 f (x)x 312x 有极大值，并且极大值为 16；当 x 2 时，函数 f (x) x312x 有极小值，并且极小值为 16 .由于 f ( 3) 9， f (3) 9，所以，函数 f ( x) x 312x在 [ 3,3] 上的最大值和最小值分别为 16， 16 . （3）在 [ 1,1] 上，函数 f ( x) 6 12xx 3在 [ 1,1] 上无极值 .33由于 f ( 1)269 ， f (1) 5 ，327所以，函数 f ( x) 612x x 3在 [1,1] 上的最大值和最小值分别为269 ，3 275 .（ 4）当 x 4 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 128..由于 f ( 3)117 ， f (5)115 ，所以，函数 f ( x) 48x x 3在 [ 3,5] 上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题 3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f ( x)sin x x ， x (0, ) .因为 f ( x) cos x 1 0 ， x(0, )所以 f ( x) sin x x 在 (0, ) 内单调递减因此 f ( x)sin x xf (0) 0 ，x (0, ) ，即 sin x x ，x(0, ). 图略（ 2）证明：设 f (x)x x 2， x (0,1) .因为 f ( x) 1 2x ， x (0,1)所以，当 x(0, 1) 时， f ( x) 1 2x0 ， f (x) 单调递增，2f ( x) x x2f (0) 0 ；当 x1( x) 1 2x 0 ， f (x) 单调递减，( ,1) 时， f2f ( x) x x2 f (1) 0 ；又 f ( 1) 1 0 . 因此， x x2 0 ， x (0,1) . 图略2 4（ 3）证明：设 f ( x) e x 1 x， x 0 .因为 f ( x) e x 1 ， x 0所以，当 x 0 时，f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递增，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；当 x 0 时， f ( x) e x 1 0 ，f ( x)单调递减，f ( x) e x 1 x f (0) 0 ；综上， e x 1 x ， x 0 . 图略（ 4）证明：设 f (x) ln x x ， x 0 .因为 f ( x) 1 1 ， x 0x1所以，当 0 x 1 时， f (x) 1 0 ， f (x) 单调递增，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时， f (x) 11 0 ， f ( x) 单调递减，xf ( x) ln x x f (1) 1 0 ；当 x 1时，显然 ln1 1 . 因此， ln x x .由（ 3）可知， e x x 1 x ， x 0 .. 综上， ln x x e x， x 0 图略2、（ 1）函数f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“ ”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间 .（2）因为 f ( x)ax3bx2cx d ，所以 f (x) 3ax22bx c .下面分类讨论：当 a 0 时，分 a 0和a 0 两种情形：①当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x)3ax22bx c 0 ，即 x x 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递增 .②当 a 0 ，且 b23ac 0 时，设方程 f ( x) 3ax 22bx c 0 的两根分别为 x 1 , x 2 ，且 x 1 x 2 ，当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 x 1 x x 2 时，函数 f (x) ax3bx2cx d 单调递增；当 f ( x) 3ax22bx c 0 ，即 xx 1 或 x x 2 时，函数 f ( x)ax3bx2cx d 单调递减 .当 a 0 ，且 b 23ac0 时，此时 f ( x)3ax22bx c 0 ，函数 f ( x) ax3bx2cx d 单调递减1． 4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l x ，则这两个正方形的边长分别为x ， l x ，4 4两个正方形的面积和为Sf (x) ( x)2(lx ) 2 1 (2 x 22lx l 2) ， 0 x l .4 416令 f ( x)0 ，即 4x 2l0， xl .2当 x (0,l) 时， f ( x)0 ；当 x (l, l ) 时， f (x)0 .22因此， xl是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .2所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小 .22、如图所示，由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去xa四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x ，高为 x . （1）无盖方盒的容积 V (x) (a 2 x) 2x ， 0 x a.2（ 2）因为 V ( x) 4x 34ax2a 2x ，所以 V ( x) 12x 2 8ax a 2 .令 V ( x) 0 ，得 xa（舍去），或 x a.26当 x (0, a) 时， V (x) 0 ；当 x ( a , a) 时， V ( x) 0 .6 6 2 因此， x a是函数 V ( x) 的极大值点，也是最大值点 .6 所以，当 x a时，无盖方盒的容积最大 .63、如图，设圆柱的高为 h ，底半径为 R ，R则表面积 S 2 Rh 2 R 2由 VR 2h ，得 hV .R 2因此， S(R)2 R V2 R22V2 R 2，R0 .R 2Rh3V.令S(R)2V 4 R 0，解得 RR2当R (0,3V )时， S (R) 0 ；2当R (3V ,)时， S(R) 0.（第 3题）2因此，R3V 是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此时，2hV2 3V 2R .R 2 2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于 f (x)1n( x a i ) 22nn i 1 ，所以 f (x)( x a i ) .n i1令 f (x)0 ，得 x1 na i ，n i11n可以得到， xa i 是函数 f ( x) 的极小值点，也是最小值点 .n i 1这个结果说明，用 1nn 个数据的平均值a i 表示这个物体的长度是合理n i 1的，这就是最小二乘法的基本原理 .5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2，28矩形的面积为 ax 2m 2，矩形的另一边长为 ( a x) m8x 8因此铁丝的长为 l (x)xx 2ax (1 ) x 2a， 0 x8a2x 4 4x令 l ( x)12a 0 ，得 x4 8a（负值舍去） .4x 2当 x (0,8a ) 时， l ( x) 0 ；当 x ( 8a ,8a) 时， l ( x) 0 .44因此， x8a是函数 l (x) 的极小值点，也是最小值点 .4所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省 .46、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ，而收入 R 等于产量乘单价 .由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入 R q p q(251q)25q 1 q 2 ，88利润 L R C(25q 1 q 2 )(100 4q)1 q2 21q 100 ， 0 q 200 .8 8求导得 L1 q 214令 L0 ，即1q 21 0 ， q 84 .4当 q (0,84) 时， L0 ；当 q (84,200) 时， L0 ；因此， q 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大 ,习题 1.4 B 组（ P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x)(50 x 180)( x20) 1 x 270x 1360 ， 180x 680 .11010令 L ( x)700 ，解得 x350 .x5当 x (180,350) 时， L (x) 0；当 x (350,680) 时， L ( x) 0 .因此， x350 是函数 L ( x) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 .2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x) ( x a)(c cbx4) c(x a)(54x) ， a x 5b .bb 4令 L ( x)8c x 4ac 5bc 0 ，解得 x 4a 5b .b b8当 x (a,4a 5b ) 时， L (x) 0；当 x (4a 5b , 5b) 时， L (x) 0 .884当 x4a 5b是函数 L(x) 的极大值点，也是最大值点 .84a 5b元／件时，可获得最大利润 .所以，销售价为81． 5 定积分的概念练习（ P42） 8 .3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想 .练习（ P45） 1、 s is iv( i ) t [ ( i)22]1( i ) 2 12， i 1,2, , n .nn nnn nnn nv( i) t 于是 ss is ii 1i 1 i 1nn( i ) 2 12[]i 1n nn(1)2 1( n 1) 2 1 ( n ) 2 12nnnnn n13 [1 22n 2] 2n1 n( n 1)(2 n 1) 2n36111(1)(1) 2 3 n2n取极值，得s limn [ 1 v( i )] lim n [ 1 (1 1 )(1 1) 2] 5ni 1n n ni 1 3 n 2n 3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、22km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 . 练习（ P48）2 4 .x 3dx 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线 x 0 ， x 2 ， y 0 所围成的曲边梯形的面积S 4.习题 1.5 A 组（P50）1、（1） ( x100[(1 i 1) 1]10.495 ；21i 1100100（2） ( x500[(1 i 1) 1]10.499 ；21i 1500 50021000i 11（3） 1)dx[(1) 1]0.4995 .( x1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为： 181 12 1 7 13 1 0 1 40 （m ）；距离的过剩近似值为： 27 1 18 1 12 1 7 1 3 167 （ m ） .3、证明：令 f ( x) 1 . 用分点 ax 0 x 1 x i 1 x i x n b将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间，在每个小区间 [ x i 1, x i ] 上任取一点i (i 1,2,, n)nn作和式f ( i ) xi 1 i 1b a nb a ，bnb a从而1dx limani 1nb a ，说明：进一步熟悉定积分的概念 .4、根据定积分的几何意义，1 0 ， x 1 ， y 0 以及曲线1 x 2dx 表示由直线 xy1 x 2所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1 2dx.1 x 045、（1）1 .x 3dx14由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，所以定积分0 ， x1 ， y 0和x 3dx 表示由直线 x1曲线 y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数 .（2）根据定积分的性质，得10 1 1 1 0 .x 3dxx 3dxx 3dx114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0,1] 上 x30 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .1 4 15（3）根据定积分的性质，得x 3dxx 3dxx 3dx2 02114 4由于在区间 [ 1,0] 上 x30 ，在区间 [0, 2] 上 x30 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x轴1上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积 .说明：在（ 3）中，由于 x 3在区间 [ 1,0] 上是非正的，在区间 [0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间 [ 1,2] 分成 n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx 化1x 3dx21,0] 和区间 [0, 2] 上的符号都是不变的，再利为x 3dx ，这样， x 3在区间 [ 10 2x 3dx ，进而得到定积分2 3dx 的值 . 由此可用定积分的定义，容易求出x 3dx ，x11见，利用定积分的性质可以化简运算 .在（ 2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .习题 1.5 B 组（ P50） 1、该物体在 t 0 到 t6 （单位： s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 . 2、（1） v 9.81t .8i 1 1 8 9 （m ）；（2）过剩近似值：9.819.81488.29 i 12228i1 1 1 8 7 （ m ）不足近似值：9.8129.81468.67i 122（3）4 478.48（ m ）. 9.81tdt ；9.81tdt3、（1）分割在区间 [0, l ] 上等间隔地插入 n 1个分点，将它分成 n 个小区间：[0,l ] ， [ l , 2l ] ，,, ， [(n 2)l,l ] ， nn n n记第 i 个区间为 [(i 1)l , il ] （ i 1,2, n ），其长度为 n nxil (i 1)ll .n nn把细棒在小段 [0,l] ， [ l , 2l ] ，,, ， [ (n2)l ,l ] 上质量分别记作： nn nnm 1 , m 2 ,, m n ，n则细棒的质量 mm i .i 1（ 2）近似代替当 n 很大，即 x 很小时，在小区间 [(i1)l , il] 上，可以认为线密度 ( x) x2n n的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点i [(i1)l , i l]处的函数值 ( i )i 2. 于是，细棒在小段 [ (i 1)l, il ]上质量n n 2 l （ innm i ( i ) x i 1,2, n ） .（ 3）求和 nnnn2 l . 得细棒的质量mm i( i ) xi 1i 1i 1in（ 4）取极限n2llx 2dx ..细棒的质量 m limi ，所以 mni1n 01． 6 微积分基本定理练习（ P55）（1）50；（2）50；（3）4 25；（4）24；33 3（5）3ln 2 ；（6）1；（7）0；（8） 2.22说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题 1.6 A 组（ P55）1、（1） 40；（2）1 3ln2 ；（3）9ln 3 ln 2 ；322（4）17；（5）321；（ 6） e2e 2ln 2 .68说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 3cosx]032.2、 sin xdx [它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 . 习题 1.6 B 组（ P55）1、（1）原式＝ [ 1e 2x ]1e 21 ；（2）原式＝ [ 1sin 2x]41 3 ；2222624（3）原式＝ 2x36 .[ln 2 ]1 ln 22、（1） sin mxdx [ cosmx ]1[cos mcos( m )] 0 ；mm（2）cosmxdxsin mx1[sin m sin( m )] 0 ；mm（3）sin 2mxdx1 cos 2mx dx [ xsin 2mx ]；2 24m （4）cos 2mxdx1 cos2mx dx [ xsin 2mx ] . 32 24m 1、（）tgktg g kt t g g kt g0.2 ts(t )k (1e)dt [ k t k2e] 0k tk2ek249t 245e245 .（2）由题意得 49t 245e0.2 t245 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计 t 的取值范围 .根据指数函数的性质，当 t0时， 0e 0.2 t1 ，从而 5000 49t 5245 ，因此， 5000 t5245 .49 490.2 500070.2 524574949因此 245e3.36 10 ， 245e1.24 10 ，所以， 1.24 107245e0.2t3.36 107.从而，在解方程 49t 245e0.2t245 5000 时， 245e0.2t可以忽略不计 .因此， . 49t 245 5000 ，解之得 t5245 （ s ）.49说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 . 1． 7 定积分的简单应用练习（ P58）（1）32；（2） 1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 .练习（ P59）5(2t 3)dt [t23t]35221、 s（m ）.344x]0440 （J ）.2、 W(3 x 4) dx [ 3x22习题 1.7 A 组（P60） 1、（1）2；（2） 9.2、 W2kqk q .kq2 dr [ kq]abbarrab3、令 v(t)0 ，即 40 10t 0 . 解得 t4 . 即第 4s 时物体达到最大高度 .h 410t) dt [40t 5t2 ]04 80 （ m ）.最大高度为(404、设 t s 后两物体相遇，则t 1)dtt5 ，(3t210tdt解之得 t5 . 即 A, B 两物体 5s 后相遇 .51)dt[ t3t] 05130此时，物体 A 离出发地的距离为 (3t2（ m ）.5、由 Fkl ，得 10 0.01k . 解之得 k1000 .所做的功为 W0.100.15（J ）.1000ldl 500l26、（1）令 v(t )5 t 550 ，解之得 t 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止 .1 t（2） s (5 t [5 t 1 t 2 55ln(1 t )]100 55ln11 （m ）.55)dt101 t 2y习题 1.7 B 组（P60）1、（1） aa 2x 2 dx 表示圆 x 2y2a 2与 x 轴所围成的上aa2 x 2dxa 2半圆的面积，因此aaO21x（2） 1 1(x 1)2x] dx 表示圆 ( x 1)2y21与直线[（第 1（ 2）题）y x 所围成的图形（如图所示）的面积，12( x 1)2x]dx11 1 11 .因此， [ 14 2 4 2O2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的x方程为 y ax 2，则 h(b)24h2 .a ，所以 ah2 b从而抛物线的方程为4h 2y b 2x .bbby4h 24h 2 2 bh . （第 2 题）于是，抛物线拱的面积 S 2 2(h x 2)dx 2[hx x 3] 02b 3b 33、如图所示 .解方程组y x22y 3x得曲线 y x22 与曲线 y 3x 交点的横坐标 x 1 1 ， x 2 2 .12) 3x]dx2[3 x ( x 22)] dx 1 .于是，所求的面积为[( x 21GMm2 04、证明： Wdr [ GMm ]RR hGMmh .R hRrrR(Rh)第一章复习参考题 A 组（ P65）1、（1）3；（2） y 4 .2、（1） y2sin x cos x 2x ；（2） y 3(x2)2(3x 1)(5x 3) ；cos 2xx2（ 3） y2xln xln 22 ；（4） y2x 2x 4 .x(2 x 1)3、 F2GMm .r34、（1） f (t ) 0 . 因为红茶的温度在下降 .（2） f (3) 4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／ min 的速度下降 .图略 .5、因为 f ( x)3x 2，所以 f ( x)2 .3 3 x当 f ( x)2 0 ，即 x 0 时， f ( x) 单调递增；33x当 f ( x)2 0 ，即 x0 时， f ( x) 单调递减 .33x6、因为 f (x)x2px q ，所以 f (x)2x p .当 f ( x)2xp 0 ，即 xp 1 时， f (x) 有最小值 .2p1，得 p2 . 又因为 f (1)1 2 q 4 ，所以 q5 .由27、因为 f ( x) x( x c) 2x32cx2c 2x ，所以 f ( x) 3x24cx c2(3x c)( xc) .当 f (x)0 ，即 xc，或 x c 时，函数 f (x)x(x c) 2可能有极值 .3由题意当 x 2时，函数 f (x)x( x c) 2有极大值，所以 c0 .由于, c)c( c,c)x(c(c, )3 3 3f ( x)＋－ 0＋f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当 xc时，函数 f (x) x( x c) 2有极大值 . 此时，c2 ， c 6 .338、设当点 A 的坐标为 (a,0) 时， AOB 的面积最小 .因为直线 AB 过点 A( a,0) ， P(1,1)，所以直线 AB 的方程为y0 xa，即 y 1( x a) .x0 1 a1 a当 x 0 时， ya ，即点 B 的坐标是 (0, a) .a 1a 1 因此， AOB 的面积 S AOBS( a) 1 a aa 2.2 a 1 2(a 1)令 S (a)1 a22a0 .0 ，即 S (a)2 ( a 1)2当 a 0 ，或 a2时， S (a) 0 ， a 0 不合题意舍去 .x (0, 2) 2 (2, )由于f ( x)－＋f ( x)单调递减极小值单调递增所以，当 a 2 ，即直线 AB 的倾斜角为 135 时， AOB 的面积最小，最小面积为2. 9、D.10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为 ( x 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m.所以，长方体容器的高为 14.8 4x 4( x0.5) 12.8 8x2x .43.2设容器的容积为 V ，则4V V (x) x( x0.5)(3.2 2x)2x32.2x21.6x ， 0x 1.6 .令 V ( x) 0 ，即 6x 24.4x 1.6 0 .所以， x4 （舍去），或 x 1 .15当 x (0,1) 时， V (x) 0 ；当 x (1,1.6) 时， V ( x) 0 .因此， x1 是函数 V (x) 在 (0,1.6) 的极大值点，也是最大值点 .所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3.11、设旅游团人数为 100 x 时，旅行社费用为 y f ( x) (100 x)(1000 5x)5x2500 100000 (0x 80) .令 f ( x)0 ，即 10 x500 0 ， x 50 .又 f (0) 100000 ， f (80) 108000 ， f (50)112500 .所以， x50 是函数 f (x) 的最大值点 .所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多 .12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大 . 因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为623.7，x打印面积 S(x) ( x2 2.54)(623.72 3.17)x3168. 3 9 6655.x 98.38 .9 0 7 2 x6. 3 4 2 ， 5.08x令 S ( x) 0 ，即 6.34 3168.396 0 ， x 22.36 （负值舍去），623.727.89 .x2 22.36 x 2 2. 3是6函数 S(x) 在 (5.08,98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm 时，可使其打印面积最大 .13、设每年养 q 头猪时，总利润为 y 元 .则 y R(q) 20000 100q 1 q2 300q 20000 (0 q 400, q N ) .2令 y 0 ，即q 300 0 ， q 300 .当 q 300 时， y 25000 ；当 q 400 时， y 20000 .q 300 是函数 y( p) 在 (0,400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000 元.14、（1）2 3 2 ；（2） 2e 2 ；（3）1；（ 4）原式＝2 cos2 x sin 2 x dx 2 (cos x sin x) dx [sin x cos x]2 0 ；0 cos x sin x 0（ 5）原式＝ 2 1cos x dx [x sin x]02 2 .0 2 2 415、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 2 2 .17、由 F kl ，得 0.049 0.01k . 解之得 k 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为W4.9ldl 4.9 0.10.1 20.196 （ J）第一章复习参考题 B 组（ P66）1、（1）b (t )1042 103 t .所以，细菌在t 5 与 t 10 时的瞬时速度分别为 0 和104.（2）当 0 t 5 时， b (t) 0 ，所以细菌在增加；当 5 t 5 5 5 时，b (t) 0 ，所以细菌在减少 .2、设扇形的半径为r，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S 1 r 2， l2rr ，所以l 2 .211 ( lr 1 (lrl .S r22) r 2 2r 2 ) ， 0 r22 r2 2令 S0 ，即 l 4r0 ， rl，此时为 2弧度.4rl 是函数 S(r ) 在 (0, l) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.4 l 2所以，扇形的半径为、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大 .43、设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V ，那么 r 2h2R 2. 因此， V1 r2 h 1 ( R2h 2 )h 1 R 2h1 h 3， 0 h R .3 33 3令 V1 R2h20 ，解得 h3R .33容易知道， h3 R 是函数 V (h) 的极大值点，也是最大值点 .3所以，当 h3R 时，容积最大 .3把 h3R 代入 r2h2R 2，得 r6R .33由 R2 r ，得2 6.3所以，圆心角为2 6 时，容积最大 .34、由于 80 k 102，所以 k4 .54 x 220 20设船速为 x km ／ h 时，总费用为 y ，则 y4805x x 1 6x9600x 0x ，0 ，即 169600令 y0 ， x 24 .x2容易知道， x 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .当 x 24 时， (16 249600 ) (20) 941（元／时）2424所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元. 5、设汽车以 x km ／ h 行驶时，行车的总费用 y 390x213050 x 100x (3)14 ，360x令 y 0 ，解得 x53 （km ／ h ） . 此时， y 114 （元）容易得到， x 53 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 .因此，当 x 53 时，行车总费用最少 .所以，最经济的车速约为 53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114 元.4e xdx 0xdx 4e x ]ex 04e4e 226、原式＝2ee xdx [ 2.27、解方程组y kxy xx 2得，直线 ykx 与抛物线 y x x 2交点的横坐标为 x 0 ， 1 k .1x 2)dx[x 2x 3]101 1 1 . 抛物线与 x 轴所围图形的面积 S( x2323 6S 1 k1k由题设得 0 ( x x 2)dxkxdx21 k3x2[1k x 2x]10 k0 (xkx) dx23(1 k)3.6又因为 S1 ，所以 (1 k)31. 于是 k134 .622说明：本题也可以由面积相等直接得到1 k kx) dx 1 k 1 k 2)dx ，由此求出 k 的值 . 但计算较为烦琐 .(x x2kxdx ( x x 0新课程标准数学选修2— 2 第二章课后习题解答第二章推理与证明2． 1 合情推理与演绎推理练习（ P77）1、由 a 1 a 2 a 3 a 4 1，猜想 a n 1.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .3、设VO PQR和VO PQ R分别是四面体 O PQR 和OPQ R 的体积，1 1 12 2 21 1 12 22VO PQ 11R 1OP OQ OR则111 .VO PQROP 2 OQ 2 OR 22 2 2练习（ P81）1、略 .2、因为通项公式为 a n 的数列 { a n } ，若an 1p ，其中 p 是非零常数，则 { a n } 是等比数列； ,,,,,,,,大前提a n又因为 cq 0 ，则 q0，则an 1cqn 1 q ； ,,,,,,,,,,,小a ncqn前提所以，通项公式为 acq n(cq 0) 的数列 { a n } 是等比数列 .,,,,,,,,n结论3、由 AD BD ，得到 ACD BCD 的推理是错误的 . 因为这个推理的大前提是 “在同一个三角形中，大边对大角” ，小前提是“ AD BD ”，而 AD 与 BD 不在同一个三角形中 .习题 2.1 A 组（P83）1、 a n 2 (n N ) .n 1 2、 F V E 2 .3 、当 n 6 时， 2n 1(n 1)2；当 n7 时， 2n 1(n 1)2；当 n 8 时，2n 1(n 1)2(n N ) .4、1 11n 2（ n 2 ，且 nN ） .A 1 A 2A n(n 2)5、 bb 12 b n bb 12 b 17 n （ n 17 ，且 n N ）.A D6、如图，作 DE ∥ AB 交BC 于 E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为 AD ∥BE ，AB ∥DE .所以四边形 ABED 是平行四边形 .B EC（第 6题）。

人教A版高中数学选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习习题(含答案解析)

选修2-2 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B.163 C.103 D.133 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 [答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32 [解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. [解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

高中数学第三章《空间向量与立体几何》同步练习二新人教A版选修2-1

空间向量与立体几何一选择题：1. 下列说法中正确的是（B ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ D ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣3. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ D ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列说法正确的是（ D ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 5.以下四个命题中正确的是（ C ）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{→a ,→b ,→c }为空间向量的一组基底，则{→a +→b ,→b +→c ,→c -→a }构成空间向量的另一组基底C.△ABC 为直角三角形的充要条件为→AB ·→AC =0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底6. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量→A 1B 1模相等的向量有(C ) A ．7个 B ．3个C ．5个D ．6个7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②③④8. 对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( B ) A 若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B 若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C 若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D 若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c9.P 为正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心则→PA +→PB +→PC +→PD +→PE +→PF 等于（ C ） A.→PO B.3→PO C.6→PO D.→0 10. 下列说法正确的是（ A ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=11. 将边长为1的正方形ABCD 沿角线BD 折成直二面角，若点P 满足→BP =12→BA -12→BC +→BD ,则|→BP|的值为（ D ）A.32B.2C.10-24D.9412.已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ A ）A. 11-22a b c -+；B. 11-22a b c +；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.13. 下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的个数是（ B ）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 414. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ A ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 15. 下列命题中：①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c •=•，则b c = ③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ C ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e17.若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件18已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ C ）A. D. 19.若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ A ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >20.已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（ B ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-21. 已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( D ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能22正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( C )A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°23设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足A B →·A C →＝0，A C →·A D →＝0，A B →·A D →＝0，则△BCD 是( B )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定24.平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为 ( D )A.13B.43C.33D.2325. 已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ D ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65726 若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 27.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．528 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝a 与b 之间的夹角,a b <>为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对29 .已知()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（D ）A. .1B. 15C. 35D. 7530.若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ C ）A ．19B ．78-C ．78D ．141931.空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（D ）A ．21 B ．22 C ．－21D ．032.已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ C ） (A)．131(,,)243(B)123(,,)234(C)448(,,)333(D)447(,,)333二填空题：33．已知ABCD ,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点D 的坐标为_____.（1，-1,2） 34.Rt ABC 中，,∠BAC=90°, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则x=______2 35已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则AB 在坐标平面yoz 上的射影的长度为_____101 36已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于________． 3 37已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝____138．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________． 139.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，且满足M N →＝xAB →＋yAD →＋zAP →则实数x ，y ，z 的值分别为________．-1,0,1240．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________→0.41．已知|a|＝32，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.11642．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。

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第3章 3.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则( )
A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直
B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直
C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直
D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直
解析： ∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，
a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.
b ·
c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，
∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c .
∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3.
答案： A
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
解析： |a |＝22＋42＋x 2＝6，
∴x ＝±4，
又∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，
∴y ＝－1－12
x ， ∴当x ＝4时，y ＝－3，
当x ＝－4时，y ＝1，
∴x ＋y ＝1或－3.
答案： A
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )
A ．AC
B ．BD
C ．A 1
D D ．A 1A 解析：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，
则C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，E (1,1,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)CE →＝(1，－1,2)，AC →＝(－2,2,0)DB
→＝(2,2,0)，A 1D →＝(2,0,2)，AA 1→＝(0,0,2).CE →·AC →＝－2－2＋0＝－4≠0，
∴CE 与AC 不垂直，CE →·DB →＝1×2＋(－1)×2＋2×0＝0，
∴CE ⊥BD .故选B.
答案： B
4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32
D.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，3，－32 解析：要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA →与平面的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0
即可，
因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)
＝5≠0，故排除A ；
对于选项B ，PA →＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确，同理可排除C ，D.故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E ，F ，G 分
别是CD ，DA
和AC 的中点，则平面BEF 与平面BDG 的位置关系是________．
解析：由AB ＝BC ，G 是AC 中点得 BG ⊥AC
由CD ＝DA ，G 是AC 中点得DG ⊥AC
∴AC ⊥平面GBD
又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面GBD
∴平面BEF ⊥平面BDG
答案：垂直
6.已知正四棱锥(如图)，在向量PA →－PB →＋PC →－PD →，PA →＋PC →，PB →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →中，不能作为底
面ABCD 的法向量的向量是________．
解析： PA →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋PC →－PD →＝PD →－PD →＝0，
而PA →＋PC →＝2PO →，又PO →⊥面ABCD 知可以，
同样PB →＋PD →也可以，PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →当然也可以．
答案： PA →－PB →＋PC →－PD →
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，
AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．
证明：CM ⊥SN .
证明：设PA ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，0. (1)CM →＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，－1，12， SN →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－12，0，因为CM →·SN →＝－12＋12
＋0＝0，所以CM ⊥SN .
8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
(1)证明：CD ⊥AE ；
(2)证明：PD ⊥平面ABE .
证明：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角
坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，
则AC ＝1，CD ＝33，AD ＝23＝233 A (0,0,0)；B (1,0,0)；C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，
32，0；D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0 P (0,0,1)；E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12；CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0； PD →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，233，－1 (1)∵CD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，34，12＝－18＋324＝0 ∴CD →⊥AE →
(2)∵PD →·AB →＝0
PD →·AE →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，233，－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，34，12＝0 ∴PD ⊥AB ，PD ⊥AE
又AB ∩AE ＝A
∴PD ⊥平面ABE .
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
解析：如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直
角坐标系．
设正方体的棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，0，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)．设CP →＝λCC 1→＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)，DE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，0，DC 1→＝(0,1,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面C 1DE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DE →＝0n ·DC 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋y ＝0y ＋z ＝0. 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)． A 1B 1→＝(0,1,0)，B 1P →＝CP →－CB 1→＝(0,0，λ)－(1,0,1)＝(－1,0，λ－1)．
设m ＝(x ′，y ′，z ′)是平面A 1B 1P 的法向量，
则⎩⎨⎧ m ·A 1B 1→＝0m ·B 1P ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＝0－x ′＋λ－z ′＝0.
令z ′＝1，则x ′＝λ－1， ∴m ＝(λ－1,0,1)，要使平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，只须使n ·m ＝0，
∴2(λ－1)＋1＝0.∴λ＝12
. ∴点P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。