(完整版)异面角,线面角,二面角

B 1

D 1

A D

C 1

B

C

A 11.如图,在长方体ABCD-A 1

B 1

C 1

D 1中 ，B 1C 和

C 1

D 与底面所成的角分别为60ο和45ο

，则

异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为

(A) 46

(B).36 (C).62 (D).63

2.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为

(A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο

3.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο

,BC

是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο

角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 46． 4. .如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角;30 (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B

所成的角.30

D

A

B

P

C

A

C

B

A

D

C 1

D 1A 1B 1

C B

1．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．

（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；

（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．

1、证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，

即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ． （2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ． △BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角． 又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，

由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．

设1BC =，则3CE =，12DE =，1

3

2cos 33

DE CED CE ∠===

． 2．在四面体ABCD 中，DA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥CD ，AF ⊥DB ．求证：

（1）EF ⊥DC ；（2）平面DBC ⊥平面AEF ． （3）若a AC a AB a AD 3,,===，求二面角A DC B --的正弦值

2，证明 如图1-83．（1）∵AD ⊥面ABC ．∴AD ⊥BC ．又∵∠ABC ＝90°．∴BC ⊥AB ．

∴BC ⊥面DAB ．∴DB 是DC 在面ABD 内的射影．∵AF ⊥DB ．∴AF ⊥CD （三垂线定理）．

∵AE ⊥CD ．∴CD ⊥平面AEF ．∴CD ⊥EF ． （2）∵CD ⊥AE ，CD ⊥EF ．∴CD ⊥面AEF ．∵CD

面BCD ．∴面AEF ⊥面BCD ．

（3）由EF ⊥CD ，AE ⊥CD ∴∠AEF 为二面角B-DC-A 的平面

又∵AF ⊥DB ，AF ⊥CD ，BD∩CD＝D ∴AF ⊥平面DBC ，

3．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的大小。

D C

F H

B

A

E

O E

D

C

F

B

A

E D'B'C'A'

O D A

C B 4、设A 在平面BC

D 内的射影是直角三角形

BCD 的斜边BD 的中点O

，

1,AC BC CD ===，

求（1）AC 与平面BCD 所成角的大小； （2）二面角A BC D --的大小；

（3）异面直线AB 和CD 所成角的大小。 5、如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=，求：（1）AO 与A C ''所成角；

（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角

解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠ ∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）

在Rt AOC ∆中，

,2

OC AC =

=∴30OAC ∠= （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD

∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角

在Rt OAE ∆中，1,22OE AE =

== ∴tan 5

OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为90