2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期1.1、探索勾股定理导学案5
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)
1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕 此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教学设计2
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容，主要让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
教材通过生动有趣的故事引入，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，探索并理解勾股定理。
这一节内容既有利于培养学生的动手操作能力，也有利于培养学生的探究能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，对于证明勾股定理，他们可能还没有接触过。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过实践活动，自己去探索并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学的探究过程。
2.能够通过实践活动，探索并证明勾股定理。
3.培养学生的动手操作能力和探究能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实践活动，探索并证明勾股定理。
2.教学难点：如何引导学生自己发现并证明勾股定理。
五. 教学方法1.启发式教学法：通过问题引导，激发学生的思考。
2.实践活动法：让学生通过实际操作，自己去探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备一些直角三角形和直角三角形的斜边，让学生在课堂上进行测量。
2.准备一些相关的多媒体教学资料，帮助学生更好地理解勾股定理。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个有趣的故事，引出勾股定理。
让学生了解到，勾股定理是我国古代数学家毕达哥拉斯发现的。
2.呈现（5分钟）呈现一组直角三角形，让学生进行测量，观察并猜想勾股定理。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组选取一个直角三角形，用尺子测量其三条边的长度，然后计算出斜边的平方是否等于两个直角边的平方和。
通过实践活动，让学生自己验证勾股定理。
4.巩固（10分钟）让学生用自己的语言，描述一下勾股定理的内容。
并通过一些例子，让学生运用勾股定理进行计算。
5.拓展（10分钟）让学生思考，如果一个直角三角形的两条直角边长度相等，那么斜边的长度会是多少？引导学生进一步探究勾股定理的变体。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。
本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。
教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。
但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。
2.难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。
2.准备直角三角形模型、拼图等教具。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。
同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。
同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。
2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期1.1、探索勾股定理教学设计8
1.1.3 探索勾股定理（三）教学设计教学目标：知识与技能目标：1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系；2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
过程与方法目标：1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。
情感与态度目标：1.通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。
教学重点：1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
教学难点：1．利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。
2．利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学准备：剪刀、双面胶、硬纸板、直尺（或三角板）、铅笔、多媒体课件。
教学过程设计本节课设计了七个教学环节第一环节验证方法的收集与整理第二环节验证过程的分析与欣赏第三环节尝试拼图，验证定理第四环节练习提升第五环节勾股定理的文化价值第六环节小结反思第七环节课题拓展第一环节验证方法的收集与整理<一>课前自主探究活动具体的做法是：请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多地寻找和了解验证勾股定理的方法，并填写探究报告：《勾股定理证明方法汇总》意图：勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期1.1、探索勾股定理教案16
1.1.1探索勾股定理1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题. 教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法.勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等. 课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸. 教学过程：一、 创设情境，引入新课同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手.这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量.不知道结果如何？学生纷纷回答.下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.(1)、根据测量， 那么他们将要少走多少米？（2）、分别以这三条边为边作三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？（3）、根据课前预习，试计算在直角三角形ABC 中，三条边之间有什么样的数量关系？【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯. 效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系.CB A建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】那么请同学们猜想，刚才得到的数量关系，在所有的直角三角形都是适用的吗？今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）二、探究新课过程：1、探索发现勾股定理⑴做一做：①拿出准备的网格纸，画出一些格点三角形，分别测量它们的三条边，结合引例看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流.②上面猜想的关系是否适用于全部的直角三角形？【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.困扰：此处的问题问的好像不太合适，到底该如何问才能发挥出更好的引导作用？与课本上一样？】⑵探究与发现：①观察下面两幅图：②填表：_A_B_C _C_B_A③分析填表的数据，你发现了什么？【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】学生通过分析数据，归纳出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。
北师大版-数学-八年级上册-数学1.1探索勾股定理 导学案
1.1探索勾股定理学习目标、重点、难点【学习目标】1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程．2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系．【重点难点】1、 了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题．2、 勾股定理的发现．知识概览图勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2=c 2a 2=c 2-b 2 b 2=c 2-a 2新课导引【问题链接】 如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示意图，观察图中阴影部分，很显然，两个小正方形P ，Q 的面积之和等于大正方形R的面积，即AC 2+BC 2＝AB 2，这说明在等腰直角三角形ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方．在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?【点拨】 对于任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这就是本节要学习的．教材精华知识点1 勾股定理如图1-l 所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：C 的面积＝B 的面积+A 的面积．现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2+b 2＝c 2．拓展 (1)由勾股定理的基本关系式a 2+b 2＝c 2还可得到一些变形关系式，如：a 2＝c 2-b 2＝(c +b )(c -b )，b 2＝c 2-a 2＝(c +a )(c -a )等．(2)在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：①在钝角三角形中，三边长分别为a ，b ,c ，c 为最大边长，则a 2+b 2＜c 2；②在锐角三角形中，三边长分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2＞c 2．直角三角形→勾股定理 变式知识点2 勾股定理的证明如图1-2所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形．(1)如图l-2(1)所示，S正方形ABCD＝(a+b)2＝c2+4×12ab，所以a2+b2＝c2．(2)如图l-2(2)所示，S正方形EFGH＝c2＝(a-b)2+4×12ab，所以c2＝a2+b2．如图1-3所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形．S梯形ABCD＝()2a b a b ++（）＝2×12ab+12c2，所以a2+b2＝c2．规律方法小结(1)数形结合思想：把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决．(2)方程思想：列方程解决问题．(3)割补方法：由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，．课堂检测基础知识应用题1、在△ABC中，∠C＝90°．(1)若a＝8，b＝6，求c；(2)若c＝41，b＝40，求a．2、如图1-4所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实际上到达的地点C偏离欲到达地点B24 m，结果他在水中实际游了40 m，求该河流的宽度．综合应用题3、有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?4、如图1-9所示，A，B两点都与平面镜相距4米，即AC＝BD＝4米，且A，B两点相距6米，即AB＝6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点的距离．5、如图1-10所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么买这块地毯需花多少元?探索创新题6、在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1-12（1）所示，根据勾股定理，得a2+b2=c2；若△ABC不是直角三角形，如图1-12（2）(3)所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2大小关系，并说明你的结论．体验中考1、已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为．2、如图l-13所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高线，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝cm．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用．解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2．(1)∵a2+b2＝c2，∴c2＝a2+b2＝82+62＝64+36＝100，∴c＝10．(2)∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2-b2＝412-402＝(41+40)(41-40)＝81，∴a＝9，规律．方法已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是弄清已知什么边长，求什么边长，用平方和还是用平方差．若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便．2、解：如图1-4所示，∵∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AB2＝AC2-BC2，即AB2＝402-242＝1024，∴AB＝32，∴该河流的宽度为32 m．3、分析由于木棒长为70 cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．理由如下：如图l-6所示，连接A1C1，AC1，在Rt△A1B l C l中，A1C12＝A1B l2+B1C12＝502+302＝3400．在Rt△AA1C1中，AC l2＝AA l2+A l C12＝402+3400＝5000，∵5000＞702，∴AC1＞70(cm)．∴70cm长的木棒能放入这个木箱中．【解题策略】解决此题的关键在于明确AC l的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．解：作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于O点，则O点就是光的入射点，连接OB．∵AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD＝12AB＝3米．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，∴OB2＝32+42＝25，∴OB＝5(米)．即B点与入射点的距离是5米．【解题策略】勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．5、分析从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC的长，竖直方向的长度和为BC的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC的长，再求AC+BC即可．解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16，∴AC＝4(米)．∴地毯长度为AC+BC＝4+3＝7(米)，∴地毯的总面积为7×2＝14(平方米)，∴需花30×14＝420(元)．6、解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；若△ABC为钝角三角形(∠C为钝角)，则有a2+b2＜c2．理由如下：(1)当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a-x.根据勾股定理，得b2-x2＝c2-(a-x)2，即b2-x2＝c2-a2+2ax-x2,∴a2+b2＝c2+2ax．∵d＞0，x＞O，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．(2)当△ABC是钝角三角形时(∠C为钝角)，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD＝x，则BD2＝a2-x2．根据勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2，即b2+2bx+x2+a2-x2＝c2，∴a2+b2+2bx＝c2．∵b＞0,x＞0,∴2bx＞0．∴a2+b2＜c2．【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想．体验中考1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理，不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论．①当第三边为斜边时，32+42＝52，第三边长为5；②当4为斜边长时，42-32＝7故填52、分析在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝12BC＝12×6＝3(cm)．在Rt△ABD中，AD2＝AB2-BD2＝52-32＝16，∴AD＝4(cm)．故填4．规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解．。
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第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理一、问题引入：（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = . 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1） （2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A.6B.8C.10D.12ABCCBA257三、例题展示：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b=4，则c=_____________； （2）若a =9，c=15，则b=______________；例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）四、课堂检测：1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4， c =10，则a= ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （π不取近似值）第4题图5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗一、问题引入：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 102、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？3、如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.4、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.二、基础训练：1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，9C. 5，12，13D. 5，11，122、下列几组数中，为勾股数的是（）A. 4，5，6B. 12，16，20C. 10，24，26D. 2.4，4.5，5.13、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D .都有可能三、例题展示：例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.四、课堂检测：1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（）A. 7，8，10B. 7，24，25C. 12，35，37D. 13，11，102、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（2a＋2b－2c）＝0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A. b2 =c2－a2B. a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C =∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶44、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形.5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 .6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c根据条件判断△ABC的形状.第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a ，b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：1、在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 22、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)三、例题展示：例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？π的值取3)。
八年级数学上册 1.1 探索勾股定理教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数学教案
课题：1.1 探索勾股定理（1）教学目标：1．引导学生经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．引导学生探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学难点：勾股定理的发现．课前准备：多媒体课件、三角板．教学设计：一、创设情境，自然引入引导语：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．师：（板书课题）探索勾股定理（1）设计意图：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题．学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了．这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．二、设问质疑，合作探究探究一师：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？等腰直角三角形都有上述性质吗？观察下图，并回答问题：（1）观察图1．（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有______个小方格，即A的面积是______个单位面积；正方形B中含有______个小方格，即B的面积是______个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是______个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？A的面积（单位面积） B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）图1图2图3生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C．师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．探究二师：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．预设：生1：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．生2：正方形C的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即5×5-4×12×2×3=13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即4+9=13．生3：用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×12×3×5=64-30=34．所以正方形A′的面积＋正方形B′的面积＝正方形C′的面积．师：三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？在同学的交流回答的基础上，师板书：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．设计意图：. 使学生感受方法的技巧获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用．数学小史：（投影出示）师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在召开的国际数学家大会的徽标的图案如右图证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．设计意图：此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光．?225100三、思维训练，应用新知例1（投影出示）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：设树倒下部分的面积为x m∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形 ∴222912x=+225811442=+=x∴15=x （m ）∴大树在折断前的高度为：24915=+(m)例2 （投影出示）小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？解：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．设计意图：例题学习其目的是巩固新知，通过老师的扳演，强调格式步骤．通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.基础题型练习：1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）2．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从 一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米3．如图，在△ABC 中，cm AC AB 10==，AC BD ⊥于点D 且cm CD 2=，则BC 的长是 （ ）A ．cm 6B ．cm 5C ．210cmD ．8cm4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是cm 2．设计意图：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来. 在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼． 四、交流心得，学习反思 1．你这节课的主要收获是什么？2．在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结 的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧 解难让学生对知识形成正向迁移 .从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯. 五、达标检测，反馈矫正1.已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有．（填序号）2．如图，△ABC 是等边三角形，cm AB 4=，则BC 边上的高AD 等于．3. 如图，某某路与某某路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在某某路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为第2题图 第3题图DA7cmCB第4题图A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m4．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长的平方为（ ） A ．25B ．7 C ．5 D ．25或75．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．设计意图：本节课主要任务是探索勾股定理，所以检测设计三个较为简单的题目，可以提升学生学习信心，培养学生的学习兴趣．及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解. 六、布置作业，落实目标 必做题：P 7 第1、2、3 题．选做题：印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．注:花离原位二尺远指两花之间的距离.设计意图：Ａ组题目为必做题，一方面可以了解学生对本节课所学内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 ,分层次布置作业，使不同层次的学生得到不同的发展．第5题图第2题图第3题图。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。
本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。
教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。
2.难点：勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。
3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。
3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。
然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。
每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。
学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理教学设计
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等环节，引导学生自主发现勾股定理，培养其观察、分析、解决问题的能力。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高沟通能力和团队协作精神。
3.运用数形结合、分类讨论等数学方法，培养学生的逻辑思维和解决问题的策略。
2.学生通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.教师给出勾股定理的数学表达式：a² + b² = c²，并解释其含义。
4.教师讲解勾股定理的证明过程，如欧几里得的证明方法、我国古代数学家的证明方法等。
讲授新知环节旨在让学生掌握勾股定理的基本概念，理解其数学表达和证明过程。
（三）学生小组讨论，500字
c.三边长分别为9cm、12cm、15cm。
2.提高题：
（1）已知直角三角形的斜边长度为13cm，一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长度。
（2）一个直角三角形的两直角边分别为x和y（x < y），且满足x² + y² = 41，求这个直角三角形的斜边长度。
3.拓展题：
（1）在直角三角形中，如果将两直角边的长度分别增加1，斜边的长度会增加多少？
1.激发学生的学习兴趣，通过生动有趣的实例，引导学生主动参与课堂活动，提高其学习积极性。
2.关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
3.加强对学生逻辑思维的训练，培养其运用数学知识解决问题的能力。
4.注重知识间的联系，帮助学生构建完整的知识体系，提高其综合运用能力。
三、教学重难点和教学设想
北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理教学设计
一、教学目标
北师大版八年级上数学1.1-探索勾股定理(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级上数学1.1-探索勾股定理（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级上数学第一章《三角形》的第一节“探索勾股定理”。教，让学生发现并理解勾股定理。
2.证明勾股定理：介绍并引导学生掌握勾股定理的几种证明方法，如几何拼贴法、代数推导法等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长问题的有力工具，有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个3-4-5的直角三角形，我们可以通过勾股定理来验证这个三角形的边长关系。
在新课讲授环节，我重点解释了勾股定理的概念，并通过案例让学生看到了定理的实际应用。在讲解难点时，我使用了多种证明方法，但感觉学生们在理解上还是有困难。这可能是因为他们对几何图形的观察和分析能力还不够强，我需要在这方面多下一些功夫。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作都表现得不错，但我注意到有些小组在解决问题时还是有些迷茫。我意识到，在今后的教学中，我应该多设计一些实际操作的环节，让学生在实践中掌握定理的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，你们在踢足球时，如果球门是一个直角三角形，你们是否想过如何计算球门的大小？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
北师大版八年级上册初中数学教学设计1探索勾股定理
4.强调勾股定理在实际生活中的重要性，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
5.布置课后作业，要求学生运用勾股定理解决实际问题，巩固课堂所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学的勾股定理，选取生活中的一个直角三角形实例，如窗户、楼梯等，测量并计算出其三条边的长度，验证勾股定理的正确性。
4.能够运用勾股定理推导出相似直角三角形的性质，如比例关系等。
（二）过程与方法
1.通过实际操作，引导学生观察、思考、分析勾股定理的规律，培养学生发现问题、解决问题的能力。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在合作中学习，提高学生的沟通能力和团队协作精神。
3.设计丰富多样的练习题，使学生在练习中巩固知识，提高运算能力和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级学生已具备一定的数学基础，掌握了直角三角形的基本性质，能够进行简单的几何计算。在此基础上，探索勾股定理，学生需要运用已学知识，通过观察、思考、实践，发现勾股定理的规律，并学会运用勾股定理解决实际问题。
学生对勾股定理的认识可能初步来源于生活实际，如建筑、测量等领域，但对勾股定理的严谨证明和应用可能尚不熟悉。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
3.学生可能会提到直角三角形的边长关系，如两条直角边的平方和等于斜边的平方。教师给予肯定，并引出本节课的主题——勾股定理。
（二）讲授新知，500字
1.教师介绍勾股定理的概念，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.通过动画演示或实物的形式，展示勾股定理的证明过程，如代数法、几何法等，使学生直观地理解定理的原理。
2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期1.1、探索勾股定理学案20
1.1 探索勾股定理第一版块：（前奏版）第一环节：课前热身提出问题：勾股定理的内容是什么？第二板块：（启动版）第二环节：引入新课上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.第三环节：展示目标一、 学习目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.二、重点 ：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 难点：验证勾股定理.第三版块：（核心版） 第四环节：自主学习 合作探究： 小组活动，拼图验证.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+从而利用图1验证了勾股定理. 第五环节：展示汇报 小组展示自主探究，完成验证二.第四板块（强化版）例题讲解 初步应用例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？第六环节：课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.第七环节：反馈检测1、教材 P6练习题.2、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？3、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？第八环节：布置作业。
2017-2018学年八年级数学上册1.1探索勾股定理教案(新版)北师大版
课题：探索勾股定理教学目标：知识与技能目标:1. 掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；2. 能用勾股定理解决简单的问题。
过程与方法目标：1. 经历“观察一猜想一归纳一验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力2. 体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。
情感态度与价值观目标：1. 介绍古代在研究勾股定理方面取得的伟大成就。
2. 在探索问题的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神。
重点：探索和验证勾股定理难点：1、在方格上通过计算面积的方法探索勾股定理。
2、用面积法（拼图的方法）证明勾股定理。
教学流程：、情境引入探究1:如图，从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m问题：电线杆、地面与铁索之间构成了一个怎么样的几何图形呢?回答：直角三角形思考：在直角三角形中，已知两边长如何确定第三边？在网格纸中，以直角三角形各边为边长画正方形正方形B 的面积是 18 个单位面积。
问题：如何得到正方体 C 的面积呢？方法一：分割法s 正方形°=4x-x3x3 = 182（单位面积）图中每个小方格代表一个单位面积 数一数，得出三个正方体的面积 正方形A 中含有_9 _____ 个小方格，即A 的面积是_9 ___________ 个单位面积A/分“割”成若干个直角边为整数的三角形方法二：填补法把C “补” 成边长为6的正方形面积的一半即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积追问：换一个直角三角形还依旧满足这种关系吗？满足将直角三角形设为a ，b ，c ,你能得到什么？2 2 2S+S=S c — > a +b=c想一想：两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？ 总结：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平做一做：如图，从电线杆离地面 8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,钢索的长度应该是多少？根据前面所得出的结论，同学们能不能试着解一下刚上课提出的这个问题？ 解：由勾股定理得：AB J =耽’十 AC' AIT = 82 + AB = ^64 + 36 AB = 10所以，钢索的长度为 10m正方形<7总结：S A +S B =S C-X 62218（单位面积）练习1 :已知△ ABC 的三边AB 长a , BC 长b , AC 长c ,若/ B=90度，则有关系式（A ）A* a 2+b 2=c 2 B. a 2+c 2=b 2 C. a 2-b 3=c 2 D. b 2+c 2=a 21、合作探究探究2 :验证勾股定理 请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
1 1探索勾股定理(第一课时)导学案(表格式,无答案) 北师大版数学八年级上册
结论:以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积.
精讲：
1.归纳小结:
勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.方法规律:
(1)用“割补、拼接”法求面积;
自学：
做一做
1.在纸上画若干个直角三角形,分别测量它的边,看看三边长的平方有怎样的关系?
2.观察下面两幅图:
填表:
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
左图
右图
你是怎样得到正方形C的面积的?
交流：
1.小组交流并讨论自学指导中的问题.
2.分析自学指导2中填表的数据,你发现了什么?
3.若△ABC中,∠C=90°,
(1)若a=5,b=12,则c= ;
(2)若a=6,c=10,则b= ;
(3)若a∶b=3∶4,c=10,则a= ,b= .
4.一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为 8 m,梯子的顶端下滑2 m后,底端向外滑动了多少?
作业
反思
(2)运用从特殊到一般的思想方法解决问题;
(3)合理运用数形结合思想.
检测：
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=13,BC=5,则AC的长为( )
(A)5(B)12(C)13(D)18
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
(A)25(B)7(C)5和7(D)25或7
年级学科
八年级数学上
上课时间
主备人
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探索勾股定理
学习目标：1.探索直角三角形的三边关系，进一步发展学生的说理合简单推理的意识合能力。
2.经历用测量合数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，培养主动探究的思想。
3.培养数形结合的思想，体会数学与现实的紧密联系，感受其价值。
学习重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。
学习难点：探索勾股定理。
预习指导：
1.先精读教材P2，用红色笔勾画知识点。
再针对学案二次阅读教材，完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，查阅资料，解决有关问题。
2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，记录在预习学案上，准备课上讨论质疑。
3.预习目标：独立，限时完成预习自测，并把自己的疑惑写出来.
学习环节：
一.自学导航：
1.在纸上任意作出两个直角三角形，分别测量它们的三边长，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？
2.观察课本第三页图1—2，思考在两个直角三角形ABC中，三边的平方分别是多少？你是怎样得到的？它们满足上面的结论吗？
3．在图1—3中的两个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积？
4.通过以上的活动，你得到了什么结论？请你把结论写下来。
二．合作探究
1．总结勾股定理＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.在这个定理中我们应该注意些什么？
（1）勾股定理揭示的是直角三角形的关系；
（2）勾股定理只适合于三角形；
（3）在使用勾股定理时，先要弄清边和边。
３．例题：如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。
旗杆折断之前有多高？
三．学以致用
1.求下图中字母所代表的正方形的面积。
C
B
A
c
400 225
2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,求AB 的长。
3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC 的面积。
4.若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。
（拔高训练）
5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若c=8.5，b=7.5，则a= 。
6. 在△ABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长为（ ）
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33 7.一个直角三角形的三边长为12、5和a ，
则以a 为半径的圆的面积是 。
8.如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一点，
∠ACB=90°，AC=3,BC=4,则图中阴影部分的 面积是 。
四．反思回顾： 五．检测反馈
1 9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长
2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的
女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶
5000米处，则飞机的飞行速度是多少？
3.如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25㎞，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？
第4题B C A E C
B A。