人教A版高中数学必修五正弦定理教案(1)
正弦定理教案(必修5正弦定理教学设计)
【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是： “在一个
直角三角形中，各边与
它所对角的正弦比相等” ，那么在斜三角形中，该式是否也成立
呢？
通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的
角的正弦值相等。在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三
个角的正弦， 因此我们把它称为正弦定理， 即我们今天的课题。
3.定理的应用举例
例 1 在 ABC 已知 A 300 , B 1350 , a 2
,
解三角形 .
变式： 若将 a=2 改为 c=2，结果如何？
通过例题你发现了什么一般性结论吗 ?
小结 ：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
8
例 2 已知 a=16 ， b= 16 3， A=30 ° .
C
图形
解的 个数
AD
无解
C
DC
A B2 B1
AB
AD B
一解 两解 一解
A
C
AB
无解 一解
七、评价分析 这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，
展示了一个完整的数 学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学
生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使 学生体会认识事物由特殊到一般， 再由一般到特殊的规律， 体会分类 讨论、数形结合的数学思想方法， 并提高运用所学知识解决实际问题 的能力。通过学习和运用， 进一步使学生体会数学的科学价值、应用 价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素 养。
C=124.30,
a sin C
c
49.57
sin A
高中数学正弦定理教案5篇
高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。
二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1
正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。
其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。
这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。
所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。
2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。
3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。
高中数学人教A版必修五第一章正弦定理教案
正弦定理姓名： 学校： 年级：【知识要点】1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C ==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin cC .证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===，同理sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC 由 AC +CB =AB两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB 则j •AC +j •CB =j •AB∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB |cos(90︒-A)∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 2.正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a a bcOB CADbabab a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinAAC B ACB1ABACB2CHHH⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a【典型例题】例 1、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于（ ） A.2B .22C.3+1D.21(3+1) 例2、已知△ABC 中，A=300，B=450，a=10，求b ；（已知两角一边求另一边）例3、在△ABC 中，若a:b:c=2:4:5,求CBA sin sin sin 2-的值。
高中数学人教A版必修五第一章正弦定理教学设计
老师板书定理
生 3 的板书 生 4 的板书
生 11 的板书 生 12 的板书
生 13 的板书
生 14 的板书
生 11 的证法：如图，设锐角三角形的
外接圆为圆 O，连接 CO 延长交圆 O 于点 D,则
A D, a a 2R (R 为圆 O 半径)
C
sin A sin D
同理可得 b 2R, c 2R 。
sin B
Байду номын сангаас
sin C
生 12 的证法：
O
连接AO,CO,作DO ^ AC ,Q ? AOD ? COD
生 2：构造直角三角形。 生 3：首先在锐角三角形中作高构造直角三角形。 师：很好，那么我们具体怎么做呢？请你展示一下 学生板书、老师巡视, 和学生一起探讨证明过程：
如图，在 ABC中，作 CD AB,则CD a sin B,
CD bsin A, a sin B bsin A，
B
C A
D
得到 a b ,同理可得 b c
师生活动：学生小组讨论，老师巡视观摩，并请小组成员作答。 生 7：结果等于一个定值。 生 8：结果等于一个常数。 师：两位同学猜想结果等于一个定值，都等于 c 吗？很显然，在非直角三角 形中不成立。 生 9：结果等于直角三角形外接圆的直径。 师：对，大家能猜想到什么呢？ 生 10：对非直角三角形也成立。 师：很好，那怎么探究呢？ 学生板书，老师巡视，发现问题并投影解决。
sin A sin B
sin B sin C 。
师：现在我们已经论证了等式在锐角三角形中成立，还要考虑哪种三角形？ 生 4：钝角三角形。 师：你能在钝角三角形中得出同样的结论呢？ 学生板书，老师巡视并点评。 师：通过上述讨论，我们得到了一个三角形边与角的准确量化的关系，我们 称为正弦定理，你能概括一下正弦定理的内容吗？ 生 5：三角形中，一边和它所对角的正弦的比等于同一个数。 师：有没有其他意见？ 生 6：各边和它所对角的正弦的比相等。 师：两位同学都总结的不错，数学语言讲究精简，老师板书。
高中数学《正弦定理》教案4篇
高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的学问特别重要。
学情分析：作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。
(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。
让同学在问题情景中学习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。
教学过程(一)创设情境，布疑激趣“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。
正弦定理教案
正弦定理教案正弦定理教案「篇一」教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发,通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。
3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点与难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
教学准备：制作多媒体，学生准备计算器，直尺，量角器。
教学过程：（一）结合实例，激发动机师生活动：师：每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？生：当然熟悉。
师：那大家知道科技楼有多高吗？学生不知道。
激起学生兴趣！师：给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？学生思考片刻，教师引导。
生1：在楼的旁边取一个观测点C，再用一个标杆，利用三角形相似。
师：方法可行吗？生2：B点位置在楼内不确定，故BC长度无法测量，一次测量不行。
师：你有什么想法？生2：可以再取一个观测点D。
师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D点取在什么位置？生2：向前或向后师：好，模型如图（2）：我们设正弦定理教学设计，正弦定理教学设计 ,CD=10,那么我们能计算出AB吗？生3：由正弦定理教学设计求出AB。
师：很好，我们可否换个角度，在正弦定理教学设计中，能求出AD,也就求出了AB。
人教A版高中数学必修五正弦定理学案
§1.1.1正弦定理✂ 学习目标1、 理解并掌握利用正弦定理解三角形的两种题型2、掌握利用正弦定理完成边角互化。
✂ 新课预习：思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角。
观察课件，由此猜想任意三角形当中，边与角的数量关系， 你能证明你的猜想吗？ ★ 试一试：1、ABC ∆中45,30,10A C c ===，求,B a 及b 的值。
变式练习：ABC ∆中75,45,32A B c ===，解三角形.2、ABC ∆中45b c B ===，解三角形.练习：ABC ∆中45b c B ===，解三角形✂ 新课导学：★ 探究--------正弦定理★ 对定理的理解： （1）（2）✂ 总结提升★ 利用正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？例3、ABC ∆中，cos cos a bA B=，则ABC ∆的形状为（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形 变式练习：ABC ∆中，cos cos a A b B =， 则ABC ∆的形状为______ ★ 小 结✂ 目标检测1、ABC ∆中，8,60,75,______a B C b ====2、ABC ∆中，2,45,_____a b B c ====3、ABC ∆中，22tan tan Ba Ab =，则ABC ∆的形状为_____4、ABC ∆中，lg lg lg sin a c B -==-，且B 为锐角， 试判断此三角形的形状。
随堂手记错题备忘录： 本节课重、难点及做错题目备忘：✂探索与发现1 -------- 解三角形的进一步讨论反思例题2及其变式练习思考：如何确定已知三角形两边及一边所对的角的解的个数问题？例题：在ABC∆中，已知,,BC a AC b==A，问：,,a b A满足何种关系时，三角形有（1）一解；（2）两解；（3）无解练习：1、在ABC∆中，分别根据给定条件指出解的个数（1）4,5,30a b A===（2）5,4,60b c B===（3）120a c A===（4）60b c C===2、不解三角形，下列判断正确的是（）A．7,14,30a b A===，两解B．30,25,150a b A===，一解C．6,9,45a b A===，两解 D．9,10,60b c B===，无解3．在ABC∆中，已知1,2,AB BC==则角C取值范围为A.06Cπ<≤; B.02Cπ<<; C.03Cπ<<; D.63Cππ<≤✂探索与发现2证明：1、设三角形的外接圆半径是R，则2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C===，即2sin sin sina b cRA B C===2、三角形ABC的面积为S，试证：111sin sin sin222S ab C bc A ac B===练习：1、在ABC∆中，030,12,18,ABCA b S∆===则sin sin sinA B Ca b c++++的值为________.2、在ABC∆中，06,30,a b A===求.ABCB S∆及3、在ABC∆中，外接圆半径为2，60A=，则BC的长为____✂课后巩固1、ABC∆中，0045,60,c A B===则______.b=2、在ABC∆中,22sin sina Bb A=，判断三角形形状3、在ABC∆中，,2,45,a xb B===若三角形有两解，则x的范围是______4、在ABC∆中，2,60b a B A==+，求A5、在ABC∆中，53sin,cos,135A B==求cos C的值4、已知三角形ABC的周长为20面积为060A=，则BC边的长为随堂手记课后记。
高二人教A版必修5系列教案：正弦定理
第一章 解斜三角形1．1．1正弦定理（一）教學目標1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形中的一類簡單問題2. 過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關係，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，並進行定理基本應用的實踐操作。
3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯繫來體現事物之間的普遍聯繫與辯證統一。
（二）教學重、難點重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。
難點：正弦定理的推導即理解 （三）學法與教學用具學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關係：sin sin sin abcABC==，接著就一般斜三角形進行探索，發現也有這一關係；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。
教學用具：直尺、投影儀、計算器（四）教學過程 1[創設情景]如圖1．1-1，固定∆ABC 的邊CB 及∠B ，使邊AC 繞著頂點C 轉動。
A 思考：∠C 的大小與它的對邊AB 的長度之間有怎樣的數量關係？ 顯然，邊AB 的長度隨著其對角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一個等式把這種關係精確地表示出來？ C B2[探索研究] (圖1．1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下麵就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關係。
如圖1．1-2，在Rt ∆ABC 中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 則sin sin sin a b c c A B C=== b c 從而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (圖1．1-2)思考：那麼對於任意的三角形，以上關係式是否仍然成立？ （由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當∆ABC 是銳角三角形時，設邊AB 上的高是CD ，根據任意角三角函數的定義，有CD=sin sin a B b A =,則sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a從而sin sin abAB=sin cC=A c B(圖1．1-3) 思考：是否可以用其他方法證明這一等式？由於涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)
《正弦定理》教学设计一、教学背景分析 1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。
2.学生现实分析(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：①勾股定理： ②三角函数式，如： (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：① ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ③大边对大角，大角对大边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 3.教学目标分析 知识目标：(1)正弦定理的发现 (2)证明正弦定理的方法 (3)正弦定理的简单应用 能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力 情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思 二、教学展开分析1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和外接圆法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。
正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
《正弦定理》教案(精选12篇)
《正弦定理》教案（精选12篇）《正弦定理》教案篇1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是学校“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等学问在三角形中的详细运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧学问，使同学把握新的有用的学问，体会联系、进展等辩证观点，同学通过对定理证明的探究和争论，体验到数学发觉和制造的历程，进而培育同学提出问题、解决问题等讨论性学习的力量。
二、学情分析对高一的同学来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等学问，具有肯定观看分析、解决问题的力量；但另一方面对新旧学问间的联系、理解、应用往往会消失思维障碍，思维敏捷性、深刻性受到制约。
依据以上特点，老师恰当引导，提高同学学习主动性，留意前后学问间的联系，引导同学直接参加分析问题、解决问题。
三、设计思想：培育同学学会学习、学会探究是全面进展同学力量的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培育同学学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“学问不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：学问不仅是通过老师传授得到的，更重要的是同学在肯定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人(在老师指导和学习伙伴的关心下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以同学为中心，视同学为认知的主体，老师只对同学的意义建构起关心和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。
四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让同学从已有的几何学问和处理几何图形的常用方法动身，探究和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性。
人教A版高中数学必修五人教正弦定理和余弦定理教案
第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c bsin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C ==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==.两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理sin b B =2R ，sin cC ＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得….. ④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.第二课时 1.1.2 余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC ∙=+∙+222AB AB BC BC =+∙+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+∙-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C . ② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝，b ＝； (iii ) A ＝6π，ab ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinAa<CH=bsinA② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a bb+的值 2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ . 3. 作业：教材P11 B 组1、2题.。
高中数学1.1.1正弦定理教学设计新人教A版必修5
1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大． 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，cb=sin B ，又sin C =1=c c ,则c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simCcB b A a ==sin sin . 推进新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c sin sin =.从而CcB b A a sin sin sin ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==∴R C cB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生 可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j 与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+Co s90°+|j|Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j 与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin = ∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理，C =180°-(A +B )=180°-根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(cc =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C=180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =oo A C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ） ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导])此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习： 1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B (2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，Cc B b sin sin =， ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin = ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°- ∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵CcB b sin sin = ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理[预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识(2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计 正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角习题详解（课本第5页练习）1.解：（1）∵B b A aC c sin sin sin ==,∴a =︒︒=30sin 45sin 10sin sin C A cB =180°-A -C =105°,∴b =︒︒=30sin 105sin 10sin sin C B c（2）C =180°-A -B =180°-60°-∵B bA a C c sin sin sin == ∴a =︒︒=75sin 60sin 20sin sin C A cb =︒︒=∙75sin 45sin 20sin sin C B c2.解：（1）∵C cB b A a sin sin sin == ∴sin A =11101130sin 20sin =︒=b B a又0°＜A ＜180°,∴A ≈65°或A①当A ≈65°时，C =180°-A -B =180°-65°-c =︒︒=30sin 85sin 11sin sin B C b②当A ≈115°时，C =180°-115°-c =︒︒=30sin 35sin 11sin sin B C b(2)∵C c B b A a sin sin sin ==,∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b又B 为锐角∴B ≈41°,A∴A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析.设已知A 、B 、A ,则利用正弦定理aAb B sin sin =如果sin B ＞1,则问题无解如果sin B ＝1,则问题有一解如果求出的sin B ＜1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC ,设BC ＝A , CA ＝B ,AB ＝C ,作AD ⊥BC ,垂足为D则Rt△ADB 中,ABADB =sin∴AD =AB ·sin B =c sin B∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=∴ S △ABC =Bac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==∴ab sin c =bc sin A =ac sin B在等式两端同除以ABC ,可得bBa A c C sin sin sin ==即CcB b A a sin sin sin ==.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A =2Rsin A ,B =2Rsin B ,C =2Rsin C 或sin A =Rc C R b B R a 2sin ,2sin ,2==.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用二、典型例题1．若△ABC 中(A 2+B 2)sin(A -B )=(A 2-B 2)sin C ,则△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A =2Rsin A ,B =2Rsin B 以及结论sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B由（A 2+ B 2）sin(A -B ) = (A 2- B 2)sin C∴(sin 2A +sin 2B )sin(A -B ) =(sin 2A -sin 2B )sinC =sin(A +B )·sin(A -B )·si n C若sin(A -B )= 0,则 A = B若sin(A -B )≠0,则sin 2A +sin 2B =sin 2CA 2+B 2=C 2∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选D2.在△ABC 中,A =45°，B ∶C = 4∶5，最大边长为10，求角B 、C ,外接圆半径及面积分析：由A +B +C =180°及B ∶C =4∶5,可得B =4K,C =5K ， 则9K=135°，故K=15°.那么B =60°，C由正弦定理)26(575sin 210-=︒=R由面积公式32575sin sin 221sin 21-=∙∙=∙=A B R c A bc S点评：求面积时B 未知但可转化为B =2Rsin B ,从而解决问题3.在△ABC 中,已知A =30°，A 、B 分别为角A 、B 对边，且A =4，B =43，解此三角形分析：由正弦定理知23sin sin 3430sin 4sin sin =⇒=︒⇒=B B B b A a那么B 1=60°，C 1=90°，C 1=8或B 2=120°，C 2=30°，C 2点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且t a n A ·t a n C =2+3,（1）求A 、B 、C 的度数;（2）若AB 边上的高CD =43,求三边A 、B 、C 的长． 分析：（1）由2B =A +C ，得B =60°，则A +C =120°，32cos cos sin sin 32tan tan +=∙∙⇒+=∙CA CA C A .即(2+3)CO s A ·CO s C -sin A ·sin C⇒(1+3)CO s A ·CO s C + (CO s A ·CO s C -sin A ·sin C )=0 ⇒(1+3)·21［CO s(A +C )+CO s(A -C )］+CO s(A +C⇒231+［-21 +CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0.∴CO s(A -C )=23得|A -C |=30°.又∵A +C =120°.∴A =45°,C =75°或A =75°,C（2）如图,若A ＜B ＜C ,由正弦定理得A =8，B =46，C =BCO s A +ACO s B =4(3同理，若A ＞B ＞C 时，则A =4(3+1)，B =46,，C点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A +C =120°,恒等变形的目标就是寻找A 与C 的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化． 此题还可以由t a n A ·t a n C =2+3求出t a n A +t a n C =3+3，运用韦达定理解出t a n A 和t a n C ,这对综合能力的训练大有益处．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
【公开课教案】人教A版必修五第一章第一节正弦定理
1.1.1 正弦定理一、教学目标1、知识与技能目标：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法目标：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
二、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导难点：正弦定理的推导教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
三、教学过程设计（一）设置情境教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？学生：思考提出测量角A，C。
教师：若已知测得，，如何计算A、B两地距离？师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。
②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
教师引导：是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？学生：（思考交流）得出过点A作AD BC于D（如图2），把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：过点A作AD BC于D在中，在中，教师继续引导：在上述问题中，若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？学生：发现，,教师：引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？学生：发现即然有，那么也有，。
教师：引导，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？设计意图：兴趣是最好的老师。
如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。
因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。
1[1]_1_1正弦定理教案(人教A版必修5)1
![1[1]_1_1正弦定理教案(人教A版必修5)1](https://img.taocdn.com/s3/m/c9b1d726f011f18583d049649b6648d7c1c7084b.png)
《正弦定理》教案一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会使用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生持续地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并使用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生持续地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。
五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提升数学思维水平。
本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。
2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。
本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。
人教A版高中数学必修五正弦定理教案
1．1．1正弦定理（一）教学目标通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
（三）学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin abcABC==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
（四）教学过程[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥u r u u u r，由向量的加法可得 AB AC CB =+u u ru u u r u u r则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+u r u u r u r u u u r u u r∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅u r u u r u r u u u r u r u u r()()00cos 900cos 90-=+-r u u u r r u u u r j AB A j CB C∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a c A C同理，过点C 作⊥r u u u r j BC ，可得 sin sin =b cB C从而sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
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课题: §1．1．1
正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
sin a
A c
=，
sin b
B c
=，又sin 1c C c
==
,
A
则sin sin sin a
b
c
c A
B
C
=
=
= b c
从而在直角三角形ABC 中，
sin sin sin a
b
c
A
B
C
=
=
C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a
b
A
B
=
， C
同理可得sin sin c
b
C B =
， b a
从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅ j
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即
sin sin =a c
A C
同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C 从而
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
等价于
sin sin a
b
A
B
=
，
sin sin c
b
C
B
=
，
sin a
A
=
sin c
C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=
； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b
=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，
00
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：根据正弦定理，
0sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a
因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A
⑵当0116≈B 时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
00
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1： 2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++；
或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k > （2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A 组第1（1）、2（1）题。
●板书设计 ●授后记。