苏教版高中数学必修五正弦定理教案

第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【学法与教学用具】：1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin a b cA B C==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？3.介绍其它的证明方法 二、研探新知1.正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CBB ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin能否推广到斜三角形？（2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc即得：sin sin sina b cA B C==．证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D∴RCDDaAa2sinsin===同理BbsinR2=，CcsinR2=证明三：（向量法）过A作单位向量jr垂直于−→−AC，由−→−AC+=−→−CB−→−AB，两边同乘以单位向量jr得jr •(−→−AC+=−→−)CB jr•−→−AB，则jr•−→−AC+jr•=−→−CB jr•−→−AB∴|jr|•|−→−AC|cos90︒+|jr|•|−→−CB|cos(90︒-C)=| jr|•|−→−AB|cos(90︒-A)∴AcCa sinsin=∴Aasin=Ccsin同理，若过C作jr垂直于−→−CB得：Ccsin=Bbsin∴sin sin sina b cA B C==从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sina bA B=sincC=2.理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使CkcBkbAka sin,sin,sin===；（2）Aasin=Bbsin=Ccsin等价于Aasin=Bbsin，Bbsin=Ccsin，Aasin=Ccsin，即可得正弦定理的变形形式：1）2sin,2sin,2sina R Ab R Bc R C===；2）sin,sin,sin222a b cA B CR R R===；3）sin sin sin::::A B C a b c=．（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如BAbasinsin=；2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如BbaA sinsin=。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．abcOBCADA b a sin = b a A b <<sin b a ≥ b a >一解 两解 一解 一解注意：（1）正弦定理的叙述：在一个三角形中。

各边和它所对角的正弦比相等，即：A a sin =B b sin =Ccsin 它适合于任何三角形。

（2）可以证明A a sin =B b sin =Ccsin R 2= （R 为△ABC 外接圆半径）（3）每个等式可视为一个方程：知三求一一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆解：0030,45,10===C A c Θ∴00105)(180=+-=C A B 由CcA a sin sin =得 21030sin 45sin 10sin sin 00=⨯==C A c a 由CcB b sin sin =得 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin 00+=+⨯==⨯==C B c b 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：∵21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=>Θ为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a Ac C C c A a Θ012060,sin 或=∴<<C c a A c Θ1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴CBc b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b例4 试判断下列三角形解的情况：（1）已知060,12,11===B c b（2）已知0110,3,7===A b a （3）已知045,9,6===B c b四、巩固深化，反馈矫正1.在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于____2.在ABC ∆中，5,15,13500===A C B ,则此三角形的最大边长为_____3.在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____4.在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数五、归纳整理，整体认识1．用三种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．3.（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． 六、承上启下，留下悬念七、板书设计（略） 八、课后记：。