【基础版】初三寒假 第3讲 二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质辅导教案
1．充分理解二次函数的图像和性质
2．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根
及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围
课前热身
1．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值
( )
A. 等于0
B.等于1
C. 等于-1
D. 不能确定
2．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象
大致是( )
3．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)
且与y轴交于负半轴
第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结
论的序号是；
第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确
的结论的序号是 .
遗漏分析
1、对于二次函数的图像和性质不是很熟练
2、对于二次函数字母系数与图像之间的联系掌握的不是很透彻，有点混乱
知识精讲
要点一、二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作
.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与
中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的
对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴
在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个
交点(0，)： ①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，
与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右
侧，则
.
4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a ≠0）.已知图象上三点或三对、
的
值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a ≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、
，通常选用交点式：
（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：
2
0()y ax bx c a =++≠,,a b c
).
要点诠释：
求抛物线（a ≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴
交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有
两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有
实根. 要点诠释：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方
程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，
则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程
没有实根.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
2
y ax bx c =++
1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ． 举一反三：
【变式】已知：抛物线y=x 2
+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2．一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2
+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
类型三、数形结合
3．如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是________．
11,24⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭2
y ax bx c =++2
0ax bx c ++>
类型四、函数与方程
4．已知抛物线与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．
举一反三：
【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下
方的条件是( ) A ． B ． C ． D ．
【变式2】对于二次函数
，我们把使函数值等于0的实
数x 叫做这个函数的零点， 则二次函数(m 为实数)的零
点的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．0
D ．不能确定
c x x y ++=
2
2
11+=cx y
类型五、分类讨论
5．已知点A(1，1)在二次函数的图象上． (1)用含a 的代数式表示b ；
(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
巩固练习
1．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
2．二次函数y=ax 2
与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ）
2
2y x ax b =-+2
y x =2(1)2y x =-+2
(1)2y x =++2(1)2y x =--2
(1)2y x =+-
3．抛物线图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为( )． A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝2
4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①
；②abc ＞0； ③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个
数是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第4题 第5题
6．已知点(，)，(，)(两点不重合)均在抛物线上，则下列说法正确的是( )．
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则
D ．若，则
2
y x bx c =++2
23y x x =--2
2y x x =--211
122
y x x =-
++211
122
y x x =--+22y x x =-++2
(0)y ax bx c a =++≠240b ac ->1x 1y 2x 2y 2
1y x =-12y y =12x x =12x x =-12y y =-120x x <<12y y >120x x <<12y y >
7．二次函数y=ax 2
+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
8．已知二次函数(其中，，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
课堂小结 强化提升
1．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点
，，试比较和 的大小：________（填“＞”，“＜”
或“＝”）．
2
y ax bx c =++0a >0b >0c <2
(0)y ax bx c a =++>1x =1(1,)y -2(2,)y 1y 2y 1y 2y
2．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ __________________________．
3．抛物线的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这
个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_____________． 4．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x 的一元二
次方程的解为 ．
第10题 第12题 第13题
5．如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a 的值是________．
6．已知抛物线经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．
7．若二次函数的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(，y 3)
三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .
课后作业
1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）． A ． B ． C ． D ．
2
y x bx c =-++2
2(2)6y x =--22y x x m =-++2
20x x m -++=2
2
31y ax x a =-+-2
y ax bx c =++2
6y x x c =-+32+2
23y x x =-+2
()y x h k =-+2
(1)4y x =++2
(1)4y x =-+2
(1)2y x =++2
(1)2y x =-+
2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 3．若二次函数配方后为，则b 、k 的值分别为（ ）．
A ．0，5
B ．0，1
C ．-4，5
D ．-4，1
4．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b 、c 的值为（ ）．
A .b=2，c=2
B . b=2，c=0
C . b= -2，c= -1
D . b= -3，c=2 5．二次函数的最小值是________．
6．已知二次函数，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________．
7．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．
8．二次函数的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．
2
y ax bx c =++0a >0c <2
40b ac -<0a b c ++>2
5y x bx =++2
(2)y x k =-+2
y x bx c =++2
23y x x =--2
241y x x =--22y ax ax c =-+2
y x bx c =++23y x mx =-+
课前热身答案 1.【答案】A ；
【解析】因为抛物线y=ax 2
+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式
得a+b+c=0.
2.【答案】A ；
【解析】分类讨论，当a ＞0，a ＜0时分别进行分析. 3．【答案】①④，②③④； 例题答案
例1解： 【答案】 或． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．
211
33
y x x =-
+2y x x =+
由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为．
则有，或
解之，或
因此所求二次函数解析式为或． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．
变式解：【答案】∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
∴y=x 2
-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4
∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
∴y=x 2
-2x-3为所求, ∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).
2
y ax bx c =++0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩0,111,44
20,
c a b c a b c =⎧⎪⎪
-=-+⎨⎪-+=⎪⎩13130
a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩211
33
y x x =-
+2y x x =+b
b=-21
2c=-31b c 0
⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩b
b=-21
2c=-31b c 0
⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩
例2 解：【答案】C ；
【解析】A 、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2
+bx+c 的
图象应该开口向上，错误；
B 、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴
x=-
C 、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a ＜0，b ＜0，此时二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象应该开口向下，对称轴
x=-
D 、由一次函数y=ax+b 的图象可得：a ＜0，b ＜0，此时二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象应该开口向下，错误； 故选C ．
【点评】应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次
函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
例3 解：【思路点拨】
根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式2
0ax bx c ++>的解集. 【答案】x ＞3或x ＜-1；
【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交
点为(-1，0)，观察图象可知，不等式的解集就是函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式
的解集为x ＞3或x ＜-1．
【点评】弄清与的关系，利用数形结合在图象上找出不等
式的解集．
例4 解：【答案与解析】
（1）∵抛物线与x 轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞
2
0ax bx c ++>2y ax bx c
=++20ax bx c ++>2
0ax bx c ++>2
y ax bx c =++2
0ax bx c ++>1
2
(2)∵c ＞
，∴直线y=x ＋1随x 的增大而增大， ∵b=1，∴直线y=
x ＋1经过第一、二、三象限. 【点评】抛物线与x 轴没有交点，⊿＜0，可求c 的取值范围. 变式：B 、B
例5 解：【思路点拨】
(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2
-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】
(1)因为点A(1，1)在二次函数的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ．
(2)根据题意，方程有两个相等的实数根，所以
，
解得a ＝0或a ＝2．
当a ＝0时，y ＝x 2
，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，， 这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．
所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．
【点评】二次函数的图象与x 轴只有一个交点时，方程
有两个相等的实数根，所以．
巩固练习答案 1.【答案】A ；
【解析】向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），
开口方向及大小不变，所以，即．
121
2
1
2
c x x y ++=2
2
12
2y x ax b =-+2
20x ax b -+=2244480a b a a -=-=2
2
44(2)y x x x =-+=-2
y ax b c =++(0)a ≠20ax bx c ++=240b ac =-=△2
y x =1a =2
(1)2y x =-=
2.【答案】C ；
【解析】①当a ＞0时，二次函数y=ax 2
的开口向上，一次函数y=ax+a 的图象经
过第一、二、三象限，排除A 、B ；
②当a ＜0时，二次函数y=ax 2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D ． 故选C ．
3.【答案】B ；
【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，
再向上平移
3个单位长度后得抛物线，∴
，
∴ b ＝2，c ＝0．因此选B ．
4.【答案】D ；
【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以，
抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ．
5.【答案】D ；
【解析】抛物线与x 轴交于两点，则． 由图象可知a ＞0，c ＜0， 则b ＜0，故abc ＞0． 当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ ，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．
当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；
【解析】画出的图象，对称轴为，若，则；若，
则；若，则；若，则．
7．【答案】A ； 8．【答案】C ；
2
2
23(1)4y x x x =--=--2
(1)4y x =--2
(1)1y x =+-222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+0a <0b <12b
x a
=-
=2
1y x =-0x =12y y =12x x =-12x x =-12y y =120x x <<21y y >120x x <<12y y >
【解析】∵ ，，∴ 抛物线开口向上，，因此抛物线顶点在y 轴的左侧，
不可能在第四象限；又， ，抛物线与x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的．
强化提升答案 1．【答案】＞；
【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如．
2．【答案】；
【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），
∴ 抛物线解析式为，即．
3．【答案】1； 【解析】，，与坐标轴交点为(0，3)，． 4．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；
【解析】由二次函数部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入
方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．
5．【答案】-1；
【解析】因为抛物线过原点，所以，即，又抛物线开口向下，所以a ＝-1．
6．【答案】(1，-6)；
【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔
细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，0a >0b >02b
x a
=-<0c <1
20c
x x a
=<·12y y >2
23y x x =-++(3)(1)y x x =--+2
23y x x =-++92k =
932y x =-+2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
2
2y x x m =-++2
10a -=1a =±15
22
x -+=
=
-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．
7．【答案】y 1＞y 3＞y 2．
【解析】因为抛物线的对称轴为．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，
∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离
分别
为2，1
，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．
课后作业答案 1.【答案】D ；
【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，
所以．
2.【答案】D ；
【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y 轴交于正半轴，所以；
又抛物线与x 轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大
于零，
所以．
3.【答案】D ；
【解析】因为，所以，，．
4.【答案】B ；
【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，
再向上平移3个单位长度后得抛物线，
∴ ，∴ ，．
5．【答案】-3；
【解析】∵ ，∴ 函数有最小值．
6
323
x -==⨯2
2x x -x 2
(1)1x --22
23(1)2y x x x =-+=-+0a <0c >2
40b ac ->1x =y 0a b c ++>22
(2)44y x k x x k =-+=-++4b =-45k +=1k =2
2
23(1)4y x x x =--=--2
(1)4y x =--2
(1)1y x =+-2
2
2
(1)12y x bx c x x x =++=+-=+2b =0c =20a =>
当时，． 6．【答案】4； 【解析】由对称轴，∴ x ＝3与x ＝-1关于x ＝1对称，∴ x ＝3时，y ＝4. 7．【答案】(1，-4) ；
【解析】求出解析式. 8．【答案】4；
【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得
，解得．
4122x -=-
=⨯2
42(1)(4)342
y ⨯⨯---==-⨯212a
x a
-=
=-2
2
23(1)4y x x x =--=--1x =0y =2
3y x mx =-+130m -+=4m =。