专题讲座六：最值问题
专题讲座六-课件
3 .
栏目 导引
专题策略
(2)由条件可知
g(x)＝sinx－π3 －
3 . 2
当 x∈π2 ，π时，有 x－π3 ∈π6 ，2π 3 ，
从而 y＝sinx－π3 的值域为12，1，
那么 y＝sinx－π3 － 23的值域为1－2
3，2－ 2
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
解：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin
2x＝1＋2cos2x＋π3 ，
所以 f(x)的最小正周期 T＝π，
因为 y＝cos x 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
1.已知函数
f(x)＝
sinω
x＋π 6
＋sinωx－π6
－2cos2ωx，x∈R，ω＞0.
2
(1)求函数 f(x)的值域；
(2)若函数 y＝f(x)的图象与直线 y＝－1 的两个相邻交点间的 π
距离为 ，求函数 y＝f(x)的单调增区间． 2
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专题讲座二 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与求解策略
3.已知 f(x)＝a·b，其中 a＝(2cos x，－ 3sin 2x)， b＝(cos x，1)(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f(A) ＝－1，a＝ 7，A→B·A→C＝3，求边长 b 和 c 的值(b＞c)．
子天 是开
梅放
花；
，有
选的
函数最值的求法专题讲座
所以函数的值域为－∞，54.
例 5 求下列函数的值域． (2)y＝x＋4＋ 9－x2。
(2)(三角换元法)令 x＝3cos θ，θ∈[0，π]， 则 y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3 2sinθ＋π4＋4. 因为 0≤θ≤π，所以π4≤θ＋π4≤54π， 所以－ 22≤sinθ＋π4≤1.所以 1≤y≤3 2＋4， 所以函数的值域为[1,3 2＋4]．
例题 5 求下列函数的值域． (1)y＝2x＋ 1－2x；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
(1)(代数换元法)令 t＝ 1－2x(t≥0)，
则
1－t2 x＝ 2 ，所以
y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54.
所以 t＝12，即 x＝38时，y 取最大值，ymax＝54，且 y 无最小值，
分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2） 可用单调有界性解之。
解法1：不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函数 变形为：
y ( x 3 5 x )2 2 2 x2 8x 15
2 2 (x 4)2 1, (3 x 5)
A1(1,-3)
所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).
变式练习：求下列函数的值域
（1） y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.
解：（1）令t= 3x-1 0,有
x= 1(t2+1), 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2
，ymin
65 12
最值专题讲座
中考复习专题——最值问题最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为五种情况：（1）连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （2）归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（3）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
(4) 定圆中的所有弦中，直径最长。
(5)点到圆的最短及最长距离典型例题分析：一、一次函数类型例1．（2014河南省，21，10分）某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元. （1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍.设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元.①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m （0<m <100）元，且限定商店最多购进A 型电脑70台. 若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案. 【答案】解：（1）设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，则有10204000,20103500.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得100,150.a b =⎧⎨=⎩即每台A 型电脑的销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元.…………………………………4分 （2）①根据题意得 100150(100y x x =+-，即5015000y x =-+. …………5分②根据题意得 100x -≤2x ，解得x ≥1333.∵5015000y x =-+中，500-<，∴y 随x 的增大而减小. ∵x 为正整数，∴当34x =时，y 取得最大值，此时10066x -=.即商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大. …7分 （3）根据题意得 (100)150(100)y m x x =++-，即(50)15000y m x =-+.1333≤x ≤70. ①当050m <<时，500m -<，y 随x 的增大而减小.∴当x =34时，y 取得最大值.即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑才能获得最大利润；………8分 ②当50m =时，500m -=，15000y =.即商店购进A 型电脑数量满足133703x ≤≤的整数时，均获得最大利润；……………………………………………9分③当50100m <<时，500m ->，y 随x 的增大而增大.∴70x =时，y 取得最大值.即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润. ……10分变式1．（2013贵州黔东南，23，12）某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y （个）与甲品牌文具盒的数量x （个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．（1）根据图像，求y 与x 之问的函数关系式； （2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价； （3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元．问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？【答案】（1）解：由图像可设y 与x 之问的函数关系式为y =kx ＋b ，因为点（50,250），（200,100），∴50250200100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1300k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之问的函数关系式为y =－x ＋300；（2）设甲品牌的文具盒进货单价为m 元，则乙品牌的文具盒进货单价为2m 元，∵当x =120时，y =180，∴120m ＋180×2m =7200，解得m =15，2m =30，答：甲品牌的文具盒进货单价为15元，乙品牌的文具盒进货单价为30元；（3）设甲进a 个，乙进（－a +300）个，根据题意得()()153********493001795a a a a +-+⎧⎪⎨+-+⎪⎩≤≥，解得180≤a ≤181，∴整数a ,=180或181，∴该超市有两种种进货方案：方案①甲进180个，乙进120个；方案②甲进181个，乙进119个，∵总获利w = 4a ＋9（－a +300）=2700−5a ，∵−5＜0，∴w 随着a 增大而减小，故a =180时w 最大，w 最大=2700−5×180=1800元．答：方案①获利最大，最大获利为1800元．变式2（2013年许昌市第二次模拟考试21）.某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息: 信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是50元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多10元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少10元． 信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了190元．请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品50件和乙商品30件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降1元，这两种商品每天可各多销售10件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？答案. 解：（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．根据题意，得{50190)102(2)10(3=+=-++y x y x解得{2030==x y答：甲商品的进货单价是20元，乙商品的进货单价是30元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则715)5.5(20110022020)1030)(20()1050)(10(22+--=++-=+-++-=m m m m m m m s∴当m =5.5时，s 有最大值，最大值为715．答：当m 定为5.5时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是715元．二、二次函数求最值例2（2012四川自贡）正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC ．CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，当BM= cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为 cm 2．【答案】12，58。
浅谈高中数学中最值问题的教学
浅谈高中数学中最值问题的教学
最值问题是指，给定一组数据，从中找出最大或最小值，并确定其位置。
以最大值为例，它指在一组数据中，找出最大值，并确定它的位置。
求最值可以使用搜索法，比较法和公式法。
搜索法是指逐个比较，首先将给定的数据作比较，直到找出最大值。
比较法是基于搜索法的改进，它将数据分成两个队列，分别比较，直到最后只剩下一个最大值。
公式法，即采用公式法解决最值问题，计算出最大值。
二、高中数学中最值问题的教学
1、教学目标
（1）理解最值概念，熟悉搜索法、比较法和公式法的基本步骤；
（2）能够根据最值概念设计、实施和总结求解最值的过程；
（3）熟练掌握计算机求解最值的方法；
（4）能够解决实际应用中的最值问题。
2、教学过程
（1）以求一组数据的最大值为例，进行最值概念的讲解，引导学生思考设计求最大值的方法；
（2）以实例教学，给出实例，结合学生提出的问题，引导学生进行练习，并讨论解答；
（3）采用比较法和公式法求最值，并让学生实践，体会比较法求最值的优越性；
（4）设计应用练习，通过实际的案例让学生思考分析，将最值问题运用到实际当中，提高学生应用最值的能力；
（5）检验学生的学习成果，并做总结性反馈。
最值问题课件
各种算法的优劣和适用场景 学习最值问题的建议
各种算法有优缺点和适用场景。 理解这些将帮助你正确快速地选 择适合你的算法。
建议多做练习，多使用计算机编 写代码实现，掌握最值问题的各 种方法。
参考文献
• Thom as Corm en, Charles Leiserson, Ronald Rivest and Clifford Stein. Introduction to Algorithm s.
• Donald Knuth. The Art of Com puter Program m ing. • Steven Skiena. The Algorithm Design M anual.
*注意：本PPT仅供参考，具体内容以讲课内容为准。*
暴力求解算法
从序列的第一个数开始，循环 遍历每个元素来查找最大值。
二分查找算法
在有序序列中查找最大值的快 速算法。通过不断缩小搜索区 域来找到目标元素。
动态规划算法
对于不同类型的问题，动态规 划算法提供了一种递归式的解 决方案。将复杂问题分解为简 单的子问题，然后会合子问题 的结果。
最小值问题
定义
最值问题的应用
1
数组中的最大子序列和问题
给定一个整数数组，找到一个连续子序列，使其节点之间的最短路径。
3
字符串中的最长公共子序列问题
在两个字符串中查找相同的最长子序列。
总结
最值问题的重要性和应用
最值问题在计算机科学中有着广 泛的应用。学习这个问题可以帮 助你更好地了解算法的实现方式 和分类。
最值问题ppt课件
最值问题是指在一系列数值中，找到最大值或最小值的算法问题。这个课程 将介绍最大值和最小值问题的不同算法，以及它们的应用。
专题6 最值问题课件
解： (1)2 2 如图(b)，作点 B 关于直径 CD 的对称 点 E，连结 AE 交 CD 于点 P，此时 PA＋PB 最小， 且等于 AE.作直径 AC′，连结 C′E， OE.根据垂径定 理得 BD ＝ DE
. ∵∠ ACD＝ 30° ，∴∠ AOD＝ 60° ，∠ DOE＝ 30° ， ∴∠ AOE＝ 90° ，∴∠ C′AE＝ 45° ，又∵ AC′为 ⊙ O 的直径，∴∠ AEC′＝ 90° ， 2 ∴∠ C′ ＝∠ C′AE ＝ 45° ，∴ C′E ＝ AE ＝ AC′ ＝ 2 2 2， 即 AP ＋ BP 的最小值是 2 2.
2 2 2 2
16．(2014· 莆田)如图，菱形 ABCD 的边长为 4， ∠BAD＝120° ，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AC 上的 一动点，则 EF＋BF 的最小值是 .
解析： 如图， 连接 DB， DE， 设 DE 交 AC 于点 M， 连接 MB，DF，延长 BA，作 DH⊥BA 于点 H，
(2)∵△ ABC≌△ A1 BC1，∴ AB＝ A1 B， BC＝ BC1 ， AB BA1 ∠ ABC＝∠ A1 BC1 ， ∴ ＝ ， ∠ ABC＋∠ ABC1 BC BC1 ＝∠ A1 BC1 ＋∠ ABC1， ∴∠ ABA1 ＝∠ CBC1 ，∴△ ABA1 ∽△ CBC1， S△ ABA1 AB 2 4 2 16 ∴ ＝ ＝ ＝ ， S△ CBC1 BC 5 25 25 又 S△ ABA1 ＝ 4，∴ S△ CBC1 ＝ . 4
4．如图，已知抛物线 （a≠0）的顶点坐标为（4，-2/3）， 且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A、B两点（点A在点B的 左边）. （1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
应用题中的最值问题
应用题中的最值问题在数学中，应用题是帮助我们将数学知识应用于实际问题的重要手段之一。
其中，最值问题是应用题中常见且具有挑战性的一类问题。
本文将探讨应用题中的最值问题，并通过实际例子展示如何解决这些问题。
一、最值问题的定义和解决方法最值问题是指在一定范围内，找出函数的最大值或最小值的问题。
在解决最值问题时，我们需要明确以下几个步骤：1. 确定问题背景和条件：了解题目所给的具体情境和限制条件，确保对问题有全面的理解。
2. 建立数学模型：将问题转化为数学表达式。
根据题目提供的信息，可以通过建立函数或方程来描述问题，以便后续求解。
3. 求导并解方程：对所建立的函数或方程进行求导，并解决相关方程。
根据问题要求，我们可以找到导数为0的临界值，以及一些特殊点。
4. 检验临界值和特殊点：将临界值和特殊点代入函数或方程，进行验证。
通过验证，确认所求的最值是否存在或有效。
5. 给出最终答案：根据问题所求，可以得到最大值或最小值，并做出符合问题背景的解释和结论。
二、实例分析：最值问题的应用为了更好地理解最值问题的应用，我们来看一个具体例子。
假设某电商平台推出了一件商品，初始价格为x元。
经过一段时间的销售，该商品的销量与价格之间存在一定的关系。
现在需要确定一个最佳价格，使得销售利润达到最大值。
解决该问题的关键步骤如下：1. 确定问题背景和条件：假设该商品的每个单位价格对应的销量可以通过函数f(x)表示，其中x为价格，f(x)为销量。
另外，我们还需要考虑商品的成本和利润率等因素。
2. 建立数学模型：根据题目要求，可以建立一个代表销售利润的函数p(x)，其中p(x) = (x - c) * f(x)，其中c表示商品的成本。
这里，我们通过将价格与销量的关系转化为销售利润的函数，建立了一个数学模型。
3. 求导并解方程：对所建立的销售利润函数p(x)进行求导，并解方程p'(x) = 0。
在求解过程中，我们可以找到导数为0时的价格值，即为存在最大利润的价格。
小学六年级奥数课件：最值问题共25页
小学六年级奥数课件：最值问题
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
最大值最小值问题PPT优秀课件
函数在这个区的间点上的所函有数值f(都 x0) 不
3
2.函 数 y f(x)在 闭 区 [a,b间 ]上 最 值 的 取
(1)f(x)x1
x[2,0]
x[2,4] x[2,2]
x[2,0]
x[0,2]
x[2,2]
y
6
5
y f(x)
4
2
1
-2 -1 0 1 2
x
6
函 数 y f(x)在 闭 区 [a,b间 ]上 最 值 的 取 值
(3 )yf(x )x , [a ,b ]
y
y f(x)
a x1 o
X2
X3
bx
结论：y函 f(数 x)在[a,b]上的最值在
的极值点和区 取间 得端点处
9
3.给 定 y函 f数 (x)，x[a,b]如 何 求 取
y
y f(x)
a x1 o
X2
X3
bx
10
4.函数 y f(x）的最值与极值 与的 区联 别
（1）. 函数的极大（小）值可能有多个，而最大（小）值只 有唯一的一个
（2）极大值不一定比极小值大，但是最大值一定比最小值大 （3）极值只能在区间的内部取得，不能在端点处取得，而函 数的最值可以在端点处取得 （4）函数的最值在函数在整个定义域内的整体性质，极 值只是函数在某一点附近的局部性质
11
练 1 ： 习求 yx 3 函 1x 2 2数 4x 5 1,x 0 [0 ,1]0 的最值？
练2 ： 习求 f(x 函 )s数 ix n cox,sx [,]的
中考数学最值问题讲座课件
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一 次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元，若运输物资不 少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并 指出哪种方案所需总费用最少，最少总费用是多少 ？
例3.为加快复工复产，某企业需运输一批物资。据调查得知，2辆 大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车 一次可以运输1350箱。 （1）一辆大货车和一辆小货车，一次可以分别运输多少箱物资；
初中数学的最值问题
（代数方面）
一、根据绝对值的意义求最值
二、利用二次根式的非负性求最值
例：当x取什么实数时，式子 最小？最小值是多少？
的值
根据二次根式被开方数是非负数可知3x-1≥0, 所以当3x-1=0时式子的值最小，此时最小值为2。
三、利用配方法求最值
1.当x为_______时， 多项式x2+6x+10有最小值________
分析：（1）购买甲种蔬菜x千克，那么购买乙种蔬菜就是 （100-x）千克，进货的总资金就是10x+14（100-x），然后 根据投入资金不少于1160元，又不多于1168元 ，就可以建立 不等式组1160≤10x+14（100-x）≤168，进而找到x的取值范 围58≤x≤60，然后找出符合条件的x的所有正整数解 58,59,60,这样购买方案就是3种。
第三十七讲 最值问题-数学讲座
第三十七讲最值问题-数学讲座
本文讲座将讨论数学中的最值问题。
最值问题是数学中一类重要且常见的问题，涉及找到一个函数在某个区间上的最大值或最小值。
数学中的最值问题可以通过很多方法来解决。
一种常见的方法是利用导数。
对于一个函数，它的最值点往往对应着函数的导数为零的点。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
然后，通过判断极值点的性质，我们可以确定最大值或最小值。
另一种解决最值问题的方法是应用不等式。
通过使用不等式的性质和变形，我们可以找到函数的最大值或最小值。
当然，解决最值问题的方法不仅限于上述两种。
数学中还有很多其他的方法，如拉格朗日乘数法、二次函数的性质等等。
最值问题在实际生活中有广泛的应用。
比如，在经济学中，我们希望找到某种商品的最佳生产量以获得最大利润；在物理学中，
我们希望找到最短路径或最低能量状态；在工程学中，我们希望找到最优解决方案以节约成本等等。
总之，最值问题是数学中一个重要且有趣的领域。
通过掌握解决最值问题的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识。
希望这次的数学讲座能够对你们有所帮助。
> 注意：本文为讲座摘要，未对具体数学问题进行详细分析和证明。
如需更深入了解，请参考相关数学教材和论文。
中学数学最值问题方法探讨
在中学数学的教学和学习过程中，最值问题是一个重要的知识点，它涉及到许多数学概念和技巧的应用。
本文将探讨中学数学最值问题的解决方法，以期帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、最值问题的概念和分类最值问题是指在一定范围内，寻求最大或最小的数值问题。
根据不同的数学概念和解题方法，最值问题可以分为不同的类型，如代数最值问题、几何最值问题、三角函数最值问题等。
二、最值问题的解决方法1.代数最值问题解决方法对于代数最值问题，通常需要使用函数、不等式和方程等方法进行求解。
具体步骤如下：（1）分析题意，找出变量和参数，建立数学模型；（2）利用函数性质，如单调性、奇偶性等，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求函数f(x)=x²+2x+1的最小值。
可以通过配方得到f(x)的最小值为1。
2.几何最值问题解决方法对于几何最值问题，通常需要使用几何图形、三角函数和向量等方法进行求解。
具体步骤如下：（1）根据题意，画出相应的几何图形；（2）利用三角函数性质和向量方法，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求圆x²+y²=4上的点到直线y=x+b的最短距离。
可以通过三角函数求解得到最小距离为。
3.三角函数最值问题解决方法对于三角函数最值问题，通常需要使用三角函数的性质和公式进行求解。
具体步骤如下：（1）根据题意，确定变量和参数；（2）利用三角函数的性质和公式，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求在三角形ABC中，已知A为锐角，a、b分别为内角A和B的对边，c为BC上的高，求bc的最大值。
可以通过正弦定理和余弦定理求解得到最大值为。
三、解题思路总结1.仔细审题，明确题意，找出变量和参数；2.根据不同的数学概念和解题方法，选择合适的解决方法；3.建立数学模型，利用数学方法求解最大或最小值；4.结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果；5.总结解题思路和方法，加强理解和应用。
小升初数学常考内容讲义：最值问题
小升初数学常考内容讲义：最值问题编者小语：小编为同学们整理了小升初数学常考内容讲义：最值问题，适合六年级同学小升初复习之用，低年级也可以提前进行学习。
并祝各位同学在小升初考试中取得优异成绩!!!第三讲最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的.典型问题1.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块.那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖.则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l 时满足条件，且总和最少.这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块.方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况.如何避免,希望大家自己解决.2.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.求算式ABCDE-FGHIJ的计算结果的最大值.【分析与解】为了使ABCDE-FGHIJ尽可能的大，ABCDE尽可能的大，FGHIJ尽可能的小.则ABCDE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93.则FGHIJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为46820.所以ABCDE-FGHIJ的最大值为75193-46820=60483.评注：类似的还可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值为64082-37915=46795.3.将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7.然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算.87+710+106+69+98=312;97+710+106+68+89=313.所以，最小值为312.4.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为 ab=10a+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9ak(mod a+b).特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9;所以当除数a+b不为18，即最大为17时，得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：6. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等.这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?7.有13个不同的自然数，它们的和是100.问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个;对应的偶数最多有11个，最少有1个.但是我们必须验证看是否有实例符合.当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4.它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足;当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100.类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1.3.5，7，9，11，13，15满足.所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个.。
胖博士奥数课堂六年级最值问题
胖博士奥数课堂六年级最值问题摘要：1.引言：介绍胖博士奥数课堂的背景和六年级最值问题的意义2.最值问题的概念和基本解题思路3.最值问题的分类和解题技巧4.举例说明最值问题的解题过程5.结论：总结最值问题的重要性和学习方法正文：【引言】在胖博士奥数课堂中，六年级的最值问题是一个重要的教学内容。
最值问题作为数学中的一个基本问题类型，不仅是小学奥数的重点和难点，而且在初中、高中乃至大学的数学学习中都有广泛的应用。
掌握最值问题的解题方法，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题具有重要意义。
【最值问题的概念和基本解题思路】最值问题是指在一定条件下，寻找一个数或一组数的最大值或最小值。
解决最值问题的基本思路是：首先要分析题目的条件和要求，找到问题的切入点；其次要运用数学知识和方法，如比较法、代换法、图解法等，逐步缩小问题的范围，最后找到最值。
【最值问题的分类和解题技巧】最值问题可以根据条件的不同分为几类，如单一条件的最值问题、两个条件的最值问题、多个条件的最值问题等。
对于不同类型的最值问题，有不同的解题技巧：1.单一条件的最值问题：一般采用比较法，通过观察和比较找到最值。
2.两个条件的最值问题：可以采用代换法，将一个条件用另一个条件表示，化简问题后再求解。
3.多个条件的最值问题：可以采用图解法，将条件用图形表示，直观地找到最值。
【举例说明最值问题的解题过程】例如，有一个六年级的最值问题：一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求这个长方体的体积的最大值。
这是一个单一条件的最值问题，可以采用比较法解决。
我们先列出长方体的体积公式：V=a*b*c，然后通过观察和比较发现，当长、宽、高相等时，体积最大，即Vmax=a*a*a。
【结论】综上所述，最值问题是数学中的一个基本问题类型，具有广泛的应用。
掌握最值问题的解题方法，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题具有重要意义。
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专题讲座六：最值问题 学生姓名 一、选择题
1. 有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b （b ＞a ）的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为【 】
A ．a+b
B ．2a+b
C ．3a+b
D ．a+2b
2. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上
找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=【 】
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1
2
，0），点P 为
斜边OB 上的一动点，
则PA ＋PC 的最小值为【 】 A ．
132
B ．
312 C ．3192
D ．27
4、下列图形中，阴影部分面积最大的是【 】
5. 如图，在圆O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB
的延长线交于点Q ，已知：圆O 半径为5
2，tan ∠ABC ＝3
4
， 则CQ 的最大值是【 】 A ．5 B ．154 C ．253 D ．20
3
二、填空题
6. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB=30°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点，若⊙O 的半径为7，
则GE+FH 的最大值为 ．
7.如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，
则BE的最大长度为cm。
8. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值是．
9.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。
则AF 的最小值是
=-+与10.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y kx3k4
⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．
三、解答题：
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O 上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC
的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？
请作出判断，并说明理由．
12. 在ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．（2）试探究当△CPE≌△CPB时，ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，B ，与x 轴分别交于点E ，F ，且点E 的坐标为（2
3
-，0），以OC 为直径作半圆，圆心为D ．
（1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线BE 是⊙D 的切线； （3）若直线BE 与抛物线的对称轴交点
为P ，M 是线段CB 上的一个动点（点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN ∥BE 交x 轴与点N ，连结PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
14. 如图1，直线AB 过点A （m ，0），B （0，n ），且m+n=20（其中m ＞0，n ＞0）。
（1）m 为何值时，△OAB 面积最大？最大值是多少？ （2）如图2，在（1）的条件下，函数()k
y k>0x
=
的图像与直线AB 相交于C 、D 两点，若
OCA OCD 1
S S 8
∆∆=，求k 的值。
（3）在（2）的条件下，将△OCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方
向平移，如图3，设它与△OAB 的重叠部分面积为S ，请求出S 与运动时间t （秒）的函数关系式（0<t<10）。
15. 如图，抛物线21y x 1=-交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y 2，两条抛物线相交于点C ． （1）请直接写出抛物线y 2的解析式；
（2）若点P 是x 轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA ，求出所有满足条件的P 点坐标； （3）在第四象限内抛物线y 2上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．
16. 如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC=80，BD=60．动点M 、N 分别以每秒1个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A→O→D 和D→A 运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒． （1）求菱形ABCD 的周长；
（2）记△DMN 的面积为S ，求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO=∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD 的距离；若不存在，请说明理由．
答案部分1、解：
2、解：
3、解
【答案】B。
【考点】单动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识
8、解：
9、解：
10解：
11、解：
12、解：
【答案】解：（1）∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴A（0，2），B（2，2）。
又∵E的坐标为（
2
3
-，0），
∴
c2
4a2b2
42
a b c0
93
⎧
⎪=
⎪
+=
⎨
⎪
⎪-+=
⎩
，解得，
9
a
8
9
b
4
c2
⎧
=-
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎩。
∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC。
∴CN MC
EC BC
=，即
CN t
82
3
=。
∴
4 CN t
3
=。
13、解：
12113。
104
【考点】二次函数综合题，平移和单动点问题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与
【答案】解：（1）在菱形ABCD 中，
∵AC ⊥BD ，AC=80，BD=60，∴22AD 304050=+=。
∴菱形ABCD 的周长为200。
（2）过点M 作MP ⊥AD ，垂足为点P ．
①当0＜t≤40时，如答图1， ∵MP OD 3
sin OAD AM AD 5
∠=
==，
∴S△ONF=1
2
OF•NF=S△OGF+S△OGN=
1
2
OF•FG+
1
2
ON•GH=
1
2
（OF+ON）•FG。
∴
OF NF122424
FG
OF ON1212515
⋅⨯
===
+++。
∴
24
GF2
15
tan GOF
OF1215
+
∠===
+。
设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：
∠DPK=1
2
∠DPO=
1
2
∠DON=∠FOG，
∴
DK152
tan DPK
PK PK15∠===
+。
∴PK=
() 1551
2
+。
根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′。
∴存在两个点P到OD的距离都是
() 1551
2
+。
∴PE=PI+IE=
() 1551
2
+。
根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件。
∴存在两个点P，到OD的距离都是
() 1551
2
+。