河南省郑州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

河南省郑州二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）不等式2x2﹣x≤1的解集为（）
9．（5分）若不等式a＞b与同时成立，则必有（）
A．a＞b＞0 B．C．a＞0＞b D．
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用不等式的性质即可得出．
解答：解：∵，∴，
又∵a＞b，∴b﹣a＜0．
∴ab＜0．
∴a＞0＞b．
故选C．
点评：本题考查了不等式的性质，属于基础题．
10．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
考点：充要条件．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．
解答：解：由正弦定理可知⇒=，
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，
∴a，b，sinA，sinB都是正数，
∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”．
∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件．
故选：A．
点评：本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．
11．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得
的最小值为（）
A．B．C．D．
考点：基本不等式；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．
∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，
∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，
故选A．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．
12．（5分）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）
A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值
考点：等比数列的性质；对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据
lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．
解答：解：依题意•lny=
∴lnx•lny=
∴lnxy=lnx+lny≥2=1
xy≥e
故选C
点评：本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分（共4小题，满分20分）
13．（5分）当x＞﹣1时，不等式x+﹣1≥a恒成立，则实数a的最大值是0．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据基本不等式的性质求出x+﹣1的最小值为0，再根据当x＞﹣1时，不等式x+
﹣1≥a恒成立，求出a的范围，继而问题得以解决．
解答：解：∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴x+﹣1=x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2=0，当且仅当x=0时取等号，
∴x+﹣1的最小值为0，
∵不等式x+﹣1≥a恒成立，
∴a≤0，
∴实数a的最大值是0．
故答案为：0．
点评：本题考查函数恒成立问题，关键是利用基本不等式，注意等号成立的条件，属于中档题．
14．（5分）在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2+b2﹣c2+ab=0，则角C 的大小为．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．解答：解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2+ab=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab，
∴cosC===﹣，
则C=．
故答案为：
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题关键．
15．（5分）等差数列{a n}中，S n是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则：
①此数列的公差d＜0
②S9一定小于S6
③a7是各项中最大的一项
④S7一定是S n中的最大值．
其中正确的是①②④（填入你认为正确的所有序号）
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由已知可得a7＞0，a8＜0，再对选项进行判断即可．
解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，
S8﹣S7=a8＜0，∴a8﹣a7=d＜0①正确；
S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，故正确；
由于d＜0，所以a1最大，∴错误；
由于a7＞0，a8＜0，S7最大，∴正确；
故答案为：①②④．
点评：本题考查等差数列的性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．
16．（5分）已知正实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；直线与圆．
分析：利用基本不等式，根据xy≤，把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．
解答：解：∵x2+y2+xy=1
∴（x+y）2=1+xy
∵xy≤
∴（x+y）2﹣1≤，
整理求得﹣≤x+y≤，
∴x+y的最大值是．
故答案为：．
点评：本题主要考查了基本不等式．应熟练掌握如均值不等式，柯西不等式等性质．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）该数列从第几项开始各项都是正数？
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣7n+6求解．
解答：解：（1）∵a n=n2﹣7n+6，
∴=﹣6．
∴这个数列的第4项是﹣6．
（2）解方程n2﹣7n+6=150，
得n=16，或n=﹣9，
∵n∈N*，
∴150是这个数列的项，它是第16项．
（3）由a n=n2﹣7n+6≥0，
得n≤1，或n≥6．
∴数列从第7项开始各项都是正数．
点评：本题考查数列的通项公式的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：综合题；解三角形．
分析：（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；
（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵cosB=
∴sinB=，
∵a=2，b=4，
∴sinA===；
（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，
∴b==．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）已知f（x）=|x|﹣|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤0的解集A；
（2）若不等式mx+m﹣1＞0对任何x∈A恒成立，求m的取值范围．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）不等式f（x）≤0，即|x|≤|x+1|，平方求得不等式的解集．
（2）由题意可得当x≥﹣时，m＞恒成立．利用单调性求得函数y=在﹣，+∞）．
（2）由题意可得当x≥﹣时，mx+m﹣1＞0恒成立，即m＞恒成立．
由于函数y=在2，+∞）．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题．利用单调性求函数的最值，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC．（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c．
考点：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：（I）利用三角恒等变换，化简已知等式可得cos（B+C）=，结合三角形内角的范围算出B+C=，再利用三角形内角和即可得到A的大小；
（II）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积为2算出bc=8．再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据化简可得（b+c）2﹣bc=28，两式联解即可算出b+c的值．
解答：解：（Ⅰ）∵2cos（B﹣C）+1=4cosBcosC，
∴2（cosBcosC+sinBsinC）+1=4cosBcosC，
即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=1，可得2cos（B+C）=1，
∴cos（B+C）=．
∵0＜B+C＜π，可得B+C=．
∴A=π﹣（B+C）=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=．
∵S△ABC=2，∴bcsin=2，解得bc=8．①
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得
（2）2=b2+c2﹣2bccos，即b2+c2+bc=28，
∴（b+c）2﹣bc=28．②
将①代入②，得（b+c）2﹣8=28，
∴（b+c）2=36，可得b+c=6．…（12分）
点评：本题给出三角形的角满足的条件，求A的大小，并在已知三角形面积的情况下求边长．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．
21．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．
解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，
∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，
∴a n=2n+1；
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，
b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣=2n+1，
对b1=4不成立．
∴数列{b n}的通项公式：b n=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，
当n≥2时，==（﹣），
∴T n=+
=+（﹣）
=+，
当n=1时仍成立．
∴T n=+对任意正整数n成立．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．
22．（12分）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
考点：解三角形的实际应用．
专题：综合题；解三角形．
分析：设∠AMN=θ，在△AMN中，求出AM，在△APM中，利用余弦定理，建立函数，利用辅助角公式化简，即可得出结论．
解答：解：设∠AMN=θ，在△AMN中，=．
因为MN=2，所以AM=sin（120°﹣θ）．…2分
在△APM中，cos∠AMP=cos（60°+θ）．…6分
AP2=AM2+MP2﹣2AM•MP•cos∠AMP
=sin2（120°﹣θ）+4﹣2×2×sin（120°﹣θ）cos（60°+θ）…8分
=sin2（θ+60°）﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°）+4
=﹣sin（2θ+120°）+4
=﹣+
=﹣sin（2θ+150°），θ∈（0，120°）．…12分
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…14分
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，正确构建函数是关键．。