备考2018志鸿优化设计2018版中考数学总复习单元综合检测四图形初步与三角形含解析湘教版精品

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2018年江西省中考数学《第四单元三角形》总复习检测卷含解析

图8 三、 (本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分 ) 13． (本题共 2 小题，每小题 6 分 )
(1) 计算： 2sin 30 －°2cos 60 ＋°tan 45 . ° (2) 如图 9，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， CD ⊥ AB 于 D ，AC ＝8， AB＝ 10，求 cos∠ BCD 的值．
5． (2017 大连 ) 如图 2，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D ，点 E 是 AB 的
中点， CD ＝ DE ＝ a，则 AB 的长为 ( )
图2
A ．2a
B．2 2a
C． 3a
43 D． 3 a
6．如图 3，在直角三角形 ABC 中，∠ BAC＝90°，将△ ABC 沿直线 BC 向右平移得到△ DEF ，连接 AD ， AE，则下列结论中不一定成立的是 ( )
图4 9．(2017 鸡西 )如图 5，BC∥ EF ，AC∥DF ，添加一个条件 ________________ ，使得△ ABC ≌△ DEF .
图5 10．如图 6，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，AC＝ 8，AB＝ 10，ED 垂直平分 AC 交 AB 于点 E，则 ED 的长为 __________．
图3
A ． AD ∥BE， AD＝ BE
B．∠ ABE＝∠ DEF
C． ED ⊥AC
D．△ ADE 为等边三角形
二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 )
7．一个角的度数为 30°，它的余角的度数为 __________ ． 8．如图 4，直线 l 1∥ l2∥ l 3，等边三角形 ABC 的顶点 B，C 分别在直线 l2，l3 上，若边 BC 与直线 l 3 的夹角∠ 1＝ 25°，则边 AB 与直线 l1 的夹角∠ 2＝ __________.

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习专题讲练专题三开放与探索(含解析) 新人教版

专题三开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．考向一条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件：使△ABP ≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．解析：要证明△ABP ≌△CDP ，已经给出了两个条件：AP ＝CP ，AC ⊥BD (即∠APB ＝∠CPD ＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．答案：∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AB ∥CD ，BP ＝DP ，AB ＝CD .(任选其中一个)方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．考向二结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．【例2】(2011广东河源)如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点(P 不与A ，B 重合)，分别以AP ，PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD .(1)当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP ＝__________.(直接写结果)(2)连接AD ，BC ，相交于点Q ，设∠AQC ＝α，那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由．(3)如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图1 图2分析：(1)设等边△APC 边长为x ，高为32x ，则面积为34x 2，则等边△BDP 边长为2a－x ，高为32(2a －x )，则面积为34(2a －x )2，面积之和为S ＝34x 2＋34(2a －x )2＝32x 2－3ax ＋3a 2，这是一个二次函数的最值问题．当x ＝a 时，S 最小＝32a 2. (2)判别α的大小是否会随点P 的移动而变化，只需计算∠AQC . (3)根据(2)证明过程或直观可得结论．解：(1)a(2)α的大小不会随点P 的移动而变化．理由：∵△APC 是等边三角形， ∴PA ＝PC ，∠APC ＝60°. ∵△BDP 是等边三角形，∴PB ＝PD ，∠BPD ＝60°，∴∠APC ＝∠BPD ， ∴∠APD ＝∠CPB ，∴△APD ≌△CPB ， ∴∠PAD ＝∠PCB .∵∠QAP ＋∠QAC ＋∠ACP ＝120°， ∴∠QCP ＋∠QAC ＋∠ACP ＝120°， ∴∠AQC ＝180°－120°＝60°.(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．考向三条件与结论开放问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】(1)如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边(不含端点B ，C )上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN ＝90°，求证：AM ＝MN .下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME .正方形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC . ∴∠NMC ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠MAB ＝∠MAE . (下面请你完成余下的证明过程)图1 图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”(如图2)，N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN ＝60°时，结论AM ＝MN 是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN ＝__________时，结论AM ＝MN 仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM ，即想提示考生证明△AEM ≌△MCN .由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB 上构造出线段AE ＝MC ，连接ME .进一步证明△AEM ≌△MCN .(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN 与正多边形的内角度数相等．解：(1)∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ，∴∠BEM ＝∠EMB ＝45°，∴∠AEM ＝135°.∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN ＝45°，∴∠AEM ＝∠MCN ＝135°.在△AEM 和△MCN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠MCN ，AE ＝MC ，∠EAM ＝∠CMN ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN . (2)仍然成立．在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME . ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACP ＝120°.∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ， ∴∠BEM ＝∠EMB ＝60°， ∴∠AEM ＝120°.∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN ＝60°， ∴∠AEM ＝∠MCN ＝120°.∵∠CMN ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠BAM ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN .(3)n －n.方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．一、选择题1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．9个2．根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象(如图2)，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ .则以下结论①x ＜0时，y ＝2x，②△OPQ 的面积为定值，③x ＞0时，y 随x 的增大而增大， ④MQ ＝2PM ，⑤∠POQ 可以等于90°.图1 图2其中正确的结论是( )A．①②④ B．②④⑤C．③④⑤ D．②③⑤二、填空题3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)三、解答题5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°＜α＜120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O 交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.图1 图2 备用图(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC ＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？图1 图27．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD ＞AB )，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE .(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若AE ＝10 cm ，△ABF 的面积为24 cm 2，求△ABF 的周长；(3)在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．8．已知：二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象经过点P (－2,5)． (1)求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围．(2)设点P 1(m ，y 1)，P 2(m ＋1，y 2)，P 3(m ＋2，y 3)在这个二次函数的图象上． ①当m ＝4时，y 1，y 2，y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．②当m 取不小于5的任意实数时，y 1，y 2，y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．9．如图1，已知抛物线的顶点为A (0,1)，矩形CDEF 的顶点C ，F 在抛物线上，D ，E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B (0,2)且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式．(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连接PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P ，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S ，R .①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P ，S ，M 为顶点的三角形和以点Q ，R ，M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．图1 图2参考答案专题提升演练 1．C 以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.2．B 根据图中所示程序，可得y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2xx ，4x x，易知①错误；∵PQ ∥x 轴，∴点P 在y ＝－2x 上，∴S △POM ＝12×OM ×PM ＝12|k |＝1，同理可得S △QOM＝2，∴S △POQ ＝S △POM ＋S △QOM ＝1＋2＝3，∴②正确；当x ＞0时，y ＝4x，y 随x 的增大而减小，∴③错误；设OM ＝a ，当y ＝a 时，P 点的横坐标为－2a，Q 点的横坐标为4a ，则PM ＝2a ，MQ ＝4a，则MQ ＝2PM ，∴④正确；当点M 在y 轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ 由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ 可以等于90°，∴⑤正确．3．∠A ＝90°或∠B ＝90°或∠C ＝90°或∠D ＝90°或AC ＝BD (答案不唯一，写出一种即可) 由已知条件AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等由于这个方程有实数根，因此Δ＝b 2－4ac ＝(－m )2－12＝m 2－12≥0，即m 2≥12.5．解：(1)①②④(2)α＝90°.依题意可知，△ACB 旋转90°后AC 为⊙O 直径，且点C 与点E 重合，因此∠AFE ＝90°.∵AC ＝8，∠BAC ＝60°，∴AF ＝12AC ＝4，EF ＝43，∴S △AEF ＝12×4×43＝8 3.6．解：(1)△HGA △HAB (2)由(1)可知△AGC ∽△HAB ， ∴CG AB ＝AC BH ，即x 9＝9y ， ∴y ＝81x.(3)由(1)知△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．有两种情况，(1)CG 为底，AC ＝AG 时，得AG ＝9，此时CG 等于92，(2)CG 为腰，CG＝AG 时，此时CG ＝922.7．解：(1)证明：由折叠可知EF ⊥AC ，AO ＝CO . ∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO . ∴△AOE ≌△COF . ∴EO ＝FO .∴四边形AFCE 是菱形． (2)由(1)得AF ＝AE ＝10. 设AB ＝a ，BF ＝b ，得a 2＋b 2＝100①，ab ＝48②.①＋2×②得(a ＋b )2＝196，得a ＋b ＝14(另一负值舍去)． ∴△ABF 的周长为24 cm.(3)存在，过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，则点P 符合题意．证明：∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP .∴AO AE ＝AE AP，得AE 2＝AO ·AP ，即2AE 2＝2AO ·AP .又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC ·AP .8．解：(1)把点P 代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b －3，解得b ＝－2.所以二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3. 当x ＝1时，y ＝－4，当x ＝3时，y ＝0，所以当1＜x ≤3时，y 的取值范围为－4＜y ≤0. (2)①m ＝4时，y 1，y 2，y 3的值分别为5,12,21，由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m 取不小于5的任意实数时，由图象知y 1＜y 2＜y 3，y 1，y 2，y 3的值分别为m 2－2m －3，m 2－4，m 2＋2m －3，y 1＋y 2－y 3＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4)－(m 2＋2m －3)＝m 2－4m －4＝(m－2)2－8，当m 不小于5时成立，(m －2)2≥9，所以(m －2)2－8＞0，即y 1＋y 2＞y 3成立．所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1，y 2，y 3一定能作为同一个三角形三边的长． 9．(1)解：方法一：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)，F 点坐标为 (2,2)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，其过三点A (0,1)，C (－2,2)，F (2,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a －2b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c .解这个方程组，得 a ＝14，b ＝0，c ＝1. ∴此抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1.方法二：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)．根据题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋c . 其过点A (0,1)和C (－2,2)．得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a ＋c . 解这个方程组，得a ＝14，c ＝1.∴此抛物线解析式为y ＝14x 2＋1.(2)①过点B 作BN ⊥PS ，垂足为N .∵P 点在抛物线y ＝14x 2＋1上，可设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，14a 2＋1， ∴PS ＝14a 2＋1，OB ＝NS ＝2，BN ＝a .∴PN ＝PS －NS ＝14a 2－1.在Rt △PNB 中，PB 2＝PN 2＋BN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－12＋a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋12. ∴PB ＝PS ＝14a 2＋1.②根据①同理可知BQ ＝QR . ∴∠1＝∠2，又∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3. 同理∠SBP ＝∠5.∴2∠5＋2∠3＝180°. ∴∠5＋∠3＝90°， ∴∠SBR ＝90°.∴△SBR 为直角三角形． ③若以P ，S ，M 为顶点的三角形与以Q ，M ，R 为顶点的三角形相似， ∵∠PSM ＝∠MRQ ＝90°，∴有△PSM ∽△MRQ 和△PSM ∽△QRM 两种情况．当△PSM ∽△MRQ 时，∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM .由直角三角形两锐角互余性质，知∠PMS ＋∠QMR ＝90°， ∴∠PMQ ＝90°.取PQ 中点为N ，连接MN ，则MN ＝12PQ ＝12(QR ＋PS )．∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线． ∴点M 为SR 的中点．当△PSM ∽△QRM 时，RM MS ＝QR PS ＝QBBP.又QB BP ＝RO OS，∴RMMS＝ROOS，即M点与点O重合．∴点M为原点O.综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM.。

【备考2014 志鸿优化设计】(湖南专用)2013版中考数学总复习第5讲一次方程组二次函数(基础

第5讲一次方程(组)考标要求考查角度1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3．会列方程(组)解决实际问题.一元一次方程在中考试题中体现的不突出，仅以填空题、选择题、列方程解应用题的方式出现．二元一次方程组一般以填空题、选择题考查定义与解法，以解答题考查列方程组解应用题.知识梳理一、等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．二、一元一次方程1．只含有______未知数，并且未知数的最高次数都是____，系数不等于零的______方程叫做一元一次方程，其标准形式为__________，其解为x＝______.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)________；(3)移项；(4)____________；(5)未知数的系数化为1.三、二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是____，这样的整式方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax ＋by ＝c (a ≠0，b ≠0)．(3)使二元一次方程两边的值______的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的______二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，a 2，b 1，b 2均不为零)．(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的________，叫做二元一次方程组的解．四、二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是______，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有______消元法和__________消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示出y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；(2)将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；(4)把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值． 2．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．五、列方程(组)解应用题的一般步骤审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x ，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数．列：根据题意寻找等量关系列方程(组)．解：解方程(组)．验：检验方程(组)的解是否符合题意．答：写出答案(包括单位)．六、常见的几种方程类型及等量关系 1．行程问题中的基本量之间的关系路程＝速度×时间；相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；追及问题：若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；流水问题：v 顺＝v 静＋v 水，v 逆＝v 静－v 水． 2．工程问题中的基本量之间的关系工作效率＝工作总量工作时间.(1)甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率． (2)通常把工作总量看作“1”．自主测试1．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12．(2012某某)关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．(2012某某某某)关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝m ，x ＋my ＝n的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则|m －n |的值是( )A ．5B ．3C ．2D ．14．(2012某某某某)某某市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为( )A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x (x ＋10)＝200 5．(2012某某某某)请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.6．受干旱气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有些上涨，X 大爷在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13 800元，其中甲种蔬菜每亩获利1 200元，乙种蔬菜每亩获利1 500元，则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？考点一、一元一次方程的解法【例1】解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1.解：去分母，得2(2x ＋1)－(10x ＋1)＝6，去括号，得4x ＋2－10x －1＝6，移项，得4x －10x ＝6－2＋1，合并同类项，得－6x ＝5，系数化为1，得x ＝－56.方法总结解一元一次方程时，首先要清楚基本方法与一般步骤，明确每步的理论依据，根据其特点选用解题步骤．考点二、二元一次方程组的有关概念【例2】已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2C ． 2D ．±2解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴2m －n ＝2×3－2＝4＝2.答案：B方法总结方程组的解适合方程组的每一个方程，把它代入原方程组，就会得到一个新的方程组，解新方程组即可得出待定字母系数的值．触类旁通1已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x ，y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a－1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法【例3】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，5x ＋2y ＝23.①②解：方法一：用加减消元法解方程组． ①×2得6x －2y ＝10，③ ②＋③得11x ＝33，解得x ＝3. 把x ＝3代入①得9－y ＝5，解得y ＝4.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法二：用代入消元法解方程组．由①得y ＝3x －5，③把③代入②得5x ＋2(3x －5)＝23，即11x ＝33，解得xx ＝3代入③得y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.方法总结解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程．最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合方程组的特点，灵活选用消元方法．如果出现未知数的系数为1或－1，宜用代入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂，宜用加减消元法解．触类旁通2解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝11，①2x ＋y ＝13.②考点四、列方程(组)解决实际问题【例4】 (2012某某株洲)在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖游艺区游戏规则如下：如图，掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：(1)求掷中A 区、B 区一次各得多少分； (2)依此方法计算小明的得分为多少分．分析：(1)观察图形，可知题中相等关系是：小华A 区得分＋小华B 区得分＝77分，小芳A 区得分＋小芳B 区得分＝75分，由此列方程组，即可求出掷中A 区、B 区一次各得多少分；(2)分别算出小明A 区得分，B 区得分可得小明总得分．解：(1)设掷中A 区和B 区一次分别得x 分，y分．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝77，3x ＋5y ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝9.答：掷中A 区、B 区一次分别得10分、9分． (2)由(1)可知：4x ＋4y ＝4×10＋4×9＝76. 答：小明的得分为76分．方法总结对于含多个未知数的实际问题，利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程组，首先要对具体的问题进行具体分析，从中抽取两个等量关系，再根据相应的等量关系列出方程组，注意所求的解要符合实际问题．1．(2012某某某某)一元一次方程3x －6＝0的解是__________．2．(2012某某某某)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－5，7x －2y ＝13的解是__________．3．(2012某某某某)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，①2x －y ＝1.②4．(2012某某某某)以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在某某某某圆满落幕，作为东道主的某某省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个．(1)求某某省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个；(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元、7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主某某省共引进资金多少亿元．5．(2012某某某某)体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元.篮球排球进价(元/个) 80 50 售价(元/个)9560(1)购进篮球和排球各多少个？(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？1．已知3是关于x 的方程2x －a ＝1的解，则a 的值是( ) A ．－5 B ．5 C ．7 D ．22．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，2x ＋y ＝4的解是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝03．某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C ．⎩⎪⎨⎪⎧16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400D ．⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝4004．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34B ．34C ．43D ．－435．某某历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元．设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________．6．方程|4x －8|＋x －y －m ＝0，当y ＞0时，m 的取值X 围是__________．7．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为__________．8．若关于x ，y 的二元一次方程组2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值X 围是__________．9．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元钱买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运动会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．参考答案【知识梳理】二、1.一个 1 整式 ax ＋b ＝0(a ≠0) －b a2．(2)去括号 (4)合并同类项三、1.(1)两个 1 (3)相等 2．(1)两个 (3)公共解四、消元代入加减导学必备知识自主测试1．B 把A 项代入方程左边＝0－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝右边，把B 项代入方程左边＝1－2×1＝－1≠右边，把C 项代入方程左边＝1－2×0＝右边，把D 项代入方程左边＝－1－2×(－1)＝右边．2．D ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2， ∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.故选D.3．D 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3－1＝m ，1＋m ＝n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，则|m －n |＝1.4．D 设宽为x 米，则长为(x ＋10)米，根据长×宽＝矩形面积，列方程为x (x ＋10)＝200.5.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3(答案不唯一)6．解：设甲、乙两种蔬菜种植面积分别为x ，y 亩，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，1 200x ＋1 500y ＝13 800，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.答：甲、乙两种蔬菜各种植了4亩、6亩．探究考点方法触类旁通1.解：把x ＝2，y ＝3代入方程得23＝3＋a ，解得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9.触类旁通2.解：②×2得4x ＋2y ＝26，③ ③－①得5y ＝15，解得y ＝3，把y ＝3代入②得2x ＋3＝13，解得x ＝5. 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.品鉴经典考题1．x ＝2 移项，得3x ＝6，系数化为1，得x ＝2.2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3两方程相加得8x ＝8，x ＝1，把x ＝1代入第一个方程，得y ＝－3.3．解：①＋②得，3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入①得，y ＝3.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.4．解：(1)解法一：设某某省签订的境外投资合作项目有x 个，则某某省签订的省外境内的投资合作项目有(348－x )个，由题意得2x －(348－x )＝51，解得x ＝133，∴348－x ＝348－133＝215.答：某某省签订的境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个．解法二：设某某省签订的境外投资合作项目有x 个，省外境内的投资合作项目有y 个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝348，2x －y ＝51，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝133，y ＝215.答：某某省签订的境外投资合作项目有133个，省外境内投资合作项目有215个． (2)133×6＋215×7.5＝798＋1 612.5＝2 410.5(亿元)．答：在这次“中博会”中，东道主某某省共引进资金2 410.5亿元． 5．解：(1)设购进篮球x 个，排球y 个，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，15x ＋10y ＝260，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝8.答：购进篮球12个，排球8个．(2)销售6个排球的利润为60元，60÷15＝4(个)，所以与销售4个篮球的利润相等．研习预测试题1．B 把x ＝3代入方程，得6－a ＝1，所以a ＝5.2．D 两方程相加，得3x ＝6，x ＝2，把x ＝2代入x －y ＝2，得y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.3．B 购买甲种奖品x 件，每件16元，共花了16x 元，购买乙种奖品y 件，每件12元，共花了12y 元．相等关系为：甲奖品件数＋乙奖品件数＝30件，甲花的钱＋乙花的钱＝400元．4．B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7k ，y ＝－2k ，代入2x ＋3y ＝6，得到14k －6k ＝6，所以k ＝34.5．8x ＋38＝50 相等关系为8个莲蓬的价格＋找回的38元＝50元．6．m ＜2 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －8＝0，x －y －m ＝0，解得y ＝2－m ，∵y ＞0，∴2－m ＞0，∴m ＜2.7．－1 因为把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1.8．k ＞29．解：(1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝18，2x ＋5y ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋5(48－a )≤200，48－a ≥a .解得20≤a ≤24.所以，一共有5种方案，即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20,28；21,27；22,26；23,25；24,24.。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习第12讲几何初步知识及相交线、平行线(基础讲练+锁定考试

第12讲几何初步知识及相交线、平行线质，平行线的性质和判定.考点一直线、射线、线段 1．直线的基本性质(1)两条直线相交，只有一个交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线． 2．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短． 3．把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点．1．概念：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．2．角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．3．余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．4．对顶角：在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．考点三垂线的性质与判定 1．垂线及其性质：垂线：两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)2．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 3．判定：若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．考点四平行线的性质与判定1．概念：在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．4．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．1．如图，C ，D 是线段AB 上两点，若CB ＝4 cm ，DB ＝7 cm ，且D 是AC 的中点，则AC的长为( )．A ．3 cmB ．6 cmC ．11 cmD ．14 cm2．如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠COB ，若∠EOB ＝55°，则∠BOD 的度数是( )．A ．35° B．55° C ．70° D．110° 3．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD ＝45°，则∠COE 的度数是( )．A ．125° B．135° C．145° D．155°4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.5．如图，EF ⊥GF 于F ，∠AEF ＝150°，∠DGF ＝60°，试判断AB 和CD 的位置关系，并说明理由．一、直线、射线、线段【例1】在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16 cm ，再截取AC ＝40 cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．解：(1)当C 在AB 的延长线上时，如图，∵D 是AB 的中点，AB ＝16 cm ，∴AD ＝AB 2＝12×16＝8 cm.∵E 是AC 的中点，AC ＝40 cm ，∴AE ＝12AC ＝12×40＝20 cm.∴DE ＝AE －AD ＝20－8＝12 cm.(2)当C 在BA 的延长线上时，如图，由(1)知AD=8 cm ，AE=20 cm.∴DE=AE+AD=20+8=28 cm.答：D 点与E 点的距离是12 cm 或28 cm.对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．二、角的计算【例2】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是( )．A ．∠2＝45°B ．∠1＝∠3C ．∠AOD 与∠1互为补角D ．∠1的余角等于75°30′解析：利用两直线互相垂直的性质得∠2＝12∠AOE ＝45°，A 正确；利用对顶角性质，则B 正确；利用互为邻补角定义，则C 也正确；而根据互为余角的定义知：90°－∠1＝90°－15°30′＝74°30′，故D 不正确．答案：D有关图形中的角的计算问题，首先要从图形中读出具有度量关系的角；如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．三、平行线的性质与判定【例3】如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，交CD 于D 点，∠CDE ＝150°，则∠C 为( )．A ．120°B ．150°C ．135°D ．110°解析：∵∠CDE ＝150°，∴∠CDB ＝30°. ∵CD ∥AB ，∴∠ABD ＝30°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝60°. ∴∠C ＝180°－60°＝120°. 答案：A运用平行线的性质和判定常用来解决下列问题： (1)作图形的平移； (2)证明线段或角相等； (3)证明两直线平行； (4)证明两直线垂直．如图，l ∥m ，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝( )．A．120° B．130°C．145° D．150°1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )．A．60° B．50°C．40° D．30°2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( )．A．40° B．50°C．60° D．140°3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )．4．(2011山东枣庄)如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )．A．30° B．40°C．60° D．70°5．(2011四川雅安)如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1＝72°，∠2＝58°，则∠3＝( )．A．45° B．50°C．60° D．58°6．(2011江苏盐城)已知∠MAN，AC平分∠MAN.①②③(1)在①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，我们可得结论：AB＋AD＝AC；在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则上面的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(2)在图③中：(只要填空，不需要证明)①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC；②若∠MAN＝α(0°＜α＜180°)，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC(用含α的三角函数表示)．1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( )．2．如图，直线l1∥l2，则∠α为( )．A．150°B．140°C．130°D．120°3．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )．A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°，其中正确的个数是( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于__________．6．如图，直线a∥b，直线AC分别交a，b于点B，C，直线AD交a于点D．若∠1＝20°，∠2＝65°，则∠3＝__________.7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.8．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.9．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．(4)从(1)(2)(3)的结果能看出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来？参考答案基础自主导学自主测试1．B 2.C 3.B 4.118°5．解：AB∥CD.如图，作FH∥AB，则∠AEF＋∠EFH＝180°，又∠AEF＝150°，∴∠EFH＝30°.又∠EFG＝90°，∴∠HFG＝60°.而∠DGF ＝60°，∴∠HFG ＝∠FGD . ∴HF ∥CD .又AB ∥HF ，∴AB ∥CD . 规律方法探究变式训练 D 知能优化训练中考回顾1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6．解：(1)成立．证法一：如图(甲)，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F .图(甲)∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF .∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CDE ＝∠ABC .∵∠CED ＝∠CFB ＝90°， ∴△CED ≌△CFB .∴ED ＝FB .∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ，由(1)知AF ＋AE ＝AC ，∴AB ＋AD ＝AC .证法二：如图(乙)，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG .图(乙)∵∠CAB ＝60°，AG ＝AC ， ∴∠AGC ＝60°，CG ＝AC ＝AG .∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠CBG ＝180°， ∴∠CBG ＝∠ADC .∴△CBG ≌△CDA . ∴BG ＝AD .∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC .(2)① 3 ②2cos α2模拟预测1．D 2.D 3.A 4.D 5.110° 6.45° 7.130° 8．证明：因为AB ∥CD ，所以∠BEF ＋∠DFE ＝180°.因为∠PEF ＝12∠BEF ，∠PFE ＝12∠DFE ，所以∠PEF ＋∠PFE ＝12(∠BEF ＋∠DFE )＝90°.因为∠PEF ＋∠PFE ＋∠P ＝180°，所以∠P ＝90°.9．解：(1)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12×120°－12×30°＝45°；(2)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(α＋30°)－12×30°＝12α；(3)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(90°＋β)－12β＝45°；(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习第16讲多边形与平行四边形(基础讲练+锁定考试目标+导学

第16讲多边形与平行四边形.考点一多边形的有关概念及性质 1．多边形的概念定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． 2．性质：n 边形的内角和为(n －2)·180°，外角和为360°. 考点二平面图形的密铺(镶嵌)1．密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．2．平面图形的密铺：正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺．考点三平行四边形的定义和性质1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行． (2)平行四边形的对角相等．(3)平行四边形的对角线互相平分． (4)平行四边形是中心对称图形．考点四平行四边形的判定1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线相互平分的四边形是平行四边形． 5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．1．若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是( )． A ．9 B ．8 C ．6 D ．42．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个3．如图，在ABCD 中，已知AD ＝5 cm ，AB ＝3 cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于( )．A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm4．如图所示，ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求证：(1)△AFD ≌△CEB ；(2)四边形AECF 是平行四边形．一、多边形的内角和【例1】某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( )． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x ，由题意，得(x －2)·180°＝3×360°，解得x ＝8.答案：D要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于360n. 二、平面的密铺【例2】梅园中学实验室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( )．A ．2,2B ．2,3C ．1,2D ．2,1解析：平面镶嵌时同一顶点处各角的和为360°，正方形内角90°，等边三角形内角60°，则2×90°＋3×60°＝360°.答案：B对于给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起是否恰好组成一个周角．三、平行四边形的性质【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°，分别以BC ，CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E ，C 两点之间，连接AE ，AF .(1)求证：△ABE ≌△FDA ；(2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝DC．又∵DF＝DC，∴AB＝DF.同理EB＝AD．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，又∵∠EBC＝∠CDF，∴∠ABE＝∠ADF.∴△ABE≌△FDA．(2)解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠DAF.∵∠EBH＝∠AEB＋∠EAB，∴∠EBH＝∠DAF＋∠EAB＝90°－32°＝58°.∴∠EBH＝58°.1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等而解决．如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：∠EBF=∠FDE.四、平行四边形的判定【例4】如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.∴∠ADE＝∠CBF＝60°.∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.又∵DC∥AB，即EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．(2)上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB．∴∠ADE＝∠CBF.∵AE＝AD，CF＝CB，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.∴∠AED＝∠CFB．又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB．∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA．∴EC綊AF.∴四边形EAFC是平行四边形．平行四边形的判定方法：(1)如果已知一组边平行，常考虑证另一组边平行或者证这组边相等；(2)如果已知一组边相等，常考虑证另一组边相等或者证这组边平行；(3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．1．(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )．A．6 B．7 C．8 D．92．(2011安徽)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H 分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )．A．7 B．9 C．10 D．113．(2012四川南充)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC长是________cm.4．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．5．(2012广东湛江)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形．1．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( )．A．110° B．108°C．105° D．100°2．如图，在ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝3，则ABCD的周长为( )．A．6 B．9 C．12 D．153．如图，ABCD的对角线相交于点O，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC交BC于E，如果△ABE的周长为b，那么ABCD的周长是( )．A． b B．1.5b C．2b D．3b4．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝42，则△CEF的周长为( )．A．8 B．9.5 C．10 D．11.55．在ABCD中，若∠A∶∠B＝2∶1，AD＝20 cm，AB＝16 cm，则ABCD的面积为__________．6．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边长BC的中点，AB＝4，则OE的长是__________．7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12 cm，F是AB边上一点，过点F作FE∥BC交AC于点E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是__________．8．如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝EB ＝EC ＝a ，且a 是一元二次方程x 2＋2x －3＝0的根，则ABCD 的周长为__________．9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 为AB 中点，连接CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形．参考答案基础自主导学自主测试1．C 2.B 3.B 4.证明：(1)在▱ABCD 中，AD ＝CB ，AB ＝CD ，∠D ＝∠B .又∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴DF ＝12CD ，BE ＝12AB .∴DF ＝BE .∴△AFD ≌△CEB .(2)在▱ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ，由(1)得BE ＝DF ， ∴AE 綊CF .∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法探究变式训练证明：连接BD 交AC 于O 点．如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD . 又∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF .∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴∠EBF ＝∠FDE . 知能优化训练中考回顾1．C 2.D 3.4 3 4.95．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C . 在△ABE 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF (SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC 且AD ∥BC . ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF .又DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形．模拟预测1．D 2.C 3.C 4.A5．160 3 cm 26.27.248.4＋2 29．证明：∵∠ACB ＝90°，AE ＝BE ，∴CE ＝AE ＝BE . ∵ED ⊥BC ，∴∠BED ＝∠CED .∵AF ＝CE ，∴AF ＝AE .∴∠F ＝∠FEA . ∵∠FEA ＝∠BED ，∴∠F ＝∠CED .∴CE ∥FA .∴四边形ACEF 是平行四边形．。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习基础讲练第13讲图形的初步认识(含答案点拨) 新人教版

第四单元图形初步与三角形第13讲图形的初步认识考纲要求命题趋势1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点、线段的和、差和两点间距离的意义． 2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算． 3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概念及性质．4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的应用.知识梳理一、直线、射线、线段 1．直线的基本性质(1)两条直线相交，只有________交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________． 2．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短． 3．线段的中点把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点． 4有几个端点向几个方向延伸表示图形直线 0 2 两个大写字母或一个小写字母射线 1 1 两个大写字母线段 2 0 两个大写字母或一个小写字母1．角的有关概念角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．2．角的单位与换算1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角． 3．余角与补角如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角______．4．对顶角与邻补角在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．三、垂线的性质与判定 1．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)2．点到直线的距离直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．3．判定若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．四、平行线的性质与判定1．概念在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．2．平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．性质如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．4．判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．自主测试1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC 的长为( )A．3 cm B．6 cmC．11 cm D．14 cm2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A．35° B．55°C．70° D．110°3．如图所示，∠1＋∠2＝( )A．60° B．90°C．110° D．180°4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是( )5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.考点一、直线、射线、线段【例1】在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16 cm ，再截取AC ＝40 cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．解：(1)当C 在AB 的延长线上时，如图， ∵D 是AB 的中点，AB ＝16 cm ，∴AD ＝12AB ＝12×16＝8(cm)．∵E 是AC 的中点，AC ＝40 cm ，∴AE ＝12AC ＝12×40＝20(cm)．∴DE ＝AE －AD ＝20－8＝12(cm)．(2)当C 在BA 的延长线上时，如图，由(1)知AD ＝8 cm ，AE ＝20 cm.∴DE ＝AE ＋AD ＝20＋8＝28(cm)．答：D 点与E 点的距离是12 cm 或28 cm.方法总结对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．触类旁通1 如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝8，则CD ＝__________.考点二、角的计算【例2】如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°解析：∵OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝100°，∴∠AOC ＝12∠EOC ＝50°.又∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角， ∴∠BOD ＝∠AOC ＝50°，故选C. 答案：C方法总结解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．触类旁通2 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )A．120° B．130°C．135° D．140°考点三、平行线的性质与判定【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )A．110° B．115° C．120° D．125°解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.∵∠4与∠5是对顶角，∴∠4＝∠5＝125°，故选D.答案：D方法总结平行线的性质和判定常用来解决下列问题：(1)作图形的平移；(2)证明线段或角相等；(3)证明两直线平行；(4)证明两直线垂直．触类旁通3 如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )A．100° B．60° C．40° D．20°1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．40° B．50°C．60° D．140°3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )4．(2012湖南长沙)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．5．(2012湖北随州)平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为__________．1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( )2．如图所示，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝60°，下列结论成立的是( )A．∠C＝60° B．∠DAB＝60°C．∠EAC＝60° D．∠BAC＝60°3．如图所示，已知AB∥CD，则图中与∠1互补的角有( )(第3题图)A．2个 B．3个 C．4个 D．1个4．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )(第4题图)A．30° B．40° C．60° D．70°5．如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝__________.(第5题图)6．如图所示，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝__________.7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.8．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．C 3．B 4．D 5．118°探究考点方法触类旁通1．2 因为AB ＝12，AC ＝8，所以BC ＝AB －AC ＝12－8＝4.又点D 是线段BC的中点，所以CD ＝12BC ＝2.触类旁通2．C 因为直线EO ⊥CD ，垂足为点O ，所以∠DOE ＝90°.又AB 平分∠EOD ，所以∠AOD ＝45°.因为∠AOD 与∠BOD 是邻补角，所以∠BOD ＝135°，故选C.触类旁通3．A 过∠3的顶点作直线c ∥a ，∴∠4＝∠1＝40°.∵a ∥b ，∴b ∥c ，∴∠5＝∠2＝60°，∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故选A. 品鉴经典考题1．B ∵EF ∥AB ，∠CEF ＝100°，∴∠ABC ＝100°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD 的度数为50°. 2．B ∵AB ∥CD ，∠1＝40°，∴∠BCD ＝∠1＝40°.∵DB ⊥BC ，∴∠2＝90°－∠BCD ＝90°－40°＝50°.故选B.3．D 因为70°角的补角＝180°－70°＝110°，是钝角，结合各选项，只有D 选项中的角是钝角，故选D.4．360 ∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝180°①. ∵CD ∥EF ，∴∠CEF ＋∠ECD ＝180°②，①＋②得，∠BAC ＋∠ACD ＋∠CEF ＋∠ECD ＝180°＋180°＝360°，即∠BAC ＋∠ACE ＋∠CEF ＝360°.5．6 由题意得，平面内的不同的n 个点最多可确定n (n －1)2条直线，则n (n －1)2＝15，所以n ＝6.研习预测试题1．D 2．B 3．A 4．A5．60° ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝60°.∵DE ∥AC ， ∴∠2＝∠ACB ＝60°. 6．70° 7．130°8．解：(1)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12×120°－12×30°＝45°；(2)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(α＋30°)－12×30°＝12α；(3)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(90°＋β)－12β＝45°；(4)∠MON 的大小等于∠AOB 的一半，而与∠BOC 的大小无关；(5)如图，设线段AB ＝a ，延长AB 到C ，使BC ＝b ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，求MN 的长．规律是：MN 的长度总等于AB 的长度的一半，而与BC 的长度无关．。

【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册第4章图形的初步认识单元综合目标检测 (新版

第4章图形的初步认识单元检测参考完成时间：120分钟实际完成时间：______分钟总分：120分得分：______一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的)1．下列几何体是三棱柱的是( )．2．将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )．3．如图，已知几何体由5个相同的小正方体组成，那么它的左视图是( )．4．将如图所示表面带有三个图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( )．5．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC 的长等于( )．A．3 cmB．6 cmC．11 cmD．14 cm6．下午2点30分时(如图)，时钟的分针与时针所成角的度数为( )．A ．90°B．105°C．120°D．135°7．若∠A ＝20°18′，∠B ＝20°15′30″，∠C ＝20.25°，则( )． A ．∠A ＞∠B ＞∠C B ．∠B ＞∠A ＞∠C C ．∠A ＞∠C ＞∠B D ．∠C ＞∠A ＞∠B 8．一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角为( )． A ．30° B．40° C．60° D．75°9．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DAE 等于( )．A ．10° B．15° C．20° D．30° 10．用M ，N ，P ，Q 各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种．图1～图4是由M ，N ，P ，Q 中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．那么，下列组合图形中，表示P &Q 的是( )．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上)11．如图，该多面体是__________，它有__________个顶点，有__________条棱，有__________个面．12．如图，线段AD 上有两点B 、C ，图中共有__________条线段．13．工人师傅在用方砖铺地时，常常打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样地砖就铺得整齐，这个事实说明的原理是__________．14．92.76°＝__________度__________分__________秒；22°32′24″＝__________度．15．如图所示，由点A测得点B的方向为__________．16．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC＝48°32′，OD平分∠AOC，则图中∠BOD ＝__________.17．如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个物体的主视图和俯视图，则组成这个物体的小正方体的个数是__________个．18．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB 的度数为__________．三、解答题(本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本题满分8分)A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．20．(本题满分12分)尺规作图：(不写作法，但要保留作图痕迹)(1)如图1，已知：线段a、b.求作：线段AB，使AB＝a＋2b；图1图2(2)如图2，已知：∠α和∠β.求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.21．(本题满分11分)如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)求此几何体表面展开图的面积．22.(本题满分11分)如图，已知线段AB，延长AB到C，使BC＝12AB，D为AC的中点，已知DC＝3 cm，求线段BD的长．23．(本题满分12分)如图所示，∠ABC＝80°，∠CBD＝30°，BE平分∠ABD.求∠CBE 的度数．24．(本题满分12分)如图①，已知线段AB＝12 cm，点C为AB上的一个动点，点D、E 分别是AC和BC的中点．(1)若点C恰好是AB中点，则DE＝__________ cm；(2)若AC＝4 cm，求DE的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论点C运动到什么位置时，DE的长不变；(4)知识迁移：如图②，已知∠AOB＝120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE＝60°与射线OC的位置无关．参考答案1答案：C2答案：B3答案：A点拨：左视图是从左面看几何体得到的平面图形．4答案：C5答案：B点拨：因为CB＝4 cm，DB＝7 cm，所以CD＝7－4＝3(cm)．因为D是AC的中点，所以AC ＝2DC ＝2×3＝6(cm)． 6答案：B7答案：A 点拨：因为∠A ＝20°18′，∠B ＝20°15′30″，∠C ＝20.25°＝20°15′，所以∠A ＞∠B ＞∠C .8答案：B 点拨：设这个角为x °，根据题意，得1(180)2x -－(90－x )＝20，解得x ＝40，即这个角为40°. 9答案：B 点拨：因为∠BAF ＝60°，所以∠FAD ＝90°－60°＝30°. 因为∠DAE ＝∠FAE ，所以∠DAE ＝12×30°＝15°. 10答案：B 点拨：观察图1和图2可知P 代表圆、M 代表正方形、N 代表三角形，从而可知Q 代表线段，故P &Q 应为圆与线段组合而成的图形．11答案：五棱柱 1015712答案：6点拨：图中有线段AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 共6条． 13答案：经过两点有且只有一条直线或两点确定一条直线14答案：924536点拨：因为0.76°＝60′×＝′，′＝60″×＝36″，所以92.76°＝92度45分36秒．因为24″＝2460'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝′，′＝32.460⎛⎫︒ ⎪⎝⎭＝0.54°，所以22°32′24″＝度． 15答案：南偏东58°16答案：155°44′点拨：∵∠AOC ＝48°32′，OD 平分∠AOC ， ∴∠AOD ＝48°32′÷2＝24°16′. ∴∠BOD ＝180°－∠AOD ＝155°44′.17 答案：4或5点拨：如图，该几何体有以下三种情况，其中图①和图②都是由4个小正方体组成的，图③是由5个小正方体组成．图① 图② 图③18答案：180°点拨：∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOD ＋∠DOC ＋∠DOB ＝∠DOC ＋∠AOB ＝90°＋90°＝180°.19解：如图，连结AB ，交l 于点P ，点P 即为所求．理由：两点之间，线段最短．20解：(1)①如图，作射线AM ；②在射线AM 上顺次截取线段AC ＝a ，CD ＝DB ＝b ，则线段AB ＝a ＋2b ；(2)①如图，作∠BOC ＝∠α；(2)以OC 为一边，在∠BOC 内部作∠AOC ＝∠β，则∠AOB ＝∠α－∠β.21解：(1)圆柱；(2)此几何体表面展开图的面积为：20π×40＋2×π×102＝1 000π. 22解：∵D为AC的中点，DC＝3 cm，∴AC＝2DC＝6 cm.∵BC＝12 AB，∴BC＝13AC＝2 cm.∴BD＝CD－BC＝1 cm.23解：∵∠ABC＝80°，∠CBD＝30°，∴∠ABD＝110°.∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝55°.∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－55°＝25°. 24解：(1)6；(2)∵AB＝12 cm，AC＝4 cm，∴BC＝8 cm.∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD＝2 cm，CE＝4 cm.∴DE＝6 cm.(3)设AC＝a cm，∵AB＝12 cm，∴BC＝(12－a) cm.∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴CD＝1cm2a，CE＝1(12)2a- cm.∴DE＝CD＋CE＝1111(12)62222a a a a+-=+-＝6(cm)．∴不论点C运动到什么位置时，DE的长不变．(4)∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝12(∠AOC＋∠COB)＝12∠AOB.∵∠AOB＝120°，∴∠DOE＝60°.∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．。

江西省中考数学总复习第1部分基础过关第四单元三角形课时18图形的相似作业(2021学年)

江西省2018年中考数学总复习第1部分基础过关第四单元三角形课时18 图形的相似作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(江西省２01８年中考数学总复习第1部分基础过关第四单元三角形课时1８图形的相似作业)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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课时18 图形的相似(时间：3０分钟分值:６0分)评分标准：选择填空每题3分．基础过关１.已知错误!=错误!,则错误!的值是( ）Ａ．－错误!B ．-错误!C ．-94 D.-错误!２．黄金分割在实际生活中有广泛的应用,比如在设计人体雕像时,使雕像的上部（腰以上)与下部（腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为2 ｍ,设它的下部的高度应设计为x m,则x 满足的关系式为( ）A ．(2－x ）∶x ＝ｘ∶2ﻩ B.x ∶(2－ｘ)=（2－ｘ)∶2Ｃ．(1-x )∶x ＝x ∶１ﻩD ．(1－x )∶x =1∶x3．(2017枣庄）如图１,在△ABC 中，∠A =78°，AB ＝４,AC =6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ）图1４．（2017张家界)如图2,D ,E 分别是△A ＢC 的边AB ，AC 上的中点,如果△ADE 的周长是6,则△ABC 的周长是（ )图2A.6B.１2C ．1８ﻩＤ.２45.如图３,身高为1。

5米的小星想测量一棵大树的高度，她沿着树影B Ａ由B 向A 走去.当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得ＢＣ＝３米，CA =1米,则树的高度为（ )图3Ａ．3米 B.４米C．4。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习专题讲练专题一图表信息(含解析) 新人教版

专题一图表信息图表信息问题主要考查学生收集信息和处理信息的能力．解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问题．这种题型命题广泛，应用知识多，是近几年各地中考的一种新题型，也是今后命题的热点，考查形式有选择题、填空题、解答题．考向一表格信息问题表格信息问题涉及知识点比较广泛，主要有统计、方程(组)、不等式(组)、函数等．解答时关键要根据表格提供的信息，建立相应的数学模型．【例1】2011年4月25日，全国人大常委会公布《中华人民共和国个人所得税法修正案(草案)》，向社会公开征集意见．草案规定，公民全月工薪不超过3 000元的部分不必纳税，超过3 000.(1)李工程师的月工薪为8 000元，则他每月应当纳税多少元？(2)若某纳税人的月工薪不超过10 000元，他每月的纳税金额能超过月工薪的8%吗？若能，请给出该纳税人的月工薪范围；若不能，请说明理由．分析：(1)由于当工资为8 000元时，应该纳税，而且应该按照三个级别分别纳税；(2)由于工资为10 000元时，要分三种情况进行讨论：①工资小于等于4 500元；②工资大于4 500元但小于等于7 500元；③工资大于7 500元小于10 000元．解：(1)李工程师每月纳税：1 500×5%＋3 000×10%＋(8 000－7 500)×20%＝75＋300＋100＝475(元)(2)设该纳税人的月工薪为x元，则当x≤4 500时，显然纳税金额达不到月工薪的8%.当4 500＜x≤7 500时，由1 500×5%＋(x－4 500)×10%＞8%x，得x＞18 750，不满足条件．当7 500＜x≤10 000时，由1 500×5%＋3 000×10%＋(x－7 500)×20%＞8%x，解得x＞9 375，故9 375＜x≤10 000.答：若该纳税人月工薪大于9 375元且不超过10 000元时，他的纳税金额能超过月工薪的8%.方法归纳本题涉及的数学思想是分类思想．解题时分类讨论是解决问题的关键．考向二图象信息问题图象信息问题涉及的知识点主要是函数问题．解答时要注意分析图象中特殊“点”反映的信息．【例2】在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示．(1)填空：A ，C 两港口间的距离为__________ km ，a ＝__________；(2)求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(3)若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．分析：根据函数图象，容易发现A ，B ，C 三港口位置示意图如下：图象中点P 表示当甲到达B 港口后再经过一段时间，甲、乙二船与B 港口的距离相等，因此可以有两种解法，一种是利用函数解析式来求交点坐标；另一种则是利用追及问题一般方法来解，设甲船追上乙船时，用了t 小时，则可知甲船t 小时比乙船多行了30 km ，由图容易知道甲、乙两船的速度分别是60 km/h,30 km/h ，于是可列方程60t ＝30t ＋30轻松求解．对于第(3)小题，应该通过分类讨论来解决问题．解：(1)120 2(2)由点(3,90)求得，y 2＝30x .当x ＞0.5时，由点(0.5,0)，(2,90)求得y 1＝60x －30.当y 1＝y 2时，60x －30＝30x ，解得x ＝1.此时y 1＝y 2＝30.所以点P 的坐标为(1,30)．该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km. 求点P 的坐标的另一种方法：由图可得，甲的速度为300.5＝60(km/h)，乙的速度为903＝30(km/h)．则甲追上乙所用的时间为3060－30＝1(h)．此时乙船行驶的路程为30×1＝30(km)．所以点P 的坐标为(1,30)．(3)①当x ≤0.5时，由点(0,30)，(0.5,0)求得，y 1＝－60x ＋30.依题意，(－60x ＋30)＋30x ≤10.解得x ≥23，不合题意． ②当0.5＜x ≤1时，依题意，30x －(60x －30)≤10.解得x ≥23.所以23≤x ≤1. ③当x ＞1时，依题意，(60x －30)－30x ≤10.解得x ≤43.所以1＜x ≤43. 综上所述，当23≤x ≤43时，甲、乙两船可以相互望见．方法归纳本题涉及数形结合、分类讨论的数学思想．解题的关键是确定三个港口的位置．难点是对P 点的含义理解．考向三图表综合问题图表综合问题主要分布于统计之中．解题时注意将图表中的信息综合在一起分析解答．【例3】某市“希望”中学为了了解学生“大间操”的活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查(每人只能选一项)．调查结果的部分数据如下表(图)所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10.九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图请根据统计表(图)解答下列问题：(1)本次调查抽取了多少名学生？(2)补全统计表和统计图，并求出“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比；(3)该校共有学生1 800人，学校想对“最喜欢踢毽”的学生每4人提供一个毽子，那么学校在“大间操”时至少应提供多少个毽子？分析：(1)因为三个年级都抽取了相同数量的学生，所以只需算出一个年级抽取的学生数即可；(2)根据(1)补充完整表格与统计图；(3)至少应提供的毽子个数＝该校学生总人数乘以最喜欢踢毽人数所占的比例再除以4.解：(1)10÷20%＝50(人)，50×3＝150(人)．(2)九年级学生最喜欢的运动项目人数统计图“最喜欢跳绳”的学生占抽样总人数的百分比为22%. (3)14＋13＋15150×1 800÷4＝126(个)．方法归纳本题考查了统计图、统计表及根据样本估计总体，也是考查统计知识常见题型．解题时读懂图表并将图表信息综合考虑是关键.一、选择题1．某住宅小区6月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天平均每天的用水量是( )A ．30吨B ．31吨C ．32吨D ．33吨2．(2011浙江台州)如图，反比例函数y ＝mx的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点M ，N ，已知点M 的坐标为(1,3)，点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程m x＝kx ＋b 的解为( )A ．－3,1B ．－3,3C ．－1,1D ．3，－1二、填空题3．上、下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为__________．4．某村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期(第一年)付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%三、解答题5．2012年5月20日是第23个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．6．如图①，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A 容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为y A，y B，y C(单位：升)，时间为t(单位：分)．开始时，B容器内有水50升，y A，y C与t的函数图象如图②所示．请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：图① 图②(1)求t ＝3时，y B 的值；(2)求y B 与t 的函数关系式，并在图②中画出其函数图象；(3)求y A :y B :y C ＝2:3:4时t 的值．7．某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1(元)与月份x (1≤x ≤9，且x 取整数y 2(元)与月份x (10≤x ≤12，且x 取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1 000元，生产每件配件的人力成本为50元，其他成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1(万件)与月份x 满足关系式p 1＝0.1x ＋1.1(1≤x ≤9，且x 取整数)，10至12月的销售量p 2(万件)与月份x 满足关系式p 2＝－0.1x ＋2.9(10≤x ≤12，且x 取整数)，求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其他成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a %，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a %.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1 700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a 的整数值．(参考数据：992＝9 801，982＝9 604,972＝9 409,962＝9 216,952＝9 025)参考答案专题提升演练1．C 根据平均数公式可得这5天平均每天的用水量是30＋32＋36＋28＋345＝32(吨)． 2．A 把M 点的坐标代入y ＝m x ，求得m ＝3，所以得y ＝3x ，再把y ＝－1代入y ＝3x求得x ＝－3，故关于x 的方程m x＝kx ＋b 的解为x ＝－3，或1. 3．431.76 cm 由图可知，正六边形的对角线长为60 cm ，则其半径为30 cm ，边心距为15 3 cm ，故所需胶带长度至少为153×12＋20×6≈431.76(cm)．4．0.54－0.002n (填0.5＋[9－(n －2)×0.5]×0.4%)关键是要理解付款的方式，第一年还掉3万元后，第二年付0.5万元和剩下的9万元的利息，第三年还0.5万元和剩下的(9－0.5)万元的利息，第四年则要还0.5万元和剩下的(9－2×0.5)万元的利息，…，所以除了第一年以外，第n 年都是要还0.5万元和剩下的[9－(n －2)·0.5]万元的利息，可列式：0.5＋[9－(n －2)×0.5]×0.4%，化简可知第n 年应还款(0.54－0.002n )万元．5．解：(1)400×5%＝20(克)．答：这份快餐中所含脂肪质量为20克．(2)设所含矿物质的质量为x 克，由题意得：x ＋4x ＋20＋400×40%＝400，∴x ＝44，∴4x ＝176.答：所含蛋白质的质量为176克．(3)解法一：设所含矿物质的质量为y 克，则所含碳水化合物的质量为(380－5y )克，∴4y ＋(380－5y )≤400×85%，∴y ≥40，∴380－5y ≤180，∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．解法二：设所含矿物质的质量为n 克，则n ≥(1－85%－5%)×400，∴n ≥40，∴4n ≥160，∴400×85%－4n ≤180，∴所含碳水化合物质量的最大值为180克．6．解：(1)当t ＝3时，y B ＝50＋4×3＝62(升)．(2)根据题意，当0≤t ≤5时，y B ＝50＋4t .当5＜t ≤10时，y B ＝70－10(t －5)＝－10t ＋120.y B 与t 的函数图象如图所示．图②(3)根据题意，设y A ＝2x ，y B ＝3x ，y C ＝4x .2x ＋3x ＋4x ＝50＋60＋70.解得x ＝20.∴y A ＝2x ＝40，y B ＝3x ＝60，y C ＝4x ＝80.由图象可知，当y A ＝40时，5≤t ≤10，此时y B ＝－10t ＋120，y C ＝10t ＋20.∴－10t ＋120＝60，解得t ＝6.10t ＋20＝80，解得t ＝6.∴当t ＝6时，y A :y B :y C ＝2:3:4.7．解：(1)y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝20x ＋540，y 2与x 之间满足的一次函数关系式为y 2＝10x ＋630.(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w ＝p 1(1 000－50－30－y 1)＝(0.1x ＋1.1)(1 000－50－30－20x －540)＝(0.1x ＋1.1)(380－20x )＝－2x 2＋16x ＋418＝－2(x －4)2＋450，(1≤x ≤9，且x 取整数)∵－2＜0,1≤x ≤9，∴当x ＝4时，w 最大＝450(万元)；去年10至12月时，销售该配件的利润w ＝p 2(1 000－50－30－y 2) ＝(－0.1x ＋2.9)(1 000－50－30－10x －630)＝(－0.1x ＋2.9)(290－10x )＝(x －29)2，(10≤x ≤12，且x 取整数)当10≤x ≤12时，∵x ＜29，∴自变量x 增大，函数值w 减小， ∴当x ＝10时，w 最大＝361(万元)，∵450＞361，∴去年4月份销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．(3)去年12月份销售量为：－0.1×12＋2.9＝1.7(万件)，今年原材料的价格为：750＋60＝810(元)，今年人力成本为：50×(1＋20%)＝60(元)，由题意，得5×[1 000(1＋a %)－810－60－30]×1.7(1－0.1a %)＝1 700，设t ＝a %，整理，得10t 2－99t ＋10＝0，解得t ＝99±9 40120， ∵972＝9 409,962＝9 216，而9 401更接近9 409，∴9 401≈97.∴t 1≈0.1或t 2≈9.8，∴a 1≈10或a 2≈980.∵1.7(1－0.1a %)≥1，∴a 2≈980舍去，∴a ≈10.答：a 的整数值为10.。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习基础讲练第25讲与圆有关的位置关系(含答案点拨) 新人教版

第25讲与圆有关的位置关系圆的切线.知识梳理一、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系点在圆______，点在圆______，点在圆______． 2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么点在圆外⇔________；点在圆上⇔________；点在圆内⇔________.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．二、直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系________、________、________. 2．概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．3．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r ，直线l 到圆心的距离为d ，那么直线l 和⊙O 相交⇔________；直线l 和⊙O 相切⇔________；直线l 和⊙O 相离⇔________.三、切线的判定和性质 1．切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线． 2．切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径． 3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．五、圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝d.两圆外离⇔d＞______；两圆外切⇔d＝______；两圆相交⇔______＜d＜______(R≥r)；两圆内切⇔d＝______(R＞r)；两圆内含⇔______≤d＜______(R＞r)．六、两圆位置关系的相关性质1．两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过________．(2)相交两圆的连心线垂直平分________．2．两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦．(2)两圆相切，可作公切线．自主测试1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外2．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定3．如图，CD切⊙O于点B，CO的延长线交⊙O于点A.若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )A．72° B．63°C．54° D．36°4．如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )A．内切、相交 B．外离、相交C ．外切、外离D ．外离、内切5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为__________．6．如图，AB 是⊙O 的直径，∠A ＝30°，延长OB 到D 使BD ＝OB . (1)△OBC 是否是等边三角形？说明理由． (2)求证：DC 是⊙O 的切线．考点一、点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝35，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A ．点B ，C 均在圆P 外B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外D ．点B ，C 均在圆P 内解析：画出矩形后求解出DP 的长度即圆的半径，然后求出BP ，CP 的长度与DP 的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP 中，DP ＝AD 2＋AP 2＝7，在Rt△BCP 中，BP ＝6，PC ＝BC 2＋BP 2＝9.∵PC ＞DP ，BP ＜DP ，∴点B 在圆P 内，点C 在圆P 外．答案：C方法总结解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．触类旁通1 若⊙O 的半径为5 cm ，点A 到圆心O 的距离为4 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定考点二、切线的性质与判定【例2】如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC于点D ，DB DP ＝DC DO ＝23.(1)求证：直线PB 是⊙O 的切线； (2)求cos ∠BCA 的值．分析：(1)连接OB ，OP ，由DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ，根据三角形相似的判定定理得到△BDC ∽△PDO ，可得到BC ∥OP ，易证得△BOP ≌△AOP ，则∠PBO ＝∠PAO ＝90°；(2)设PB ＝a ，则BD ＝2a ，根据切线长定理得到PA ＝PB ＝a ，根据勾股定理得到AD ＝22a ，又BC ∥OP ，得到DC ＝2CO ，得到DC ＝CA ＝12×22a ＝2a ，则OA ＝22a ，利用勾股定理求出OP ，然后根据余弦函数的定义即可求出cos ∠BCA ＝cos ∠POA 的值．解：(1)证明：连接OB ，OP ，∵DB DP ＝DC DO ＝23，且∠D ＝∠D ， ∴△BDC ∽△PDO ， ∴∠DBC ＝∠DPO ， ∴BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠BOP . ∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠CBO ， ∴∠BOP ＝∠POA .又∵OB ＝OA ，OP ＝OP ，∴△BOP ≌△AOP ，∴∠PBO ＝∠PAO .又∵PA ⊥AC ，∴∠PAO ＝90°，∴∠PBO ＝90°， ∴直线PB 是⊙O 的切线． (2)由(1)知∠BCO ＝∠POA ，设PB ＝a ，则BD ＝2a ，又∵PA ＝PB ＝a ，∴AD ＝DP 2－PA 2＝22a . 又∵BC ∥OP ，∴DC ＝2CO ，∴DC ＝CA ＝12AD ＝12×22a ＝2a ，∴OA ＝22a ， ∴OP ＝OA 2＋PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝62a ， ∴cos ∠BCA ＝cos ∠POA ＝OA OP＝33. 方法总结 1．切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．触类旁通2 如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB ＝∠B ＝30°.(1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？ (2)连接CD ，若CD ＝5，求AB 的长．考点三、三角形的内切圆【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8.则△ABC 的内切圆半径r ＝__________.解析：在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10.∵S △ACB ＝12AC ·BC ＝12×6×8＝24，∴r ＝2S a ＋b ＋c ＝486＋8＋10＝2.答案：2方法总结三角形的内切圆半径r ＝2Sa ＋b ＋c，其中S 是三角形面积，a ，b ，c 是三角形三边长．触类旁通3 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F ，已知∠A ＝100°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是( )A ．55°B ．60°C ．65°D ．70° 考点四、圆与圆的位置关系【例4】在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，若⊙A ，⊙B 的半径分别为1 cm,4 cm ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是( )A ．外切B ．内切C ．相交D ．外离解析：如图所示，由勾股定理可得AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5(cm)，∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．答案：A方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．触类旁通4 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．1．(2012江苏无锡)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相切 B．相离C．相离或相切 D．相切或相交2．(2012湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cmC．6 cm D．8 cm3．(2012四川乐山)⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是( )A．内含 B．内切 C．相交 D．外切4．(2012山东菏泽)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__________.(第4题图)5．(2012甘肃兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是__________．(第5题图)6．(2012山东济宁)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )(第1题图)A．点(0,3) B．点(2,3)C．点(5,1) D．点(6,1)2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA ＝( )A．30° B．45° C．60° D．67.5°(第2题图)3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB 切⊙O于点B，则PB的最小值是( )A．13 B． 5C．3 D．24．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是( )A．内切 B．相交 C．外切 D．外离5．两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )A．相离 B．相交C．外切 D．内切6．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm.(第6题图)7．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．(第7题图)8．如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.(1)求证：AD＝DC；(2)求证：DE是⊙O1的切线；(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．C 3．B 4．B 5．2 36．解：(1)△OBC是等边三角形．理由：∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠BOC＝2∠A＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．(2)证明：∵△OBC是等边三角形，且OB＝BD，∴OB ＝BD ＝BC ，∴△OCD 为直角三角形，∠OCD ＝90°. 又∵点C 在圆O 上，∴DC 是⊙O 的切线．探究考点方法触类旁通1．C触类旁通2．分析：(1)连接OD ，证明∠ODB ＝90°即可；(2)利用30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC ，再证BC ＝CD ＝5.解：(1)直线BD 与⊙O 相切．理由如下：如图，连接OD ，∵∠ODA ＝∠DAB ＝∠B ＝30°，∴∠ODB ＝180°－∠ODA －∠DAB －∠B ＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD ⊥BD .∴直线BD 与⊙O 相切．(2)由(1)知，∠ODA ＝∠DAB ＝30°， ∴∠DOB ＝∠ODA ＋∠DAB ＝60°.又∵OC ＝OD ，∴△DOC 是等边三角形． ∴OA ＝OD ＝CD ＝5.又∵∠B ＝30°，∠ODB ＝90°，∴OB ＝2OD ＝10. ∴AB ＝OA ＋OB ＝5＋10＝15.触类旁通3．C ∵∠A ＝100°，∠C ＝30°， ∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝50°.∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴∠DOE ＝180°－∠B ＝130°.∴∠DFE ＝12∠DOE ＝65°.触类旁通4．3或17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d ＝R －r ，即|10－r |＝7，所以r ＝3或17.品鉴经典考题1．D 因为⊙O 的半径为2，PO ＝2，则直线l 与⊙O 至少有一个交点，则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．2．C 设切点为E ，连接OA ，OE .在Rt △OAE 中，AE ＝52－42＝3(cm)，所以AB ＝6 cm.3．D4．23° ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB .又∠P ＝46°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝180°－46°2＝67°.又PA 是⊙O 的切线，AO 为半径， ∴OA ⊥AP ，∴∠OAP ＝90°，∴∠BAC ＝∠OAP －∠PAB ＝90°－67°＝23°.故答案为23°.5．8cm ＜AB ≤10 cm 如图，当AB 与小圆相切时有一个公共点D .连接OA ，OD ，可得OD ⊥AB ， ∴D 为AB 的中点，即AD ＝BD .在Rt △ADO 中，OD ＝3 cm ，OA ＝5 cm ， ∴AD ＝4 cm ，∴AB ＝2AD ＝8(cm)．当AB 经过同心圆的圆心时，弦AB 最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB ＝10 cm.∴AB 的取值范围是8 cm ＜AB ≤10 cm. 故答案为8 cm ＜AB ≤10 cm.6．解：(1)OD ∥BC ，OD ＝12BC .证明：∵OD ⊥AC ， ∴AD ＝DC .∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ，BC ⊥AC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，OD ＝12B C.(2)证明：连接OC .设OP 与⊙O 交于点E ，连接AE ，CE .∵OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，∴AE CE ，即∠AOE ＝∠COE . 在△OAP 和△OCP 中，∵OA ＝OC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP ， ∴∠OCP ＝∠OAP .∵PA 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝90°，∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥PC .∴PC 是⊙O 的切线．研习预测试题1．C 2．D 3．B 4．B5．D 因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x 轴和y 轴上，与坐标原点构成直角三角形，所以圆心距为(3)2＋12＝2.而两圆的半径之差等于2，即d ＝r 1－r 2(r 1＞r 2)．所以两圆内切． 6． 37．2 3 如图，连接OE ，OC ，OC 与EF 交于G 点．∵AB 是⊙O 的切线，∴OC ⊥AB .∵EF ∥AB ，∴OC ⊥EF .∴EG ＝12EF . ∵∠O ＝2∠D ＝60°，∴EG ＝OE ·sin 60°＝ 3.∴EF ＝2 3.8．解：(1)证明：如图，连接OD ，∵AO 是⊙O 1的直径，∴∠ADO ＝90°.∵AC 为⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴AD ＝DC .(2)证明：∵D 为AC 中点，O 1为AO 中点，∴O 1D ∥OC . 又∵DE ⊥OC ，∴DE ⊥O 1D .∴DE 与⊙O 1相切．(3)O 1OED 为正方形．证明：∵OE ＝EC ，且D 为AC 中点，∴DE ∥O 1O .又∵O 1D ∥OE ，∴四边形O 1OED 为平行四边形．又∵∠DEO ＝90°，O 1O ＝O 1D ，。

【备考2014 志鸿优化设计】2013版中考数学总复习综合模拟二新人教版

综合模拟测试二(时间120分钟，满分120分)一、选择题(每小题3分，共36分)1．－12的绝对值是( ) A ．12B ．－12 C ．2 D ．－2 2．今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组(10名)同学的测试成绩(单位：个/分)．176 180 184 180 170 176 172 164 186 180该组数据的众数、中位数、平均数分别为( )A ．180,180,178B ．180,178,178 C3．如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是( )A ．BD ＝DC ，AB ＝AC B ．∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝DCC ．∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋12>12x －4，32x －12≤x 的解集在数轴上表示正确的是( )5．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形6．计算：1÷1＋m 1－m·(m 2－1)的结果是( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－17．抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A ，C 分别在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标为(0,8)，则圆心M 的坐标为( )A ．(－4,5)B ．(－5,4)C ．(5，－4)D ．(4，－5)9．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边均与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是( )A ．(13,13)B ．(－13，－13)C ．(14,14)D ．(－14，－14)10．已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫16，y 3，y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 211．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是( )A ．图① B．图② C．图③ D．图④12．如图，将一X 正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是( )A ．669B ．670C ．671D ．672二、填空题(每小题4分，共20分)13．若x ＝2是关于x 的方程x 2－x －a 2＋5＝0的一个根，则a 的值为__________.14．如图，l ∥m ，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则∠α＝__________度．15．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算*如下：a *b ＝a ＋b a －b，如3232532+*==-，那么8*12＝___________． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin∠CAM ＝35，则tan B 的值为__________．17．Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝ACAC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角△ACD ，则线段BD 的长为__________．三、解答题(共64分)18．(5分)已知：2x 2＋6x －4＝0，求代数式3－x 2x 2－4x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x －2的值． 19．(6分)我们约定，若一个三角形(记为△A 1)是由另一个三角形(记为△A )通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A 1是由△A 复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A 复制出△A 1，又由△A 1复制出△A 2，再由△A 2复制出△A 3，形成了一个大三角形，记作△B .以下各题中的复制均是由△A 开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A ∽△B ，其相似比为__________．在图1的基础上继续复制下去得到△C ，若△C 的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C 中含有__________个小三角形；(2)若△A 是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是__________；(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．图1图220．(7分)远洋电器城中，某品牌电视有A，B，C，D四种不同型号供顾客选择，它们每台的价格(单位：元)依次分别是2 500,4 000,6 000,10 000.为做好下阶段的销售工作，商场调查了一周内这四种不同型号电视的销售情况，并根据销售情况，将所得的数据制成统计图，现已知该品牌一周内四种型号电视共售出240台，每台的销售利润占其价格的百分比如下表：型号 A B C D利润10% 12% 15% 20%请根据以上信息，解答下列问题：(1)请补全统计图；(2)通过计算，说明商场这一周内该品牌哪种型号的电视总销售利润最大；(3)谈谈你的建议．21．(7分)七年级五班学生在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学们分为三人一组，每组用一个球台．甲、乙、丙三位同学用“手心、手背”游戏(游戏时，“手心向上”简称手心；“手背向上”简称手背)来决定哪两个人先打球．游戏规则是：每人每次同时随机伸出一只手，出手心或手背．若出现“两同一异”(即两手心、一手背或两手背、一手心)的情况，则同出手心或手背的两个人先打球，另一人做裁判；否则继续进行，直到出现“两同一异”为止．(1)请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能情况(用A表示手心，用B表示手背)；(2)求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率．22．(8分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？23．(9分)如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E.以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒．(1)用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ；(2)当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？24．(10分)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点G ；E ，F 分别是C ′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D ′处，点D ′恰好与点A 重合．(1)求证：△ABG ≌△C ′DG ；(2)求tan∠ABG 的值；(3)求EF 的长．25．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象与x轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C .(1)求点A 的坐标；(2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P (n ,0)是x 轴上的一个动点．在(2)的条件下，过点P作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象于点N .若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．参考答案一、1．A2．176,180，因此中位数是176＋1802＝178；平均数为 164＋170＋172＋176×2＋180×3＋184＋18610＝176.8. 3．D4．A 解不等式2x ＋12＞12x －4，得x ＞－3；解不等式32x －12≤x ，得x ≤1，∴不等式组的解集为－3＜x ≤1.故选A.5．D6．B 1÷1＋m 1－m ·(m 2－1)＝1－m 1＋m·(m ＋1)(m －1)＝－m 2＋2m －1. 7．B y ＝(x ＋2)2－3的顶点为(－2，－3)，抛物线y ＝x 2的顶点为(0,0)，所以平移的过程是先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．8．A 设⊙M 与x 轴的切点为F ，连接FM ，并延长交AB 于E ，连接AM .∵⊙M 与x 轴相切，∴MF ⊥x 轴，ME ⊥AB .∵A 的坐标为(0,8)，∴OA ＝AB ＝OC ＝BC ＝EF ＝8.∴AE ＝BEMF ＝AM ＝x ，∴ME ＝8－x .在Rt △AME 中，AE 2＋ME 2＝AM 2，即42＋(8－x )2＝x 2，解得xMF ＝5，∴M 的坐标为(－4,5)，故选A.9．C ∵55÷4＝1334，∴点应在第一象限，且坐标为(14,14)． 10．A 把x ＝－3代入方程，得9－3b －3＝0，b ＝2，二次函数y ＝x 2＋2x －3的对称轴为x ＝－1，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45－－1＝15，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－54－－1＝14， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪16－－1＝76，15＜14＜76，∴y 1＜y 2＜y 3.二、13．±7 把x ＝2代入方程，得22－2－a 2＋5＝0，解得a ＝±7.14．25 15．－5216．23设MC 为3x ，则AM 为5x ，∴AC 为4x . ∴tan B ＝AC BC ＝AC 2MC ＝4x 6x ＝23. 17．4或25或10 首先要结合题意，画出相应的图形．因为以AC 为一边在△ABC 外部作等腰Rt △ACD ，则AC 可以是直角边，也可以是斜边，所以有三种情况．如图(1)，BD ＝4；如图(2)，BD ＝22＋42＝25；如图(3)，∠ADC ＝90°，BC ＝22，CD ＝2，BD ＝222＋22＝10.图(1)图(2)图(3) 三、18．解：原式＝－x －32x 2－4x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －2－x ＋21 ＝－x －32x 2－4x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋9x －2＝12x 2＋6x. 当2x 2＋6x －4＝0时，2x 2＋6x ＝4，原式＝14. 19．解：(1)1:2 121 (2)正三角形或正六边形(3)如图．20．解：(1)补全统计图如右．(2)10%×2 500×50＝12 500,12%×4 000×100＝48 000，15%×6 000×70＝63 000,20%×10 000×20＝40 000，∴商场在这一周内该品牌C 型号的电视总销售利润最大．(3)从进货角度、宣传角度等方面答对即可．21．解：(1)共有8种等可能情况：AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB.(2)由(1)知共有8种等可能情况，其中出现“两同一异”的情况有6种．∴P (两同一异)＝68＝34. 22．解：(1)设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为(30－x )个．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋3030－x ≤1 900，50x ＋6030－x ≤1 620，解这个不等式组，得18≤xx 只能取整数，∴x 的取值是18,19,20.当x ＝18时，30－x ＝12；当x ＝19时，30－x ＝11；当x ＝20时，30－x ＝10.故有三种组建方案．方案一：中型图书角18个，小型图书角12个；方案二：中型图书角19个，小型图书角11个；方案三：中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案一的费用是860×18＋570×12＝22 320(元)；方案二的费用是860×19＋570×11＝22 610(元)；方案三的费用是860×20＋570×10＝22 900(元)．故方案一的费用最低，最低费用是22 320元．23．解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝60°.在△ADE 中，∵∠A ＝90°，∴tan ∠ADE ＝AEAD＝ 3.∵AD ＝1×t ＝t ，∴AE ＝3t .又∵四边形ADFE 是矩形， ∴S △DEF ＝S △ADE ＝12AD ×AE ＝12×t ×3t ＝32t 2(0＜t ＜3)．∴S ＝32t 2(0＜t ＜3)． (2)如图，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，∵DE ∥BC ，∴OG ＝DH ，∠DHB ＝90°.在△DBH 中，sin B ＝DH BD.∵∠B ＝60°，BD ＝AB －AD ，AD ＝t ，AB ＝3， ∴DH ＝32(3－t )，∴OG ＝32(3－t )．当OG ＝12DE 时，⊙O 与BC 相切，在△ADE 中，∵∠A ＝90°，∠ADE ＝60°，∴cos ∠ADE ＝AD DE ＝12.∵AD ＝t ，∴DE ＝2AD ＝2t . ∴2t ＝32(3－t )×2.∴t ＝63－9＜3. ∴当t ＝63－9时，⊙O 与直线BC 相切．24．(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，由图形的折叠性质，得CD ＝C ′D ，∠C ＝∠C ′＝90°，∴∠BAD ＝∠C ′，AB ＝C ′D .又∵∠AGB ＝∠C ′GD ，∴△ABG ≌△C ′DG .(2)解：设AG 为x .∵△ABG ≌△C ′DG ，AD ＝8，AG ＝x ，∴BG ＝DG ＝AD －AG ＝8－x .在Rt △ABG 中，有BG 2＝AG 2＋AB 2，∵AB ＝6，∴(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.∴tan ∠ABG ＝AG AB ＝724. (3)由图形的折叠性质，得∠EHD ＝90°，DH ＝AH ＝4，∴AB ∥EF ，∴△DHF ∽△DAB ，∴HF AB ＝DH AD ，即HF 6＝12，∴HF ＝3. 又∵△ABG ≌△C ′DG ，∴∠ABG ＝∠HDE ，∴tan ∠ABG ＝tan ∠HDE ＝EH HD ，即724＝EH 4， ∴EH ＝76，∴EF ＝EH ＋HF ＝76＋3＝256.25．解：(1)∵点A ，B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象与x 轴的交点，∴令y ＝0，得mx 2＋(m －3)x －3＝0.图①解得x 1＝－1，x 2＝3m. 又∵点A 在点B 左侧且m ＞0，∴点A 的坐标为(－1,0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，0，∵二次函数的图象与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°(如图①)，∴3m＝3.∴m ＝1. (3)由(2)得，二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b中，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，b ＝1.故一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.。

【2014备考志鸿优化设计】2013版中考数学总复习专题四归纳与猜想(专题讲练+锁定考试目标+

专题四归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．考点一数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．【例1】如图，一个数表有7行7列，设a ij 表示第i 行第j 列上的数(其中i ＝1,2,3，…，j ＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a 53＝7.1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 34 5 6 7 6 5 45 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7则(1)(a 23－a 22)＋(a 52－a 53)＝__________.(2)此数表中的四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝__________. 解析：根据数表中数字排列规律，得a 23＝4，a 22＝3， a 52＝6，a 53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.对于(2)中四个数a np ，a nk ，a mp ，a mk ，可以发现a np 与a nk 为同一行的数，且其差为第p 个数与第k 个数之差，同理a mk 与a mp 之差也为同行中第k 个数与第p 个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(a np －a nk )＋(a mk －a mp )＝0.答案：(1)0；(2)0.解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考点二数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】给出下列命题：命题1：直线y ＝x 与双曲线y ＝1x有一个交点是(1,1)；命题2：直线y ＝8x 与双曲线y ＝2x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4；命题3：直线y ＝27x 与双曲线y ＝3x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，9；命题4：直线y ＝64x 与双曲线y ＝4x 有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，16； ……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)； (2)请验证你猜想的命题n 是真命题．解：(1)命题n ：直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2；(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2代入直线y ＝n 3x 得：右边＝n 3×1n＝n 2，左边＝n 2，∴左边＝右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在直线y ＝n 3x 上．同理可证：点⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2在双曲线y ＝n x 上，∴直线y ＝n 3x 与双曲线y ＝n x有一个交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n 2.此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．考点三数形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要小圆__________个(用含n 的代数式表示)．解析：观察图形可知，第n 个图形比第(n －1)个图形多n 个小圆，所以第n 个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．1．如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 011个图案是( )．2．观察下面的几个算式：1＋2＋1＝4,1＋2＋3＋2＋1＝9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25，…，根据你所发现的规律，请直接写出下面式子的结果：1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1的值为( )．A ．100B ．1 000C ．10 000D ．100 0003．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n ，m )表示第n 排，从左到右第m 个数，如(4,2)表示9，则表示58的有序数对是( )．A ．(11,3)B ．(3,11)C ．(11,9)D ．(9,11)4．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2 011应标在( )．A ．第502个正方形的左下角B ．第502个正方形的右下角C ．第503个正方形的左上角D ．第503个正方形的右下角5．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2 011个正方形的面积为( )．A ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2 010B ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 011C ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2 009D ．5⎝ ⎛⎭⎪⎫32 4 0206．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有__________个.7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是__________．8．已知a 1＝11×2×3＋12＝23，a 2＝12×3×4＋13＝38，a 3＝13×4×5＋14＝415，…，依据上述规律，则a 99＝__________.9．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为__________．10．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1③3×5－42＝15－16＝－1④__________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．参考答案专题提升演练1．6.207.1588.1009 9999.125610．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1；(2)n (n ＋2)－(n ＋1)2＝－1； (3)一定成立．理由：因为n (n ＋2)－(n ＋1)2＝n 2＋2n －(n 2＋2n ＋1)＝n 2＋2n －n 2－2n －1＝－1. 故(2)中的式子一定成立．。

【备考2014 志鸿优化设计】2013版中考数学总复习第27讲图形的相似(基础讲练+锁定考试目标

第27讲图形的相似考纲要求备考指津1.了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2.了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3.了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明．考点一比例线段1．比例线段的定义：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a ∶b ＝c ∶d )，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质：(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ； (2)合比性质：a b ＝cda ＋b b ＝c ＋dd； (3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n(b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ab.3．黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．考点二相似多边形 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．2．性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形周长的比等于相似比；(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．考点三相似三角形 1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 2．判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方考点四图形的位似 1．定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 3．画位似图形的步骤 (1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)； (3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．1．若a －b b ＝23，则ab＝( )． A ．13B ．23C ．43D ．532．如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )．A ．87°B ．60° C．75° D．120°3．如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD ＝∠ABC ，若AC ＝2，AD ＝1，则DB ＝__________.4．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________．5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求证：EF⊥AB．一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )．A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得S阴影S原矩形＝(48)2，S阴影4×8＝14，S阴影＝8(cm2)．答案：C相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)①证明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE.∴△ABC∽△ADE.②证明△ABD ∽△ACE .∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD ＝AC AE.又∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE .判断两三角形相似时，首先看是否存在两对对应角相等；若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E .(1)求证：△ABD ∽△CED ．(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．三、位似图形【例3】如图，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，点O 是位似中心，若OA ＝2AA ′，S △ABC＝8，则S △A ′B ′C ′＝__________.解析：位似图形一定是相似图形，并且对应点到位似中心的距离之比等于位似比．∵OA＝2AA ′，∴OA OA ′＝23.∴△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是2∶3.∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝(23)2. ∵S △ABC ＝8，∴S △A ′B ′C ′＝18. 答案：18位似图形一定是相似图形，利用相似多边形的性质解决所要求的问题．四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻．．．．在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm. 乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm ，影长为156 cm.图(1) 图(2)图(3)任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M .请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(友情提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)解：(1)如题图，△ABC ∽△DEF ，∴AB DE ＝AC DF，∵AB ＝80 cm ，AC ＝60 cm ，DF ＝900 cm ，∴80DE ＝60900.∴DE ＝1 200(cm)，即DE ＝12 m. 故学校旗杆的高度是12 m.(2)如题图(3)，连接OM ，设⊙O 的半径为r cm.与(1)类似得AB GN ＝AC GH ，即80GN ＝60156.∴GN ＝208.在Rt△NGH 中，根据勾股定理得NH 2＝1562＋2082＝2602，∴NH ＝260. ∵NH 切⊙O 于M ，∴OM ⊥NH .则∠OMN ＝∠HGN ＝90°，又∠ONM ＝∠HNG .∴△OMN ∽△HGN .∴OM HG ＝ON HN. 又∵ON ＝OI ＋IN ＝OI ＋(GN －GI )＝r ＋8， ∴r 156＝r ＋8260，解得r ＝12.∴景灯灯罩的半径是12 cm.应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．1．(2012某某某某)如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2∶1，则下列结论正确的是( )．A ．∠E ＝2∠KB ．BC ＝2HIC ．六边形ABCDEF 的周长＝六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF ＝2S 六边形GHIJKL2．(2012某某)已知，△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__________．3．(2011某某某某)如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOD 与△BOC 的面积之比为1∶9，若AD ＝1，则BC 的长是__________．4．(2011某某某某)如图，BD 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝2，ED ＝4，(1)求证：△ABE ∽△ADB ； (2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF ＝BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )．2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AE ＝AB AC，其中正确的有( )．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于( )．A．3 B．4 C．6 D．84．一X等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一X是正方形，则这X 正方形纸条是( )．A．第4X B．第5XC．第6X D．第7X5．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的周长比为__________．6．如图，∠1＝∠2，添加一个条件：__________，使得△ADE∽△ACB．7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为__________．8．X明同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5 m时，其影长为1.2 m．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4 m，墙上影长为1.4 m，那么这棵大树高约为__________ m.9．如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，∠DFC ＝∠AEB ．(1)求证：△ADF ∽△CAE ；(2)当AD ＝8，DC ＝6，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．参考答案基础自主导学自主测试 1．3．34.(9,0)5．证明：(1)∵AC DC ＝32，BC CE ＝64＝32，∴AC DC ＝BC CE.又∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴△ACB ∽△DCE .(2)∵△ACB ∽△DCE ，∴∠ABC ＝∠DEC .又∠ABC ＋∠A ＝90°，∴∠DEC ＋∠A ＝90°. ∴∠EFA ＝90°，∴EF ⊥AB .规律方法探究变式训练解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∠ACF ＝120°，∵CE 是外角平分线，∴∠ACE ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE .又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED . (2)作BM ⊥AC 于点M (如图)，AC ＝AB ＝6，∴AM ＝CM ＝3，BM ＝AB ·sin 60°＝3 3.∵AD ＝2CD ，∴CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1.在Rt △BDM 中，BD ＝BM 2＋MD 2＝27.由(1)△ABD ∽△CED 得，BD ED ＝AD CD ，即27ED ＝2，∴ED ＝7，∴BE ＝BD ＋ED ＝37.知能优化训练中考回顾 1．∶4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ， ∵∠C ＝∠D .∴∠ABC ＝∠D .又∵∠BAE ＝∠EAB .∴△ABE ∽△ADB .(2)∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AD ＝AE AB，∴AB 2＝AD ·AE ＝(AE ＋ED )·AE ＝(2＋4)×2＝12.∴AB ＝2 3.(3)直线FA 与⊙O 相切．理由如下：连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝12＋(2＋4)2＝43，BF ＝BO ＝12BD ＝23，∵AB ＝23，∴BF ＝BO ＝AB ， ∴∠OAF ＝90°，∴直线FA 与⊙O 相切．模拟预测1．A2.A3.D4.C 5．2∶3 6．∠D ＝∠C (答案不唯一) 7．3 8．9．解：(1)证明：在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠ACE .∵∠DFC ＝∠AEB ，∴∠DFA ＝∠AEC ， ∴△ADF ∽△CAE .(2)由(1)知：△ADF ∽△CAE ，∴AD AF ＝CACE. ∵AD ＝8，DC ＝6，∠ADC ＝90°，∴AC ＝82＋62＝10.又F 是AC 的中点，∴AF ＝12AC ＝5.∴85＝10CE ，CE ＝254. ∵E 是BC 的中点，∴BC ＝2CE ＝252.∴直角梯形ABCD 的面积＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋8×6＝6112.。

【2019备考志鸿优化设计】2019版中考总练习数学苏版(湖南专用)单元检测四(含解析)

【2019备考志鸿优化设计】2019版中考总练习数学苏版（湖南专用）单元检测四（含解析）(时间：120分钟总分：120分)【一】选择题(每题3分，共30分)1．如下图，l∥m，等腰直角△ABC的直角顶点C在直线m上，假设∠β＝20°，那么∠α的度数为()A、25°B、30°C、20°D、35°2．如图，直线AB，CD交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，假设∠ECO＝30°，那么∠DOT等于()A、30°B、45°C、60°D、120°3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，假设平面上不同的n个点最多可确定21条直线，那么n的值为()A、5B、6 C．7 D、84．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，OE ⊥AB，∠BOD＝45°，那么∠COE的度数是()A、125°B、135°C、145°D、155°5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么tan A 的值为()A、2B、12C、55D、2556．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△AB C，△BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有()A、5个B、4个C、3个D、2个7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD ＝4，那么线段DF的长度为()A、2 2B、4 C．3 2 D、428．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线D E交AB于点D，交AC于点E，那么△BEC的周长为()A、13B、14 C．15 D、169．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，C D ＝6，那么AC ＋BC 等于( )A 、5B 、513C 、1313D 、9510．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD 、要使点D 恰好落在BC 上，那么AP 的长是( )A 、4B 、5C ．6D 、8【二】填空题(每题3分，共24分)11．如下图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，那么∠A ＝__________.12．如图，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是__________(写出一个即可)．13．如图，∠ABC ＝50°，AD 垂直平分线段BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，那么∠AEC 的度数是__________．14．边长为6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为__________．15．将一副三角尺如下图叠放在一起，假设AB ＝14 cm ，那么阴影部分的面积是__________ cm2.16．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，那么FG AF ＝__________.17．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于点B ，C ，连接AC ，BC 、假设∠ABC ＝67°，那么∠1＝__________.18．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，假设∠ACB ＝100°，那么∠CBD ＝________°.【三】解答题(共66分)19．(6分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如下图的图形，并写下了四个等式：①AB ＝DC ，②BE ＝CE ，③∠B ＝∠C ，④∠BAE ＝∠DCE.要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可) ：求证：△AED是等腰三角形．证明：20．(6分)：如图，锐角△ABC的两条高CD，BE相交于点O，且OB ＝OC，(1)求证：△ABC是等腰三角形；[来源:](2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．21．(8分)如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC 与DE相交于点F，连接CD，EB、(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF＝EF.22．(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度．(3≈1.7) 23．(9分)阅读下面材料：问题：如图(1)，在△ABC中，D是BC边上的一点，假设∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC＝2.求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．(1)请你回答：图中BD的长为________；(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是B C边上的一点，假设∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB 的长．24．(9分)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．(1)当点D 与点C 重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC 的度数为______，点E 落在________________，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为__________；(2)当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．25．(10分)如图，△ABC 为等边三角形，P 为BC 上一点，△APQ 为等边三角形．(1)求证：AB ∥CQ.(2)AQ 与CQ 能否互相垂直？假设能互相垂直，指出点P 在BC 上的位置，并给予证明；假设AQ 与CQ 不能互相垂直，请说明理由．26．(10分)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图(1)放置，点D 在B C 上，连接BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F.求证：AF ⊥BE.(2)把两个含有30°角的直角三角板如图(2)放置，点D 在BC 上，连接BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F.问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．参考答案【一】1.A 2.C 3.C4．B ∵∠BOD ＝45°，∴∠AOC ＝45°.∵OE ⊥AB ，∴∠COE ＝∠AOC ＋∠AOE ＝135°.5．B 6.A 7.B8．A 由题意得AB ＝AC ＝12×(21－5)＝8.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE.∴BE ＋BC ＋CE ＝AE ＋CE ＋BC ＝AC ＋BC ＝8＋5＝13.9．B 在Rt △ABC 中，AC2＋BC2＝AB2＝132＝169，①由三角形面积法可得，12AC ·BC ＝12CD ·AB ，即2AC ·BC ＝156，②①＋②，得(AC ＋BC)2＝325，所以AC ＋BC ＝513.10．C 如图，连接PD ，由题知∠POD ＝60°，OP ＝OD ，∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A ＋∠APO ＝180°， ∴∠2＝∠APO.同理∠1＝∠CDO.∴△APO ≌△COD.∴AP ＝OC ＝AC －AO ＝9－3＝6.应选C.【二】11.80°12．AC ＝AE(或∠C ＝∠E 或∠B ＝∠D) 由条件，根据SAS(AAS ，A SA)定理，确定可补充的条件为AC ＝AE(或∠C ＝∠E 或∠B ＝∠D)．13．115° 14.3 3 cm 15.492 16.12 17.46° 18.10【三】19.解：此题答案不唯一：：①③.证明：在△ABE 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC ，AB ＝DC ，∴△ABE ≌△DCE ， ∴AE ＝DE ，即△AED 是等腰三角形．20．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.∵CD ，BE 是两条高，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°.又∵BC ＝CB ，∴△BDC ≌△CEB.∴∠DBC ＝∠ECB.∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 是在∠BAC 的平分线上．连接AO ，∵△BDC ≌△CEB ，∴DC=EB.∵OB=OC ，∴OD=OE.∵∠BDC=∠CEB=90°，∴点O 是在∠BAC 的平分线上．21．(1)解：△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF.(2)证明：如图，连接CE.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE.∴∠A CE ＝∠AEC.又∵Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACE －∠ACB ＝∠AEC －∠AED ，即∠BCE ＝∠DEC. ∴CF ＝EF.22．解：由题意得AC ＝60×12＝30(海里)，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝90°.[来源:学&科&网Z&X&X&K]在Rt △ABC 中，∵tan 30°＝ABAC ，∴AB ＝AC ×tan 30°＝30×33＝103≈10×1.7＝17(海里)．∴乙船的速度是17÷12＝34(海里/时)．答：乙船的速度约为34海里/时．23．解：(1)BD ＝22(2)如图，把△ADC 沿AC 翻折，得△AEC ，连接DE ，∴△ADC ≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC ，∠DCA=∠ECA ，DC=EC.∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.∴△CDE 为等边三角形．∴DC=DE.在AE 上截取AF=AB ，连接DF ，∴△ABD ≌△AFD.∴BD=DF.在△ABD 中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°.∴∠AFD=105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF=DE.∴BD=DC=2.作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，BG= 2.∴在Rt△ABG中，AB=2 2.24．解：(1)60°AB的中点处BE＝DE图形如下．(2)完成画图如以下图所示．[来源:1]猜想：BE=DE.证明：取AB的中点F，连接EF.∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠1=60°，CF=AF=12AB.∴△ACF是等边三角形．∴AC=AF.∵△ADE是等边三角形，∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2.∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠CAD=∠FAE.∴△ACD≌△AFE(SAS)．∴∠ACD=∠AFE=90°.∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．∴BE=AE.[来源:1ZXXK][来源:1ZXXK]∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴BE=DE.25．(1)证明：∵△ABC和△APQ都为等边三角形，∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ACQ≌△ABP(SAS)，∴∠ACQ＝∠ABP＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠ACQ，∴AB ∥CQ.(2)解：当点P 在BC 边的中点时，∠AQC ＝90°.证明：∵P 是BC 的中点，∴∠PAC ＝12∠BAC ＝30°.∵∠PAQ ＝60°，∴∠CAQ ＝∠PAQ －∠PAC ＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ ＝60°，∴∠AQC ＝90°，∴AQ 与CQ 互相垂直．26．解：(1)证明：在△ACD 和△BCE 中，∵AC ＝BC ，∠DCA ＝∠ECB ＝90°，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴∠DAC ＝∠EBC.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC ＝90°.∴∠BFD ＝90°.∴AF ⊥BE.(2)AF ⊥BE.理由：∵∠ABC ＝∠DEC ＝30°，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴BC AC ＝ECDC ＝tan 60°.∴△DCA ∽△ECB.∴∠DAC ＝∠EBC.∵∠ADC ＝∠BDF ，∴∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC ＝90°.∴∠BFD ＝90°.∴AF ⊥BE.。

【备考2014 志鸿优化设计】2013版中考数学总复习第2讲整式及因式分解(基础讲练+锁定考试目

第2讲整式及因式分解考纲要求备考指津1.能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算． 3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．考点一整式的有关概念 1．整式整式是单项式与多项式的统称． 2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝a m ＋n，(a m )n＝a mn，(ab )n＝a n b n，a m an ＝a m －n(m ，n 是正整数)．考点三同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．考点四求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．考点五整式的运算 1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除 (1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mC ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 考点六因式分解 1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.1．单项式－3π5m 2n 的系数是__________，次数是__________．2．下列运算中，结果正确的是( )．A ．a ·a ＝a 2B ．a 2＋a 2＝a 4C ．(a 3)2＝a 5D ．a 3÷a 3＝a3．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )．A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 24．如果a －3b ＝－3，那么代数式5－a ＋3b 的值是( )．A ．0B ．2C ．5D ．85．把代数式mx 2－6mx ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( )．A ．m (x ＋3)2B ．m (x ＋3)(x －3)C ．m (x －4)2D ．m (x －3)26．下列运算正确的是( )．A ．x 3·x 4＝x 12B ．(－6x 6)÷(－2x 2)＝3x 3C ．2a －3a ＝－aD ．(x －2)2＝x 2－47．(1)化简：(a ＋2b )(a －2b )－12b (a －8b )；(2)先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b )(2a ＋b )－3a 2，其中a ＝－2－3，b ＝3－2；(3)在实数范围内分解因式：x 2－2x －4.一、整数指数幂的运算【例1】下列运算正确的是( )．A ．3ab －2ab ＝1B ．x 4·x 2＝x 6C ．(x 2)3＝x 5D ．3x 2÷x ＝2x解析：A 项是整式的加减运算，3ab －2ab ＝ab ，A 项错；B 项是同底数幂相乘，x 4·x 2＝x 4＋2＝x 6，B 项正确；C 项是幂的乘方，(x 2)3＝x 2×3＝x 6，C 项错；D 项是单项式相除，3x 2÷x＝(3÷1)x 2－1＝3x ，D 项错．答案：B幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．二、同类项与合并同类项【例2】单项式－13x a ＋b ·y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )．A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b ·y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.∴a －b ＝2－0＝2.答案：A1．同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项；3．几个常数项都是同类项，如－1,5，12等都是同类项．三、整式的运算【例3】先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2.整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.四、因式分解【例4】分解因式：－x 3－2x 2－x ＝__________.解析：由于多项式中有公因式－x ，先提公因式再用公式法．－x 3－2x 2－x ＝－x (x 2＋2x＋1)＝－x (x ＋1)2.答案：－x (x ＋1)2因式分解的一般步骤： (1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式； (2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．分解因式：4－a 2＋2ab －b 2＝__________.1．(2012江苏南京)计算(a 2)3÷(a 2)2的结果是( )．A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 42．(2012福建福州)下列计算正确的是( )．A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 73．(2011山东枣庄)如图，边长为(m ＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠，无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )．A ．m ＋3B ．m ＋6C ．2m ＋3D ．2m ＋64．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝________.1．下列运算中，正确的是( )．A ．4m ＋n ＝5mnB ．－(m －n )＝m ＋nC ．(m 2)3＝m 6D ．m 2÷m 2＝m2．把代数式mx 2－my 2分解因式，下列结果正确的是( )．A ．m (x ＋y )2B ．m (x －y )2C ．m (x ＋2y )2D ．m (x ＋y )(x －y )3．已知代数式3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为( )．A ．7B ．18C ．12D ．94．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )．A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 25．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.6．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝3，则m ＋n ＝__________.7．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．8．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？9．观察下列各式(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1； ……(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；(2)判断22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1的值的末位数．参考答案基础自主导学自主测试1．－3π53 2.A 3.C 4.D 5.D 6．C7．解：(1)原式＝a 2－4b 2－12ab ＋4b 2＝a 2－12ab .(2)原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋2a 2－ab －b 2－3a 2＝ab . 当a ＝－2－3，b ＝3－2时，原式＝(－2－3)(3－2)＝(－2)2－(3)2＝1.(3)x 2－2x －4＝x 2－2x ＋1－5＝(x －1)2－5＝(x －1＋5)(x －1－5)．规律方法探究变式训练 (2＋a －b )(2－a ＋b ) 知能优化训练中考回顾1．B 2.A 3.C 4.3(m －n )2模拟预测1．C 2.D 3.A 4.C 5.14 6.2 7.358．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.9．解：由给出的式子不难看出：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1.(1)26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝27－1＝127.(2)22 009＋22 008＋22 007＋22 006＋…＋2＋1＝(2－1)(22 009＋22 008＋22 007＋…＋2＋1)＝22 010－1，∵21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，…，∴2n的个位数字按2,4,8,6循环出现，2 010＝4×502＋2. ∴22 010的末位数是4.∴22 010－1的末位数是3.。

【志鸿全优设计】八年级数学下册第四章相似图形单元综合测试(含解析) 北师大版

第四章相似图形单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．已知点C 是直线AB 上的一点，且AB ∶BC ＝1∶2，那么AC ∶BC 等于( )． A ．3∶2 B ．2∶3或1∶2 C ．1∶2 D ．3∶2或1∶22．若两个相似三角形周长的比为9∶25，则它们的面积比为( )． A ．3∶5 B ．9∶25 C ．81∶625 D ．以上都不对3．“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，下图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形( )．A ．左上B ．左下C ．右上D ．右下 4. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，下列结论正确的是( )．A.AD DEDB BC =B.AE BFEC FC=C.EF DE AB BC=D.AB CE AD AC=5．下列条件中不能判定△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( )． A ．∠B ＝25°，∠C ＝50°，∠B ′＝105°，∠C ′＝25°B ．AB ＝9，AC ＝6，A ′B ′＝4.5，A ′C ′＝3，∠A ＝50°，∠B ′＝60°，∠C ′＝70° C ．AB ＝12A B ''，AC ＝12A B ''，B ′C ′＝2BC D ．AB ＝5，BC ＝3，A ′B ′＝15，B ′C ′＝9，∠A ＝∠A ′＝31°6．如图，一个高为1 m 的油桶内有油，一根木棒长1.2 m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端正好到小口，抽出棒，量得棒上浸油部分长0.45 m ，则桶内油的高度是( )．A ．0.375 mB ．0.385 mC ．0.395 mD ．0.42 m7. 如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是( )．A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 28．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则小鱼上的点(a ，b )对应大鱼上的点( )．A ．(－2a ，－2b )B ．(－a ，－2b )C ．(－2b ，－2a )D ．(－2a ，－b ) 二、填空题(每小题4分，共20分) 9．若53x y y +=，则yx＝__________. 10. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__________．11．晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为 3 m ，左边的影子长为 1.5 m ．又知自己身高1.80 m ，两盏路灯的高度相同，两盏路灯之间的距离为12 m ，则路灯的高为__________m.12．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88 cm 的大菱形(如图②所示)，需要图①中的菱形的个数为__________．13．陈明同学想知道一根电线杆的高度，他拿着一把刻有厘米的小尺，站在距电线杆约30 m 的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到刻度尺上有12个厘米刻度恰好遮住电线杆(如图所示)，已知臂长约60 cm ，请你根据以上数据，帮助陈明同学算出电线杆的高度是__________．三、解答题(共48分)14．(10分)如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A (1,2)，B (3,1)，C (2,3)，以原点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍得到△A ′B ′C ′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A ′B ′C ′；(不要求写画法)(2)△A ′B ′C ′的面积是__________．15. (10分)小颖用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图所示，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m ，当她与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小颖计算出教学大楼的高度AB 是多少米？(注：根据光的反射定律，有反射角等于入射角．)16. (14分)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝12，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E .(1)求AE 的长度； (2)分别以点A ，E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F (F 与C 在AB 两侧)，连接AF ，EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．17. (14分)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)△ABC 与△FCD 相似吗？请说明理由． (2)点F 是线段AD 的中点吗？为什么？ (3)若S △ABC ＝20，BC ＝10，求DE 的长．参考答案1．解析：分点C 在线段AB 内与线段AB 外两种情况考虑．答案：D 2．答案：C 3．答案：B4. 解析：易得△CEF ∽△CAB ，则有CE CF CA CB =，即CA CBCE CF=，再利用合比性质，可得AE EC ＝BFFC. 答案：B5．解析：根据相似三角形的三种判定方法判断即可．答案：D 6．答案：A 7. 答案：C 8．答案：A 9．答案：3210. 答案：1∶9 11．答案：6.6 12．答案：12113．解析：由实际问题画出数学示意图，借助相似三角形对应高的比等于相似比的性质即可获解．如图所示，作AM ⊥BC 于M ，交DE 于N ，DE ＝12 cm ，AN ＝60 cm ，AM ＝30 m ．由题意知DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C .所以△ADE ∽△ABC .所以AN ∶AM ＝DE ∶BC ，即0.6∶30＝0.12∶BC ，解得BC ＝6 m.答案：6 m14．解：(1)画图如下图所示：(2)615. 解：根据光的反射定律，有∠1＝∠2，所以∠BEA ＝∠DEC .又知∠A ＝∠C ＝90°，所以△BAE ∽△DCE . 所以AB AE DC EC =，AB ＝AE EC ·DC ＝212.5×1.6＝13.44(m)．答：教学大楼的高约为13.44 m.16. 解：(1)在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝12，得AC =∵BC ＝CD ，AE ＝AD ，∴AE ＝AC －CD ＝12. (2)∠EAG ＝36°，理由如下：∵FA ＝FE ＝AB ＝1，AE ，∴AE FA =. ∴△FAE 是黄金三角形． ∴∠F ＝36°，∠AEF ＝72°. ∵AE ＝AG ，FA ＝FE ， ∴∠FAE ＝∠FEA ＝∠AGE . ∴△AEG ∽△FEA . ∴∠EAG ＝∠F ＝36°.17. 解：(1)相似．∵AD ＝AC ，∴∠CDF ＝∠BCA . ∵DE 垂直平分线段BC ，∴EB ＝EC ， ∴∠FCD ＝∠B . ∴△ABC ∽△FCD .(2)是．由△ABC ∽△FCD ，得12DF CD AC BC ==， ∴DF ＝1122AC AD =. ∴点F 是AD 的中点．(3)方法一：作AM ⊥BC 于M ，FN ⊥BC 于N ，由问题(1)，(2)的结论可得S ΔFCD ＝5，FN ＝2，且N 为DM 的中点，M 为CD 的中点，又易知△FNC ∽△EDC ，∴34FN CN DE CD ==，解得DE ＝83. 方法二：作AM ⊥BC 于M ，由12CD ·AM ＝10，解得AM ＝4. 易知△BDE ∽△BMA ， ∴DE BD AM BM =，∴DE ＝83. 方法三：作AM ⊥BC 于M ，则有23ED BE BD AM AB BM ===， ∴S △BCE ＝23S △ABC ＝403，于是由12BC ·DE ＝403，解得DE ＝83.。

【2014备考志鸿优化设计】2013版中考数学总复习(北师大版)专题讲练专题二阅读理解

专题二阅读理解阅读理解题是近年来中考的常见题型．它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．解答这类题关键是理解阅读材料的实质，把握方法、规律，然后加以解决．阅读理解题是近几年中考的热点，出现形式多样．考点一新知学习型问题新知学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，从中获取新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力，便于学生养成良好的学习习惯．【例1】如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为( )．A ．πB ．1C ．2D ．2π3解析：根据新定义“等边扇形”的特点，其扇形的弧长等于半径，所以半径为2的等边扇形的弧长等于2.根据扇形面积公式S ＝12lR ，则S ＝12×2×2＝2.答案：C解此类题时，要结合新知识、新定义的特点，定义本身即是给出的相应条件，结合条件，利用已有知识解答．考点二方法模仿型问题方法模仿型阅读理解题，是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题．【例2】阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O .若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD ＋BC 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD ＋BC 的长度为三边长的三角形(如图2)．请你回答：图2中△BDE 的面积等于__________．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF .图3(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)．(2)若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于__________．解：△BDE 的面积等于1. (1)如图．以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形是△CFP .(2)以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于34.解题时要领会题中所体现的解题方法，运用已有的知识深刻理解解题方法的内涵，予以拓展、应用，解决所提问题．考点三探索归纳型问题这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读、理解、分析，归纳出一般规律．【例3】我们把分子为1的分数叫做单位分数．如12，13，14，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如12＝13＋16，13＝14＋112，14＝15＋120，….(1)根据对上述式子的观察，你会发现15＝1□＋1○.请写出□和○所表示的数．(2)进一步思考，单位分数1n (n 是不小于2的正整数)＝1△＋1☆，请写出△和☆所表示的式子，并加以验证．解：(1)□表示的数为6，○表示的数为30.(2)△表示的式子为n ＋1，☆表示的式子为n (n ＋1)．验证：1n ＋1＋1n (n ＋1)＝n n (n ＋1)＋1n (n ＋1)＝n ＋1n (n ＋1)＝1n.要抓住特殊式子的共性，通过分析、类比、抽象，归纳出一般规律，然后推理论证，得出最终结论．1．记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为a 1，a 2，…，a n 这列数的“理想数”．已知a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么8，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为( )．A ．2 004B ．2 006C ．2 008D ．2 0102．在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P 的坐标为(1,1)，则其极坐标为[2，45°]．若点Q 的极坐标为[4,60°]，则点Q 的坐标为( )．A ．(2,23)B ．(2，－23)C ．(23，2)D ．(2,2)3．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a 1，a 2，a 3，a 4，则下列关系中正确的是( )．A ．a 4＞a 2＞a 1B ．a 4＞a 3＞a 2C ．a 1＞a 2＞a 3D ．a 2＞a 3＞a 4 4．定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的特征数，下面给出特征数为[2m,1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有( )．A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④5．定义运算a ⊗b ＝a (1－b )，下列给出了关于这种运算的几个式子：①2⊗(－2)＝6 ②a ⊗b ＝b ⊗a ③若a ＋b ＝0，则(a ⊗b )＋(b ⊗a )＝2ab ④若a ⊗b ＝0，则a ＝0.其中正确结论序号是__________．6．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤22x ，x >2，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是__________．7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答．例题：解一元二次不等式x 2－9＞0. 解：∵x 2－9＝(x ＋3)(x －3)， ∴(x ＋3)(x －3)＞0.由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x －3>0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，x －3<0. 解不等式组(1)，得x ＞3，解不等式组(2)，得x ＜－3，故(x ＋3)(x －3)＞0的解集为x ＞3或x ＜－3，即一元二次不等式x 2－9＞0的解集为x ＞3或x ＜－3.问题：求分式不等式5x ＋12x －3＜0的解集．8．如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A ，PB ，PC ，在△P AB ，△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．(1)如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E .试说明E 是△ABC 的自相似点．(2)在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P (写出作法并保留图痕迹)．参考答案专题提升演练1．C 2.A 3.B 4.B 5.① 6.4或－ 67．解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有(1)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＞0，2x －3＜0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋1＜0，2x －3＞0.解不等式组(1)，得－15＜x ＜32，解不等式组(2)，得无解．故分式不等式5x ＋12x －3＜0的解集为－15＜x ＜32.8．解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴CD ＝12AB ，∴CD ＝BD ， ∴∠BCE ＝∠ABC . ∵BE ⊥CD ， ∴∠BEC ＝90°. ∴∠BEC ＝∠ACB . ∴△BCE ∽△ABC .∴E 是△ABC 的自相似点． (2)作图略．作法如下：(ⅰ)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；(ⅱ)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P. 则P为△ABC的自相似点．。

【备考志鸿优化设计】中考数学总复习基础讲练第16讲直角三角形(含答案点拨) 新人教版

第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC :CA:AB ＝5:12:13，则cos B ＝( )A ．512B ．125C ．513D ．12132．如图，在△ABC 中，DE 是中位线，∠ABC 的平分线交DE 于F ，则△ABF 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③2，3，4；④m 2－n 2，m 2＋n 2，2mn .其中是直角三角形的有( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为边BC 上的任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断△MEF 的形状，并证明你的结论．分析：连接AM ，可得AM ＝BM ，然后证明△BFM ≌△AEM ，得到FM ＝ME ，∠EMF ＝90°.解：△MEF 是等腰直角三角形．连接AM ，∵∠BAC ＝90°，AM 是斜边BC 的中线， ∴MA ＝MB ＝MC ，MA ⊥BC . ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAE ＝45°. ∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠AFD ＝∠AED ＝∠FAE ＝90°， ∴四边形DFAE 是矩形，∴FD ＝EA . 又∵FB ＝FD ，∴FB ＝EA ， ∴△BFM ≌△AEM (SAS)， ∴FM ＝EM ，∠BMF ＝∠AME . ∵∠AMF ＋∠BMF ＝90°，∴∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝90°， ∴△MEF 是等腰直角三角形．方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( )A ．∠A ＝∠B ＝12∠C B ．∠A ＝90°－∠CC ．∠A ＋∠B ＝∠CD ．∠A －∠C ＝90° 考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：DC ⊥BE .(1)解：图2中△ABE ≌△ACD . 证明如下：∵△ABC 与△AED 均为等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠EAD ＝90°. ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠EAD ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵AB ＝AC ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△ACD .(2)证明：由(1)△ABE ≌△ACD 知∠ACD ＝∠ABE ＝45°. 又∠ACB ＝45°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4 (cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3 cm.方法总结1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E站应建在距A站x km处，根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.所以E站应建在距A站6 km处．方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m ，8 m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1．(2012广东广州)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( )A ．365B ．1225C ．94D ．3342．(2012浙江湖州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是( )A ．20B ．10C ．5D ．523．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．90B ．100C ．110D ．1214．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF ＝100°，那么∠BMD 为________°.5．(2012四川巴中)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为__________．6．(2012重庆)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．32cmD ．62cm2．在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( ) A ．57 B ．25 C ．57或25 D ．无法确定4．如图，在Rt △ABC 中，以三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．无法确定5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE BC的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．136．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE ＝2，CD ＝25，则BE 的长为__________．7．如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．8．如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC ；(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD .参考答案导学必备知识自主测试1．C ∵BC 2＋CA 2＝AB 2，∴∠C ＝90°，∴cos B ＝BC AB ＝513.2．B 3．D 探究考点方法触类旁通1．D触类旁通2．解：在Rt △ABD 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋32＝5，在△BCD 中，CD ＝13，CB ＝12，BD ＝5，∴CB 2＋BD 2＝CD 2.∴∠DBC ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝12×3×4＋12×12×5＝6＋30＝36.触类旁通3．解：在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩成等腰三角形ABD ，应分以下三种情况：(1)如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求得CD ＝CB ＝6，故△ABD 的周长为32 m.(2)如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求得CD ＝4，由勾股定理得AD ＝AC 2＋CD 2＝45，故△ABD 的周长为(20＋45) m.(3)如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，由勾股定理得(x －6)2＋82＝x 2，则x ＝253，故△ABD 的周长为803m.品鉴经典考题1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝15. 过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.2．C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD 的长是5.3．C 如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO ＝AB ＋AC ＝3＋4＝7，所以，KL ＝3＋7＝10，LM ＝4＋7＝11，因此，矩形KLMJ 的面积为10×11＝110. 故选C. 4．85 ∵∠ADF ＝100°，∠EDF ＝30°，∴∠MDB ＝180°－∠ADF －∠EDF ＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD ＝180°－∠B －∠MDB ＝180°－45°－50°＝85°.5．等腰直角三角形由题意得：c 2－a 2－b 2＝0，a －b ＝0，∴c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．6．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°.∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC ＝2AB ＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝23，∴△ABC 的周长为AC ＋BC ＋AB ＝23＋4＋2＝6＋2 3.研习预测试题 1．D2．A 由a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，可得c ＝54b ，a ＝34b ，于是得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．3．C 4．A5．C 由折叠性质可知，AE ＝BE ，设CE 为x ，则BE ＝8－x .在Rt △BCE 中，62＋x 2＝ (8－x )2，所以x ＝74.故CE BC ＝746＝724.6．4 2 ∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴CD ＝12AB ，DE ＝12BC ，∴AB ＝45，BC ＝4.在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝8，∴CE ＝12AC ＝4.∵CE ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴BE ＝4 2. 7．312根据题意易知CD ＝AC ＝2，AD ＝DE ＝(2)2＝2，EF ＝AE ＝22，AF ＝FG ＝22×2＝4，AG ＝42，所以所求图形的面积S ＝S △ABC ＋S 梯形ACDE ＋S 梯形AEFG ＝12×1×1＋12×(2＋22)×2＋12×(22＋42)×22＝12＋3＋12＝312.8．证明：(1)在等腰Rt △ABC 中， ∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°. ∴BD ＝AD .∴△BDC ≌△ADC . ∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.由∠BDM ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°， ∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC . (2)如图，连接MC.∵DC ＝DM ，且∠MDC ＝60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD .又∵∠EMC ＝180°－∠DMC ＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC .又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.。

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单元检测四图形初步与三角形(时间：120分钟总分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图所示，l ∥m ，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β＝20°，则∠α的度数为( )A ．25° B．30° C．20° D．35°2．如图，直线AB ，CD 交于点O ，OT⊥AB 于O ，CE∥AB 交CD 于点C ，若∠ECO＝30°，则∠DOT 等于( )A ．30° B．45° C．60° D．120°3．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n 个点最多可确定21条直线，则n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE 的度数是( )A ．125° B．135° C．145° D．155°5．如图，已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为( )A ．2B ．12C ．55D ．2556．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝36°，BD ，CE 分别是△ABC，△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个7．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 28．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为( )A．13 B．14 C．15 D．169．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )A．5 B．513 C．1313 D．9 510．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接O P，将线段O P绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则A P的长是( )A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B＝50°，则∠A＝__________.12．如图，已知AB ＝AD ，∠BAE＝∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是__________(写出一个即可)．13．如图，∠ABC＝50°，AD 垂直平分线段BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是__________．14．边长为6 cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为__________． 15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__________ cm 2.16．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则FGAF＝__________.17．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于点B ，C ，连接AC ，BC ．若∠ABC＝67°，则∠1＝__________.18．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，把△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D 处，连接BD ，若∠ACB ＝100°，则∠CBD＝________°.三、解答题(共66分)19．(6分)在一次数学课上，王老师在黑板上画出了如图所示的图形，并写下了四个等式：①AB＝DC，②BE＝CE，③∠B＝∠C，④∠BAE＝∠DCE.要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)已知：求证：△AED是等腰三角形．证明：20．(6分)已知：如图，锐角△ABC的两条高CD，BE相交于点O，且OB＝OC，(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．21．(8分)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF＝EF.22．(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方向航行，半小时后甲船到达C点，乙船正好到达甲船正西方向的B点，求乙船的速度．(3≈1.7)23．(9分)阅读下面材料：问题：如图(1)，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝45°，DC ＝2.求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．(1)请你回答：图中BD的长为________；(2)参考小明的思路，探究并解答问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD＝∠C＝2∠DAC＝30°，DC＝2，求BD和AB的长．24．(9分)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D是射线CB 上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在∠ACB的内部，连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．(1)当点D与点C重合时(如图2)，请你补全图形．由∠BAC的度数为______，点E落在________________，容易得出BE与DE之间的数量关系为__________；(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．25．(10分)如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△A P Q为等边三角形．(1)求证：AB∥CQ.(2)AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ与CQ不能互相垂直，请说明理由．26．(10分)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图(1)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE.(2)把两个含有30°角的直角三角板如图(2)放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．参考答案一、1.A 2.C 3.C4．B ∵∠BOD ＝45°，∴∠AOC ＝45°.∵OE ⊥AB ，∴∠COE ＝∠AOC ＋∠AOE ＝135°. 5．B 6.A 7.B8．A 由题意得AB ＝AC ＝12×(21－5)＝8.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE .∴BE ＋BC ＋CE ＝AE ＋CE ＋BC ＝AC ＋BC ＝8＋5＝13.9．B 在Rt△ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2＝132＝169，①由三角形面积法可得，12AC ·BC ＝12CD ·AB ，即2AC ·BC ＝156，②①＋②，得(AC ＋BC )2＝325，所以AC ＋BC ＝513.10．C 如图，连接PD ，由题知∠POD ＝60°，OP ＝OD ，∵∠1＋∠2＋60°＝180°，∠1＋∠A ＋∠APO ＝180°， ∴∠2＝∠APO . 同理∠1＝∠CDO . ∴△APO ≌△COD .∴AP ＝OC ＝AC －AO ＝9－3＝6. 故选C.二、11.80°12．AC ＝AE (或∠C ＝∠E 或∠B ＝∠D ) 由已知条件，根据SAS(AAS ，ASA)定理，确定可补充的条件为AC ＝AE (或∠C ＝∠E 或∠B ＝∠D )．13．115° 14.3 3 cm 15.492 16.1217.46° 18.10三、19.解：本题答案不唯一：已知：①③. 证明：在△ABE 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC ，AB ＝DC ，∴△ABE ≌△DCE ，∴AE ＝DE ，即△AED 是等腰三角形．20．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB . ∵CD ，BE 是两条高，∴∠BDC ＝∠CEB ＝90°. 又∵BC ＝CB ，∴△BDC ≌△CEB . ∴∠DBC ＝∠ECB .∴AB ＝AC . ∴△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 是在∠BAC 的平分线上．连接AO ，∵△BDC ≌△CEB ，∴DC=EB. ∵OB=OC ，∴OD=OE. ∵∠BDC=∠CEB=90°，∴点O 是在∠BAC 的平分线上．21．(1)解：△ADC ≌△ABE ，△CDF ≌△EBF . (2)证明：如图，连接CE .∵Rt△ABC ≌Rt△ADE ， ∴AC ＝AE .∴∠A CE ＝∠AEC .又∵Rt△ABC ≌Rt△ADE ， ∴∠ACB ＝∠AED .∴∠ACE －∠ACB ＝∠AEC －∠AED ，即∠BCE ＝∠DEC . ∴CF ＝EF .22．解：由题意得AC ＝60×12＝30(海里)，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝90°.在Rt△ABC 中，∵tan 30°＝AB AC， ∴AB ＝AC ×tan 30°＝30×33＝103≈10×1.7＝17(海里)． ∴乙船的速度是17÷12＝34(海里/时)．答：乙船的速度约为34海里/时． 23．解：(1)BD ＝2 2(2)如图，把△ADC 沿AC 翻折，得△AEC ，连接DE ，∴△ADC ≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC ，∠DCA=∠ECA ，DC=EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°. ∴△CDE 为等边三角形． ∴DC=DE.在AE 上截取AF=AB ，连接DF ， ∴△ABD ≌△AFD.∴BD=DF.在△ABD 中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°. ∴∠AFD=105°. ∴∠DF E=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF=DE. ∴BD=DC=2.作BG ⊥AD 于点G ，∴在Rt △BDG 中，BG= 2. ∴在Rt △ABG 中，AB=2 2.24．解：(1)60° AB 的中点处 BE ＝DE 图形如下．(2)完成画图如下图所示．猜想：BE=DE.证明：取AB 的中点F ，连接EF. ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠1=60°，CF=AF=12AB.∴△ACF 是等边三角形． ∴AC=AF.∵△ADE 是等边三角形，∴∠2=60°，AD=AE.∴∠1=∠2. ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD ，即∠CAD=∠FAE.∴△ACD ≌△AFE(SAS)． ∴∠ACD=∠AFE=90°. ∵F 是AB 的中点，∴EF 是AB 的垂直平分线． ∴BE=AE.∵△ADE 是等边三角形， ∴DE=AE.∴BE=DE.25．(1)证明：∵△ABC 和△APQ 都为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AP ＝AQ ，∠BAC ＝∠PAQ ＝60°， ∴∠BAP ＝∠CAQ ，∴△ACQ ≌△ABP (SAS)， ∴∠ACQ ＝∠ABP ＝60°.又∵∠BAC ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACQ ， ∴AB ∥CQ .(2)解：当点P 在BC 边的中点时，∠AQC ＝90°.证明：∵P 是BC 的中点，∴∠PAC ＝12∠BAC ＝30°.∵∠PAQ ＝60°，∴∠CAQ ＝∠PAQ －∠PAC ＝60°－30°＝30°，由(1)知∠ACQ ＝60°， ∴∠AQC ＝90°，∴AQ 与CQ 互相垂直． 26．解：(1)证明：在△ACD 和△BCE 中， ∵AC ＝BC ，∠DCA ＝∠ECB ＝90°，DC ＝EC ， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴∠DAC ＝∠EBC . ∵∠ADC ＝∠BDF ，∴∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC ＝90°. ∴∠BFD ＝90°.∴AF ⊥BE . (2)AF ⊥BE .理由：∵∠ABC ＝∠DEC ＝30°，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴BC AC ＝EC DC＝tan 60°. ∴△DCA ∽△ECB .∴∠DAC ＝∠EBC . ∵∠ADC ＝∠BDF ，∴∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC ＝90°. ∴∠BFD ＝90°.∴AF ⊥BE .。

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