北京市东城区2004年高三年级综合练习(二)_7

北京市东城区2004年高三年级综合练习（二）高三数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+2sin 2cos 2sin sin φθφθφθ-+=-2cos 2cos 2cos cos φθφθφθ-+=+2sin 2sin 2cos cos φθφθφθ-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式：h S S S S V )(31+'+'=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{}2,1=M ,{}3,2=N ,集合P ⊂（M ∪N ）,则P 的个数是 (A)6 (B)7 (C)8 (D)5(2) 已知复数ai z R b a bi a z +-=∈+=1),,(21，若21z z <，则实数b 适合的条件是（A ）b<-1或b>1 （B ）-1<b<1 （C ）b>1 （D ）b>0 （3）命题甲：|x|≤2，命题乙：|x+1|≤1，则甲是乙的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）即非充分又非必要条件 （4）某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km （不含3km ），以后每1km 价为1.6元（不足1km ，按1km 计费），若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y （元）与行驶的里程x （km ）之间的函数图象大致为（5）已知f(x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 （A ）x=-1 （B ）x=1 （C ）21-=x （D ）21=x(6)已知ΔABC 的三个内角为A ，B ，C ，所对的三边分别为a,b,c ，若三角形ABC 的面积为22)(c b a S --=，则2Atg等于 （A ）21 （B ）41 （C ）81（D ）1 （7）在数列{}n a 中，1=n a ，当n ≥2时，111--+=n n n a a a ，且已知此数列有极限，则n n a ∞→lim 等于（A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）1（8）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．第Ⅱ共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）函数)32sin(2π-=x y 的周期是__________ ，振幅是_________. （10）A 、B 、C 、E 五位同学站成一排，其中A 不站在头也不站在尾的排法有__________种.（有数字作答）（11）过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cos θ的值是___________.（12）给出下面四个条件：①⎩⎨⎧<<<010x a ②⎩⎨⎧><<010x a ③⎩⎨⎧<>01x a ④⎩⎨⎧>>01x a能使函数2log -=x y a 为单调减函数的是__________.（填上使命题正确的所有条件的代号）（13）已知二直线08:1=++n y mx l 和012:2=-+my x l ，若21l l ⊥，1l 在y 轴上的截距为-1，则m=____________，n=__________.（14）边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为___________； 推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和为___________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知关于x 的不等式2512mx m x -+>+. （Ⅰ）解这个不等式；（Ⅱ）当此不等式的解集为{x|x>5}时，求实数m 的值. （16）（本小题满分13分）已知cbx ax x f ++=1)(2（a,b ,c ∈Z ）是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3.（Ⅰ）求a,b,c 的值；（Ⅱ）当x ∈（-∞，-1]时，试判断 f(x)的单调性并加以证明. （17）（本小题满分13分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点.（Ⅰ）求证：AF//平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积.（18）（本小题满分14分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB=60°，BC 长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？（19）（本小题满分13分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 、为双曲线C 的左、右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程.（20）（本小题满分13分）已知各项均不为零的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)2(031≥=+-n S S a n n n ，311=a . （Ⅰ）求证：}1{nS 是等差数列； （Ⅱ）求n a 的表达式；（Ⅲ）若⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2( )1(31)1(1n a n n b n n 记n b n b n b T n n ++++++=11121 ， 求证：数列}{n T 是递增数列.北京市东城区2004年高三年级综合练习（二）高三数学参考答案（文史类）一、选择题（1）B （2）B （3）B （4）C （5）D （6）B （7）C （8）A 二、填空题（9）4π（3分）2（2分）（10）72 （11）31或66（答对一个3分，答对两个5分） （12）①、④（13）0（3分）8（2分） （14）a 23（2分）a 36（3分） 三、解答题（15）解：（Ⅰ）原不等式可化为52)1(2-->-m m x m ……………………2分①若m<1且m ≠0，则不等式的解为1522---<m m m x ； ……………………4分②若m>1，则不等式的解为1522--->m m m x ； ………………………………6分③若m=1，则不等式的解为x ∈R. ………………………………………………8分（Ⅱ）如果原不等式的解为x>5，则⎪⎩⎪⎨⎧=--->515212m m m m ………………………10分∴m=7.即原不等式解集为}5|{>x x 时，m 的值为7. …………………………………13分（16）解（Ⅰ）由于cbx ax x f ++=1)(2是奇函数，则f(-x)=-f(x)，即cbx ax c bx ax ++-=+-+1122得 c=0 . …………………………………………………………………………………2分又f(1)=2，f(2)<3可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=+)2( 3214)1( 21b a ba由(1)a=2b-1代入 (2)得032<-bb 解得230<<b .由于b ∈Z ，所以b=1，进而求出a=1. ……………………………………………6分 （Ⅱ）当x ∈(-∞,-1)时，f(x)是单调递增函数. …………………………………7分 由（Ⅰ）知xx x f 1)(+=. 任取121-≤<x x ，)1(1)()(221121x x x x x f x f +-+=- )11()(2121x x x x -+-= 2121211)(x x x x x x --= 由21x x <，有021<-x x .又1.121-≤-≤x x ，则1||,1||21≥≥x x . 因为21x x <，所以1||21>x x .而1||2121>=x x x x ，∴0121>-x x∴0)()(21<-x f x f .也就是)()(21x f x f <.故f(x)在]1,(--∞上单调递增. ……………………………………………………13分 （17）证（Ⅰ）取CE 中点M ，连结FM ，BM ，则有AB DE FM ////21==. ∴四边形AFMB 是平行四边形. ∴AF ∥BM ，∴⊂BM 平面BCE ，⊄AF 平面BCE ，∴AF ∥平面BCE. ……………………………………………………………………5分（Ⅱ）由于DE ⊥平面ACD ， 则DE ⊥AF.又△ACD 是等边三角形， 则AF ⊥CD而CD ∩DE=D ， 因此AF ⊥平面CDE. 又BM ∥AF ，则BM ⊥平面CDE.BM AB V V V CDE B ACD B ABCDE ⋅⋅⋅⋅+⋅=+=--222131243312 32233233=⋅⋅+=.……………………………………………………………9分 （18）设BC=a ，(a>1)，AB=c ，AC=b ，21=-c b.︒-+=60cos 2222ab b a c .将21-=b c 代入得ab b a b -+=-222)21(代简得41)1(2-=-a a b .∵a>1 ∴a-1>0232)1(43)1(14322)1(14122+≥+-+-=-+-+-=--=a a a a a a a b .………10分当且仅当)1(431-=-a a 时，取“=”号，………………………………………12分即231+=a 时，b 有最小值32+. 答：AC 最短为)32(+米，此时，BC 长为)231(+米. ………………………14分 （19）解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，即kx-y=0.∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x. ……………………………………………3分故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x .又双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴1,2222==a a .∴双曲线C 的方程为122=-y x .……………………………………………………7分 （Ⅱ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =.根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ① ……………………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(),,(T T y x T y x N . 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=222TT y y x x 即⎩⎨⎧=+=y y x x T T 222代入①并整理得点N 的轨迹方程为)22.(122-≠=+x y x ………………………13分 （20）（Ⅰ）∵13-=-n n n S S a . ∴113)(--=--n n n n S S S S .由于n a 均不为零，且13-=-n n n S S a ， 则有n S 不为零.∴)2(3111≥=--n S S n n . 又311,3111211=-==S S a S 且. ∴}1{nS 是以3为首项，3为公差的等差数列. ……………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n S n n S n n 31,33)1(31=∴=⨯-+=. 当n=1时，3111==a S .当2≥n 时，)1(31)1(31311--=--=-=-n n n n S S a n n n . ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()1(31)1( 31n n n n a n …………………………………………………………8分（Ⅲ）由于)1(,11==n b)2()]1(3[)1(31)1(31≥=---=-=n n n n n a n b n n所以n n n n T n 21312111+++++++= ① 2211212131211++++++++=+n n n n n T n ②11221221112211211+-+++>+-+++=-+n n n n n n T T n n01111=+-+=n n . ∴n n T T >+1.即n T T T T <<<< 321，数列}{n T 是递增数列. ……………………………13分。