江苏卷第17题的别解
2017年高考江苏卷英语试题解析(精编版)(解析版)
2017年江苏高考英语卷总评2017年高考英语江苏卷总体上难度适中，紧扣高中英语课程标准的教学要求，对考生在英语听力、词汇、语法、英语知识综合运用、阅读理解、书面表达等知识和能力进行了全面、深入的考查。
稳中有变，重基础、重语境，贴近生活，将知识和能力的考查融为一体；难易结合，体现了英语高考改革的趋势。
听力：听力部分沿用全国卷I的听力，除了Text 10部分语速稍快，前面9段材料语速比较正常，总体难度不算大，和往年持平。
主要考查常用的功能性用语，考查形式以事实细节题为主，辅以情感态度、主旨大意、意图推测、推理判断等题型。
学@科网单项选择：难易分明单选部分强调在语境中理解词汇的意思，侧重对词汇和词组的考查。
考点为非谓语动词、定语从句、阅读部分：题量设置沿袭过去两年，难度有所降低阅读部分设题以细节理解题为主，推理判断题为辅。
A篇介绍了一本历史书籍，文章难度不大，可读性强。
第57题考查作者的写作手法，设题较为新颖，不过难度不大。
B篇介绍自然界中，鸟类具有的胎教能力，题目有一定的难度。
C篇介绍在互联网科技发展的背景下，数据对企业、政府和个人等的重要性。
题目以推理判断题为主。
D篇介绍应对气候变化的方法，细节题和推理题兼顾。
任务型阅读加大了难度，重点考查学生的概括能力。
文章介绍了人口下降与经济发展的关系，同时也提出了解决的范例。
考查考生在信息检索、内容归纳、语言结构等方面的知识与能力。
书面表达：图表类作文延续前两年＂读写任务型＂写作，总字数要求不变，凸显了考生分析材料的能力，写作便于考生写出紧扣主题的个性化内容。
要求概括图表包含的主要信息，一改往前概括短文的出题方法。
另外，所给材料作为参考，不至于无话可写。
第一部分听力（共两节，满分20 分）做题时，先将答案标在试卷上，录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
一元二次方程的整数根
例 2 (2000 年全国初中数学联赛试题)设关于 x 的二次方程 (k2－6k＋8)﹒x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4
的两根都是整数.求满足条件的所有实数 k 的值.
分析 此题也可通过直接求根法求出二根，但是它的条件与例 1 不同，例 1
况。 解 若 k=6, 则 x=-2; 若 k=9, 则 x=3；
若 k≠6 且 k≠9，原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二
根为 x1＝ k 9 6 ，x2＝ k 6 9 .为使 x1 和 x2 都是整数，则应有 k-6 = ±1,±3,± 9 ， k=-3,3,5,7,9,15;还 应 有 k-9 = ± 1,± 2, ± 3,± 6, k=3,6， 7,8,10,11,12，15. 所以 k=3,7,15时，x 1 和 x 2都是整数，
当 m =1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均为 1，方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 的
二根为-1 和 5，符合要求。 当 m =-1 时，方程 mx2-6x+9=0 的二根均不是整数,不符合要求. 所以仅当 m=1 时，方程的两根都是整数。 例 4． (1996 年上海市初中数学竞赛试题)若关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
a = 25, 18, 16, -9, -2, 0
因 a 为正实数，于是 a 25 或 18或 16均为所求.
例 8 (第十七届全俄数学奥林匹克十年级试题)求使方程 x2-pqx+p+q=0 有
整数根的所有正整数 p 和 q．
解 设原方程两根为 x1、x2，则 x1x2 = p+q
2017年江苏卷数学高考试题解析(精编版) (解析版)
绝密★启用前【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。
2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。
如第7题首次考查几何概型概率问题。
2.关注通性通法。
试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。
如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。
第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。
第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。
3.体现数学应用，关注社会生活。
第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。
两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。
【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ . 【答案】10【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b (,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N . 4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.结束 （第4题）开始 22log y x←+Y1x ≥N输入x 2x y ←输出y6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 7. 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .O O 1 O 2 ⋅⋅ ⋅【答案】23【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学#科.网合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为2OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ . 【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=，2cos α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=.α A CB(第12题)【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质因此10nmqp=，则10()n mqp=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为3-.(第15题)ADBC EF【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<> 17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737(,) 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. F 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P 的坐标为737(77.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.容器Ⅱ容器ⅠGOHFD BAO 1H 11F 1E D 1C 1B 1A (第18题)记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=.于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法：2n S An Bn =+20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-. 列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以33a a >()>(33)=3g a g >3a因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，POCA(第21-A 题)所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 45. 【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 13 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.DCBD 1B 1C 1A 1A(第22题)【答案】（1）1 7（2）74【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.(2)平面A1DA的一个法向量为(3,0,0)AE=.设(,,)x y z=m为平面BA1D的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0)A B BD=--=-，则10,0,A BBD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即330,330.x y zx y-=+=⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，因此二面角B -A 1D -A 7. 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+.1 2 3m n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n np m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为: X1n 11n + 12n + …1k…1m n+P11C C n n nm n--+ 1C C n nnm n-+ 11C C n n nm n-++ …11C C n k nm n--+ …11C C n n m nm n-+-+ 随机变量 X 的期望为：()()(1)nE X m n n <+-.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。
2017年高考真题——数学(江苏卷) Word版含解析(参考版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为Sn ，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017江苏高考阅卷报告 解析几何题高考阅卷分析
2017年江苏高考17题解析第17题（满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【考察方向】直线方程，直线与直线的位置关系，椭圆方程，椭圆的几何性质等基础知识，考察分析问题能力与运算求解能力。
解析：（1）设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8 所以因此12=c a ，228=a c… …………………………………….……………………2分解得2=a ，1=c，于是b 2分因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=…………………………………………………1分（2）解法一：由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>.当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符……..………………………………..1分 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+， 直线2l 的斜率为001x y --，……… ……………..2分(第17题)从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得0=-x x ，……………………………………………………………2分2001-=x y y 所以20001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，………………………………2分 即22001x y -=或22001x y +=.又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==； 220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为(,77………………………………………………………………………………………….2分 关于后面4分的说明:1、将,P Q 的坐标带入椭圆方程，化简得00427401280+-=x x ，……………….2分 解得02167=x ，因此点P的坐标为(77。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学I(江苏卷)(附解析)
2017年江苏卷数学高考试题解析（精编版）【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。
2017年江苏数学试卷在―稳中求进‖中具体知识点有变化。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。
如第7题首次考查几何概型概率问题。
2.关注通性通法。
试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。
如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。
第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。
第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。
3.体现数学应用，关注社会生活。
第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。
两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。
【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ .【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.（第4题）(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32．【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7.记函数()f x =D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用―比例解法‖求解几何概型的概率． 8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学#科.网合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用―巧用性质、整体考虑、减少运算量‖的方法. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意―拆、拼、凑‖等技巧，使其满足基本不等式中―正‖(即条件要求中字母为正数)、―定‖(不等式的另一边必须为定值)、―等‖(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉―f ‖，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为,OA 与OC的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=，cos α=，根据向量的分解，(第12题)易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0+==，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=. 【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题. (2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）(第15题)ADBC EF已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为-【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++(2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ①(第17题)直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P的坐标为. 【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)容器Ⅱ容器ⅠAH 11E 1A (第18题)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473s i n s i n ()s i n ()s i n c o 3s c o s s i n ()5252555N E Gαβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2n S An Bn =+ 20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+.因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=x ，2x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路P(第21-A 题)(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为―相似三角形→比例式→等积式‖．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =错误！未找到引用源。
横看成岭侧成峰——2017年江苏高考数学试题17的赏析
点 ，Ⅳ，先 以点 Ⅳ为例 ，我 们可 以过点 Ⅳ作平行 于 ＰＢ的直 线交 ＢＣ于 Ｑ，再 连接 ＱＭ 就 会有新 平面 ＭＮＱ，下 面只需 要
证 明 它 与 平 面 ＰＡＢ平 行 即 可 ．
证 明 ３ 过 点 Ⅳ 作 平 行 于 尸曰的直线交 ＢＣ于 Ｑ，连接 ＱＭ，
如 图 ５所 示 ，在 △ＣＰＢ中 ，ＣＮ＝
（２）若直线 ｚ。ｚ 的交点 Ｑ在椭 圆 Ｅ上 ，求 点 Ｐ的坐标．
（一 ）设 点 法
２
法１ （１）等 ＋｝ ＝１．
叶
Ｊ
（２）由 （１）知 ，Ｆ （一１，０），ｏ＞０．
当 。≠ｌ时 ，ＰＦ，的斜率为 因为 ｌｌ上 ｌ，Ｚ２上 ，
解 析几何解答题 在 江苏 高考 中看似 变化 不 大 ，在 六道 解答题 中处于 中部位 置 ，有一定 的计算 量 ，考查 内容也 基本 稳 定 ，但从 细节分析 ，还是有很大 区别 的．
一 、历 年江苏高考解析 几何解答题的情况 分析
年 份 题号 考查知识点
求解 内容
２０１０正 １８ 直线 、椭 圆 轨迹 方程 、点坐标 、定点坐标
一
，得Ｐ（ ， ．
（三 ）对 称法
法 ３ （２、设 Ｐ（ ．ｖｎ ． ＞０． ＞０．
（下转 １２０页 ｌ
数 学 学 习与 研 究 ２０１８．１
●
．
．
．－ｌ ＿．
●
着与平面相交 的直线平移 ，最终把 直线平移 到平 面 内，平 移 后的直线就是 我们要 找 的线 线平行 ．证 明 １的两 条导 轨 是
（二 ）设 线法 法 ２ （２）设 Ｚｌ：，，＝ Ｉ（ ＋１），ｌ２：），＝ｋ２（ 一１），
2013年江苏省数学高考试题第17题的解法、背景及启示
可化为
｛ ｘ ２ ＋ ｙ ＝ ＋ ＿ ２ ａ ｙ ｘ 一 － ３ （ ： ４ 。 ａ
一
８
＋５口 一 ６ｎ ＋ ５ ＝。 ；
上， 故点 Ｍ 应 满足
－
＋ பைடு நூலகம்， 化简得 ＋ ＋ ２ ） ， 一 ３ ＝ ０ ． 又点 Ｍ在圆 ｃ
＝ ；
（ Ｘ ￣ ｙ ２ａ ＋ ４ 【 ＋ ０ ＋２ 一３ ＝ ．
－
【
＋
一
３
：
（ １ ） 、
．
此方 程组 有解 ． 此 时针对 方程 组 （ １ ） 有解 ， 有 以下处理 方案．
２ ． １ 代 数视 角 之方程 思想
图 ｌ
由题 意 知 圆 Ｃ的圆心 为 Ｃ（ ０ ， ２ ａ一 ４ ） ， 半径 ｒ ＝１ ， 圆 Ｃ的方 程 为
（ 一 口 ） ＋（ Ｙ一 ２ ａ＋ ４ ） ＝１ ．
设Ｍ （ ｘ ， ） ， 因为 ＝ ２ Ｍ Ｏ ， 所以￣ ／ ＋ （ Ｙ 一 ３ ） ＝ ２
即
（ ５ ａ ２ － １ ２ ａ ＋ ９ ） ＋ （ ３ － ２ ａ ） ， ， ＋ （ 寻 － ｓ ｎ ＋ ９ ） ］ ｙ ＋ （ 寻 ｎ ＋ ９ ） ＿ ０ ’
做不 下 去 了． 此 时若意 识到 ３ － ￣（ ３ ） 表 示圆 ＋（ Ｙ＋１ ） ＝ ４ ， 方程 （ ４ ） 表 示直 线 ， 解 题 思路随 之调 整 为直 线
Ｊ
／
。 ｆ
？
２ 多角度 探究 解题 思路 与方 法
2017年高考江苏卷数学试题解析(解析版)
绝密★启用前参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I ，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆I 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．10【解析】(1i)(12i)1i 12i 2510z =++=++==10 【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．4．右图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log216y=+=-，故答案为2-．【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．5．若π1tan(),46α-=则tanα=▲ ．【答案】7 5【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的． （3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V，则12V V 的值是 ▲．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】23【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 11．已知函数31()2eex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan α=7，OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=，2cos α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ． 【答案】[52,1]-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质，因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值23-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3cos 3sin x x -=，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π23cos((6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．学&科网试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan 3x =-．又，所以5π6x =． （2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ． 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤．于是，当ππ66x+=，即0x=时，取到最大值3；当π6x+=π，即5π6x=时，取到最小值23-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y⇒=∥a b，,,λλ≠⇒∃∈=0R∥a b b a b，BA AC OAλ=⇔=u u u r u u u r u u u r111OB OCλλλ+++u u u r u u u r；（2）向量垂直：121200x x y y⊥⇔⋅=⇔+=a b a b；（3）向量加减乘：±=a b221212(,),||,||||cos,x x y y±±=⋅=⋅<>a a ab a b a b．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F 作直线2PF的垂线2l．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线1l，2l的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【答案】（1）22143x y+=；（2）4737(,)77．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12ca=，228ac=，解得2,1a c==，于是223b a c=-=，因此椭圆E的标准方程是22143x y+=．因为11l PF⊥，22l PF⊥，所以直线1l的斜率为01xy+-，直线2l的斜率为01xy--，从而直线1l的方程：01(1)xy xy+=-+，①直线2l的方程：01(1)xy xy-=--．②由①②，解得21,xx x yy-=-=，所以21(,)xQ xy--．因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=．又P在椭圆E上，故2200143x y+=．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737x y==220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为737(77．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62， 所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '+0 –0 +()f xZ 极大值] 极小值Z故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =．【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB；（2）若曲线221:182x yC+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2C，求2C的方程．【答案】（1）；（2）228x y+=．（2）设00(,)Q x y为曲线1C上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为(,)P x y，则00210x xy y⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即02y xx y=⎧⎨=⎩，所以02x yxy=⎧⎪⎨=⎪⎩．因为点00(,)Q x y在曲线1C上，所以2200188x y+=，从而22188x y+=，即228x y+=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为2222x sy s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 【答案】455【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)451(2)s s s d -+-+==+-，最后根据二次函数最值的求法求最值．【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）74． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ．因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,1,3)A B AC =--=u u u r u u u u r ， 则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u ur u u u u r ． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以27sin 1cos 4θθ=-=． 因此二面角B -A 1D -A 7．【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L ．123Lm n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析． 试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n mn n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为X1n11n + 12n + …1k…1m n+ P 11C C n n n m n--+ 1C C n nn m n-+ 11C C n n n m n-++ (11)C C n k n m n--+ …11C C n n m n m n-+-+ 随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑．所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年高考江苏卷数学试题解析(参考版)
2017年高考江苏卷数学试题分析（参照版）1. 1【分析】由题意1B ∈，明显233a +≥，因此1a =，此时234a +=，知足题意，故答案为1．【分析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【分析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【分析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【分析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【分析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【分析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网依据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【分析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【分析】当1q =时，明显不切合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【分析】总花费600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【分析】由于31()2e ()exxf x x f x x -=-++-=-，因此函数()f x 是奇函数， 由于22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，因此数()f x 在R 上单一递加，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，因此221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.15.【分析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . （2）∵BC ⊥BD ，平面ABD平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【分析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，获得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，获得最小值，为23-.17.【分析】（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设00(,)P x y ，则000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得0201x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴2220020(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737(,)77. 18.【分析】（1）记玻璃棒与1CC 交点为H ，则2230CH AH AC =-=，3sin 4HAC ∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【分析】当{a n }为等差数列时，∵1112n k n k n n n k n a a a a a ka --+-++++++++=，∴111(21)n k n k n n n n k n a a a a a a k a --+-+++++++++=+，∴(21)(21)2n k n kn a a k k a -+++=+， ∴2n k n k n a a a -++=.（2）21124n n n n n a a a a a --+++++=（2n >，n ∈Z ）， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【分析】（1）由于2()32f x x ax b '=++，因此()620f x x a ''=+=，因此3ax =-， 因此()03af -=，因此3239a b a =+， 由于24120a b ∆=->，因此3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 由于135278t =<，因此min (27)0y y >=，因此b ²>3a .21.【选做题】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题地区内．．．．．．．．．．作答．．。
2017年高考数学江苏卷第17题解法赏析
面 直 角 坐 标 系 工 Q y 中， 椭 圆 & = 1 (a >
心> 0 ) 的左、 右焦点分别 为 F1 ， 只 2 ， 离心率为 2 图1 P F 2 的方程为 y = 犽 2(狓一 1 ) ， 则 直 线 A 的方程为 y = — (狓— 1 ).
P
两 准 线 之 间 的 距 离 为 8. 点 P 在椭圆上， 且位于第一象限， 过 点 F 1 作直线 的 垂 线 Z1 ， 过 点 R 作 直 线 的 垂 线 Z2 . (1) 求 椭 圆 E 的标准方程； (2) P 的坐标.
狓2 - 1 对 称 性 得 -狓 一 = 士y 。 ， 即狓2 + y 0 = 1 ① ， 或者
y0
2017年 第 9 期
中学数学月刊
^ 2 = 1 ② .又因为 P 在椭圆上， 所 以 4； y2 = 1 2 一 3： r 2 ,分 别 代 人 ① ， ②， 前者无解 ，由 后 者 得 ^。 =
— k 2 k 2 — k 1) ．
将此坐标代入椭圆方程， 化简得 9k 1 + 9 k2 — 30k 1k 2 一 1 6 = 0 •① 设 P (T 0 ， y。 ） ， 则 k1 y0 , _ 狓 0+ 1 y0
狓0 — 1
第一象限内的点， 所以狓。 > 0， y。 > 0， 则〒 P = ---^ ---^ ( 狓 〇+ 1 y 0 ) F 1Q =(狓 1 + 1 y 1) F 2P =(狓 〇 —1 , y 0^ —1Q = (狓1 — 1 ?y 1). 又因为— Q 以— Q 因此丨 丄— Q ， —Q Q = 0. 丄— Q ， 所
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2017年 第 9 期
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,参考解析)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a ，若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 9.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知36763，44S S ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3x x12x+e -e -f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年江苏省高考物理试卷解析版
2017年江苏省高考物理试卷解析版参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意．1．（3分）如图所示，两个单匝线圈a、b的半径分别为r和2r．圆形匀强磁场B的边缘恰好与a线圈重合，则穿过a、b两线圈的磁通量之比为（）A．1：1B．1：2C．1：4D．4：1【考点】D7：磁通量．【专题】31：定性思想；43：推理法；53D：磁场磁场对电流的作用．【分析】在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一个面积为S且与磁场方向垂直的平面，磁感应强度B与面积S的乘积，叫做穿过这个平面的磁通量，故当B与S平面垂直时，穿过该面的磁通量Φ＝BS．【解答】解：由于线圈平面与磁场方向垂直，故穿过该面的磁通量为：Φ＝BS，半径为r的虚线范围内有匀强磁场，所以磁场的区域面积为：S＝πr2结合图可知，穿过两个线圈的磁感线的条数是相等的，所以磁通量都是：Φ＝πBr2．与线圈的大小无关。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
【点评】本题考查了磁通量的定义式和公式Φ＝BS的适用范围，只要掌握了磁通量的定义和公式Φ＝BS的适用条件就能顺利解决．2．（3分）如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为（）A．t B．t C．D．【考点】43：平抛运动．【专题】32：定量思想；43：推理法；518：平抛运动专题．【分析】平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，抓住两球的水平位移不变，结合初速度的变化得出两球从抛出到相遇经过的时间。
【解答】解：两球同时抛出，竖直方向上做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，始终在同一水平面上，根据x＝v A t+v B t知，当两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为，故C 正确，ABD错误。
故选：C。
【点评】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，知道运动的时间由高度决定，初速度和时间共同决定水平位移。
2017年高考江苏卷数学试题解析参考版
2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . （2）∵BC ⊥BD ，平面ABD平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-， 所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。
2010年江苏高考17题的源和流
数 学教 学
＿－５ ｆ ４ ＿ ｆ
２ １ 年江 苏 高考 １ 题 的源和 流 ００ ７
２３ １ 江苏省前黄高级中学 徐 伟 １１ ６
２ １ 年江苏高考 已尘埃落定， ｏｏ 其中不乏可圈
可点的创新之题， 虽然学生反映题 目较难， 但本 人 觉得试 卷还 是很 好 的． 在此 本人 想对 江 苏卷 的
最 大．
（ 上述 问题可 以更一般化： ２ ） 对任意平面曲 线 及 Ｃ外一线段 Ｂ， 由Ｃ上一点Ｐ观察 Ｂ， 试 确 定 Ｐ点的 位 置使 视 角最 大 ．
对 此 问题 有 如 下结 论 ：
结论 １ 设 Ｊ ： Ｆ ） 为过 、Ｂ两点所作的圆 ０ 与 ２ Ｃ相切 的切点， 圆（ 的半径为 Ｒ ， 在 Ｐ点 若 二 ） ２ ２ 处的密切 圆Ｏ 的半径为 Ｒ ， ａ ３ 那么 ① 如果圆０ 与圆Ｏ 在Ｃ的两侧， ２ ａ 则Ｐ点为
／ＡＢＥ ＝ Ｏ． Ｌ ＤＥ ＝ ／ ３ ．
＝ Ｖ１５１５ ） ５、５ 上式取等号． ／２（２ —４ ＝ ５／ 时， ／ 所以当ｄ＝５、５ ｔｎａ一 取最大值． ５／ 时，ａ （ ） ／
又 因为 ０＜ ＜ ＜ ７， 以 ０＜ Ｏ 一 ＜ １ 所 ｔ
，
（） １该小组 已经测得一组 、／的值， ３ 并算 出
Ｈ
Ｂ Ｄ ＝ ｈ
，
，
Ａ Ｄ ＝ Ｈ
ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＤ ￣，
得 Ｈ ＝ ｔ ｎ ｔｎａ ａ ｈ ａ ｔ ｎ 一
０ ａｎ ｔａｎ Ｏ ｔ Ｌ ａｎ ｔ
４×１２ ．４
＋
＝ Ｈ
０， 解
上 的点 ， 当 且 仅 当过 、 Ⅳ 两 点 的 圆与 直 线 则
１２ — １２ ＝ １ ４ ．４ ．０ ＝ ２
江苏卷17题解题思路2021
江苏新高考压轴题解题思路（2021）基于真实情境选准切入点找准本质原理逻辑层次分明一、温故而知新---基于真实情境，选准切入点【典题1】（省适应性考试节选）水体中的Cr2O2-7、HCrO4-和CrO2-4是高毒性的重金属离子，可用Cr(Ⅵ)表示。
常用的处理方法是将Cr(Ⅵ)还原为低毒性的Cr3＋或Cr(OH)3--真实情境：以处理含铬废水为背景(1)在一定pH的水溶液中，HS－、S2－可与CrO2-4反应生成Cr(OH)3和单质硫。
水溶液中S2－能与单质硫反应生成S2-n ，S2-n能还原Cr(Ⅵ)。
①在pH=9的水溶液中CrO2-4与HS－反应的离子方程式为。
问题1：书写陌生方程式从哪几个方面入手？②25℃时用过量S2－还原Cr(Ⅵ)，发现反应后期Cr(Ⅵ)被还原的速率反而加快。
产生该现象的原因可能是；验证的实验方法是问题2：过量的S2－与速率加快之间有联系吗？可以在题干中找到提示信息吗？问题3：做对比试验的目的和关键是什么？怎么组织语言？二、剥茧抽丝，直击本质-----找准本质原理是关键【典题2】市二模节选：氰化氢（HCN,易挥发，Ka=5.0X10-10）主要应用于电镀、采矿、药物合成等工业生产。
HCN、CN-能抑制人体组织细胞内酶的活性，不能直接排放到环境中。
(1)Na2S2O3在临床上常用于氰化物的解毒剂。
解毒的原理是S2O32-将CN-转化为SCN-和SO32-.验证该转化过程生成SCN-的实验方法是：向NaCN溶液中加入过量的Na2S2O3的溶液，充分反应后，取少量反应后的溶液于试管中，加入足量稀盐酸酸化，问题1：充分反应后的溶液中是否存在干扰Fe3+ 检验的粒子？问题2：加入足量稀盐酸的作用是什么？(2)Cu2+可催化过氧化氢氧化废水中的CN-.①反应不能在酸性条件下进行，原因是此问中题干有信息提示吗？请标注出来②在含氰废水总量、过氧化氢用量和溶液PH一定的情况下，反应相同时间，测得CN-的氧化去除率随c(Cu2+)的变化与如题17图-1所示。
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中学数学月刊
２０ 年第 ８ ０８ 期 视为
别解 ２ （ 数形结合法 ） 将 二
Ｃ０Ｓ
ｙＯ ＝× ｌ
×１ ． ０
＋ ≤ ， １ ０ 孚
— 一
（ 点 Ｍ（，）Ⅳ（１０ ， ） Ｏ２ ， － ｓ ｃ０
ｓ ） ｉ 连线 的斜率 ． ｎ 点
Ｍ ｛．） ０ ２
￣ １ ｌ ×— ｏＯｃ ｓ － ｓ ） （ ｓ ） ） ￣ ｙ ＿０ － — ．ｏ — （ － ０ ＂－ｉ Ｏ ＝ ｆ２ ｅｓ — Ｏ ２ ｉ ｎ ｎ
、 ／ａ
＾
≥ห้องสมุดไป่ตู้ ．
、 ／
即
、 ／ａ
≥１ 及
、 ／ａ
≤１ ．
于 ，—＋ 一 ） ＋ ） 是ａ３ ‘ ｘ ３ （
＋ 一 ＝． １— 如果我们选取这样 的 口 ，使得一 ＋ １
、 ／ａ
所以
＝， １从而 ａ４即为所求． ＝
、 ／ａ
解法 ６ 设 ｘ ｓ ， ＝ｉ 则 ｎ
仳 ３ ｘ＋ｌ ｓ ｎ —３ ｉ ＋１ ＿３ ＝ａ ｉ ０ ０ ｓｎ０ ．
≥０ ，则 当 ∈［ １ １ 一 ， ］时 ，恒 有 ＋
Ｖ ａ
＾
—
由三倍 角公 式 ｓ ０ ３ｉ ０ ４ｉ ０得 ｉ ３ ＝ ｓ － ｓ 。 ， ｎ ｎ ｎ
到 ４ｉ ０ ３ｉ ＋ｉ ３＝ ， ｓ — ｓ ０ ｓ ００ ｍ。 ｍ ｍ
ｓ３ ． ｉ ） ｎ
如果 口 更能满足 １ 一
Ｖ ａ
≥０ 那么对于 ，
当 ａ４时 ，对任意 ０ １ｓ ≥０ 因 ＝ 有 －ｉ ３ ｍ ， 而有 ｔｉ３ — ｓ ＋ ≥０ ／ｍ ， ３ｉ ０ １ ，从而对任意 ∈ ￣ ０ ｍ
［ １１有 仳３ １ ， － ，］ － ＋ ≥Ｏ 所以所求之 ａ ４ ３ ＝．
一
令 ２ ｓ ＝ Ｅ ２ ２ ，３ ｌＯ 一ｉ ｚ ［ 一 ｎ ２ ，￣ ＣＳ Ｊ ＝
ｋ ｍ处时 ，铺设 的排污管道 的
、 Ｔ研 ／＝
： 丽 、
，
ｔ
Ｃ０Ｓ 、／ —ｔ— ｔ ２
总长度 最短．
所 以 ｕ＝
ｌ ｌ １
ｖ
＼ｚ
别解 １ （ 三解 函数 有界性 ）
管 道 ＡＯ， Ｏ， Ｏ，设 排 污 管 道 的 总 长 度 为 Ｂ Ｐ
Ｙｋ ｍ．
①在 △ ０ ， Ｑ ｌｔ ，Ｏ Ａ Ｑｄ Ｏ ＝ Ｏ ｎ Ａ ＝ ￣ ａ０
，
（ ）按下列要求建立函数关系式 ：①设 １
厶 Ｏ ０ ｒ ）将 Ｙ表示 为 ０的函数 ； ＝（ ｄ， ａ ②设
一
，
ｚ
） ，
所以 ＂ ０ ： Ｏ － ｒ ｒ Ｑ 丁 Ｖ３ ｌ
，
．
。
此 时 ＡＤ Ｂ ： ： Ｏ — 一 ＿２ Ｘ－－ ｋ ）即 ． ／ －（ ｍ ， ０ ３
．
当
Ｏ
时， 斜率 ｃｏｓ
最小， ｔｄ ｙ ｉ 、・ ￣
ｃ０ｓ
ｊ
别解 ３ （ 换元 法与配 方法 ）
污水 处理厂 建在矩形 区域 内且到 Ａ， 两点距 ￣：＃ ０ ／ － ｌ ３２Ｘ － Ｓ ｊ ： ３
Ａ设 Ｑ ｌ ｌ Ｑ 知ｆ Ｉ 延 可＝ 薹 交于 Ｑ Ａｌ ， Ｂ 长 由 题
＝
｝Ａ ＝０Ａ ＝ Ｂ １，０
Ｑ
Ｂ 。
１ ． ０ ｍ 为了处理三家工厂的污水 ，现要在矩 ｋ 形的区域上 （ 含边界 ）且 Ａ， ， Ｂ等距离 的一点 ０处建造一个污水处理厂 ，并铺设三条排污
Ｐ ＝ （ｍ）将 Ｙ Ｏ ｘｋ ， 表示为 的函数．
Ｃ０
Ｓ ＋ｌ 其 ｏ ｝ Ｏ 中 ≤≤ 斗
，
（） ２ 请你选用（ ） １ 中的一个函数关 系式 ，
确定污水处理厂的位置 ，使铺设的排污管道
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・
ｌ ８・
（ 远 用 １ 中 的 幽效 关 糸 ２Ｊ ）
（ ４ 上单调递增． ， ｎ 孚］
故当 － 叮 ｙ Ｃ时＇ 有极，值 ，也是最，值 ， 『 Ｊ 、 Ｊ 、
ｙ ＝０／ ｍ １ 、 ３＋ ０ １．
—
上 ． 点 作 该 圆 过 的切 线 ， 点 川 合好 切
Ｉ
图３
落在指定范围内， 如图 ３ ．
－ １１ Ｊ） ｉ ２／Ｏ ＝ ０ ， 以 Ｔ －Ｖ３ ？ ＭＴ ３ 。所 （
藏卷 第 １ 曲 判船 ７题
曹 兵 （ 江苏省通州中学 ２ ６０ ） 费新 慧 （ ２３０ 江苏省淮安 中学 ２ ３０ ） ２ ２０
题 目 ： 图 １某 如 ，
地有三家工厂 ， 分别 位 于矩 形 Ａ Ｃ 的 ＢＤ
两 个 顶 点 Ａ， 及 Ｂ
Ｃ 的 中点 Ｐ处 ， Ｄ 已
知 Ａ ２ ｍ， Ｃ＝ Ｂ＝ ０ ｋ Ｂ 图１
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２０ 年第 ８ ０８ 期
中学数学月刊
・１ ７・
我 取 根则ｏ ｌ，而 Ｖ ， 们 正 ，ｘＶ 从 卢 ＝＿ ａ ａ＝
１ 一 ．
如此说来 ， 应当满足两个条件 ： ａ
＾
一
＾
１ ＋
、 ／ａ
＾
≥０及 １ 一
所 以 ａｉ 。 — ｓ ＋ ＝ ｓ ０ ３ ｉ ＋ ｓ ０ ３ｉ ０ １ ａｉ — ｓ ｍ ｍ ｍ。 ｍ
＿ ．一 ≥ ０ ． Ｖ ａ
于是 从上 式得 到 ｏ３３ ＋ ≥ １ —＾ ． ．－ｘ １ 一 ＝ ｘ
Ｖ ａ
１ （ｓ ３ ３ｉ ＋ｉ ） （ 一 ） ｎ （ 一 一４ｉ 一 ｓ ０ ｓ ３ ＝ 口 ４ ｓ ３ １ ｍ ｍ ｍ ０ ｉ ＋
由（ ） ， 知 要求 １× 二 ０
Ｃ０Ｓ
＋０的最小 １
４ ｖ ｚ
Ⅳ在 圆 ２ １（１ ＋ －≤
戈 ≤
＿ ≤≤ ／ ０ ｙ ，
连 ｌ
ｌ
令 ｙ＝ ， ２ｉ０ １０ 即 ０ ． ０ 得 ｓ － ＝ ， － ｎ
。 Ｏ
—
、一
ｘ
ｘ Ｙ ）的一 段 圆弧 ／
， ．
二
当 ≤＜ ， ０ 以 在０ ） ０ Ｙ ， ｙ ［詈上 时 所 ＜ ， 单 递 ； 詈 孚 ，０所 ｙ 调 减 当 ＜ 时Ｙ ， 以 在 ≤ ＞