南通市2011年高考数学预测一校五题 (海安中学)

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南通市2011届高三数学第二次调研测试

南通市2011届高三第二次调研测试参考答案及评分建议数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2．若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．4．把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7．在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i n c o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，．已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证：（1）PA ⊥平面EBO ；（2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分PABCOEFG(第15题)（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥，又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分（2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()23cos 2sin cos 222x x xf x =-=3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++． (3)分由()π2cos 3316x ++=+，得()π1co s 62x +=， ………………5分于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分PABCOE FGQO A 1A 2B 1B 2xy (第17题)因为△ABC 的面积为32，所以31πsin 226ab =，于是23ab =. ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是23a b +=+． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()31s i 22A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由；（3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213b a b =+，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率22147.84c e a=== …………4分（2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =，于是11A B 的方程为：2240x y k -+=，故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分（3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ，则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分解得42133m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()22421133x y -+=-．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，（第17题甲） DAC B QPNMR S MN PQ T（第17题乙）θTQPNMSRMN PQBCAD甲乙S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为33（km 2）． …………………16分19．（本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541）【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ，所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： x e m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值，又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．【解】（1）当1n =时，11a =；当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--，所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-，所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似：若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++，整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾，因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以5112q +<<，因为三项均为整数，所以q 为5112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅．又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅．因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分于是MPB MCP ∠=∠．在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，，解得232，，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++，当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，，于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. ……………………5分（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ；（2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分（2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1，因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分ξ5 6 7 8 9 10 P132532516516532132。

江苏省2011年高考数学预测及最后一讲

2011年高三数学预测及最后一讲一、填空题：2010年填空题8-14题总体难度过大. 2011年会控制难度，减少3-4道难题，按6道容易题+6道中等题+2道难题的要求命制.填空题只填结果而不要过程，这个结果可以象做解答题那样，由逻辑推理，计算而得到（演绎推理）. 但由于不要过程，也可将一般情形特殊化后再求结果（类比推理)，还可从个别事实中归纳出一般性的结论（归纳推理），所以解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫巧；解题的要领是：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.常用的方法有：①直接法，②特例法，③合理猜想法，④图象法.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。

解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.【解法推介】（一）、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1．设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = .（二）、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）代替，即可以得到正确结果.例2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA C A cos cos 1cos cos .例3.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =___________.例4．坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ∙ =34- . （三）、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例5．如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 .例6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则5a 的最大值为________.（四）、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.例7．不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b=例8.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：1请将错误的一个改正为lg = ．（五）、归纳猜想法例9．已知()1(1)()1f nf nf n-+=+(n∈N*)，2)1(=f，则f（2011）= _______（六）、几种开放型填空题1：开放型填空题之多选型填空题例10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”q（14）q（n2例11．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm。

数学_2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲(含答案)

2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲一、填空题（共13小题，每小题3分，满分39分）1. 设a →=(m +1)i →−3j →，b →=i →+(m −1)j →，其中i →，j →为互相垂直的单位向量，又(a →+b →)⊥(a →−b →)，则实数m =________．2. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等差数列，则cosA+cosC 1+cosAcosC=________．3. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为ℎ1，ℎ2，ℎ，则ℎ1:ℎ2:ℎ=________．4. 设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →⋅OB →=________． 5. 如果不等式√4x −x 2>(a −1)x 的解集为A ，且A ⊆{x|0<x <2}，那么实数a 的取值范围是________．6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．7. 不等式√x >ax +32的解集为(4, b)，则a =________，b =________．8. 下表中的对数值有且仅有一个是错误的：lg 15 ＝9. 已知f(n +1)=f(n)−1f(n)+1(n ÎN ∗)，f(1)=2，则f(2007)=________10. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”．{a n }是公比为q 的无穷等比数列，下列“基量”为________组；（1）S 1与S 2；（2）a 2与S 3；（3）a 1与a n ；（4）q 与a n （n 为大于1的整数，S n 为{a n }的前n 项和）11. 若两个长方体的长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm ，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm ．12. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________． 13. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．二、解答题（共12小题，满分0分）14. 已知a →=(sinθ, −2)与b →=(1, cosθ)互相垂直，其中θ∈(0, π2)．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin(θ−j)=√1010，0<j <π2，求j 的值．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．（1）若AB →⋅BC →=−32，b =√3，求a +c 的值；（2）求2sinA −sinC 的取值范围． 16. 在△ABC 中，C −A =π2，sinB =13． (1)求sinA 的值；(2)设AC =√6，求△ABC 的面积．17.如图1所示，在边长为12的正方形AA′A 1′A 1中，点B ，C 在线段AA′上，且AB =3，BC =4，作BB 1 // AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点B 1、P ，作CC 1 // AA 1，分别交A 1A 1′、AA 1′于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A′A 1′与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC −A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC −A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，CD // AB ，AD ⊥AB ，BC ⊥PC ，AD =DC =12AB ．（1）求证：PA ⊥BC（2）试在线段PB 上找一点M ，使CM // 平面PAD ，并说明理由．19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与y =x +2相切．（1）求a 与b ；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1与点P ．求PF 1线段垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并说明曲线类型．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)，且a 、b 、c 成等比数列．（1）求ca 的值．（2）若椭圆C 的上顶点、右顶点分别为A 、B ，求证：∠F 1AB =90∘．（3）若P 为椭圆C 上的任意一点，是否存在过点F 2、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足RP →=−2PF 2→？若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由．21. 从数列{a n }中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{a n }的一个子数列．设数列{a n }是一个首项为a 1、公差为d(d ≠0)的无穷等差数列． (1)若a 1，a 2，a 5成等比数列，求其公比q ．(2)若a 1=7d ，从数列{a n }中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由．(3)若a 1=1，从数列{a n }中取出第1项、第m(m ≥2)项（设a m =t ）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{a n }的无穷等比子数列，请说明理由． 22. 已知定义在R 上的函数f(x)和数列{a n }满足下列条件：a 1=a ，a 2≠a 1，当n ∈N ∗且n ≥2时，a n =f(a n−1)且f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)．其中a 、k 均为非零常数．（1）若数列{a n }是等差数列，求k 的值；（2）令b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，若b 1=1，求数列{b n }的通项公式；（3）试研究数列{a n }为等比数列的条件，并证明你的结论． 23. 已知函数f(x)=|x|x+2．（1）判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f(x)=kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．24. 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB ）为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3．点C 为OB 上一点（不包含端点O ，B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为ym ．(1)设∠CA 1O =θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长． 25. 由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P(t)（单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图(1)所示的折线ABCDE 表示，销售价格Q(t)（单位：元/千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图(2)所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出P(t)，Q(t)关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？（2）图(1)中由四条线段所在直线围成的平面区域为M ，动点P(x, y)在M 内（包括边界），求z =x −5y 的最大值；（3）由（2），将动点P(x, y)所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x −3y ≤3类比为1≤x 2y 3≤3），试列出P(x, y)所满足的条件，并求出相应的最大值．2011年江苏省高考数学预测试卷及最后一讲答案1. −22. 45 3. 12：√33：√33 4. −345. a ∈[2, +∞)6. 47. 18,368. 3a −b +c 9. −1210. （1）（4） 11. 5√512. 3,当n 为偶数时，S n =52n ；当n 为奇数时，S n =52n −1213. m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β 14. 解：（1）因为a →与b →互相垂直，所以a →⋅b →=0．所以sinθ−2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．因为sin 2θ+cos 2θ=1，所以(2cosθ)2+cos 2θ=1．解得cos 2θ=15．则sin 2θ=45．因为θ∈(0, π2)，所以sinθ>0，cosθ>0，所以sinθ=2√55，cosθ=√55．（2）因为0<j <π2，0<θ<π2，所以−π2<θ−j <π2，所以cos(θ−j)=√1−sin 2(θ−j)=3√1010，所以cosj =cos[θ−(θ−j)]=cosθcos(θ−j)+sinθsin(θ−j)=√22．所以j =π4．15. 解：（1）∵ A ，B ，C 成等差数列， ∴ B =π3．∵ AB →⋅BC →=−32，∴ accos(π−B)=−32，∴ 12ac =32，即ac =3．∵ b =√3，b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴ a 2+c 2−ac =3，即(a +c)2−3ac =3． ∴ (a +c)2=12，所以a +c =2√3．（2）2sinA −sinC =2sin(2π3−C)−sinC =2(√32cosC +12sinC)−sinC =√3cosC ． ∵ 0<C <2π3，∴ √3cosC ∈(−√32, √3)． ∴ 2sinA −sinC 的取值范围是(−√32, √3)． 16. 解：(1)由C −A =π2和A +B +C =π，得2A =π2−B ，0<A <π4，故cos2A =sinB ，即1−2sin 2A =13， ∴ sinA =√33（负值舍去）． (2)由(1)得cosA =√63．由正弦定理，得BCsinA =ACsinB，∴ BC=sinAsinB ⋅AC=√3313×√6=3√2．∵ C−A=π2，∴ C=π2+A，∴ sinC=sin(π2+A)=cosA，∴ S△ABC=12AC⋅BC⋅sinC=12AC⋅BC⋅cosA=12×√6×3√2×√63=3√2．17. （1）证明：在正方形AA′A1′A1中，因为A′C=AA′−AB−BC=5，所以三棱柱ABC−A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2．所以AB⊥BC．因为四边形AA′A1′A1为正方形，BB1 // AA1，所以AB⊥BB1．而BC∩BB1=B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．（2）解：因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A−BCQP的高．因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，所以梯形BCQP的面积为S BCQP=12(BP+CQ)×BC=20．所以四棱锥A−BCQP的体积V A−BCQP=13S BCQP×AB=20．由（1），知BB1⊥AB，BB1⊥BC，且AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC．所以BB1⊥平面ABC．所以三棱柱ABC−A1B1C1为直棱柱．所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V ABC−A1B1C1=S△ABC×BB1=72．故平面APQ将三棱柱ABC−A1B1C1分成上、下两部分的体积之比为72−2020=13518. 解：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD // AB，AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．所以∠ACD=∠ACE=45∘因为AE=CD=12AB，所以BE=AE=CE所以∠BCE=45∘所以∠ACB =∠ACE +∠BCE =90∘所以AC ⊥BC ，又因为BC ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC 所以BC ⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥BC ．（2）当M 为PB 中点时，CM // 平面PAD ，证明：取AP 中点为F ，连接CM ，FM ，DF ．则FM // AB ，FM =12AB ，因为CD // AB ，CD =12AB ，所以FM // CD ，FM =CD ．所以四边形CDFM 为平行四边形，所以CM // DF ，因为DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ，所以，CM // 平面PAD ． 19. 解：（1）e =√33，∴ b 2a2=23，又b =√1+1=√2，∴ a =√3，b =√2．（2）由（1）知F 1，F 2分别为(−1, 0)，(1, 0)，由题意可设P(1, t)，(t ≠0)那么线段PF 1中点为N(0, t2)，设M(x, y)是所求轨迹上的任意点，由MN →=(−x, t2−y)，PF 1→=(−2, −t)则{y =t ˙，消t 得y 2=−4x(x ≠0)其轨迹为抛物线除原点的部分． 20. 解：（1）由题设b 2=ac 及b 2=a 2−c 2，得ca =√5−12．（2）由题设A(0, b)，B(a, 0)，又F 1(−c, 0)，得AF 1→=(−c,−b)，AB →=(a,−b)，于是AF 1→⋅AB →=−ac +b 2=0，故∠F 1AB =90∘．（3）由题设，显然直线l 垂直于x 轴时不合题意，设直线l 的方程为y =k(x −c)，得R(0, −kc)，又F 2(c, 0)，及RP →=−2PF 2→，得点P 的坐标为(2c, kc)，因为点P 在椭圆上，所以(2c)2a 2+(kc)2b 2=1，又b 2=ac ，得4(ca )2+k 2⋅ca =1，k 2=5−3√52<0，与k 2≥0矛盾，故不存在满足题意的直线l ．21. 解：(1)由题设，得a 22=a 1a 5，即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，得d 2=2a 1d ，又d ≠0，于是d =2a 1，故其公比q =a2a 1=3．(2)设等比数列为{b m }，其公比q =a 6a 2=32，b m =a 2q m−1=8d ⋅(32)m−1，由题设a n =a 1+(n −1)d =(n +6)d ．假设数列{b m }为{a n }的无穷等比子数列，则对任意自然数m(m ≥3)，都存在n ∈N ∗，使a n =b m ，即(n +6)d =8d ⋅(32)m−1，得n =8(32)m−1−6，当m =5时，n =8(32)5−1−6=692∉N ∗，与假设矛盾，故该数列不为{a n }的无穷等比子数列．(3)①设{a n }的无穷等比子数列为{b r }，其公比a m a 1=b2b 1=t(t ≠1)，得b r =t r−1，由题设，在等差数列{a n }中，d =a m −a 1m−1=t−1m−1，a n =1+(n −1)t−1m−1，因为数列{b r }为{a n }的无穷等比子数列，所以对任意自然数r(r ≥3)，都存在n ∈N ∗，使a n =b r ，即1+(n −1)t−1m−1=t r−1，得n =t r−1−1t−1(m −1)+1=(t r−2+t r−3+t +1)(m −1)+1，由于上式对任意大于等于3的正整数r 都成立，且n ，m −1均为正整数，可知t r−2+t r−3+t +1必为正整数，又d ≠0，故t 是大于1的正整数．②再证明：若t 是大于1的正整数，则数列{a n }存在无穷等比子数列．即证明无穷等比数列{b r }中的每一项均为数列{a n }中的项．在等比数列{b r }中，b r =t r−1，在等差数列{a n }中，d =a m −a 1m−1=t−1m−1，a n =1+(n −1)t−1m−1，若b r 为数列{a n }中的第k 项，则由b r =a k ，得t r−1=1+(k −1)t−1m−1，整理得k =t r−1−1t−1(m −1)+1=(t r−2+t r−3+t +1)(m −1)+1，由t ，m −1均为正整数，得k 也为正整数，故无穷等比数列{b r }中的每一项均为数列{a n }中的项，得证．综上，当且仅当t 是大于1的正整数时，数列{a n }存在无穷等比子数列． 22. 解：（1）由已知a n =f(a n−1)，f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)(n =2, 3, 4,)，得a n+1−a n =f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)(n =2, 3, 4,)由数列{a n }是等差数列，得a n+1−a n =a n −a n−1(n =2, 3, 4,) 所以，a n −a n−1=k(a n −a n−1)，(n =2, 3, 4,)，得k =1．（2）由b 1=a 2−a 1≠0，可得b 2=a 3−a 2=f(a 2)−f(a 1)=k(a 2−a 1)≠0．且当n >2时，b n =a n+1−a n =f(a n )−f(a n−1)=k(a n −a n−1)=k n−1(a 2−a 1)≠0所以，当n≥2时，b nb n−1=a n+1−a na n−a n−1=f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k(a n−a n−1)a n−a n−1=k，因此，数列{b n}是一个公比为k的等比数列．（3）解：{a n}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1)充分性证明：若f(x)=kx(k≠1)，则由已知a1=a≠0，a n=f(a n−1)(n=2, 3, 4,)得a n=ka n−1(n= 2, 3, 4,)所以，{a n}是等比数列．必要性证明：若{a n}是等比数列，由（2）知，b n=k n−1(a2−a1)(n∈N∗)b1+b2++b n−1=(a2−a1)+(a2−a1)++(a n−a n−1)=a n−a1(n≥2)，a n=a1+(b1+b2++b n−1)．当k=1时，a n=a1+(a2−a1)(n−1)(n≥2)．上式对n=1也成立，所以，数列{a n}的通项公式为：a n=a+(f(a)−a)(n−1)(n∈N∗)．所以，当k=1时，数列{a n}是以a为首项，f(a)−a为公差的等差数列．所以，k≠1．当k≠1时，a n=a1+(a2−a1)1−k n−11−k(n≥2)．上式对n=1也成立，所以，a n=a+(f(a)−a)1−k n−11−k =a+f(a)−a1−k−(f(a)−a)k n−11−k所以，a+f(a)−a1−k=0⇒f(a)=ka．即，等式f(a)=ka对于任意实数a均成立．所以，f(x)=kx(k≠1)．23. 解：（1）函数f (x)在区间(0, +∞)上，证明如下：∵ f(x)=|x|x+2，∴ 当x>0时，f(x)=1−2x+2∵ y=2x+2在(0,+∞)上是减函数∴ f (x)在区间(0, +∞)上是增函数．（2）原方程即：|x|x+2=kx2①①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．②当x<0且x≠−2时方程①有解，则−xx+2=kx2即kx2+2kx+1=0当k=0时，方程kx2+2kx+1=0无解；当k≠0时，△=4k2−4k≥0即k<0或k≥1时，方程kx2+2kx+1=0有解．设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1，x2则x1+x2=−2，x1x2=1k．当k>1时，方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根；当k=1时，方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx2+2kx+1=0有一个负根③当x>0时，方程①有解，则xx+2=kx2，kx2+2kx−1=0当k =0时，方程kx 2+2kx −1=0无解；当k ≠0时，△=4k 2+4k ≥0即k >0或k ≤−1时，方程kx 2+2kx −1=0有解．设方程kx 2+2kx −1=0的两个根分别是x 3，x 4 ∴ x 3+x 4=−2，x 3x 4=−1k∴ 当k >0时，方程kx 2+2kx −1=0有一个正根，当k ≤−1时，方程kx 2+2kx +1=0没有正根．．综上可得，当k ∈(1, +∞)时，方程f (x)=kx 2有四个不同的实数解．． 24. 解：(1)在Rt △COA 1中，CA 1=2cosθ，CO =2tanθ， y =3CA 1+CB =3⋅2cosθ+2−2tanθ=2(3−sinθ)cosθ+2(0<θ<π4);(2)y ′=2−cos 2θ−(3−sinθ)(−sinθ)cos 2θ=23sinθ−1cos 2θ.令y ′=0，则sinθ=13.当sinθ>13时，y ′>0；sinθ<13时，y ′<0. ∵ y =sinθ在[0,π4]上是增函数，∴ 当角θ满足sinθ=13时，y 最小，最小为4√2+2，此时BC =2−√22(m) . 25. 解：（1）P(t)={−t +5&0≤t ≤3t −1&3<t ≤6,−t +11&6<t ≤9,t −7&9<t ≤12Q(t)=−116(t −4)2+6 &(0≤t ≤12)．P(t)⋅Q(t)=(t −1)[−116(t −4)2+6](3<t ≤6)(P(t)⋅Q(t))′=−316[(t −3)2−33]>0在t ∈(3, 6]恒成立，所以函数在(3, 6]上递增当t =6时，[P(t)⋅Q(t)]max =28.75． ∴ 6月份销售额最大为34500元．（2） {5≤x +y ≤111≤x −y ≤7，z =x −5y ．令x −5y =A(x +y)+B(x −y)，则{A +B =1A −B =−5⇒{A =−2B =3，∴ z =x −5y =−2(x +y)+3(x −y)．由−22≤−2(x +y)≤−10，3≤3(x −y)≤21，∴ −19≤z ≤11，则(z)max =11．（3）类比到乘法有已知{5≤xy ≤111≤x y≤7，求z =x y 5的最大值．由xy 5=(xy)A ⋅(x y )B {A +B =1A −B =−5⇒{A =−2B =3．∴ 1121≤(xy)−2≤125，1≤(xy)3≤343 ∴ 1121≤z ≤34325，则(z)max =34325．。

数学_2011年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷(含答案)

2011年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．2. 若复数z =1−mi(i 为虚数单位，m ∈R)，若z 2=−2i ，则复数z 的虚部为________．3. 若函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω＝________．4. 若双曲线焦点为(√5, 0)，渐近线方程为y =±x2，则此双曲线的标准方程为________．5. 已知向量a →=(sin55∘, sin35∘)，b →=(sin25∘, sin65∘)，则向量a →与b →的夹角为________∘． 6. 已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a =3，b =4，△ABC 的面积为3√3，则c =________．7. 作为对数运算法则：lg(a +b)=lga +lgb(a >0, b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2+2)=lg2+lg2．那么，对于所有使lg(a +b)lga +lgb(a >0, b >0)成立的a ，b 应满足函数a =f(b)表达式为________．8. 两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有________． ①48，49 ②54，55 ③62，63 ④75，76 ⑤84，85 ⑥96，979. 已知关于x 的不等式 x+1x+a <2的解集为P ，若1∉P ，则实数a 的取值范围为________． 10. 已知集合Ω={(x, y)|x 2+y 2≤2009}，若点P(x, y)、点P′(x′, y′)满足x ≤x′且y ≥y′，则称点P 优于P′．如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为________．11. 若实数x ,y 满足4x +4y =2x+1+2y+1，则s =2x +2y 的取值范围是________． 12.已知集合P ={ x|x =2n , n ∈N}，Q ={ x|x =2n, n ∈N}，将集合P ∪Q 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n }，则数列{a n }的前20项之和________．13. 记集合T ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，M ={a 17+a 272+a 373+a474|a i ∈T ，i =1，2，3，4}，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是________．14. 已知抛物线y =g(x)经过点O(0, 0)、A(m, 0)与点P(m +1, m +1)，其中m >n >0，b <a ，设函数f(x)=(x −n)g(x)在x =a 和x =b 处取到极值，则a ，b ，m ，n 的大小关系为________．二、解答题（共10小题，满分130分）15. 已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP →=λAB →(0≤λ≤1)．（1）若等边三角形边长为6，且λ=13，求|CP →|；（2）若CP →⋅AB →≥PA →⋅PB →，求实数λ的取值范围．16. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点． (1)求证：B 1C // 平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由． 17. 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点F 1(−2, 0)，右准线方程x =8．（1）求椭圆C 的方程；（2）若M 为右准线上一点，A 为椭圆C 的左顶点，连接AM 交椭圆于点P ，求PMAP 的取值范围；（3）设圆Q ：(x −t)2+y 2=1(t >4)与椭圆C 有且只有一个公共点，过椭圆C 上一点B 作圆Q 的切线BS 、BT ，切点为S ，T ，求BS →⋅BT →的最大值．18. 在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层， (I)共有几种不同的方案？(II)已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？19. 已知函数f(x)=12x 2+lnx +(a −4)x 在(1, +∞)上是增函数．（1）求实数a 的取值范围；（2）在（1）的结论下，设g(x)=|e x −a|+a 22，x ∈[0,ln3]，求函数g(x)的最小值．20. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，2a n =1+a n a n+1，b n =a n −1，数列{b n }的前n 项和为S n ，T n =S 2n −S n ．(1)求证：数列{1b n}为等差数列，并求通项b n ；(2)求证：T n+1>T n；(3)求证：当n≥2时，S2n≥7n+1112．21. 为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X，写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A=|14−22|，再左乘矩阵B=|65−25145−85|，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文4，12，36，72，试破解该密码．22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1, −5)，点M的极坐标为(4, π2)．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（2）试判定直线l和圆C的位置关系．23. 在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．（1）求这名大学生先去买火车票的概率；（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的数学期望值．24. 已知抛物线y2=2√3x，过其对称轴上一点P(2√3，0)作一直线交抛物线于A，B两点，若∠OBA=60∘，求OB的斜率．2011年江苏省南通市某校高考数学模拟试卷答案1. 062. −13. 14. x24−y2=15. 306. √137. a=bb−1(b>1)8. ②⑤⑥9. [−1, 0]10. {(x, y)|x2+y2=2009, x≤0且y≥0}11. (2, 4]12. 34313. 84914. b <n <a <m15. 解：（1）当λ=13时，AP →=13AB →，CP →2=(CA →+AP →)2=CA →2+2CA →⋅AP →+AP →2=62−2×6×2×12+22=28． ∴ |CP →|=2√7；（2）设等边三角形的边长为a ，则CP →⋅AB →=(CA →+AP →)⋅AB →=(CA →+λAB →)⋅AB →=−12a 2+λa 2，PA →⋅PB →=PA →⋅(AB →−AP →)=−λAB →•(AB →−λAB →)=−λa 2+λ2a 2，即−12a 2+λa 2≥−λa 2+λ2a 2， ∴ λ2−2λ+12≤0，∴2−√22≤λ≤2+√22．又0≤λ≤1， ∴2−√22≤λ≤1．16. 解：(1)证明：连接AB 1与A 1B 相交于M ，则M 为A 1B 的中点，连接MD ，又D 为AC 的中点， ∴ B 1C // MD ，又B 1C ⊄平面A 1BD ， ∴ B 1C // 平面A 1BD ． (2)∵ AB =BB 1，∴ 四边形ABB 1A 1为正方形， ∴ AB 1⊥A 1B ，又∵ AC 1⊥面A 1BD ， ∴ AC 1⊥A 1B ， ∴ A 1B ⊥面AB 1C 1， ∴ A 1B ⊥B 1C 1，又在直棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥B 1C 1， ∴ B 1C 1⊥平面ABB 1A 1．(3)当点E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面BDE ，∵ D 、E 分别为AC 、CC 1的中点， ∴ DE // AC 1，∵ AC 1⊥平面AB 1D ，∴ DE ⊥平面AB 1D ，又DE ⊂平面BDE ， ∴ 平面AB 1D ⊥平面BDE ． 17. 解：（1）由题意得，c =2，a 2c=8得，a 2=16，b 2=12，∴ 所求椭圆方程为x 216+y 212=1；（2）设P 点横坐标为x 0，则PM AP=8−x 0x 0+4=12x 0+4−1，∵ −4<x 0≤4，∴ PM AP=8−x 0x 0+4=12x 0+4−1≥12．∴PM AP的取值范围是[12，+∞)；（3）由题意得，t =5，即圆心Q 为(5, 0)，设BQ =x ，则BS →⋅BT →=|BS →|⋅|BT →|cos∠SBT =|BS →|⋅|BT →|(1−2sin 2∠SBQ) =(x 2−1)[1−2(1x )2]=x 2+2x 2−3，∵ 1<BQ ≤9，即1<x ≤9，∴ 1<x 2≤81，易得函数y =x 2+2x 2在(1,√2)上单调递减，在(√2，81]上单调递增， ∴ x 2=81时，(BS →⋅BT →)max =632081．18. 解：（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，…第n 层放n 根， ∴ n 层一共放了S n =n(n+1)2根圆钢，由题意可知S n =n(n+1)2≤2000，解不等式得当n =62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；（2）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而nx +12n(n −1)=2009，即n(2x +n −1)=2×2009=2×7×7×41，因n −1与n 的奇偶性不同，所以2x +n −1与n 的奇偶性也不同，且n <2x +n −1，从而由上述等式得：{n =72x +n −1=574或{n =142x +n −1=287或{n =412x +n −1=98或{n =492x +n −1=82，所以共有4种方案可供选择．（3）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若n =41，则x =29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm ，从而梯形之高为200√3cm ，而200√3+10+10<400，所以符合条件；若n =49，则x =17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时，两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm ，从而梯形之高为240√3cm ，显然大于4m ，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地．19. 解：（1）f′(x)=x +1x +a −4，∵ f(x)在[1, +∞)上是增函数， ∴ f′(x)≥0在[1, +∞)上恒成立． ∴ a ≥4−(x +1x )恒成立，∵ x +1x ≥2，当且仅当x =1时取等号， ∴ 4−(x +1x )<2，∴ a ≥2；（2）设t =e x ，则ℎ(t)=|t −a|+a 22，∵ 0≤x ≤ln3，∴ 1≤t ≤3．当2≤a ≤3时，ℎ(t)={−t +a +a 22，1≤t <at −a +a22，a ≤t ≤3， ∴ ℎ(t)的最小值为ℎ(a)=a 22，当a >3时，ℎ(t)=−t +a +a 22，∴ ℎ(t)的最小值为ℎ(3)=a −3+a 22．综上所述，当2≤a ≤3时，g(x)的最小值为a 22，当a >3时，g(x)的最小值为a −3+a 22．20. 证明：(1)由b n =a n −1，得a n =b n +1，代入2a n =1+a n a n+1，得2(b n +1)=1+(b n +1)(b n+1+1)， ∴ b n b n+1+b n+1−b n =0，从而有1bn+1−1b n=1，∵ b1=a1−1=2−1=1，∴ {1b n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴ 1b n =n，即b n=1n.(2)∵ S n=1+12+⋯+1n，∴ T n=S2n−S n=1n+1+1n+2+⋯+12n，T n+1=1n+2+1n+3+⋯+12n+12n+1+12n+2，T n+1−T n=12n+1+12n+2−1n+1>12n+2+12n+2−1n+1=0，∴ T n+1>T n.(3)∵ n≥2，∴ S2n=S2n−S2n−1+S2n−1−S2n−2+⋯+S2−S1+S1 =T2n−1+T2n−2+...+T2+T1+S1．由(2)知T2n−1≥T2n−2≥...≥T2≥T1≥S1，∵ T1=12，S1=1，T2=712，∴ S2n=T2n−1+T2n−2+...+T2+T1+S1≥(n−1)T2+T1+S1=712(n−1)+12+1=7n+1112．21. 解：由题意，BA=|65−25145−85|⋅|14−22|，(BA)−1=|−11234−14|，(BA)X=|4361272|，∴|−11234−14||4361272|=|2009|，即发送的数据信息是2009．22. 解（1）直线l的参数方程为{x=1+12ty=−5+√32t，（t为参数）圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．（2）因为M(4,π2)对应的直角坐标为(0, 4)直线l化为普通方程为√3x−y−5−√3=0圆心到l的距离d=√3|√3+1=9+√32>4，所以直线l与圆C相离．23. 解：（1）设先去买火车票的概率为P(A)，先去买汽车票的概率为P(B)，则由条件可知{P(A)=3P(B)P(A)+P(B)=1，解得{P(A)=0.75P(B)=0.25．即先去买火车票的概率为0.75．（2）该大学生首先到火车站且买到火车票的概率为0.75×0.6=0.45．∴ 该大学生买汽车票的概率为1−0.45=0.55．设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布表为：∴ 该大学生购买车票所花费钱数的期望值为E(ξ)=120×0.45+280×0.55=208．24. 解：设直线AB方程为ty=x−2√3，A(x1, y1)，B(x2, y2)，则由{y2=2√3xty=x−2√3，得y2−2√3ty−12=0，则y1⋅y2=−12，x1⋅x2=12，∴ x1⋅x2+y1⋅y2=0，∴ OA⊥OB，又∠OBA=60∘，∴ OA=√3OB，∴ x12+y12=3(x22+y22)，∴ 123y24+122y22=y244+3y22，∴ y22=4⋅√323，∴ k OB=y2x2=2√3y2y22=±316．。

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答案

江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答
案
2012年05月23日亲，很高兴访问《江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答案》一文，也欢迎您访问店铺（）的高考频道，为您精心准备了2011高考数学日常练习的相关模拟考试试题内容！同时，我们正在加紧建设高考频道，我们全体编辑的努力全是为了您，希望您能在本次高考中能获得好的名次，以及考上满意的大学，也希望我们准备的《江苏省南通市2011届高三第一次调研测试数学试题及参考答案》内容能帮助到您。

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南通市2011届高三第一次模拟考试_数学试卷及答案

B．附加题部分
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
锐角三角形内接于⊙O，∠ABC=60，∠BAC=40．作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4－2：矩阵与变换
曲线在矩阵的作用下变换为曲线，
求的方程．
C．选修4－4：坐标系与参数方程
P为曲线：（为参数）上一点，求它到直线：（为参数）距离的最小值．
D．选修4－5：不等式选讲
设，求证：．
22．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
用数学归纳法证明：
为▲．
11．在平面直角坐标系中，已知A（0，－1），B（－3，－4）两点．若点C在的平分线上，且，则点C的坐标是▲．
12．已知函数，若在（1，3]上有解，则实数的取值范围为▲．
13．已知，若对，，，则实数的取值范围是▲．
14．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是▲．
（1）求的值和的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．
18．（本题满分15分）
如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
∴∠EOC=80+80=160．…………………………………………………………………8分

江苏省南通市六所省重点中学2011届高三数学联考试卷苏教版

2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷数学 Ⅰ试题一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分。

1、已知i 为虚数单位，复数2i1iz +=-，则 | z | ＝ ▲2、若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 ▲3、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲4、如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，5、设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则； ②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β；③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则. 其中所有正确命题的序号是 ▲6、已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 ▲7、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 ▲8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩ 若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为 ▲9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲10、已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（*N x ∈），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 ▲11、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ▲12、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断：当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |；当n ＝3时，| A 3B 3 |当n ＝4时，| A 4B 4 |3……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲14、设函数()0)f x a <的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ▲二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

数学_2011年江苏省高考数学最新预测试卷(含答案)

2011年江苏省高考数学最新预测试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知复数z 1=m +2i ，z 2=3−4i ，若z1z 2为实数，则实数m 的值为________．2. 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．3. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则实数k 的值为________．4. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3, 2)，其一边AB 所在直线的方程为x −y +1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为________．5. 已知函数f(x)={2,x ∈[−1,1]，x,x ∉[−1,1]，若f[f(x)]=2，则x 的取值范围是________．6. 若点P(2, 0)到双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线的距离为√2，则双曲线的离心率为________7. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填________．8. 函数y =f(x)的图象在点M （1, f(1)）处的切线方程是y =3x −2，则f(1)+f′(1)=________．9. 若直线ax +by =1(a, b ∈R)经过点(1, 2)，则1a+1b 的最小值是________．10. 已知在平面直角坐标系xoy 中，O(0, 0)，A(1, −2)，B(1, 1)，C(2, −1)动点M 满足条件{1≤OM →⋅OB →≤2˙，则OM →⋅OC →的最大值为________11. 已知三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ．若角C =π3，且a =2b ，则角B =________．12. 对于数列{a n }，定义数列{△a n }满足：△a n =a n+1−a n ，(n ∈N ∗)，定义数列{△2a n }满足：△2a n =△a n+1−△a n ，(n ∈N ∗)，若数列{△2a n }中各项均为1，且a 101=a 2009=0，则 a 1=a n+1−△a n ，(n ∈N ∗)，若数列{△2a n }中各项均为1，且a 101=a 2009=0，则 a 1=________．13. 若|x −a|+1x ≥12对一切x >0恒成立，则a 的取值范围是________．14. 下列命题中，错误命题的序号有________．（1）“a=−1”是“函数f(x)=x2+|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件；（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；（3）已知a，b，c为非零向量，则“a⋅b=a⋅c”是“b=c”的充要条件；（4）若p:∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p:∀x∈R，x2+2x+2>0．二、解答题（共12小题，满分90分）15. 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1）2sinBcosC−sin(B−C)的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．16. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=AD，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF // 平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．17. 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间（单位：月），以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为v(t)={1240(−t2+15t−51)et+50(0<t≤9) 4(t−9)(3t−41)+50(9<t≤12)．（1）若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i−1<t≤i表示第i月份(i= 1, 2,…12)，问一年内那几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e3=20计算）．18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)．（1）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．19. 设数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足：b n=na n，且数列{b n}的前n项和为(n−1)S n+2n(n∈N∗)．（1）求a1，a2的值；（2）求证：数列{S n+2}是等比数列；（3）抽去数列{a n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n−2项，…余下的项顺序不变，组成一个新数列{c n}，若{c n}的前n项和为T n，求证：125<T n+1T n≤113．20. 对任意x∈R，给定区间[k−12, k+12](k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值．（1）写出f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=log a√x，(e−12<a<1)，试证明：当x>1时，f(x)>g(x)；当0< x<1时，f(x)<g(x)；（3）求方程f(x)−log a√x=0的实根，(e−12<a<1)．21. （附加题-选做题）（几何证明选讲）如图，圆O与圆O1外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为圆O的直径，T 为圆O1上任点，CT=AC．求证：CT为圆O1的切线，切点为T．22. 已知矩阵A=[2003]，点M(−1, −1)，点N(1, 1)．（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；（2）求矩阵A的特征值与特征向量．23. 已知曲线C的参数方程为{x=sinαy=cos2α，α∈[0, 2π)，曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−√2．(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．24. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．25. （附加题-必做题）四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．(I)证明PA // 平面BDE；(II)求二面角B−DE−C的平面角的余弦值；(III)在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．26. 一袋中有m(m∈N∗)个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于23，求m的最小值．2011年江苏省高考数学最新预测试卷答案1. −322. 144. x−y−3=05. {2}∪[−1, 1]6. √27. 38. 49. 3+2√210. 411. π612. 10040013. (−∞, 2]14. （1）、（2）、（3）．15. 解：（1）∵ b2+c2=a2+bc，∴ a2=b2+c2−bc，结合余弦定理知cosA=b 2+c2−a22bc=b2+c2−(b2+c2−bc)2bc=12，又A∈(0, π)，∴ A=π3，∴ 2sinBcosC−sin(B−C)=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin[π−A]=sinA=√32；（2）由a=2，结合正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC=√32=4√33，∴ b=4√33sinB，c=4√33sinC，则a+b+c=2+4√33sinB+4√33sinC=2+4√33sinB+4√33sin(2π3−B)=2+2√3sinB+2cosB=2+4sin(B+π6)，可知周长的最大值为6．16. 证明：（1）取PC中点G，连接FG、EG，∵ F、G分别为PD、PC的中点，∴ FG // CD且FG=12CD．∵ AE // CD且AE=12CD，∴ FG // AE且FG=AE，∴ 四边形AEGF为平行四边形，∴ AF // EG，又∵ AF⊄平面PCE，∴ AF // 平面PCE．（2）由PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥CD，∵ CD⊥AD，∴ CD⊥平面PAD，CD⊥AF．又∵ PA⊥AD，PA=AD，故△PAD为等腰直角三角形，再由F为PD的中点，可得AF⊥这样，AF 垂直于平面PCD 内的两条相交直线CD 、PD ，∴ AF ⊥平面PCD ．∵ AF // EG ，∴ EG ⊥平面PCD ，又∵ EG ⊂平面PCE ，∴ 平面PCE ⊥平面PCD ． 17. 解：（1）当0<t ≤9时，v(t)=1240(−t 2+15t −51)e t +50<50，即t 2−15t +51>0，解得t >15+√212或t <15−√212，从而0<t <15−√212≈5.2．当9<t ≤12时，v(t)=4(t −9)(3t −41)+50<50，即(t −9)(3t −41)<0，解得9<t <413，所以9<t ≤12．综上，0<t <5.2或9<t ≤12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月．（2）由（1）知，水库的最大蓄水量只能在6∼9月份． v′(t)=1240(−t 2+13t −36)e t =−1240e t (t −1)(t −9)，令v′(t)=0，解得t =9或t =4（舍去），又当t ∈(6, 9)时，v′(t)>0；当t ∈(9, 10)时，v′(t)<0．所以，当t =9时，v(t)的最大值v(9)=1240×3×e 9+50=150（亿立方米），故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米．18. 解：（1）∵ 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P(1, 32)， ∴ {√a 2−b 2a =121a 2+94b 2=1，即{3a2−4b2=01a2+94b2=1，解得{a 2=4b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）易求得F(1, 0)．设M(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1，−2≤x 0≤2圆M 的方程为(x −x 0)2+(y −y 0)2=(1−x 0)2+y 02，令x =0，化简得y 2−2y 0y +2x 0−1=0，△=4y 02−4(2x 0−1)>0①．将y 02=3(1−x 024)代入①，得3x 02+8x 0−16<0，解出−4<x 0<43．∴ −2≤x 0<43．（3）设D(0, y 1)，E(0, y 2)，其中y 1<y 2．由（2），得DE =y 2−y 1=√4y 02−4(2x 0−1)=√−3x 02−8x 0+16=√−3(x 0+43)2+643，当x 0=−43时，DE 的最大值为8√33．19. 解：（1）由题意得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n ；当n =1时，则有：a 1=(1−1)S 1+2，解得：a 1=2；当n =2时，则有：a 1+2a 2=(2−1)S 2+4，即2+2a 2=(2+a 2)+4，解得：a 2=4； ∴ a 1=2，a 2=4（2）由a 1+2a 2+3a 3+...+na n =(n −1)S n +2n①得：a 1+2a 2+3a 3+...+na n +(n +1)a n+1=nS n+1+2(n +1)②②-①得：(n +1)a n+1=nS n+1−(n −1)S n +2，即：(n +1)(S n+1−S n )=nS n+1−(n −1)S n +2即：S n+1=2S n +2； ∴ S n+1+2=2(S n +2)，由S 1+2=a 1+2=4≠0知：数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）知：S n +2=4⋅2n−1，即S n =4⋅2n−1−2=2n+1−2当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(2n+1−2)−(2n −2)=2n 对n =1也成立，即a n =2n (n ∈N ∗)．∴ 数列{c n }为22，23，25，26，28，29，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；∴ 当n =2k −1(k ∈N ∗)时，T n =(c 1+c 3+...+c 2k−1)+(c 2+c 4+...+c 2k−2)=(22+25+...+23k−1)+(23+26+...+23k−3) =4(1−8k )1−8+8(1−8k−1)1−8=57⋅8k −127，T n+1=T n +c n+1=57⋅8k −127+23k =127⋅8k −127，∴ T n+1T n =12⋅8k −125⋅8k −12=125+845(5⋅8k −12)，∵ 5⋅8k−12≥28&∴ 125<T n+1T n ≤3∴ 当n =2k(k ∈N ∗)时，T n =(c 1+c 3+...+c 2k−1)+(c 2+c 4+...+c 2k )=(22+25+...+23k−1)+(23+26+...+23k ) =4(1−8k )1−8+8(1−8k )1−8=127⋅8k −127，T n+1=T n +c n+1=127⋅8k −127+23k+2=407⋅8k −127，∴T n+1T n=40⋅8k −1212⋅8k −12=103+73(8k −1)，∵ 8k −1≥7∴103<T n+1T n≤113∴ 125<T n+1T n≤113．20. 解：（1）当x ∈[k −12, k +12](k ∈Z)时，由定义知：k 为与x 最近的一个整数，故 f(x)=|x −k|，x ∈[k −12, k +12](k ∈Z)．（2）①当x >1时，|x −k|≥0>12log a x ，所以f(x)>g(x)；②当12<x <1时，设H(x)=g(x)−f(x)=12log a x −(1−x)，(12<x <1)．则H′(x)=12⋅1x log a e +1=12xlna +1<11xlne −12+1=−1x +1<0，所以当12<x <1时，H(x)为减函数，H(x)>H(1)=0，故f(x)<g(x)； ③当0<x ≤12时，设G(x)=g(x)−f(x)=12log a x −x ，明显G(x)为减函数，G(x)≥G(12)=H(12)>0，故f(x)<g(x)．另证：g(x)=12log a x >12log a 12=12loga4−12>12logae −12>12log a a =12=f(12)>f(x)．（3）由（2），容易验证x =1为方程|x −k|−12log a x =0的实根，所以，若e −12<a <1，方程f(x)−log a √x =0有且仅有一个实根，实根为1．21.证明：设圆O 的半径为r ，圆O 1的半径为R(R >r)过点O 1作O 1E ⊥AC ，垂足为E ，则O 1E 2=AB 2=(R +r)2−(R −r)2=4Rr连接O 1C ，则O 1C 2=O 1E 2=C 1E 2=4Rr +(2R −r)2=4R 2+r 2 因为CT 2=AC 2=4r 2，O 1T 2=R 2 所以O 1C 2=CT 2+O 1T 2，所以三角形O 1CT 为直角三角形，O 1T ⊥TC 所以CT 为圆O 1的切线，切点为T22. 解：（1）由[3004][−1−1]=[−3−4]，[3004][11]=[34]，所以M′(−3, −4)，N′(3, 4)所以M′N′=√(−3−3)2+(−4−4)2=10 （2）f(λ)=|λ−300λ−4|=(λ−3)(λ−4)=0得矩阵A 特征值为λ1=3，λ2=4，分别将λ1=3，λ2=4代入方程组可解得矩阵A属于特征值λ1=3的特征向量为α→1=[01]，当属于特征值λ2=4的特征向量为α→2=[10]．23. 解：(1)∵ {x =sinαy =cos 2α，α∈[0, 2π)，sin 2α+cos 2α=1， ∴ x 2+y =1，x ∈[−1, 1]．∴ 将曲线C 的参数方程化为普通方程为x 2+y =1，x ∈[−1, 1]． (2)由ρsin(θ+π4)=−√2，得曲线D 的普通方程为x +y +2=0，由{x +y +2=0x 2+y =1得x 2−x −3=0，解x =1±√132∉[−1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．24. 解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2，b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]．25. 解：(1)以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD =CD =2，则A(2, 0, 0)，P(0, 0, 2)，E(0, 1, 1)，B(2, 2, 0)，所以PA →=(2, 0, −2)，DE →=(0, 1, 1)，DB →=(2, 2, 0)．设n →=(x, y, z)是平面BDE 的一个法向量，则由{n →⋅DB →=0˙，得{y +z =02x +2y =0；取=−1，则n1→=(1, −1, 1)， ∵ √33⋅n →=2−2=0，∴ PA →⊥n1→，又PA ⊄平面BDE ， ∴ PA // 平面BDE ．(2)由(1)知n1→=(1, −1, 1)是平面BDE 的一个法向量，又n2→=DA →=(2, 0, 0)是平面DEC 的一个法向量．设二面角B −DE −C 的平面角为θ，由图可知θ=<n1→，n2→>， ∴ cosθ=cos <n1→，n2→>=|n1→|⋅|n2→|˙=√3×2=√33，故二面角B −DE −C 余弦值为√33． (3)∵ PB →=(2, 2, −2)，DE →=(0, 1, 1)， ∴ PB →⋅DE →=0+2−2=0，∴ PB ⊥DE ．假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设PF →=λPB →(0<λ<1)，则PF →=(2λ, 2λ, −2λ)，DF →=DP →+PF →=(2λ, 2λ, 2−2λ)，由PF →⋅DF →=0得4λ2+4λ2−2λ(2−2λ)=0， ∴ λ=13∈(0, 1)，此时PF =13PB ，即在棱PB 上存在点F ，PF =13PB ，使得PB ⊥平面DEF ．26. 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵ 试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C 92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C 42+C 32+C 22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A ， ∴ P(A)=1036=518．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P(ξ=0)=C 52C 82=1028=514P(ξ=1)=1528，P(ξ=2)=328∴ ξ的分布列是 ∴ Eξ=0×514+1×1528+2×328=34．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x 1C 31+C x 1C 21+C 31C 21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B ，则 P(B)=C x 1C 31+C x 1C 21+C 31C 21C x+52<23，∴ x 2−6x +2>0， ∴ x >3+√7或x <3−√7，x 的最小值为6．。

海安高级中学高考模拟试卷一(数学)

江苏省海安高级中学高三数学模拟试卷必做题部分审核：王斌(考试时间120分钟,满分160分)一.填空题:本大题14小题,每小题5分,共70分.请将正确的答案填在答题纸上相应的横线上. 1．复数10)11(ii +-的值是 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ．3．在数列}{n a 中，若11=a ，212=a ，)(112*21N n a a a n n n ∈+=++，则该数列的通项为。

4．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0734sin παα其中，，则=+)3cos(πα ． 5．一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差是4.4，则原来一组数的方差为 . 6．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.若)2()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是 . 7．函数223()f x x αα--=（常数Z α∈）为偶函数，且在(0,)+∞上是单调递减函数，则α的值为_________.8．从集合{}2,1,1,2,3A =--中任取两个元素m 、n （m n ≠），则方程122=+ny m x 所对应的曲线表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是．9．已知ABC ∆的外接圆的圆心O ，BC CA AB >>，则,,OA OB OA OC OB OC ⋅⋅⋅的大小关系为______．10．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相切，则实数ab 的取值范围是．11．在ABC ∆中,已知sin sin cos sin sin cos A B C A C B =sin sin cos B C A +,若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,则2abc 的最大值为 . 12．已知P 为抛物线x y 42=上一点，设P 到准线的距离为1d ，P 到点)4,1(A 的距离为2d ，则21d d +的最小值为________.13．f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf ‘（x ）－f （x ）>0,对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则()()af a bf b ,的大小关系为．14．设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f (x)＝x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为 .二.解答题:本大题6小题,共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知4AD =，BD =28AB CD ==．（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面M BD ⊥平面PAD ；（2）当M 点位于线段PC 什么位置时，PA ∥平面MBD ？16. （本题满分14分）在斜△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--.(1)求角A ； (2)若2cos sin >CB，求角C 的取值范围。

江苏省南通市海安中学高考数学预测

江苏省南通市2011年海安中学高考数学预测1.（星级：二星，海安中学高三数学组）若集合A ={x | –1<|x –1|<2，x ∈Z }，用列举法表示A = ▲ ．【解析】 {}012，，2.（星级：五星，海安中学高三数学组）设短轴长为是的椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221y x a a-=的离心率互为的倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12，l l 与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．【解析】双曲线22221y x a a -=于是椭圆C :22221(0)y x a b a b+=>>的离心率即a =，又由题意，2b =222b c a +=，解得a b c ==C 的方程为22163y x +=．设),(00y x P 是⊙E 上的任意一点，过P 的直线00)(:y x x k y l +-=，代入22163y x +=中，得2200()163kx kx y x -++=，即()()0624)21(2000022=--+-++kx y x kx y k x k ，① 若直线l 与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，即()()22220000168(12)30ky kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得关于k 的方程：()03262000220=+-+-y k y x k x ，②要使得⊙E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12l l ,与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为1-，故202316y x -+=--，即22009x y +=，又对于点，(，，(，直线12l l ,中有一条斜率不存在，另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E ，方程为：922=+y x ．3.（星级：二星，海安中学高三数学组）已知tan 3α=，则sin cos αα= ▲ ．【解析】222sin cos tan 3sin cos sin cos tan 110αααααααα===++． 4.（星级：五星，海安中学高三数学组）设数列{}n a 满足:121 2，a a ==，()21221(1, 1≥n n n na a a n n a +++=∈+N *)．（1）求1n a +与n a 之间的递推关系式1()n n a f a +=；（2）求证：当2≥n 时，22123≤n n a a -<-；（3）求2011a 的整数部分．【解析】（1）易知，对一切10.≥，n n a ≠由()212211n n n na a a a +++=+可知：21122111n n n n n na a a a a a ++++=++，整理得211111n n n n n na a a a a a ++++=++．依次利用上述关系式，可得 112121121211111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-----======+++++，从而11n n na a a +=+．（2）由11a =及11n n na a a +=+可知数列递增，则对一切1≥n ，有1≥n a 成立，从而2101≤n a <．当2≥n 时，22211211112n n n n n a a a a a ----⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，于是2212112n n n a a a ---=+，所以 22123≤n n a a -<-．（3）当2≥n 时，2212112n n n a a a --=++， 22211112(1)n n a n a a -=+++-.222123146，，a a a ==>，则当3≥n 时，有22n a n >，2220112220101112(20111)4020396963a a a =+++->>=， 220112220101112(20111)a a a =+++-2212010114020a a =+++1111402014622010<+++++⨯()111140212232010=++++ ()()()11111111402122339401992002010⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎣⎦()()()111111140212224040200200⎡⎤<+++++++++⎢⎥⎣⎦111140213816018112240200⎡⎤=+⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦[]2140211941040384096642<+++<<=. 所以20116364a <<，即2011a 的整数部分为63． 5.（星级：五星，海安中学高三数学组）已知n 是不小于3的正整数，1C nkn nk a k ==∑，21C nkn n k b k ==∑．（1）求n a ，n b ；（2）设nn n a c b =，求证：()112nk k k c c +=<∑【解析】（1）121C C 2C C nk nn n n n n k a k n ===+++∑，因为11C C k k n n k n --=，所以01111C C C n n nn n a nn n----=+++()0111111C C C 2n n n n n n n -----=++=⋅．…3分因为211C C C k k k n n n k k k k n --=⋅=⋅，而()()1112111121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥，所以，()()2212121211222C 1CC1CC nnnnkk k k k n nn n n n k k k k b k n n n n n n n n --------====⎡⎤==+-+=+-+⎣⎦∑∑∑∑ ()()21212212n n n n n n n n ---=-⋅+⋅=+⋅.（2）1222(1)21n n n n n a n c b n n n --⋅===+⋅+，所以()()()11111114421222n nk k k k c c k k n +===-=-<+++∑∑．。

江苏省南通市2011年高考数学预测一校五题 (小海中学)

小海中学一校五题1.记集合T={}6,5,4,3,2,1,0,M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++4,3,2,1,|77774433221i T a a a a ai ,将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则有第2005个数是 43274707171+++(姜新兵） 2.数列{}na 满足N n a a a an n n ∈-+==+,236457,1210.证明（1)对任意n a N n ,∈为正整数；（2）对任意1,1-∈+n na a N n 为完全平方数.解（1）由题设得n n n a a a 271≥+∴{}n a 为递增数列. 由23645721-+=+n n n a a a ,得()364572221-=-+n n n a a a即0972121=++-++n n n n a a a a①∴0971212=++---n n n n a a a a ②①—②得()()071111=+---+-+n n n n n a a a a a11-+n n n a a a 117-+-=∴n n n a a a由5,110==a a及归纳法知,n a 为正整数.（2）由①得()()19121-=+++n n n n a a a a③21311⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-∴++nn n a a a a n ④*1*11,N a a N a a n n n n ∈-∈+++∴由③知()21|9n n a a ++,从而()n n a a++1|3*13N a a nn ∈+∴+ 故由④知11-+n naa 为完全平方数.(姜新兵)3使关于x 的不等式kx x ≥-+-63有解的实数k 的取值范围是6 (顾艺玮）4(曾荣）如图所示，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C ,212121F F B B A A 、、、、、分别是其左右顶点，上下顶点和左右焦点,四边形2211B A B A 的面积是四边形1221F B F B 面积的2倍.（1)求椭圆C 的离心率; (2)三角形221A B B 的外接圆记为⊙M ，若直线求⊙M 的方21F B 被⊙M截得的弦长为413，程。

江苏省南通市2011年高考数学预测一校五题 (如东中学)

一校五题（如东中学提供）1.填空题（星级：二星，命题人：刘宏业）若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)34sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为____________．【解析】由题意得到ππωπωk x x 234)6(+-=-，所以Z k k ∈-=,128ω，4||min=ω2.填空题(星级：四星，命题人:缪林）已知P是椭圆221168x y +=上任意一点，EF 是圆M ：22(2)1xy +-=的直径，则PE PF ⋅ 的最大值为．【解析】设圆心为M ，P (x ,y ），则()()PE PF PM ME PM MF ⋅=+⋅+=22()()PM ME PM ME PM ME +⋅-=-=22(2)1xy +--，由点P在椭圆上,所以221168x y +=，即22162x y =-(y -≤≤由此可得PE PF ⋅=2419yy --+,当y =—2时,取得最大值为23．3。

填空题（星级：四星，命题人:葛张勇) 在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x xy y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”。

则圆221xy +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____▲___．【解析】结合图形，由于直线20x y +-=的斜率21k =>，所求最小值应该横向平移，min12(,)2d P Q x x =-=4.解答题（星级：四星，命题人:葛张勇审题人：缪林）如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X 轴上的椭圆G （—2,0）,,左顶点A 圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆G 的内接ABC∆的内切圆.（Ⅰ) 求椭圆G 的方程; （Ⅱ) 求圆O '的半径；（Ⅲ）过(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E,F,判断直线EF 与圆的位置关系，并证明.【解析】 (Ⅰ）ce a==，4a =得1c b =，椭圆G 方程为22116x y +=（Ⅱ)设B 02,r y +（），过圆心o '作O D AB '⊥于D ，BC 交长轴于H由O D HB ADAH'=6y r=+，即0y=（1）又B 02,r y +（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616r r r r r y +---+=-==- （2）由(1)、（2)式得2158120r r +-=，解得23r =或65r =-(舍去）（Ⅲ）直线EF 与圆O '的相切设过点M(0,1)与圆224(2)9x y -+=相切的直线方程为:1y kx -= (3）则23=2323650kk ++=解得12k k ==将（3)代入22116x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为232161k x k =-+设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x+，则121222123232,161161k k x x k k =-=-++ 则直线FE 的斜率为：221112211231164EFk x k x k k kx x k k -+===--于是直线FE 的方程为：2112211323231()1614161k k y x k k +-=+++即3743y x =-则圆心(2,0)到直线FE的距离23d ==故结论成立.5。

-南通市2019年高考数学预测一校五题(海安中学)

一校五题（江苏省海安高级中学提供）1. （星级：二星，海安中学高三数学组）【解析】 {o , 1 22. （星级：五星，海安中学高三数学组）2 2 2 2设短轴长为是2 3的椭圆C: % 上=1（a b . 0）和双曲线笃-厶=1的离心率互为的a ba a倒数，过定圆 E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线 l 1,l 2，且l 1, 12与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为▲ •2 2 2 2【解析】双曲线笃一厶=1的离心率为2 ,于是椭圆C:笃•爲 T（a • b 0）的离心a aa b率为三•2即a = .2c ，又由题意，2b =2.3以及b ■ C = a?，解得a= 6, b=c=.3，椭圆C 的方程2 2过P 的直线I : y = k(x -x 0) • y 0 ,代入—-1中,6 3设P （x ），y 0）是。

E 上的任意一点,2得X6(kx 「kX ) y )23即(1 - 2k 2)x 2 4k y 。

-kX 0 x 2 y 。

_kx 。

2 -6 =0，① 若直线I 与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式厶=0,2 2 2 _ 2即 16k y 0 -kx 0-8（1 2k ）竹-kx °-3 =0,整理得关于k 的方程：6 一财k 2 • 2x °y °k-y °2卞"，② 要使得O E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线I 1,l 2，且h,l 2与椭圆的公共yOx I2l 1P(x 0,y °)-1，故, 即x°2y°2= 9 ,点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为又对于点 C.6, .3）, （-..6,、.3）, C.6, -..3）,（一..& i 3），直线 |」2中有一条斜率不存在，另一条斜率为0,显然成立•故这样的O E,方程为：X2• y2 =9 •3. （星级：二星，海安中学高三数学组）已知tan〉=3，贝U sin _：:cos ：•二▲•sin 、fcos 、£ 【解析】sin 用cos2 2— sinot +cos a tan 、£ 4.(星级：五星，海安中学高三数学组) 设数列 ta n .；满足：a 〔二 1 a 2 二 2 , a n 2 (1) (2) (3) 2 tan 隈 T~10 2 ‘a n a n 11~2a n 1 求a n 1与a n 之间的递推关系式a n 1= f (a n )；求证：当n >2时， 2 ::: a ：a 2oii 的整数部分. 【解析】(1)易知，对一切an 2a n 1a 21 -1 a ； 1，整理得依次利用上述关系式, 可得 a n 1 a n a na na n 1 ■从而 a n 1 =a n —.a(2) 从而(n 》1, n 三 N ).n 》1，a n =0.由 a n 2a n 2a n J.a n _2a n 2T 1可知: a n 1a n 丄a nan _2a 2 a 1a 1=1 ,1 由a 1 =1及a n 1 = a n 可知数列递增, a n则对一切n 》1，有a n >1成立,1 0 <1 . a n当 n > 2 时，a,?=「a 1an A2a n 1所以2 ::: a 2(3) 当n >2时, a n = a n JL1,a n 12a n1in 2 2(n -1).a2=1, a2 =4,22a 3 6，则当 n >3 时，有 a n 2n ,2 a20111 1 (2011 -1)4020 3969 =632 ,2a 2010a 1115. a n 2a2011所以 ~2~a2010+IH + $ 2(2011 _1) =4020 A 川 1a1 - a i-2a20101:::4020 --1 1 1 2= 4021：：:4021=4021•山2 40川4s 蛊川盘 1 1381602 ||_240200—1811 <4021119 4 10 丨：：：4038 ：：: 4096=642.263 :：:a 2011 <64，即 a 2011 的整数部分为 63. (星级：五星，海安中学高三数学组)已知 (1)(2)n是不小于3的正整数，為=瓦kC k , b nk z 1n=Z k 2C k .k z !【解析】求a n 设C n(1)因为『c n，b n ；an，求证: b n7 C k C k 1：：：2k ±nUlk=k kC n 七 2C ； •川 nC n ，kC n = nc n 十Cf(c n 丄叶n 岸n .…3 分k Ak 1k 1 k_1k_2=k n C n 1，而 kC n 1 =k -1 C n 1n-1 Cn_2+ Cn ：(k > 2),n所以，b n =送 k 2C ： = n 吃［n(n -1 C ： : +nC ：；k 三」=n n -12n nn -1n -22 n n 12nk_Ln_1= n + n(n-1 込 C ：；+n 送 C k-2 k-2b n n(n 1) 2n^所以J-化「1 k 211。

海安高级中学高考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 2D. y = 42. 下列各式中，能表示等差数列的是：A. 2, 4, 6, 8, ...B. 1, 3, 5, 7, ...C. 2, 6, 10, 14, ...D. 3, 6, 9, 12, ...3. 在三角形ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°4. 已知等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项an的表达式是：A. an = a1 q^(n-1)B. an = a1 / q^(n-1)C. an = a1 + q^(n-1)D. an = a1 - q^(n-1)5. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = 2^xC. f(x) = log2xD. f(x) = (1/2)^x6. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (1, 2)，则向量a和向量b的夹角θ的余弦值是：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/57. 若log2(3x - 1) = 2，则x的值是：A. 1B. 3C. 7D. 98. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则a + c > b + cC. 若a > b，则ac > bcD. 若a > b，则ac < bc9. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(-1)的值是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

海安中学高考数学试卷真题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1，其中a为常数。

若f(x)在区间[1, 3]上单调递增，则a的取值范围为（）A. a ≤ 1B. 1 < a < 2C. a ≥ 2D. a > 22. 设复数z满足|z-1| = |z+1|，则z的取值范围是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 若log2x + log3x = 1，则x的取值范围是（）A. (0, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (0, +∞)4. 已知函数f(x) = (x-1)^2 + k，其中k为常数。

若f(x)的图像关于直线x=2对称，则k的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 12，a1 + a2 +a3 + a4 = 20，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知椭圆的方程为x^2/4 + y^2/9 = 1，则该椭圆的离心率为（）A. 2/3B. 3/4C. 4/3D. 3/27. 若函数g(x) = |x-1| + |x+1| + |x-2| + |x+2|在区间[-2, 2]上的最小值为5，则g(x)在区间[-2, 2]上的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98. 已知函数h(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3)，则h(x)的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 8B. 10C. 12D. 1610. 已知公比为2的等比数列{an}中存在两项m, n，满足2^m 2^n = 2^(m+n)，则2^(m-n)的最小值为（）A. 2B. 4C. 8D. 1611. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6在区间[-1, 2]上存在两个不同的零点，则f(x)在该区间上的最大值和最小值之差为（）A. 1B. 2C. 3D. 412. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 + a4 = 24，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 40，则a1的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

海安高三数学试卷答案一

一、选择题1. 答案：C解析：由题意得，函数f(x)的导数f'(x)存在，且f'(x) = 2x + 1。

令f'(x) = 0，解得x = -1/2。

因此，函数f(x)在x = -1/2处取得极小值。

由于f(x)在x = -1/2处可导，故f(x)在此处取得极小值。

故选C。

2. 答案：B解析：设直线AB的方程为y = kx + b。

由于A、B两点的坐标分别为(1, 2)和(2, 3)，代入直线方程可得：2 = k + b，3 = 2k + b。

解得k = 1，b = 1。

因此，直线AB的方程为y = x + 1。

故选B。

3. 答案：A解析：设函数f(x) = x^3 - 3x。

求导得f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，解得x = ±1。

当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) < 0。

因此，函数f(x)在x = -1处取得极大值，在x = 1处取得极小值。

故选A。

4. 答案：C解析：由题意得，圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1。

圆心坐标为(2, -1)，半径为1。

圆的对称轴方程为x = 2。

故选C。

5. 答案：B解析：由题意得，数列{an}的通项公式为an = n^2 + 1。

计算前n项和Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + n。

由等差数列求和公式得Sn = n(n + 1)(2n +1)/6。

故选B。

二、填空题6. 答案：2解析：设直线l的方程为y = kx + b。

由于直线l经过点A(2, 1)和B(3, 4)，代入直线方程可得：1 = 2k + b，4 = 3k + b。

解得k = 3，b = -5。

因此，直线l的方程为y = 3x - 5。

海安中学高考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，对称轴为x=1，且f(0) = 2，则下列选项中正确的是（）A. a=1, b=-2, c=2B. a=1, b=2, c=0C. a=2, b=-1, c=2D. a=2, b=-2, c=02. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an等于（）A. 29B. 32C. 35D. 383. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = 1/x4. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定5. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x^2≥0B. 对于任意实数x，x^3≥0C. 对于任意实数x，x^4≥0D. 对于任意实数x，x^5≥06. 若等比数列{an}的首项为3，公比为-2，那么第6项an等于（）A. 48B. -48C. 24D. -247. 下列函数中，在区间（-∞，+∞）上连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2C. y = 1/xD. y = sqrt(x)8. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 + 6x + 4D. 3x^2 + 6x - 49. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2^xC. y = log2xD. y = 1/x10. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么第n项an等于（）A. a1 + (n-1)dB. a1 - (n-1)dC. a1 + ndD. a1 - nd二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向下，对称轴为x=2，且f(1) = 3，则a的值为______。

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P (x 0,y 0)
l 2
l 1
O
x
y
一校五题（江苏省海安高级中学提供）
1.（星级：二星，海安中学高三数学组）
若集合A ={x | –1<|x –1|<2，x ∈Z }，用列举法表示A = ▲ ．【解析】 {}012，，
2.（星级：五星，海安中学高三数学组）
设短轴长为是23的椭圆C :22221(0)y x a b a b +=>>和双曲线22221y x a a
-=的离心率互为的
倒数，过定圆E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12，
l l 与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为 ▲ ．
【解析】双曲线22221y x a a -=的离心率为2，于是椭圆C :22221(0)y x a b a b
+=>>的离心
率为22
．
即2a c =，又由题意，223b =以及222b c a +=，解得6,3a b c ===，椭圆C 的方程
为22163
y x +=．设),(00y x P 是⊙E 上的任意一点，过P 的直线00)(:y x x k y l +-=，代入22163
y x +=中，
得2
200()
163
kx kx y x -++=，即()()0624)21(2
00002
2
=--+-++kx y x kx y k x k ，①
若直线l 与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，即()()2
2
220000168(12)30k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦
，
整理得关于k 的方程：()
03262000220=+-+-y k y x k x ，②
要使得⊙E 上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线12l l ,，且12l l ,与椭圆的公共点
都只有一个，方程必须有两根且两根之积为1-，故202
3
16y x -+=--，即22009x y +=，又对于点(63),，(63)-,，(63)-,，(63)--,，直线12l l ,中有一条斜率
不存在，另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E ，方程为：922=+y x ． 3.（星级：二星，海安中学高三数学组）
已知tan 3α=，则sin cos αα= ▲ ．【解析】222sin cos tan 3
sin cos sin cos tan 110
αααααααα=
==
++． 4.（星级：五星，海安中学高三数学组）
设数列{}n a 满足:121 2，a a ==，()
2
122
1(1, 1
≥n n n n
a a a n n a +++=
∈+N *
)．
（1）求1n a +与n a 之间的递推关系式1()n n a f a +=；
（2）求证：当2≥n 时，22
123≤
n n a a -<-；（3）求2011a 的整数部分．
【解析】（1）易知，对一切10.≥，n n a ≠由()2
122
11
n n n n a a a a +++=+可知：
211
2
2111n n n n n n
a a a a a a ++++=++，整理得21
11
1
1n n n n n n
a a a a a a ++++=
+
+
．依次利用上述关系式，可得
1121211212
11111111
n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-----======+++++
，从而11
n n n
a a a +=+
．（2）由11a =及11
n n n
a a a +=+可知数列递增，则对一切1≥n ，有1≥n a 成立，从而2
1
01≤n a <
．当2≥n 时，2
2211211112n n n n n a a a a a ----⎛⎫=+=++ ⎪⎝
⎭，
于是22
12
1
1
2n n n a a a ---=
+，所以 22123≤
n n a a -<-．（3）当2≥n 时，22
12
1
1
2n n n a a a --=+
+， 2
22
11
11
2(1)n n a n a a -=
+++- . 222123146，，a a a ==>，则当3≥n 时，有2
2n a n >，
2220112
22010
1
1
1
2(20111)4020396963a a a =
++
+->>= ， 220112*********(20111)a a a =
+++- 22
12010
11
4020a a =+++ 1111
402014622010
<+++++
⨯ (
)111140212232010=++++ ()()()11111111402122339401992002010⎡⎤=++++++++++⎢⎥⎣⎦
()()()111111140212224040200200⎡⎤<+++++++++⎢⎥⎣⎦
111140213816018112240200⎡⎤
=+
⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦
[]21
40211941040384096642
<+
++<<=. 所以20116364a <<，即2011a 的整数部分为63． 5.（星级：五星，海安中学高三数学组）
已知n 是不小于3的正整数，1
C n
k
n n
k a k ==∑，21
C n
k
n n k b k ==∑．
（1）求n a ，n b ；
（2）设n
n n a c b =，求证：()11
2n
k k k c c +=<∑
【解析】（1）121
C C 2C C n
k n
n n n n n k a k n ===+++∑ ，
因为
1
1
C C k k n n k n --=，所以
01
1
11C C C n n n n n a n n
n ----=+++ (
)
011
1
111
C C C 2
n n n n n n n --
--
-=+++=⋅ ．…
3分因为211C C C k k k n n n k k k k n --=⋅=⋅，而()()11121
11121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥，
所以，()()2
212
1
2
1
2
11
2
2
2
C 1C
C
1C
C n
n
n
n
k
k k k k n n
n n n n k k k k b k n n n n n n n n --------====⎡⎤==+-+=+-+⎣⎦∑∑∑∑ ()()21212212n n n n n n n n ---=-⋅+⋅=+⋅.
（2）1222
(1)21
n n n n n a n c b n n n --⋅===+⋅+，所以()()
()11
1
11114421222n n
k k k k c c k k n +===-=-<+++∑∑
．。