56课时一元一次方程的应用体积问题
初中数学初一七年级一元一次方程的应用专题(体积面积,销售,行程)
北京课改版七年级上2.6一元一次方程的应用专题一元一次方程应用专题---有关体积，面积1. 用一个底面为20 cm×20 cm的大长方体容器(已装满水)，向一个长、宽、高分别是16 cm，10 cm，5 cm的小长方体容器中注水，当注满水时，大长方体容器的水面高度下降了多少厘米？2. 有两个矩形，第二个矩形的长、宽与第一个矩形的长、宽比为3∶2∶5∶4，且第二个矩形的周长比第一个矩形的周长小72 cm，求这两个矩形的面积.3. 用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长.求两根等长铁丝的长度，并通过计算比较谁的面积大.4. 一个长方体水箱从里面量长、宽、高分别为40 cm、30 cm和30 cm，箱中水面高10 cm，放进一块棱长为20 cm的正方体铁块后，铁块顶面高于水面，这时水面高约多少厘米？5. 小明家打算靠墙修建一个长方形的养鸡场(靠墙一边作为长，墙长14米)，另三边用35米长的竹篱笆围成，小明的爸爸打算让鸡场的长比宽多2米，小明的妈妈打算让鸡场的长比宽多5米，你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少平方米？6. 在一个内部长、宽、高分别为3 m、3 m、0.8m的长方体水箱内装满水，然后将水引入一个底面直径是2 m，高是12 m的圆柱形容器中，水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离.(取3.14，结果精确到0.01 m)7. 两个长方形的长与宽的比都是2∶1，大长方形的宽比小长方形的宽多3 cm，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，求这两个长方形的面积.8. 如图，一块长5、宽2的长方形纸板，一块长4、宽1的长方形纸板，与一块正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是多少？9. 用同一根铁丝可围成边长为9 cm的正方形或围成长比宽多2 cm的长方形，则长方形的面积是多少？10. 将一个底面直径为8 cm，高为24 cm的圆柱形橡皮泥捏成底面直径为20 cm的圆柱，高变成了多少？11. 有一个长、宽、高分别是20 cm，15 cm，40 cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20 cm的长方体钢锭，高变成了多少？(忽略锻压过程中的损耗)一元一次方程应用专题----有关销售打折利润12. 商场将一批学生书包按成本价提高50%后标价，又按标价的80%优惠卖出，每个的售价是72元.每个这种书包的成本价是多少元？利润是多少元？利润率是多少？13. 某商品的进价是2000元，标价是3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折销售，则商店最低可以打几折出售此商品？14. 某书店一天内销售甲、乙两种书籍，其中甲种书籍共卖得1560元，乙种书籍共卖得1350元，若按甲、乙两种书的成本分别计算，甲种书籍盈利25%，乙种书籍亏本10%.试问该书店这一天共盈利(或亏本)多少元？15. 某商品的进价是1000元，标价是1375元，则该商品打几折售出，仍可获利10%？16. 红星商场对商品进行清仓处理，全场商品一律8折.小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元.他购买该鞋实际用了多少元？17. 某种商品2014年的零售价比2013年上涨了25%，欲控制该商品2015年零售价比2013年只上涨10%，则2015年应比2014年降低的百分比是多少？18. 某公司销售A,B,C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响，今年A,B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点.如果要使今年的总销售金额与去年持平，求今年高新产品C的销售金额应比去年增加的百分比.19. 一家商店将某型号彩电按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，8折优惠”.顾客投诉，执法部门按已得非法收入的10倍(即每台2700元)进行罚款，求每台彩电的原售价.20. 王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，但两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠.那么她在商场购物为多少元(大于50元)时，在两商场所需付款一样？21. 超市某种商品的标价是2200元，在十一促销活动中，该商品按标价的80%销售，结果仍获利10%，求此商品的进价.22. 在生态公园内造一片种植A,B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共2000棵，种植A,B两种树苗的相关信息如下表：若这批树苗种植后成活1960棵，则造这片林的总费用为多少元？23. 一家电器商场将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后广告宣传将以标价的80%优惠价出售，则销售这种彩电的利润率是多少？24. 某书店将定价为18元和15元的两种畅销书共90本按定价销售，将所得的书款1455元全部捐给“希望工程”，则两种畅销书各卖了多少本？一元一次方程应用专题---行程问题25. A,B两地相距224 km，一列慢车从A地出发每小时行驶30 km，一列快车从B地出发每小时行驶40 km，两车相向而行，慢车先行28分钟，快车开出多长时间后，两车相遇？26. 甲、乙两人分别从相距50米的A,B两处同时外出散步，相向而行，甲每秒行3米，乙每秒行2米.甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每秒10米的速度向乙奔去，遇到乙即回头再向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住，狗运动的速度始终保持不变.问这只狗共跑了多少米？27. 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中的速度为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共用28 h.求甲、乙两码头之间的距离.28. 甲、乙两人都从A地到B地，甲步行每小时走5千米，先走了1.5小时，乙骑自行车开始出发， 50分钟后两人同时到达B地.乙每小时骑多少千米？29. 一轮船往返于A,B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时.求轮船在静水中的速度及A,B两港之间的航程.30. 某班的同学列队以每小时6千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟.求队伍的长.31. 现在有一列火车从长为1200m的桥上的铁路通过，测得火车从上桥到完全过桥共用50 s，整列火车完全在桥上的时间为30 s.求火车的车身长和速度.32. 阅读下面的信息：一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个问题，并写出解答过程.33. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑道周长为400米，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米.(1)若甲、乙两人在跑道上相距8米，同时反向出发，经过几秒两人首次相遇？(2)若两人同时同地反向而跑，经过多少时间两人二次相遇？(3)若两人同时同地同向而跑，经过多少时间两人二次相遇？34. 一架飞机飞行在甲、乙两个城市之间，风速为30千米/时，顺风飞行需2.5小时，逆风飞行需要2.7小时.求甲、乙两个城市之间的距离.35. 甲、乙两人分别从A,B两地同时相向出发，已知甲比乙每小时快3千米，两人同时从上午8时出发，到上午10时相距15千米，到中午12时两人又相距15千米.求A,B两地间的距离.36. A,B两地相距1.9千米,甲从A地向B地走了5分钟之后，乙从B地出发前往A地.已知甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，则乙出发几分钟后与甲相遇？37. 甲步行由上午7时从A地出发，于下午6时到达B地；乙骑自行车由上午11时从A地出发，于下午4时到达B地.则乙在何时追上甲？38. 甲、乙两人相距10千米，甲先出发1小时后乙再出发，甲在乙后面，二人同向而行.已知甲每时走5千米，乙每时走4千米，问乙出发几小时后被甲追上？39.商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种毎台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？40. 小明与小红家相距20km,小明从家出发骑自行车去小红家,两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明.已知小明骑车的速度为13 km/h,小红骑车的速度为12 km/h.(1)如果两人同时出发,那么他们经过多少小时相遇?(2)如果小明先走30 min,那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇?41. 甲、乙两列火车从相距480km的A,B两地同时出发,相向而行,甲车每小时行80km,乙车每小时行70km,问多少小时后两车相距30km?。
一元一次方程应用题精选ppt课件
方程设立及未知数选择
设立方程
根据问题中的数量关系和已知条件，设立一元一次方程。
选择未知数
根据问题的实际情况和需要求解的未知量，选择合适的未知 数。
实际问题转化为数学问题
转化思想
将实际问题中的数量关系和已知条件 转化为数学表达式和方程。
列方程
根据已知条件和未知量 之间的关系，列出包含 未知数的等式，即方程 。
解方程
运用一元一次方程的解 法，求解方程，得到未 知数的值。
提高解题速度和准确性策略
掌握基本题型和解题方法
熟练掌握一元一次方程应用题的基本题型和解题方法，能够快速准确地识别问题并求解。
加强练习和反思
通过大量练习，提高解题速度和准确性；同时，及时反思和总结解题过程中的问题和不足 ，不断完善自己的解题思路和方法。
思路拓展
通过变换思考角度、引入新变量等方式，拓展解题思路。
创新方法应用
将拓展的思路和方法应用到具体问题的求解中，提高解题效率。
05
方程应用题常见错误及纠 正方法
设立方程时常见错误
错误设立未知数
在设立方程时，未能正确识别问题中的未知数，导致方程设立错 误。
忽视问题中的限制条件
在设立方程时，未考虑问题中的限制条件，导致方程解不符合实际 情况。
一元一次方程
只含有一个未知数，并且 未知数的次数是1的方程 叫做一元一次方程。
一般形式
ax + b = 0（a、b为常数 ，a ≠ 0）。
方程解与根的概念
方程的解
使方程左右两边相等的未 知数的值叫做方程的解。
方程的根
方程的解也叫做方程的根 。
7·4一元一次方程的应用6——体积变形
7·4一元一次方程的应用6——体积变形学习目标：1、学会分析等体积变形问题中已知量和未知量的相等关系。
2、会解体积变形的一元一次方程解应用题。
重难点分析形变积不变相等关系。
学习过程：（一）复习导入1、用同一块橡皮泥捏出不同形状的物体，（1）想想它有何变化？（2）你发现有什么相等关系？2、把准备好的铁丝围成一个长方形，有多少种围法？它们的周长改变了吗？它们的面积都相等吗？（二）自主学习一圆柱形容器的半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有15厘米高的水.现将一个底面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容器内，问容器的水升高多少厘米？想：本题涉及到的知识点是圆柱的体积公式：，放入金属柱前后容器内水的体积。
同时注意：一个金属圆柱竖直放入容器内，会出现两种可能（1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱;（2）_____________________________________;2、列出方程并给出解答。
解：设容器内放入金属圆柱后水的高度为x厘米，（1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱，根据题意，得：解这个方程，得：（2）容器内的水升高后淹没放入的金属圆柱根据题意，得：解这个方程，得：（三）精讲点拨四盘草莓共100个，把第一盘中草莓的个数加上4，第二盘中的个数减去4，第三盘中的个数乘4，第四盘中的个数除以4，所得结果都相同。
原来4个盘子中各放有草莓多少个？点拨：此题的等量关系是什么？如果设原来第一盘中放有草莓x个，那么等量关系课表示为：x+4= －4= ×4= ÷4.根据这个关系，第二盘表示为，第三盘表示为，第四盘表示为。
由于四盘草莓共100个，所以可列方程为：（四）系列训练1、用直径为4cm的圆钢铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，需要截取多长的圆钢？2、一直径为10cm，高为12cm的圆柱形量杯，把它盛满水，然后倒入底面直径为12cm、高为10cm的圆柱形量杯，问倒入后，水面离杯口还有多少厘米？3、如图，有A、B两个圆柱形容器，容器A的底面积是容器B的底面积的2倍，容器A内盛有10厘米高的水，容器B的高度为22厘米，如果把容器A内的水导入容器B，水会不会溢出？（五）课堂小结1、有关形体问题的应用题大多涉及图形的周长、面积和体积公式，你都还记得吗？2、列方程解应用题的一般步骤是什么？（六）达标测试1、用一根长为32cm的铁丝围成一个长、宽、高都为整数的长方形，共有种不同的长方形，其中长方形的最小面积为cm2，最大面积为cm2.2、要锻造一个直径为100cm，高为80cm的圆柱形毛坯，应截取直径为160cm的圆钢多长？3、一个圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高为30厘米，容器内盛有10厘米高的水。
七年级数学上册一元一次方程应用题常用公式
七年级数学上册一元一次方程应用题常用公式
一元一次方程是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
对于一元一次方程的应用题，我们通常需要使用一些常用的公式来简化计算过程。
下面是一元一次方程应用题中常用的几个公式：
1. 路程=速度×时间
这个公式是解决行程问题的基础，它表示物体在一定时间内移动的距离与速度和时间的关系。
2. 工作量=工作效率×工作时间
这个公式用于解决工作问题，它表示完成一项工作所需的总工作量与工作效率和时间的关系。
3. 利润=售价-进价
这个公式用于解决利润问题，它表示商家在销售商品时所获得的利润与商品的售价和进价的关系。
4. 利息=本金×利率×时间
这个公式用于解决利息问题，它表示在一定时间内，本金产生的利息与本金、利率和时间的关系。
5. 面积=长×宽
这个公式用于解决几何图形面积问题，它表示矩形面积与长和宽的关系。
6. 周长=4×半径
这个公式用于解决圆的周长问题，它表示圆的周长与半径的关系。
7. 体积=底面积×高
这个公式用于解决几何图形体积问题，它表示立方体体积与底面积和高度的关系。
这些公式是一元一次方程应用题中常用的，掌握它们可以帮助我们更快地解决问题。
(完整版)一元一次方程应用体积问题
(完整版)一元一次方程应用体积问题一元一次方程应用体积问题概述本文档旨在介绍如何使用一元一次方程解决与体积相关的问题。
我们将讨论如何应用一元一次方程，通过解答实际问题来计算物体的体积。
一元一次方程的基本原理一元一次方程只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一。
一元一次方程的一般形式为 `ax + b = 0`，其中 `a` 和 `b` 是已知常数。
我们的目标是找到未知数 `x` 的值，使得方程式成立。
应用体积问题体积是描述物体占据的三维空间的大小。
当我们遇到与体积相关的问题时，我们可以使用一元一次方程来求解。
问题一：水箱的容积假设我们有一个正方形底面的水箱，边长为 `x`。
水箱的高度为 `3x`。
我们想要求出水箱的容积。
解答：首先，我们需要确定未知数。
在这个问题中，未知数就是水箱的边长 `x`。
根据题意，水箱的容积等于底面面积乘以高度。
底面面积等于边长的平方，即 `x * x = x^2`。
高度为 `3x`。
根据所得到的信息，我们可以写出方程式 `V = x^2 * 3x`，其中`V` 表示水箱的容积。
将方程式展开和合并同类项，得到方程式 `V = 3x^3`。
因此，我们得到了水箱容积与边长的关系方程式，即一元一次方程 `3x^3 = V`。
通过解这个方程式，我们可以得到水箱容积与边长之间的关系。
具体解法请参考数学教材或方程求解器。
问题二：长方体的体积下面我们来解决一个长方体的体积问题。
假设我们有一个长为`2x`，宽为`3x`，高为`4x` 的长方体。
我们想要求出长方体的体积。
解答：在这个问题中，未知数是长方体的长度 `x`。
根据题意，长方体的体积等于长乘以宽乘以高。
长为 `2x`，宽为 `3x`，高为 `4x`。
因此，体积可以表示为 `V = 2x * 3x * 4x`。
将方程式展开和合并同类项，得到方程式 `V = 24x^3`。
因此，我们得到了长方体体积与长度的关系方程式，即一元一次方程 `24x^3 = V`。
第三节第2课一元一次方程的应用(等体积问题)
等量关系： 长方形的周长=10m
解：设正方形的边长为x m，根据题意，得
4x=10 x=2.5
这个正方形的边长为2.5m,它的面积2.5×2.5=6.25（m2）, 比（2）中长方形的面积大6.25-6.09=0.16（m2）.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周长相同的长方形的面积可 以不同，当图形为正方形时 面积最大。
回味
无穷
大津口中学
我们小学里学过的几个重要的周长、体积计算公式 长方形周长： 梯形的面积： 圆柱的体积： 长方体的体积： C=2(a+b) S=(a+b)×c÷2 V=sh=πr²h V=abh
1 、分析简单问题中的数量关系，建立 方程解决问题。 2 、通过具体问题的解决体会方程解决 问题的关键是寻找 等量关系 。
有一个底面直径是20cm，高9cm的形圆柱锻压成 底面直径为10cm的圆柱，假设在锻压过程中圆柱 的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？
A
锻压
B
分
析
思考1：题目中有哪些已知量和未知量？它们之间有什么关系？如 何设未知数？ 已知：A圆柱的底面直径为20cm,高为9cm B圆柱的底面直径10cm 未知：B圆柱的高 相等关系：锻压前A的体积=锻压后B的体积 设未知数：锻压后B圆柱钢材的高为xcm
设此时长方形的长为2.9m,宽为2.1m，面积2.9×2.1=6.09（m2）, (1)中长方形的面积3.2×1.8=5.76（m2），这是长方形的面积比 （1）中长方形的面积大6.09-5.76=0.33（m2）.
（3）使得这个长方形的长与宽相等，即围成一个正方形 ，此时正方形的边长是多少米？它的面积与（2）中的长 方形的面积相比又有什么变化？
答：此时长方形的长为3.2m,宽为1.8m.
2024年秋新湘教版七年级上册数学课件 3.4 一元一次方程的应用
A. 33
B. 32
C. 30
D. 29
感悟新知
知1－练
例3 甲、乙、丙三位爱心人士向贫困山区的希望小学捐赠 图书，已知这三位爱心人士捐赠图书的册数之比是 5∶ 8∶ 9，如果他们共捐赠 748 册图书，那么这三位 爱心人士各捐赠多少册图书？
感悟新知
知1－练
解题秘方：若未知量以比例的形式出现，则解决 问题的关键是求出单位量，通过设单 位量表示总量列方程 .
感悟新知
知1－讲
2. 常见的两种基本等量关系： (1) 总量与分量关系问题： 总量 = 各分量的和； (2) 余缺问题： 表示同一个量的两个不同的式子相等 .
感悟新知
特别提醒
知1－讲
列一元一次方程解决实际问题时需要注意：
1. 恰当地设未知数可以简化运算，且单位要统一；
2. 题中的相等关系不一定只有一个，要根据具体情
知1－练
感悟新知
1-1. [期末·永州]某校花费 700 元购买 A，B 两种笔记本知，1－练 其中 A种笔记本每本 5 元， B种笔记本每本 3 元， 购买的 A 种笔记本比 B 种笔记本的 2 倍多 10 本， 问购买 A， B 两种笔记本各多少本？ 解：设购买B种笔记本x本，则购买A种笔记本(2x＋10)本， 根据题意，得5(2x＋10)＋3x＝700，解得x＝50. 则2x＋10＝110. 答：购买A，B两种笔记本分别是110本、50本．
知1－练
解题秘方：根据分量的和等于总量，即到甲纪念 馆参观的学生人数 + 到乙纪念馆参观 的学生人数 = 参观学生总数，列出方 程，解决问题 .
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解：设到乙纪念馆参观的学生有 x 名， 则到甲纪念馆参观的学生有(2x－10)名 . 根据题意，得 2x－10+x=200. 移项，得 2x+x=200+10. 合并同类项，得 3x=210. 两边都除以 3，得 x=70. 答：到乙纪念馆参观的学生有 70 名 .
沪科版七年级上册 数学 教案 3.2 一元一次方程的应用 体积问题
3.2 一元一次方程的应用(1)教学设计体积问题教学目标：1．会用一元一次方程解决关于几何体积的实际问题．2．掌握列方程解应用题的一般步骤．3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．教学重难点：1．理解列方程解应用题的一般步骤．2．会从实际情境中建立等量关系，列一元一次方程解决关于几何图形的实际问题．教学方法：讨论法、归纳法课型：新授课教具：多媒体教学过程一、复习引入1、解一元一次方程的步骤有哪些？2、如何计算圆柱体的体积和长方体的体积？请同学们思考：我们学习解一元一次方程的目的是什么？(我们学习解方程的目的是为了应用)这一节我们就来学习用一元一次方程解决实际问题．(板书课题)二、导入新课问题1：列方程解应用题【例1】用直径为200 m m的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300 mm,300 mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢(计算时π取3.14，结果精确到1 mm)?分析：如下图(课件展示)：观察下图：思考：题目中隐藏着怎样的相等关系(等量关系)?学生独立思考，再小组讨论找出题目中的相等关系，根据所设未知数列出方程．(课件展示)解：设应截取的圆柱体钢长为x mm.根据题意，得3.14×⎝ ⎛⎭⎪⎫20022x ＝300×300×90， 解得x ≈258.答：应截取约258 mm 长的圆柱体钢．三、师生互动：（课件展示）1、用一根长为100米的铁丝围成一个长比宽长10米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？问：有什么等量关系呢？设未知数，列方程，写出结果解：设长方形宽为x 米，得2（x+x+10）=1002(2x+10)=1004x=80X=20X+20=40答：长为40米，宽为20米。
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓库的长和宽？解：设长方形的宽为x米，得2x+x+10=1003x=9X=30X+10=30答：长方形的长为30米，宽为20米。
一元一次方程及其应用问题
一元一次方程及其应用问题一、一元一次方程的概念1.1 定义：一元一次方程是指只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数为1的方程。
1.2 一般形式：ax + b = 0（a、b为常数，且a≠0）1.3 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解。
二、一元一次方程的解法2.1 代入法：将未知数的值代入方程，使方程成立。
2.2 加减法：对方程进行加减运算，消去方程中的常数项或未知数系数，求解未知数。
2.3 乘除法：对方程进行乘除运算，消去方程中的系数，求解未知数。
三、一元一次方程的应用问题3.1 比例问题：根据比例关系，列出方程求解。
例：已知两个数的比例为3:4，它们的和为24，求这两个数。
3.2 行程问题：根据行程关系，列出方程求解。
例：甲车从A地出发，乙车从B地出发，相向而行，相遇后甲车还需行驶2小时到达B地，乙车还需行驶4小时到达A地。
若甲车每小时行驶40公里，乙车每小时行驶60公里，求A、B两地之间的距离。
3.3 工程问题：根据工程关系，列出方程求解。
例：甲、乙两人共同完成一项工程，甲每小时完成3个单位的工作量，乙每小时完成4个单位的工作量。
若两人合作需6小时完成工程，求工程的总工作量。
四、一元一次方程的实际意义4.1 购物问题：已知商品的原价和折扣，求实际支付的金额。
例：一件商品原价为200元，打8折出售，求实际支付的金额。
4.2 分配问题：已知总量和各部分的比例，求各部分的具体数值。
例：某班级男生和女生的人数之比为3:5，班级总人数为60人，求男生和女生的人数。
五、一元一次方程的拓展5.1 解的判断：判断一个数是否为方程的解。
5.2 方程组：由多个方程构成的方程组，求解未知数的值。
5.3 函数：一元一次方程的图像为直线，了解直线的性质和应用。
以上为一元一次方程及其应用问题的知识点总结，希望对您的学习有所帮助。
习题及方法：1.习题：已知两个数的和为9，差为3，求这两个数。
解题思路：设两个数分别为x和y，根据题意列出方程组：将两个方程相加，消去y，得到2x = 12，解得x = 6。
4.8一元一次方程的应用(2)体积问题
【 例1 】用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 1.使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、 宽各为多少米？ 2.使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、 宽各为多少米？这个长方形与（1）中的长方形相比， 面积有什么变化？ 3.使得这个长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？它的面积与（2）中的 长方形相比，面积有什么变化？
4.3一元一次方程的应用（2）
长方形周长公式：C= 圆柱体积公式：V= 长方体体积公式：V=
。
。
。
如图，将一个底面直径为20cm、高为9cm的圆柱锻压 成底面直径为10cm的圆柱，假设在锻压过程中圆柱的 体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？
在这个问题中有什么等量关系？ 试列出方程并求解。
。
自主练习：
巩固练习
１.用一根Leabharlann 0厘米长的铁丝围成一个长方形2 （1）如果宽是长的 ，求这个长方形的长和宽. 3
（2）如果宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.
比较一下：（1）和（2）两个长方形面积的大小， 还能围出更大的面积吗？
初中数学七年级《一元一次方程的应用：等周长、等体积问题》
练：下列命题正确的是( ) A 对角线互相平分的四边形是菱形 B 对角线互相平分且相等的四边形
是菱形 C 对角线互相垂直的四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是
菱形
直接依据定义判断
（六）方程法 通过设未知数，找等量关系，建方程，解方程，使问题得以 解决的方法。
例10.为了促销，商场将某商品按标价的9折出售，仍可获利
要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，最省事的办法是 （ ）。 A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
③ ② ①
2.特殊值排除法 例3、已知：a＜b，则下列各式中正确的是（ ）。 A、a＜—b B、a-3＞b-8 C、a2＜b2 D、-3a＞-3b
3、逐步排除法 例4、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ A、AB=CD、∠B=∠D B、∠A=∠B、∠C=∠D C、AB∥CD、AD=BC D、AD∥BC、AD=BC
运用相关的定义、概念、定理、公理等内容，作出正确选择 的一种方法．
例8 已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小， 则该函数的图象经过（ ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限
C第二、三、四象限； D．第一、三、四象限
点拨：本题可采用“定义法”．因为y随x的增大而减小， 所以k＜0．因此必过第二、四象限，而－k＞0．所以图象 与y轴相交在正半轴上，所以图象过第一、二、四象限.
O
x
点拨：画出两函数的草图即可得答案
Y=-x-2
四、特殊值法：
选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以 取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答 案．有些问题从理论上论证它的正确性比较困难，但是代入一些 满足题意的特殊值，验证它是错误的比较容易，此时，我们就可 以用这种方法来解决问题。
【优质课PPT】最新版六年级数学上册 4.3《一元一次方程的应用》课件2
课后练习
有一条120cm长的铁丝. (1)用它围成长是宽的2倍的一个长方形,求该长方形
的面积; (2)用它围成长是正方形,求该正方形的面积; (3)用它围成一个圆,求该圆的面积; (4)再分别取长为90cm、 150cm的铁丝,重复上面的
(1) 、 (2) 、(3). 比较每次计算的结果,你获得什么规律?
鲁教版 4.3一元一次方程的应用（2）
长方形周长公式：C= 圆柱体积公式：V= 长方体体积公式：V=
。 。
。
如图，将一个底面直径为20cm、高为9cm的圆柱锻压 成底面直径为10cm的圆柱，假设在锻压过程中圆柱的 体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？
在这个问题中有什么等量关系？
。
试列出方程并求解。
3.使得这个长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 此时正方形的边长是多少米？它的面积与（2）中的 长方形相比，面积有什么变化？
巩固练习
１.用一根60厘米长的铁丝围成一个长方形
（1）如果宽是长的 2 ，求这个长方形的长和宽. 3
（2）如果宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.
比较一下：（1）和（2）两个长方形面积的大小， 还能围出更大的面积吗？
学习测评
1.填空题
长方形周长公式：c=
。
圆柱体积公式：V=
长方体体积公式：V=
。
2.把底面直径为2cm，高为10cm的瘦长圆柱形钢 质零件，锻压成直径为4cm的矮胖圆柱形零件， 求这个零件的高是多少？
3.某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、 130 mm的长方体毛坯，需要截取截面积为 130 mm2的 方钢多长？
自主练习：
将内直径为20cm的圆柱形水桶中的水全部倒入一 个长、宽、高分别为30cm，20cm，80cm的长方 体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高。
面积体积问题(一元一次方程)
14米
解:先看小王的设计： 设宽为x米，则长为
(x+5) 米,根据题意,得 2x+(x+5)=35
解得 x= 10 因为小王设计的长为 X+5=10+5=15米＞ 14米， 所以小王的设计不符合 实际。
再看小赵的设计： 设设计宽为x米，则长为 (x+2) 米 ,根据题意，得
2x+(x+2)=35 解得 x=11 因为小赵的设计的长为 x + 2 = 1 1+ 2=13米＜ 14米， 所以小赵的设计符合要 求。 此时，鸡场的面积为 11×13=143平方米。
一、追及问题的基本题型
1、不同地点同时出发 2、同地点不同时出发 二、追及问题的等量关系
1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的 路程
2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程或 慢者所用时间=快者所用时间+多用时间
明明以每小时4千米的速度行驶， 半小时后哥哥骑车以每小时10千米 追赶，同时明明怕迟到速度增加1 千米。 问哥哥需要多长时间才可以送到作业？ 解：设哥哥要X小时才可以送到作业
5dm
3dm
1. 5m
0. 5m
分析：
根据以上我们演示知道了它们的等 量关系：
水位上升部分的体积 = 小圆 柱形铁块的体积
圆柱形体积公式是___r_2__h_______,
水升高后的体积
小铁块的体积
（___0_.5_2__x________ ） （__0_._32_×__0._5________ )
边框面积=192块边长为0.75的正方形花岗石的面积
解：设纪念碑的底面边长是x米. 3
根据题意，得 X
(x 3)3 4 0.752 192
中考数学 一元一次方程的应用-体积问题复习教案 新人教版
一元一次方程的应用
教学过程
一、复习
1、列方程解应用题就是从应用题中找出关系，并把
关系表示成；
2、底面半径为30mm,6高为60mm的圆柱体积为，底面直径为40mm,高为xmm的圆柱体积为。
二、新授
1、导课
列方程解应用题，关键是寻找相等关系，今天我们通过一例来学习如何寻找相等关系，和把相等关系表示成方程的方法。
例（课本P212例2）
分析：讲解图中每个数据的含义，指出○加一“/”是直径的记号。
在图上以mm为单位时，就不标单位。
图中哪句话能表达这个应用题的相等关系，这个相等关系是什么？“圆柱（2）的体
积是圆柱（1）的体积的3倍”这句话中表达了这样的相等关系：3×圆柱（1）的体积＝圆柱（2）的体积，或3V1＝V2。
设圆柱（1）的高为xmm,现分析等式的左边和右边。
这样左右两边都列出了代数式，放入相等关系中，即可得出方程：
由学生完成求解过程，并作出答案。
解：略
三、练习
P216习题：3，4。
四、小结
1、列方程解应用题的一般步骤。
2、体会列方程解应用题的优越性。
五、作业
1、P222 4.4A：9，10，11，12。
2、基础训练：同步练习2。
一元一次方程的应用
知识总结知识点一： 特殊图形的表面积与体积（1） 长方体的体积：长×宽×高（2） 圆柱体的体积：底面积×高（3） 长方形的周长：(长+宽)×2（4） 长方形的面积：长×宽知识点二： 一个有规格的物体，如果体积形状发生变化时，表面积发生变化了，但是体积没有发生变化。
此类问题体积相等是等量关系。
例1 用直径为4cm 的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm 高为16cm 的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？练习1. 将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？2.用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131×131mm 2，内高为81mm 的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？打折销售问题知识要点1．商品利润=商品售价－商品成本价。
.2．商品的利润率=%100 商品成本价商品利润。
3.商品售价=商品标价×折扣率4．商品的销售额=商品销售价×商品销售量。
5．商品的销售利润=（销售价－成本价）×销售量。
6．市场经济型题可先抽象成熟悉的数学问题，然后利用所学知识对问题进行分析、归纳、从而使问题迎刃而解。
例1 某商品的进价是2000元，标价为3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？例2 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？例3 某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？练习1.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为多少?调配问题例1 一铸造车间有28个工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个。
(2021年整理)七年级一元一次方程(面积和体积问题)
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某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中,第二个仓库中的粮食是第一个中的。
问每个仓库各有多少粮食?一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．长方体甲的长、宽、高分别为260mm,150mm,325mm ，长方体乙的底面积为130×130mm 2,又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？用一根长80m 的绳子围出一个矩形，使它的宽是长的31，长和宽各应是多少一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求正方形的边长。
沪科版七年级上册 数学 教案 3.2 一元一次方程的应用 体积问题
3.2 一元一次方程的应用(1)教学设计体积问题教学目标：1．会用一元一次方程解决关于几何体积的实际问题．2．掌握列方程解应用题的一般步骤．3．体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系．教学重难点：1．理解列方程解应用题的一般步骤．2．会从实际情境中建立等量关系，列一元一次方程解决关于几何图形的实际问题．教学方法：讨论法、归纳法课型：新授课教具：多媒体教学过程一、复习引入1、解一元一次方程的步骤有哪些？2、如何计算圆柱体的体积和长方体的体积？请同学们思考：我们学习解一元一次方程的目的是什么？(我们学习解方程的目的是为了应用)这一节我们就来学习用一元一次方程解决实际问题．(板书课题)二、导入新课问题1：列方程解应用题【例1】用直径为200 m m的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300 mm,300 mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢(计算时π取3.14，结果精确到1 mm)?分析：如下图(课件展示)：观察下图：思考：题目中隐藏着怎样的相等关系(等量关系)?学生独立思考，再小组讨论找出题目中的相等关系，根据所设未知数列出方程．(课件展示)解：设应截取的圆柱体钢长为x mm.根据题意，得3.14×⎝ ⎛⎭⎪⎫20022x ＝300×300×90， 解得x ≈258.答：应截取约258 mm 长的圆柱体钢．三、师生互动：（课件展示）1、用一根长为100米的铁丝围成一个长比宽长10米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？问：有什么等量关系呢？设未知数，列方程，写出结果解：设长方形宽为x 米，得2（x+x+10）=1002(2x+10)=1004x=80X=20X+20=40答：长为40米，宽为20米。
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓库的长和宽？解：设长方形的宽为x米，得2x+x+10=1003x=9X=30X+10=30答：长方形的长为30米，宽为20米。
一元一次方程的应用专题
一元一次方程的应用班级姓名座号等积（长）变形问题知识点：长方形周长公式：C长方形= 2(a + b) 圆周长公式：C圆= 2πr 圆面积公式：S圆= πr2长方体体积公式：V长方体= abh圆柱体积公式：V圆柱=πr2h圆锥体积公式：V圆锥=13πr2h等量关系：变形前后长度、面积、体积相等；特别的，浸入液体的物体体积 = 排开液体的体积例题：用一根长60cm的铁丝围成一个长方形：（1）使长方形的宽是长的23，求这个长方形的长和宽．（2）使长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积．（3）比较（1）、（2）所得的两个长方形的面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？商品经济问题知识点：利息＝本金×利率×时间商品利润＝售价－进价商品利润率＝利润进价×100%例题1：小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元？（注：利息税按20%计）（1250元）例题2：商店将进价600元的商品按标价的8折销售，仍可获利120元利润，问商品的标价是多少元？（900元）和差倍分问题例题1：将一筐梨装箱，若用8个箱子，则剩8kg未能装下；若用9个箱子，则最后一个箱子还可装4kg，求这筐梨的质量。
（104kg）例题2：有一条铁丝，第一次用去了它的一半少一米，第二次用去了剩下的一半多一米，结果还剩2.5米，这条铁丝原来长多少米？（12米）调配问题例题：第一个油槽里的汽油是120升，第二个油槽里的汽油是45升。
把第一个油槽里的汽油倒多少升到第二个油槽里，第一个油槽里的汽油是第二个油槽里汽油的2倍？（10升）年龄问题等量关系：抓住年龄差不变等数量关系列方程例题1：爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？例题2：张老师对小明说：“我像你现在这样大时，你才4岁，将来你像我这样大时，我已是61岁的老人了”，问：张老师和小明的现在年龄各是多少岁？ （42岁，23岁）数字问题知识点：一个数等于各数位上的数字乘以对应的计数单位后相加，如：10010abc a b c =++例题1：有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字少2，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的14，求这个两位数。
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46级初一数学(上)教案
总第56 课时集备时间：主备人：任希明审核人：赵伟课题7.4一元一次方程的应用6 课型
教学目标1、学会用一元一次方程解决有关的实际问题；
2、使学生明白等积变形的实质；
教学重难点重点根据应用题题意列出方程，使实际问题数学化；
难点理解等积变形的实质，关键是让学生抓住问题中的不变量。
教学方法
自主学习、合作探究
教学过程
个案补充
情景引入
小时候，大家玩过橡皮泥吗?(展示准备好的模型)这是用橡皮泥捏成的高为10厘米的圆柱，现在要将它改捏成高为3厘米的圆柱，但不能剩余橡皮泥，哪位同学愿意试试(不要求很准确)?你能描述一下它的外形变化吗?在这个过程中，圆柱的体积是否发生变化?
（通过动手操作，向学生展示现实生活中的等积变形，培养学生用方程的思想去分析问题，意图进行本节等积变形的学习。
合作探究
1、问题导读：
（1）在上面的模型中，圆柱的哪些量发生了变化?有没有不变的量?
（2）这个问题中存在的等量关系，应该是什么呢?
（3）回顾圆柱、球、正方体、长方体的体积公式；
（4）自学课本172页例7。
2、合作交流：
（1）圆柱的半径、高等都发生了变化，而它们的体积始终不变。
(2) 变化前的体积＝变化后的体积。
（3）圆柱的体积V=_______,球的体积V=_________, 正方体的体积V=_____,长方体的体积V=_____。
典例精讲
例7：一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有15厘米高的水。
现将一个底面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放入容器内，问容器的水将升高多少厘米？
（本题涉及圆柱的体积V=∏r2h,这里r是圆柱底面半径，h为圆柱的高。
一个金属圆柱竖直放入容器内，会出现两种可能：
（1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱；
（2）容器内的水升高后淹没放入的金属圆柱，因此列方程求解时要分两种情况。
）
解：设容器内放入金属圆柱后水的高度为x厘米。
（1）如果容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱，
那么根据题意，得
∏·(32-22)·x=∏·32×15
解这个方程，得x=27
因为27>18，这表明此时容器内的水已淹没了金属圆柱，不符合题意，应舍去。
（2）如果容器内的水升高后淹没放入的金属圆柱，
那么根据题意，得
∏·32·x=∏·32×15+∏·22×18
解这个方程，得x=23
23－15=8
所以，容器内的水升高8厘米。
（注：学生在列方程解应用题时，注意检验方程的解是否合理。
只要方程的解不合实际，这个解就一定不合理，此时，便说应用题无解。
）
巩固拓展1、一个长方体的铁块，长为8厘米，宽为4厘米，高为2厘米，若铸造成一个正方体，则这个正方体的边长为_________ 厘米。
2、把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
课堂小结（1）圆柱的半径、高等都发生了变化，而它们的体积始终不变。
(2) 变化前的体积＝变化后的体积；等积变形
达标测试1、将一个直径为40毫米、高为300毫米的圆柱体量桶装满水，再把水倒入一个底面直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中，则杯中水的高为多少?
2、一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25厘米，内壁高为35厘米，有一种内径为6厘米，内壁高为10厘米的圆柱形玻璃杯。
如果把一桶饮用水全部用这种玻璃杯去盛，需要多少个这种玻璃杯？
分层
作业
课本173页1、2题教学反思。