高考一轮课时训练(理)1.2.1命题与充要条件 (通用版)

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高考数学一轮复习课时作业2第1章集合与常用逻辑用语2 Word版含答案

则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C 。

答案：C二、填空题7．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________。

解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2。

答案：3或48．下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真。

其中说法不正确的的序号是__________。

解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x ＜12，则1x －12＝2－x 2x ＜0，解得x ＜0或x ＞2，所以“x ＞2”是“1x ＜12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确。

答案：①②9．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝log 3(x ＋1)。

若关于x 的不等式f [x 2＋a (a ＋2)]≤f (2ax ＋2x )的解集为A ，函数f (x )在[－8,8]上的值域为B ，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________。

解析：∵x ≥0时，奇函数f (x )＝log 3(x ＋1)，∴函数f (x )在R 上为增函数。

∴f (x )在[－8,8]上也为增函数，且f (8)＝log 3(8＋1)＝2，f (－8)＝－f (8)＝－2，∴B ＝{x |－2≤x ≤2}。

高考数学(理)一轮复习课时训练：第1章集合与常用逻辑用语 2 Word版含解析

【课时训练】第2节命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2018云南曲靖一中月考)“a <0，b <0”的一个必要条件为( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b >1D ．a b <－1【答案】A【解析】若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0.故选A.2．(2018福建龙岩五校联考)已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( )A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2”C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2，则x <2ab ”【答案】C【解析】命题p 的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”，故A ，B 都错误；命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”，故C 正确，D 错误．3．(2018山东陵县一中月考)若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f (x )是定义在R 上的奇函数可以推出f (0)＝0，但f (0)＝0不能推出函数f (x )为奇函数，例如f (x )＝x 2.故选A.4．(2018太原一模)命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题的个数为2.5．(2018安徽淮南二中、宿城一中联考)命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.6．(2018江西赣州模拟)等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{a n}的公比为q.若a1<a3，∴a1<a1q2，∴q2>1，若q<－1，则a3＝a1q2>0，a6＝a1q5<0，∴a3<a6不成立；若a3<a6成立，则a1q2<a1q5，又a1>0，∴q3>1，∴q>1，∴a1<a3成立，综合可知，“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件．故选B.7．(2018东北三省三校联考)对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于命题“若x＝3且y＝1，则x＋y＝4”为真命题，可知该命题的逆否命题也为真命题，即p⇒q.由x≠3或y≠1，但x＝2，y＝2时有x＋y＝4，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．故选A.8．(2018黑龙江虎林一中期中)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．9．(2018河北衡水四调)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 【答案】D【解析】一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理知④为真命题．10．(2018山东省实验中学第二次诊断)已知命题p ：|x ＋1|>2；命题q ：x ≤a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 【答案】A【解析】命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A.11．(2018山东安丘一中期中)“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2] 【答案】A【解析】由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A.二、填空题12．(2019江苏常熟中学段测)命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是______________________________________________．【答案】若x 2－x <0，则x ≤2【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2－x <0，则x ≤2”．13.(2018湖南六校联考)设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/ 甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/ 丙；故甲⇒丁，丁⇒/ 甲，即丁是甲的必要不充分条件．14．(2018黑龙江双鸭山适应性考试)有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】①中原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b ”，为假命题；②中原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，为真命题；③中原命题为真命题，故逆否命题为真命题．15．(2018海南中学月考)已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．16．(2018湖南衡阳第一次联考)已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】α可看作集合A＝{x|x≥a}．∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又α是β的必要不充分条件，∴B⊆A，∴a≤0.。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第二节命题及其关系充分条件与必要条件(课件)

解析：(1)因为p是q的充分不必要条件，所以{x|x>a} {x|x≥2}，则实数a的取值范围是a≥2.
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x≥2} {x|x>a}，则实数a的取值范围是 a<2.
(四)走进高考 7．[2021·浙江卷]已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)“x－3>0”是命题．( × ) (2)一个命题非真即假．( √ ) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．( × ) (4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ ) (5)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (6) 命题 “ 若 p 不成立，则 q 不成立 ” 等价于 “ 若 q 成立，则 p 成立”．( √ )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．否定
答案：B
解析：“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数，则它的平方不等于0”，其否命题为“若a不是正数，则它的平方等于0”．故选B.
2．对于命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( ) A．逆命题为“周期函数不是单调函数” B．否命题为“单调函数是周期函数” C．逆否命题为“周期函数是单调函数” D．以上都不正确
答案：D
解析：根据四种命题的构成可知，选项A，B，C均不正确．故选D.
3．下列命题中为真命题的是( ) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点 C.互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的真子集

高考数学一轮复习专题1.2命题及其关系充分条件与必要条件练理

第02节命题及其关系、充分条件与必要条件A 基础巩固训练1．2018吉林二模已知,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β” 是“m ∥β”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析充分性：根据面面平行的性质，可以得到线面平行，充分性成立；必要性：一条线和一个平面平行，不能得到面面平行，必要性不成立．所以是充分不必要条件，故选B ．名师点睛本题首先考查充分必要条件的判断，判断方法就是“前推后叫充分，后推前叫必要”，具体考查内容是线面的平行关系，考查学生对线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的准确认识．2．2018四川广元一模“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案A3．2018豫南九校二模已知，则是为纯虚数的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件答案C解析先考虑充分性，当xy=0时，不一定为纯虚数，因为xy=0时，它是实数．所以是非充分条件．再考虑必要性，当为纯虚数时，则有xy=0且xy≠0，所以必要性成立．故选C ．4．2018安徽淮南模拟已知向量()()1,,,4a x b x ==，则2x =-是“a 与b 反向”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案C解析a 与b 反向则存在唯一的实数λ，使得()0a b λλ=<，即11{ { 242x x x λλλ==-∴==- ，所以2x =-是“a 与b 反向”的充要条件，故选C ．5．2018聊城一模设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析由1921202S S S +>得212020192120,S S S S a a ->->，故n a 是递增数列，反之也成立，所以为充要条件．选C ．B 能力提升训练1．2018甘肃一模向量，，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析两个向量平行，则，所以为充分不必要条件，故选．2．2018上海浦东一模若实数,x y R ∈，则命题甲“4{ 4x y xy +>>”是命题乙“2{ 2x y >>”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案B 解析当5{1x y ==时，满足命题甲，但推不出命题乙，∴充分性不具备；当2{ 2x y >>时，显然能推出命题甲“4{4x y xy +>>”，∴必要性具备，故选B ．3．2018河北阜城中学模拟设R θ∈，则“1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案A解析由1212121212πππππθθ-<⇔-<-<，所以06πθ<<，17sin 22,266k k k Z ππθπθπ<⇔-+<<+∈，则70,[22],666k k k Z ππππθπ⎛⎫-+<<+∈ ⎪⎝⎭，可得 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件，故选A ． 4．2018华南师大附中模拟“()()110m a -->”是“log 0a m >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B5．2018皖江名校模拟“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解得（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析作出函数x y e k =-的图象，可知方程1x e k -=有2个实数解时可得1k >．所以方程1x e k -=有2个实数解，一定有1k ≥，反之不成立，如11x e -=只有一个实数解．所以“1k ≥”是方程1x e k -=有2个实数解的必要不充分条件．故选B ．C 思维拓展训练1．2018百校联盟一月联考命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析由题意得函数()12x f x a x=-+在()1,2上单调递增，又函数()f x 在()1,2上有零点，所以()()()312102f f a a ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭，解得312a -<<-．∵7,12⎛⎫- ⎪⎝⎭3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C ．2．2018峨眉山模拟已知命题p ： “关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是( ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．(),1-∞ D ．(],1-∞ 答案A名师点睛本题主要考查了一元二次方程存在根的条件，复合命题和充分必要条件．尤其注意条件给出的方式，确定充分不必要条件，题目不难，属于易错题．3．2018百校联盟三月联考已知直线a ，b 及平面α，β，a α⊂，b β⊂．命题p ：若αβ⊥，则a ，b 一定不平行；命题://q αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 答案C解析αβ⊥，则 a ，b 可能都平行于交线，即a ，b 可能平行，p 是假命题；若//αβ，则 a ，b 一定没有公共点，若a ，b 没有公共点，则,αβ可能平行，也可能相交，//αβ是a ，b 没有公共点的充分不必要条件，q 是真命题，()p q ∴⌝∧是真命题，故选C ．4．2018甘肃兰州一模设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 B解析画出表示的区域，如图所示的，表示的区域是，为等腰直角三角形，表示的区域是以为圆心，以为半径的圆，而其内切球半径为，圆心，满足的点在内切圆内，是的必要不充分条件，故选B ．5．2018中山模拟设命题1:12p x ≤≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范为_____________．答案10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析命题q 等价于()()10x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+，另： p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件等价于q 是p 的必要而不充分条件，即,p q ⊆可得1{ 211a a ≤+≥，解得102a ≤≤，故答案为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

步步高浙江新高考数学理科一轮复习配套练习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案详析)

第 2 讲命题及其关系、充足条件与必需条件一、选择题1．若a∈ R，则“a＝1”是“ |a|＝1”的()A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件分析若 a＝ 1，则有 |a|＝ 1 是真命题，即 a＝ 1? |a|＝1，由 |a|＝1 可得 a＝±1，所以若 |a|＝ 1，则有 a＝ 1 是假命题，即 |a|＝1? a＝ 1 不建立，所以 a＝1 是 |a|＝1 的充足而不用要条件．答案 A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的抗命题是()A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”分析原命题的抗命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案B13．已知会合 A ＝{x ∈ R|2<2x<8} ，B＝ {x ∈R|－ 1<x<m＋1} ，若 x ∈B 建立的一个充足不用要的条件是x∈A ，则实数 m 的取值范围是 ()A ．m≥ 2B． m≤2C．m>2D．－ 2<m<21分析 A ＝ {x ∈R|2<2x<8} ＝ {x| －1<x<3}∵ x∈ B 建立的一个充足不用要条件是x ∈A∴∴m＋1>3，即 m>2.答案 C4．命题：“若 x2<1，则－ 1<x<1”的逆否命题是 ()A ．若 x2≥1，则 x≥1或 x≤－1B．若－ 1<x<1 ，则 x2<1C．若 x>1 或 x<－ 1，则 x2>1D．若 x≥1或 x≤－1，则 x2≥1分析 x2<1 的否认为： x2≥1；－1<x<1 的否认为 x≥1或 x≤－1，故原命题的逆否命题为：若 x≥1或 x≤－1，则 x2≥1. 答案 D5．命题“若 f(x)是奇函数，则 f(－x)是奇函数”的否命题是 ()．A ．若 f(x)是偶函数，则 f(－x)是偶函数B．若 f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若 f(－x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D．若 f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数分析否命题既否认题设又否认结论，应选 B.答案B6．方程 ax2＋2x＋ 1＝ 0 起码有一个负实根的充要条件是()．A ．0<a≤ 1B．a<1C．a≤1D．0<a≤ 1 或 a<0分析法一(直接法 )当 a＝0 时， x＝－12切合题意．当 a≠ 0 时，若方程两根一正一负(没有零根 )，＝4－4a>0，a<1，则1?? a<0；a<0a<0＝4－4a≥ 0，2?a≤1，若方程两根均负，则－a<0，? 0<a≤ 1.1a>0a>0综上所述，所求充要条件是a≤1.法二(清除法 )当 a＝0 时，原方程有一个负实根，能够清除 A ，D；当 a＝1时，原方程有两个相等的负实根，能够清除B，所以选 C.答案C二、填空题7．已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题2πp1： |a＋b|＞1? θ∈ 0，32πp2： |a＋b|＞1? θ∈3 ，ππp3： |a－b|＞1? θ∈ 0，3πp4： |a－b|＞1? θ∈3，π此中真命题的个数是 ____________．分析由 |a＋ b|＞1 可得 a2＋2a·b＋b2＞ 1，由于 |a|＝1，|b|＝1，所以 a·b＞－1，2 2π2π1故θ∈ 0，3 .当θ∈ 0，3时， a·b＞－2， |a＋b|2＝ a2＋2a·b＋b2＞ 1，即 |a ＋b|＞ 1，故 p1 正确．由 |a－b|＞1 可得 a2－2a·b＋ b2＞1，由于 |a|＝1，|b|＝1，所以 a·b＜1，故θ∈π正确．，π，反之也建立， p423答案 28．若“ x2>1是”“ x<a的”必需不充足条件，则 a 的最大值为 ________．分析由 x2>1，得 x<－1 或 x>1，又“x2>1是”“x<a的”必需不充足条件，知由“ x<a可”以推出“ x2>1，”反之不建立，所以a≤－1，即 a 的最大值为－ 1.答案－119．已知会合 A ＝ x 2<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈ R}，若x∈B成立的一个充足不用要的条件是x∈ A，则实数 m 的取值范围是 ________．1x分析A＝ x 2<2 <8，x∈R＝{ x|－1<x<3}，∵x∈B 建立的一个充足不用要条件是 x∈A，∴A B，∴m ＋1>3，即 m>2.答案(2，＋∞ )1210．“ m< 4”是“一元二次方程x＋x ＋m ＝0 有实数解”的 ________条件．21 分析x ＋x ＋m ＝0 有实数解等价于＝1－4m ≥0，即 m ≤ 4.答案充足不用要三、解答题11．写出命题 “已知 a ， b ∈ R ，若对于 x 的不等式 x2＋ ax ＋b ≤0有非空解集，则a2≥ 4b 的”抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解 (1)抗命题：已知 a ， b ∈ R ，若 a2≥4b ，则对于 x 的不等式 x2 ＋ax ＋ b ≤0 有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知 a ，b ∈R ，若对于 x 的不等式 x2＋ ax ＋b ≤0没有非空解集，则 a2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知 a ，b ∈R ，若 a2<4b ，则对于 x 的不等式 x2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程 ax2＋2x ＋1＝0 的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解方程 ax2＋2x ＋ 1＝ 0 有且仅有一负根．1当 a ＝ 0 时， x ＝－ 2合适条件．当 a ≠0时，方程 ax2＋2x ＋ 1＝ 0 有实根，则＝4－4a ≥0，∴ a ≤1，当 a ＝ 1 时，方程有一负根 x ＝－ 1.1当 a<1 时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝ a <0，∴ a<0.综上，方程 ax2＋2x ＋1＝0 有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或13．分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若 ab ＝0，则 a ＝0 或 b ＝0；(2)若 x2＋y2＝ 0，则 x ， y 全为零．a ＝ 1.解 (1)抗命题：若 a ＝0 或 b ＝ 0，则ab ＝0，真命题．否命题：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0，真命题．逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0，真命题．(2)抗命题：若 x， y 全为零，则 x2＋y2＝ 0，真命题．否命题：若 x2＋ y2≠0，则 x， y 不全为零，真命题．逆否命题：若 x，y 不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知 p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若 p 是 q 的充足不用要条件，务实数 a 的取值范围．解 p： x2－ 8x－20≤0? －2≤x≤10，q：x2 －2x＋ 1－a2≤0? 1－a≤ x≤1＋a.∵p? q，q? / p，∴{ x|－2≤x≤10} { x|1－ a≤ x≤1＋a} ．1－ a≤－ 2，故有1＋ a≥ 10，且两个等号不一样时建立，解得a≥ 9.a>0，所以，所务实数 a 的取值范围是 [9 ，＋∞ )．15．已知会合 M ＝{x|x< －3，或 x>5} ，P＝{x|(x － a) ·(x－ 8) ≤ 0}．(1)求 M∩P＝ {x|5<x ≤ 8}的充要条件；(2)务实数 a 的一个值，使它成为 M∩P＝{x|5<x ≤ 8}的一个充足但不用要条件．解 (1)由 M∩P＝{x|5<x ≤8}，得－ 3≤a≤5，所以 M∩P＝ {x|5<x ≤8}的充要条件是－ 3≤a≤5；(2)务实数 a 的一个值，使它成为 M∩P＝{x|5<x ≤ 8}的一个充足但不用要条件，就是在会合 {a|－ 3≤a≤5}中取一个值，如取 a＝0，此时必有 M∩P＝{x|5<x ≤8}；反之， M∩P＝{x|5<x ≤8}未必有 a＝0，故 a＝ 0 是 M∩P＝{x|5<x ≤8}的一个充足不用要条件．。

(通用版)高考数学一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件讲义理

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题间的相互关系四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3．充分条件、必要条件的判定⇐充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 p 成立的对象的集合为 A，q 成立的对象要条件的集合为 Bp 是 q 的充分不必要条件p⇒q 且 q⇒/ pA 是 B 的真子集p 是 q 的必要不充分条件p⇒/ q 且 q⇒ pp 是 q 的充要条件p⇔qB 是 A 的真子集 A＝B集合与充要条件的关系⇐p 是 q 的既不充分也不必要条件p⇒/ q 且 q ⇒/ pA，B 互不包含否命题对题设和结论都进行否定．在判断充分、必要条件的时候，一定要从 p 能否推出 q，q 能否推出 p 两方面去判断：对于 q⇒p，要能够证明，而对于 p⇒/ q，只需举一反例即可．小可以推大，大不可以推小，如 x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)⇒/ x>2(小范围)． [熟记常用结论]1．充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”． (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． 2．利用互为逆否命题“同真、同假”的特点，可得： (1)p⇒q 等价于綈 q⇒綈 p； (2)q⇒/ p 等价于綈 p ⇒/ 綈 q.[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)“x2＋2x－8＜0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为 0 或 2 或 4.( ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 二、选填题 1．已知命题 p：若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab，则下列说法正确的是( ) A．命题 p 的逆命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” B．命题 p 的逆命题是“若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2” C．命题 p 的否命题是“若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab” D．命题 p 的否命题是“若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab” 解析：选 C　命题 p 的逆命题是“若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2”，故 A、B 都错误；命题 p 的否命题是“若 x＜ a2＋b2，则 x＜2ab”，故 C 正确，D 错误． 2．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 A　因为 cos 2α＝cos2α－sin2α＝0，所以 sin α＝±cos α，所以“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．故选 A.3．原命题“设 a，b，c∈R，若 a>b，则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1C．2D．4解析：选 C　当 c＝0 时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设 a，b，c∈R，若 ac2>bc2，则 a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有 2 个．4．(2019·青岛模拟)命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的逆否命题为______________________．答案：若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数5．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0 或 x＝1，即 x(x－1)＝0 不一定有 x＝1 成立；但 x＝1 能推出 x(x－1)＝0 成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一[基础自学过关] 命题及其关系[题组练透]1．命题“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题是( )A．若 x≠y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2＝0B．若 x＝y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0C．若 x≠0 且 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0D．若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0解析：选 D　x2＋y2＝0 的否定为 x2＋y2≠0；x＝y＝0 的否定为 x≠0 或 y≠0.故“若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x＝y＝0”的逆否命题为“若 x≠0 或 y≠0(x，y∈R)，则 x2＋y2≠0”．2．有以下命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若 m≤1，则 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否命题；④“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．①② B．②③C．④D．①②③解析：选 D　①“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；②“面积不相等的两个三角形一定不全等”，是真命题；③若 m≤1，则 Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由 A∩B＝B，得 B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选 D.3．给出命题：若函数 y＝f(x)是幂函数，则函数 y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3B．2C．1D．0解析：选 C　易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．[名师微点]1．由原命题写出其他 3 种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[提醒]　(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断命题真假的 2 种方法(1)直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)间接判断：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假．考点二[师生共研过关] 充分条件、必要条件的判定[典例精析]| | (1)(2018·天津高考)设 x∈R，则“ x－12＜1”是“x3＜1”的( ) 2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2018·北京高考)设 a，b，c，d 是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件| | | | [解析]　(1)由 x－12＜12，得 0＜x＜1，则 0＜x3＜1，即“ x－12＜1”⇒“x3＜1”； 2| | 由 x3＜1，得 x＜1，当 x≤0 时， x－12≥1， 2| | 即“x3＜1”⇒/ “ x－12＜1”． 2| | 所以“ x－12＜1”是“x3＜1”的充分而不必要条件． 2(2)a，b，c，d 是非零实数，若 a＜0，d＜0，b>0，c>0，且 ad＝bc，则 a，b，c，d 不成等比数列(可以假设 a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若 a，b，c，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知 ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(3)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x)＝sin x－1x，f(－x)＝sin(－x)－－1x＝－sin x( ) ＋1x＝－ sin x－1x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sin x－1x＋ a＝2a，故 a＝0，所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sin x－1x＋a 为奇函数”的充要条件，故选 C.[答案]　(1)A　(2)B　(3)C[解题技法]充分、必要条件的判断 3 种方法利用定义判直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结断论是什么从集合的角利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，度判断即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假[过关训练]1．(2018·衡阳模拟)对于函数 y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　若 y＝f(x)为奇函数，则 y＝|f(x)|的图象关于 y 轴对称，反过来不成立，因为当 y＝f(x)为偶函数时，y＝|f(x)|的图象也关于 y 轴对称．故选 B.2．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即 a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又 a，b 均为单位向量，所以 a2＝b2＝1，所以 a·b＝0，能推出 a⊥b.由 a⊥b 得|a－3b|＝ 10，|3a＋b|＝ 10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．3．设 a，b 是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 D　a>b 不能推出 a2>b2，例如 a＝－1，b＝－2；a2>b2 也不能推出 a>b，例如 a＝－2，b＝1.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．考点三[师生共研过关] 充分条件、必要条件的探求与应用[典例精析](1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10(2)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 m 的取值范围为________．[解析]　(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1,3]，x2≤a”⇔9≤a.则 a≥10 是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S⊆P，∴Error!解得 0≤m≤3，故 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件．[答案]　(1)C　(2)[0,3][变式发散] 1．(变条件)本例(2)中条件“若 x∈P 是 x∈S 的必要条件”变为“綈 P 是綈 S 的必要不充分条件”，其他条件不变．求实数 m 的取值范围．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件，∴P⇒S 且 S⇒/ P. ∴[－2,10]⇐[1－m,1＋m]．∴Error!或Error!∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞)．2．(变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？并说明理由．解：由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}．若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S，∴Error!∴Error!这样的 m 不存在．[解题技法]根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[过关训练]1．使 a>0，b>0 成立的一个必要不充分条件是( )A．a＋b>0B．a－b>0C．ab>1 D.ab>1 解析：选 A　因为 a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由 a>0，b>0 不能推出 a－b>0，ab>1，ab>1，故选 A.2．已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q：x>a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a 的取值范围是( )A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选 A　由 x2＋2x－3>0，得 x＜－3 或 x>1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件，故 a≥1.故选 A.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c　B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤bC．若 a＋c>b＋c，则 a>bD．若 a>b，则 a＋c≤b＋c解析：选 A　“若 p，则 q”的否命题是“若綈 p，则綈 q”，所以原命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”，故选 A.2．命题“若 α＝π，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) 4A．若 α≠π，则 tan α≠1 4B．若 α＝π，则 tan α≠1 4C．若 tan α≠1，则 α≠π 4D．若 tan α≠1，则 α＝π 4解析：选 C　以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若 α＝π，则 tan α＝ 41”的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠π”． 43．有下列几个命题：①“若 a>b，则1a>1b”的否命题； ②“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；③“若 x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A．① B．①②C．②③D．①②③解析：选 C　①原命题的否命题为“若 a≤b，则1a≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设 A，B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 C　由 A∩B＝A 可得 A⊆B，由 A⊆B 可得 A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量 a，b，c 均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B　由 b＝c，得 b－c＝0，得 a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65分．已知命题 p：若及格分低于 70 分，则 A，B，C 都没有及格．则下列四个命题中为 p 的逆否命题的是( )A．若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B．若 A，B，C 都及格，则及格分不低于 70 分C．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分D．若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分解析：选 C　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分．故选 C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A．m>14 C．m>0B．0＜m＜1 D．m>1解析：选 C　若不等式 x2－x＋m>0 在 R 上恒成立，则 Δ＝(－1)2－4m＜0，解得 m>1，因此当不等式 4x2－x＋m>0 在 R 上恒成立时，必有 m>0，但当 m>0 时，不一定推出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m>0.8．(2019·安阳模拟)设 p：f(x)＝ex＋2x2＋mx＋1 在[0，＋∞)上单调递增，q：m＋5≥0，则 p 是 q 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝e x＋4x＋m≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f′(x)＝e x＋4x＋m在[0，＋∞)上单调递增，所以f′(0)＝1＋m≥0，即m≥－1，故p是q的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”⇒“l∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l⊂β，则“α∥β”是“l∥α”的充分不必要条件．故选A.”的( )2．(2019·太原模拟)“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　∵当函数y＝|cos mx|(m∈R)的最小正周期为π时，m＝±2，∴“m＝2”是“函数y＝|cos mx|(m2”的充分不必要条件．∈R)的最小正周期为π23．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________．解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．都不对解析：选C　根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”，显然，B与C是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是( )A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1C．a＝b＝2 D．a>1且b>1解析：选B　∵a＋b>ab，∴(a－1)(b－1)＜1.∵a，b∈N*，∴(a－1)(b－1)∈N，∴(a－1)(b－1)＝0，∴a＝1或b＝1.故选B.6．[数学运算]圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是( )A．k≤－22或k≥22B．k≤－22C．k≥2D．k≤－22或k>2≤1，即k2＋1解析：选B　若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx－y－3＝0的距离d＝|－3|k2＋1≥3，∴k2＋1≥9，即k2≥8，∴k≥22或k≤－22，∴圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－3有公共点的充分不必要条件是k≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A．a＜0 B．a＜－1C．－1＜a＜0 D．a>－1解析：选B　∵方程x2－2x＋a＋1＝0有一正一负两实根，∴Error!解得a＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f(x)＝sin x，则f(x)在[0，π2]上是增函数，在[π2，2]上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x∈(0,2]时，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)。

高考一轮、学考复习课时训练(2)命题及其关系、充分条件与必要条件

高考一轮、学考复习课时训练(2)命题及其关系、充分条件与必要条件(60分钟)一、选择题1．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )． A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假2．“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列叙述中正确的是 ( )．A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β 5．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的 ( )． A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件二、填空题7．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．8．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 9．下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．10．若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．11．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是________．①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.12．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、解答题13．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．14．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．.参考答案及其解析一、选择题1．解析原命题为真命题，逆命题也为真命题，而原命题与逆命题，否命题与逆命题，皆为互为逆否命题，真假一致，故选A. 答案 A2．解析 ln (x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件．答案 B3．解析因为两直线平行，所以(a 2－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或－1，所以选A. 答案 A4．解析当a ＝0时，A 错；当b ＝0时，B 错，C 中结论应为x 2＜0，故C 错；故选D. 答案 D5．解析构造函数f (x )＝x |x |，即f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，易知f (x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上为增函数， ∵a >b ⇔f (a )>f (b )，即a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. 答案 C6．解析 “存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”．选C . 答案 C 二、填空题7．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.答案充分不必要8．解析当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确．答案 29．解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案 ①②10．解析方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f (3)<0，解得m >9，即：方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9. 答案 m >911．解析对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b|b |；对于②，注意到a ∥b 时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b|b |；对于④，当a ∥b 且|a |＝|b |时，可能有a＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b .答案 ③12．解析已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.答案 3或4 三、解答题13．解原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0.∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 14．解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10， q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a . ∵p ⇒q ，q ⇒/ p ，∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }．故有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－2，1＋a ≥10，a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．15．解 ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴¬q ⇒¬p ，且¬p ⇒/ ¬q 等价于p ⇒q ，且q ⇒/ p .记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，则A 是B 真子集.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.。

一轮复习课时训练§1.2：命题及其关系、充分条件与必要条件

第一章§2：命题及其关系、充分条件与必要条件(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是A．3 B．2 C．1 D．02．已知P＝{x|xx－2<0，x∈R}，Q＝{x|x>x2，x∈R}，则“x∈P”是“x∈Q”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件3．设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l24．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；③在△ABC中“若A＝B，则△ABC是等腰三角形”的逆否命题；④“若向量a∥b，则a＋b＝0”的逆命题．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．35．有限集合S中元素的个数记作card(s)，若A，B都是有限集合，给出下列命题：①A∩B＝∅的充要条件是card(A＋B)＝card(A)＋card(B)②A⊆B的充要条件是card(A)≤card(B)③A＝B的充要条件是card(A)＝card(B)其中正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．“α＝π6”是“cos2α＝12”的________条件． 7．命题“若c ＞0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴有两个交点”的否命题是__________．8．设p ：log a x ＜0，q ：(12)1-x ＞1，则p 是q 的充分不必要条件时，a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Φ；命题乙：函数y ＝(2a 2－a)x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．10．（本小题满分16分）求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(a ，b ，c 是△ABC 的三条边)参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：当f(x)是幂函数时，f(x)＝x α，而x ＞0时，f(x)＝x α＞0，∴原命题为真命题．同时逆否命题为真．原命题的逆命题是：若函数y ＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y ＝f(x)是幂函数．当y ＝f(x)＝x ＋1时，f(x)图象不过第四象限，但f(x)不是幂函数，因此逆命题为假，则否命题也为假．答案：C2．解析：由已知P ＝{x|0<x<2}，Q ＝{x|0<x<1}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要不充分条件．答案：C3．解析：∵m ∥l 1且n ∥l 2时l 1∥α，l 2∥α.又l 1与l 2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时，不一定推出m ∥l 1且n ∥l 2，故B 项正确．答案：B4．解析：对于①，当x ，y 互为相反数时，x ＋y ＝0显然成立，即逆命题为真命题，∴否命题为真命题．对于②，若x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2，∴逆命题为假，∴否命题为假．对于③，原命题显然为真，∴逆否命题为真．对于④，当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，从而a ∥b ，∴逆命题为真．故真命题有3个．答案：D5．解析：①显然正确，对②是A ⊆B 时一定有card(A)≤card(B)，但当card(A)≤card(B)时A ⊆B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2,3}，对③当card(A)＝card(B)时A ＝B 不一定成立，如A ＝{1}，B ＝{2}．因此只有①正确．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：当α＝π6时，cos2α＝cos π3＝12；当α＝－π6时，cos2α＝cos(－π3)＝12. 即当cos2α＝12时，α除π6外还可以取其他的值．故α＝π6是cos2α＝12的充分不必要条件．答案：充分不必要7．解析：把条件、结论都否定就可得到否命题．答案：若c ≤0，则y ＝x 2＋x －c 的图象与x 轴最多有一个交点8．解析：由已知q ：x ＜1.当a ＞1时，p ：0＜x ＜1，符合条件．当0＜a ＜1时，p ：x ＞1，不符合条件．答案：(1，＋∞)三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a>13，或a<－1，乙命题为真时，2a 2－a>1，即a>1，或a<－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<－12，或a>13； ∴甲、乙至少有一个是真命题时a 的取值范围是{a|a<－12，或a>13}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a<－12. ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值集合为{a|13<a ≤1，或－1≤a<－12}． 10. （本小题满分16分）证明：(必要性)∵△ABC 是等边三角形，且a ，b ，c 是其三边，∴a ＝b ＝c ，∴a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.(充分性)由a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，得12(a －b)2＋12(b －c)2＋12(a －c)2＝0，(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0， ∴a ＝b ＝c ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三边，∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·沈阳模拟)数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,则命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为()A.∀x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.∃x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.∃x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y32.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)(2023·江西九校联考)已知p:∀x∈[3,4),x2-a≥0,则p成立的一个充分不必要条件可以是()A.a<9B.a>9C.a<16D.a>164.(5分)(2024·信阳模拟)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-1,+∞)C.(-1,2)D.[2,8]【5.(5分)(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件6.(5分)(多选题)(2024·黔西模拟)下列命题不正确的有()A.若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集为⌀C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要条件D.∀x∈R, 2=x7.(5分)(2024·西安模拟)若命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”,则“¬p”为.8.(5分)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥e x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p为真命题,则实数a的取值范围为;若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围是.9.(5分)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为.10.(10分)(2024·石家庄模拟)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的?(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由;(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.11.(10分)(2024·徐州模拟)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.设实数a的取值集合为A,设集合B={x|3m<x<m+2},若,求实数m的取值范围.在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;②“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件;③B∩∁R A=∅这三个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并按照你的选择求解问题.【能力提升练】12.(5分)(多选题)“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有()A.0≤a<1B.0<a<1C.-1≤a<1D.-1<a<213.(5分)(2024·杭州模拟)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.14.(10分)已知函数f(x)= 2- +1 -1(x≥2),g(x)=a x(a>1,x≥2).(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求实数m的取值范围;(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·沈阳模拟)数学符号的使用对数学的发展影响深远,“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中,表达等式关系,英国数学家首次使用“>”和“<”,便于不等式的表示,则命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为()A.∀x,y∈R,(x+y)3<x3+y3B.∃x,y∈R,(x+y)3>x3+y3C.∃x,y∈R,(x+y)3<x3+y3D.∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3【解析】选D.因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p:∀x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的否定为∃x,y∈R,(x+y)3≤x3+y3.2.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.“不积跬步,无以至千里”说明能“至千里”必须“积跬步”,而“积跬步”不一定能“至千里”.故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.3.(5分)(2023·江西九校联考)已知p:∀x∈[3,4),x2-a≥0,则p成立的一个充分不必要条件可以是()A.a<9B.a>9C.a<16D.a>16【解析】选A.a≤x2在区间[3,4)上恒成立,所以a≤9,所以结合选项可知p成立的一个充分不必要条件可以是a<9.4.(5分)(2024·信阳模拟)已知条件p:log2(x+1)<2,条件q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为()A.(-∞,2)B.(-1,+∞)C.(-1,2)D.[2,8]【解析】选C.由log2(x+1)<2,得-1<x<3,所以p:-1<x<3,由x2-(2a+1)x+a2+a≤0,得a≤x≤a+1,所以q:a≤x≤a+1,因为p是q的必要不充分条件,所以{x|a≤x≤a+1}能推出{x|-1<x<3},则 >-1 +1<3,解得-1<a<2.5.(5分)(多选题)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中是真命题的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件C.“a<5”是“a<3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【解析】选CD.对于A,当a=b时,ac=bc成立,当ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A不是真命题.对于B,当a=-1,b=-2时,a>b,a2<b2,当a=-2,b=1时,a2>b2,a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故B不是真命题.对于C,当a<3时,一定有a<5成立,当a<5时,a<3不一定成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,故C是真命题.对于D,易知“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故D是真命题.6.(5分)(多选题)(2024·黔西模拟)下列命题不正确的有()A.若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1>0B.不等式x2-4x+5<0的解集为⌀C.x<1是(x-1)(x+2)<0的充分不必要条件D.∀x∈R, 2=x【解析】选ACD.对A,若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0,故A不正确;对B,因为x2-4x+5<0,令y=x2-4x+5,则Δ=42-4×5=-4<0,又因为y=x2-4x+5的图象开口向上,所以不等式x2-4x+5<0的解集为⌀,故B正确;对C,由(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,设A=(-∞,1),B=(-2,1),则B⫋A,故x<1是(x-1)(x+2)<0的必要不充分条件,故C不正确;对D,当x=-1时,(-1)2=1≠-1,故D不正确.7.(5分)(2024·西安模拟)若命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”,则“¬p”为.【解析】全称量词命题的否定步骤为“改量词,否结论”,所以命题p:“∀x∈R,x2-2x-2≥0”的否定为¬p:∃x∈R,x2-2x-2<0.答案:∃x∈R,x2-2x-2<08.(5分)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥e x;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p为真命题,则实数a的取值范围为;若命题p,q都为真命题,则实数a的取值范围是.【解析】由已知命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由∃x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.答案:[e,+∞)[e,4]9.(5分)命题“∃x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0”为假命题,则实数a的取值范围为.【解析】由题意可知,命题“∀x∈R,(a2-4)x2+(a+2)x-1<0”为真命题.①当a2-4=0时,可得a=±2.若a=-2,则有-1<0,符合题意;若a=2,则有4x-1<0,解得x<14,不符合题意;②若a2-4≠0,则 2-4<0,=( +2)2+4( 2-4)<0,解得-2<a<65.综上所述,实数a的取值范围是 -2≤ <答案: -2≤ <10.(10分)(2024·石家庄模拟)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1-m≤x≤3m-2,m>1},是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的?(1)是否存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由;【解析】(1)若存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件,则A=B.故1- =-33 -2=4,无解,故不存在实数m,使得x∈A是x∈B成立的充要条件.(2)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若问题中的m不存在,请说明理由.【解析】(2)因为m>1,故3m-2>1>1-m,故B≠⌀.选①:充分不必要条件.由题意A⫋B,故-3≥1-4≤3 -2,解得 ≥4 ≥2,故m≥4,即m的取值范围为[4,+∞);选②:必要不充分条件.由题意B⫋A,故-3≤1-4≥3 -2,解得 ≤4 ≤2,故m≤2,又m>1,故m的取值范围为(1,2].11.(10分)(2024·徐州模拟)已知命题p:∃x∈R,ax2+2x-1=0为假命题.设实数a的取值集合为A,设集合B={x|3m<x<m+2},若,求实数m的取值范围.在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件;②“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件;③B∩∁R A=∅这三个条件中任选一个,补充到本题的横线处,并按照你的选择求解问题.【解析】由已知命题为假,则¬p:∀x∈R,ax2+2x-1≠0为真,若a=0,∀x∈R,2x-1≠0显然不成立;若a≠0,只需Δ=4+4a<0⇒a<-1;所以A={a|a<-1},选①:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则B⫋A,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞);选②:“x∈B”是“x∈∁R A”的充分条件,则B⊆∁R A,而∁R A={a|a≥-1},若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且3m≥-1⇒m≥-13,此时-13≤m<1;所以m∈[-13,+∞);选③:由B∩∁R A=∅,若B=∅,则3m≥m+2⇒m≥1满足要求;若B≠∅,则3m<m+2⇒m<1,且m+2≤-1⇒m≤-3,此时m≤-3;所以m∈(-∞,-3]∪[1,+∞).【能力提升练】12.(5分)(多选题)“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有()A.0≤a<1B.0<a<1C.-1≤a<1D.-1<a<2【解析】选CD.若关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立,当a=0时,不等式为1>0,满足题意;a≠0时,则必有a>0且Δ=(-2a)2-4a×1<0,解得0<a<1,故a的范围为{a|0≤a<1},故“关于x的不等式ax2-2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{a|0≤a<1},结合选项知C,D满足条件.13.(5分)(2024·杭州模拟)已知集合A={x|y=ln(2x2-x-6)},B={x|9x+m-27>0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】因为集合A={x|y=ln(2x2-x-6)}={x|2x2-x-6>0}={x|x>2或x<-32},B={x|9x+m-27>0}={x|32x+2m>33}={x|x>12(3-2m)},又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,所以12(3-2m)≥2,解得m≤-12,实数m的取值范围为{m|m≤-12}.答案:{m|m≤-12}14.(10分)已知函数f(x)= 2- +1 -1(x≥2),g(x)=a x(a>1,x≥2).(1)若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,求实数m的取值范围;【解析】(1)f(x)= 2- +1 -1=x+1 -1=x-1+1 -1+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立.所以,若∃x∈[2,+∞),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.【解析】(2)当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2.若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则 2≤3, >1,解得1<a≤3.所以a的取值范围为(1,3].。

高考数学(理)一轮复习课时训练：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)

课时规范训练A 组基础演练1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝1时，B ＝{x |－2＜x ＜1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A.A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．5．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x＜1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由x ＞1得1x ＜1；反过来，由1x＜1不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.6．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：选A.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.8．有四个关于三角函数的命题：p 1：sin x ＝sin y ⇒x ＋y ＝π或x ＝y ；p 2：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1； p 3：x ，y ∈R ，cos(x －y )＝cos x －cos y ；p 4：∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 1＋cos 2x 2＝cos x . 其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 4 解析：选D.对于命题p 1，若sin x ＝sin y ，则x ＋y ＝π＋2k π，k ∈Z 或者x ＝y ＋2k π，k ∈Z ，所以命题p 1是假命题．对于命题p 2，由同角三角函数基本关系知命题p 2是真命题．对于命题p 3，由两角差的余弦公式可知cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ，所以命题p 3是假命题．对于命题p 4，由余弦的倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1得 1＋cos 2x 2＝1＋2cos 2x －12＝cos 2x ，又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以cos 2x ＝cos x ，所以命题p 4是真命题．综上，选D.9．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________．解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a|＝|b|，则a＝－b10．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③B组能力突破1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 2．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”“a∥b”．故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则() A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C.由于q⇒p，则p是q的必要条件；而p⇒/q，如f(x)＝x3在x＝0处f′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.4．已知p ：x ＞1或x ＜－3，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A.法一：设P ＝{x |x ＞1或x ＜－3}，Q ＝{x |x ＞a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x ＞－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.5．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8＞0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2＜0得3a＜x ＜a ，由x 2＋2x －8＞0得x ＜－4或x ＞2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]6．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1.又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1。

高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 Word版含解析

课时作业命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( ) ．若＋＋≠，则＋＋<．若＋＋＝，则＋＋<．若＋＋≠，则＋＋≥．若＋＋≥，则＋＋＝解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：．命题“若△有一内角为，则△的三内角成等差数列”的逆命题( )．与原命题同为假命题．与原命题的否命题同为假命题．与原命题的逆否命题同为假命题．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△的三内角成等差数列，则△有一内角为”，它是真命题．答案：．(·安徽卷)设：<<，：>，则是成立的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：依题意可知，：<<；：>，则有即是成立的充分不必要条件．答案：．已知命题α：如果<，那么<；命题β：如果≥，那么≥；命题γ：如果≥，那么≥.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．．①③．②．②③．①②③解析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题的条件和结论先都否定再互换，故①正确，②错误，③正确，选.答案：．(·北京卷)设α，β是两个不同的平面，是直线且⊂α，“∥β”是“α∥β”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：因为两平面平行的充要条件是一个平面的两条相交直线分别平行于另外一个平面，则这两个平面平行，平面α内一条直线与平面β平行，是两平面平行的必要但不充分条件．答案：．命题“对任意∈[，)，－≤”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )．≥．>．≥．>解析：要使“对任意∈[，)，－≤”为真命题，只需≥.∴>是命。

2020年高考一轮课时训练(理)1.2.1命题与充要条件 (通用版)

第二单元常用逻辑用语第一节命题与充要条件一、选择题1．(2020年东城区期末)下列四个命题中的真命题为( )A．∃x0∈Z,1<4x<3B．∃x0∈Z,5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>02．(2020年上海模拟)“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0”互相垂直的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2020年安徽卷)a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中：(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则∠C＞∠B”的逆命题；(2)命题“若ab＝0，则a≠0且b＝0”的否命题；(3)命题“若a≠0且b≠0，则ab≠0”的逆否命题；(4)命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题其中真命题的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个D．4个5．(2020年日照模拟)设p：f(x)＝e x＋ln x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)内单调递增，q：m≥－5，则p是q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．(2020年南海一中月考)在锐角三角形ABC 中，A>B 是sin A>sin B 的__________条件．7．(2020年南昌模拟)设a ，b∈R，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的__________条件．8．(2020年济南模拟)已知命题p ：|2x －3|>1，命题q ： log 12(x 2＋x －5)<0，则綈p 是綈q 的__________条件．三、解答题9．(2020年柳州模拟改编)已知函数f(x)在()－∞，＋∞上是增函数，a 、b∈R，对命题：“若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论．10．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0()m>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．参考答案1．D 2.C3．解析：当a ＜0时，由韦达定理知x 1·x 2＝1a ＜0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，a ＜0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的充分不必要条件．答案：B4．解析：显然(1)(3)(4)为真；由于“若ab ＝0，则a≠0且b ＝0”的逆命题“若a≠0且b ＝0，则ab ＝0”为真，因此否命题也为真，故选D.答案：D5．解析：p 中f(x)单调递增，只需－m4≤0，即m≥0，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.答案：A6．解析：∵0<A，B<π2，∴A>B ⇔a>b ⇔sin A>sin B ，即A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件．答案：充要7．解析：∵a＝b ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22D ⇒/a ＝b.p 是q 成立的充分不必要条件．答案：充分不必要 8．充分不必要9．解析：先证原命题：“若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”为真． a ＋b≥0⇒a≥－b ，b≥－a ⇒f ()a ≥f ()－b ，f ()b ≥f ()－a ⇒f ()a ＋f ()b ≥f ()－b ＋f ()－a ，故其逆否命题：“若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)则a ＋b<0，”也为真．再证否命题“若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”为真． a ＋b<0⇒a<－b ，b<－a ⇒f ()a <f ()－b ， f ()b <f ()－a ⇒f ()a ＋f ()b <f ()－b ＋f ()－a ，故其逆命题：“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 则a ＋b≥0，”也为真．10．解析：依题意有：綈q ⇒綈p ，綈pD ⇒/綈q ，即：p ⇒q ，qD ⇒/p.p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2⇒p ：－2≤x≤10；设f ()x ＝x 2－2x ＋1－m 2≤0()m>0，p ⇒q ，qD ⇒/p ， ∴[]－2，10{}x|f ()x ≤0⇒①{ f ()－2<0f ()10<0⇒m 2>81，∵m>0，∴m>9；②{ f ()－2＝0f ()10<0⇒m∈∅； ③{ f ()－2<0f ()10＝0⇒m ＝9.综合①②③可知，m≥9.。

广东新高考数学理科一轮总复习课时练习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案详析)

第 2 讲命题及其关系、充足条件与必需条件1． (2013 年福建 )已知会合 A＝ {1 ，a} ， B＝ {1,2,3} ，则“ a＝3”是“ A? B”的 () A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件y＝ cos2ax－ sin2ax 的最小正周期为2． (2012 年广东珠海摸底 )“ a＝ 1”是“函数π”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件a＋ b＋ c＝ 3，则 a2＋ b2＋ c2≥ 3”的否命3． (2011 年山东 )已知 a， b， c∈R，命题“若题是 ()A．若 a＋b＋ c≠ 3，则 a2＋ b2＋ c2<3222B．若 a＋ b＋ c＝ 3，则 a ＋ b ＋ c<3C．若 a＋ b＋ c≠ 3，则 a2＋ b2＋ c2≥ 3D．若 a2＋ b2＋ c2≥ 3，则 a＋ b＋ c＝ 34．一元二次方程ax2＋ 2x＋ 1 ＝ 0(a≠ 0) 有一个正根和一个负根的充足不用要条件是()A． a<0 B ． a>0C． a<－ 1 D． a>15．关于随意实数 a， b，c，给出以下命题：①“ a＝ b”是“ ac＝ bc”的充要条件；②“ a＋ 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件；③ “a>b”是“a2>b2”的充足条件；④ “a<5”是“a<3”的必需条件．此中是真命题的个数是 ()A．1个B．2个 C．3 个 D．4个6． (2013年安徽 ) “a≤ 0”是“函数 f(x)＝|ax－ 1 x|在区间 (0，＋∞ )内单一递加”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件7．若命题“ ? x∈R, 2x2－3ax＋ 9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ____________．8．给定以下命题：①若 k＞ 0，则方程 x2＋ 2x－ k＝0 有实数根；②“若 a＞ b，则 a＋ c＞ b＋ c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的抗命题；④“若 xy＝ 0，则 x， y 中起码有一个为 0”的否命题．此中是真命题的序号是 ______________．9．已知 p： |x－4|≤ 6， q： x2－ 2x＋1－ m2≤0(m>0) ，且p 是q 的必需不充足条件，务实数 m 的取值范围．10．已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n.(1)若 S m， S m＋2， S m＋1成等差数列，证明a m， a m＋2，a m＋1成等差数列；(2)写出 (1) 的抗命题，判断它的真假，并给出证明．第 2 讲命题及其关系、充足条件与必需条件1．A2.A3.A则 x 1x 2＝ 1<0，4．C 分析：一元二次方程ax 2 ＋2x ＋ 1＝ 0(a ≠ 0) 有一个正根和一个负根， ∴ a<0，其充足不用要条件应当是会合 (－∞， 0)的真子集，只有 C 切合题意．a5． B 分析：只有②④正确．应选 B.6． C2≤ a ≤ 2 2 分析：由于“ ? x ∈R, 2x 2－ 3ax ＋ 9<0 ”为假命题，则“ ? x ∈ R,2x 27．－ 2 － 3ax ＋ 9≥0”为真命题．所以＝ 9a 2－ 4× 2× 9≤ 0，故－ 2 2≤ a ≤ 2 2.8．①②④ 分析： ①若 k ＞ 0，则＝4＋ 4k>0，是真命题．②的否命题为“若 a ≤ b ，则 a ＋ c ≤ b ＋ c ”，是真命题． ③的抗命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． ④ 的否命题为“若 xy ≠0，则 x ， y 中两个均不为 0”，是真命题．9．解：由 x 2－ 2x ＋1－ m 2≤0(m ＞ 0)，得 1－m ≤x ≤ 1＋ m ，∴ q ： A ＝ { x|x>1＋ m 或 x<1－ m ，m>0} ．由 |x － 4|≤ 6，得－ 2≤ x ≤ 10，∴ p ： B ＝ { x|x>10 或 x<－ 2} ．∵p 是 q 的必需不充足条件，m>0，∴ A B? 1－m ≤－ 2，解得 m ≥ 9.1＋m ≥ 10，∴实数 m 的取值范围是 m ≥ 9.10．证明： (1) ∵ S m ＋ 1＝ S m ＋ a m ＋ 1， S m ＋2＝ S m ＋a m ＋ 1＋ a m ＋ 2. 由已知，得 2S m ＋ 2＝S m ＋ S m ＋1，∴ 2(S m ＋ a m ＋ 1＋ a m ＋ 2)＝ S m ＋ (S m ＋ a m ＋1 )，1 1 ∴ a m ＋2 ＝－ 2a m ＋ 1，即数列 { a n } 的公比 q ＝－ 2.1 1 ∴ a m ＋1 ＝－ 2a m ， a m ＋2＝ 4a m .∴ 2a m ＋ 2＝ a m ＋ a m ＋ 1，∴ a m ， a m ＋2， a m ＋ 1 成等差数列． (2)(1) 的抗命题是：若 a m ， a m ＋ 2， a m ＋ 1 成等差数列，则 S m ， S m ＋ 2， S m ＋1 成等差数列．2设数列 { a n } 的公比为 q ，∴ a m ＋ 1＝ a m q ， a m ＋ 2＝a m q .2－q － 1＝ 0，∴ q ＝ 11即 2q或 q ＝－ .2当 q ＝1 时， a 1≠0,2S m ＋2＝ 2(m ＋ 2)a 1＝ (2m ＋ 4)a 1 ，S m ＋ S m ＋ 1＝ ma 1＋ (m ＋ 1)a 1＝ (2m ＋ 1)a 1，明显 S m ＋ S m ＋1 ≠2S m ＋ 2.同应当 q ＝－ 1时， S m ＋S m － 1≠ 2S m ＋ 2.2∴ S m ， S m ＋ 2， S m ＋ 1 不可等差数列．抗命题为假．。

高考数学一轮复习 12命题及充要条件课时作业理

第2讲命题及充要条件基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案若一个数的平方是正数，则它是负数2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜33．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．答案若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数4．(2015·郑州检测)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件．答案必要不充分5．(2014·南京、盐城模拟)“lg x＞lg y”是“x＞y”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析若lg x＞lg y，则x＞y＞0，有x＞y，所以充分性成立；反之，当x＞0，y＝0时，有x＞y，但没有lg x＞lg y，所以必要性不成立，所以“lg x＞lg y”是“x＞y”的充分不必要条件．答案充分不必要6．(2014·成都二诊)下列说法：①命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”；②命题“∃x0∈R，x20＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”；③命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题；④命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题．其中说法正确的是________(填序号)．解析 ①中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以①错误；②中否定为“∀x ∈R ，x2≤1”，所以②错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以③错误；易知④正确．答案 ④7．(2014·广东卷改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析结合正弦定理可知，a≤b ⇔2Rsin A≤2Rsin B ⇔sin A≤sin B(R 为△ABC 外接圆的半径)．答案充要8．命题“若x2＞y2，则x ＞y”的逆否命题是________．答案若x≤y ，则x2≤y29．“m<14”是“一元二次方程x2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析 x2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14. 答案充分不必要10．(2014·泰州调研)下列命题：①“a ＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“a ＞b”是“a2＞b2”的必要条件；③“a ＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④“a ＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析由a ＞b 不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a ＞b.因此，“a ＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故③为真命题．答案 ③11．函数f(x)＝x2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．解析已知函数f(x)＝x2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.答案 m ＝－212．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a ，b 都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．答案 ②③能力提升题组(建议用时：15分钟)1．(2014·天津十二区县重点中学联考)设x ，y ∈R ，则“x2＋y2≥9”是“x ＞3且y≥3”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析当x ＝－4时满足x2＋y2≥9，但不满足x ＞3，所以充分性不成立；反之，当x ＞3且y≥3时，一定有x2＋y2≥9，所以必要性成立，即“x2＋y2≥9”是“x ＞3且y≥3”的必要不充分条件．答案必要不充分2．(2014·临沂模拟)已知p ：x≥k ，q ：(x ＋1)(2－x)＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________(填序号)．①[2，＋∞)；②(2，＋∞)；③(－∞，－1]；④[－1，＋∞)．解析由q ：(x ＋1)(2－x)＜0，得x ＜－1或x ＞2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k ＞2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)．答案 ②3．已知p ：|x －a|＜4；q ：(x －2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________(填序号)．①[－1,6]；②[－2,3]；③(－∞，－1]；④[3，＋∞)．解析由|x －a|＜4得a －4＜x ＜a ＋4；由(x －2)(3－x)＞0得2＜x ＜3.依题意知q 是p 的充分不必要条件，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，由此解得－1≤a≤6.答案 ①4．设n ∈N*，一元二次方程x2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n ∈N*，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2. 答案 3或45．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x|－1＜x ＜m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x|－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)。

数学新课标高考一轮复习训练手册(理科) 第2讲《命题、充要条件》人教A版选修1-1

课时作业(二) [第2讲命题、充要条件][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知命题p ：若x ＝y ，则x ＝y ，那么下列叙述正确的是( )A ．命题p 正确，其逆命题也正确B ．命题p 正确，其逆命题不正确C ．命题p 不正确，其逆命题正确D ．命题p 不正确，其逆命题也不正确2．[2011·天津卷] 设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件能力提升5．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件的，③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．[2011·长沙一中月考] 已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <18．[2011·锦州模拟] “a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设命题p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，命题q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；②“⎩⎨⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．11．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．12．[2011·福州期末] 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的________条件．13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(填序号)．14．(10分)[2012·潍坊联考] 命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，命题q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．15．(13分)已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.难点突破16．(12分)[2011·厦门检测] 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．C [解析] 当x 、y 为负值时，命题p 不正确，而当x ＝y 时，有x ＝y ，故p 的逆命题正确．2．A [解析] 函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A.3．D [解析] 可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18是增数列，但是公比为12<1.4．A [解析] 因为两直线平行，则(a 2－a )×1＝0，解得a ＝2或a ＝－1，故选A .【能力提升】5．B [解析] 显然，充分性不成立．若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”．6．B [解析] 命题①在c ＝0时不正确，即“a ＝b ”只是“ac ＝bc ”的充分不必要条件；注意到无理数的概念与实数的加法运算，可知命题②是真命题；命题③在a 、b 是负数时不正确，∴命题③为假命题．由不等式的性质，若a <3，必有a <5，∴命题④是真命题．综上所述，命题②④是真命题．7．C [解析] 已知命题p 为真，则3a 2≤1，∴a ≤23；已知命题q 为真，则0<2a －1<1，∴12<a <1；综合以上得12<a ≤23.8．A [解析] 函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A.9．B [解析] f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫8x x ＋4max ，8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤824＝2，即m ≥2.则因为{m |m ≥⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥43，正确选项B.10．①②④ [解析] 根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0也可能x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之x ≠0，结论④正确．11．[－3,0] [解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.12．充要 [解析] AB →·AC →＝BA →·BC →⇔AB →·AC →－BA →·BC →＝0⇔AB →(BC →＋BC →)＝0⇔BC →2＝AC →2⇔|AC →＝|BC →|，于是“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的充要条件．13．② [解析] ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．在平行四边形A 1B 1C 1D 1中，A 1、B 1、C 1、D 1任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①的逆命题不真．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线没有公共点．所以②的逆命题是真命题．14．[解答] 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a <0}，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，且綈p 推不出綈q ，而∁R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a ，a <0}，所以{x |－4≤x ＜－x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎨⎧a ≤－4，a <0，即－23≤a ＜0或a ≤－4. 15．[解答] 证明：充分性：若a 2－b 2＝1，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0，因为a ，b 是实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．综上所述，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.【难点突破】16．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 94≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知B ⊇A .因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，由⎩⎨⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52. 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由⎩⎨⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13. 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。

数学一轮复习课时规范练3命题及其关系充要条件理

课时规范练3 命题及其关系、充要条件基础巩固组1.命题“若a>b，则a—1>b—1”的否命题是（）A.若a〉b，则a—1≤b-1B.若a>b,则a—1〈b—1C.若a≤b,则a-1≤b-1D。

若a〈b,则a—1〈b—12.(2020天津,2)设a∈R,则“a〉1”是“a2>a”的（)A.充分不必要条件B。

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.给定①②两个命题:①“若a=b，则a2=b2”的逆否命题；②“若x=-3，则x2+x-6=0”的否命题，则以下判断正确的是（) A.①为真命题,②为真命题B。

①为假命题，②为假命题C。

①为真命题,②为假命题D。

①为假命题，②为真命题4.设a,b是非零向量,“a·b=0”是“a⊥b”的(）A.充分不必要条件B。

必要不充分条件C.充分必要条件D。

既不充分又不必要条件5。

下列命题为真命题的是()A.命题“若x>y,则x〉｜y|"的逆命题B.命题“若x〉1，则x2〉1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0"的否命题D。

命题“若x2>0，则x〉1"的逆否命题6。

（2020安徽合肥一中模拟，理2）已知命题p:（a—2）x2+2（a—2）x-2〈0(a∈R)的解集为R，命题q：0<a〈2，则p是q的()A.既不充分又不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D。

充分不必要条件7。

(2020江苏镇江三模，3)已知α，β是某个平行四边形的两个内角,命题P：α=β；命题Q:sin α=sin β,则命题P是命题Q的条件.8.已知命题p：｜x—1｜≤2，q:x2—2x+1-a2≥0(a>0)。

若¬p是q 的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.9.已知命题p:“若a>b〉0，则lo g12a〈1+lo g12b"，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为。

2025年高考数学一轮复习课时作业-充要条件与量词【导学案】

第二节充要条件与量词1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p2.全称量词与存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的等∃3.全称量词命题和存在量词命题及其否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)点睛对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件.2.命题p与p的否定的真假性相反.教材改编结论应用易错易混1,2,53,461.(教材变式)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.2.(教材变式)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形,得到对角线AC⊥BD,所以充分性成立,若四边形ABCD中对角线AC⊥BD,四边形不一定是菱形,必要性不成立.3.(结论1)使-2<x<2成立的一个充分条件是()A.x<2B.0<x<2C.-2≤x≤2D.x>0【解析】选B.记A={x|-2<x<2},使-2<x<2成立的一个充分条件对应的集合为B,则B⊆A,据此逐项判断,可知B正确.4.(结论2)命题“存在x∈R,使x2+ax-4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤0”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.依题意,知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.5.(教材提升)(多选题)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2-x+1>0B.∃x∈R,sin x=2C.存在一个无理数,它的平方是有理数D.平面内,到A,B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上【解析】选ACD.∀x∈R,x2-x+1=x-122+34>0,A是真命题;∀x∈R,-1≤sin x≤1,B是假命题;2是无理数,它的平方是有理数,C是真命题;D是真命题.6.(忽视省略的量词)设命题p:正方形都是平行四边形,则p为.【解析】因为p为全称量词命题,所以p应为存在量词命题,且对结论否定.故p为“有的正方形不是平行四边形”.答案:有的正方形不是平行四边形充分、必要条件的判断[典例1](1)(2022·岳阳模拟)“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.因为x2-2022x+2021=(x-1)(x-2021)=0,x=1或x=2021,所以“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的既不充分也不必要条件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.(3)(2023·重庆模拟)已知p: -1 +2≤0,q:-2≤x≤1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.关于p: -1 +2≤0,所以( -1)( +2)≤0,+2≠0,解得-2<x≤1,q:-2≤x≤1,那么p是q的充分不必要条件.(4)(2022·珠海模拟)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必无然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的.(选“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空)【解析】由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件,故“小故”指的是逻辑中的必要条件.答案:必要条件——自主完善,老师指导判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.提醒定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.1.在△ABC中,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形,若△ABC为直角三角形,推不出∠B=90°,所以AB2+BC2=AC2不一定成立,综上,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.2.(2023·宁波模拟)设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x ∈C”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.3.(2023·盐城模拟)在等比数列{a n}中,公比为q,已知a1=1,则0<q<1是数列{a n}单调递减的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由题意得,等比数列{a n}的首项为a1,公比为q,所以a n=a1q n-1=q n-1,由指数函数的单调性得,若0<q<1,则a n=q n-1单调递减,若a n=q n-1单调递减,则0<q<1,综上,a1=1,则0<q<1是数列{a n}单调递减的充要条件.【加练备选】已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,①若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sinβ;②若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,n∈Z,sinα=sin(2nπ+β)=sinβ.由①②知,充分性成立.(2)必要性:若sinα=sinβ成立,则角α与角β的终边重合或角α与角β的终边关于y轴对称,即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立.充分、必要条件的探究与应用[典例2](1)“方程ax2+2x-1=0至少有一个正实数根”的充要条件是.【解析】当a=0时,方程为2x-1=0,解得x=12,满足题意.当a>0时,因为Δ=4+4a>0,所以方程恒有两个解,且x1x2=-1 <0,两根一正一负,满足题意.当a<0时,若Δ=4+4a≥0,则a≥-1,即-1≤a<0,此时x1x2=-1 >0,x1+x2=-2 >0,两根均为正数,满足题意.综上所述,a≥-1.答案:a∈[-1,+∞)(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是.【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1- ≤1+ ,1- ≥-2,1+ ≤10,所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].答案:[0,3][变式1]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”,则m的取值范围是.【解析】由例题得,若x∈P是x∈S的必要条件,则0≤m≤3,当m=0时,S={1},不充分;当m=3时,S={x|-2≤x≤4}也不充分,故m的取值范围为[0,3].答案:[0,3][变式2]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变,则m的取值范围是.【解析】由已知可得P={x|-2≤x≤10},因为非P是非S的必要不充分条件,所以S 是P 的必要不充分条件,所以x ∈P ⇒x ∈S 且x ∈S x ∈P.所以[-2,10]⫋[1-m ,1+m ].所以1- ≤-2,1+ >10或1- <-2,1+ ≥10.所以m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)——自主完善,老师指导1.充分、必要条件的探求类型含义探求p 成立的充分不必要条件探求的条件⇒p ;p 探求的条件探求p 成立的必要不充分条件探求的条件p ;p ⇒探求的条件探求p 成立的充要条件探求的条件⇒p ;p ⇒探求的条件2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.1.已知a ,b ∈R ,则“ab ≠0”的一个必要不充分条件是()A .a +b ≠0B .a 2+b 2≠0C .a 3+b 3≠0D .1 +1≠0【解析】选B .对于A,令a =1,b =-1,推不出a +b ≠0,故A 错误;对于B,由“ab ≠0”得:a ≠0且b ≠0,故a 2+b 2≠0,反之,若a 2+b 2≠0,推不出ab ≠0,比如a =1,b =0,故a 2+b 2≠0是ab ≠0的必要不充分条件,故B 正确;对于C,令a =1,b =-1,推不出a 3+b 3≠0,故C 错误;对于D,令a=1,b=-1,推不出1 +1 ≠0,故D错误.2.若关于x的不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是.【解析】|x-1|<a⇒1-a<x<1+a,因为不等式|x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,所以(0,4)⊆(1-a,1+a),所以1- ≤0,1+ ≥4,解得a≥3.答案:[3,+∞)【加练备选】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1]【解析】选B.由q:(x+1)(2-x)<0,可知q:x<-1或x>2.因为p是q的充分不必要条件,所以x≥k⇒x<-1或x>2,即[k,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.角A,B是△ABC的两个内角.下列四个条件下,“A>B”的充要条件是()A.sin A>sin BB.cos A>cos BC.tan A>tan BD.cos2A>cos2B【解析】选A.当A>B时,根据“大边对大角”可知,a>b,由于 sin = sin 所以sin A>sin B,反之也成立,则选项A是“A>B”的充要条件;由于0<B<A<π,余弦函数y=cos x在区间(0,π)内单调递减,所以cos A<cos B,则选项B不是“A>B”的充要条件;当A>B时,若A为钝角,B为锐角,则tan A<0<tan B,则选项C不是“A>B”的充要条件;当cos2A>cos2B,即1-sin2A>1-sin2B,所以sin2A<sin2B,即sin A<sin B,所以选项D不是“A>B”的充要条件.全称量词命题与存在量词命题角度1含有量词的命题的否定[典例3](1)(2023·益阳模拟)命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c≥0B.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0C.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0D.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c<0【解析】选B.命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定为∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0.(2)(2022·潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z 的方程x n+y n=z n没有正整数解.”经历三百多年,1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为()A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程x n+y n=z n都没有正整数解B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解【解析】选D.命题为全称量词命题,则命题的否定为:存在正整数n>2,关于x,y,z 的方程x n+y n=z n至少存在一组正整数解.角度2命题的真假判断及应用[典例4]金榜原创·易错对对碰(1)①若命题“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,则a的取值范围是.②若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】①“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,当a=0时,则有-1<0;当a ≠0时,则有a <0且Δ=(-a )2-4×a ×(-1)=a 2+4a <0,解得-4<a <0,综上所述,实数a 的取值范围是(-4,0].答案:(-4,0]②命题“∃x ∈R ,使得3x 2+2ax +1<0”是假命题,即“∀x ∈R ,3x 2+2ax +1≥0”是真命题,故Δ=4a 2-12≤0,解得-3≤a ≤3.即实数a 的取值范围为[-3,3].答案:[-3,3](2)已知f (x )=ln(x 2+1),g (x-m ,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是.【解析】当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m ,由f (x )min ≥g (x )min ,得0≥1-m ,所以m ≥14.答案,+∞——自主完善,老师指导1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法全称量词命题(1)要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定的集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;(2)要判断一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个特殊值x =x 0,使p (x 0)不成立即可存在量词命题要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定的集合M 中,找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题2.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;(2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.提醒对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.3.根据命题真假求参数的取值范围(1)巧用三个转化①全称量词命题可转化为恒成立问题;②存在量词命题可转化为存在性问题;③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定是真命题.(2)准确计算通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.(3)注意“正难则反”思想的应用.1.(2023·太原模拟)命题“∀x,2,e,π,ln x>1”的否定是()A.∀x,2,e,π,ln x≤1B.∀x,2,e,π,ln x≥1C.∃x,2,e,π,ln x>1D.∃x2,e,π,ln x≤1【解析】选D.因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“∀x∈2,e,π,ln x>1”的否定是“∃x,2,e,π,ln x≤1”.2.(2023·鹤岗模拟)使命题“∀x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a≤4B.a≤2C.a≤3D.a≤1【解析】选A.命题“∀x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题等价于“∀x∈[1,2],3x2≥a”为真命题,则a≤3,则必要不充分条件为包含a≤3的集合.。

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第二单元常用逻辑用语第一节命题与充要条件
一、选择题
1．(2010年东城区期末)下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0
2．(2009年上海模拟)“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0”互相垂直的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．(2008年安徽卷)a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中：
(1)命题“在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C ＞∠B ”的逆命题； (2)命题“若ab ＝0，则a ≠0且b ＝0”的否命题； (3)命题“若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0”的逆否命题； (4)命题“平行四边形的两条对角线互相平分”的逆命题其中真命题的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．(2009年日照模拟)设p ：f (x )＝e x ＋ln x ＋2x 2＋mx ＋1在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件二、填空题
6．(2009年南海一中月考)在锐角三角形ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的__________条件．
7．(2008年南昌模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：⎝⎛⎭
⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2
2，则p 是q 成立的__________
条件．
8．(2009年济南模拟)已知命题p ：|2x －3|>1，命题q ： log 1
2(x 2＋x －5)<0，则綈p 是綈q 的__________条件．三、解答题
9．(2009年柳州模拟改编)已知函数f (x )在()－∞，＋∞上是增函数，a 、b ∈R ，对命题：“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论．
10．已知p ：⎪⎪⎪⎪
1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0()m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数
m 的取值范围．。