6杨永利无序分类资料的统计推断4.4

1．建立检验假设，确定检验水准
H0 ：该山区人群与这个地区人群的血型分布是一致的
H1 ：该山区人群与这个地区人群的血型分布不一致
α=0.05
2．求出H0为真时各组的理论频数
3．计算χ2统计量及自由度 ν=4-1=3
表8
Χ2界值表（部分）
第二节 四格表资料的χ2检验
[ 典型案例 ]
例1 在某山区小学随机抽取男生80人，其 中肺吸虫感染23人；随机抽取女生85人， 其中肺吸虫感染13人。问该山区小学男生
表5
类型 一般胃溃疡 老年胃溃疡 合计
两种类型胃溃疡病内科疗法治疗结果
治愈 63 31 94 未愈 17 68 85 合计 80 99 179 治愈率（%） 78.8 31.3 52.5
H0: π 1＝π 2 H1: π 1≠π 2 α ＝0.05
n＝179，最小理论值为：T12=(80×85)/179=37.99， 大于 5，故不需校正。
ν =（行数-1） （列数-1）
图2 x2分布的临界值示意图
二、四格表资料的χ2检验的基本步骤
H0: π1＝π2 H1: π1≠π2 α＝0.05 n=165＞40，最小理论值为T11=(80×36)/165=17.45＞5 ( A T )2 2 T

(23 17 .45) 2 (57 62 .55) 2 (13 18 .55) 2 (72 66 .45) 2 17 .45 62 .55 18 .55 66 .45 4.38
4、无效假设下频数的重新分配-理论频数：
TRC n R nC n
式中 TRC 表示 R 行（row）C 列（column）的理论频数，nR 为相应 行的合计，nC 为相应列的合计，n 为总例数。
表1 性别 男生 女生 合计
某山区小学男生和女生的肺吸虫感染率 未感染人数 57（62.55） 72（66.45） 129 合计 80 85 165 感染率（%） 28.75 15.29 21.82
根据专用公式求χ2值
(ad bc) 2 n 2 (a b)( c d )( a c)(b d ) (23 72 57 13) 165 80 85 36 129 4.37 结果与基本公式相同
2
[ 电脑实验 ]
例1 数 据 录 入
SPSS运算过程 此步骤的目的是 对频数进行加权
感染人数 23（17.45） 13（18.55） 36
23 57 13 72
a c
b d
2 检验的基本思想： 5、 如果两个率不同只是抽样误差 所致，那未实际频数与理论频数之差就不会很大，即
( A T )2 T
2
（式中 A 代表实际频数；T 代表理论频数）
2 的值不会太大。如实际频数与理论频数相差过大，即
SPSS运算过程
SPSS结果输出
性 别 * 感 染 状 况 Crosstabulation Count 感 染 状况 1 性别 Total 1 2 23 13 36 2 57 72 129 Total 80 85 165
Chi-Square Tests Value 4.374b 3.621 4.411 4.348 165 df 1 1 1 1 Asymp. Sig. (2-sided) .036 .057 .036 .037 Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided)
7.81 12.59
6
9 12 ¿ ·Ö ¨½ µ
15
18
二、拟和优度检验

概念：根据样本的频率分布检验其 总体分布是否等于某给定的理论分
布或检验一个因素多项分类的实际
观察数与某理论频数是否有差别。

步骤：
建立假设，确定检验水准
计算检验统计量 确定p值
P≤α
作推断结论
P>α
拒绝H0，接受H1
不拒绝H0
(ad bc) 2 n 2 (a b)(c d )( a c)(b d ) (63 68 17 31) 2 179 39.93 80 99 94 85
υ＝1，查附表10,χ2界值表得：P＜0.05。
按α＝0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为
当 b + c ≤40 时，应作连续性校正，公式为

2

( b c 1) 2 bc
式中 b 与 c 分别代表两种方法处理结果不同部分的实际 频数。
例 3 某研究者用甲、 乙两种试剂检验 132 份血清， 结果见表 6，问（1）两种检验结果有无差别（2）两 种试剂有无联系。
表 6 两种试剂检测结果 甲试剂 + － 合计 乙试剂 + 80(a) 31(c) 111 － 10(b) 11(d) 21 合计 90 42 132
Pearson Chi-Square Continuity Correction a Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Linear-by-Linear Association N of Valid Cases
.040
.028
a. Computed only for a 2x2 table b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 17.45.

一、χ2分布（chi-square distribution）
χ2分布是一种连续型随机变量的概率分布
如果Z服从标准正态分布，那么Z2服从自由 度为1的χ2分布 设有k个相互独立的标准正态分布随机变量 Z1，Z2，……Zν ，Z12+Z22 + ……+ Zν 2服 从自由度为ν的χ2分布
0.5 0.4 0.3
＝2.75
υ ＝1，查附表 10,χ 2 界值表得: P＞0.05。按α ＝0.05 水准不拒绝 H0，可认为两疗法治愈率的差异无统计学意义。
练习题
某医院用内科疗法治疗一般胃溃疡患 者80例，治愈63例，治愈率为78.8%； 治疗65岁以上胃溃疡患者99例，治愈31 例，治愈率为31.3%。试将上述资料整 理成四格表，并比较内科疗法对2组胃溃 疡病人的治愈率有无不同？
公式
实际频数
2
理论频数
2
(A T) (T 5) T
校正公式
2
( A T 0.5) T
2
(T 5)
根据某地区的血型普查结果可知，该地区 人群中血型为O 的占30%，血型为A 的占 25%，血型为B 的占35％，血型为AB 的 占10%。研究者在邻近该地区的一个山区 人群中进行一个血型的流行病调查，在该 山区人群中随机抽样调查了200 人，检测 这些对象的血型，问该山区人群与这个地 区人群的血型分布是否一致？
[ 统计报告 ]
表3 性别 男生 女生 合计 某山区小学男生和女生的肺吸虫感染率 未感染人数 57 72 129 合计 80 85 165 感染率（%） 28.75 15.29 21.82 感染人数 23 13 36
χ 2=4.374，P=0.036。说明男女生 感染率不同，男性高于女性。
2 检验的校正： 三、四格表
例如，两个医生分别检查n个病人，检验的结果如下：
原始数据 Id A B 1 + + 2 + …… j - + …… n 配对四格表 B + -
A
+
-
a
c
b
d
问题：两个医生的检验结果一致吗？
2 检验 （二）配对四格表资料的
b+c>40 时，直接计算

2
2
(b c) 2 bc
ν =1
无序分类资料的统计分析
【教学内容】
第一节 χ2 分布和拟合优度检验
第二节 四格表资料的χ2检验
第三节 行×列表资料的χ2检验
【教学目的和要求】

①了解四格表的概念及四格表中4个基本数据的 含义；了解配对四格表的概念以及配对四格表 与一般四格表在设计上的不同。 ②熟悉χ2检验的基本思想。 ③掌握四格表资料χ2检验的基本公式及各公式的 适用条件；配对四格表检验的基本公式及各公 式的适用条件；掌握四格表的确切概率法的适 用条件。
T ( ad bc n / 2) 2 n
(a b)(c d )( a c)(b d )

（3）T<1或n<40或A=0时，需改用四格表 资料的确切概率法。
(a b)!(c d )!(a c)!(b d )! p a!b!c!d!n!
例2 某医师用甲、乙两疗法治疗小儿单纯 性消化不良，结果如表4。试比较两种疗法结 果有无差别？
f ( ) 2( / 2) 2
2
1
2

( / 21)
e
2 / 2
Ý ß ×·
×Ó ¶ £ 1 Ô É È ½
0.2 0.1 0.0 0 3
3.84
×Ó ¶ £ 2 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 3 Ô É È ½ ×Ó ¶ £ 6 Ô É È ½
P＝0.05的临界值
a c
b d
[ 案例分析 ]

资料类型：四格表资料（定性资料） 设计类型：两样本率的比较，目的是推 断两样本所来自的总体率是否相等，即
π1= π2 。

分析方法：两样本率比较χ2检验
一、χ2检验的基本思想
1、 实际频数（actual frequency） 。 2、 两个样本率不相同的原因有两种可能： 一种是抽样误差所致；另一种是总体率确 有所不同。 3、 通过假设检验对两种原因进行判断： 为 了判别这两种情况，先作出“无效假设” ， 即假设这两个率相同，差别仅是抽样误差 所致。