2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)4.1 二次函数的图像作业Word版含答案
高中数学北师大版必修一2.4.1【同步练习】《二次函数的图像》
《2.4.1二次函数的图像》同步练习1.函数y ＝x2＋(a ＋2)x ＋3(a ≤x ≤b )的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝ 2.设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________3.将二次函数y ＝－2x 2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________4.二次函数y ＝x 2＋ax ＋b ，若a ＋b ＝0，则它的图象必经过点1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点(a ，c )在 ( )A .B .C .D . 2.如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( )A .4个单位，再向上平移1个单位 B .4个单位，再向下平移1个单位 C .4个单位，再向上平移1个单位 D .4个单位，再向下平移1个单位1.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，求该二次函数的解析式。
答案与解析1.【解析】对称轴x＝－＝1，∴a＝－4.又a、b关于x＝1对称，∴＝1，b＝6【答案】62.【解析】∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2【答案】x2＋4x＋23.【解析】因为二次函数y＝－2x2的顶点为(0,0)，所以要将其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y＝－2(x＋3)2＋2【答案】y＝－2(x＋3)2＋24.【解析】∵a＋b＝0，∴当x＝1时，y＝1＋a＋b＝1，∴过点(1,1)【答案】(1,1)1.【解析】由图像可知，开口向上则a>0,与y轴的交点在y轴负半轴上则c<0，因此点（a，c）在第四象限。
【答案】D2.【解析】要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位。
高中数学 2.4.1二次函数的图像 北师大版必修1
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y=(x+2)2-1;
(2) y=-(x-2)2+2 ;
(3) y=a(x+h)2+k .
问题２ (1)y= x2和y=a x2(a 0)的图像 之间有什么关系？
(2)y=ax2和y=a(x+h2+) k(a0)的 图像之间有什么关系？
(3)y=a2x和y=a2x+bx+c(a0)的 图像之间有什么关系？
例题分析
下列二次函数图像开口，按从小 到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1)
(1)f(x)14=x2 ; (2)f(x12)x=2
(3)f(x)=13-x2 ; (4) f(x)=x2-3
实践探究
在同一坐标系中, 画出下列函数的图像：
(1) y=2x2 ; (2) y=2(x+1)2 ; (3) y=2(x+1)2-3 .
实践探究
在同一坐标系下,
画出下列函数的图像
(1)y=x2 ;
(2)y=2x2 ;
1 (3)y=2
x2
.
新知讲解
１.二次函数y=ax2(a0)的图像 可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到
２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0开口向下
3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a+4的图像经过怎样的平移变换 可以得到y=3x2的图像.
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位， 再向下平移３个单位所得图像对应的函数 解析式为
新知讲解
二次函数y=a(x+h)2+k (a0),
a决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小；
高中数学 第二章 函数 2.4.1 二次函数的图像学业分层测评 北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2. 已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
北师大版2017高中数学(必修一)第2章 4.1二次函数的图像PPT课件
4a＋3≠0 由题意可得 2 4a －a－1＝2
，
3 a≠－4 即 a＝－3或a＝1 4
∴a＝1.
即 a 的值为 1 时，函数为二次函数．
命题方向2 ⇨二次函数的平移变换
如何由函数 y ＝ 2x2 的图像变换为函数 y ＝ 2x2 ＋4x －6 的图像？ 导学号 00814343
解得 m＝6 或 m＝3 且 m≠3，∴m＝6， ∴当 m＝6 时，函数 y＝(m－3)xm2－9m＋20 是二次函数．
『规律总结』 不要忽略条件m－3≠0.
〔跟踪练习 1〕 导学号 00814342 已知函数 y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1 是一个二次函数， 求满足条件的 a 的值．
3．二次函数解析式的表示法 一般式 (1)_______ ，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式 (2)_______ ，形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 两根式 (3)_______ ，形如y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
1．下列函数中，其图像开口最小的是 导学号 00814337 ( D ) A．f(x)＝3x
下 3 2 右 ) 平 移 _______ 个 单 位 ， 再 向 _______( 上 、 下 ) 平 移 ______ 个单位得
到. 导学号 00814340
1 2 5 1 [解析] ∵y＝ x ＋3x＋ ＝ (x＋3)2－2， 2 2 2 1 2 1 2 5 ∴将 y＝ x 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位即可得到 y＝ x ＋3x＋ 2 2 2 的图像．
a＋b＋c＝－1， 2 [解析] 设 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)，依题意得9a＋3b＋c＝3， 4a－2b＋c＝8， 解得 a＝1，b＝－2，c＝0.故解析式为 f(x)＝x2－2x.
北师大版高中数学必修一课件第二章441二次函数的图像
【方法总结】 二次函数有三种常见形式，求解析式时，要 根据具体情况，设出适当形式．(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2) 顶 点 式 ： y ＝ a(x － h)2 ＋ k(a≠0) ． (3) 两 根 式 ： y ＝ a(x － x1)(x － x2)(a≠0)．
已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y ＝－12x2＋2x＋3 的形状相同，开口方向相反，与直线 y＝x－2 的 交点坐标为(1，n)和(m，1)．求这个二次函数的解析式．
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根据下列条件，求二次函数的解析式： (1)图像经过点(0，2)，(1，1)，(3，5)； (2)图像经过(－3，2)，顶点是(－2，3)； (3)二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)最大值为 8.
【解】 (1)设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵二次函数经过三点(0，2)，(1，1)，(3，5)，
2．图像变换 (1)把 y＝ax2(a≠0)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)移动|h|个单 位长度，得到 y＝a(x＋h)2 的图像． (2)把 y＝ax2(a≠0)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)移动|k|个单 位长度，得到__y_＝__a_x_2_＋__k __的图像．
1．研究二次函数的图像一般应考虑哪些方面？ 答：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像是一条抛物线．研 究图像时一般考虑开口方向，对称轴，顶点．可先将解析式转化 为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式．
解：∵y＝ax2＋bx＋c 的图像与 y＝－12x2＋2x＋3 的形状相同， 开口方向相反，
∴a＝12，则 y＝12x2＋bx＋c， 又(1，n)，(m，1)两点均在 y＝x－2 上， ∴n1＝ ＝1m－－22，，解得mn＝＝－3，1， 即点(1，－1)和(3，1)均在所求抛物线上，
高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像练习北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像A 级 基础巩固1．若函数y ＝(3－t )xt 2－3t ＋2＋tx ＋1是关于x 的二次函数，则t 的值为导学号 00814352( B )A ．3B ．0C ．0或3D ．1或2[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－3t ＋2＝23－t ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝0或3t ≠3所以t ＝0，故选B ．2．抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是导学号 00814353( D ) A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3)D ．(－1，－3)[解析] 因为y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3， 所以抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．3．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是导学号 00814354( A )A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1D ．y ＝－x 2－4x ＋1[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.4．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为导学号 00814355( A )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[解析] 由图像变换可知选A ．5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为导学号 00814356( D )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6 C ．y ＝2x 2－6D ．y ＝2(x ＋2)2[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D ．6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔导学号 00814357( A )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋32的图像的顶点坐标为_(1,1)__.导学号 00814358[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是_f (x )＝－x 2＋2x ＋3__.导学号 00814359[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式.导学号 00814360[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式.导学号 00814361[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a ＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.B 级 素养提升1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于导学号 00814362( B )A ．c aB ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f (0)＝c >0，a <0， 设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a， ∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2，∴|OA |·|OB |＝－c a.故正确答案为B ．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的导学号 00814363( A )[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．3．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝_－6__，c ＝_6__.导学号 00814364[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.4．如图抛物线y ＝－x 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 的值为_0__.导学号 00814365[解析] 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＝－3x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ＋2，x 1x 2＝－m －3，x 1＝－3x 2，得3m 2＋5m ＝0，即m ＝0或m ＝－53.由图象知，对称轴x ＝m ＋1>0，即m >－1，因此m ＝－53，不合题意，故m ＝0.5．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式.导学号 00814366[解析] 由题意设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x .6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限.导学号 00814367[解析] 由抛物线开口向上知a >0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴ba>0.∴a ，b 同号．∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0.∴a ＋b b 2－4ac >0，acb<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．C 级 能力拔高已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？导学号 00814368 [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－－k 3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
北师大版必修一《2.4.1二次函数的图像》课时训练及答案
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课时提能演练(十) / 课后巩固作业(十)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2018·上饶高一检测)f(x)=x 2+ax+b 满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值为( ) (A)5 (B)-5 (C)6 (D)-62.已知函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),如果a ＞b ＞c 且a+b+c=0,则它的图像大致为( )3.二次函数y=6x 2,y=-6x 2,y=21x 6,y=-21x 6的图像共有的性质是( ) (A)开口向上 (B)对称轴是y 轴 (C)都有最高点 (D)y 随x 的增大而增大4.（易错题）已知二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,则k 的取值范围是( )(A)k ＞-74 (B)k ≥-74且k ≠0 (C)k ≥-74 (D)k ＞-74且k ≠0二、填空题（每小题4分，共8分）5.若顶点坐标为(2,-2)的二次函数f(x)的图像与g(x)=-3(x+1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f(x)的解析式为____________.6.(2018·北京高一检测）将二次函数y=-2x 2的顶点移到（-3，2）后，得到的函数的解析式为_____________. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知二次函数图像的顶点为(1,-3)，且其图像与x 轴的一个交点为(2,0)，求此函数的解析式. 8.已知二次函数y=2x 2-4x-6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像;(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积. 【挑战能力】（10分）已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.（1）求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图像与x 轴交于点A （x 1,0），B （x 2,0），且x 1、x 2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式.答案解析【解析】选C.∵f （1）=f （2）=0，∴1a b 0,42a b 0++=⎧⎨++=⎩，解得a 3,b 2,=-⎧⎨=⎩∴f(x)=x 2-3x+2, ∴f(-1)=1+3+2=6.2.【解析】选A.由a ＞b ＞c,a+b+c=0知a ＞0,c ＜0,且x=1时,y=0,故选A.3.【解题指南】解答本题可从四个二次函数的图像与y=x 2的图像的关系入手.【解析】选B.因为四个二次函数的图像分别由函数y=x 2的图像横坐标不变,纵坐标分别变为原来的6倍,-6倍,16倍,-16倍得到,因此四个函数图像的共同特征是对称轴均是y 轴，故选B. 4.【解析】选B.因为二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,所以()2k 0747k 0,≠⎧⎪⎨∆=-+⨯⨯≥⎪⎩，所以k ≥-74且k ≠0,故选B.【误区警示】解答本题时易忽视k ≠0这一条件.因为当k=0时,函数y=kx 2-7x-7不是二次函数,故解答此类题时一定要审好题.5.【解析】由题意可知f(x)=3(x-2)2-2=3x 2-12x+10. 答案：f(x)=3x 2-12x+106.【解析】∵二次函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴要将其顶点移到（-3，2），只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2. 答案：y=-2(x+3)2+2【变式训练】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是___________.【解析】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像，再向下平移2个单位长度，得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y=3x 2+5x+2. 答案：y=3x 2+5x+27.【解题指南】已知图像的两个点，如果用一般式， 似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组求解.【解析】方法一：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得a b c 3,a 3,4a 2b c 0,b 6,b c 0.1,2a⎧⎪++=-=⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪-=⎩解得所以函数的解析式为y=3x 2-6x. 方法二：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得24a 2b c 0,b1,2a 4ac b 3,4a⎧⎪++= ⎪⎪-= ⎨⎪⎪-=- ⎪⎩①②③ 由②得b=-2a ， ④ 把④代入③得c-a=-3， ⑤把④代入①得c=0，把c=0代入⑤得a=3, 把a=3代入④得b=-6.[: 所以函数的解析式为y=3x 2-6x.方法三:设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a ≠0),则顶点坐标为(-h,k). ∵顶点为(1,-3)，∴h=-1,k=-3. 即所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-3. ∵图像经过点(2,0),∴0=a(2-1)2-3,∴a=3. ∴函数的解析式为y=3(x-1)2-3, 即y=3x 2-6x.方法四:设二次函数的解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0), 其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标.∵抛物线与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0),∴x1=0,x2=2.∴所求抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-2)=ax(x-2).又∵抛物线的顶点为(1,-3)，∴-3=a×1×(1-2),∴a=3.∴函数的解析式为y=3x(x-2),即y=3x2-6x.【变式训练】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴相交于点(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式.【解析】方法一:因为二次函数图像的对称轴是x=-1,又顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为M(-1,2)或M′(-1,-2),故可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2.∵图像过点A(-3,0),∴0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+1)2+2或y=12(x+1)2-2.即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.方法二:因为二次函数图像的对称轴为x=-1,又图像过点A(-3,0),所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上,所以可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2),分别代入上式.解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+3)(x-1)或y=12(x+3)(x-1),即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.8.【解题指南】（1）已知二次函数的解析式，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像;(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y=0、x=0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积.【解析】(1)配方得y=2(x-1)2-8.∵a=2＞0,∴函数图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表:描点并画图，得函数y=2x 2-4x-6的图像, 如图所示:(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0)，与y 轴的交点坐标为C(0,-6). 所以S △ABC =12|AB|·|OC|=12×4×6=12. 【挑战能力】【解题指南】（1）只需证明Δ>0即可；（2）利用根与系数的关系求得m ，从而确定函数的解析式. 【解析】（1）与这个二次函数对应的一元二次方程是 x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0.∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=4m 2-8m+4-4m 2+8m+12=16>0， ∴方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0必有两个不相等的实数根， ∴不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点.（2）由题意可知，x 1、x 2是方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0的两个不同的实数根, ∴x 1+x 2=2(m-1),x 1·x 2=m 2-2m-3. ∵121212112x x 2,,x x 3x x 3++==即 ∴()22m 12m 2m 33-=--， ① 解得m=0或m=5，经检验m=0，m=5都是方程①的解. ∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.。
北师大版高中数学高一必修1 二次函数的图像 作业
2.4.1二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是()A．y＝x2B．y＝2x2＋2C．y＝4x2D．y＝2x2－2【解析】将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.【答案】 C2．将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为()A．y＝－12(x－1)2－1 B．y＝－12(x－1)2＋1C．y＝－12(x＋1)2＋1 D．y＝－12(x＋1)2－1【解析】将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是()【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a ＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7B ．f (x )＝4x 2－4x －7C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12， ∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5. 【答案】 －28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)， 即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.将(1,0)代入，得0＝a(1－4)2－3，解得a＝13，∴二次函数的解析式为y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73.[能力提升]1. 已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是()【解析】∵a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.【答案】 D2. 已知二次函数f(x)满足f(0)＝－8，f(4)＝f(－2)＝0.若f(x－2)＝x2－12，则x的值为()A．－9B．0C．2D．－8【解析】∵f(4)＝f(－2)＝0，∴设f(x)＝a(x－4)(x＋2)，∴f(0)＝－8a＝－8，∴a＝1，∴f(x)＝(x－4)(x＋2)＝x2－2x－8，∴f(x－2)＝(x－2)2－2(x－2)－8＝x2－6x，由x2－6x＝x2－12，－6x＝－12得x＝2.【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ， 又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3. 【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k . 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－2(3－k)3＝269，解得k＝43.∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋43，即y＝－3x2＋6x－53.。
北师大版高中数学必修一：4.1二次函数图像(共20张PPT)
a<0时,开口向下
【实践一】
1.请同学们画出函数 y x2 和 y 2x2 的图像
x … -3
y x2 … 9
y 2x2 … 18
-2 -1 0 1 2
请你能用类似的方法画出
4
y
1
x12和y
01 4
2x2的图像？.
8 22 0 2 8
3… 9…
18 …
y
2、把函数y = x2 - 2x的图像向右移动2个单位，向下移
动3个单位，所得图像对应的函数解析式 y = x2 - 6x + 5
【知识运用】
例1、1)函数y 2x2的图像通过怎样的平移可得到函数
y 2x2 4x 2 的图像？
2)如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝2x2的图像？
4、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
D、 y=3(x-3)²+2
向上平移
向右平移
y 3x2 2个单位 y 3x2 2 3个单位 y 3(x 3)2 2
y=a(x+h)² (a≠0)
沿对称轴上(下) 平移|k|个单位
y=a(x+h)²+k(a≠0)
抽象概括
二次函数 意义是什么？
(a≠0)的图像中a,h,k的几何
1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向
2.h决定了二次函数图像的左右平移 “h正左移，h负右移”
3.k决定了二次函数图像的上下平移 “k正上移，k负下移”
高中数学 同步教学第二章 4.1 二次函数的图象课下作业 北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图象(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点(a，c)在…………………………………( )第一象限第二象限第三象限第四象限【答案】2.如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1…………………………( )向左平移4个单位，再向上平移1个单位向左平移4个单位，再向下平移1个单位向右平移4个单位，再向上平移1个单位向右平移4个单位，再向下平移1个单位【解析】要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位.【答案】3.已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为…………………………………( )＝－x2＋＝x2＋1＝－x2－＝x2－1【解析】由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点(0,1)，故抛物线为y＝－x2＋1.【答案】4.二次函数y＝x2＋ax＋b，若a＋b＝0，则它的图象必经过点…………( )－1，－，－1)－1,1)【解析】∵a＋b＝0，∴当x＝1时，y＝1＋a＋b＝1，∴过点(1,1).【答案】二、填空题(每小题5分，共10分)5.函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(a≤x≤b)的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝ .【解析】 对称轴x ＝－a ＋22＝1，∴a＝－4. 又a 、b 关于x ＝1对称，∴a ＋b 2＝1，b ＝6. 【答案】 66.设点(3,1)及(1,3)为二次函数f(x)＝ax 2－2ax ＋b 的图象上的两个点，则f(x)的解析式为 .【解析】 将点(3,1)及(1,3)分别代入f(x)＝ax 2－2ax ＋b 中，有⎩⎨⎧ 9a －6a ＋b ＝1a －2a ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－12b ＝52， 【答案】 f(x)＝－12x 2＋x ＋52. 三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，求该二次函数的解析式.【解析】 将y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得解析式为y ＝(x ＋2)2＋b(x ＋2)＋c ＋3＝x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7.令x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7＝x 2－2x ＋1，比较对应项系数可得⎩⎨⎧ b ＋4＝－2，2b ＋c ＋7＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－6，c ＝6. ∴所求函数解析式为y ＝x 2－6x ＋6.8.画出函数y ＝x 2－2x －3的图象，并根据图象回答：(1)方程x 2－2x －3＝0的根是什么？(2)x 取何值时，函数值大于0？函数值小于0？【解析】 由y=x 2-2x-3，得y=(x-1)2-4.显然开口向上，顶点(1，-4)，与x 轴交[JP4]点为(3,0)(－1,0)，与y 轴交点为(0，－3)，图象如图.(1)由图象知x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或x ＝3.(2)当y ＞0时，就是图中在x 轴上方的部分，这时x ＞3或x ＜－1；当y ＜0时，即抛物线在x 轴下方的部分，这时－1＜x ＜3.9.(10分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a ＜0，方程f(x)＋2x ＝0的两根是1和3，若f(x)＋6a ＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式.【解析】 设f(x)＋2x ＝a(x －1)(x －3)，则f(x)＝a(x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a)x ＋3a.由方程f(x)＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a)x ＋9a ＝0，由△＝0，得5a 2－4a －1＝0.解得a ＝－15或a ＝1(舍)， ∴f(x)＝－15x 2－65x －35.。
数学高一(北师大)必修1试题 2.4.1二次函数的图像 (2)
2.4.1二次函数的图像一、选择题1．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为()A．y＝2x2B．y＝4x2C．y＝12x2D．y＝14x2[答案] A[解析]由图像变换可知选A.2．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的()[答案] D[解析]排除法，A图中一次函数a>0，二次函数a<0；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为()A．y＝13x2－2x＋53B．y＝13x2＋2x＋53C．y＝13x2＋2x－53D．y＝13x2－2x－53[答案] B[解析]设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝7，a＋b＋c＝4，解得⎩⎨⎧a＝13，b＝2，c＝53.所以y＝13x2＋2x＋53，故选B.4．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图像中，可以成立的是()[答案] C[解析]由b<0，排除B，D；A是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.5．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝12(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔()A．g(x)B．f(x)C．h(x)D．不确定[答案] A[解析]因二次函数y＝a(x－h)2＋k的|a|越小，则二次函数开口越开阔．6．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是()A．(1,3)B．(1,0)C．(－1,3)D．(－1,0)[答案] A[解析]由题意知x2＋2x－y＋m(1－x)＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x－y＝01－x＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝3，∴图像总过点(1,3)．二、填空题7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积是________．[答案] 8[解析] y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3) ＝－(x ＋1)2＋4，由题意得A (－3,0)，B (1,0), C (－1,4)， ∴S △ABC ＝12×4×4＝8.8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f (x )＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，将点(1,4)代入，得a ＝－1. 则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式． [解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3.又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f (0)＝c >0，a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca ，∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2， ∴|OA |·|OB |＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．二、填空题3．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________. [答案] 6[解析] 解法1：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－a ＋22＝1，∴a ＝－4.而该函数是定义在[a ，b ]上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的，则有a 到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．[解析] 解法1：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)＝－1，f (x )最大值是8，∴⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法2：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)＝－1，∴对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又∵函数有最大值为8，∴n ＝8. ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1， ∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4. ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法3：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 且a ≠0，又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，∴所求二次函数的表达式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a >0， ∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴b a>0. ∴a ，b 同号． ∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0. ∴a ＋b b 2－4ac>0，ac b <0.∴点(a ＋bb 2－4ac ，acb)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？ [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ， 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得 4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，5即y＝－3x2＋6x－3.。
高中数学(北师大)必修一优质课件：第2章 §4 4.1 二次函数的图像
4.1 二次函数的图像
填表 函数 开口方向
y (x 2)2 3 向上
对称轴
x 2
顶点坐标 (2, 3)
y 2(x 4)2 5 向下
x4
a>0时,向上
y a(x h)2 k a<0时,向下 x h
(4, 5)
(h, k)
思考：
（1）y=x2和y ax（2 a 0)的图像之间有什么 关系？
练习： 下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序
排列为_(_4_)_,(_2_)_,_(3__),_(_1_)___
(1) f (x) 1 x2 4
(2) f (x) 1 x2 2
(3) f (x) 1 x2 3
(4) f (x) 3x2
动手实践 在同一个坐标系中画出下列函数的图像
（１）y 2x2
3
2
物线，在同一直角坐标系中，哪个开口大些？
解析：g( x) 1 x2开口大些 3
5.把函数 y x2 3x 的图像向右平移２个单位，再向下
平移３个单位所得图像对应的函数解析式为_y_=__x_2_-____ . 7x+7
解析：y (x 2)2 3(x 2) 3 x2 7x 7.
1.二次函数y a(x h)2 k（a 0)中的参数a, h, k的作用.
2.y=ax2 (a 0)与y a(x h)2 k（a 0)的图像变换规律
h为正时，向左平移，h为负时，向右平移； k为正时，向上平移，k为负时，向下平移.
在科学上进步而道义上落后的人，不是前 进，而是后退。
（２）y ２(x 1)2 3 （３）y -3x2 （４）y －3(x 1)2 1
y ２(x 1)2 3
北师大版数学高一必修1课后训练 二次函数的图像
课时训练10 二次函数的图像1．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．212y x =D ．214y x = 2．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( )．A ．y ＝－x 2－4x －1B ．y ＝x 2－4x －1C ．y ＝x 2＋4x －1D ．y ＝－x 2－4x ＋13．由函数212y x =的图像得到函数21(1)+22y x =-的图像，其平移过程为( )． A ．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度B ．向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C ．向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度4．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( )．A ．215233y x x =-+ B ．215233y x x =++ C ．215233y x x =+- D ．215233y x x =-- 5．已知a ≠0，b ＜0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )．6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，有下列结论：①a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＞0；③ab ＞0；④b ＝2a .其中正确结论的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．二次函数213()+22f x x x =-的图像的顶点坐标为__________． 8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1，0)和(3,0)，则该函数的解析式是__________．9．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝__________，c ＝__________.10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点2,4ab ac b ac b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭所在的象限．参考答案1答案：A2答案：A 解析：设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.3答案：B4答案：B 解析：设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则根据题意得0,427,4,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,32,5.3a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩所以215233y x x =++，故选B. 5答案：C 解析：由b ＜0，排除B ，D ；A 中抛物线开口向下，a ＜0，而直线体现了a ＞0，从而排除A.6答案：C 解析：由图像可知f (1)＝a ＋b ＋c ＞0，故①正确．f (－1)＝a －b ＋c ＜0，故②错误．∵开口向上，∴a ＞0. 对称轴为=12b x a=--， ∴b ＝2a ＞0，故③④正确．7答案：(1,1) 解析：2221311()+(23)=(1)+12222f x x x x x x =-=-+-，所以其顶点坐标为(1,1)．8答案：f (x )＝－x 2＋2x ＋3 解析：设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.9答案：－6 6 解析：由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.10答案：解：由抛物线开口向上知a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴，∴c ＜0.又∵对称轴2b x a =-在y 轴左边， ∴02b a -<.∴0b a>. ∴a ，b 同号．∵a ＞0，∴b ＞0.又∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0. ∴204a b b ac +>-，<0ac b. ∴点2,4ab ac b ac b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭在第四象限．。
数学(北师大版)必修一教学设计：2-4-1二次函数的图像 含答案
教学设计§4二次函数性质的再研究4．1 二次函数的图像错误!教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始:1。
解决二次函数的形状问题；2。
解决其移动问题；3。
解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括,再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族,把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a,b，c,h,k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点:将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时错误!导入新课思路1。
在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征,本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习,教师引出课题．推进新课错误!错误!①请回顾二次函数的定义。
②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c（a，b,c为常数且a≠0）叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0）;顶点式：y＝a（x－h）2＋k(a≠0)；零点式：y＝a (x－x1）(x－x2）（a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点,抛物线与x轴的两个交点;“一线"是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点（除顶点),再作出此点关于抛物线对称轴的对称点,这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1。
北师大版高中数学必修一课时跟踪检测：第二章 §4 4.1 二次函数的图像
第二章§4 4．1 二次函数的图像课时跟踪检测一、选择题1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为()A．y＝x2＋2 B．y＝2x2C．y＝12x2D．y＝x2－2答案：B2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则点M(a，bc)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：抛物线开口向上知a>0，由对称轴－b2a>0，得b<0，又ƒ(0)＝c<0，∴bc>0，∴M(a，bc)在第一象限．答案：A3．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于()A．ca B．－c aC．±ca D．以上都不对解析：设ax2＋bx＋c＝0两根分别为x1，x2，则|OA|·|OB|＝－x1x2＝－ca.答案：B4．设abc>0，二次函数ƒ(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()解析：对于A ，a <0，ƒ(0)＝c <0，对称轴x ＝－b2a <0，∴b <0，此时abc <0，矛盾；对于B ，a <0，c >0，－b2a >0，∴b >0，此时abc <0，矛盾；对于C ，a >0，c <0，－b2a <0，∴b >0，此时abc <0，矛盾．故当abc >0时，其图像不可能是A 、B 、C ，故选D ．答案：D5．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定答案：A6．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图像只可能是( )解析：当a >0时，由A 、B 选项中二次函数图像可知－b2a >0，b <0；由一次函数图像知b >0，与b <0矛盾，∴A 、B 选项均不正确；当a <0时，y ＝ax 2＋bx 的图像与x 轴的交点坐标分别为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0；y ＝ax ＋b 与x 轴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，∴C 不正确，D 正确． 答案：D二、填空题7．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总经过的点是________．解析：令x ＝1，则y ＝1＋2－m ＋m ＝3与m 无关． 答案：(1，3)8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为________．解析：由题意，得y ＝－2(x ＋1)(x －3)＝－2x 2＋4x ＋6. 答案：y ＝－2x 2＋4x ＋69．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________． 解析：∵f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x )图像关于x ＝x 1＋x 22对称，又∵f (x )对称轴为x ＝－b 2a ，∴x 1＋x 22＝－b2a ，∴x 1＋x 2＝－b a ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋c ＝c . 答案：c 三、解答题10.已知函数ƒ(x )＝x |x －2|. (1)画出函数y ＝ƒ(x )的图像；(2)写出ƒ(x )的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数；(不必证明)(3)已知ƒ(x )＝14，求x 的值．解：(1)ƒ(x )＝x |x －2|＝⎩⎨⎧x 2－2x （x ≥2），－x 2＋2x （x <2）作图如下：(2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)，单调递减区间(1，2)．(3)∵ƒ(x )＝14，∴当x ≥2时，x 2－2x ＝14，∴x ＝1＋52或x ＝1－52(舍去)，当x <2时，－x 2＋2x ＝14，∴x ＝1±32，∴x 的值为1±32，1＋52.11．已知二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )且f (x )＝0的两实根平方和为10，其图像过点(0，3)．求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋2)＝f (2－x )知，该函数图像关于直线x ＝2对称，∴－b2a＝2，即b ＝－4a . ① 又∵图像过点(0，3)，∴c ＝3. ②∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－b a 2－2ca ＝10， ∴b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.12．某类产品按质量可分为10个档次，生产最低档次的产品，每件利润6元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，用同样的工时，最低档次每天生产60件，提高一个档次将少生产4件产品，问生产第几档次的产品，所获利润最大？解：设生产第x 档次的产品利润为y ，由题意得 y ＝[6＋2(x －1)][60－4(x －1)]＝(2x ＋4)(64－4x ) ＝－8x 2＋112x ＋256＝－8(x －7)2＋648， x ∈[1，10]，x ∈N ＋.当x ＝7时，y max ＝648. 故生产第7档次的产品，所获利润最大．13．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ＜0，方程f (x )＋2x ＝0的两根是1和3，若f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，则f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0，由Δ＝0，得5a2－4a－1＝0，解得a＝－15或a＝1(舍)，∴f(x)＝－15x2－65x－35.由Ruize收集整理。
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1．将函数y ＝x 2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为
( )
A ．y ＝(x ＋2)2＋1
B ．y ＝(x －2)2＋1
C ．y ＝(x －2)2－1
D ．y ＝(x ＋2)2－1
解析：由图像的平移规则可知C 正确．
答案：C
2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )
解析：选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B ，
y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b 2a
>0，矛盾；选项D ， y ＝ax ＋b 中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．
答案：C
3．函数y ＝x 2－|x |－12的图像与x 轴两个交点间的距离为
( )
A ．1
B ．6
C ．7
D ．8 解析：由y ＝x 2－|x |－12＝0得|x |＝4，∴x ＝±4，
∴两交点间的距离为8.
答案：D
4．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为 ( )
A ．1
B ．－1 C.－1－52
D.－1＋52 解析：由第一个图像与第二个图像中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已
知x 1＋x 2＝－b a
≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a ＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．
答案：B
5．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝________.
解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：1
6．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________. 解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
(－4)2－4b ＋c ＝c ，
(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.
答案：x 2＋4x ＋2
7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且
x 21＋x 22＝269
，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x － 3＋k .
由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3
， ∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269
， 即4－2(3－k )3＝269.解得k ＝43
. ∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43
个单位得到的，它的解析式为y ＝ －3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53
. 8．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m )．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图像？
解：(1)点A(1，m)在直线y＝－3x上，
∴m＝－3×1＝－3.
把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，
得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.
∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8；
(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，
∴顶点坐标为(3,1)．
∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位后得到y＝－x2＋1的图像，再把y＝－x2＋1的图像向下平移1个单位得到y＝－x2的图像．。