2016届安徽省合肥市高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题

数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}042<-∈=x x R x M ，集合{}4,0=N ，则=N M （ ）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．(0,4]D ．(0,4) 2.设i 为虚数单位，复数iiz -=3，则z 的共轭复数=z （ ） A ．-1-3i B ．1-3i C ．-1+3i D ．1+3i 3.在正项等比数列{}n a 中，100110091008=⋅a a ，则=+⋅⋅⋅++201621lg lg lg a a a （ ） A ．2015 B ．2016 C ．-2015 D ．-20164.已知双曲线12222=-b y a x 的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（ ）A ．120522=-y x B ．152022=-y x C ．1802022=-y x D ．1208022=-y x 5.直线01)1(:2=+-+y a x m ，直线01)22(:=--+y a x n ，则“a=-3”是“直线m 、n 关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图，若输入的m,n 分别为204,85,则输出的m=（ ） A ．2 B ．17 C ．34 D ．857.若等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若*∈∀N n ，都有10S S n ≤，则（ ）A ．*∈∀N n ，1+≤n n a a B ．0109>⋅a a C ．172S S > D ．019≥S8.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-02,084,0632y x y x y x 表示的平面区域为Ω，则当直线y=k(x-1)与区域Ω有公共点时，k 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞-B ．]0,(-∞C ．]0,2[-D ．),0[]2,(+∞--∞ 9.52)2)(21(x x+-的展开式中，x 项的系数是（ ） A ．58 B ．62 C ．238 D ．24210.某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（ ）A ．π81B ．π125C ．π)145741(+D ．π)145773(+11.甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定.甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球.若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（ ）A ．1615 B ．43 C ．169 D ．16712.关于x 的不等式a ax x x x x x +≤+++++2222sin )22(22的解集为),1[+∞-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．),2[+∞C ．),3[+∞D ．),4[+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知)4,(),,1(t b t a ==，若b a ∥，则t=_______. 14.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象如图所示，则f(x)函数的解析式为______.15.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1),2(,1),1(log )(2x x f x x x f ，则不等式f(x)>2的解集是______.16.已知数列{}n a 满足：3)14)(54(,211-=--=+n n a a a ，则=-+⋅⋅⋅+-+-+-11111111321n a a a a ____. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 如图，在△ABC 中，32,3==∠AC B π.（1）若θ=∠BAC ，求AB 和BC 的长（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC 的形状.18.（本小题满分12分）从某校的一次学科知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：（1）求这50名同学成绩的样本平均数x （同一组中的书库用该组区间的中点值作代表）； （2）用频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布)196,(μN ，其中μ近似为样本平均数x .①利用该正态分布，求P(Z>74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX. 附：若),(~2σμN Z ，则9544.0)22(,6828.0)(=+<<-=+<<-σμσμσμσμZ P Z P .19.（本小题满分12分）如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BC BE 31=，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置.（1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD ，求二面角C-PB-D 的余弦值. 20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，短轴长为2，过圆)0(:222b r r y x C <<=+上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E 上任意一点P 作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M ，N ，求△PMN 面积的取值范围. 21.（本小题满分12分） 已知函数x a e x x f xln 1)(++=有极值点，其中e 为自然对数的底数. （1）求a 的取值范围；（2）若]1,0(e a ∈，求证：]2,0(∈∀x ，都有aea a x f 21)(-+<. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，弧AE=弧AC ，DE 交AB 于点F.（1）求证：PB PA PO PF ⋅=⋅； （2）若720,2,4===DF PB PD ，求弦CD 的弦心距.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线)(sin 22,cos 2:为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C ，直线)(2,23:为参数t ty t x l ⎩⎨⎧=+=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的极坐标方程，直线l 的普通方程；（2）点A 在曲线C 上，点B 在直线l 上，求A 、B 两点间距离AB 的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数12)(+++=x m x x f . （1）当m=-1时，解不等式3)(≤x f ；（2）若]0,1(-∈m ，求函数12)(+++=x m x x f 的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值.合肥市2016年高三第三次教学质量检测 数学试题（理）参考答案及评分标准一、选择题1.A2.C3.D4.A5.A6.B7.D8.D9.C 10.C 11.D 12.B 二、填空题13.t=-2或t=2 14.)32sin(2)(π+=x x f 15.),3()1,(+∞--∞16.232231--+n n 三、解答题（2）∵AB+BC=6，由（1）得，23)6sin(,6)3sin(4sin 4=+∴=++θπθπθ， ∵32636),32,0(πθππθππθ=+=+∴∈或，∴26πθπθ==或. ∴△ABC 为直角三角形. 18.解：（1）样本平均数6050295502855067550156550125550104550335=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x . （2）①由（1）可知，Z~N(60,196)， 故1587.02)14601460(1)74(=+<<--=>Z P Z P .②由①知，某位同学参加学科知识比赛的成绩Z 超过74分的概率为0.1587，依题意可知，X~B(20,0.1587)，所以EX=20×0.1587=3.174.19.解：由已知得DC=PD=PB=BD=2，32=BC 。

（1）取BD 的中点O ，连接OE 、PO ， ∵OB=1，332=BE ，∴33=OE ，∴OE ⊥BD ， ∵PB=PD ，O 为BD 中点，∴PO ⊥BD ，又PO ∩OE=O ， ∴BD ⊥平面POE ，∴BD ⊥PE.（2）∵平面PBD ⊥平面BCD ，∴PO ⊥平面BCD ，如图建立空间直角坐标系，O 为坐标原点，则)0,2,3(),3,0,0(),0,1,0(-C P B ， ∴)0,3,3(),3,1,0(-=-=BC BP ，设平面PBC 的法向量),,(z y x =，则⎩⎨⎧=-=+-033,03y x z y ∴⎪⎩⎪⎨⎧==yx y z 3,33不妨令3=y ，得)1,3,3(=，又平面PBD 的法向量)0,0,1(=m ，∴13133,cos >=<n m ， 即二面角C-PB-D 的余弦值为13133. 20.解：（1）由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=,22,23,222b acc b a 得⎩⎨⎧==,1,2b a ∴椭圆14:22=+y x E . 设),(),,(2211y x B y x A ，当直线AB 的斜率不存在时，直线r x AB ±=:，即r x x ±==21，代入椭圆方程，得4122221r y y -==，145)41(22221212121-=--=-=+=⋅r r r y x y y x x ，∵0<r<1，∴当552=r 时，0=⋅OB OA ，即OA ⊥OB ， 当直线l 的斜率存在时，设n kx y l +=:，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=14,22y x n kx y 得0448)41(222=-+++n knx x k ， 则22212214144,418k n x x k kn x x +-=+-=+，∴22121221212121)()1())((n x x kn x x k n kx n kx x x y y x x OB OA ++++=+++=+=⋅2222222222241)1(454148)44)(1(k k n k n k n n k n k ++-=+++--+=，∵直线l 与圆C 相切，∴r k n =+21，即)1(222k r n +=.∴22241)1)(45(k k r OB OA ++-=⋅，∵0<r<1，∴当552=r 时，0=⋅OB OA ，即OA ⊥OB ， 综上可知，552=r . （2）由（1）知，OP ⊥OM ，OP ⊥ON ，∴OP ⊥MN 且MN 过原点O ， 当MN 的斜率存在且不为0时，设)0(:11≠=k x k y MN ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=14221y x xk y ，得21212212414,414k k y k x M M +=+=， ∴212122411422k k yx OM MN MM++=+==，同理：21212121412141112k k k k OP ++=++=， ∴)2,58[)41)(4()1(4212121221∈+++=⋅=∆k k k MN OP S PMN，当MN 与坐标轴垂直时，2=∆PMN S ，故△PMN 面积的取值范围是]2,58[.21.解：（1）x x x x exx a x a e e x e x f -=++-=')1()(， 依题意，函数)(1)(2x x ex a x e x x a x f -=-='存在正的零点，且在零点两侧附近)(x f '的值异号.令)0()(2>=x e x x g x ，则x e x a 2=有正根⇔)0()(2>=x ex x g x 的图象与直线y=a 有交点.∵xe x x x g )2()(-='，∴当)2,0(∈x 时，0)(>'x g ；当),2(+∞∈x 时，0)(<'x g ， ∴x ex x g 2)(=在)2,0(上单调递增，在),2(+∞上单调递减，故x>0时，2max4)2()(e g x g ==，又)0()(2>=x ex x g x 在),0(+∞上恒成立，∴240e a <<时，0)(2=-=x e x a x h 存在正根1x ，即)(1)(2x x ex a x e x x a x f -=-='有正零点1x ，且当0)(),,0(1>∈x h x x ，即0)(>'x f ，当0)(),2,(1<∈x h x x ，即0)(<'x f .∴1x x =是函数x a e x x f x ln 1)(++=(a>0)的极值点，故a 的取值范围是)4,0(2e. （2）由（1）可知，当]1,0(e a ∈时，函数x a ex x f x ln 1)(++=(a>0)有一个极值点1x ，即,201<<x x e x a 2=，∵]1,0(e a ∈，∴e e x x 10121≤<，由x ex x g 2)(=在]2,0(上单调递增，且e g 1)1(=得，101≤<x .∵0)(1111=-='x ex x a x f 且当),0(1x x ∈时，0)(>-='x e x x a x f ，当]2,(1x x ∈时，0)(<-='xe xx a x f ， ∴f(x)在),0(1x 上单调递增，在]2,(1x 上单调递减，∴]2,0(∈∀x ，111ln 1)()(1x a e x x f x f x ++=≤.① ∵x e x a 2=，∴12111ln 1)(11x e x e x x f x x ++=， 令])1,0((ln 1)(2∈++=x x ex e x x F x x ，则x e x x x x F ln )2()(-='， 故由10≤<x 得0ln )2()(≤-='x ex x x x F 在(0,1]上恒成立， 即x ex e x x F x x ln 1)(2++=在(0,1]上单调递减， 又0)(112111111>-=-=-x e e x e x x a x x x x 在]1,0(1∈x 时恒成立，∴101≤<<x a ， ∴aa e a a e a a F x F x f ln 1)()()(211++=<=，② 又ea 10≤<时，22ln 1ln a a a a -≤⇒-≤， ∴aa a e a a e a a e a a F 221ln 1)(-+<++=，③ 综合①②③得，当]1,0(e a ∈时，]2,0(∈∀x ，都有a ea a x f 21)(-+<. 22.解：（1）连接OE 、OC ，∵弧AE=弧AC ，∴EOC COA EOA ∠=∠=∠21， 又COA EDC ∠=∠，故COP FDP ∠=∠，∵P P ∠=∠，∴COP FDP ∆∆~，∴PD PC PO PF POPD PC PF ⋅=⋅⇒=， 由割线定理得PD PC PB PA ⋅=⋅，∴PB PA PO PF ⋅=⋅. （2）由（1）知COP FDP ∆∆~，则PO PD OC DF =， 设⊙O 的半径为r ，则524720=⇒+=r rr ， 故由PD PC PB PA ⋅=⋅得，2)4(4212=⇒+=⨯CD CD ，∴弦CD 的弦心距为621522=-.23.解：（1）由)(sin 22,cos 2:为参数ααα⎩⎨⎧+==y x C 得，4)2(22=-+y x ，即0422=-+y y x ， 根据y y x =+=θρρsin ,22得曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=. 直线)(2,23:为参数t ty t x l ⎩⎨⎧=+=的普通方程为x-y-3=0.（2）A 、B 两点间距离AB 的最小值即是圆4)2(22=-+y x 的圆心(0,2)到直线x-y-3=0的距离减去半径2，即242522320-=---，故AB 的最小值为2425-. 24.解：（1）当m=-1时，不等式31213)(≤++-⇔≤x x x f ， 若21-≤x ，则131213)(-≥⇒≤---⇔≤x x x x f ，故211-≤≤-x . 若121≤<-x ，则131213)(≤⇒≤++-⇔≤x x x x f ，故121≤<-x . 若1>x ，则131213)(≤⇒≤++-⇔≤x x x x f ，这与x>1矛盾，故∅∈x ， 综上所述，当m=-1时，不等式3)(≤x f 的解集为[-1,1].（2）若]0,1(-∈m ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->++-≤<--+-≤---=+++=mx m x m x m x x m x x m x x f ,1321,121,1312)(， 画出函数y=f(x)的图象与直线y=3（草图）， 则12)(+++=x m x x f 的图象与直线y=3围成的多边形为四边形ABCD ， 易得)3,2(),3,32(),21,9),21,21(),3,34(m E m D m m c m B m A +-----+-，∴四边形ABCD 的面积617443)1(46)52(222++-=+-+=m m m m S ， 当]0,1(-∈m 时，四边形ABCD 的面积的最大值为617.。