北师版八年级数学上册第七章 平行线的证明2 定义与命题

知2－练
解：(1)条件：两个角互为补角. 结论：这两个角相等. 假命题. (2)条件：a＝b. 结论：a＋c＝b＋c. 真命题. (3)条件：两个长方形的周长相等. 结论：这两个长方 形的面积相等. 假命题.
知2－练
3-1. 判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题， 请举出反例. (1)直角都相等. 解：真命题． (2)同角或等角的补角相等. 真命题．
如__果__两__条__线__段__分__别__是__全__等__三__角__形__对__应__ _边__上__的__高__，__那__么__这__两__条__线__段__相__等___；
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(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程 .
知3－练
解：已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC， A′D′⊥B′C′. 求证：AD＝A′D′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴AB＝A′B′(全等三角形的对应边相等)， ∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)，
定理 经过证明的真命题称为定理
核心 要点
公理不需要推理证明，定理是经过证明得到的，但并 不是所有的真命题都是定理，无论是公理还是定理都 可以作为证明的依据
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知3－讲
特别解读 公理与定理的异同：
相同点：①都是真命题；②都可以作为证 明其他命题的依据 .
不同点：公理的真实性是通过长期实践被 证实的，不需要推理证明；定理是经过证明的 真命题 .
写成“如果……那么……”的形式为如果两条直线被第
三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行 . (2)延长 BA 到点 C
延长 BA 到点 C 不是命题 .
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(3)同角的余角相等 解：同角的余角相等是命题 .
知2－练
写成“如果……那么……”的形式为如果两个角都
是同一个角的余角，那么这两个角相等 . (4)平方后等于 1 的数是 1．
事物的本质属性的区别 . (2)定义是能明确指出概念含义或特征的句子.在
表示定义的句子中常有“叫做…”“称为…”等 关键字眼；避免使用含糊不清的术语如“大 概”“一些”“差不多”等 .
例1 下列语句属于定义的是( ) A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形
知3－练
例4 如图7-2-1，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为 边BC，AB，AC的中点. 求证：DE＝DF.
知3－练
解题秘方：根据题设、结论，结合图形，经过分析 写出证明过程，每一步都要注明依据(公 理、定理、定义、等量代换等) .
证明：连接AD，如图7-2-1. ∵ D是BC的中点，∴ BD＝CD(中点的定义). 又∵ AB＝AC，AD＝AD(已知)， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
知2－练
知2－练
例3 [母题 教材P166随堂练习T2]指出下列命题的条件和 结论，并判断是真命题还是假命题. (1)互为补角的两个角相等； (2)若a＝b，则a＋c＝b＋c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形 的面积相等.
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知2－练
解题秘方：判断命题的真假，关键是在条件成立 的前提下，看结论是否成立 . 可先举 特例去验证，如果特例成立，要将特 殊形式转化成一般形式，再用推理的 方法证明结论成立；如果特例不成立， 即可知道原命题是假命题 .
定义与 命题
定义 命题
结构 分类
真命题 假命题
基本事实、公理 定理
结论
是由已知事项推断出来的事项，一般是 由“那么”引出的部分
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真命题 种类
正确的命题称为真命题 . 要证明一个知2－讲 命题是真命题，通常是由条件(已知) 出发，经过一步步推理，最后推出结 论正确
假命题
不正确的命题称为假命题 . 说明一个 命题是假命题，举一个反例即可
示例
“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是命 题，且是假命题
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1-1.下列语 句中，属于定义的是( C ) A．直线 a 和 b 垂直吗 B．延长 AB 到点 C，使BC=2 AB C．无限不循环小数是无理数 D．两直线平行，内错角相等
知1－练
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知识点 2 命题
知2－讲
定义 结构
判断一件事情的句子叫做命题 .
条件
已知的事项，一般是由“如果”引出的 部分
知1－练
知1－练
解题秘方：定义是对术语和名称的含义加以描述， 而不是对其性质的判断 .
解：因为定义是 对名称和术语的含义 加以描述，作出明 确的规定，而选项 A、 B、 C 中的语句是对一件事作出 了判断，没有进行描 述 或 规定，所以都 不是定义，只 有选 项 D 中的 语 句符合要求，故选 D. 答案：D
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∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′(已知)， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°(垂直的定义)， 在△ABD和△A′B′D′中， ∵∠ADB＝∠A′D′B′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)， ∴AD＝A′D′(全等三角形的对应边相等)．
知3－练
定义与命题
第七章 平行线的证明
7.2 定义与命题
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
定义 命题 公理、证明和定理
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
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知识点 1 定义
知1－讲
定 义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就 是给出它们的定义 . 例如：三角形的定义：由不在同一直 线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
平方后等于 1 的数是 1 是命题 .
写成“平方等于 1，那么这个数为 1．
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2-1.下列语句是命题的是( D ) A．画线段 CD B．内错角相等吗 C．用量角器画∠ AOC=90° D．两直线平行，同位角相等
知2－练
2-2. 下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)若∠A＝∠B，∠B＝∠C， 则∠A＝∠C. 解：条件为∠A＝∠B，∠B＝∠C， 结论为∠A＝∠C. (2)三边分别相等的两个三角形全等. 条件为两个三角形的三条边分别相等， 结论为这两个三角形全等．
知3－练
∵ E，F分别为边AB，AC的中点，
∴ BE＝12AB，CF＝12AC(中点的性质). ∴ BE＝CF(等量代换). 又∵ BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(SAS). ∴ DE＝DF(全等三角形的对应边相等).
知3－练
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知3－练
4-1.证明命题：全等三角形的对应边上的高相等． (1)写成“如果……那么……”的形式：
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知2－练
解题秘方：命题是表示判断的语句，命题都是由 条件和结论两部分组成的．如果命题 的条件和结论不明显，改写时，应适 当加一些修饰成分(补充原来省略的部 分或调换语序)以使语言通畅，但命题 原意要保持不变．
感悟新知
(1)同位角相等，两直线平行 解：同位角相等，两直线平行是命题 .
知2－练
知2－练
(3)如果a＋b＝0， 那么a＝0，b＝0. 解：假命题，例如：a＝2，b＝－2.(反例不唯一)
(4)两直线平行，内错角相等. 真命题．
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知识点 3 公理、证明和定理
公理 公认的真命题称为公理
知3－讲
演绎推理的过程称为证明
证明
证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可 以是学过的定义、公理（基本事实）等；为了方便， 在证明过程中可以用“∵”代替“因为”，“∴”代 替“所以”，分别读作“因为”“所以”
反例
具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 例子称为反例
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特别提醒
知2－讲
◆命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引
出的部分 是结论 .
◆有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适
当变形，改写成“如果……那么……”的形式 .
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知2－练
例2 [母题 教材P167习题T2]判断下列语句是不是命题， 若是，写成 “如果……那么……”的形式． (1)同位角相等，两直线平行；(2)延长 BA 到点 C； (3)同角的余角相等；(4)平方后等于 1 的数是 1．
核 心 要 点
(1)定义要科学、准确、严密；(2)定义是今后证明的重要 依据，它既可作为性质应用，也可作为判定方法应用 . 比
如依据“垂直”的定义可以得出两条直线相交构成的角 为90°，反过来，如果两条直线相交构成的角中有 90° 角，我们就可以判定这两条直线互相垂直
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知1－讲
特别提醒 (1)在定义中，必须揭示出被定义的事物与其他