彭州一中高二年级三月份月考试题

M A BC D CB F E 彭州一中高二年级三月份月考试题班级 学号 姓名： 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．设,,l m n 均为直线，其中m n ，在平面α内，则“α⊥l ”是“n l m l ⊥⊥且”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ;③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α⊂n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别 是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM A ．垂直于AC ，但不垂直于MN B ．是AC 和MN 的公垂线C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MN 都不垂直4．三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为 1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，95．已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是A ．b =（2－1）aB ．b =（2+1）aC ．b =222a -D ．b =222a+ 6．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是A ．21 B ．23 C ．33 D ．36 7．地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球半径为R ）A ．RB ．42R π C ．3Rπ D ．2Rπ8．设*,15,(15)(16)(20)m N m m m m ∈<--- 且则等于A ．615m A - B ．1520mm A -- C ．620m A - D ．520m A -9．５位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有Ａ．10种 Ｂ．20种 Ｃ．25种 Ｄ．32种10．正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点， 将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为A 22B 1 C32 D 12C1B 1A 1CBA 11．已知球o 的半径是1,A 、B 、C 三点都在球面上,A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π,B 、C 两点的球面距离是3π,则二面角B －OA －C 的大小是 A ．4π B ．3π C ．2pD ．23p12．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450, 侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于A.21B.22C.23D.33二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13．在四面体O ABC -中，,,,c OC b OB a OA ===D 为BC 的中点， E 为AD 的中点，则OE =．（用c b a ,,表示） 14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ __________.15．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 种（具体数字）16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，将该正方体沿对角面11BB D D 切成两块再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为_______三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17． 用0，1，2，3，4这五个数字：（1）可以组成多少个无重复数字的五位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的五位奇数？（3）可以组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？18．如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.N M DCB AP19．(12分)如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 设AB =a ，BC =b ，PA =c .（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A 、B 、M 、N 点的坐标，并证明MN ⊥AB ； （2）平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a 、b 、c 无关），MN 是直线AB 和PC 的公垂线段.20．(12分) 如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2=,AF 1=，M 是线段EF 的中点． (1)求证AM //BDE 平面； (2)求二面角A DF B --的大小； (3)试在线段AC 上确定一点P,使得PF 与BC所成的角是o 60．BE D C MA F21．(12分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．(1)求证：平面⊥DAF 平面CBF ；(2）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(3)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为60？22.(14分)已知二面角PQ αβ--为60，点A 和点B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上，45ACP BCP ∠=∠=，.CA CB a == （1） 求证AB PQ ⊥；（2） 求点B 到平面α的距离；（3） 设R 是线段CA 上一点，直线BR 与平面α所成的角是45，求线段CR 的长度.月考试题答案ＡＡＢＢＣ ＣＣＣＤＡ ＣＡ 5. C ．由平行锥体底面的截面性质，知PO PM =22，∴PO OM =222-.∴ab = 222-.∴b=222- a. 11 如图,由题可知∠AOB =∠AOC =4p ,而∠BOC =3p,因为OA =OB =OC =1,所以BC =1,且分别过B C 作OA 的垂线,垂足为同一点M ,于是∠BMC 为二面角B －OA －C 的平面角,所以BM =CM =22,从而∠BMC=2p,应选C. 12【答案】A 【解析】过顶点A 作底面ABC 的垂线,再作BC,AC 的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长. 13．()c b a ++412114 27π． ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 15．960 16．新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为2a ，宽为a ）故全面积为2(422)a +17．（1）96 （2）36 （3）20 (每小问4分)18．解：(1)在Rt △DBE 中，BE=1，DE= 3 ，∴BD=DE 2－BE 2 = 2 = 12AB ，∴ 则D为AB 中点, 而AC=BC ， ∴CD ⊥AB 又∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ⊂ 平面A 1ABB 1 故 CD ⊥平面A 1ABB 1 6分 （2）解：∵A 1ABB 1为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1都是直角三角形， ∴ 111111A EB DBE AD A ABB A DE A S S S S S ∆∆∆∆---==2×2 2 －12 ×2 ×2－12 ×2 ×1－12 ×2 2 ×1= 322∴ V A 1－CDE =V C －A 1DE = 13 ×S A 1DE ×CD= 13 ×322 ×2 =1∴ 三棱锥A 1－CDE 的体积为１． 12分 19. （1）证明：以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则A （0，0，0），B （a ，0，0），M （2a ，0，0），N （2a ，2b ，2c）.AB =（a ，0，0），MN =（0，2b ，2c）. AB ·MN =0⇒AB ⊥MN. ……6分（2）P （0，0，c ），C （a ，b ，0），PC =（a ，b ，－c ），若MN 是PC 、AB 的公垂线段，则PC ·MN =0，即－22b +22c =0⇒b=c.又∵AP ⊥面ABCDCD ⊥DA∴∠PDA 是二面角P —CD —A 的平面角.⇒CD ⊥PD ，∴∠PDA =45°，即二面角P —CD —A 是45°. ……12分 20．（1）证明：思路一：记AC 与BD 的交点为N ，连结EN,可以证明EM//AN ， AMEN 为平行四边形,AM//EN ，--------------2’EN BDE ⊂平面， ∴AM //BDE 平面．------------3’(1) 思路一：由AB ADF ⊥平面,过A 作AS DF ⊥于S,连结BS,由三垂线定理得FD BS ⊥，--------------------------------------5’所以BSA ∠是二面角A DF B --的平面角， --------------------------------------6’ 在Rt ABS 中，可求得oBSA 60∠=． ----------------------------------------7’ 思路二：记AM 与NF 交于点O ，可知ANMF 为正方形，得AO NF ⊥,又可得AO BD ⊥，于是AO BDF ⊥平面,在过点O 作OS DF ⊥于S,连结AS ．由三垂线定理得DF AS ⊥，所以ASO ∠是二面角A DF B --的平面角，在Rt ASO 中可求得oASO 60∠=． 思路三：由AB ADF ⊥平面，所以DFB 在平面ADF 上的射影是ADF ，------5’ 设二面角A DF B --的大小为θ，则ADFDFBS cos S θ= ， -------------------6’ 可以求得ADF 2S 2=,DFB S 2= ，所以1cos 2θ=，θ=o60． -----------7’ (2) 设CP=t(0t 2≤≤)，作PQ AB ⊥于Q ，连结FQ.则PQ //BC ， --------------9’可以证明PQ ABF ⊥平面，所以PQ QF ⊥， ----------------10’在Rt PQF 中，oFPQ 60∠=，2PQ PF =，可得222(2t)(2t)12⋅-=-+， 解得t 1=,即点P 是AC 中点． ---------------12’ 21．【解】（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ．⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面C B F ．⊂AF 平面A D F ，∴平面⊥D A F 平面C B F ． …………………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面C B F 上的射影，因此，ABF ∠为直线AB 与平面C B F 所成的角． ………………………5分EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ．………………………7分21sin ==∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为 30． …………………8分 (Ⅲ)（解法一）过点A 作EF AM ⊥，交EF 的延长线于点M ，连DM ．根据（Ⅰ）的证明，⊥DA 平面ABEF ，则EF DM ⊥，DMA ∠∴为二面角B FE D --的平面角， 60=∠DMA ．…………………9分在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ． ………………… 10分又 四边形AMFH 为矩形， 23==∴FH MA ． 23323tan =⋅=∠⋅=∴DMA MA AD ． 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为60． …………………12分（解法二）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向 分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图） 设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 在AFH Rt ∆中，21=AH ，1=AF ,23=∴FH ．∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23,21(-, ),23,21(t DF --=∴，),23,23(t DE -=设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅DF n ,01=⋅DE n ． 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,0232321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ …………………10分取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为60212160cos n n n n ⋅⋅=∴ ，即134300212⋅+++=t ， 解得23±=t （负值舍去） 因此，当AD 的长为23时，二面角B FE D --的大小为60． …………………12分 22.（1）过B作PQBD ⊥于D,连AD 。