中考数学压轴题专项汇编专题23平行四边形的存在性2

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【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：类型一几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

中考数学与平行四边形有关的压轴题含答案解析

【点睛】
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
7．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为；
6．问题情境
在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME.
特例探究
(1)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB与ME的数量关系，位置关系；
(2)如图2，当∠ABC＝120°时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论；
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，
∴EC=ED，∵MC=MD，
∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC，
∴∠MEC=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=ME，BM⊥EM．
故答案为BM=ME，BM⊥EM．
(2)ME＝ MB．
证明如下：连接CM，如解图所示．
∵DC⊥AC，M是边AD的中点，
∴ AB•CF＝ AC•PE﹣ AB•PD．
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．
∵AD＝16，CF＝6，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．
∴DF＝5．
∴PG+PH的值为8；
迁移拓展:如图，
由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）

2020年中考数学压轴题训练平行四边形的存在性问题

2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题2020年中考数学压轴题训练平⾏四边形的存在性问题针对训练1、如图已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标2、如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x 2+2x+3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平⾏四边形，求点M 的坐标3、将抛物线c1:y=23x 3-+沿x 轴翻折，得到抛物线c2如图所⽰现将抛物线c1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ：将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D E 在平移过程中，是否存在以点A 、N 、F,M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理⽈如图，4、抛物线y=25x bx c 4-++与y 轴交于点A （0,1），过点A 的直线与抛物线交于为⼀点B （3.2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂⾜为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的⼀动点，过点P作PN⊥x轴交直线AB于点M，交抛物线于点N设OP的长度为m，连结CM、BN，当m 为何值时，四边形BCMN为平⾏四边形？5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C 开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度过点P作PD∥BC，交AB于点D，连结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中⼀点到达终点时，另⼀点也随之停⽌运动，设运动的时间为t秒（t≥0）（1）直接⽤含t的代数式分别表⽰：QB= ，PD=（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某⼀时刻为菱形，求点Q的速度6、如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4,0）、B（0,3），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴上的⼀动点，且满⾜O=2x，连结DE，以DE、DA为边作平⾏匹边形DEFA（1）如果平⾏四边形DEFA为矩形，求m的值（2）如果平⾏四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值真题演练7、（18衢州24）如图，Rt△OAB的直⾓边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6,8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12,0）（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（-10,0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正⽅向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为⼀边，O 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是菱形？并求出此时t 的值8、（19连云港26）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L1：y=x 2+bx+c 过点C （0，-3），与抛物线L2：y=213222x x --+的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L1，L2上的动点（1）求抛物线L1的函数表达式（2）若以A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR 若OQ ∥PR ，求点Q 的坐标9、（19南充25）抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （-1,0）、点B （-3,0）与y 轴交于点C ，且OB=OC （如图所⽰）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上有两点M 、N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M 、N 之间的动点，过点D 作y 轴的平⾏线交MN 于点①求DE 的最⼤值②点D 关于点E 的对称点为F ，当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？10（17泰安28）如图是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其中对称轴为x=1，与x轴的⼀个交点为A（-1,0），另⼀个交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上⼀点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上⼀点，点Q是⼀次函数y=2x+2的图象上⼀点，若四边形OAPQ 为平⾏四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由模拟训练11、（2018年长沙市中考模拟（三）第26题）如图，已知抛物线y=x2-2x+a（a<0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=2x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线M相交于点N.（1）试⽤含a的代数式分别表⽰点M与N的坐标；（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x 轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的⾯积；（3）在抛物线y=x2-2x+a上是否存在⼀点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由12、（2019年内蒙古准格尔旗中考模拟第24题）如图所⽰，已知抛物线y=-x2+bx+c与⼀直线相交于A（-1,0）、C（2,3）两点，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意⼀点，过点E 作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶4O点的四边形能否为平⾏四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由（3）若P是抛物线上位于直线AC上⽅的⼀个动点，直接写出△APC的⾯积的最⼤值及此时点P的坐标专题预测13、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形1BC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3.33）。

九年级数学平行四边形的存在性(二)(含答案)

平行四边形的存在性（二）
一、解答题(共2道，每道11分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线过B，C 两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC=S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：存在性问题
2.如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8，0)．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1=m，交二次函数图象于A，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D，点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q 返回到点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A，E，F，Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：存在性问题。

挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；
（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，
∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，
BF= = = = ，
∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，
∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS= ∠BFC=90°，
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
∴2（1+m）=3，m= ．
（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣ ）、M（﹣m，），
∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，
∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，
则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣ ），
三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.
四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
典型例题
例1．如图，抛物线：y= x2﹣x﹣ 与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）

【存在性系列】平行四边形存在性问题

【存在性系列】平⾏四边形存在性问题平⾏四边形存在性问题，主要考察⼀个四边形为平⾏四边形需要满⾜的判定条件。

这部分考察的较多的主要分为“三定⼀动”，“两定两动”类型。

今天来详细讨论下平⾏四边形的存在性问题。

理论准备知识储备：1.点在平⾯直⾓坐标系中的平移2.左右平移横变纵不变，上下平移纵变横不变坐标平移⼝诀：上加下减，左减右加3. 平⾏四边形平⾏且相等4. 平⾏四边形对⾓线互相平分【处理策略⼀】利⽤对⾓新互相平分【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题【处理策略⼆】利⽤对边平⾏且相等，构造全等【⽅法运⽤】该⽅法适⽤于“三定⼀动”、“两定两动”类型的动点问题常见类型以下主要讲解按照对⾓线讨论的处理⽅法类型⼀：三定⼀动【引例】如图，A(1,2),B(6,3),C(3,5)为坐标系中三个定点，问平⾯内是否存在点D，使得四边形ABCD为平⾏四边形.【处理⽅法】⼀般我们习惯分对⾓线进⾏讨论我们设D的坐标为(m,n)1.当AC为对⾓线时可以得到平⾏四边形D1ABC ∴ 1+3=6+m ,m=-2， 2+5=3+n, n=4∴D1的坐标为(-2,4)2.当BC为对⾓线时可以得到平⾏四边形ACD2B ∴ 1+m=6+3,m=8，2+n=3+5,n=6∴D2的坐标为(8,6)3.当AB为对⾓线时可以的到平⾏四边形ACBD3 ∴ 1+6=3+m,m=4，2+3=5+n,n=0∴D3的坐标为(4,0)类型⼆：两定两动【引例1】已知A（2，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平⾏四边形，求C、D坐标．【处理⽅法】对于两个动点的问题我们也是采取分对⾓线进⾏讨论即可设C的坐标为(m,0),D的坐标我(0,n)1.当AB为对⾓线时2+4=m+0，m=61+2=n+0，n=3∴C的坐标为(6,0)，D的坐标为(0,3)2.当AC为对⾓线时2+m=4，m=21+0=2+n，n=-1∴此时C的坐标为(2,0)，D的坐标为(0,-1)3.当AD为对⾓线时2+0=m+4，m=-21+n=0+2，n=1∴C的坐标为(-2,0)，D的坐标为(0,1)【引例2】如图，在平⾯直⾓坐标系中，有两点A(1,3),B(3,6),C为x轴上的⼀个动点。

2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题

2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C，连接 BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．【解析】解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），尚老师数学【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！【对点法求坐标】Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，∴ x＝﹣2，∴ M（-2，-3/10）；②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，∴ x＝2，∴ M（2，2）；③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，∴ x＝4，∴ M（4，-3/10）；综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10）；（3）解【转化数学思想】通过转化构造出直角三角形，问题迎刃而解，作出辅助线是解题的关键！如何作辅助线？一定要结合已知条件（∠PCB＝∠BCO）！过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．∵ BH∥OC，∴ ∠OCB＝∠HBC，又∠OCB＝∠BCP，∴ ∠PCB＝∠HBC，∴ HC＝HB，又∵ OC⊥OB，∴ HB⊥OB，故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，在Rt△HCN 中，则 m2＝3^2 +（m﹣2）2，解得 m = 13/4 ,∴ H（3,13/4），由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x + 2 , 故有 -2/3 x2+ 4/3 x + 2 = 5/12 x + 2 ,解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。

中考数学压轴题四边形存在性

中考数学压轴题四边形的存在性1、综合与研究：如图, 抛物线y =1x2 -3x - 4 与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)42与 y 轴交于点 C, 连接 BC,以 BC为一边 , 点 O为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点 , 设点 P 的坐标为〔 m， 0〕，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1〕求点 A,B,C 的坐标。

（2〕当点 P 在线段 OB上运动时，直线 l 分别交 BD，BC于点 M,N。

试试究 m为何值时，四边形 CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM的形状，并说明原由。

（3〕当点 P在线段 EB上运动时，可否存在点 Q，使△ BDQ为直角三角形，假设存在，请直接写出点 Q的坐标；假设不存在，请说明原由。

2、 (2021 年压轴题 ) 如图，抛物线经过A( 1,0), B(5,0), C (0,5)三点.(1)求抛物线的剖析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；(3) 点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上可否存在一点N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行四边形？假设存在，求点N 的坐标；假设不存在，请说明原由.yOABxC〔第 26 题图〕3、〔 2021 压轴题〕如图，三角形ABC是以 BC为底边的等腰三角形，点A、 C分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴的交点，点 B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形ABCD能构成平行四边形．〔1〕试求 b， c 的值，并写出该二次函数表达式；〔2〕动点 P 从 A 到 D，同时动点Q从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：①当P 运动到哪处时，有PQ⊥AC？②当 P 运动到哪处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？4、〔 2021? 〕如图，二次函数的图象过点A〔0，﹣ 3〕， B〔，〕，对称轴为直线x=﹣，点P是抛物线上的一动点，过点P 分别作 PM⊥x轴于点 M，PN⊥y轴于点 N，在四边形 PMON上分别截取 PC= MP， MD= OM，OE= ON， NF= NP．（1〕求此二次函数的剖析式；（2〕求证：以 C、 D、 E、 F 为极点的四边形 CDEF是平行四边形；（3〕在抛物线上可否存在这样的点 P，使四边形 CDEF为矩形？假设存在，央求出所有吻合条件的 P 点坐标；假设不存在，请说明原由．5、〔 2021? 压轴题〕如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y= x2+2x 与 x 轴订交于 O、B，极点为A，连接 OA．〔1〕求点 A 的坐标和∠ AOB 的度数；〔2〕假设将抛物线y= x2+2x 向右平移4 个单位，再向下平移 2 个单位，获取抛物线m，其顶点为点 C．连接 OC和 AC，把△ AOC沿 OA翻折获取四边形 ACOC′．试判断其形状，并说明原由；〔3〕在〔 2〕的情况下，判断点C′可否在抛物线y=x2 +2x 上，请说明原由；〔4〕假设点 P 为 x 轴上的一个动点，试试究在抛物线m上可否存在点Q，使以点O、 P、C、 Q 为极点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？假设存在，请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明原由．6、〔 2021 压轴题〕如图，抛物线与x 轴交于 A〔﹣ 1，0〕， B〔 3，0〕两点，与y轴交于点 C〔 0， 3〕．〔1〕求抛物线的剖析式；〔2〕设抛物线的极点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上可否存在点P，使得△ PDC是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由；〔3〕点 M是抛物线上一点，以B，C，D，M为极点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．7、〔 2021〕如图，抛物线(a ≠0) 与 x 轴交于点A(-1 ， 0) ， B(3， 0) ，与 y 轴交于点 C(0 ，3) ．（1〕求抛物线的剖析式及极点D 的坐标．（2〕 P 为线段 BD上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x轴于点 M，求四边形 PMAC面积的最大值中考数学压轴题四边形存在性〔 3〕点 Q是抛物线在第一象限上的一个动点，过点Q作 QN∥AC 交 x 轴于点 N．当点 Q 的坐标为 _________时，四边形 QNAC是平行四边形；当点Q的坐标为 _________时，四边形QNAC是等腰梯形．yDyC CPA B A BO M x O x8、如图， OA， OB的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且OA>OB．请解答以下问题：〔 1〕求直线AB的剖析式．〔 2〕假设 P 为 AB上一点，且，求过点P 的反比率函数的剖析式．（3〕在坐标平面可否存在点 Q，使得以 A， P， O， Q为极点的四边形是等腰梯形？假设存在，请直接写出点 Q的坐标；假设不存在，请说明原由．y y yB B BP P PA O x A O x A O x9、〔 2021 襄阳〕如图，在矩形OABC中， AO10，AB8，沿直线 CD折叠矩形 OABC的一边 BC，使点 B 落在 OA边上的点 E 处．分别以 OC，OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线经过 O， D， C三点．〔 1〕求 AD的长及抛物线的剖析式．〔 2〕一动点 P 从点 E 出发，沿 EC以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点Q从点 C 出发，沿 CO以每秒 1 个单位长的速度向点O运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当 t 为何值时，以P， Q， C 为极点的三角形与△ ADE 相似？〔 3〕点 N 在抛物线对称轴上，点 M在抛物线上，可否存在这样的点 M与点 N，使以 M，N，C， E 为极点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点M与点 N 的坐标；假设不存在，请说明原由．y yA DBDBAE EO C x O C x10、〔 2021〕如图，抛物线( a≠ 0) 的极点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于 A，B 两点〔点 A在点 B 的右侧〕，点 P 是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A 运动〔点 P 与点 A 不重合〕，过点 P作 PD∥ y 轴，交 AC于点 D．（1〕求该抛物线的函数关系式．（2〕当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．〔 3〕在〔 2〕的结论下，假设点E 在x轴上，点F在抛物线上，问可否存在以，，，APEF为极点的平行四边形？假设存在，求出点 F 的坐标；假设不存在，请说明原由．y yC CDPO B A x O B A xQ Q11、〔 2021? 襄阳〕如图，在平面直角坐标系xoy 中， AB在 x 轴上， AB=10，以 AB 为直径的⊙ O'与 y 轴正半轴交于点C，连接 BC，AC．CD是⊙ O'的切线， AD丄 CD于点 D，tan ∠CAD= ，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A， B， C 三点．〔1〕求证：∠ CAD=∠CAB；〔2〕①求抛物线的剖析式；②判断抛物线的极点 E 可否在直线CD上，并说明原由；〔3〕在抛物线上可否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．假设存在，直接写出点P 的坐标〔不写求解过程〕；假设不存在，请说明原由．212、〔 2021? 〕如图，抛物线y=x +bx+c 的极点为 D〔﹣ 1，﹣ 4〕，与 y 轴交于点C〔 0，﹣（1〕求抛物线的剖析式；（2〕连接 AC， CD，AD，试证明△ ACD 为直角三角形；〔3〕假设点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上可否存在点F，使以 A， B，E，F 为极点的的四边形为平行四边形？假设存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；假设不存在，请说明原由．13、如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线经过点Ａ(0 ， 4) ，B(1 ， 0) ，C〔 5， 0〕，抛物线对称轴 l 与x轴订交于点M．（1〕求抛物线的剖析式和对称轴；（2〕设点 P 为抛物线〔x 5〕上的一点，假设以 A、O、 M、 P 为极点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；．．．．〔 3〕连接 AC．研究：在直线AC下方的抛物线上可否存在一点N，使△ NAC的面积最大？假设存在，请你求出点N的坐标；假设不存在，请你说明原由．y5x 217x 114、〔 2021 省 9 分〕如图，抛物线44与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BC⊥x轴，垂足为点C(3 ， 0).〔1〕求直线 AB的函数关系式；〔2〕动点 P 在线段 OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 搬动，过点 P 作 PN⊥x 轴，交直线 AB于点 M，交抛物线于点 N. 设点 P 搬动的时间为t 秒，MN的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出t 的取值围；〔3〕设在〔 2〕的条件下〔不考虑点P 与点 O，点 C重合的情况〕，连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN为平行四边形？问关于所求的t 值，平行四边形 BCMN可否菱形？请说明原由 .15、如图，抛物线y =x24x 3与x轴交于两点A、B，其极点为C．(1)关于任意实数 m，点 M〔m， -2 〕可否在该抛物线上 ?请说明原由；(2)求证 : △ABC 是等腰直角三角形；(3) 点 D 在x轴上，那么在抛物线上可否存在点P，使得以B、C、 D、 P 为极点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．。

中考数学压轴题专项汇编：专题23平行四边形的存在性

2024年九年级中考数学专题复习训练平行四边形的存在性问题

1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。

中考数学压轴题专项汇编专题特殊平行四边形的存在性

专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题．例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4，所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．因为y ＝ax 2－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）．同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2，解得)(77,7721舍去=-=a a ，此时点P 的坐标为（1，7726-）②若AC 是矩形的一条对角线，如图．则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）．同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2，算得)(21,2143舍=-=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4）综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7726-）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ，所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE ＝227.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=．（ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．y xP QHE A CB DO例3 如图，二次函数212y x x c =-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线212y x x c =-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．xyBM′MAO解：存在易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．令2102x x c -+=所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝()212124x x x x +-＝48.c -点M 的纵坐标为2421.42ac b c a --=若四边形AMBM ’为正方形，则有214822c c --=⨯．解得1213,.22c c ==-又因为已知抛物线与x 轴有两个交点，所以()2214140.2b ac c ∆=-=--⨯>解得c ＜12，所以c 的值为3.2-．所以存在抛物线21322y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形．进阶训练1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ．（1）求抛物线C 2的表达式；（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C 2的表达式为2286y x x =++ （2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C 'N 'B 'M '为平行四边形．所以当∠B 'M 'C '＝90 或B 'C '＝M 'N '时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t ．2．如图，抛物线22725()326y x =--与x 轴的右交点为A ，与y 轴的交点为B ，设E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．（1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF 是否为菱形；（2）是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xyAFEBO解：（1）当点E 的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF 是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF 是正方形，则OA ⊥EF 且OA ＝EF ．此时的点E 不在抛物线上．3．如图，抛物线经过原点O 与x 轴上一点A （4，0），抛物线的顶点为E ，它的对称轴x 轴交于点D ，直线y ＝－2x －1经过抛物线上一点B （－2，m ），与抛物线的对称轴交于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q ，A ，E ， M 四点顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M 的运动时间；若不能，请说明理由．xyDFBE A O解：（1）抛物线的表达式为214y x x =-；（2）能，t 的值为45-，6，45+或132． [提示]（2）如图，点M 的运动过程中，以Q ，A ，E ，M 为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t 的值． xyQ 1DFBEA OxQ 2A E BFDOxy Q 3A E BFDOxyQ 4A E BFDO4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）两点，且与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连结B D ．（1）P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，请求出点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．xyCPDBEAO解：（1）点P 的坐标为（2，2），（2）点M 的坐标为1211213133130000.22⎛⎫⎛⎫⎫⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，[提示]（1）易求得抛物线的l 表达式为223y x x =-++．所以C （0，3），D （1，4），E （1，0），从而直线BD 的表达式为y ＝－2x ＋6．设点P 的坐标为（t ，－2t ＋6）．若PE ＝P C ．则有t 2＋（－2t ＋6－3）()()22126t t =-+-+，解得t ＝2，从而得到点P 的坐标为（2．2）．（2）可设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，223m m -++）．而以F ，M ，N ，G为顶点的四边形是正方形．所以MF ＝MG ，从而2223m m m -=-++，解得m =，或m =M 的坐标．。

中考复习小专题平行四边形存在性问题课件PPT

点A、B是定点，点Q 、P两个动点
y
Q
P
分两种情况： AB为一条边
（-1,0）A O
B（3,0） x
AB为一条对角线
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
(1)当AB为一条边时
y
P
Q
由题意可知 PQ=4，所以P点横坐标X=±4
Q
A
O
（-1,0）
P
B
x
（3,0）
(2)当AB为一条对角线时
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2
所以P点横坐标X=2
y
Q
E
AO （-1,0）
P
B （3,0）
x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
D
C
D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
(-1,0) A O
E B(3,0)
中考复习小专题
平行四边形存在性问题
牛首一中周勇琴
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的“热点”，更是难点。存在性问题类型很多，今天这节课只研究

压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例? 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．图2-1 【解析】在P 、M 、A 、B 四个点中，A 、B 是确定的，以AB 为分类标准．由y ＝－x 2+2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)，得A (－1，0)，B (3，0)．①如图2-2，当AB 是平行四边形的对角线时，PM 与AB 互相平分，因此点M 与点P 关于AB 的中点（1,0）对称，所以点M 的横坐标为2．此时M (2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB 是平行四边形的边时，PM //AB ，PM ＝AB ＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图 3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(422,22)-和C′(422,22)-．-和D′(22,22) +-，点C和C′向左平移4个单位得到点D(22,22)图3-2 图3-3 图3-4例? 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标．由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )．由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )．根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以7a =-．此时P 267(1)-，． ②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标．由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )．由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )．再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以12a =-．此时P (14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA ND=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么MD NPGQ KA=．GA KP图5-2 图5-3例? 如图6-1，将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2．33y x现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例? 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，E 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E 为AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形．如图7-4，当E 与A 重合时，△ABG 与△DCE 都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直，那么四边形EFGH 是菱形．过FH 的中点O 画FH 的垂线，EG 就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例? 如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

九年级数学提升专题2：平行四边形存在性问题探究

专题2：平行四边形存在性问题探究专题导入导例：如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为．图1说明：我们知道不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种，如图2，以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．图2 图3方法点睛方法指引：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步：寻找分类标准；第二步：画图；第三步：计算．平行四边形顶点坐标公式□ABCD的顶点坐标分别为A(x A，y A) ，B(x B,yB)，C(x C,y C)，D(x D,y D)，则x A+x C=x B+x D；y A+y C=y B+y D．证明：如图3，连接AC，BD，相交于点E．∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(x A+x C2，y A+y C2)．又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(x B+x D2，y B+y D2)．∴x A+x C=x B+x D，y A+y C=y B+y D．即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．典例精讲类型一：已知三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例1 如图4，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N．(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4分析 :(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数解析式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数解析式便可求得点N的坐标．(2)根据导例的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数解析式验证得符合条件的点P．类型二：已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例2 如图5，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．(1)求抛物线的函数解析式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图5专题过关1．如图7，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C （0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l 与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求点D的坐标；（3）已知P 点坐标为（31-，0）.点M 为x 轴上方抛物线上的点，在对称轴l 上是否存在一点N ，使得以点D ，P ，M ．N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．图72．如图8，抛物线y ＝ax2＋bx －3经过点A(2，－3)，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 在y 轴上，且∠BDO ＝∠BAC ，求点D 的坐标．(3)点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图8图103．如图9，是将抛物线y ＝－x 2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ． (1)求抛物线的函数解析式．(2)若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标．(3)点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y ＝32x ＋32的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，则这样的点P ，Q 是否存在？若存在，分别求出点P ，Q 的坐标；若不存在，说明理由．图94．已知抛物线y=x 2－2x+a(a ＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线y=12x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M( ), N( )；(2)如图10，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连接CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线y=x 2-2x+a(a ＜0）上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．5．如图11，直线AB：y＝1x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上2，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动一点，过点C作CD⊥x轴于点D，且CD的长为72点．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图11①，若点M的坐标为（0，－3），是否存在这样的P点．使以O，P，M，N为2顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图11②，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即∠ACE＝45°，求△BFC的面积．图11○1图11○2专题二答案：【导例答案】P ，A ，C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图4）．D 1(2, 7)，D 2(－4, 1)，D 3(－2, －1)．例1 (1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．(2)存在．若AC 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(2，－3)；若AN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－4，3)；若CN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P ，点P 的坐标为(2，－3)．类型二：已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形例2 (1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E(2，3)．设抛物线的函数解析式为y ＝a(x －2)2＋3．将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34．∴抛物线的函数解析式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x ．(2)设直线AC 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将(4，0)，(0，3)代入，得{4k +b =0，b =3，解得{k =−34，b =3故直线AC 的函数解析式为y ＝－34x ＋3．将直线AC 的函数解析式与抛物线的函数解析式联立，[来源:学_科_网] 得{y ＝－34x ＋3，y =－34x 2＋3x ．解得{x =1，y =94．或{x =4，y =0．∴点D 的坐标为(1，94)． (3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ．若AD 为平行四边形的对角线，则有MD ∥AN ，MD ＝AN ．由对称性得到M 1（3，94），即DM 1＝2，故AN1＝2．∴点N 1的坐标为(2，0)． Ⅱ．如图1，若AD 为平行四边形的一边，则MN ∥AD ，MN ＝AD ．图1 图2① 当点M 在x 轴上方时，如图1所示．由Ⅰ知AN 2＝2．∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图2所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3．∴点M 3的纵坐标为－94．将y M ＝－94代入抛物线的函数解析式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－√7或x M ＝2＋√7，∴x N ＝x M －3＝－√7－1或√7－1．∴N 3（−√7-1,0），N 4(√7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－√7－1，0)，N 4(√7－1，0)．专题过关答案 1．（1）设抛物线解析式为y=a （x+4）（x ﹣2）．把C （0，4）代入得4=a （0+4）（0﹣2）．∴a=﹣12． ∴抛物线解析式为：y=﹣12（x+4）（x ﹣2）=﹣12x 2﹣x+4．（2）如图3，由（1）抛物线对称轴为直线x=﹣1，∵线段BC 的中垂线与对称轴l 交于点D ，∴点D 在对称轴上．设点D 坐标为（﹣1，m ）．过点C 做CG ⊥l 于G ，连接DC ，DB ．∴DC=DB ．在Rt △DCG 和Rt △DBH 中，∵DC 2=12+（4﹣m ）2，DB 2=m 2+（2+1）2，∴12+（4﹣m ）2=m 2+（2+1）2 解得：m=1．∴点D 坐标为（﹣1，1）．（3）存在，理由如下：当点P 坐标为（13，0）时， ① 若DN 和MP 为平行四边形对边，则有DN=MP ．当x=13时，y=﹣12×（13）2-13+4=6518．∴DN=MP=6518．∴点N 坐标为（﹣1，8318）．②若MN ，DP 为平行四边形对边时，M ，P 点到ND 距离相等，则点M 横坐标为﹣73．则M 纵坐标为﹣﹣12×（−32）2-73+4=6518．由平行四边形中心对称性可知，点M 到N 的垂直距离等于点P 到点D 的垂直距离当点N 在D 点上方时，点N 纵坐标为6518－1=4718．此时点N 坐标为（﹣1，4718）．当点N 在x 轴下方时，点N 坐标为（﹣1，﹣4718）．当点P 坐标为（7，0）时，所求N 点不存在．故答案为：（﹣1，8318），（﹣1，4718），（﹣1，﹣4718）2． (1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3，∴C(0，－3) ．∴OC ＝3．又∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1．∴B(－1，0)．把点B(－1，0)和A(2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得{a −b −3=0，4a +2b −3=−3．解得{a =1，b =−2．∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3． (2)如图4，过点B 作BE ⊥x 轴，交AC 的延长线于点E ．∵∠BDO ＝∠BAC ，∠BOD ＝∠BEA ＝90°，∴Rt △BDO ∽Rt △BAE ．∴OD ∶OB ＝AE ∶BE ，∴OD ∶1＝3∶3．∴OD ＝1．∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．图4 图5(3)存在．如图5，M1(0，－3)；M2(－2，5)；M3(4，5)． 3．(1)由题意，设抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋k ，把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4，∴抛物线的函数解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3． (2)当x ＝0时，y ＝－(0－1)2＋4＝3，∴点C 的坐标是(0，3)，∴OC ＝3．∵点B 的坐标是(3，0)，∴OB ＝3． ∴OC ＝OB ，则△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°．如图6，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足为H ．∵∠NCB ＝90°，∴∠NCH ＝45°．∴NH ＝CH ． ∴HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH ．设点N 为(a ，－a 2＋2a ＋3) ．∴a ＋3＝－a 2＋2a ＋3．解得a ＝0(舍去)或a ＝1．∴点N 的坐标是(1，4) ． (3)∵四边形OAPQ 是平行四边形，∴PQ ＝OA ＝1，且PQ ∥OA ．[来设P(t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12，∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154， ∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)． 4． (1)M(1，a －1)，N(4a3，-a3)；(2)a=－94；S 四边形ADCN =18916；(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(4a 3,-a3)．设P(m,m2-2m+a)．如图7.①当以AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：{0+0=4a 3+m ，a −a =−13a +m 2−2m +a. ∴{m =52a =−158.∴P 1(52,-58)；②当以AN 为对角线时，得:{0+4a3=0+m ，a −13a =−a +m 2−2m +a.∴{m =52，a =158.(不合题意，舍去)．③当以CN 为对角线时，得:{0+4a3=0+m ，−a −13a =a +m 2−2m +a.∴{m =−12，a =−38.∴P 2(-12，78)． ∴在抛物线上存在点P 1(52，-58)和P 2(-12，78)，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形． 5．（1）A （﹣4，0），点B （0，2）；（2）设点P （x ，0）若OM 为边，则OM ∥PN ，OM ＝PN ．∵点M 的坐标为（0，－32），∴OM ⊥x 轴，OM ＝32．∴PN ⊥x 轴，PN ＝32． ∴当y ＝32时，则32＝12x+2．∴x ＝﹣1．当y ＝﹣32时，则﹣32＝12x+2． ∴x ＝﹣7．∴点P （﹣1，0），点P （﹣7，0）．若OM 为对角线，则OM 与PN 互相平分，∵点M 的坐标为（0，−32），点O 的坐标（0，0）． ∴OM 的中点坐标（0，﹣34）．∵点P （x ，0），∴点N （﹣x ，﹣32）． ∴﹣32＝12×（﹣x ）+2．∴x ＝7．∴点P （7，0）．综上所述：点P （﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）．（3）∵CD ＝72，即点C 纵坐标为72．∴72＝12x+2．∴x ＝3．∴点C （3，72）．如图8，过点C 作CG ⊥AB ，交x 轴于点G ．由CG ⊥AB ，设直线CG 解析式为y ＝﹣2x+b ．∴72＝﹣2×3+b ． ∴b ＝192．∴直线CG 解析式为：y ＝﹣2x+192∴点G 坐标为（194，0）．∵点A （﹣4，0），点B （0，2），∴OA ＝4，OB ＝2，AG ＝354． ∵tan ∠CAG ＝BOAO =CGAC ，∴CGAC =24=12． ∵∠ACF ＝45°，∠ACG ＝90°，∴∠ACF ＝∠FCG ＝45°． ∴CGAC =EGAE =12，且AE+EG ＝354．∴AE ＝356． ∴OE ＝AE ﹣AO ＝116．∴点E 坐标为（116，0）．设直线CE 解析式为：y ＝mx+n ．∴{72=3m +n ，0=11m+n 6.解得{m ＝3，n ＝﹣112． ∴直线CE 解析式为：y ＝3x ﹣112．∴当x ＝0时，y ＝﹣112．∴点F （0，﹣112）． ∴BF ＝2+112＝152．∴S △BFC ＝12×152×3＝454．。

中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案

中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2,m).(1)求抛物线的解析式；(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图，已知直线AB与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A(−1,0)和点B(2,3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C上是否存在点P，P到对称轴的距离等于到直线y＝17的距离？若存在，求出点4P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E(8,0)，抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P(m,0)是线段OE上一动点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接BC和AD．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标（用含m的代数式表示）；(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点A(−2,0)点B(8,0)，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交BC于点F，设点P的横坐标为t．①求t为何值时，四边形PFOC是平行四边形；②连接PA，当∠APF+∠ABC=90°时，求点F的坐标；x2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为5．如图，抛物线y=−34线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P,N,B,O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；6．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为__________，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m(0<m<8)，当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为(1,0)．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(−2,−3)．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？x2+3x与x轴交于O，A两点，过点A的直线y= 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−34x+3与y轴交于点C，交抛物线于点D．−34(1)直接写出点A、C、D的坐标；(2)如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求m的值．4(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，点C与点D关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD、PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．12．如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，−4)，作直线AC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．①求证：四边形OCPD是平行四边形：①连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(−2，0)，抛物线的对称轴直线x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．x2+bx+c经过点A(−4,0)，点B在y轴上，14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，连接OC．(1)求抛物线的表达式及线段AB,AC的长；(2)若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1:2两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；(3)点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)y=x2−2x−3(2)存在，满足条件的点F的坐标为(0,−3)或(1+√7,3)或(1−√7,3)2．(1)y=−x2+2x+3；(2)274M(12,154)；(3)存在(32,154)或(12,154)．3．(1)y=14x2−2x(2)点C坐标是C(m+4,4−m)(3)点P的坐标为(−2+2√5,0)或(−2+2√13,0)4．(1)y=−14x2+32x+4(2)①t=4；①F(6,1)5．(1)抛物线y=−34x2+94x+3；抛物线的对称轴为直线x=32，顶点坐标为(32,7516)(2)2 6．(1)(0,5)(2)点P到直线AC距离为25√28，此时P(−52,354)(3)点M的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)7．发现：(−2,0)，直线BC的解析式为y=12x−4；拓展：P(4,−6)；探究：当m=5时，四边形PMED为平行四边形8．(1)y=x2+2x−3y=x−1(2)t=0(3)−129．(1)A(4,0)C(0,3)D(1,94)(2)8132；(3)N1(2,0)N2(6,0)N3(−√7−1,0)10．(1)y=−84x2+32x+6(2)m=3(3)M的坐标为(2,0)或(√17−1,0)或(−√17−1,0)或(6,0)11．(1)y=−x2+2x+3；(2)存在，tan∠BDN=1或12；(3)点Q坐标为(125,5125)或(4,−5)．12．(1)y=−x2−5x−4(2)①见解析；①存在，Q(−3+√5，−3+√5)或Q(−4，0)13．(1)y =−x +4(2)当点F 的坐标为(2，4)，三角形BFC 的面积最大，最大值为4(3)(3，1)或(2+√7，2−√7)或(2−√7，2+√7)14．(1)抛物线的表达式为y =12x 2+2x AC =6√2(2)点P 坐标为(−2,2)或(0,4)(3)(6,6)或(−2,6)或(−6,−6)15．(1)A(−2，0) B(6，0) C(0，−6)(2)S △PBC 最大=272，此时P (3，−152)；(3)存在，F(4，−6)或(2+2√7，6)或(2−2√7，6)。

中考数学压轴题解题策略二：平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下D3(－2, －1)．右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形： ①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例❻如图6-1，将抛物线c1：233y x=x轴翻折，得到抛物线c2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4例❼ 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，F 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E 为AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形．如图7-4，当E 与A 重合时，△ABG 与△DCE 都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

平行四边形存在性(二)(含答案)

平行四边形存在性（二）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。

一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P（1，k）在直线BC上．已知点M在x轴上，点N在抛物线上，若以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点M有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：易求得A（-1，0），P（1，-2）．A，P为定点，M，N分别为x轴和抛物线上的动点，要使得以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，需把线段AP当作平行四边形的边或者对角线进行分类讨论．当AP为边时，如图，平移AP使得线段两端点分别在抛物线和x轴上，共有4种情况，对应的点M分别为．当AP为对角线时，如图，记AP与y轴的交点为D，易求得，D为线段AP的中点．由点M在x轴上可知，此时PN∥x轴，点和点重合，连接并延长，交x轴于点，易证点与点重合（由于点P在对称轴上，故）．综上可得，满足条件的点M有4个．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为（3，4）．E，F分别在OA，AB边上，且点F的坐标为（2，4），将矩形ABCO 沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处．若点N在x轴上，点M在直线EF上，且以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．F，G为定点，M，N为动点，FG为定线段，把FG当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，AF=2，BF=1，BC=4．由折叠可知，AF=GF=2，∠AFE=∠GFE．在Rt△BFG中，由勾股定理得，．∴∠GFB=60°，∴∠AFE=∠GFE=60°，∴直线EF的斜率为．又∵F（2，4），∴直线EF的解析式为．①如图，当FG为平行四边形的边时，易得点的纵坐标分别为．代入一次函数表达式得，．②如图，当FG为平行四边形的对角线时，过点作⊥AB于点D．易证，∴．∵，CD=4，∴，∴点的纵坐标为，代入一次函数表达式可得，．综上得，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．P为抛物线上一动点，Q为直线y=-x上一动点，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的横坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，B为定点，P，Q分别为抛物线和直线上的动点，把OB当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入上式，得，∴．①如图，当OB为边时，OB∥PQ且OB=PQ=4．设点Q的横坐标为m，则Q（m，-m），．或，由得，．由得，m=-4或m=0（舍去）．②如图，当OB为对角线时，记OB的中点为D．则D（0，-2），且点D为的中点．设点，，由中点坐标公式得，∴，即点的坐标．∵点在抛物线上，∴，∴n=4或n=0（舍去）．综上得，点Q的横坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，抛物线与直线交于A，B两点，线段MN在线段AB上移动，且MN=2，点A，M分别在点B，N的左侧．设点N的横坐标为，过点M作x轴的垂线，垂足为点P，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，若以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，则n的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．P，M，Q，N均为动点，MP∥NQ，要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程如图，分别过点M，N作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点C，则∠MCN=90°．直线与x轴负半轴的夹角为60°，故∠MNC=60°，∠NMC=30°．∵MN=2，∴CN=1．∵点N的横坐标为n，∴点M的横坐标为n-1．由题意可知，．∵MP⊥x轴，NQ⊥x轴，∴MP∥NQ，点M与点P的横坐标相等，点N与点Q的横坐标相等，∴，．要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．如图，当点M在y轴左侧时，，由得，．如图，当点M在y轴右侧时，，由得，．综上得，n的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。

2021年九年级数学中考专题复习：平行四边形的存在性

九年级数学专题平行四边形的存在性解题策略：1.平行四边形存在性问题的类型(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形的存在性问题以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有：①作平行线.如图,连接AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F，则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.②倍长中线,如图,延长AC,AB,BC边上的中线,使延长部分与对应的中线相等,得到点D,E,F,连接DE,EF,FD,则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形的存在性问题先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点,一个动点”的平行四边形存在性问题,再构造平行四边形.2.平行四边形存在性问题的解题策略解平行四边形存在性问题时,若没有指定四边形顶点顺序,则需要分类讨论.(1)几何法:先画出平行四边形,再构造三角形全等来解答.如图,已知 ABCD,过点B,C作一组平行线BE,CF,过点A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.如图,已知 ABCD,连接AC,BD,交于点O.设顶点坐标为A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),D(x D,y D).①利用平移的性质求未知点的坐标:{x B−x A=x C−x Dy B−y A=y C−y D或{x B−x C=x A−x Dy B−y C=y A−y D②利用中点坐标公式求未知点的坐标:{x A+x C2=x B+x D2y A+y C2=y B+y D2或{x A+x C=x B+x Dy A+y C=y B+y D1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x 2+bx+c 经过原点和点A(-4,0),点B 在y 轴上,且OA=OB,直线AB 与抛物线在第一象限交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在坐标平面内是否存在点N,使以A,O,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+6x+c(a ≠0)与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,直线y=x-5经过点B,C.过点A 作AM ⊥BC 于点M,过抛物线上一动点P(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线,与直线BC 交于点Q.若以A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式(2)已知E,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点,当B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,求出所有符合条件的点E 的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A(一5,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,5),有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边与抛物线交于P,Q两点,与直线AC 交于M,N两点在矩形的平移过程中,当以P,Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD与抛物线的另一交点为D,点D的横坐标为一2,P是线段AD上的动点(不与点A,D重合),过点P作x轴的垂线,与抛物线交于点Q.问:在平面内是否存在整点R(横,纵坐标都为整数),使得以P,Q,D，R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3),抛物线的顶点为P.问:直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式;(2)设直线AB与此抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,使得M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段BC下方抛物线上的一个动点,如果在x轴上存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求出点Q的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D直线AC与抛物的对称轴BD的交点为,四边形BDEF为B(√3,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为4√33平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式(2)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C.Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线L 1:y=x 2+bx+c 过点C(0,-3),与抛物线L 2:y=-12x 2-32x+2的一个交点为A,且点A 的横坐标为2,P,Q 分别是抛物线L 1,L 2上的动点.(1)求抛物线L 1的解析式;(2)若以A,C,P.Q 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P 的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-2x+a(a>0)与y 轴交于点A,顶点为M,直线y=12x-a 分别与x 轴、y 轴交于点B,C,并且与直线MA 交于点N.问:抛物线上是否存在点P,使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

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专题23 平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：①_x0001_ 作平行线：如图，连结AB ，BC ，AC ，分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ，F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．FEDCBA②倍长中线：如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ， E ，F ，连结DE ，EF ，F D ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．ABCDEF（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图，若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ，CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．ABCDF（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．如图．已知平行四边形ABC D ．连结AC ，BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A ）．B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．ODBA①_x0001_用平移的性质求未知点的坐标：,,.B A C D B C A D BA C DBC AD x x x x x x x x y y y y y y y y 祆-=--=-镲镲眄镲-=--=-镲铑或 ②利用中点坐标公式求未知点的坐标： ,22.22A C B D A C B D x x x x y y y y ì++ïï=ïïïíï++ï=ïïïî有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．例题讲解例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 经过点A （3，0），B （0，﹣3），P 是直线AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ．（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的表达式；（2）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A ，B 的坐标代入抛物线的表达式，得y ＝x 2－2x ＋3．设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，将点A ，B 的坐标代入，得y ＝x －3．（2）存在．因为PM ∥OB ，所以当PM ＝OB 时，四边形即为平行四边形．根据题意设点P 的坐标为（p ，p －3），则点M 的坐标为（p ，p 2－2p －3）．所以2(3)(23)3p p p ----=．解得p =P的横坐标为p =．例2 边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，D 是OA 边的中点，连结CD ，点E 在第一象限，且DE ⊥DC ，DE ＝DC ，以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）M 为直线上一动点，N 为抛物线上一动点，问：是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）如图1，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．易证△ODC ≌△GED （AAS ），所以112GE OD OA ===．所以点E 的坐标为（3，1）．而直线AB 为抛物线的对称轴，直线AB 的表达式为x ＝2，所以可设抛物线的表达式为y ＝a （x －2）2＋k ，将C ，E 两点的坐标代入表达式，得42,1,a k a k ì+=ïïíï+=ïî解得1,32.3a k ìïï=ïïïíïï=ïïïî所以抛物线的表达式为()221214223333y x x x =-+=-+ （2）存在．由题意可设点M 的坐标为（2，m ），N 的坐标为214,233n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：①当DE为平行四边形的边时，（i）如图2，若DE∥MN，MD∥NE，由平移的性质可得22131402133nm n n-=-⎧⎪⎨-=-+-⎪⎩解得1.4.mn=⎧⎨=⎩此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）．（ii）如图3，若DE∥MN，ME∥N D．由平移的性质可得212 3.1420 1.33nn n m-=-⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩解得3.0.mn=⎧⎨=⎩此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）．②当DE为平行四边形的对角线时，如图4．由平行四边形对角线互相平分性质可得2132.1401 2.33nm n n+=+⎧⎪⎨+=+-+⎪⎩解得1.32.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩此时点M 的坐标为12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 的坐标为22,.3⎛⎫ ⎪⎝⎭例3 如图，抛物线2y x bx c =++的顶点为D （－1，－4），与y 轴交于点C （0，－3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）将点C ，D 的坐标代入抛物线的表达式，得22 3.y x x =+-（2）存在．令212230,1, 3.x x x x +-===-解得所以点A 的坐标为（－3，0），B 的坐标为（1，0）．由点F 在抛物线上可设点F 的坐标为()2,23m m m +-．方法一：①如图1、图2，当AC 为平行四边形的边是，图1 图2 过点F 作FP 垂直于抛物线的对称轴，垂足为P ．易证△PEF ≌△OC A ．所以PF ＝AO ＝3，从而点F 的坐标为（2，5）或（－4，5）． ②如图3，当AC 为平行四边形的对角线时，过点F 作FP ⊥y 轴于点P ．令抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，易证△PCF ≌△QE A ．所以PF ＝AQ ＝2，从而点F 的坐标为（－2，－3），此时点F 与点C 纵坐标相同，所以点E 在x 轴上．图3方法二：①如图3，当AC ，EF 为平行四边形的对角线时，可得()()2302303E Ex m y m m +=-+⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，．又因为点E 在抛物线的对称轴上，所以m ＝－2，则点F 的坐标为（－2，－3）．②如图1，当AE ，CF 为平行四边形的对角线时，可得2325E Ex m y m m =⎧⎨=+-⎩+，．又因为点E 在抛物线的对称轴上，所以m ＝－4，则点F 的坐标为（－2，－3）．③如图2，当AF ，CE 为平行四边形的对角线时，可得232E Ex m y m m =-+⎧⎨=+⎩，．又因为点E 在抛物线的对称轴上，所以m ＝2．则点F 的坐标为（2，5）．综上可得，满足平行四边形的点F 的坐标为（－2，－3）（－4，5）（2，5）进阶训练1．如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝28cm ，点P 从点A 出发，沿AD 以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD 成为平行四边形？PCA BD2．如图，抛物线y ＝ax ² ＋bx ＋c 过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，抛物线的顶点位P ．（1）求抛物线的表达式；（2）直线y ＝2x ＋3上是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴．y 轴建立平面直角坐标系．若点N 在过O ．D ．C 三点的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，问是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M 点坐标;若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的点M ，其坐标为（2，16），（－6，16）或（－2，－316）． [提示]：易证△DAE ∽△EOC ，从而点D 的坐标为)5-,23-(，得到过点O ，D ，C 的抛物线的解析式为x x y 316342+=．再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，从而找到符合条件的点M ．（参考例3的方法二）4．如图，抛物线与x 轴交于点A （－5，0），B （3，0），与y 轴交于点C （0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P ，Q ．交直线AC 于点M ，N ．在矩形的平移过程中，当以点P ，Q，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．答案：点M 的坐标为（－2，3），)63,62-()6-3,6-2-(++或[提示]．由点A ，B ，C 的坐标可得抛物线的表达式为532-31-2+=x x y ，直线AC 的表达式为y ＝x ＋5，设点M 的坐标为（t ，t ＋5），则点N （t －1，t ＋4），P （t ，)31631-,1-(),532-31-22++t t Q t t ．在矩形平移的过程中，以P ，Q ，N ，M 为顶点的平行四边形有两种情况：①当P ，Q 在直线AC 同侧时，有y P －y M ＝y Q －y N ，得到点M 的坐标为（－2，3）;②当P ，Q 在直线AC 异侧时，有y P －y M ＝y N －y Q ．得到点M 的坐标为（－2－6，3－6）或（－2＋6，3＋6）．。