正比例的应用(2)
正比例与反比例关系的应用
正比例与反比例关系的应用正比例与反比例关系是数学中常见的概念，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍正比例与反比例关系的基本概念、特点以及具体的应用场景。
一、正比例关系正比例关系是指两个量之间的变化呈现出一致的比例关系，即当一个量增大（或减小）时，另一个量也相应地增大（或减小）。
在数学上，正比例关系可以用直线方程y = kx 来表示，其中k 表示比例常数。
正比例关系在实际生活中有着丰富的应用，例如：1. 面积与边长的关系：一个平面图形的面积与其边长之间通常呈现出正比例关系。
例如，一个正方形的面积等于边长的平方，一个圆的面积等于半径的平方乘以π。
2. 速度与时间的关系：当一个物体保持匀速运动时，它的位移与时间呈正比。
例如，一个行驶在直线上的车辆，它的速度是恒定的，那么它行驶的距离与所用的时间呈正比。
3. 商品价格与数量的关系：在某些情况下，商品的价格与购买的数量之间呈正比。
例如，某种商品的价格如果为10元，那么购买两个就需要20元，购买三个就需要30元。
二、反比例关系反比例关系是指两个量之间的变化呈现出相互制约的关系，即当一个量增大（或减小）时，另一个量相应地减小（或增大）。
在数学上，反比例关系可以用直线方程 y = k/x 来表示，其中 k 表示比例常数。
反比例关系在实际生活中也具有广泛的应用，例如：1. 速度与时间的关系：当一个物体在规定时间内完成固定距离的运动时，它的速度与所用的时间呈反比。
即速度越快，所用的时间越短。
2. 工人数量与工作时间的关系：在某项工作中，如果增加工人的数量，工作所需的时间会减少，反之亦然。
这是因为工人数量的增加可以提高工作的效率。
3. 水流与管道宽度的关系：水流通过一个管道时，水流的速度与管道的宽度呈反比。
如果管道变窄，水流的速度将增加，反之亦然。
综上所述，正比例与反比例关系在生活中有着广泛的应用。
了解这些关系可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，提高数学应用的能力。
正比例函数的性质
正比例函数的性质正比例函数是数学中一种重要的函数类型。
它具有明确的性质和特征，被广泛地应用于各种实际问题的建模和解决。
本文将详细介绍正比例函数的定义、图像、性质以及应用等方面，以帮助读者更好地理解和运用正比例函数。
一、定义正比例函数是指函数的变化规律与自变量的取值成比例关系的函数。
具体而言，若函数y是自变量x的正比例函数，则存在一个常数k，使得对于任意实数x，y满足以下关系式：y = kx其中，k称为正比例系数，表示y与x之间的比例关系。
正比例函数的定义域为实数集合R，值域为实数集合R。
二、图像正比例函数的图像通常表现为一条通过原点的直线。
这是因为当x取0时，y也为0，即函数通过原点(0, 0)。
而且由于函数的性质，不会出现拐点或者折线等情况。
图像的斜率表示了正比例系数k的大小，斜率越大，说明变化的速度越快。
三、性质1. 方程形式简单明确：正比例函数的方程形式为y = kx，可以轻松地表示函数的关系。
2. 通过原点：正比例函数通过原点(0, 0)，这是因为当自变量取0时，因变量也为0。
3. 一一对应关系：正比例函数在定义域内具有一一对应的关系，即任意一个自变量只对应一个因变量。
4. 和自变量同向增减：当自变量x增大时，因变量y也随之增大；自变量x减小时，因变量y也减小。
5. 斜率恒定：正比例函数的斜率为常数k，这意味着函数图像是一条直线且直线的斜率恒定。
四、应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举了三个典型的应用场景。
1. 比例关系计算：正比例函数可用于处理各类比例关系问题，例如货币兑换、单位换算等。
通过确定正比例系数，可以准确地计算出不同单位之间的换算关系。
2. 科学实验分析：在科学实验中，正比例函数可以用来描述变量之间的关系。
例如温度和体积的关系、时间和距离的关系等。
根据已知的数据，通过绘制出函数图像，可以推断未知数据的变化规律。
3. 经济增长模型：在经济学中，正比例函数被广泛应用于经济增长模型的构建和分析中。
解正比例函数的应用题
解正比例函数的应用题正比例函数是数学中一类重要的函数，其具体形式为y=kx，其中k为常数。
正比例函数具有很多应用，下面我们来讨论一些相关的应用题。
应用一：小明骑车上学小明骑自行车上学，他发现，自行车的速度与他骑行的时间成正比。
当他骑行30分钟时，发现自行车的速度为12公里/小时。
求小明骑行1小时所能达到的速度。
解：设小明骑行1小时的速度为y（单位为公里/小时），骑行的时间为x（单位为小时）。
根据题意可得出如下比例关系：12/30 = y/1解得y=24因此，小明骑行1小时所能达到的速度为24公里/小时。
应用二：工作效率问题一支队伍由10人组成，其中有5名工人。
现在要按照队员们的工作效率，确定他们每个人负责的工作量。
已知其中一名工人每天能完成8个任务，求其他工人每天应该完成的任务数。
解：设其他工人每天应该完成的任务数为y，根据题意可得出如下比例关系：8/5 = y/1解得y=1.6因此，其他工人每天应该完成的任务数为1.6个。
应用三：购买水果小明去水果市场购买水果，商家以每斤5元的价格出售苹果。
现在小明买了3斤苹果，求他应该支付的总价格。
解：设小明应该支付的总价格为y（单位为元），购买的苹果重量为x（单位为斤）。
根据题意可得出如下比例关系：5/1 = y/3解得y=15因此，小明应该支付的总价格为15元。
应用四：汽车行驶里程一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，已知汽车行驶2小时可以行驶的里程为160公里。
求汽车行驶5小时可以行驶的里程。
解：设汽车行驶5小时可以行驶的里程为y（单位为公里），行驶的时间为x（单位为小时）。
根据题意可得出如下比例关系：160/2 = y/5解得y=200因此，汽车行驶5小时可以行驶的里程为200公里。
通过以上应用题的分析，我们可以看到正比例函数的应用非常广泛，可以用来描述各种比例关系。
在实际生活中，我们可以利用正比例函数来解决很多实际问题，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
数学中的正比例与反比例
数学中的正比例与反比例数学中的比例关系在许多实际问题中具有重要意义，可以用于描述两个或多个变量之间的关系。
其中，正比例与反比例是比例关系的两种常见形式。
本文将从定义、特点和实际应用等方面介绍数学中的正比例与反比例。
一、正比例关系正比例关系指的是两个变量之间的比例关系为正比。
如果两个变量x 和 y 满足 y = kx（其中 k 为常量），那么称两个变量 x 和 y 之间存在正比例关系。
其中，k 为比例常数，表示变量 y 在 x 增加一个单位时的增量。
在正比例关系中，随着 x 的增加，y 也相应地以相同的比例增加。
可以通过绘制散点图或直线图来表示正比例关系，直线呈现出从原点开始并经过所有散点的规律。
正比例关系具有以下特点：1. 常量比例因子：正比例关系中的比例常数 k 是固定的，不随 x 或y 的变化而变化。
2. 原点经过性：正比例关系通过原点，即当 x=0 时，必有 y=0。
3. 相对增长性：随着 x 的增大，y 也相应地增大；随着 x 的减小，y 也相应地减小。
正比例关系在许多实际问题中得到广泛应用。
例如，速度与时间的关系、人口增长与时间的关系等都可以表示为正比例关系。
使用正比例关系可以方便地计算和预测变量之间的关系。
二、反比例关系反比例关系指的是两个变量之间的比例关系为反比。
如果两个变量x 和 y 满足 y = k/x（其中 k 为常量），那么称两个变量 x 和 y 之间存在反比例关系。
其中，k 为比例常数，表示变量 y 在 x 增加一个单位时的相应减少量。
在反比例关系中，一个变量的增大导致另一个变量的减小，并且它们的乘积始终保持不变。
可以通过绘制散点图或曲线图来表示反比例关系，曲线呈现出一个平移的双曲线形状。
反比例关系具有以下特点：1. 常量比例因子：反比例关系中的比例常数 k 是固定的，不随 x 或y 的变化而变化。
2. 原点非经过性：反比例关系不经过原点，即当 x=0 时，并不一定有 y=0。
正比例函数2(应用)
正比例函数2（应用）一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，是自变量，是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？40．已知y与x﹣3成正比例，当x=4时，y=3．①求这个函数解析式．②求当x=3时y的值．正比例函数2（应用）参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先利用三角形面积公式求出AH得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P（t，0），利用三角形面积公式得到•|t|•3=9，然后解关于t的绝对值方程即可．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，且△AOH的面积为6，∴•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣，∴正比例函数解析式为y=﹣x；（2）存在．设P（t，0），∵△AOP的面积为9，∴•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．2．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），∵正比例函数y=kx经过点A，∴3k=﹣2解得，∴正比例函数的解析式是；（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），∴OP=5，∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．3．已知关于x的函数y=（m+3）x|m+2|是正比例函数，求m的值．【分析】依据正比例函数的定义得到|m+2|=1且m+3≠0，求得m的值即可．【解答】解：依题意有|m+2|=1且m+3≠0，解得m=﹣1．故m的值是﹣1．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，依据正比例函数的定义列出方程组是解题的关键．4．已知某正比例函数的图象经过点A （1，3），求此正比例函数的解析式．【分析】设这个正比例函数的解析式是y=kx，再将A （1，3）代入求得k即可．【解答】解：设正比例函数的函数解析式是y=kx，∵A（1，3）在y=kx上，则k=3，∴这个函数解析式是y=3x．【点评】此题主要考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．5．定义运算“※”为：a※b=（1）计算：3※4；（2）画出函数y=2※x的图象．【分析】（1）根据新运算法则得出3※4的值；（2）分类讨论：当x≥0时和x＜0时，分别写出y与x的关系式，再画出图象．【解答】解：（1）∵4≥0，∴3※4=3×4=12；（2）当x≥0时，y与x的关系式为y=2x；当x＜0时，y与x的关系式为y=﹣2x；列表如下：x…﹣2﹣1012…y…42024…描点、连线，如图所示．【点评】本题考查了正比例函数的图象，解题的关键是：（1）读清题意，掌握新运算法则；（2）分x≥0和x＜0找出y与x的关系式．6．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．【分析】根据题意分别设出y1，y2，代入y=y1+y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式．【解答】解：根据题意设y1=k1x，y2=k2（x﹣2），即y=y1+y2=k1x+k2（x﹣2），将x=﹣1时，y=2；x=3时，y=﹣2分别代入得：，解得：k1=﹣，k2=﹣，则y=﹣x﹣（x﹣2）=﹣x+1．即y与x的函数关系式为y=﹣x+1；画出该函数的图象为【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．7．已知正比例函数图象上一个点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【分析】由点A所在的位置即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式，此题得解．【解答】解：∵点A在x轴的下侧，y轴的右侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点A的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx（k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx中，﹣4=2k，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数的表达式是解题的关键．8．已知y与x成正比例，且x=﹣2时y=4，（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在这个函数的图象上，求a．【分析】（1）根据题意可设y=kx，再把当x=﹣2时，y=4代入可得k的值，进而得到函数解析式；（2）将点的坐标代入正比例函数的解析式求得a的值即可．【解答】解：（1）∵y与x成正比例，∴设y=kx，∵当x=﹣2时，y=4，∴4=﹣2k，k=﹣2，∴y与x的函数关系式为y=﹣2x，（2）∵点（a，﹣2）在函数关系式为y=﹣2x的图象上，∴﹣2a=﹣2，∴a=1．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数的定义：y=kx（k≠0）．9．已知正比例函数y=（3k﹣1）x，若y随x的增大而增大，求k的取值范围．【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k的取值范围．【解答】解：根据y随x的增大而增大，知：3k﹣1＞0，解得k＞．故k的取值范围为k＞．【点评】考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．10．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），点B（a，﹣3），求a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx，把A坐标代入求出k的值，确定出解析式，再将B坐标代入求出a的值即可．【解答】解：设y=kx，把A（﹣2，3）代入﹣2k=3，解得：k=﹣1.5，∴y=﹣1.5x，把B（a，﹣3）代入y=﹣1.5x，解得：a=2．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．11．已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求：当x=﹣3时y的值．【分析】设y=k（x+1），将x=2，y=1代入可求得k的值，继而可得出函数解析式，再将x=﹣3代入可求出y的值．【解答】解：y=k（x+1），将x=2，y=1代入得：1=3k，解得：k=，∴函数解析式为：y=x+，当x=﹣3时，y=﹣3×+=﹣．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用．12．已知两个正比例函数y1=k1x与y2=k2x，当x=2时，y1+y2=﹣1；当x=3时，y1﹣y2=12．（1）求这两个正比例函数的解析式；（2）当x=4时，求的值．【分析】（1）利用题意列方程组，然后解方程组求出k1与k2的值，从而得到两个正比例函数的解析式；（2）先计算出自变量为4时所对应的两个函数值，然后计算的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以两正比例函数的解析式分别为y1=x，y2=﹣x；（2）当x=4时，y1=x=7，y2=﹣x=﹣9，所以=﹣=．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．13．①y与x成正比例，且x=﹣2时y=12，求此函数解析式．②x、y是变量，且函数y=（k+1）x|k|是正比例函数，求K的值．【分析】①利用待定系数法把x=﹣2时y=12代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式；②根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，即可得出k的值．【解答】解：①∵正比例函数y=kx中x=﹣2时y=12，∴12=﹣2•k，解得：k=﹣6，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣6x；②解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义及待定系数法确定正比例函数的解析式，难度不大，注意基础概念的掌握．14．已知正比例函数经过点，求此函数的解析式．【分析】直接设正比例函数的解析式为：y=kx，将点，代入求出即可．【解答】解：设正比例函数的解析式为：y=kx，（k＞0），∵正比例函数过点，∴，解得：，∴正比例函数的解析式为：y=6x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用图象上点的性质得出是解题关键．15．若y与x+2成正比例，且x=5时，y=﹣21，求：（1）y与x之间的函数关系式．（2）它的截距．【分析】（1）设y=k（x+2），将x=5，y=﹣21，代入可得出y与x之间的函数关系式．（2）令x=0可得出截距．【解答】解：（1）设y=k（x+2），x=5，y=﹣21代入得：﹣21=7k，解得：k=﹣3，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣3x﹣6；（2）令x=0，解得：y=﹣6，∴截距为﹣6．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，难度不大，注意掌握截距的概念．16．已知点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，（1）求m的值，（2）求这个函数的解析式．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质，将点（，1）代入正比例函数y=（3m ﹣1）x，求得m值即可；（2）根据m的值，即可得出这个函数的解析式；【解答】（1）解：∵点（，1）在函数y=（3m﹣1）x的图象上，∴将点（，1）代入正比例函数y=（3m﹣1）x，即：1=（3m﹣1）×，整理得：3m=3，解得：m=1；∴m的值为1；（2）解：∵m的值为1；∴代入y=（3m﹣1）x，即可求出，y=（3×1﹣1）x=2x，∴这个函数的解析式为：y=2x．【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数的解析式以及正比例函数图象上点的坐标都满足该函数的解析式，此题比较简单作题时一定要认真仔细不要犯错．17．已知y+4和x成正比例，且x=3时y=1求x=﹣5时y的值．【分析】先根据题意设出关系式，将x=3时y=1代入，求得k的值，然后把x=﹣5代入，求出y的值．【解答】解：∵y+4和x成正比例，∴y+4=kx（k≠0），∵x=3时，y=1，∴1+4=3k，k=，∴y=x﹣4．当x=﹣5时，∴y=×（﹣5）﹣4=﹣．【点评】本题考查了正比例函数的定义，已知自变量的值求得函数的值．18．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．【分析】首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q 的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．∵它图象经过点P（﹣1，2），∴2=﹣k，即k=﹣2．∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），∴m+3=2m．∴m=3．【点评】此类题目考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．19．当k为何值时，y=（k2+2k）x是正比例函数．【分析】根据正比例函数的系数≠0，且自变量的次数为1解答．【解答】解：根据题意得：k2﹣3=1①，k2+2k≠0②．由①得：k=±2．当k=﹣2时，k2+2k=0，y不是正比例函数；当k=2时，k2+2k=8，即y=8x是正比例函数，∴当k=2时，函数y=（k2+2k）是正比例函数．【点评】解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．20．已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．【分析】设y1=kx2，y2=a（x﹣2），得出y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x=2代入函数解析式，即可得出答案．【解答】解：设y1=kx2，y2=a（x﹣2），则y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得：，k=2，a=﹣3，∴y与x之间的函数表达式是y=2x2﹣3（x﹣2），把x=2代入得：y=2×22﹣3×（2﹣2）=8．【点评】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．21．已知函数，当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得k=±2，∵此正比例函数y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，∴k＜1，∴k=﹣2．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．22．已知y与x成正比例，若y随x的增大而减小，且其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），请写出y与x之间的函数关系式y=﹣x．【分析】因为y与x成正比例，y随x的增大而减小，所以可设y=kx（k＜0），又因其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），所以有﹣m=k，﹣1=mk，进而可利用方程求出m、k，最终解决问题．【解答】解：∵y与x成正比例，y随x的增大而减小，∴设y=kx（k＜0），∵其图象经过点A（1，﹣m）和B（m，﹣1），∴﹣m=k且﹣1=mk，∴﹣1=﹣m2，m=1，k=﹣1或m=﹣1，k=1，∵k＜0，∴m=1，k=﹣1，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x．【点评】此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题，但要注意运用y随x的变化规律确定值的取舍．23．正比例函数y=kx的图象经过点P，如图所示，求这个正比例函数的解析式．【分析】把P点坐标代入正比例函数y=kx中，即可得到k的值，进而得到正比例函数的解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点P（2，3）∴3=2k，解得k=，∴正比例函数的解析式为：y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．24．已知正比例函数的图象经过点（﹣3，6）．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．【分析】（1）设解析式为y=kx，再把（﹣3，6）…代入函数解析式即可算出k的值，进而得到解析式；（2）把（a，8）代入（1）计算出的解析式，即可算出a的值，进而得到点A 的坐标．【解答】解：（1）设解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点（﹣3，6），∴6=﹣3k，解得k=﹣2，∴y=﹣2x；（2）把（a，8）代入y=﹣2x，得8=﹣2a，解得a=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，8）．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点，必能满足解析式．25．已知y与x成正比例，且x=6时，y=﹣3，求y与x的关系式．【分析】设函数解析式为y=kx，将x=6时，y=﹣3代入解析式即可求出k的值，从而得到y与x的关系式．【解答】解：设函数解析式为y=kx，将x=6，y=﹣3代入解析式得，﹣3=6k，k=﹣，则函数解析式为y=﹣x．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，设出正比例函数y=kx是解题的关键．26．已知正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），求这个正比例函数的解析式．【分析】利用待定系数法把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx经过点（﹣1，2），∴2=﹣1•k，解得：k=﹣2，∴这个正比例函数的解析式为：y=﹣2x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，题目比较简单，关键是能正确代入即可．27．已知y﹣1与x+2成正比，且当x=1时，y=7，求当x=﹣1时y的值．【分析】设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，求出k的值，得到y与x的函数关系式，再把x=﹣1代入，即可求出对应的y值．【解答】解：设y﹣1=k（x+2），把x=1，y=7代入，得：7﹣1=k（1+2），解得：k=2．∴y﹣1=2（x+2），即y=2x+5．当x=﹣1时，y=2×（﹣1）+5=3．【点评】先设出满足题目条件的解析式，再运用图象上的点与解析式的关系来确定系数是解决本题的关键．28．正比例函数y=kx中，当x增加2时，y增加3，求该正比例函数的解析式．【分析】根据题意可得y+3=k（x+2），再由y=kx可得3=2k，解方程可得k的值，然后可得正比例函数解析式．【解答】解：∵当x增加2时，y增加3，∴y+3=k（x+2），y+3=kx+2k，∵y=kx，∴3=2k，解得：k=，∴正比例函数解析式为y=x．【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式．关键是根据等量关系得到3=2k．29．若正比例函数y=（a﹣1）的图象经过点（﹣2，b2+5），求a，b的值．【分析】首先利用正比例函数的定义求得a的值，从而确定解析式，然后将点的坐标代入求得b值即可．【解答】解：∵y=（a﹣1）是正比例函数，∴a2﹣3=1且a﹣1≠0，解得：a=2或﹣2∵b2+5＞0∴点（﹣2，b2+5）在第二象限∴a=﹣2∴解析式y=﹣3x，过点（﹣2，b2+5），∴b2+5=6∴b=±1【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，图象在一三象限，呈上升趋势，当k＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势．30．设有三个变量x、y，z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数，（1）求证：z是x的正比例函数；（2）如果z=1时，x=4，求出z关于x的函数关系式．【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可；（2）将z=1，x=4代入z=knx，求出kn即可．【解答】解：（1）设y=kx（k≠0），z=ny（n≠0），则有z=knx，故z是x的正比例函数；（2）将z=1，x=4代入z=knx得，1=4kn，解得：kn=，则z=x．【点评】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答．31．已知y是x的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当时的函数值．【分析】（1）由题意可设y=kx（k≠0）．把x、y的值代入该函数解析式，通过方程来求k的值；（2）把x的值代入（1）中的函数式即可求得相应的y值．【解答】解：（1）由题意可设y=kx（k≠0）．则12=﹣3k，解得，k=﹣4，所以y关于x的函数解析式是y=﹣4x；（2）由（1）知，y=﹣4x，当x=﹣时，y=﹣4×（﹣）=2．即当时的函数值是2．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k的值．32．当k为何值时，函数y=（k2+2k）是正比例函数？【分析】根据正比例函数的定义可得k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：k2+k﹣1=1且k2+2k≠0，解得：k=1．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．33．正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a的值．【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），再把点（2，﹣4）代入即可求出k的值，进而得出正比例函数的解析式，把点（a，4）代入正比例函数的解析式，求出a的值即可．【解答】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）∵正比例函数的图象经过点（2，﹣4）∴﹣4=2×k，即k=﹣2∴正比例函数解析式为y=﹣2x∵正比例函数的图象经过点（a，4）∴4=﹣2×a，即a=﹣2．【点评】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．34．在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y=x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．【分析】根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解．【解答】解：如图所示①在直线y=x上作OP=OA，可得符合条件的P1、P2点，P1坐标为（﹣，﹣），P2（，），②以A为圆心，1为半径作弧交直线y=x于点P3，点P3符合条件，P3坐标为（，），③线段OA的垂直平分线交直线y=x于点P4，点P4符合条件，P4点坐标为（，）．故答案为：P1（﹣，﹣），P2（，），P3（，），P4（，）．【点评】本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论．35．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的表达式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A的纵坐标、点A所在的象限结合△AOH的面积为3，可求出点A的坐标，再根据点A的坐标利用待定系数法，可求出正比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为（a，0），根据△AOP的面积为5，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A在第四象限，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．∴点A的纵坐标为﹣2，∴点A的坐标为（3，﹣2）．将点A（3，﹣2）代入y=kx，﹣2=3k，解得：k=﹣，∴正比例函数的表达式为y=﹣x．（2）设点P的坐标为（a，0），则S=|a|×|﹣2|=5，△AOP解得：a=±5，∴在x轴上能找到一点P，使△AOP的面积为5，此时点P的坐标为（﹣5，0）或（5，0）．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据三角形的面积找出点A的坐标；（2）利用三角形的面积找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．36．当m为何值时函数y=（m+2）是正比例函数．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：根据题意，得：，由①，得：m=2或m=﹣2，由②，得：m≠﹣2，∴m=2，即当m=2时函数y=（m+2）是正比例函数．【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于m的等式是解题关键．37．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=代入解析式解答即可．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k=6，解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x；（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．38．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限，且过点（k，k+2），求这个正比例函数的解析式．【分析】根据正比例函数的性质得k＞0，再把（k，k+2）代入y=kx得到关于k 的一元二次方程，解此方程确定满足条件的k的值，则可得到正比例函数解析式．【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第一、三象限∴k＞0，把（k，k+2）代入y=kx得k2=k+2，整理得k2﹣k﹣2=0，解得k1=2，k2=﹣1，∴k=2，∴这个正比例函数的解析式为y=2x．【点评】考查了待定系数法求正比例函数的解析式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．39．在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）（1）在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G是因变量．（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是10kg（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？【分析】（1）根据函数关系式中自变量与因变量的关系就可以得出G是m的函数进而得出m是自变量，G是因变量；（2）将G=100代入关系式G=10m，求出m的值即可；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，建立方程求出甲的质量，在代入解析式G=10m就可以求出结论．【解答】解：由题意，得（1）重力的表达关系式是G=mg，在这个正比例函数表达式中，m是自变量，G 是因变量．故答案为：m，G；（2）∵G=10m．∴G=100时，100=10m，∴m=10kg．故答案为：10；（3）设甲的质量是xkg，则乙的质量为2xkg，由题意，得。
正比例关系的知识点总结
正比例关系的知识点总结正比例关系有很多实际生活中的应用，可以帮助我们更好地理解和分析各种现象。
本文将从数理知识、实际应用和解题技巧三个方面总结正比例关系的知识点。
数理知识1. 正比例关系的定义在数学中，我们使用 y=kx（k≠0）表示正比例关系，其中x和y分别表示两个变量，k表示比例系数。
比例系数k表示了两个变量之间的比例关系：当x增加一定比例时，y也会增加相应的比例。
这种关系可以用图像表示为一条直线，直线的斜率就是比例系数k。
2. 正比例关系的图像表示在坐标平面上，正比例关系可以用一条通过原点的直线来表示。
直线的斜率等于比例系数k，斜率越大表示y随着x的增加变化得越快，反之亦然。
3. 正比例关系的性质正比例关系具有以下性质：（1）两个变量之间存在着恒定的比例关系，即y=kx；（2）直线的斜率等于比例系数k，斜率越大表示两个变量之间的比例关系越大；（3）正比例关系在坐标平面上表示为通过原点的直线。
4. 正比例关系与反比例关系的区别正比例关系和反比例关系都是描述两个变量之间的数学关系，但它们有着不同的特点：（1）正比例关系描述的是两个变量之间的增长趋势一致，即一个变量增加时，另一个变量也随着增加；（2）反比例关系描述的是两个变量之间的增长趋势相反，即一个变量增加时，另一个变量减少，反之亦然。
实际应用1. 实际生活中的正比例关系正比例关系在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如：（1）时间与距离：当我们以恒定的速度行驶时，时间与距离之间就是正比例关系，时间增加时，行驶的距离也随之增加；（2）成本与产量：在生产过程中，成本与产量之间也存在着正比例关系，成本增加时，产量也随之增加；（3）人数与食物消耗：在聚会或宴会中，人数与食物的消耗也是正比例关系，人数增加时，所需食物的数量也相应增加。
2. 正比例关系的应用举例（1）根据某种规律，小明每天以相同的速度跑步，那么他所跑的距离与跑步时间之间就是一个正比例关系；（2）某个工厂每生产1000个产品，需要花费1000元，那么生产产品的数量与成本之间就是一个正比例关系；（3）在一条河流中，水的流速与河道的宽度成正比，河道越宽，水流速度也越快。
正反比例在实际生活中的应用
正反比例在实际生活中的应用1. 简介正反比例是数学中的一个重要概念，主要用于描述两个变量之间的相互关系。
当我们说两个变量 X 和 Y 成正比时，意味着当 X 的值增加（或减少）时，Y 的值也会相应地增加（或减少）；而当我们说两个变量 X 和 Y 成反比时，则意味着当 X 的值增加时，Y 的值会相应地减少，反之亦然。
2. 正比例在实际生活中的应用2.1 例子 1：油耗与行驶里程假设某辆车的油耗为 8L/100km，这意味着当车辆行驶 100 公里时，需要消耗 8 升汽油。
这里的行驶里程和油耗成正比关系。
如果要提高行驶里程，可以考虑降低油耗，或者使用更高效的车辆。
2.2 例子 2：工资与工作量在一个公司中，员工的工资通常与其完成的工作量成正比。
工作量越大，工资越高；工作量越小，工资越低。
这种关系有助于激励员工提高工作效率，从而提高公司的整体竞争力。
3. 反比例在实际生活中的应用3.1 例子 1：时间和速度假设一个人以 60km/h 的速度行驶，那么他行驶 100 公里需要的时间为 1.67 小时。
这里的速度和时间成反比关系。
如果要提高行驶速度，可以考虑减少行驶时间，或者使用更高效的交通工具。
3.2 例子 2：电阻和电流在电路中，电阻和电流成反比关系。
当电阻增加时，电流会相应地减少；当电阻减少时，电流会相应地增加。
这一关系在设计和调试电路时具有重要意义。
4. 总结正反比例在实际生活中有着广泛的应用，涉及诸多领域，如工业生产、交通运输、经济管理、科学研究等。
理解和掌握正反比例关系，有助于我们更好地分析和解决实际问题。
正比例函数实际生活中的应用题目
正比例函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从多个角度介绍正比例函数在实际生活中的应用，并举例说明其在不同领域的具体运用。
一、薪水与工作时间的关系在职场生活中，薪水和工作时间往往是正比例关系。
即工作时间的增加会带来薪水的增加，而每单位时间内的薪水是相等的。
一名工人每小时的工资为100元，那么工作2个小时的收入就是200元，工作8个小时的收入就是800元。
这是一种典型的正比例关系，也是实际生活中经常遇到的情况。
二、物体的速度与时间的关系在物理学中，物体的速度与时间之间往往也会呈现出正比例的关系。
简单地说，物体在单位时间内的位移是相等的，那么速度和时间的关系就是正比例函数。
比如一辆汽车以匀速行驶，它的速度与时间的关系就是正比例的。
行驶1个小时能行驶100公里，行驶2个小时能行驶200公里，以此类推。
这种关系在实际生活中的交通运输、物流等领域有着重要的应用。
三、燃料消耗与行驶距离的关系在汽车行驶中，燃料的消耗与行驶距离之间也常常呈现出正比例的关系。
一般情况下，车辆行驶的距离越远，燃料的消耗就越大，二者成正比。
例如一辆汽车每行驶100公里就消耗10升汽油，那么行驶200公里就消耗20升汽油，行驶300公里就消耗30升汽油，依次类推。
这种关系在燃料经济性评价、能源管理等方面具有重要的实际应用。
四、人口增长与时间的关系在人口学研究中，人口的增长与时间之间往往呈现出正比例的关系。
一段时间内人口的增长数量与时间的长度成正比。
例如某城市的人口每年增长2%，那么10年后城市的总人口将是现在的1.2倍，20年后将是1.4倍，30年后将是1.6倍，以此类推。
这种关系在人口政策制定、城市规划等方面有着重要的意义。
五、光强与光源距离的关系在光学研究中，光强与光源距离之间也常常呈现出正比例的关系。
当光源与物体之间的距离增加时，光强会呈现出相应的变化。
当光源与物体的距离减半时，光强成倍增加，当距离增加到原来的2倍时，光强减少到原来的1/4。
正比例函数的性质和应用
正比例函数的性质和应用正比例函数是数学中常见并且有重要意义的一类函数，它描述了两个变量之间的线性关系。
在这篇文章中，我们将探讨正比例函数的性质以及其在现实生活中的应用。
一、正比例函数的定义和性质正比例函数的定义很简单：如果两个变量的比例始终保持不变，那么它们之间存在正比例关系。
数学表示为y=kx，其中k为比例常数，x 和y分别为两个变量。
正比例函数的图像是一条直线，通过原点。
正比例函数具有以下性质：1. 与x轴和y轴平行：因为正比例函数过原点，所以它与x轴和y轴平行。
2. 比例常数k的意义：比例常数k表示y和x之间的单位比例关系。
当k>0时，y随着x的增加而增加；当k<0时，y随着x的增加而减少。
3. 值域和定义域：正比例函数的定义域可以是整个实数集，而值域取决于k的符号。
当k>0时，值域为正实数集；当k<0时，值域为负实数集。
4. 与图像的斜率有关：正比例函数的斜率等于比例常数k。
当k>0时，斜率为正；当k<0时，斜率为负；当k=0时，斜率为零，即函数为常值函数。
二、正比例函数的应用正比例函数作为一种简单而常见的数学关系，在现实生活中有着广泛的应用。
1. 经济学中的应用：正比例函数经常用于描述供应和需求之间的关系。
例如，当商品的价格上涨，需求量往往下降，这可以用正比例函数来表示。
同样地，当商品的价格下降，需求量则往往上升。
2. 物理学中的应用：正比例函数在物理学中也是常见的。
例如，牛顿第二定律F=ma中的力和加速度的关系就是一个正比例函数。
力与质量和加速度之间存在着简单的线性关系，比例常数就是质量。
3. 工程学中的应用：正比例函数可以用于描述许多工程问题。
例如，电阻和电流之间的关系就是正比例的，电流是电压和电阻的商。
4. 金融学中的应用：正比例函数也有在金融学领域的应用。
例如，利息和本金之间的关系可以用正比例函数来表示。
利息是本金和利率的乘积。
总结：正比例函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的线性关系。
小学六年级数学《正比例》教案二：练习正比例关系的实际应用
小学六年级数学《正比例》教案二：练习正比例关系的实际应用正比例关系在实际生活中是非常常见的，例如人的身高和体重、食物的重量和价格、速度和时间等等都是正比例关系。
学习正比例关系非常有实际意义。
在本次小学六年级数学正比例教案中，我们将重点练习正比例关系的实际应用。
一、知识点概述1. 什么是正比例关系正比例关系即两个量之间的比例始终保持不变，比例常数称为该正比例关系的比例系数。
2. 正比例关系的公式设两个量分别为x和y，它们之间的正比例关系可以表示为y=kx，其中k为比例系数。
3. 正比例关系的应用在实际生活中，有许多正比例关系的实际应用。
例如，人的身高和体重、车的速度和所需的时间、电费和用电量等等，都是正比例关系的应用。
二、教学目标通过本次教学，学生应能够：1.理解正比例关系的含义。
2.掌握正比例关系的公式。
3.理解正比例关系的实际应用。
三、教学重点和难点本次教学的重点在于学生掌握正比例关系的应用，并能够将其应用到实际生活中。
而难点则在于如何将已知的数据应用到正比例关系公式中去，并用正确的方法计算出所需的结果。
四、教学过程本次教学将分为以下三个部分：1.课前导入通过提问的方式，引导学生回忆正比例关系的概念及其公式。
2.课堂讲授通过简单的例子和精心设计的习题，引导学生理解和掌握正比例关系的应用。
例如：例1：电费和用电量之间的正比例关系很常见。
若某家庭每月用电450度，其电费为180元，则该家庭每度电的费用是多少元？解：电费和用电量之间的正比例关系可以表示为y=kx，其中y表示电费，x表示用电量，k为比例系数。
该家庭每度电的费用为y÷x=k，即：每度电的费用=180÷450=0.4元例2：某辆汽车以每小时110公里的速度行驶，从A地到B地共需时5小时。
若从A地到C地的距离是从A地到B地距离的2倍，则从A地到C地的行车时间是多少？解：由于车速和行驶的时间是成正比例关系的，我们可以根据已知的数据列出公式：110÷t=AB÷5（其中t表示从A地到B地的行车时间，AB表示从A地到B地的距离）又由于从A地到C地的距离是从A地到B地距离的2倍，AC=2AB。
什么是正比例函数
什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。
本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。
一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。
其中，k称为比例系数或比例常数。
二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。
2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。
3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。
三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。
当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。
四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。
2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。
3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。
综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。
其图像为直线，斜率为比例系数k。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。
通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。
正比例和反比例的应用
正比例和反比例的应用
正比例和反比例是数学中常见的概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
正比例指的是两个变量之间的关系，当一个变量增加时，另一个变量也随之增加；而反比例则是指当一个变量增加时，另一个变量会相应地减少。
下面将分别介绍正比例和反比例在现实生活中的应用。
正比例的应用：
1. 速度和时间，在旅行中，速度和时间之间存在正比例关系。
速度越快，所需的时间就越短，反之亦然。
2. 工作量和工人数量，在生产中，工作量与工人数量之间存在正比例关系。
工人数量增加，工作量也随之增加，可以更快地完成任务。
3. 面积和边长，在几何学中，正方形的面积与边长之间存在正比例关系。
边长增加，面积也随之增加。
反比例的应用：
1. 人均产量和工人数量，在生产中，人均产量与工人数量之间存在反比例关系。
工人数量增加时，每个工人的产量会减少，反之亦然。
2. 管道的流量和管道的宽度，在流体力学中，管道的流量与管道的宽度之间存在反比例关系。
管道宽度增加时，流量会减少。
3. 距离和声音的强度，在声学中，声音的强度与距离之间存在反比例关系。
距离增加时，声音的强度会减弱。
正比例和反比例的应用不仅存在于数学和科学领域，也贯穿于我们日常生活的方方面面。
通过了解和应用这些概念，我们可以更好地理解和解决实际问题。
正比例函数的解析式
正比例函数的解析式正比例函数是数学和物理学中的一种重要函数，它的解析式表示方式是一种重要的概念。
该文章将分三部分介绍正比例函数的解析式：它的定义、公式及应用。
一．正比例函数的定义正比例函数（Proportional Function）是一种子类函数，它表示变量之间的正反比关系。
此类函数也可以称为线性函数，它是以一条直线形式出现，并且符合等式关系，并且能够精确表示出输入和输出之间的变化关系，它的定义如下：若自变量的任意变换将使得因变量的变化量与自变量的变化量成恒定的正比，则称此种变换关系为正比关系，若任意两个值关于自变量的变化量之比为常数，则称此种变换关系为正比例变换。
二．正比例函数的解析式正比例函数的解析式为 y=kx，其中，常数 k 为正比例函数的比例系数，它表示因变量与自变量的变换率；x 为自变量，表示可以变化的量；y 为因变量，表示函数结果。
换言之，正比例函数就是自变量与因变量的变换率为常数的函数。
此外，正比例函数的比例系数 k正负值决定函数走向，当 k 为正时，函数向上凸，反之则向下凹；当 k越大时，函数斜率也越大，即因变量变化时自变量变化也会越快；当 k为零时，函数即变为水平线，表明自变量与因变量无关。
三．正比例函数的应用正比例函数有广泛的应用，它可以在很多领域中找到，因为它能够精确表示出输入和输出之间的变化关系。
例如：（1）在经济学中，正比例函数可以用来解释供求关系，以便预测物价变化；（2）在制药学中，正比例函数可以用来推断药物有效量；（3）在传感器技术中，正比例函数可以用来描述传感器的响应特性。
综上所述，正比例函数的解析式是一种重要的概念，它的定义为自变量的变换将使得因变量的变化量与自变量的变化量成恒定的正比，其解析式为 y=kx，具有广泛的应用。
正比例应用
正比例应用正比例是指两个变量之间存在着相互关联，当一个变量增加或减少时，另一个变量也相应增加或减少的关系。
在现实生活中，正比例关系在各个领域都有广泛的应用，如经济学、物理学、数学等。
本文将从几个不同的角度探讨正比例在实际应用中的一些例子和意义。
一、经济学领域正比例在经济学领域中有着重要的应用。
例如，供给和需求之间存在着正比例关系。
当某种商品的需求增加时，供给也会相应增加；而当需求减少时，供给也会相应减少。
这种正比例关系使得市场能够自动调节价格和数量，达到供求平衡。
正比例还可以用来描述收入和消费之间的关系。
通常情况下，人们的收入增加，他们的消费水平也会相应增加。
这是因为人们有更多的购买力，可以购买更多的商品和服务。
因此，收入和消费之间存在着正比例关系。
二、物理学领域在物理学中，正比例也有着广泛的应用。
例如，力和加速度之间存在着正比例关系。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与施加在它上面的力成正比。
当施加的力增加时，物体的加速度也会相应增加。
正比例还可以用来描述速度和时间之间的关系。
例如，当一个物体以匀速运动时，它的速度与时间成正比。
当时间增加时，物体的速度也会相应增加。
三、数学领域在数学领域，正比例是一个重要的概念。
正比例关系可以用一个简单的等式来表示，即y = kx，其中y和x分别表示两个变量，k表示比例常数。
这个等式描述了两个变量之间的线性关系，当x增加或减少时，y也会相应增加或减少。
在数学中，正比例还有着广泛的应用，例如直线函数、比例函数等。
直线函数是一种特殊的正比例关系，它的图像是一条直线。
比例函数是一种一次函数，它的图像是一条斜率为常数的直线。
总结起来，正比例在实际应用中起着重要的作用。
无论是在经济学、物理学还是数学领域，正比例关系都有着广泛的应用。
正比例关系不仅帮助我们理解和描述现实世界中的各种现象，还为我们提供了解决实际问题的方法和思路。
因此，正比例应用不仅是学术研究的重要内容，也是我们日常生活中不可或缺的一部分。
数学初中教案：正比例与反比例的应用
数学初中教案：正比例与反比例的应用一、正比例的应用1.1 任务概述本节课将讨论正比例与反比例的应用。
正比例在日常生活中有广泛应用，例如与时间相关的速度、温度与体积之间的关系等。
我们将通过实际问题来掌握如何运用正比例。
1.2 学习目标- 理解什么是正比例关系；- 能够根据给定数据确定两个变量之间的正比恒量；- 掌握运用正比例求解实际问题的方法。
1.3 教学步骤第一步：介绍正比例关系首先，我会简要地介绍什么是正比例关系。
问学生是否熟悉这个概念，并帮助他们理解正比例关系是指两个变量之间存在一个恒定的比值，变换一个变量会导致另一个变量按相同的比例变化。
第二步：案例分析接下来，我会给学生提供一些实际问题，并引导他们分析这些问题背后的数学模型。
例如，如果汽车以60公里/小时的速度行驶，那么它在2小时内能够行驶多远？通过让学生观察并记录相关数据，我们可以发现速度和时间之间存在正比例关系。
第三步：确定正比恒量在学生理解了正比例关系后，我会教他们如何确定正比恒量。
我们将使用前面的案例来说明这点。
假设汽车在2小时内行驶了120公里，那么我们可以建立以下等式：速度（V）乘以时间（T）等于所行驶的距离（D）。
通过代入已知数据并求解未知量，即可得到速度和时间之间的正比恒量。
第四步：应用举例接下来，我会给学生提供一些实际问题，并引导他们运用正比例关系解决这些问题。
例如，如果一个人每分钟走15米，那么5分钟后他走了多远？通过让学生运用已经掌握的方法，我们可以得出答案是75米。
1.4 练习与巩固为了加深对正比例应用的理解和巩固所学内容，我会布置一些练习题给学生完成。
这些练习题旨在让学生运用所学知识，并将数学概念与实际问题相结合。
二、反比例的应用2.1 任务概述本节课将介绍反比例的应用。
反比例在日常生活中也有着广泛的应用，例如与速度和时间相关的距离、人数和完成工作所需时间等。
我们将通过实际问题来掌握如何运用反比例。
2.2 学习目标- 理解什么是反比例关系；- 能够根据给定数据确定两个变量之间的反比恒量；- 掌握运用反比例求解实际问题的方法。
《正比例的应用》分层作业设计
人教版小学数学六年级下册《正比例的应用》分层作业设计姓名：电话：单位：洛龙区一实校设计理念：本节课的“正比例应用题”是在学生学过“正比例的意义”的基础上学习的内容。
基于对教材的理解，考虑到高年级学生的年龄特征和认知规律，做以下安排：1、迁移类推，沟通新旧知识的联系。
数学知识是密切联系的，新知识往往是旧知识的延伸和拓展在“复习”时，要唤起学生对旧知识的回忆，有助于学生系统地掌握知识，为讲授新课做好准备。
2、充分发挥学生的主体作用，使每个学生尽可能地参与学生的全过程。
在课堂上突出新课改理念，设置自主探究，小组合作、讨论、试说、试算等活动，引导学生自己揭示列比例式的依据，将知识转化为能力，有助于学生良好认知结构的形成和学习能力的提高，并从中体会与同伴合作获得成功的喜悦。
设计目标：1．理解正比例的意义，判断两个量成正比例的方法。
2．在理解的基础上，通过运用正比例解决实际问题的活动，让学生体验数学的应用价值，培养学生解决问题的能力。
作业设计：A （1）、一辆汽车3时行驶78千米，照这样的速度从甲地到乙地行驶了5小时，两地之间的距离是多少千米？算式：—————————答：两地之间的距离是---------千米。
（2）、食堂买3桶油用780元，照这样计算，买8桶油要用多少钱？算式：—————————答：买8桶油要用---------------钱。
（3）、小兰的身高1.5米，她的影长是2.4米，如果同一时间，同一地点测得一棵树的影长是4米，这棵树有多高?算式：—————————答：这棵树有------------米高。
（4）、一个晒盐场用500千克的海水可以晒15千克盐；照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨盐？算式：—————————答：用100吨海水可以晒------------吨盐。
B (1)、一种农药，用药粉和水按照1：1500配制而成。
要配制这种农药750.5千克，需要药粉与水个多少千克？（2）、甲乙两车从A、B同时出发两地相向而行，在距中点18千米处相遇，已知两车的速度比是5:6，A、B两地相距多远？设计说明：“正比例应用”的教学，是在学生掌握了正比例的意义基础上进行教学的，着重使学生理解正比例的意义。
解析小学数学中的正比例和反比例关系的计算方法与应用
解析小学数学中的正比例和反比例关系的计算方法与应用正比例关系和反比例关系是小学数学中的重要概念之一。
通过学习这两种关系的计算方法与应用，学生可以更好地理解数学问题，并能够灵活运用于实际生活中。
本文将从正比例关系和反比例关系的定义、计算方法以及应用方面进行解析。
一、正比例关系的定义和计算方法在小学数学中，正比例关系是指两个变量之间的比率保持不变，即一个变量的增加或减少是与另一个变量的增加或减少成等比例的关系。
具体来说，如果两个变量x和y之间满足y=kx（k为常数），那么它们之间就存在正比例关系。
为了计算正比例关系中的变量，我们可以使用以下两种方法：1. 填表法：我们可以列出一个表格，将变量x和y的值进行对应填写。
然后观察两列数值之间的关系，如果它们之间的比值始终相等，那么就是正比例关系。
通过已知的一组x和y的值，我们可以利用比值的等式求得未知的x或y的值。
2. 图形法：我们可以将变量x和y分别绘制在坐标系的x轴和y轴上，然后连接这些点，如果所得到的图形是一条直线，那么就是正比例关系。
我们可以通过已知的一组x和y的值，利用图形上的直线，来求得未知的x或y的值。
二、正比例关系的应用正比例关系在现实生活中有很多应用场景，例如：1. 周长和半径的关系：在数学几何中，我们知道，一个圆的周长与其半径之间存在正比例关系。
即周长C与半径r的关系可以表示为C=2πr，其中π是一个常数。
2. 时间和距离的关系：在匀速直线运动中，小学生学习到，时间t 和距离d之间满足正比例关系。
即t与d的关系可以表示为t=d/v，其中v是匀速直线运动的速度。
3. 人工费和工作时间的关系：在一些工作中，人工费用与工作时间之间存在正比例关系。
例如，一个工人每小时工作x元，那么工作y 小时后，他能够获得的总费用就是y乘以x。
三、反比例关系的定义和计算方法反比例关系是指两个变量的乘积保持不变，即一个变量的增加或减少是与另一个变量的减少或增加成反比例的关系。
正比例在生活中的应用
正比例在生活中的应用1. 嘿，小伙伴们！今天咱们来聊个特别有意思的话题 - 正比例在生活中的应用。
别以为这是个枯燥的数学概念，它可是咱们生活中的"小助手"，到处都能看到它的身影呢！2. 说到正比例，最容易理解的就是购物场景啦！比如说，你买糖果，买得越多，花的钱就越多，这不就是活生生的正比例关系嘛！要是有天买东西不按这个来，那商家怕是要疯掉喽！3. 在厨房里也藏着正比例的秘密。
做饭的时候，米和水的比例要是不对，那可就热闹了！两碗米配两碗水，三碗米配三碗水，这不就是正比例在厨房里跳舞吗？要是随便乱配，那就等着吃"水饭"或"干饭"吧！4. 跑步的时候也有正比例的影子。
速度不变的情况下，跑的时间越长，距离就越远。
要是不按这个规律来，那就真成了"原地踏步"或者"瞬间移动"啦！5. 打工赚钱也是个典型的正比例例子。
按时薪来算，干的时间越长，赚的钱就越多。
要是不按这个来，怕是打工人都要哭晕在厕所啦！不过话说回来，要是能干一小时赚一天的钱，那可真是天上掉馅饼啊！6. 种花养草也离不开正比例。
浇水多了，植物长得就旺；施肥多了，长得就更欢。
当然啦，这里得提醒一下，过犹不及，要是真以为什么都是正比例，给花儿浇一缸水，那可就是"溺死"的节奏了！7. 在游泳池玩水的时候，也能看到正比例的影子。
往池子里加水，水位上升的高度跟加水的量成正比。
要是不按这个规律，那可就成魔法池子了，加一杯水就能涨到天花板！8. 做手工的时候也要懂正比例。
比如串珠子，做一个手链需要十颗珠子，那做五个手链自然需要五十颗。
要是不懂这个，材料准备不够，那可就是"巧妇难为无米之炊"啦！9. 坐公交车也有正比例的道理。
同样的路线，坐的站数越多，花的钱就越多。
要是哪天发现坐得越远反而越便宜，那准是遇到了"公交车奇遇记"！10. 存钱也是个正比例关系。
正比例和反比例的应用
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正比例和反比例的应用（二）
教学目标：学会解答反比例应用题，养成良好的验算习惯。 教学重点：掌握解题方法 教学过程： 一、复习 先判断两种相关联的量成什么比例，再写出关系式。 1、一批纸，每本 30 页，可装订 40 本，每本 25 页，可装订 48 本。 2、一批化肥，每车装 4 吨，可装 15 车，每车装 5 吨，可装 12 车。 3、一艘轮船，从甲地到乙地，每小时行 15 千米，6 小时到达，如果每 小时行 18 千米，5 小时到达。 4、运一批货物，每天运 10 吨，需 30 天运完，每天运 50 吨，需ⅹ天运 完。 提问：你能把它改成一道应用题吗？学生自主探究 二、新授： 1、出示例题二 学生认真审题读题 用算术方法计算 分析题中的数量关系，谁和谁构成相关联的量，构成什么比例？ 列方程解答 学生解决问题并汇报。（强调验算过程） 探求反比例的解题思路 1、课堂练习
（1） 一批水果，每筐装 45 克，需 40 筐，如果每筐装 50 克，需要多 少筐？
（2） பைடு நூலகம்堆煤，原计划每天烧 40 克，可以烧 15 天，如果每天烧 50 克， 可以烧多少天？
（3）一台拖拉机 3 天耕地 150 亩，照这样计算，一星期可以耕地多少 亩？
三、课堂小结：说说正反比例应用题解答方法及关键。 四、板书 反比例应用题 例 2 题目： 方法： 解答方法： 关键： 判断 五．教学后记：
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六四数学“高效课堂探究”教学效果检测
• 1.李师傅加工零件，2小时加工了16个零件， 照这样计算，他5小时可以加工多少个零件？
• 2.食堂买3桶油用180元，照这样计算，买8 桶油要用多少钱？ 600元钱可以买这样的 油多少桶？
再见！
（2）、 小梁在旗杆旁立一根2米高的竹竿， 量得竹竿影长为1.5米。在同时同地，旗杆 高8米，测得它的影长是6米。
练习
• 王大爷家上个月的水费是19.2 元，他们家上个月用了多少吨水？
用比例知识解答：
李师傅加工零件，2小时加工了16个零 件，照这样计算，他5小时可以加工多少个 零件？
做一做
1．某工厂八月份计划造一批机床，开工8天 就造了56台，照这样速度到月底可生产多少 台？ 2.子涵妈妈身高165厘米，子涵和他的妈妈的 身高比是4：5，子涵身高多少厘米？
人教新课标六年级数学下册
城关镇中心小学
判断下面每题中的两种量成什么比例关系？
1．速度一定，路程和时间。 正比例
2. 单价一定，总价和数量。 正比例
3．每小时耕地的公顷数一定，耕地的
总公顷数和时间。
正比例
根据题意用等式表示。
（1）、一辆汽车2小时行驶140千米，照 这样的速度，3小时行驶210千米。