八年级数学上册16.2第2课时线段垂直平分线的逆定理及尺规作图习题冀教版
湘教版数学八年级上册 2.4 线段的垂直平分线
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两
种情况来讨论
(1) 当点 P 在线段 AB 上时，∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点. ∴ 此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
(2) 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB，
A
B
P3A __＝__ P3B
l
活动探究 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l
是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
(B) A
P B (A)
l
总结归纳 线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
湘教版数学八年级上册
第2章 三角形
2.4 线段的垂直平分线
第2课时 作线段的垂直平分线
如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边 增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一 样长，该公共汽车站应建在什么地方？
B A
线段垂直平分线的尺规作图
问题：怎样作出线段的垂直平分线？ 做一做：在半透明纸上画一条线 A 段 AB，折叠使 A 与 B 重合，得到 的折痕 l 所在的直线就是线段 AB 的垂直平分线. 想一想：
∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC ⊥ AB，垂足为点 C， 则底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
总结归纳
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
青岛版八年级数学 上册导学案《线段的垂直平分线》
2.4线段的垂直平分线 导学案学习目标：1.理解线段垂直平分线的概念, 掌握线段垂直平分线的性质定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.3.能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线. 学习过程：一、情境思考：如下图, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 你能找出这个车站吗？AB二、学习新知〔一〕探究知识一1、活动1：学生自主学习课本第45页：实验与探究, 第46页交流与发现2、成果交流, 归纳提升A:(1) 于线段, 并且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.线段是图形, 它的一条对称轴是B : 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的任意一点到的距离. 应用：如图1： MN 是线段AB 的垂直平分线, E 是MN 上一点, 那么EA 与EB 有什么关系？为什么？ 答：因为 所以 变式练习：〔1〕.如图2:在直角三角形中∠C=900, DE 是斜边AB 的垂直平分线, 那么DA=________为什么？如果CD=1cm,BD=2cm,那么AC=_____cm.〔2〕如图3：线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点N, M 为直线l 上任一点, 假设AB=2cm,△MAB 的周长为10cm,那么MA=_________cm(二)探究二：能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线我们能用折叠的方法作出线段的垂直平分线, 直平分线, 怎么做呢？请你自学第九页例题并尝试做一做. ：线段AB求作：线段AB 的垂直平分线 作法：〔1〕﹒C﹒D〔2〕你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？ 稳固练习：课本P50练习第1、2题 课本P50习题四．课堂小结：五、稳固与拓展练习根底知识：1、 如图4:AD 是线段BC 的垂直平分线, EF 是线段AB 的垂直平分线,点E 在AC 上, 且BE+CE=20cm,那么AB=2.如图5所示, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 请你能在图中找出这个车站的位置？ 拓展应用:3.在平面直角坐标系中, 点A 坐标为(0,4),B 坐标为(6,0).那么线段OA 与OB 垂直平分线的交点P 的坐标为〔 〕PA PB 四.课堂小结 ：本节课你学到了哪些知识, 最大的收获是什么？并与同学交流. 五 课堂检测: A ：夯实根底：1.线段的垂直平分线〔中垂线〕：垂直并且一条 的直线, 称为这条的垂直平分线, 线段垂直平分线上的到这条线段两个的距离. B ：能力提高2.如图7, 在△ABC 中, AB=AC=16cm,AB 的垂直平分线交AC 于D,如果,BC=10cm, 那么△BCD 的周长是cm教学反思：第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长A BC D FEA B C DB ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表： 信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(1)y 是x 的函数吗？为什么？(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表： 品种 价格(单位：元/棵)成活率 劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4设购置A 种树苗x 棵, 造这片树林的总费用为y 元, 解答以下问题： (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x 吨, 这批原材料能用y 天, 那么y 与x 之间的函数表达式为〔 〕 A ．y ＝100x B ．y ＝C ．y ＝+100D ．y ＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热, 水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕100 80 60 40 20压强y〔kPa〕60 75 100 150 300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200 240 250 400销售量y〔双〕30 25 24 1513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V,那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100 125 200 250 …镜片与光斑的距离y/m… 1 …m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕400 625 800 1000 (1250)镜片焦距x〔cm〕25 16 10 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x 〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( ) A ．7B ．－3C ．－3或7 D ．±3或7三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》说课稿
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》这一节，主要让学生了解线段垂直平分线的概念，学会用尺规作图的方法来找出线段的垂直平分线。
教材通过引入线段垂直平分线的作用和性质，让学生在实际操作中掌握其作图方法，培养学生的动手能力和观察能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了直线、线段的性质，对尺规作图也有了一定的了解。
但线段垂直平分线作为一个新的概念，可能需要一定的时间去理解和接受。
因此，在教学过程中，我将以引导学生探究线段垂直平分线的性质和作图方法为主，通过让学生动手实践，提高他们的学习兴趣和积极性。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解线段垂直平分线的概念，学会用尺规作图的方法找出线段的垂直平分线。
2.过程与方法：通过引导学生探究线段垂直平分线的性质和作图方法，培养学生的动手能力和观察能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：线段垂直平分线的概念及其作图方法。
2.教学难点：引导学生理解线段垂直平分线的性质，并能够运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究式学习法和小组合作学习法，引导学生主动参与课堂，提高他们的动手能力和观察能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、尺规作图工具和实物模型，直观地展示线段垂直平分线的作图过程和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考线段垂直平分线的作用和意义。
2.探究线段垂直平分线的性质：让学生用尺规作图找出线段的垂直平分线，观察并总结线段垂直平分线的性质。
3.讲解作图方法：引导学生掌握线段垂直平分线的作图方法，并能够运用到实际问题中。
4.巩固练习：设计一些有关线段垂直平分线的练习题，让学生动手解答，巩固所学知识。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点，提醒学生注意线段垂直平分线的应用。
初中数学精品教案：尺规作图-线段的垂直平分线-
16.2线段的垂直平分线（三）—尺规作图教学设计说明一、内容和内容解析；本节课是冀教版义务教育课程标准教科书八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》的第二节的第三课时，是在学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；在掌握了基本做法后，再来探究如何运用作线段的垂直平分线的方法过一个点作已知线段的垂线；并以作线段的垂直平分线为载体提高学生尺规作图的能力．因而探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线是本节课内容的核心所在．也是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用．其目的是加深对线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解；同时本节课探究作图的思维方式及作图的步骤和方法又是对下一节研究角平分线又是对下一节利用尺规作一个角的平分线的铺垫，起着承上启下的作用．是轴对称的重要组成部分．所以本节课的教学重点是探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线．二、目标和目标解析：1．让学生亲身经历用直尺和圆规作线段的垂直平分线和过一点作已知直线垂线的探究过程；使学生熟练掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图；2．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与步骤的能力；3．培养学生使用“执果索因”的方法探究问题的能力和发展学生的逻辑思维；在实际动手操作中体验几何探究的乐趣，培养学生科学的学习态度．三、教学问题诊断分析：学生在本节课之前已经学习了全等三角形的知识，在本章还学习了线段的垂直平分线性质定理及逆定理，已经具备了用尺规作线段的垂直平分线的理论基础；此前还学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，学生已经具备了操作尺规的基本技能．尽管如此，由于学生不能根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理借助圆规找到符合条件的两个点（这两个点必须在已知线段的垂直平分线上），进而由两点确定一条直线，这将成为教与学中遇到的第一个障碍．在授课过程中需要教师帮助学生做好思维的准备，首先让学生回顾线段的垂直平分线性质定理及其逆定理和前面学习的基本尺规作图，同时还要给学生充分的思考和探究的时间．在学生充分思考和动手实践后，在小组内交流，不拘泥于单一简单的做法，引导学生尝试不同的做法，力求让学生理解用尺规作线段的垂直平分线的本质．在掌握了线段的垂直平分线的做法后，探究如何过一点作已知直线的垂线，学生很难推理出垂线产生的条件，即使学生想到将其转化为作线段的垂直平分线，但学生一时很难找到合适的线段，所以这个问题成为本节课教学中的第二个障碍，同时也是本节课的教学难点．教学过程中先让学生独立思考，动手实践后，发现一部分学生无法顺利突破难点，教师再给予及时的提示：已知点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在已知直线l上，只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题．如何找到这条线段呢？只要找到这条线段的两个端点即可．引导学生使用“执果索因”的方法探究，只要考虑到点P也在这条线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，此题难点就此突破．四、教学支持条件分析：首先，在探究如何用尺规作线段的垂直平分线的教学过程中，需要给予学生足够的理论支持和构建典型的数学几何模型，所以教师借助多媒体帮助学生回顾线段的垂直平分线性质定理及逆定理，尤其是数学几何模型的出现，帮助学生理顺了数学思维，为学生寻找已知线段的垂直平分线确立了目标——线段的垂直平分线上的两个点，进而可由两点确定直线．其次，在探究出多种方法作线段的垂直平分线后，教师借助多媒体将三种不同的方法同时呈现在学生面前，学生潜意识里会对此进行比较，发现其中的数学规律，进而得到解决问题的实质——寻找符合条件的各个点．再次，在学生探究如何过一点作已知直线的垂线遇到困难时，教师又适时的借助多媒体在直线上呈现符合条件的不同线段，帮助学生更有效的进行数学思维，打开思路，为顺利突破本节课的难点起到了关键性的作用．最后，在回顾本节课主要内容时，又借助多媒体依次呈现典型的几何模型，帮助学生理顺本节课的数学知识和数学方法，发现其中的数学规律和必然联系．五、教学过程设计：（一）引入前面我们学习了线段的垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理．如果已知一条线段，你如何作出这条线段的垂直平分线呢？图1 图2 图3 前面我们利用直尺和圆规作出了一条线段等于已知线段，还作出了一个角等于已知角，现在我们能利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线吗？（二）探究一已知：线段AB ．求作：线段AB 的垂直平分线．小组交流：1．你是怎么想的？2．你是怎么做的？3．你作图的理由是什么？给学生足够的时间去独立思考，动手操作．虽然大部分学生能作出线段AB 的垂直平分线，但方法单一，而且不能理解尺规作出线段的垂直平分线的实质．然后小组内交流，充分交流后利用实物投影展示不同的做法．通过不同做法的展示，让学生归纳推理相出其中的数学规律，发现问题的实质．推理思路：1．找到符合条件的两个点即可：两点确定一条直线；2．既然是线段垂直平分线上的点，必然满足到线段两端点的距离相等．作法一：如图1所示，（1）分别以点A 、B 为圆心，a （ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的两侧画弧；分别交于点C 、D ；（2）连接CD ；直线CD 即为所求．作法二：如图2所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB ）为半径在线段AB 的上方画弧；交于点M；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的下方画弧，交于点N；（2）连接MN；直线MN即为所求．作法三：如图3所示，（1）分别以点A、B为圆心，a（ a ＞12AB）为半径在线段AB的上方画弧；交于点E；再分别以点A、B为圆心，b（b ＞12AB，b≠a）为半径在线段AB的上方画弧，交于点F；（2）连接EF；直线EF即为所求．从中任取一种画法，来解释一下为什么这条直线是线段AB的垂直平分线．如图4，第一种方法：从线段的垂直平分线定义的角度，利用三角形全等给予证明．第二种方法使用线段垂直平分线性质定理的逆定理给予证明．以上三种作图方法都是正确的，后两种得到的点采用半径不同，而第一种采用半径相同的作法，因此比较容易操作，以后，我们一般采用第一种方法做线段的垂直平分线．教师规范做法，并写出规范的作图语言．（三）探究二已知：直线l 和直线l 外一点P（或直线l 上一点P ）.求作：经过点P，且垂直于l 的直线.大部分学生思考后无法解决，然后进行小组内合作探究.图4在相当一部分学生仍旧不能解决时，教师给予适当的提示：点P一定在某条线段的垂直平分线上，而这条线段必然在直线l上，我们只要找到这条线段就可以很容易解决这个问题了．然后再让学生思考，合作交流探究．学生小组合作探究后，相当一部分学生得以解决，选择两位具有典型做法的学生上台板演，并讲解．点P在直线l外：经老师提示，因为点P在所求线段的垂直平分线上，所以点P到线段两个端点的距离相等，因此，以P为圆心适当长度为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段CD就是我们要找的线段．然后再分别以C、D为圆心，以a（a ＞12 CD）为半径画弧，两弧交于点E，连接PE．PE就是我们要作的直线．点P在直线l上：以P为圆心，任意长为半径画弧，与直线l有两个交点C、D，线段C、D就是我们要找的线段．在按照作线段的垂直平分线的作法，很容易就找到了符合条件的直线．提升：无论点P的位置在哪儿，我们都找到了一条合适的线段，将此题转化为做线段的垂直平分线，进而作出了已知直线的垂线．拓展：利用作线段的垂直平分线的方法可以作出一个直角，如果给定边长还可以能作一个直角三角形．（四）实际应用为进一步打造“宜居河北”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．这里的尺规作图帮助我们找到了垂直平分线，还帮助我们找到了线段的中点．作垂直，找中点就是我们这种作法的重要作用．（五）回顾与反思通过这节课的学习，你有哪些收获和感悟呢？1．利用尺规作已知线段的垂直平分线；2．利用尺规作已知直线的垂线、作直角、直角三角形，以及找中点；3．尺规作图中直尺和圆规的基本作用．六、目标检测设计：为检测学生对本节课知识的掌握情况，在教学过程中我设计了两个问题．目标检测一：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①此题从正反两个方面考察线段垂直平分线性质定理及逆定理，其目的是检验学生对这两条定理的的掌握情况，即对尺规作垂直平分线方法理论依据的考察．检验了学生对本课所学知识的掌握情况．目标检测二：已知：线段a,b求作：以线段a,b为相邻两边的长方形。
《线段的垂直平分线》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《线段的垂直平分线》教学设计第2课时一、教学目标1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.2.掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.3.能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.二、教学重难点重点：会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题.难点：掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：线段的垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？预设：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则P A=PB.应用:经常用来证明两条线段相等.问题2：线段的垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？预设：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图，线段AB，P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)．应用:经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.问题3：如何作已知线段的垂直平分线？预设：已知:线段AB，如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB 长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.分析：两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点，只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.证明前要先将题目转化为几何语言，画出图形.然后结合前面学过的线段垂直平分线的判定定理和性质定理进行证明.求解过程：已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在边AC的垂直平分线上，且P A ＝PB＝PC.证明：∵点P在边AB的垂直平分线上，∴P A＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB＝PC.∴P A＝PB＝PC.∴点P在边AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).【议一议】分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.⊥ 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；⊥ 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处.⊥ 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.【归纳】教师活动：结合上面的例题讲授及作图内容，鼓励学生先自主思考并讨论总结三角形外心的相关内容，然后做整体归纳总结.三角形的外心：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点称为三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形外心的位置：(1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点；(2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处；(3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点.【议一议】(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能做出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?预设：能作出无数个，所作出的三角形不都全等.(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗?分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形.预设：能作出两个三角形，所作出的两个三角形全等.【典型例题】教师活动：先帮学生回忆前面学习的尺规作图的基本内容，然后和学生一起分析具体作图方法，在学生作图过程中，引导学生体会每一作图步骤的作用及其理论依据.例2 已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h.作法：(1)作线段BC=a.(2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.(3)在l上截取DA= h.(4)连接AB，AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【做一做】已知直线l和l上一点P，用尺规作l 的垂线，使它经过点P 呢.小明的作法如下，你能明白他的作法吗？分析：先在直线l上截取A、B两点，且这两点到点P的距离相等；接着分别以点A、B为圆心，大于线段AB的一半的长为半径画弧，交于两点；最后连接得到的两个交点，得到直线m即为所求.你是怎样作的？和同学们交流讨论一下.【议一议】如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢?说说你的作法，并与同伴进行交流.分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线l的另一侧取点K，过P点以PK长为半径作弧，与直线l相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决.已知：直线l，及l外一点P .求作：直线m垂直于直线l，且经过点P.作法：1. 任取一点K，使点K与点P在直线l 两旁；2.以点P为圆心，以PK的长为半径作弧，交直线l于点A和点B；3.作线段AB的垂直平分线m.直线m垂直于直线l，且经过点P.教师活动：进行总结说明，给出简要证明，因为P A=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.三角形三边的垂直平分线的交点() A．到三角形三边的距离相等B．到三角形三个顶点的距离相等C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等D．不能确定2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD 的大小是()A．10°B．20°C．30°D．40°3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为 5 cm，则AO+BO+CO=cm.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.答案：1.B2.A3.154.38°5.解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G，那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)，BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，同理AF＝CF.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
冀教版八年级数学上册16.2《线段的垂直平分线》课件
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交
AB于点D和点E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
1 2
பைடு நூலகம்
DE的
长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
回顾反思
探究新知
学生活动一 【一起探究】
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
探究新知
证明：∵ l⊥AB ∴ ∠PCA =∠PCB
又∵ AC =CB，PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB
线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等！
探究新知
三角形三边的中垂线交于一点，这点到三角形 的三个顶点距离相等.
巩固练习
1.河边有两个村庄A、B，要在河岸CD上建一自来水厂 P，使水厂到A、B两村的距离相等，请找出P的位置.
巩固练习
2.如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，
则点D在( )的垂直平分线上.
A.AB
B.AC
探究新知
学生活动一 【一起探究】 已知：如图，点P为线段AB外一点，且PA =PB． 求证：点P 在l AB的垂直平分线上．
探究新知
O
探究新知
线段垂直平分线性质定理逆定理：到线段两端距离 相等的点，在这条线段的垂直平分线上
符号语言：
∵PA =PB
O
∴点P在AB的垂直平分线上
探究新知
作用：这是判断一条直线是某线段的垂直平分线的方法！ 注意：两点确定一条直线！
C.BC
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》教学设计
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》这一节，是在学生学习了直线、射线、线段的基础上，进一步研究线段的垂直平分线。
教材通过实例引入线段垂直平分线的概念，然后引导学生使用尺规作图的方法来证明线段的垂直平分线垂直平分线段。
教材注重培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，让学生在实践中掌握知识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了直线、射线、线段的基本知识，对尺规作图也有了一定的了解。
但是，学生对于线段垂直平分线的概念和性质可能还比较模糊，需要通过实际的操作和讲解来加深理解。
此外，学生在作图过程中可能存在操作不规范、作图方法不熟练的问题，需要在教学中加以指导和纠正。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握线段垂直平分线的概念和性质，能够使用尺规作图的方法证明线段的垂直平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的乐趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：线段垂直平分线的概念和性质，尺规作图的方法。
2.难点：如何引导学生通过尺规作图证明线段的垂直平分线。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引入线段垂直平分线的概念，引导学生发现并总结线段垂直平分线的性质。
2.实践操作法：让学生亲自动手进行尺规作图，培养学生的动手操作能力。
3.合作交流法：学生分组进行作图实践，鼓励学生相互讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教具准备：尺规作图工具、多媒体设备。
2.教学素材：线段垂直平分线的实例、作图练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实例，引导学生观察线段的垂直平分线，让学生感受到线段垂直平分线的存在。
2.呈现（10分钟）呈现线段垂直平分线的定义和性质，让学生初步理解线段垂直平分线的概念。
16.2 线段的垂直平分线(课件)冀教版数学八年级上册
读 点 P 在
径画弧，交 l 于 A，B 两点；
直线 l
②作线段 AB 的垂直平分线 CD，
上
CD 即为直线 l 的垂线
图示
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第二课时 线段垂直平分线的判定和画法
考
点
清
单
解
读
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续表
①以点 P 为圆心，适当长为半径
点 P
画弧，交 l 于 A，B 两点；②分
在直
别以点 A，B 为圆心，适当长为
16.2 线段的垂直平分线
第一课时 线段垂直平分线的性质
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第一课时 线段垂直平分线的性质
■考点
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线段垂直平分线的性质定理
考
点
内容
清
单
线段垂直平分线上的点到线段两端的距
解
读 性质
离相等条件：点在线段的垂直平分线上
定理
结论：这个点到线段两端的距离相等
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］9
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第一课时 线段垂直平分线的性质
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重 ■题型 线段垂直平分线的性质定理的应用
难
例
如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°．若边
题
型 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，
突
破 连接 CD，则∠DCB 的度数为 （
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解题通法
涉及尺规作图的题目，首先要根据作图方
重
难
题 法或作图痕迹判断出所作图形，再结合题目所给条件解决
型 问题.
八年级数学上册《线段的垂直平分线的性质》教案、教学设计
（三）学生小组讨论，500字
1.将学生分成小组，讨论以下问题：
a.线段垂直平分线的定义是什么？
b.如何作出线段的垂直平分线？
c.线段垂直平分线有哪些性质？
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习，500字
3.学生回答后，教师总结：“这些线段都有一个共同的性质，那就是它们都是其他线段的垂直平分线。今天我们就来学习这个性质。”
（二）讲授新知，500字
1.回顾线段、角等基本概念，为新课的学习做好知识铺垫。
2.讲解线段垂直平分线的定义，解释垂直平分线是垂直于线段且将其平分的直线。
3.通过尺规作图，演示如何作出线段的垂直平分线，让学生跟随操作，加深理解。
2.自主探究，合作交流
（1）让学生回顾已学的线段、角等知识，为新课的学习做好铺垫。
（2）引导学生通过尺规作图，探究线段垂直平分线的性质，发现线段中点到垂直平分线的距离相等这一关键性质。
（3）组织小组讨论，让学生在合作交流中掌握线段垂直平分线的判定方法，提高他们的团队协作能力。
3.知识巩固，拓展提高
设计不同难度的练习题，让学生在解决问题的过程中，巩固所学知识，提高自己的几何解题能力。同时，针对学有余力的学生，设置拓展题，激发他们的学习潜能。
2.引导学生运用尺规作图法，动手操作，探究线段垂直平分线的性质，培养他们的观察力和动手能力。
3.组织小组讨论，让学生在合作交流中掌握线段垂直平分线的判定方法，提高他们的团队协作能力。
4.设计不同难度的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高自己的几何解题能力。
（三）情感态度与价值观
冀教版-数学-八年级上册-《线段的垂直平分线》教学建议
初中-数学-打印版
16.2线段的垂直平分线
第一课时
本节学习线段的垂直平分线性质定理及其逆定理，应突出体现线段的轴对称性．
本节的第一课时，主要探索和证明线段垂直平分线的性质定理．教学时要注意：
1．在“一起探究”中，要给予学生充分的时间，开展思考、交流、研讨，让学生经历猜想、动手操作初步验证猜想、逻辑证明验证猜想的问题解决过程，有利于学生体会合情推理、演绎推理的不同，掌握问题的解决方法．
2．在“做一做”中，让学生回顾线段的垂直平分的概念，利用线段的垂直平分线的性质解决这个问题，引导学生归纳辅助线的作法，规范数学语言的运用．
第二课时
本节的第二课时，主要探索和证明线段垂直平分线性质定理的逆定理．教学时要注意以下两个问题：
1．“一起探究”，要留给学生充分时间进行思考、研讨活动，培养学生自主探究能力，使学生掌握用演绎推理证明几何命题的步骤．
2．“做一做”，可让学生先独立思考、探索，再小组交流、研讨；最后进行展示．使学生从不同的做法中，比较、选择哪种做法最优，以加深对线段垂直平分线性质的逆定理的理解．
第三课时
本节的第三课时，主要是提升学生尺规作图的能力．
两个例题是用尺规分别作已知线段的垂直平分线及过已知直线外一点，作已知直线的垂线．在教学过程中，让学生动手操作，边作边口述每一步的作法，规范表述，提高运用数学语言表述作图过程的能力．
初中-数学-打印版。
线段的垂直平分线(第2课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
P
●
l
尺规作图(二)
已知：直线 l 和 l 上一点P． 求作：PC⊥ l ．
作法： 1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧， 与直线 l 相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求 l 的垂线．
C
P A
l B
尺规作图(二)
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P
PB=PC
试试看，你会写出证明过程吗？
P
B
C
m
PA=PC
点P在AC的垂
直平分线上
三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
已知：在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点O.
求证：点O在边AC的垂直平分线上，且OA=OB=OC. A
证明：连接OA，OB，OC．
∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB 同理OB=OC，∴OA=OC.
△ABC就是所求作的三角形.
B
M A
DC N
四、课堂练习
8. 如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接 AD，CD． （1）若∠B=40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA=DB，DC=DB， ∴∠DAB=∠DBA，∠DCB=∠DBC， ∴∠ADH=∠DAB+∠DBA=2∠DBA， ∠CDH=∠DCB+∠DBC=2∠DBC， ∴∠ADC=2∠ABC=80°， ∵DA=DB，DC=DB，∴DA=DC， ∴∠ACD=∠CAD=（180°-80°）÷2=50°；
八年级数学上册16.2第2课时线段垂直平分线的逆定理及
16.2 线段的垂直平分线第2课时 线段垂直平分线的逆定理及尺规作图学习目标：1.理解并掌握线段垂直平分线的逆定理并学会运用.（难点）2.根据能够运用尺规作线段的垂直平分线.3.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题．（难点） 学习重点：线段垂直平分线的逆定理. 学习难点：线段垂直平分线的逆定理的运用.一、知识链接1.写出线段垂直平分线的性质定理，再根据其写出其逆命题.答：__________________________________________________________________. 二、新知预习2.结合下图，写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题.已知：如图，点P 为线段AB 外一点且_____________. 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 证明：设线段AB 的中点为O ，连接PO 并延长.在△_______和△________中，∵___________________________________________, ∴△_______≌△________. ∴_______________________. ∵_______________________. ∴_______________________. ∵_______________________. ∴_______________________.于是我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上． 三、自学自测1在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC（ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三条中线的交点 C ．三条高的交点 D ．三边垂直平分线的交点2、如图1，四边形ABCD ，AB=AD ，BC=DC ， 则AC 与BD 的位置关系是 ， 点A 在线段BD 的 上， 点C 在线段BD 的 上.3、如图2，AD 是△ABC 的高，E 为AD 上一点，且BE=CE ，则△ABC 为 三角形。
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》教学设计
冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册《关于线段垂直平分线的尺规作图》一课，是在学生学习了线段垂直平分线的性质和判定定理之后，进一步引导学生通过尺规作图来探究线段垂直平分线的性质。
本节课的内容对于学生来说，既有熟悉的基础知识，又有新的作图技巧和思考方式，因此在教学设计上，既要注重基础知识的学习，又要激发学生的探究兴趣，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，具备了一定的几何知识基础。
同时，学生对于尺规作图并不陌生，但可能对于如何运用尺规作图来探究几何问题还缺乏一定的经验和方法。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生将已有的知识与新的作图技巧相结合，提高学生的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解线段垂直平分线的性质，并能够运用尺规作图的方法来证明线段垂直平分线的性质。
2.过程与方法目标：通过尺规作图，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解线段垂直平分线的性质，并能够运用尺规作图的方法来证明线段垂直平分线的性质。
2.教学难点：如何引导学生运用尺规作图来探究线段垂直平分线的性质，并能够进行逻辑推理和证明。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生运用已有的知识来解决新的问题。
2.实践操作法：学生通过尺规作图，动手操作，提高学生的实践能力。
3.小组讨论法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：尺规、直尺、圆规、三角板等。
2.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更好地理解和掌握知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的几何问题，引导学生思考线段垂直平分线的性质，激发学生的学习兴趣。
垂直平分线的性质说课稿
16.2线段的垂直平分线南坪中心学校王干各位评委大家好！我是南坪中心学校的王干，今天我说课的内容是线段的垂直平分线，下面我将从教材分析、学情分析、教法和学法分析、教学过程分析、板书设计等五个方面来进行我本节课的说课。
一、教材分析1.教学内容：本节课是义务教育课程标准试验教科书八年级上册第16章第2节的内容。
考虑到学生对尺规作图的能力和逻辑推理的能力都有待加强，所以我把本节课分为两个课时，本课时是线段的垂直平分线的尺规作图方法和性质定理的内容。
逆定理的内容将在下一节课中进行阐述。
2.教材的地位和作用：本节课是同学们在学习了三角形全等、轴对称图形的基础上，运用尺规作图的方法对线段的垂直平分线做进一步的探究，也是学习等腰三角形和圆的确定等方面的知识的重要基础，在我们实际生活中也有着广泛的实际应用。
基于以上的教学内容和本节课在初中几何中的重要地位和作用，以及新课程标准的要求培养学生的自主学习和探索的能力。
我设定了一下的三维教学目标：3.教学目标：知识与技能目标：1.会用尺规作图作已知线段的垂直平分线并证明其正确性。
2.理解和掌握线段垂直平分线的性质并利用其解决实际问题。
过程与方法目标：经历线段垂直平分线的画法、证明及性质的探究过程。
情感、态度和价值观目标：1.通过主动探究，合作交流，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，感受探索的乐趣。
2.使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。
根据新课程标准的要求，以及以上的教学目标的设定和学生对已有知识的掌握情况设定了本节课的教学重、难点。
4.教学重点：1.线段的垂直平分线的画法及证明。
2.线段的垂直平分线的性质（也是学习本节课的关键）。
教学难点：1.线段的垂直平分线作法的正确性的证明2.线段的垂直平分线的性质的应用二、学情分析从初中八年级学生的年龄特征和心理特征来说，正处于由直观形象思维向以抽象逻辑思维过渡的一个关键期，还没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，但是这一阶段的学生好奇心强，勇于探索，敢于表现自己，希望得到别人的肯定和赞扬，但是注意力也较容易分散。
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第二课时角平分线性质定理的逆定理课件
解析 (1)证明:过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点P作PD⊥MN, 垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足为E,如图,
∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN, ∴PC=PD, ∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.
(2)∵△PMN的面积是16,MN=8,
4.(2024黑龙江齐齐哈尔二十八中期中)如图,DE⊥AB交AB 的延长线于点E,DF⊥AC于点F,若∠ABD+∠C=180°,BE= CF,求证:AD平分∠BAC.
证明 ∵∠ABD+∠C=180°,∠ABD+∠DBE=180°,
∴∠C=∠DBE,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°,
2
2
即线段OM与ON的长度之和为20.
素养探究全练
10.(推理能力)如图1,点P是∠AOB的平分线OC上的一点,我们可 以在OA,OB上取点M,N,使OM=ON,连接PM,PN,就可以得到 △POM≌△PON. (1)请你在图1中,根据题意,画出上面叙述的全等三角形△POM 和△PON,并加以证明. (2)请你参考(1)中作全等三角形的方法,解答下列问题: ①如图2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是 ∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断并写出
解析 (1)如图,AG即为所作.
(2)∵AG平分∠BAC, ∴点G到AB和AC的距离相等, ∴S△ABG∶S△ACG=AB∶AC,即18∶S△ACG=6∶10, ∴S△ACG=10 =1380.
6
能力提升全练
8.(新考向·尺规作图)(2020河北中考,6,★☆☆)如图1,已知∠ABC, 用尺规作∠ABC的平分线. 如图2,步骤如下: 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E; 第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内 部交于点P; 第三步:画射线BP.射线BP即为所求.
初中数学第2课时 作线段的垂直平分线
第2课时作线段的垂直平分线要点感知1 要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段A B两端距离相等的.预习练习1-1 已知△ABC，用尺规分别作AB，BC的垂直平分线.它们相交于点O，试判断点O到A，B，C三点的距离有什么关系?要点感知2 过一点作直线的垂线，可以通过在已知直线上作线段的来找出垂线上的另一点，从而利用“”确定已知直线的垂线.预习练习2-1 在新农村建设中，公路实现“村村通”是很受欢迎的民生工程，如图所示，已知直线l是一条笔直的公路，现有一个村庄P要修一条公路与l相通，要使其造价最低.请在图中画出要修的公路的位置.知识点1 作线段的垂直平分线1.如图的尺规作图是作( )A.线段的垂直平分线B.一个半径定值的圆C.一条直线的平行线D.一个角等于已知角2.如图，请你作出△ABC中BC边的垂直平分线(不写作法，保留作图痕迹).知识点2 过一点作已知直线的垂线3.已知：如图△ABC.求作：AC边上的高BD.4.如图所示，村庄A，B分别在笔直公路l的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置，并说明理由.5.点A点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？6.如图所示，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意图，并说明理由.7.请按下列步骤作图：(1)如图，△ABC中，取线段BC的中点D，过点D作射线AD；(2)作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F；(3)直线BE和直线CF有怎样的位置关系？为什么？8.如图，甲车从A处沿公路l向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？9.某区拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示.请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)。
翼教版八年级数学上册第十六章专题练习线段的垂直平分线
专题一线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD与B,C的连线BC的位置关系为 _________.2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BAC= _____度，若△ADE的周长为19 cm，则BC=__________cm．3．如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，连接BD，若已知四边形ABCD的面积是125，AC=25，则BD的长为 ________．4.已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．专题二线段垂直平分线与轴对称的综合应用5.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）6.如图，四边形ABCD是一个长方形的台球桌，台球桌上还剩一个黑球没有被打进球袋，在点P的位置，现在轮到你打，你应该把在点Q位置的白球打到AB边上的哪一点，才能反弹回来撞到黑球？7.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30° B．45° C．60° D．90°专题三作图题8.如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给张、王、李、赵四家，为了分配合理，要求面积相同，为了便于浇地，每家都有靠河边的菜地，你能想办法将菜地合理分配吗？（尺规作图，保留作图痕迹）9.如图，△ABC与△A B C''''''关于直线EF对称.'''与△A B C'''关于直线MN对称，△A B C（1）画出直线EF（尺规作图）；（2）设直线MN与EF相交于点O，夹角为α，试探求∠BOB''与α的数量关系.参考答案1. 垂直解析：连结BC，AD，∵AB=AC，DB=DC，∴A在线段BC的垂直平分线上，D在线段BC的垂直平分线上，∴AD是线段BC的垂直平分线，即AD⊥BC，故答案为：垂直．2.115 19 解析：①∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，∴AM=BM，∠AMD=∠BMD=90°，又MD=MD，∴△AMD≌△BMD，∴∠B=∠BAD，AD=BD. 同理∠C=∠CAE，AE=CE.∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE，∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C；又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，∴∠BAC=115°；②∵△ADE的周长为19 cm，∴AD+AE+DE=19，由②知，AD=BD，AE=EC，∴BD+DE+EC=19，即BC=19 cm.3. 10 解析：因为△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，所以AC 垂直平分BD ，所以BE=DE=12BD ，所以1=2ABCD S AC BD ⋅四边形，所以BD=10. 4.解：∵MN 是边AB 的中垂线，∴AN=BN ，∠ANM=∠BNM=90°，又MN=MN ，∴△AMN ≌△BMN ， ∴AM=BM ，∠BAM=∠B. 设∠B=x ，则∠BAM=x ，∵∠C=3∠B ，∴∠C=3x.在△ABC 中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°， ∴x=26°，即∠B=26°．5.D 解析：（1）作点P 关于直线l 的对称点P '；(2)连结P 'Q ，交直线l 于点M ；沿着P —M —Q 的路线铺设，即为最短.AB 于点M ，则点M 就是所求的点，6.解：如图，作点P 关于AB 的对称点P '，连结P Q '交即把在点Q 位置的白球打到边AB 上的点M 处，才能反弹回来撞到黑球.7.A 解析：如图，作点P 关于OA 的对称点C ，关于OB 的对称点D ，连结CD ，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连结OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=2，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=2，∴OC=OD=CD=2，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选A．8. 解：如图所示：（1）作BC的垂直平分线b，交BC于E；（2）分别作BE、CE的垂直平分线a，c，分别交BC于D，F；（3）连接AD，AE，AF，则AD，AE，AF即为分割线.9.解：如图，连结C C '''，作线段C C '''的垂直平分线EF ，则直线EF 即为所求.（2）连结BO ，B O ',B O ''.由△ABC 与△A B C '''关于直线MN 对称，易知∠BOM=∠B OM '.由△A B C '''与△A B C ''''''关于直线EF 对称，易知∠B OE '=∠B OE ''，所以∠B OB '''=∠BOM+∠B OM '+∠OF B '+∠OF B ''=2(∠B OM '+∠OF B ')=2α，即∠BOB ''=2α.易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法12】( )A．3 B．2 C．1 D．－13．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是() A ．1，－29 B ．3，－29 C ．3，1 D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图像如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值CA．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13. 4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。