重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第四章直线与圆的方程复习
新人教版高一数学导学案必修2 第4章 圆与方程
§4.1圆的标准方程1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程.1241271.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时0a b==，则圆的方程就是222x y r+=王新敞探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M--是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例 2 已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1. 已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练 2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程王新敞三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-= B．22(1)(2)52x y+++=C．22(1)(2)52x y-+-= D．22(1)(2)52x y-++=2. 点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定3. 圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）.A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++=4. 圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5. 过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1. 已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2. 已知圆2225x y +=王新敞求：⑴过点(4,3)A -的切线方程. ⑵过点(5,2)B -的切线方程王新敞§4.1圆的一般方程1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件； 2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程； 3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力1271301．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是王新敞2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学 ※ 学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,)22D E--为圆心⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆王新敞只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程王新敞思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？ ※ 典型例题例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. ⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※ 动手试试练 1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练 2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升 ※ 学习小结 1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握. 3． 使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.A ．2m ≤ B.2m < C ．12m < D ．12m ≤2. 圆22410x yx +--=的圆心和半径分别为（ ）.A ．(2,0),5B ．(0,-C ．．(2,2),5 3. 动圆22(42x y m +-+的圆心轨迹是（ ）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --= 4. 过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是 .5. 圆22450x y x +--=的点到直线342x y -+ 0=的距离的最大值为 .1. 设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2. 求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．1331361．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程 .把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为 .2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学 ※ 学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离； ⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切； ⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※ 典型例题例 1 用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例 2 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※ 动手试试练1. 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2. 求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升 ※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法 ① 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离② 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d⑴如果d r < 直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线34x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（ ）.A ．0或2B ．2CD ．无解3 已知直线l过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）.A．(- B ．(C ．(D ．11(,)88-4. 过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为 .5. 圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为 .1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=.2. 若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系． 136137 1．直线与圆的位置关系 ，， . 2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长 .3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？ 4. 设圆两圆的圆心距设为d. 当d R r >+时，两圆 当d R r =+时，两圆 当||R r d R r -<<+ 时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆 二、新课导学 ※ 学习探究探究：王新敞如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决 ※ 典型例题例 1 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++ 50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+ 30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※ 动手试试练 1. 已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2. 求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升 ※ 学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知01r <+，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（ ）. A ．外切 B ．相交 C ．外离 D ．内含 2. 两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（ ）.A B ．1 CD ．23. 两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（ ）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条 4. 两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是 .5. 两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切1. 已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2. 求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．1381401．圆与圆的位置关系有 .2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+ 70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++- 0=的交点的直线方程 .二、新课导学 ※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※ 典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22A B 的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2y x=+与曲线y=点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A-的距离是到(2,0)B的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A．()2244x y-+= B．()22416x y-+= C．22(4)4x y+-= D．22(4)16x y+-=2. 如果实数,x y满足22410x y x+-+=，则yx 的最大值为（）A．3. 圆222430x y x y+++-=上到直线10x y++=）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 圆()()22114x y-+-=关于直线:220l x y--=对称的圆的方程 .5. 求圆()()22114x y-++=关于点()2,2对称的圆的方程.1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质； 2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．（预习教材P 124~ P 140，找出疑惑之处） 一．圆的标准方程例1 一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例 3 求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四 弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算 例4 直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y+=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（ 圆关于点对称，圆关于圆对称） 例5 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习 1. 求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2. 由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3. 等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（ ）. A 30x y +-= B 30x y --= C 260x y --= D 260x y +-=2. 若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,6 3. 已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（ ）.A ．10 B.226- C.64 D.8 4. 设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________. 5. 圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1. 从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2 y x =上，圆被直线0x y-=截得的弦长为求圆的方程.§4.3 空间直线坐标系1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标1421441．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体O B C D D A''''-中，3,4O A O C==2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C 点为原点，以射线,,BC CD CC '方向分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M -，描出它在空间的位置例2 V ABCD -为正四棱锥，O 为底面中心，若2,3AB VO ==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※ 动手试试练1. 建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2. 已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升 ※ 学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --； (,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --； (,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）. A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的 B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2. 已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)- 3. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（ ）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64. 已知A B C D 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -， (3,7,5)C -则顶点D 的坐标 .5. 方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是 .(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2. 设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为 4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. ⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标； ⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.145146 1. 平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学 ※ 学习探究王新敞1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※ 典型例题例1 求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※ 动手试试 练1. 在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2. 试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -, (3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升 ※ 学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球. ※ 知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r+=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1A B--之间的距离（）.A．6 B．7 C．8 D．92．在x轴上找一点P，使它与点0(4,1,2)P的距离，则点P为（）.A．(9,0,0) B．(1,0,0)-C．(9,0,0)(1,0,0)- D．都不是3．设点B是点(2,3,5)A-关于xoy面的对称点，则AB=（）.A．10 BD．384．已知(3,5,7)A-和点(2,4,3)B-，则线段AB在坐标平面yoz上的射影长度为 .5．已知ABC∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B--，(0,5,1)C则BC边上的中线长为 .1. 已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B和(1,3,1)C-.试证明A角为钝角.2. 在河的一侧有一塔5CD m=，河宽3BC m=，另侧有点A，4AB m=，求点A与塔顶D的距离.第四章圆与方程复习1. 掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2. 掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3. 掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.124152复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为王新敞当圆心在坐标原点时，圆的方程为 .⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有 ， 判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对 表示. ⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z ， 2222(,,)P x y z ，则两点间的距离为12PP = .⑶点(,,)M a b c 关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy 对称的点 ； ⑵关于坐标平面yoz 对称的点 ； ⑶关于坐标平面xoz 对称的点 ； ⑷关于x 轴对称的点 ； ⑸关于y 对轴称的点 ； ⑹关于z 轴对称的点 .※ 典型例题例1 求经过(2,4),(3,1)P Q --两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例 2 在圆224x y +=上与直线43120x y +-=距离最短的点是.※ 动手试试练. 求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++- 10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程. ⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升 ※ 学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．2± 2. 圆222210xy x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）. A ．2 B ．1．2+D ．1+3. 2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4. 如果直线l 将圆22460x y x y +-+=平分，那么坐标原点到直线l 的距离最大值为 .5. 若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是. 1. 讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2. 已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切 ⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
【优质文档】人教版高中数学必修2第四章直线、圆的位置关系同步教案
)
A． 3或－ 3
B
．－ 3或 3 3
C．－ 3 3或 3
D
．－ 3 3或 3 3
3. 直线 x＋ 2y－ 5＋ 5＝ 0 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＝ 0 截得的弦长为 (
)
A． 1
B
．2
C． 4
D
．4 6
4．圆心坐标为 (2 ，－ 1) 的圆在直线 x－ y－ 1＝0 上截得的弦长为 2 2，那么这个圆的方程为 (
x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＋ λ( Ax＋ By＋C) ＝ 0( λ∈ R) ． (4) 过圆 C1：x2＋ y2＋ D1x＋E1y＋ F1＝ 0 与圆 C2： x2＋ y2＋ D2x＋ E2y＋ F2＝ 0 交点的圆系方程为
x2＋ y2＋ D1x＋ E1y＋ F1＋ λ( x2＋ y2＋ D2x＋ E2y＋ F2 ) ＝ 0( λ≠－ 1， λ∈R) ，此圆系中不含圆 C2. 当 λ＝－ 1 时，得到 (D1－ D2)x＋(E1－ E2)y＋ F1－ F2＝ 0，此为两圆公共弦所在的直线方程． 因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．
y1 ＋
【方法技巧】
1、过一点求圆的切线方程，应先判断这一点与已知圆的位置关系，然后再选择适当的方法求解．一般情况下，
常利用几何法求解．
2、已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
3、 (1) 过圆外一点 ( x0， y0) 与圆相切的切线方程的求法．
①先假设切线斜率存在，有下列两种求切线斜率
（3）当直线与圆相切时圆心到直线的距离与圆的半径是什么关系？
2、两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解．圆与直线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，
高中数学第四章圆与方程复习教案新人教A版必修2
1.了解解析几何的基本思想 ,了解用坐标法研究几何问题 ;掌握圆的标准方程和一 般方程,加深对圆的方程的认识. 教 学 目 标 2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆 的方程解决一些简单问题. 3.了解空间直角坐标系 ,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距 离公式. 4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形 成一定的分析问题和解决问题的能力. 教 学 教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成. 重、 教学难点:整理形成本章的知识系统和网络. 难 点 教 学 多媒体课件 准 备
2 2 所以圆心 C(2,1),r=|CA|= (5 2) ( 2 1) 10
所以所求圆的方程为(x－2) ＋(y－1) =10. 点评: 本题介绍了几何法求圆的标准方程 ,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用 两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程 ,结合其他条件可确定圆 心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方 程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简 化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选 标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方 程形式,进而确定其中三个参数. 变式训练 圆：x +y -4x+6y=0 和圆：x +y -6x=0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方 程是( A.x+y+3=0 D.4x-3y+7=0 答案：C(由平面几何知识知 AB 的垂直平分线就是连心线.) 例 2 两定点 A、B 相距为 8,求到 A、B 的距离的平方和为 50 的点 P 的轨迹方程. ) B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.1.2
4.1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般方程.知识点一 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，22.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.思考 若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？ 答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：题型一 圆的一般方程的定义例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， 故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆.此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|.反思与感悟 对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.题型二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 已知一个圆过P (4,2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根， ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.①将P ，Q 两点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10.③解①②③联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10625，E ＝－565，F ＝48425.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10625x －565y ＋48425＝0.题型三 求动点的轨迹方程例3 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法二 同方法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法三 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1,0). 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1). 反思与感悟 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 求到点O (0,0)的距离是到点A (3,0)的距离的12的点的轨迹方程.解 设M (x ，y )到O (0,0)的距离是到A (3,0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0.即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.代入法求圆的方程例4 已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程.分析 由于点M 依赖于动点C ，且动点C 在圆上，故只要找到点M 与点C 的坐标关系，再利用点C 的坐标满足圆的方程，即可求得点M 的轨迹方程. 解 设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .① 因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， 所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)， 即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1).解后反思 对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5 已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，点P (x ，y )在圆上运动，求2x 2＋y 2的最值.分析 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0，求得x 的范围.而点P (x ，y )在圆上，则可将2x 2＋y 2转化为关于x 的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0. 所以0≤x ≤2.又因为2x 2＋y 2＝2x 2－x 2＋2x ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以0≤2x 2＋y 2≤8.所以当x ＝0，y ＝0时，2x 2＋y 2有最小值0， 当x ＝2，y ＝0时，2x 2＋y 2有最大值8. 故2x 2＋y 2有最小值0，最大值8.1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12 B.k ＝12 C.k ≥12 D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －y －3＝0 C.2x －y －6＝0 D.2x ＋y －6＝0答案 B解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D.2 答案 D解析 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|12＋12＝ 2.5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.一、选择题1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4 C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16答案 C解析 由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4. 2.圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 B.(x ＋4)2＋(y －1)2＝5 C.(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 C解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)，设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2. 5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.6.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B.x 2＋y 2＝4 C.x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D.x 2＋y 2＝2 答案 A解析 设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2).当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形， 因此不成立.同理当x ＝－2时也不成立. 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 二、填空题8.已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________.答案 m ＜－13解析 因为A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13. 又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134. 综上，m ＜－13.9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9解析 设圆心为M (x ，y ).由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________. 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.11.光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于______. 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 三、解答题12.已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上， 故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方， 得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章
4.1.1圆的标准方程[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.2.圆的标准方程思考方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？答不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2>r 2； 点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2<r 2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？ 答 关键是点与圆心的距离与半径的大小比较.题型一 求圆的标准方程例1 已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的标准方程.解 方法一 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，r 2＝10.故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10. 方法二 直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－12，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此直线m 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.又因为圆心在直线3x －y －2＝0上， 所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4). 又因为半径r ＝|CA |＝10，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10. 方法三 设圆心为C .因为圆心在直线3x －y －2＝0上，所以可设圆心C 的坐标为(a,3a －2). 又因为|CA |＝|CB |，所以(a －3)2＋(3a －2－1)2＝(a ＋1)2＋(3a －2－3)2， 解得a ＝2.所以圆心为(2,4)，半径长r ＝|CA |＝10. 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.跟踪训练1 △ABC 的三个顶点分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求其外接圆的标准方程.解 方法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2.解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.故所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 方法二 因为A (0,5)，B (1，－2)， 所以线段AB 的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是 y －32＝17⎝⎛⎭⎫x －12， 即x －7y ＋10＝0，同理，线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1).又因为圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5， 所以所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 题型二 点与圆的位置关系的判断例2 已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围.解 由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞). 反思与感悟 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内， ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上， ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外.跟踪训练2 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围是( ) A.－1＜a ＜1 B.0＜a ＜1 C.a ＜－1或a ＞1 D.－1＜a ＜0答案 A解析 直接利用点与圆的位置关系来判断.∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4.解得－1＜a ＜1. 题型三 圆的方程的综合应用例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得C (3,0)，r ＝|AB |2＝2，∴所求方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.反思与感悟 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解.跟踪训练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值. 解 设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.求圆的标准方程例4已知圆的圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程.分析由圆心在x轴上，即圆心的纵坐标为0，半径长为5，结合在y轴上截得的线段长为8，可构造直角三角形求解，也可设出圆的方程，利用待定系数法求解.解方法一如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3.所以a＝±3.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.方法二由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点A(0,4).代入方程，得a2＋16＝25.所以a＝±3.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.解后反思此题在求解圆的标准方程时，方法一注意不要漏掉圆心在x轴负半轴上的情况，借助图形解决数学问题直观但缺乏精细.若采用计算推理，则两种情况都可求得.1.圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，－3)D.(－1，－3)答案C解析由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋3)2＝1，得圆心坐标为(1，－3).2.圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25答案D解析将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得.3.经过点(2,2)，圆心为C(1,1)的圆的方程是()A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B.(x－1)2＋(y－1)2＝2C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案B解析圆的半径长r＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为()A.|a|＜1B.a＜113 C.|a|＜15 D.|a|＞113答案D解析由已知，得(5a＋1－1)2＋(12a)2＞1，即169a2＞1，故|a|＞1 13.5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________.答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.一、选择题1.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，即－a＞0，－b ＜0，∴圆心在第四象限.2.已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在()A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外答案B解析先将圆化成标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝2a，∴圆心为(a,1)，则原点与圆心的距离为a2＋1.∵0＜a＜1，∴a2＋1＞2a＝r.即原点在圆外.3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B、D，再把点代入A、C选项中，可得C正确.4.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()A.(x－2)2＋y2＝5B.x2＋(y－2)2＝5C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D.x2＋(y＋2)2＝5答案A解析圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.5.以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝3B.(x＋2)2＋(y－1)2＝3C.(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 答案 C解析 由已知，得圆的半径长r ＝|3×2＋4×1＋5|32＋(－4)2＝155＝3，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.6.已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( ) A.(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C.(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D.(x ＋2)2＋(y －3)2＝52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.7.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B.1 C. 3 D.2 答案 B解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1. 二、填空题8.已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________. 答案 (x －2)2＋y 2＝25解析 |AB |＝(5＋1)2＋(－4－4)2＝10，则r ＝5，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1＋52，4－42，即(2,0).故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.9.与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共圆心，且过点P (－1,1)的圆的标准方程是________. 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r ，则(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.又因为过点P (－1,1)，所以r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.10.圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为C (1,1)，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为2＋1. 11.已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________.答案 t ≤－32或t ≥34解析 y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)， 则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.三、解答题12.一个等腰三角形ABC 底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B (－3,0)和C (3,0)，求它的外接圆的方程.解 (1)当点A 的坐标是(0,4)时(如图①)，k AB ＝43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，2，线段AB 的垂直平分线的方程是y －2＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝－34x ＋78. 令x ＝0，则y ＝78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，78，半径长为4－78＝258， 此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564.(2)当点A 的坐标是(0，－4)时(如图②)，k AB ＝－43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－2，线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋2＝34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝34x －78. 令x ＝0，则y ＝－78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－78，半径长为－78－(－4)＝258，此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564. 综上可知，所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564或x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564. 13.已知圆C 的圆心坐标为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2). (1)求圆C 的方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程. 解 (1)由题意，设圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0).因为圆C过定点P(4,2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x20－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20. (2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.。
【精品教案】高中数学必修2第四章《直线与圆的方程的应用》教案
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；
（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：
重点与难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学设想。
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案高二数学必修2 第四章圆与方程第四章圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,ab r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径?点在圆外?_________________.2°点到圆心的距离等于半径?点在圆上?_________________.3°点到圆心的距离小于半径?点在圆内?_________________.二、合作探究例1：ABC ?的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆；(ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________；(ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ?的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。
情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第四章第一节圆的一般方程-
第四章第一节圆的一般方程
三维目标
1．掌握圆的一般方程，会将圆的一般方程和圆的标准方程相互转化；
2. 会用待定系数法求圆的一般方程；
3. 会用坐标法求点的轨迹方程；
4．体会代入消元的思想。
___________________________________________________________________________ 目标三导学做思 1
问题1.对下列方程进行配方，得到的方程表示什么
? (1)222210x y
x y ； (2) 054222y x y x ；(3) 064222y x
y x 问题 2. 方程022F Ey Dx y x
在什么条件下表示圆？此时圆的圆心坐标和半径是
多少？【试试】1. 圆的一般方程：
（）圆心坐标（，
），半径为 . 【试试】2. 若方程052422k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（）
A.k>1
B.k<1
C.1k
D.k 1
【学做思2】
*1.已知ABC 中，顶点2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是
0x y ，边AC 上高BE 所在直线的方程是
340x y ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求ABC 的外接圆的方程．
【思考】根据这题的解法，请你总结出求圆的方程的一般步骤
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆4)1(22y x
上运动，求线段AB
的中点M 的轨迹方程。
（学生小组讨论展示解题思路）【小结】求轨迹方程的一般步骤
【变式】自圆422y x 上的点A(2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程。
人教A版高中数学必修2 第4章 圆与方程【导学案】
§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时a b==，则圆的方程就是222x y r+=探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M---是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-=B．22(1)(2)52x y+++= C．22(1)(2)52x y-+-=D．22(1)(2)52x y-++= 2.点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）. A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++= 4.圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1.已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2.已知圆2225x y+=求：⑴过点(4,3)A-的切线方程.⑵过点(5,2)B-的切线方程§4.1圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,22D E--为圆心为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2Dx =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）.A ．2m ≤ B.2m <C ．12m <D ．12m ≤2.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53.动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是.5.圆22450x y x +--=的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值为.1.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题例1用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程图2变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※动手试试练1.直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法1判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离2如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r <直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C D ．无解3已知直线l 过点(2,0)-当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A．(-B．(C．(44-D ．11(,)88-4.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5.圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为.1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=的点的坐标.2.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．一、课前准备（预习教材P 136~P 137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4.设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※动手试试练1.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2.求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2.两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（）.A．5B ．1C．5D ．23.两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是.5.两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方1.已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有. 2．圆224450x y x y++--=和圆2284x y x y+-+70+=的位置关系为. 3．过两圆22640x y x+--=和22628x y y++-0=的交点的直线方程.二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式?分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m=,拱高4OP m=,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱22A B的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※动手试试练1.求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2.讨论直线2y x =+与曲线y =的交点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则yx的最大值为（）A ．1B.33.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程.5.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．※学习探究（预习教材P 124~P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）例5求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1.求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2.由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（）.A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,63.已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（）.A ．10B.226- C.64 D.84.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5.圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1.从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3空间直线坐标系学习目标1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标学习过程一、课前准备（预习教材P142~P144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体OBCD D A B C''''-中，3,4OA OC== 2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C点为原点，以射线,,BC CD CC'方向分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M-，描出它在空间的位置例2V ABCD-为正四棱锥，O为底面中心，若2,3AB VO==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※动手试试练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2.已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64.已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，(3,7,5)C -则顶点D 的坐标.5.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是.1.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2.设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.一、课前准备（预习教材P 145~P 146，找出疑惑之处）1.平面两点的距离公式？2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=这一依据.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※典型例题例1求点P 1(1,0,-1)与P 2(4,3,-1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※动手试试练1.在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2.试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d =3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P的距离为，则点P 为（）.(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（）.A ．10BCD ．384．已知(3,5,7)A -(B -AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为.5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为.1.已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2.在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.一、课前准备（复习教材P124~P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为.⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z，2222(,,)P x y z，则两点间的距离为12PP=.⑶点(,,)M a b c关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy对称的点；⑵关于坐标平面yoz对称的点；⑶关于坐标平面xoz对称的点；⑷关于x轴对称的点；⑸关于y对轴称的点；⑹关于z轴对称的点.※典型例题例1求经过(2,4),(3,1)P Q--两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2在圆224x y+=上与直线43120x y+-=距离最短的点是.※动手试试练.求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）.A ．2B．1+C．2+D．1+3.2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）.A．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4.如果直线l 将圆22460x y x y +-+=坐标原点到直线l 的距离最大值为.5.若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是.1.讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2.已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
人教版高中必修2《直线与方程》单元复习教案
人教版高中必修2《直线与方程》单元复习教案《人教版高中必修2《直线与方程》单元复习教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材的地位与作用：在平面几何和立体几何里，我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。
现在采用另外一种研究方法：坐标法。
坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。
初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。
解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。
解析几何由此成为近代数学的基础之一。
二、教材分析：(一)、新课程知识结构：从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)1.“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素--点和倾斜角。
给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。
2.“直线的方程”首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。
3.“直线的交点坐标与距离公式”通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。
通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。
(二)、教材的重点与难点：1、重点：(1)、斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
(2)、根据斜率判定两条直线平行与垂直。
(3)、直线的点斜式方程和一般式方程。
(4)、两条直线的交点坐标。
2、难点：(1)、直线的斜率与它的倾斜角之间的关系，根据斜率判定两条直线互相垂直。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.3.1~4.3.2
4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识点一空间直角坐标系1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y 轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识点二空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标. 解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1. 由|BM |＝2|MC 1|， 知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13.因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0. 因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56，所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标. 解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0， ∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0， ∴A 1点的坐标为(1,0,1)， O 1点在z 轴上，且OO 1＝1， ∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行， 竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1， ∴C 1点的坐标为(0,1,1). 同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12，∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0).题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4). (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标. 解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1). 过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)； 点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出) 题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝ (1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得 |AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2. 所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P . 转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2). (1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD 的对角线上， 所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12.当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32.因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内， 所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1).又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1.所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.1.点P (－2,0,3)位于( )A.y 轴上B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内 答案 C解析 因为点P 在y 轴上的坐标为0，所以点P 位于xOz 平面内.2.设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,0)B.(－1,0,0)C.(1,0,0)或(0，－1,0)D.(1,0,0)或(－1,0,0)答案 D解析 因为点P 在x 轴上， 所以设点P 的坐标为(x,0,0). 由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2 ＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2. 解得x ＝±1.所以所求点为(1,0,0)或(－1,0,0).3.已知A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A.(－1，－2，－7) B.(－1，－2,7) C.(1，－2，－7) D.(1,2，－7)答案 A解析 点A 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A. 4.已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4 D.6或－2 答案 D解析 由题意得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝－2或x ＝6. 5.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________. 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1).1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.一、选择题1.点P (2,3,4)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A.(－2,3,4) B.(－2，－3,4) C.(2，－3，－4) D.(－2,3，－4)答案 A解析 关于yOz 平面对称的点，在y 轴上，z 轴上的坐标不变，在x 轴上的坐标变为原来的相反数，故选A.2.已知A (1,2,3)，B (3,3，m )，C (0，－1,0)，D (2，－1，－1)，则( ) A.|AB |＞|CD | B.|AB |＜|CD | C.|AB |≤|CD | D.|AB |≥|CD |答案 D解析 |AB |＝22＋12＋(m －3)2＝5＋(m －3)2，|CD |＝22＋02＋(－1)2＝ 5.因为(m －3)2≥0， 所以|AB |≥|CD |.3.已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B.(2,3,1) C.(－3,1,5) D.(5,13，－3)答案 D解析 设▱ABCD 的对角线交点为M ，点D 的坐标为(x ，y ，z ).∵A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，∴AC 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，BD 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2， ∴⎝⎛⎭⎫72，4，－1＝⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2，即x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴点D 的坐标为(5,13，－3).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( ) A.2a B.22a C.a D.12a 答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22＝22a .5.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A.3 3 B.3 6 C.2 3 D.26 答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3 答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)，∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.7.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.63答案 A解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.二、填空题8.已知△ABC 的顶点为A (1,1,1)，B (0，－1,3)，C (3,2,3)，则△ABC 的面积是________. 答案 92解析 |AB |＝1＋4＋4＝3，|AC |＝4＋1＋4＝3， |BC |＝9＋9＋0＝3 2. 因为|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 为直角三角形. 所以S △ABC ＝12×3×3＝92.9.对于任意实数x ，y ，z 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最小值为______. 答案6解析 设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.10.已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________. 答案355解析 由空间中两点的距离公式，得|AB |＝(2－1＋t )2＋(t －1＋t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95.当t ＝15时，|AB |取最小值，最小值为355. 11.点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 ∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10. 三、解答题12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0). ∴|B 1E |＝ (85－2)2＋(45－4)2＋(0－2)2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 13.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上.(1)当点P 是面对角线A 1B 的中点，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值；(2)当点Q 是面对角线B 1C 的中点，点P 在面对角线A 1B 上运动时，求|PQ |的最小值；(3)当点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值. 解 以顶点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以可得点A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0).(1)因为点P 是面对角线A 1B 的中点，所以由射影的概念，得P ⎝⎛⎭⎫1，12，12. 又因为点Q 在面对角线B 1C 上运动，所以可设点Q (b,1，b )，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋⎝⎛⎭⎫12－12＋⎝⎛⎭⎫12－b 2 ＝ 2b 2－3b ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫b －342＋38. 所以当b ＝34时，|PQ |取得最小值64. 此时Q ⎝⎛⎭⎫34，1，34. (2)因为点Q 是面对角线B 1C 的中点，所以由射影的概念，得Q ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 又因为点P 在面对角线A 1B 上运动，所以可设点P (1，a,1－a )，a ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝ ⎝⎛⎭⎫1－122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－a －122 ＝⎝⎛⎭⎫122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫12－a 2 ＝ 2a 2－3a ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫a －342＋38. 所以当a ＝34时，|PQ |取得最小值64， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，34，14. (3)因为点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动， 所以可设点P (1，a,1－a )，Q (b,1，b )，a ，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋(a －1)2＋(1－a －b )2＝2a 2＋2b 2－4a －4b ＋2ab ＋3＝ 2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－12＋32⎝⎛⎭⎫b －232＋13. 所以当b ＝23时，代入a ＋b 2－1＝0，得a ＝23， 即当a ＝b ＝23时，|PQ |取得最小值33， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，23，13，Q ⎝⎛⎭⎫23，1，23.。
人教版高中数学必修2第四章圆与方程-《4.2直线与圆的位置关系》教案(2)
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2、过程与方法
设直线l，圆C，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
（1）当r
d>时，直线l与圆C相离；
（2）当r
d=时，直线l与圆C相切；
（3）当r
d<时，直线l与圆C相交；
3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．
难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．
三、教学设想。
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案主备人: 备课时间: 备课组长:4.1.1圆的标准方程一、学习目标知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、学习重点、难点：学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，实验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上四、知识链接：1．两点间的距离公式2．具有什么性质的点的轨迹称为圆圆的定义平面内与一定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径.五、学习过程：(自主探究)A问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程问题2圆的方程形式有什么特点当圆心在原点时，圆的方程是什么例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.根据题设条件，列出关于a b r、、得、、的方程组，解方程组得到a b r 值，写出圆的标准方程.2.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.六、达标检测1、已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外2、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。
重庆市大学城第一中学校人教版高中数学必修二导学案：第四章直线与圆的方程复习
第四章直线与圆的方程复习三维目标1．能建构本章的知识框架；2. 掌握直线与圆知识的综合应用；3. 通过圆的几何性质的运用，体会代数问题与几何问题的联系，及数形结合思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1. 完成本章知识结构.(1)圆的方程是什么？（2）点与圆的位置关系判断方法为？【思考】①圆外一点，圆上一动点，讨论PB的最值为？.②圆内一点，圆上一动点，讨论PA 的最值？（3）直线与圆的位置关系的判断方法？【思考】①直线与圆相切意味着什么？②关于切线的常见题型有哪些？③直线与圆相交时的弦长公式为？（4）圆与圆的位置关系判断方法为？【思考】 两圆公共弦所在直线方程为？（5）对称问题、最值问题、求轨迹方程等问题的解决方法为？。
【学做思2】1.根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在直线035:1=-y x l 上，并且圆与直线0106:2=--y x l 相切于点P （4，-1）；（2）圆过点P （-2,4），Q （3，-1）并且在轴上截得的弦长等于6；（3）求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.【思考】求圆的方程要注意什么?*2.已知圆A ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值；(2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．达标检测1. 已知点(03)P ，及圆C ：082822=---+y x y x ，过的最短弦所在的直线方程为（ ）A 、x ＋2y ＋3＝0B 、x －2y ＋3＝0C 、2x －y ＋3＝0D 、2x ＋y －3＝02. 在空间直角坐标系中，点P ，过点作平面xOy 的垂线PQ ，则的坐标为（ ）Ａ．(0Ｂ．(0Ｃ．(10Ｄ．3.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝14.已知三角形的三个顶点(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．则（1）过点的中线长为；（2）过点的中线长为；（3）过点的中线长为．*5.已知圆C ： x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．。
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第四章直线与圆的方程复习
三维目标
1．能建构本章的知识框架；
2. 掌握直线与圆知识的综合应用；
3. 通过圆的几何性质的运用，体会代数问题与几何问题的联系，及数形结合思想.
___________________________________________________________________________
目标三导学做思1
问题1. 完成本章知识结构.
(1)圆的方程是什么？
（2）点与圆的位置关系判断方法为？
【思考】①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值为？. ②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值？
（3）直线与圆的位置关系的判断方法？
【思考】①直线l与圆C相切意味着什么？②关于切线的常见题型有哪些？③直线与圆相交时的弦长公式为？
（4）圆与圆的位置关系判断方法为？
【思考】 两圆公共弦所在直线方程为？
（5）对称问题、最值问题、求轨迹方程等问题的解决方法为？。
【学做思2】
1.根据下列条件求圆的方程：
（1）圆心在直线035:1=-y x l 上，并且圆与直线0106:2=--y x l 相切于点
P （4，-1）；
（2）圆过点P （-2,4），Q （3，-1）并且在x 轴上截得的弦长等于6；
（3）求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.
【思考】求圆的方程要注意什么?
*2.已知圆A ：x 2＋y 2
－2x －2y －2＝0.
(1)若直线l ：ax ＋by －4＝0平分圆A 的周长，求原点O 到直线l 的距离的最大值；
(2)若圆B 平分圆A 的周长，圆心B 在直线y ＝2x 上，求符合条件且半径最小的圆B 的方程．
达标检测
1. 已知点(03)P ，及圆C ：082822=---+y x y x ，
过P 的最短弦所在的直线方程为（ ） A 、x ＋2y ＋3＝0 B 、x －2y ＋3＝0 C 、2x －y ＋3＝0 D 、2x ＋y －3＝0
2. 在空间直角坐标系中，点P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）
Ａ．(0
Ｂ．(0 Ｃ．(10 Ｄ．
3.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是( )
A ．(x ＋3)2＋y 2＝4
B ．(x －3)2＋y 2
＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1
D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1 4. 已知三角形的三个顶点(214)A -，
，，(326)B -，，，(502)C ，，．则 （1）过A 点的中线长为 ；
（2）过B 点的中线长为 ；
（3）过C 点的中线长为 ．
*5. 已知圆C ： x 2＋(y －2)2
＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.
(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；
(2)若圆C 与直线l 相交于A ，B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．。