2014-2015年上海市黄浦区敬业中学高一上学期数学期中试卷和解析
上海市黄浦区敬业中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
黄浦区敬业中学高一上学期数学期中试卷一、选择题1、用列举法表示：大于0且不超过6的全体偶数的集合A =_________.{}2,4,6 解析：{}{}=2,06,2,4,6A x x k x k Z =<≤∈=.2、集合{}1A =-,集合{}230B x x x a =-+=且A B Ü,则实数a =_________.4- 解析：由A B Ü，得1B -∈，所以4a =-.3、写出命题“2x >”的一个充分非必要条件__________.3x >解析：由题意得，只需找一个2x >的一个真子集即可，则3x >，答案不唯一. 4、不等式2210x x --<的解集为__________.R 解析：2210x x -+>，21870∆=-=-<，得x R ∈.5、已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =_________.0 解析：()()()2222220f x f x ax x ax x ax +-=++-==恒成立，得0a =. 6、函数y =_________.)+∞解析：函数的定义域为[)1,+∞，又函数单调递增，则函数的值域为)+∞.7、若函数()22f x x a x b =++在区间(],4-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是________.(],16-∞-.解析：由题意可知函数的对称轴44ax =-≥，即16a ≤-.8、函数11212y x x x ⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭的最小值是解析：11111121221222y x x x x ⎛⎫=+=-++≥= ⎪--⎝⎭. 9、定义在()2,2-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 是减函数，若()()1f a f a -<，则实数a 的取值范围_________.解析：由题意得212221a a a a⎧-<-<⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得：11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.10、已知函数(25)y f x =+的定义域为[]2,2-，则函数()y f x =的定义域为_______.[]1,9解析：[][]2,2,251,9x x ∈-+∈，得()y f x =的定义域为[]1,9.11、某火车驶出A 站5千米后，以60千米/小时的速度行驶了50分钟，则在这段时间内火车与A 站的距离S （千米）与t （小时）之间的函数解析式是____________.5560,0,6S t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦解析：由问题的背景可得：50分钟=56小时，则5560,0,6S t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.12、函数()()2321f x ax ax xR =-+∈在()1,1-内有一个零点，则实数a 的取值范围是___________.解析:（1）当24120a a ∆=-=，即30a or =，对称轴()11,13x =∈-成立.但0a =时，不满足，舍去.（2）当0∆≠，要满足题意，即()()()()115110f f a a -=++<，即11,5a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.综上：{}11,35a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.13、设[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2440510x x -+=的实数解的个数是___________.解析：由[]x 表示不大于x 的最大整数，即[]1x x x -<≤，又[]21511040x x =+，即215111040x x x-<+≤，解得：371317,,2222x ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，所以[]1,2,3,6,7,8x =，代入，均不成立，则方程解得个数为0. 二、选择题14、集合(){},0,,x y xy x R y R ≥∈∈是指（ ）DA .第一象限内的所有点；B .第三象限内的所有点；C .第一象限和第三象限内的所有点；D .不在第二象限、第四象限内的所有点. 解析：由题意可知,x y 同号，或者是至少有一个为0，则答案选D .15、若03x ≤≤，则243y x x =-+ （ ）A .有最小值0，最大值3B .有最小值1-，最大值0C .有最小值1-，最大值1D .有最小值1-，最大值3解析：()224321y x x x =-+=--，函数在[]0,2x ∈单调递减，在[]2,3x ∈单调递增，所以()()min 21f x f ==-，()()max 03f x f ==.答案选D. 16、如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ）A .B .22a b <C .33a b <D .2ab b >解析：由不等式的性质知：C 为正确答案.17、下列四个命题： （1）函数1y x x=+的最小值是2； （2）函数221y x x =+的最小值是2； （3）函数2y =的最小值是2；（4）函数()4230y x x x=-->的最大值是2- 其中错误的命题个数是（ ）A .2B .4C .3D .1 解析：（1）1y x x=+的值域为(][),22,-∞-+∞，无最小值，故错误；（2）221y x x=+的值域为[)2,+∞，最小值为2，正确;（3）22y ===，即21x =-，不成立，故错误；（4）44232322y x x x x ⎛⎫=--=-+≤-- ⎪⎝⎭. 答案选A .三、解答题18、现有命题“矩形的两条对角线长度相等”，写出它的逆命题与逆否命题，并说明其真或假的理由.解析：逆命题“若四边形的对角线相等，则该四边形是矩形”假命题，反例：等腰梯形 逆否命题“若四边形的对角线不相等，则该四边形不是矩形”真命题.19、若函数y R ，求实数a 的取值范围. 解析：由题意得：2690ax ax -+≥对一切x R ∈恒成立. （1）当0a =时，即90≥恒成立.（2）当0a ≠时，则()26360a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得(]0,1a ∈. 综上：[]0,1a ∈.20、已知全集U R =，集合{}10A x x a =-+≤，集合{}20B x x a =-->，集合40x C x x ⎧-⎫=≥⎨⎬⎩⎭，若()U C AB C ⊆,求实数a 的取值范围.解析：由题意得：(],1A a =-∞-，()2,B a =++∞，()[),04,C =-∞+∞.（1）若()U C A B =∅，即A B R =,得：21a a +≤-，不成立. （2）若()U C AB ≠∅，所以()(]1,2UC AB a a =-+，得14a -≥或20a +<，即52a ora ≥<-.得()[),25,a ∈-∞-+∞.21、设a 为实数，函数()21,f x x x a x R =+-+∈. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值.解析：()21f x x x a -=+++，()()f x f x x a x a --=--+，只有当0a =时，此时()f x 为偶函数，()()2220f x f x x x a x a +-=+-+++>，所以()f x 不可能是奇函数，所以 当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）当x a ≥时，有()2213124f x x x a x a ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭，对称轴为12x =-，若12a ≤-，则()min 1324f x f a ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭；若12a >-，则()()2min 1f x f a a ==+；当x a <时，有()2213124f x x x a x a ⎛⎫=-++=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为12x =，若12a ≥，则()m i n 1324f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；若12a <时，则()()2min 1f x f a a ==+.综上:当11,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()2min 1f x a =+；当12a ≥时，()min 34f x a =+；当12a ≤-时，()min 34f x a =-+.。
上海市高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一上学期期中数学试卷和解析
2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为．2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=．3．（4分）不等式组的解集为．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a 的取值范围是．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．1716．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．2014-2015学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题4分，满分40分）1．（4分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，故函数的定义域为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）2．（4分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N={1，2} ．【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，∵M={0，1，2}，∴M∩N={1，2}，故答案为：{1，2}3．（4分）不等式组的解集为（0，1）．【解答】解：由得，，解得0＜x＜1，所以不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．4．（4分）已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．且A∪B=A，则x=0．【解答】解：∵集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x∈N．A∪B=A，∴B⊂A，∴，解得x=0．故答案为：0．5．已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=0或2．【解答】解：全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x}，若∁U A⊊∁U B，可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解得x=±2或0或1，检验x=﹣2舍去，x=1也不成立．则x=0，2成立．故答案为：0或2．6．（4分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2﹣，则f（1）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x＜0时，f（x）=x2﹣，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（1+1）=﹣2．故答案为﹣2．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（﹣2）=﹣2．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=f（2）+8a+2=6，则f（2）+8a=4．∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣8a+2=﹣f（2）﹣8a+2=﹣4+2=﹣2，故答案为：﹣2．8．（4分）平面直角坐标系中，若点在第三象限内，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵点在第三象限内，∴，则，解得，∴实数a的取值范围是，故答案为：．9．（4分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={y|ay+2=0，a∈R}，若满足M∩N=N 的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个8．【解答】解：∵集合M={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}，N={y|ay+2=0，a∈R}={﹣}，∵M∩N=N，∴N⊂M，∴﹣不存在，或﹣=﹣3，或﹣，解得a=0或a=或a=﹣1，∴集合A={﹣1，0，}，∴A的子集有23=8个．故答案为：8．10．定义|b﹣a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式的所有解集区间的长度和为8．【解答】解：由得，化简得，即，等价于（x﹣2）（x﹣8）x（x+2）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（﹣2，0）∪（2，8），∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，故答案为：8．11．（4分）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣] ．【解答】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（﹣3，﹣1），∴方程x2+ax+b=0的两个实数根为﹣3和﹣1，由根与系数的关系得：a=4，b=3，故bx2+ax+1≤0可化为：3x2+4x+1≤0，解得﹣1≤x≤﹣；所求不等式bx2+ax+1≤0的解集为[﹣1，﹣]．故答案为：[﹣1，﹣]．12．（4分）若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为9．【解答】解：∵a、b为正实数，∴a+b+3=ab≥+3，化为：≥0，解得≥3，即ab≥9．当且仅当a=b=3时取等号．则ab的最小值为9．故答案为：9．13．已知正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，则x+2y的最小值为9．【解答】解：∵正数x、y满足：2x+y﹣xy=0，∴=1．则x+2y=（x+2y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=3时取等号．因此x+2y的最小值为9．故答案为：9．14．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．二、选择题：（每小题4分，满分16分）15．（4分）若集合，集合B={x||x|≤5，x∈Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A．11 B．13 C．15 D．17【解答】解：∵集合={x|，x∈N}={4，5，6，7，8，9}，集合B={x||x|≤5，x∈Z}={x|﹣5≤x≤5，x∈Z}={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴A∪B={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∴集合A∪B中的元素个数为15．故选：C．16．（4分）设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A．F一定是奇数，G可能是奇数B．F可能是偶数，G一定是偶数C．F一定是奇数，G一定是偶数D．F可能是偶数，G可能是奇数【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，奇函数的图象关于原点对称，所以函数的零点个数一定是奇数个．g（x）是定义在R上的偶函数．函数的图象关于y轴对称，g（0）可能为0，所以函数的零点个数可能为奇数个．故选：A．17．（4分）设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”⇒“A∩B=∅”，反之也成立．因此“A∩B≡∅”是“存在集合C，使得A⊊C且B⊊∁U C”的充要条件．故选：C．18．已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：“”⇔（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，⇔x1﹣x2与f（x1）﹣f（x2）同号．∴对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的充要条件．故选：B．19．（4分）给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；不满足否命题的形式，应该为：若a、b不都是奇数，则a+b不是偶数．所以（1）不正确；对于（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，当x=1且y=2，有x+y=3成立．但x+y=3时，比如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．故选：C．三、解答题：（共5大题，满分44分）20．（6分）已知集合A={x||x﹣2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：由≤1，化为：≤0，解得﹣2≤x≤3，即B=[﹣2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0适合题意．a＞0时，A=[2﹣a，2+a]，A⊆B，∴﹣2≤2﹣a，2+a≤3，a＞0，解得0＜a≤1．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，1]．21．（8分）一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x∈[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．【解答】解：（1）一次函数f（x）是R上的增函数，可设f（x）=ax+b，（a＞0）；∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，∴，解得或（不合题意舍去）；∴f（x）=4x+1；（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，是二次函数，开口向上，且对称轴为x=﹣，①当﹣≤1，即m≥﹣时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，令g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=﹣2，符合题意；②当﹣＞1，即m＜﹣时，g（x）max=g（1）=5+5m=13，解得m=，不符合题意；由①②可得m=﹣2．22．（10分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．23．（10分）已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：∵f（x）=x2﹣2ax﹣2（a+1）（a∈R），∴△=4a2﹣4×（﹣2）（a+1）=4（a+1）2+4＞0恒成立，∴函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=2a，x1x2=﹣2（a+1），则|AB|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4（a+1）2+4≥4（当且仅当a=﹣1时取等号），∴|AB|min=2．（2）解：若f（x）+3≥0在区间（﹣1，+∞）上恒成立，则x2﹣2ax﹣2（a+1）+3=x2﹣2ax﹣2a+1≥0（x＞﹣1）恒成立，分离参数a得：2a（x+1）≤x2+1（x＞﹣1）恒成立，∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴2a≤（）min，∵=x+1+﹣2≥2﹣2=2﹣2，∴（）min=2﹣2，∴a≤﹣1．24．（10分）已知函数f（x）=lg（x2﹣mx﹣m）．（1）若m=1，求函数f（x）的定义域；（2）若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=lg（x2﹣x﹣1），必有x2﹣x﹣1＞0，解可得x＞或x＜，则函数f（x）=lg（x2﹣x﹣1）的定义域为{x|x＞或x＜}；（2）根据题意，若f（x）在（1，+∞）上是增函数，则必有，解可得m≤2，则实数m的取值范围为{m|m≤2}．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 6．设}3 2, ,21,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ） A ．3 ,31 B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31 ,1-7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．． 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
数学上学期期中试题-2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题及答案
2014-2015学年度第一学段自主检测高一数学（A ）考生注意：1、 本试卷共150分，考试时间120分钟。
2、 使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要求字迹工整，笔记清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3、 答卷前请将密封线内的项目填写清楚第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{|2},{|log(1)}x M x y N x y x ====-，则R M C N =（ ）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．RD ．φ2、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．()()22,()f x x g x x == B ．()()21,11x f x g x x x -==+- C ．()()2,f x x g x x == D ．()()211,1f x x x g x x =+-=-3、设()()10100,010x x f x x h x x x >⎧⎧⎪===⎨⎨⎩⎪-<⎩是有理数是无理数，则(())f h e 等于（ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．e4、若()22(1)2f x x a x =--+在(],3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．4a > B ．4a < C ．4a ≥ D ．4a ≤5、满足“对定义域内任一实数,x y ，都有()()()f x y f x f y ⋅=+”的单调递减函数是（ ）A ．2log y x =B ．0.3log y x =C ．3x y =D ．0.1x y =6、设()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且()()41f f >，则下列各式一定成立的是（ ）A ．()()06f f <B ．()()43f f >C ．()()20f f >D ．()()14f f -<7、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）8、设0.2444,0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>9、定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222x x f x g x -+=-+，则()2f 等于（ ）A ．2B ．154C ．4D ．17410、已知函数()x f x e =，如果12,x x R ∈，且12x x ≠，下列关于()f x 的性质；①1212()[()()]0x x f x f x -->；②()()f x f x -=；③()()f x f x -=-； ④1212()()()22f x f x x x f --> 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
上海市中学高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
2014-2015学年上海中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，总分56分）1．（2014秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤4}，B=Z为整数集，则A∩B={1，2，3，4}．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接由交集的运算得答案．解答：解：∵集合A={x|1≤x≤4}，B=Z为整数集，∴A∩B={x|1≤x≤4}∩Z={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．点评：本题考查了交集及其运算，是基础题．2．函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期为π．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y===，其中θ=arctan2．再利用周期性公式即可得出．解答：解：y===，其中θ=arctan2．∴最小正周期为．故答案为π．点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出．3．（2014秋•徐汇区校级期中）函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换即可得出．解答：解：由y=x2﹣1（x＜﹣1），解得，把x与y互换可得y=﹣（x＞0）．∴函数y=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数是y=﹣（x＞0）．故答案为：y=﹣（x＞0）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．4．（2014秋•徐汇区校级期中）若函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，则实数a ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，得出x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，化简得出2a﹣1=0即看求解．解答：解：∵函数f（x）=x2+|x+2a﹣1|+a的图象关于y轴对称，∴f（x）=f（﹣x），即x2+|x+2a﹣1|+a=x2+|﹣x+2a﹣1|+a，|x+2a﹣1|=|x﹣2a+1|，2a﹣1=0a=，故答案为：点评：本题考查了函数的奇偶性的定义，属于容易题，难度不大．5．（2014秋•徐汇区校级期中）已知log a b=﹣1，则a+2b的最小值是2．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+，运用基本不等式，即可得到最小值．解答：解：由于log a b=﹣1，则b=，即有ab=1（a＞0，且a≠1），则a+2b=a+≥2=2，当且仅当a=时，取得最小值2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等，同时考查对数的定义，属于基础题．6．（2014秋•徐汇区校级期中）幂函数f（x）=（m2﹣m+1）x m的图象与y轴没有交点，则m= 0 ．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义，求出m的值，再验证m是否满足题意即可．解答：解：根据幂函数的定义，得；m2﹣m+1=1，解得m=0或m=1；当m=0时，f（x）=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；当m=1时，f（x）=x，图象与y轴有交点，不满足题意；综上，m=0．故答案为：0．点评：本题考查了幂函数的定义及其应用的问题，解题时应根据幂函数的定义，结合函数的图象与性质进行解答，是基础题．7．（2014秋•徐汇区校级期中）偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，若f （2x﹣1）＜0，则实数x的取值范围是（﹣1，2）．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，化f（2x﹣1）＜0为﹣3＜2x﹣1＜3，从而求解．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，∴f（2x﹣1）＜0可化为﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．8．（2014秋•徐汇区校级期中）不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣2，2）．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题；转化思想；演绎法．分析：本题从形式上看是一个指数复合不等式，外层是指数型的函数，此类不等式的求解一般借助指数的单调性将其转化为其它不等式，再进行探究，本题可借助y=这个函数的单调性转化．转化后不等式变成了一个二次不等式，再由二次函数的性质对其进行转化求解即可．解答：解：由题意，考察y=，是一个减函数∵恒成立∴x2+ax＞2x+a﹣2恒成立∴x2+（a﹣2）x﹣a+2＞0恒成立∴△=（a﹣2）2﹣4（﹣a+2）＜0即（a﹣2）（a﹣2+4）＜0即（a﹣2）（a+2）＜0故有﹣2＜a＜2，即a的取值范围是（﹣2，2）故答案为（﹣2，2）点评：本题考点是指数函数单调性的应用，考查利用单调性解不等式，本题是一个恒成立的问题，此类问题求解的方法就是通过相关的知识进行等价、灵活地转化，变成关于参数的不等式求参数的范围，这是此类题求解的固定规律，题后应好好总结本题的解题思路及其中蕴含的知识规律与技巧规律．9．（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．考点：复合三角函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．解答：解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．10．（2014秋•徐汇区校级期中）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，则f（x）的最大值为1，则满足方程f（log2x）=1的解为 4 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意得出f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，f（2）=1，即可得出log2x=2，求解就简单多了．解答：解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，对于任意实数x1，x2∈[﹣2，2]，且x1≠x2时，恒有，＞0，∴f（x）在[﹣2，2]上是单调递增数，∵f（x）的最大值为1，∴f（2）=1∵f（log2x）=1，∴log2x=2，x=4故答案为：4点评：本题考查了运用函数的单调性解方程，关键是根据数学语言判断函数的性质，属于中档题．11．（2014秋•徐汇区校级期中）设函数f（x）=x2+log a（bx+），若f（2）=4.7，则f（﹣2） 3.3 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（2）=4+log a（2b+）=4.7，解得log a（2b+）=0.7，由此能求出f（﹣2）=4+log a（﹣2b+）=4﹣log a（2b+）=3.3．解答：解：∵f（x）=x2+log a（bx+），f（2）=4.7，∴f（2）=4+log a（2b+）=4.7，解得log a（2b+）=0.7，∴f（﹣2）=4+log a（﹣2b+）=4﹣log a（2b+）=4﹣0.7=3.3．故答案为：3.3．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．（2014秋•徐汇区校级期中）已知AB=2，∠B=60°，AC=b，若b∈M时△ABC能唯一确定，则集合M= [2，+∞）∪{} ．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入表示出b，根据C的范围求出sinC的范围，即可确定出b的范围．解答：解：∵△ABC中，∠ABC=60°，AC=b，AB=2，∴由正弦定理==，得：=，即b=，∵0°＜C＜120°，∴0＜sinC≤1，且b≥2，则b的取值范围为M=[2，+∞）∪{}．故答案为：[2，+∞）∪{}．点评：此题考查了正弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（2014•徐州三模）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为﹣．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由条件求得cos（）的值，可得cosθ 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值．解答：解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=﹣，∴，∴cosθ=﹣．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式，属于基础题．14．（2014秋•徐汇区校级期中）若定义在R上的函数f（x）是奇函数，f（x﹣2）是偶函数，且当0＜x≤2时，f（x）=，则方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是24 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可得f（x+8）=f（x），f（2﹣x）=f（2+x），可得周期为8，x=2为对称轴，根据周期，与对称性求出方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根即可．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵f（x﹣2）是偶函数，∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），f（2﹣x）=f（2+x），即f（x）=f（4﹣x），f（x+4）=﹣f（x），∴f（x+8）=f（x），可得周期为8，x=2为对称轴，∵f（x）=f（3），∴x1=1，x2=3，x3=9，x4=11，x5=17，x6=19，∵在区间（0，16）上的所有实数根之和，∴x1+x2+x3+x4=1+3+9+11=24，故答案为：24点评：本题考查了函数的性质，运用性质求解方程的根，属于中档题．二、选择题（每小题5分，总分20分）15．（2014秋•徐汇区校级期中）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B． f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数C．f（x）是周期函数D． f（x）的值域为[﹣1，+∞）考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：本题根据函数的奇偶性、单调性、周期性去判断函数是否具有奇偶性、单调性、周期性，再研究函数的值域情况不，从而得到本题结论．解答：解：选项A，∵函数，∴f（1）=14+12=2，f（﹣1）=cos（﹣1）=cos1≠2．∴f（﹣x）=f（x）．∴f（x）不是偶函数；选项B，当x=﹣2π时，f（﹣2π）=cos（﹣2π）=1，当x=﹣π时，f（﹣π）=cos（﹣π）=﹣1，∵﹣2π＜﹣π，f（﹣2π＞f（﹣π），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数；选项C，∵f（x）在（0，+∞）是增函数；∴f（x）不是周期函数；选项D，当x＞0时，y=x4+x2＞0，当x≤0时，y=cosx∈[﹣1，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，+∞）．故选D．点评：本题考查了奇偶性、单调性、周期性，本题难度不大，属于基础题．16．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：首先由于“a2＞b2”不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．解答：解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．点评：本小题主要考查充要条件相关知识．17．（2014秋•徐汇区校级期中）若M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}，N={（x，y）|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（）A． 4 B． 5 C．8 D．9考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题设知集合M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}是整数点的集合，N={（x，y）|x2+y2≤2}表示圆心为（0，0），半径为的圆，由此能求出M∩N的元素个数．解答：解：∵M={（x，y）||tanπy|+sin2πx=0}，∴集合M是整数点的集合，∵N={（x，y）|x2+y2≤2}表示圆心为（0，0），半径为的圆面，∴M∩N={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），（1，1），（1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）}，∴M∩N的元素个数是9个．故选D．点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．（2014秋•徐汇区校级期中）已知f（x）=3x2﹣x+4，f[g（x）]=3x4+18x3+50x2+69x+48，那么整系数多项式函数g（x）的各项系数和为（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：先设出g（x）的表达式，将g（x）代入f（x），利用系数相等，求出g（x）的系数，从而得到答案．解答：解：由题意得g（x）的表达式是二次式，设g（x）=ax2+bx+c，∴f[g（x）]=3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4=3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4=3x4+18x3+50x2+69x+48，∴，解得：，∴a+b+c=8，故选：A．点评：本题考查了求函数的解析式问题，待定系数法是常用的方法之一，必要属于基础题．三、解答题（总分74分）19．（2014秋•徐汇区校级期中）设函数sgn（x）=，求函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点即方程f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0的根，讨论求根即可．解答：解：①当lnx＞0，即x＞1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：1﹣ln2x=0，解得，x=e；②当lnx=0，即x=1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为0﹣ln21=0，显然成立；③当lnx＜0，即0＜x＜1时，f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：﹣1﹣ln2x=0，无解；综上所述，x=e或x=1．点评：本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．20．（2014秋•徐汇区校级期中）解下列不等式：（1）|x﹣1|+|x﹣2|＜2；（2）0＜x﹣＜1．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用数轴上0.5与2.5到1与2的距离均为2，即可求得|x﹣1|+|x﹣2|＜2的解集；（2）将不等式0＜x﹣＜1转化为不等式组分别解得①②的解，取其交集即可．解答：解：（1）∵数轴上0.5与2.5到1与2的距离均为2，∴由|x﹣1|+|x﹣2|＜2，得＜x＜，∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．（2）∵0＜x﹣＜1，∴解①得：﹣1＜x＜0或x＞1；解②得：x＜或0＜x＜；综合①②得，﹣1＜x＜或1＜x＜．点评：本题考查绝对值不等式与分式不等式的解法，着重考查绝对值不等式的几何意义与解不等式组的能力，考查转化思想．21．（14分）（2014秋•徐汇区校级期中）定义：若对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的x i∈（a，b）（i=1，2，…，n），必有f（）≤成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=x n时成立．（1）试判断y=x2是否为R上的凹函数，并说明理由；（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z=8，试求x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：（1）利用凹函数的定义，即可得出结论；（2）利用题中条件：“x+y+2z=8”构造柯西不等式：（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64这个条件进行计算即可．解答：解：（1）f（）=（）2，=≥=（）2，∴对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，∴y=x2是R上的凹函数；（2）∵（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64，∴x2+y2+2z2≥16，当且仅当x=y=z时取等号，∵x+y+2z=8，∴x=y=4（+1），z=4+2．∴x2+y2+2z2的最小值为16，此时x=y=4（+1），z=4+2．点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64．22．（2014秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=，且a＞0．（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据函数g（x）为奇函数可得b=0，得到f（x）=ax2+1，结合二次函数的性质可得答案；（2）由方程g（x）=x有两个不相等的实根，可得△=b2﹣4a2＞0，即＞1或＜﹣1，再结合二次函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；（3）由题意可得，设α为x1与x2中的一个数，则有，即有．再分a＞0与a＜0两种情况讨论，进而结合等式与不等式得到关于a的不等式，进而求出a的范围得到答案．解答：解：（1）因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），又函数g（x）=，则=﹣，化简可得b=0，所以f（x）=ax2+1，定义域为R，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）；（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，所以△=b2﹣4a2＞0，即||＞1，即＞1或＜﹣1，又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=﹣，并且a＞0，所以当﹣＜﹣1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数；当﹣＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．（3）由可得，设α为x1与x2中的一个数，则有，因为x3+x4=﹣，x3x4=，所以有．当a＞0时有，所以结合两式可得（a﹣a2）α2＜0，解得：a＞1或a＜0（舍去）．当a＜0时有，所以所以结合两式可得（a﹣a2）α2＞0，解得：0＜a＜1（舍去）．综上可得a的取值范围为（1，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性与函数的单调性，以及一元二次方程的根的分布与系数的关系，此题综合性比较强，考查了数学上一个重要的思想方法即分类讨论的思想方法，此题属于难题．23．（2014秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≤b≤c，（1）若b2=ac，求角B的取值范围；（2）求证：以为长的线段能构成锐角三角形；（3）当0≤x≤1时，以a x、b x、c x为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用余弦定理求得cos B≥，可得B的范围．（2）由a≤b≤c，得到≤≤，即所对的角最大，设为α，由余弦定理求得cosα＞0，即α为锐角，可得以为长的线段能构成锐角三角形．（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a x ≤b x ≤c x，利用指数函数的单调性求得 a x+b x﹣c x≥c x•（+﹣1）＞0，可得较小的两边之和大于较大的一边，故以a x、b x、c x为长的线段一定能构成三角形．解答：解：（1）∵在△ABC中，b2=ac，∴由余弦定理得：cosB==≥=，则B的范围为（0，60°]．（2）由a≤b≤c，得到≤≤，即所对的角最大，设为α，由余弦定理得：cosα==，∵a，b，c为△ABC的三边，∴a+b＞c，即a+b﹣c＞0，2＞0，∴cosα＞0，即α为锐角，则以为长的线段能构成锐角三角形．（3）当0≤x≤1时，由a≤b≤c，可得a x ≤b x ≤c x，∵a x+b x﹣c x=c x•[+﹣1]≥c x•（+﹣1）=c x•＞0，故较小的两边之和大于较大的一边，故以a x、b x、c x为长的线段一定能构成三角形．点评：本题主要考查余弦定理、基本不等式、指数函数的单调性，属于基础题．。
2014-2015学年度高一数学期中试卷(含答案解析)
第1页 共10页 ◎ 第2页 共10页绝密★启用前2014-2015学年度期中卷高一数学考试范围：必修一；考试时间：120分钟；命题人： 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则 （ ） A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．{}1,4MN = D ．{}2,3M N =【答案】D【解析】解：因为根据已知 的集合，可以判定集合间的关系，以及集合的运算，那么显然选项D 成立。
2．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =，则使M∩N＝N 成立的a 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．－1 D ．1或－1 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以20,1a a a a ≠⇒≠≠.又因为M∩N＝N ，所以1a =-. 考点：集合的特征及集合的基本运算. 3．设，则（ ）A ．﹣2＜x ＜﹣1B ．﹣3＜x ＜﹣2C ．﹣1＜x ＜0D ．0＜x ＜1 【答案】A【解析】因为y=3x在R 上单调递增，又，故﹣2＜x ＜﹣1故选A4．若0.90.48 1.54,8,0.5a b c -===则（ ）A .c b a >> B. a c b >> C.b a c >> D.b c a >> 【答案】D【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.5 1.542,82.(0.5)2.-===函数2x y =是增函数，1.8 1.5 1.44,>>所以.a c b >>故选D5．函数()f x =的定义域是 A. {x ︱34x >} B. {01x x <≤} C. {1x x ≥} D. {x ︱314x <≤} 【答案】D 【解析】略6．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f xf f +=+=则=)5(f （）A．0B ．1C ．25D ．5【答案】C【解析】令x=-1可得(1)(1)(2)(1)(2),(2)2(1)1,f f f f f f f =-+=-+∴==13(3)(1)(2)122f f f ∴=+=+=,35(5)(3)(2)122f f f =+=+=.7．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b <a ), 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离s 与时间t 的函数关系的图象大致为 ( )【答案】C【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案． 解答：解：根据他先前进了akm ，得图象是一段上升的直线，DCBA第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t 轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm （b ＜a ），得图象是一段下降的直线， 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线， 综合，得图象是C ， 故选C ．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 8．函数的单调增区间为（ ）A ．B ．（3，+∞）C ．D ．（﹣∞，2）【答案】D【解析】由题意知，x 2﹣5x+6＞0∴函数定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），排除A 、C ， 根据复合函数的单调性知的单调增区间为（﹣∞，2），故选D9．若函数()1(0,1)1x mf x a a a =+>≠-是奇函数，则m 为 A.1- B.2 C.1 D.2-【答案】B 【解析】 试题分析：111111x a(),()()xxxm m mf x f x aaa --=+=+-=-+--- 由于函数是奇函数，()(),f x fx ∴-=-即x a (1)1(1)2111x x x x m m m a a a a -+=-+∴=--- 所以2m =，故选：B.考点：函数的奇偶性10． 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（ ） （1）2()1f x x =+和2()1f v v =+(2) y =和y =(3) y=x 和321x xy x +=+ (4) y=和y(A) 1组 (B) 2组 (C) 3组 (D) 4组 【答案】C【解析】根据同意哈函数的定义可知选项A 中定义域和对应关系相同，成立，选项B 中，定义域相同，对应关系相同，选项C 中，相同，选项D 中，定义域不同，故是同一函数的 组数有3组，故选C 11．已知1a >，函数x y a =与log ()a y x =-的图像可能是（ ）【答案】B【解析】试题分析：因为根据1a >,可知指数函数递增函数，排除C ，D 选项，同时在选项A,B 中，由于对数函数log ()a y x =-的图像与log a y x =的图像关于y 轴堆成，那么可知.排除A.正确的选项为B.考点：本题主要是考查同底的指数函数与对数函数图像之间的关系的运用。
数学卷·2014届上海市重点中学高一上学期期中考试
上海市重点中学2012-2013学年度第一学期高一数学期中试卷（满分100分，90分钟完成. 答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U A = .2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个.3. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④≠⊂∅∅；⑤∅{0}上述五个关系中，错误的个数是 .4. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .5. 不等式12x ≤的解为________ .6. 不等式|5|5>的解为________ .7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 8. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M N =∅，则实数m 的取值范围是________________ .10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()U B .11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 .12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________.13. 设实数x 、y 满足23y ≤，12，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“a b +≥成立的 （ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . 11()()a b a b++≥4 B . 3322()a b ab a b ++≥C . 22222a b a b +++≥D . 3322a b ab +≥18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题： （1） 若(3)9f ≥，则(4)16f ≥； （2） 若(3)10f =，则(5)25f >； （3） 若(5)25f =，则(4)16f ≤； （4） 若2()(1)f x x +≥，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为 （ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =+≤≤，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y+++≥，并指出等号成立的条件； （2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值.22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ；（2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<++≤；并由此说明A 中元素b 若满足12b <+≤2b =+（3）设c A ∈，试求满足22(2c <+≤的A 的元素.参考答案一、填空题（本大题共14题，每题3分，满分42分）1. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}1,2,3=，B {}4,3,2=，那么B ∩()U C A = . 答案：{4}2. 满足条件{0,1,2}{0,1,2,3,4,5}M ⊆⊆的集合M 有 个. 答案：83. 在①1⊆{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0}⊆{0}；④φφ；⑤φ{0}上述五个关系中，错误的个数是 . 答案：34. 已知,a b 都是整数，命题P 的否命题是“如果,a b 都是奇数，则a b +是偶数”，那么命题P 的逆命题是 .答案：“如果a b +是奇数，则,a b 不都是奇数” . 5. 不等式12x≤的解为________ . 答案：1(,0)[,)2-∞⋃+∞6.不等式|5|5>的解为________ .答案：[0,25)7. 已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 答案：-18. 已知f (x )的定义域是[0,1]，则(1)f x +的定义域为 . 答案：[1,0]-9. 设集合{0}M x x m =-<，2{(2)3,}N x x y y R ==+-∈，若M ∩N =Φ，则实数m 的取值范围是________________ . 答案：(,3]-∞-10. 设U 为全集，A 、B 为U 的子集，在答题纸上用阴影表示A ∪()u C B . 答案：11. 已知函数2()23f x ax ax =+-对任意实数x 都有()0f x <成立，则实数a 的取值范围是 . 答案：(3,0]- 12. 若0a >，0b <，143a b-=，则ab 的最小值为__________. 答案：3-13. 设实数x 、y 满足2≤x y ⋅≤3，1≤xy ≤2，则使得34x a b y ≤≤恒成立的b 的最小值是 .[答案] 4. ∵34x y=2()x y -⋅⋅4()x y ∈[19，4] 14. 已知2()f x x ax b =++，,a b R ∈，{(),}(2,4)A x x f x x R =>∈=-，试用区间表示{[()],}B x x f f x x R =>∈= .答案：(22,2)(22,4)--二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）15. “0,0a b >>”是“2a b ab +≥”成立的 （ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案：A16. 设集合{||1,}A x x a x R =-<∈，{||2,}B x x b x R =->∈，若A B ⊆，则实数,a b 必满足（ ）A . ||3a b +≤B . ||3a b +≥C . ||3a b -≤D . ||3a b -≥ 答案：D17. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A . )11)((ba b a ++≥4 B . 3322()a b ab a b +≥+C . 222++b a ≥b a 22+D . 33b a +≥22ab 答案：D18. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”. 先给出以下四个命题： （5） 若(3)9f ≥，则(4)16f ≥； （6） 若(3)10f =，则(5)25f >； （7） 若(5)25f =，则(4)16f ≤； （8） 若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为 （ ） A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 答案：C三、解答题(本大题共4题，满分42分8’+8’+12’+14’=42’)19. 已知函数()||f x x a =-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （2）在（1）的条件下，解不等式2()(5)82f x f x x ++>-.解：（1）||333x a a x a -≤⇒-≤≤+，∴31a -=-且35a +=，得2a =. 2分 （2）()|2|f x x =-，31, 32()(5)2|2||3|7, 3231, 2x x f x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪++=-++=-+-<≤⎨⎪->⎩5分当3x ≤-时，3182x x -+>-⇒7x <-当32x -<≤时，782x x -+>-⇒1x >，∴12x <≤ 当2x >时，3182x x ->-⇒95x >，∴2x > 综上，7x <-或1x > 8分20. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()()01035kC x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值．解：（1）据题意，(0)8C =⇒k =40 1分40800()62063535f x x x x x =+⋅=+++，010x ≤≤ 3分（2）800()2(35)10107035f x x x =++-≥=+ 6分 当且仅当8002(35)35x x +=+，即5x =时等号成立. 7分 所以，当修建5厘米厚的隔热层时，所求总费用的最小值为70万元. 8分21．已知,,,(0,)a b x y ∈+∞.（1）求证：222()a b a b x y x y++≥+，并指出等号成立的条件； （2）利用此不等式求函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值，并求出相应的的x 值. 解：（1）2222()()()a b a b ay bx x y x y xy x y +-+-==++ 3分 ∵ ,,,(0,)a b x y ∈+∞ ∴ ()0xy x y +>，2()0ay bx -≥222()a b a b x y x y++≥+ 4分 等号当且仅当ay bx =时成立. 6分（2） 22949(23)()2512212212f x x x x x x x+=+=+≥=--+- 9分 等号当且仅当2(12)32x x -=⋅即11(0,)52x =∈时成立. 11分 所以，15x =时，()f x 的最小值为25. 12分22. 集合{}2231, ,A m n m n Z =+-=∈. （1）证明：若a A ∈，则1Aa ∈A ； （2）对于实数p 、q ，如果1p q <≤，证明：112p q p q<+≤+；并由此说明A 中元素b 若满足12b <≤+2b =；（3）设c A ∈，试求满足22(2c <≤+的A 的元素.解：（1）证明：若a A ∈，则a m =+，,m n Z ∈，且2231m n -=于是1(m n a ===+-,m n Z -∈，且223()1m n --=， ∴1A a ∈. 2分((23)(2m m n n m =+=-+-23,2m n n m Z --∈， 且2222(23)3(2)31m n n m m n ---=-=，A . 4分（2）由1p q <≤，则21(1)20p p p p -+-=>，111()()()0pq p q p q p q pq-+-+=-⋅≤∴112p q p q <+≤+. 6分若满足12b <≤124b b<+≤；又b A ∈，设b m =+,m n Z ∈，且2231m n -= 则12(2,4]2b m m b+=∈⇒=；又22311m n n -=⇒=±，∴2b =1b >，得2b = 10分（3）22(212c ≤+⇒<≤1A ， 12分由（22=，2(27c =+=+227341-⋅=，所以A 中元素为7+。
上海市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
上海高一上学期期中考试试卷数学（满分100分，考试时间100分钟）一、 填空题（每题3分，共30分） 1. 若集合{}2=1,A x xx R ≤∈，{}2=,B y y x x R =∈，则AB =______.2. 函数1x y +=的定义域是 .3. 函数()fx 是1,b a ⎡⎤-⎣⎦上的奇函数，且,a b R+∈，则a b ⋅的最大值为 .4. 已知()2y f x x=+是奇函数，且()11f =.若()()2g xf x =+，则()1g -=____.5. 已知不等式11axx <-的解集为()()12,,-∞+∞，则a= .6.函数y =单调递减区间是 .7. 已知函数()fx 在(),-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，那么命题“如果0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的逆命题的真假性是 .（填：真或假）8. 若关于x 的不等式222x x a -+≥-无解，则实数a 的取值范围是 . 9. 已知()10=10，，x fx x ⎧≥⎨-<⎩，则不等式()()225x x f x ++⋅+≤的解集是 .10. 已知函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中：①若()2f x -是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线2x =对称；②若()()22fx f x +=--，则函数()f x 的图像关于原点对称；③函数()2y f x =+与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称；④函数()2fx -与函数()2yx f =-的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题序号是 .二、 选择题（每小题4分，共16分）11.下列各组函数中，表示同一函数的是（）【A 】1,x y y x ==【B 】11y x x =-⋅+,21y x =- 【C 】33,y x y x == 【D 】()2,y x y x ==12.如果,a b 为非零实数，则不等式11a b>成立的充要条件是（ ） 【A 】0a >且0ab < 【B 】0a <且0ab > 【C 】0a >或0ab >【D 】220a b ab -<13.对于函数()f x ，若()()250f f -⋅<，则（） 【A 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有零点 【B 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定无零点 【C 】函数()f x 在区间(]2,5-上一定有两个零点 【D 】函数()f x 在区间(]2,5-上可能无零点14.已知函数23,1f(x)2,1x x x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） 【A 】47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【B 】4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【C 】23,2⎡⎤-⎣⎦【D 】3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题（共54分） 15. （本题满分10分） 已知集合2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}254B x x x =>-，{}1,C x x m m R =-<∈，（1）求A B ；（2）若()A B C ⊆，求m 的取值范围.16. （本题满分10分）已知函数2()32f x x ax b =--，其中,a b R ∈ （1）若不等式()0f x ≤的解集是[0,6]，求与的值；（2）若3b a =，对任意x R ∈，都有()0f x ≥，且存在实数x ，使得2()23f x a ≤-，求实数a 的取值范围.17. （本题满分10分）迎进博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值；（2）如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的2倍，那么怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值.18. （本题满分12分）已知函数1()()x af x x a a x+-=≠-.（1）求(2)()f a x f x -+的值；（2）当的定义域为1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （3）设函数2()()()g x x x a f x =+-，若1322a ≤≤，求g()x 的最小值.19. （本题满分10分） 已知函数()2,my f x x x==++（m 为实常数）（1）若函数()y f x =图像上动点(,)P x y 到定点(0,2)Q ，求实数m 的值； （2）若函数()y f x =在区间[)2+∞，上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围； （3）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，k 的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有 10 小题，每题3分，共 30 分）1.=01,AB ⎡⎤⎣⎦2.()()110,,-∞-- 3.144.-15.126.322,⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.真 8.3a ≥或1a ≤ 9.32x ≤10.①④二、选择题（本大题共有 4小题，每题4分，共 16 分）11.C 12.D 13.A 14.A三、解答题（本大题共5小题，15-17题每题10分，18-19题每题12分，共54分）15.解：（1）根据题意,由 2212x A x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭得: 224104222x x x x x ++<⇒<⇒-<<-- 由{}254B x x x =>-得：1x >或5x <- 由{}1,C x x m m R =-<∈得：11m x m -<<+ 得: (1,2)A B =（2）因()A B C ⊆则111212m m m -≤⎧⇒≤≤⎨+≥⎩综上所述,结论是：实数m 的取值范围是12m ≤≤16.解：（1）依题意,206,0633a b+=⨯=-解得2()32f x x ax b =-- （2）若3b a =,则2()323f x x ax a =--依题意,224+36036422123a a a a a ⎧≤⎪⎨--≤-⎪⎩，所以,96a -≤≤-或0a =为所求17.解：（1）设矩形栏目的高为acm ,宽为bcm ,则20000ab =,所以20000b a= 广告的高为(20)a cm +,宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()606004000030260600120006060072600S a b a b a aa a=++=++=++≥⋅⋅+=+=当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号，此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小为272600cm（2）由题2b a ≥，20000b a =，解得0100a <≤ 由（1）可得4000030()60600S a a=++ 当100a =时，广告的面积最小为275600cm故当广告矩形栏目的高为100cm ，宽为400cm 时，可使广告的面积最小为275600cm18.解（1）112()(2)()2a x x a a x f a x f x x a a x x a-++---+=+==----（2）函数11()()1x a f x x a a x a x+-=≠=-+--当112a x a +≤≤+时,11,2a x a --≤-≤--11,2a x -≤-≤-121a x-≤≤-- 于是1312a x-≤-+≤-- 得()f x 值域为[]3,2--.（3）当1a =时,2()(1)g x x x x =+≠-(i) 当0x ≥时，211g()()24x x =+-则函数()g x 在[0,)+∞上单调递增min ()(0)0g x g ==(ii) 当0x ≤时，211g()()24x x =--则函数g()x 在(,0]-∞且1x ≠-时单调递减min ()(0)0g x g ==综合得:当1x ≠-时，g()x 的最小值是019.解：（1）设(,)P x y 则2,my x x=++ 222(2)PQ x y =+-22222m x m x=++2m ≥+=2当0m >时，解得1m =;当0m <时,解得1m =-1m ∴=或1m =（2）由题意,任取[)12,2,x x ∈+∞,且12x x <则121221212112()()2(2)()0x x m m mf x f x x x x x x x x x =-=++-++=-⋅> 21120,4x x x x ->>所以4m ≤;m ∴的取值范围(],4-∞（3）由()f x kx ≤,得2mx kx x++≤ 212,1,12m x k x x ⎡⎤∈∴++≤⎢⎥⎣⎦令1tx=,则1,12x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解,当且仅当[]min()(1,2)k g t t≥∈0m<min()(1)3g t g m∴=-+综上, 当23m≤-时,[)45,k m∈++∞当23m-<<时, [)3,k m∈++∞高一第一学期期中考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}1,0,1,7A =-，则集合A 的非空真子集的个数为______． 2．不等式123x-<<的解集为______． 3．．函数()3x f x +=的定义域是______．4．若{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}210,A x x x =-≤Z ，{}13,B x x x =-≤≤∈Z ，则A B ⋂=______． 5．设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈；②T ∅⊆；③{}T ∅∈；④{}T ∅⊆．其中正确的是______．（写出所有正确命题对应的序号）6．若集合{x y ==R ，则实数a 的取值范围是______．7．如果全集U 含有12个元素，P 、Q 都是U 的子集，P Q ⋂中含有2个元素，P Q ⋂含有4个元素，P Q ⋂含有3个元素，则P 含有______个元素．8．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a 元、b 元、c 元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是______老师，理由是______（请写出关键的不等式）． 9．对于集合M ，定义函数()11M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合A 、B ，定义集合()(){}1A B A B x f x f x *=⋅=-，已知集合{}A x =>，()(){}330B x x x x =-+>，则A B *=______．10．已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有______个元素． 二、选择题11．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确12．已知a ，b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要13．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题： ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞ ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞ ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞ 其中正确命题的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114．设集合{}110P x ax =+>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 三、解答题15．设0a >，0b >，且11a b a b+=+，证明： （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立．16．已知集合()(){}23210A x x m x m =-+++=，(){}223120B x x n x =+++=，其中m ,n ∈R ． （1）若A B A ⋂=，求m 、n 的值； （2）若A B A ⋃=，求m 、n 的取值范围．17．已知命题P ：函数()()113f x x =-且()f a a <，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x =+++=∈R ，{}0B x x =>且A B ⋂=∅．（1）若命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题P 、Q 均为真命题时的实数a 的取值范围；（3）由（2）得结论，a 的取值范围设为集合S ，若,,,0m T y y x x m x x ⎧⎫==+∈>≠⎨⎬⎩⎭R ，若T S ⊆，求实数m 的范围．18．2020年初，有一种高危传染病在全球范围内传播，中国东部沿海某市总人口约200万人，根据分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样结合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x 人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，求每个分组的最优人数是多少？（2）在上题的检测方案中，对于检测结果为阳性的组取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样再进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少；（3）在上题的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．高一期中数学试卷参考答案一、填空题1．14 2．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．{}03x x x <≠-且 4．{}23， 5．①②③④ 6．3a ≤- 7．58．王老师，22a b ab a b +>+ 9．()[)(),30,13,-∞-⋃⋃+∞10．3 二、选择题11．D 12．A 13．B 14．B三、解答题15．（1）证明略；（2）证明略．16．（1）122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12m n =⎧⎨=-⎩； （2）5,13m n ∈⎧⎪⎨⎛⎫∈- ⎪⎪⎝⎭⎩R 或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 17．（1）(][)5,47,a ∈--⋃+∞； （2）()4,7a ∈-； （3）(]0,4m ∈．18．（1）在最坏情况下，需要进行62101000x x⨯+次检测可以找到所有的被感染者，在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数是45：（2）第一次每个组159人，第二次每个组13人，可使总次数尽可能少；（3）进行这样的检测18次，即可得到总次数更少．上海市第一学期高一数学期中考试试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．已知全集{}0,1,2,3=U ，集合{}2,3=A ，{}1,4=B ，则⋂=A B ______．2．若“2=x ”是“220-+=x x c ”的充分条件，则=c ______．3=______．4．已知2336==a b ，则11+=a b ______． 5．当2>x 时，122+-x x 的最小值为______． 6．关于x 的一元二次不等式210++>ax bx 的解集是()1,3-，则-a b 的值为______．7．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______．8．已知集合(){}21320=-+-=A x m x x 有且仅有两个子集，则实数=m ______． 9．定义运算,,≤⎧*=⎨>⎩x x y x y y x y ，若11-*=-m m m ，则m 的取值范围为______．10．已知正数a 、b 满足()lg 4lg lg +=+a b a b ，则+a b 的最小值为______．11．已知集合()(){}{210==--+-=M M x x a x ax a 各元素之和等于3．则实数=a ______．12．已知关于x 的不等式组()2228022770⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩x x x k x k 仅有一个整数解，则实数k 的取值范围______． 二、选择题13．()3<∈a a R 成立的一个必要不充分条件（ ）A ．3<aB ．2<aC ．29<aD ．02<<a14若>a b ，>c d ，则下列结论正确的是（ ）A ．+>+a d b cB ．>ac bdC ．>a b c dD ．-<-d a c b15．“对任意的∈x R ，3210-+≤x x ”的否定形式是（ ）A ．不存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≤x xB ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+≥x xC ．存在∈x R ，使∈x R ，3210-+>x xD ．对任意∈x R ，使∈x R ，3210-+>x x16．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6=+∈k n k n Z ，1=k ，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0-∈a b ”； @“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2∈b ”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 三．解答题17．已知集合{}0,1=A ，{}()11,lg ,20=->a B a a a ，请用反证法证明：{}1⋂=A B ． 18．已知实数x 满足210-+=x mx ，求：（1）22-+x x （用m 表示）；（2）1--x x （用m 表示）．19．已知20,3⎧-⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭x A x x R x ，{}10=-=B x ax ，且⋂=A B B ，求实数a 的取值范围． 20．设二次函数()2=++f x ax bx c ，其中a ，b ，∈c R ．（1）若=b a ，4=-c ，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； （2）若1=a ，21=-b k ，2=c k ，方程()0=f x 有两个大于1的根，求实数k 的取值范围．21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数那运算是两类重要的运算．（1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，那么log =n a M n ()log ∈a M n R（2）因为()10342102410,10=∈，所以102的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）．请你运用所学过的对数运算的知识，判断20202019的位数．（注lg 2019 3.305≈）（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯杰与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能围模复杂度的上限约为3613=M ，而根据有关面料，可观测宇审中普通物质的原子总数的为8010=N ，甲乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310，现有一种定义：若实数x ，y 满足-<-x m y m 则称x 比y 接近m ，请你判断哪个同学的近似值更接近M N，并说明理由．上海第一学期高一数学期中考试试卷答案时间：90分钟 满分：100分一、填空题1．{}1 2．0 3．：34x 4．125．4 6．1- 7．3>a 8．18-或19．12≥m 10．9 11．2或32 12．[)(]5,34,5-⋃ 二、选择题13．A 14．D 15．C 16．B三．解答题17．略18．（1）22-m ；（2）19．{}11,,032⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（1）[]16,0-；（2）2<-k ．21．（1）如果0>a ，且1≠a ，0>M ，因为()log log ==a a n n M M n a a M ，所以log log =na a M n M a a ，所以()log log =∈n a a M n M n R ； （2）设20202019=t ，所以lg 2020lg 2019=t ，因为lg 2019 3.305≈，所以lg 2020lg 20196676.1==t ，所以()6676.166********10,10=∈t所以20202019的位数为6677； （2）根据题意得，36180310=M N ，所以36136180803lg lg lg3lg10361lg38092.2410==-=-≈M N 所以()92.2492931010,10=∈M N因为()361173lg 23lg 236llg3172.54173lg10⨯=+≈<=，所以36117317315323101010⨯<<+ 所以36193738023101010⨯<+，所以361361739380803310101010-<-，所以甲同学的近似值更接近M N ．。
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)
2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案） 第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（ ）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（ ）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（ ）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（ ）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （ ） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（ ）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能 是（ ）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是 ．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)
π 3 f (a ) − f (b ) > 0 成立，则必有（ 9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a，b ，总有 a −b
D. f (−1) > f (−π ) > f ( ) A. 函数 f ( x ) 是先增 加后减少 C. f ( x ) 在 R 上是增函数 B. 函数 f ( x ) 是先减少后增加 D. f ( x ) 在 R 上是减函数
）个
12.定义在 [ −1,1] 的函数 f ( x) 满足下列两个条件：①任意的 x ∈ [−1,1] ，都有 f (− x) = − f ( x) ；②任意的 m, n ∈ [0,1] ，当
f ( m) − f ( n) < 0 ，则不等式 f (1 − 3 x) < f ( x − 1) 的解集是 m−n 1 1 2 1 2 B. ( , ] C. [−1, ) D. [ ,1] A. [0, ) 2 2 3 2 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 2 x − 1 (x ≥ 3) ，则 f ( f (− 1)) 的值是 13. 已知函数 f ( x ) = 。 1 − 3 x (x < 3) m ≠ n ，都有
[来源:学科
π 3
B. f ( ) > f (−1) > f (−π )
π 3
π 3
）
10. 如果函数 f ( x) = x 2 + 2(a − 1) x + 2 在区间 ( −∞, 4] 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是 A. a ≥ 5 B.
a≤5
C. a ≥ −3
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20.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0 时， f ( x) = x （1）求 f ( x) 的解析式; （ 2）解关于 x 的不等式 f ( x) ≤
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
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XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
2014-2015学年上海中学高三上学期期中考试试卷
2014-2015学年上海中学高三上学期期中考试试卷1.已知集合A ＝{x|1≤x ≤4}，B ＝Z 为整数集，则A ∩B ＝_______．2．函数y ＝cos 2x−sin2x 的最小正周期为_______．3．函数y ＝x 2−1（x ＜−1）的反函数是_______．4．若函数f （x ）＝x 2＋|x ＋2a−1|＋a 的图象关于y 轴对称，则实数a_______．5．已知log a b ＝−1，则a ＋2b 的最小值是_______．6．幂函数f （x ）＝（m 2−m ＋1）x m 的图象与y 轴没有交点，则m ＝_______．7．偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，且f （3）＝0，若f （2x−1）＜0，则实数x 的取值范围是_______．8．不等式(21)＜(21)恒成立，则a 的取值范围是_______ ．9．若函数f （x ）＝cos2x ＋asinx 在区间（6π，2π）是减函数，则a 的取值范围是_______． 10．已知f （x ）是定义在[−2，2]上的函数，对于任意实数x 1，x 2∈[−2，2]，且x 1≠x 2时，11．设函数f （x ）＝x 2＋log a （bx ＋221x b +），若f （2）＝4.7，则f （−2）_______． 12．已知AB ＝2，∠B ＝60°，AC ＝b ，若b ∈M 时△ABC 能唯一确定，则集合M ＝_______．13．已知P 1（x 1，x 2），P 2（x 2，y 2）是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2＝θ（θ为钝角）．若sin （θ＋4π）＝53，则的x 1x 2＋y 1y 2值为_______． 14．若定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，f （x−2）是偶函数，且当0＜x ≤2时，f （x ）＝3x ，则方程f （x ）＝f （3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是_______．二、选择题（每小题5分，总分20分）A 、f （x ）是偶函数B 、f （x ）是（−∞，＋∞）上的增函数C 、f （x ）是周期函数D 、f （x ）的值域为[−1，＋∞）16．已知a ，b 都是实数，那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17．若M ＝{（x ，y ）||tan πy|＋sin 2πx ＝0}，N ＝{（x ，y ）|x 2＋y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）A 、4B 、5C 、8D 、9 18．已知f （x ）＝3x 2−x ＋4，f[g （x ）]＝3x 4＋18x 3＋50x 2＋69x ＋48，那么整系数多项式函数g （x ）的各项系数和为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、11三、解答题（总分74分）20．解下列不等式：（1）|x−1|＋|x−2|＜2；（2）0＜x−x1＜1．成立，其中等号当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时成立．（1）试判断y ＝x 2是否为R 上的凹函数，并说明理由；（2）若x 、y 、z ∈R ，且x ＋y ＋2z ＝8，试求x 2＋y 2＋2z 2的最小值并指出取得最小值时x 、y 、z 的值．（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；（2）若方程g（x）＝x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（−1，1）上的单调性；（3）若方程g（x）＝x的两实根为x1，x2，f（x）＝0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x 2＜x4成立的a的取值范围.23．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≤b≤c，（1）若b2＝ac，求角B的取值范围；（2）求证：以a，b，c为长的线段能构成锐角三角形；（3）当0≤x≤1时，以a x、b x、c x为长的线段是否一定能构成三角形？写出你的结论，并说明理由．。
2014-2015-高一上期中-淞浦高中.doc
高中一年级第一学期数学学科期中考试卷一、填空题(3×12=36)1.已知集合{}5,4,3,2,1=A ，{}7,6,5,4,3=B ，则=B A ． 2.已知集合{}d c b a A ,,,=，{}f e d b B ,,,=，则=B A ．3.用列举法表示方程0652=+-x x 的解集为 ．4.不等式1|1|≤-x 的解集为 ．5.已知集合},12,3,1{--=m A 集合},,3{2m B =若A B ⊆，则实数=m ．6.命题“如果M a ∈，那么M b ∉”的否命题是 ．7.已知集合{}4,y x A -=，集合{}y x B +=,2，若B A =，则=xy ．8.不等式03282>--x x 的解集为 ．9.若0>x ，则xx x 422++的取值范围是 . 10.关于x 的方程02=++c bx x 的两根分别为21-=x 和212-=x ，则关于x 的不等式02<+-c bx x 的解集是 ．11.若不等式02<+-c x x 的解集为∅，则c 的取值范围是 ．12.当01>x ，02>x ，则21212x x x x ≥+，当且仅当21x x =时取等号，这个结论可以推广到n 个正数的情况，即：当0,,0,021>>>n x x x ，则 ；当且仅当 时取等号．二、选择题(3×4=12)13．下列表示错误的是…………………………………………………………………（ ）（A ）∅∉0 （B ）{}2,1⊆∅ （C ）{}4,353102),(=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=+y x y x y x （D ）若B A ⊆，则A B A =14.“0<<b a ”是“22b a >”的…………………………………………………（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件15．若0>ab ，则下列不等式不一定能成立的是……………………………………（ ）（A ）ab b a 222≥+ （B ）ab b a 222-≥+ （C ）ab b a ≥+2（D ）2≥+ba ab 16．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=430|x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=132|x x N ，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”，那么集合N M 的“长度”是………………………（ ）（A ）121 （B ）41 （C ）31 （D ）32 三、简答题17．(8分)解不等式组⎩⎨⎧<->+-5|32|02522x x x ．18．(8分)设全集R U =，{}1||>=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥++=214x x x B ，求∁)(B A U ．19．(8分)设关于x 的方程0122=-+px x 和02=++r qx x 的解集分别是A 、B ，且B A ≠，{}4,3-=B A ，{}3-=B A ，求r q p ,,的值．20．(8分)不等式01)4(2)4(2>+---x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．21、(10分)如图，用24米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，中间有一道篱笆，要使养鸡场的面积最大，问矩形的各边长为多少米？最大面积是多少？22．(10分)①若关于x 的方程)2(3)1(+=-x x m 的解为正数，求实数m 的取值范围；②设①中m 的取值范围用集合A 表示，关于x 的不等式0)12)((>---x a a x （)1<a 的解集用集合B 表示，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．高一年级第一学期数学学科期中考试（答案）一、填空题(1){}5,4,3；(2){}f e d c b a ,,,,,；(3){}3,2；(4)[]2,0；(5)1；(6)“如果M a ∉，那么M b ∈”；(7)3； (8)⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,4321,, ； (9)),6[+∞； (10)⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21； (11)),41[+∞； (12))(*321321N n x x x x nx x x x n n n ∈≥++++ ，n x x x x ==== 321)(*N n ∈ 二、选择题（13）C ；（14）A ；（15）C ；（16）A三、简答题(17)解：因⎩⎨⎧<->+-)2(5|32|)1(02522 x x x ，不等式(1)的解集为()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，221, ；…………………………………（3分） 不等式(2)的解集为()1,4－；………………………………………………（3分）， 可知原不等式的解集为()2,4211 ⎪⎭⎫ ⎝⎛，－。
试题
2014～2015学年度高一年级第一学期期中考试数学试题卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题（共12小题每题5分）1、1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U C M N 等于 A.｛0， 4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ∅ 2、设集合{}1->∈=x Q x A ，则（ ）A ．A ∅∈ BA C．A ∈ D．A3、下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．()()f x g x x == B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==．()(),f x x g x ==4、已知log 83a =，则a 的值为 A 、12B 、2C 、3D 、4 5、函数2()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图像恒过定点 A 、（0,1） B 、（0,2） C 、（2,1） D 、（2,2）6.已知3,(1)()222,(1)x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 那么1[()]2f f 的值是（ ） A. 54 B. 34 C. 94 D. 14-7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．若函数)(x f 对任意0>a 且1≠a ，都有)()(x af ax f =，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是( )A. x x f -=)(B. 1)(+=x x fC. x x f =)(D. x x x f -=)(9.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（ ）A ． 0a b <<B ． 1b a >>C ．01b a <<<D ．01a b <<< 9. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）A ． 3(0,)4B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A . )()(x g x f 是偶函数B . )(|)(|x g x f 是奇函数C . |)(|)(x g x f 是奇函数D . |)()(|x g x f 是奇函数10、已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，3()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=A 、1-B 、3-C 、 1D 、311．已知)(x f 满足)()(x f x f -=-，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．2)(+=x x x fB ．2)(-=x x x fC ．2)(+-=x x x fD ．2)(--=x x x f 12、已知函数(2)f x +的定义域为[]2,2-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2- C ．[]1,3 D ．[]1,5-卷Ⅱ（非选择题，共90分）13、如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则1()(3)f f 的值等于 14、求函数|21|()3x f x -=的单调递增区间14、若集合{}2,12,4a a A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;15、设25abm ==，且112a b+=则m 等于 16.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数c ，使)(c f ＞0 ，则实数p 的取值范围是_____________。
上海中学2014学年第一学期数学期终考试
上海中学2014学年第一学期期终考试数学试题注：请将各题答案写在答题纸的相应位置上，否则无效一、填充题：（每小题3分，共计42分）1． 已知4tan 3α=，α是第三象限，则sin α= ． 2． 已知sin cos 32sin cos αααα+=-，则tan α= ． 3． 已知扇形的半径为2，弧长为5π3，则扇形面积为 ．4． 函数()f x =定义域是 ． 5． 已知2()12x x f x =+，x R ∈，则113f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 6． 已知函数()f x 满足1()2(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析表达式()f x = ．7． 方程3456()x x x x x R ++=∈的解的个数为 个．8． 函数()f x 对一切实数x 都满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且方程()0f x =有四个实根，则这四个实数根之和为 ．9． a 的取值范围为 ． 10．已知实数a ，b 满足等式23log log a b =，给出下列五个关系式：①1a b >>；②1b a >>；③1a b <<；④1b a <<；⑤a b =，其中可能的关系式 ．11．函数()1238f x x =-+-+-+⋅⋅⋅+-取最小值时，x = ．12．已知2cos ()log (3)f x x ax a ϕ=-++（ϕ为锐角且为常数），在区间[)2+∞，上为增函数，则实数a 的取值范围 ．13．函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且0f =⑴．若()2log a f x x+<在区间102⎛⎫ ⎪⎝⎭，内的一切x 均成立，则实数a 的取值范围 ．14．设任意实数0a b c d >>>>，要使log b a 2015log 2015log 2015log 2015c d d b c am ++≤恒成立，则m 的取值范围为 ．二、选择题：（每小题3分，共计12分）1． 已知p ：关于x 的不等式13x x m -+-<有解；q ：()(73)x f x m =-为减函数．则p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 下列函数中，图像一定不过第四象限的函数有几个？（ ）⑴()k f x x =，其中k 是奇数；⑵()21x f x =-的反函数； ⑶某个幂函数的反函数；⑷对数函数的反函数 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3． 幂函数n y x =，当n 取不同值时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图）；设(10)A ，，(01)B ，，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y x α=，y x β=图像三等分，即有BM MN NA ==，那么αβ=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定4． 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 阶增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时()f x x a a =--，其中a 为正常数．若()f x 为R 上的“2阶增函数”，则实数a 的取值范围（ ）A ．(02)，B ．(01)，C ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， 三、解答题：（要求写出必要的解答步骤）1． （本题6分）解方程：222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++2． （本题7分）定义在[]22-，上的偶函数()f x ，当[]02x ∈，时，()f x 是单调减函数，若(1)()f m f m +<-成立，求实数m 的取值范围．3． （本题7分）若关于x 的方程121233210x x a ----⋅---=有实数解，⑴当0a =时，解此方程；⑵求实数a 的取值范围． 4． （本题8分）已知函数()f x 和函数()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+， ⑴求函数()g x 的解析式；⑵若()()()1h x g x f x λ=-+在[]11-，λ上是增函数，求实数的取值范围．5． （本小题9分）有一个受污染的湖泊，其湖水的容积为3Vm ，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为3rm ．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好的混合．用()g t 表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式()(0)r t v p p g t g e r r -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦(0)p ≥，其中(0)g 是湖水污染的初始质量分数． ⑴当湖水污染质量分数是常数时，求湖水污染的初始质量分数； ⑵当(0)p g r<时，湖泊的污染程度将越来越严重，还是越来越好？请简单说明理由； ⑶如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么当350000V m =，3500r m =时，需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？（精确到0.1）6． （本小题9分）已知二次函数2()f x ax bx c =++⑴若(0)0f =，(1)1f =，(2)(2)f x f x -=-，求()f x 的解析式；⑵若()f x 满足对所有实数x 都有2222()243x x f x x x -+-+≤≤，且(11)181f =，求()f x 的解析式；⑶考察一切可能的二次函数2()f x ax bx c =++，其中a b <，若对一切实数x 都有()0f x ≥，试求a b c b a++-的最小值．。
上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案
上海市高一上学期期中考试试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,5,62．已知集合{|1}A x x =<，{|31}xB x =<，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x = B ．()1f x x =-，21()1x g x x -=+C ．()f x x =，()g x =D ．()||f x x =，2()g x =4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ） A ．1()f x x=B ．2()log f x x =-C ．3()f x x =-D ．1(0)()1(0)x x f x x x -+<⎧=⎨--≥⎩5．已知函数()y f x =的定义域是[8,1]-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．(,2)(2,3]-∞--B ．[8,2)(2,1]---C ．9[,2)(2,0]2--- D ．9[,2]2--6．已知函数log (1)4(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的 图象上，则()()lg 2lg 5f f +=（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．17．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数，则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．函数2ln ||()x f x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知2log 3.23a =，4log 23b =，log 25c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>10．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞11．若函数()f x 的零点与2()log 21g x x x =++的零点之差的绝对值不超过0．25，则()f x 可以是（ ） A ．5()42x f x x =+- B ．()1xf x e =- C ．2()(1)f x x =-D ．1()ln()2f x x =-12．设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的个数是（ ） ①当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； ②当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； ③若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； ④方程()0f x =可能有三个实数根． A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过的定点是 ．14．函数1()|lg |x f x x e=-的零点个数为 ． 15．函数22()log (2)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．16．函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2,(02)16()51,(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算：（11421()0.252-+⨯； （2）7log 2334log lg25lg47log 8log +-+⋅18．（12分）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数． （1）若函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，求函数1()y f x =的值域； （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，求a b +的值．19．（12分）已知函数22()log ()log (2)4xf x x =⋅的定义域为[2,8]． （1）设2log t x =，求t 的取值范围；（2）求()f x 的最大值与最小值及相应的x 的值．20．（12分）已知集合22{|log (22)}A x y mx x ==-+，{24}xB x =≤≤．（1）若A =R ，求实数m 的取值范围； （2）若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若a ，[1,1]b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+．（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若2()55f x m mt ≤--对所有[1,1]x ∈-，[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）对于函数1()f x ，2()f x ，()h x ，如果存在实数a ，b ，使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数．（1）当1a b ==，()xh x e =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（2）设函数21()ln(65)f x x x =++，2()ln(23)f x x a =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数a 的取值范围．数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，{}3,4A B ∴=，{}()1,2,5,6U A B ∴=，故选D ．2．【答案】A 【解析】集合{|1}A x x =<，{|31}{|0}xB x x x =<=<，{|0}AB x x ∴=<，故A 正确，D 错误；{|1}A B x x =<，故B 和C 错误，故选A ． 3．【答案】C【解析】A 中，()1f x =定义域为R ，0()g x x =，定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，不是同一函数；B 中()1f x x =-，定义域为R ，21()1(1)1x g x x x x -==-≠-+，定义域不同不是同一函数，C 中，()f x x =，定义域为R ，()g x x ==，定义域为R ，定义域相同，对应法则相同，是同一函数；D 中，()||f x x =，定义域为R ，2()g x x ==，定义域为{|0}x x >，两者定义域不同，不是同一函数， 故选C ． 4．【答案】C【解析】A 错，在(,0)-∞，(0,)+∞递减，不是整个定义域递减； B 错，不是奇函数；C 对，3()()f x x f x -=-=-，且为R 上的减函数； D 错，(0)1f =-不等于0，不是奇函数， 故选C ．【解析】由题意得8211x -≤+≤，解得902x -≤≤； 由20x +≠，解得2x ≠-， 故函数的定义域是9[,2)(2,0]2---，故选C ．6．【答案】B【解析】函数log (1)4a y x =-+中，令11x -=，解得2x =， 此时log 144a y =+=，所以函数y 的图象恒过定点(2,4)P ，又点P 在幂函数()y f x x α==的图象上，所以24α=，解得2α=，所以2()f x x =，所以()()()()()22lg 2lg 5lg 25lg 252lg102f f f f +==⨯==⎡⎤⎣⎦，故选B ．7．【答案】A 【解析】函数是偶函数，∴定义域关于原点对称，则320a a -+=，得33a =，得1a =， 则22()22f x ax bx a b x bx b =++-=++-， 则函数关于y 轴对称，则02b-=，则0b =，即2()2f x x =+， 则()()()()1012025f a f b f f +=+=+++=，故选A ． 8．【答案】D【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，22ln ||ln ||()()()x x f x f x x x--===-，()f x ∴为偶函数， ()f x ∴的图象关于y 轴对称，当01x <<时，ln 0x <，()0f x ∴<； 当1x >时，ln 0x >，()0f x ∴>； 当1x =时，()0f x =， 故选D ．【解析】因为24log 3.21log 2>>，所以24log 3.2log 233a b =>=；因为log 5c ==41log 2233b ===，所以b c >，所以a b c >>，故选C ． 10．【答案】A 【解析】函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减，则24y x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递增，且满足0y >，故有224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，求得24a -<≤，故选A ．11．【答案】A【解析】2()log 21g x x x =++，因为221111117()()(log 21)(log 21)1()02422444g g ⋅=+⋅+⋅+⋅+=⋅-<， 所以()g x 的零点区间是11(,)42．A 中，5()42x f x x =+-的零点12，两者的零点之差的绝对值不超过0．25，符合条件，所以A 正确；B 中，()1xf x e =-的零点是0，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以B 不正确； C 中，2()(1)f x x =-的零点为1，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以，C 不正确； D 中，1()ln()2f x x =-的零点是32，两者的零点之差的绝对值超过0．25，不符合条件，所以D 不正确， 故选A ． 12．【答案】C【解析】①当0b >时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，值域是R ，故函数()f x 在R 上没有最小值；②当0b <时，22,0()||,0x bx c x f x x x bx c x bx c x ⎧-+≥=-+=⎨--+<⎩，由解析式可知函数()f x 在R 上是单调增函数；③22(2019)(2019)20192019(20192019)22020f f b c b c c +-=-++-++==， 解得1010c =，故③对；④令2b =-，0c =，则()||20f x x x x =-=，解得0x =，2，2-，故④正确， 故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】(2,2)-【解析】令20x +=，求得2x =-，2y =， 可得函数21(01)x y aa a +=+>≠且的图象恒过定点(2,2)-，故答案为(2,2)-． 14．【答案】2【解析】令()0f x =，则1|lg |x x e =，1()xxh x e e-==，()|lg |g x x =，如下图所示， 所以两函数有两个交点，即函数()f x 有两个零点， 故答案为2．15．【答案】(][),08,-∞+∞【解析】设22t x ax a =-+，要使()f x 的值域为R ， 则22t x ax a =-+值域(0,)A ⊇+∞， 即判别式280Δa a =-≥，得8a ≥或0a ≤， 即实数a 的取值范围是(][),08,-∞+∞，故答案为(][),08,-∞+∞．16．【答案】111(,1)(,)424--- 【解析】由题意，作函数()f x 的图象如下，由图象可得()10()24f x f ≤≤=， 关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，∴方程20x ax b ++=有两个根，不妨设为1x ，2x ，且114x =，2104x <<或者110x -<<，2104x <<； 1211(,)42x x ∴+∈或者121(1,)4x x +∈-， 又12a x x -=+，111(,1)(,)424a ∴∈---， 故答案为111(,1)(,)424---． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）7-；（2）2．【解析】（1）原式4181(2)72=--+⨯-=-． （2）原式32332131log 3lg1002(3log 2)(log 3)222622=+-+⋅=+-+=． 18．【答案】（1）(0,1)；（2）32-． 【解析】（1）函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠，其中a ，b 均为实数，函数()f x 的图象经过点(0,2)A ，(1,3)B ，123b a b +=⎧∴⎨+=⎩，21a b =⎧∴⎨=⎩，∴函数()211x f x =+>，函数111()21x y f x ==<+． 又110()21x f x =>+，故函数1()y f x =的值域为(0,1)． （2）如果函数()f x 的定义域和值域都是[1,0]-，若1a >，函数()x f x a b =+为增函数， 1110b a b ⎧+=-⎪∴⎨⎪+=⎩，求得a ，b 无解；若01a <<，函数()xf x a b =+为减函数，1011b a b ⎧+=⎪∴⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，32a b ∴+=-． 19．【答案】（1）1[,3]2；（2）x =()f x 有最小值254-，8x =时，()f x 有最大值4-． 【解析】（1）由题意可得x ∈，21log 32x ∴≤≤， 即t 的取值范围为1[,3]2． （2）22222()log )2(log 2)(1log )(log 4)(1log )f x x x x x =⋅=+=-+， 令2log t x =，则22325(4)(1)34()24y t t t t t =-+=--=--，其中1[,3]2t ∈， 所以，当32t =，即x =()f x 有最小值254-， 当3t =，即8x =时，()f x 有最大值4-．20．【答案】（1）1(,)2+∞；（2）(4,)-+∞．【解析】（1）因为函数22log (22)y mx x =-+的定义域为R ，所以2220mx x -+>在R 上恒成立，当0m =时，1x <，不在R 上恒成立，故舍去；当0m ≠时，则有0480m Δm >⎧⎨=-<⎩，解得12m >，综上所述，实数m 的取值范围为1(,)2+∞． （2）易得1[,2]2B =，若A B ≠∅，所以2220mx x -+>在1[,2]2上有解， 22221112()22m x x x ∴>-+=--+在1[,2]2上有解， 当12x =，即12x =时，min 222()4x x -+=-，所以4m >-， ∴实数m 的取值范围为(4,)-+∞．21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）(][),66,-∞-+∞．【解析】（1）函数()f x 在[1,1]-上是增函数，设1211x x -≤<≤， ()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，2121()()()()f x f x f x f x ∴-=+-．又1211x x -≤<≤，21()0x x ∴+->， 由题设2121()()0()f x f x x x +->+-，有21()()0f x f x +->，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数．（2）由（1）知()max ()11f x f ==，2()55f x m mt ∴≤--对任意[1,1]x ∈-恒成立，只需2155m mt ≤--对[1,1]t ∈-恒成立，即2560m mt --≥对[1,1]t ∈-恒成立， 设2()56g t m mt =--，则22(1)061560(1)016560g m m m m g m m m m -≥⎧≤-≥⎧+-≥⎧⇔⇔⎨⎨⎨≥≤-≥--≥⎩⎩⎩或或， 解得6m ≤-或6m ≥，m ∴的取值范围是(][),66,-∞-+∞．22．【答案】（1）存在，1()2x x e e f x --=，2()2x x e e f x -+=；（2）102[,)33--． 【解析】（1）依题意可知，12()()x f x f x e +=---------------① 将x -代替x ，得12()()x f x f x e--+-=，因为1()f x 是奇函数，2()f x 是偶函数，所以有12()()x f x f x e --+=----------② 由①、②可得1()2x x e e f x --=，2()2x xe ef x -+=． （2）依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--， 令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453(5x x a x ++=-<-或1)x >-， 令2()45(5g x x x x =++<-或1)x >-，结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点， 所以，实数a 的取值范围为102[,)33--．。
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2014-2015学年上海市黄浦区敬业中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）用列举法表示：大于0且不超过6的全体偶数的集合A=．2．（3分）集合A={﹣1}，集合B={x|x2﹣3x+a=0}且A B，则实数a=．3．（3分）写出命题“x＞2”的一个充分非必要条件．4．（3分）不等式x﹣2x2﹣1＜0的解集为．5．（3分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=．6．（3分）函数y=+的值域为．7．（3分）若函数f（x）=2x2+ax+b在区间（﹣∞，4]上为减函数，则实数a的取值范围是．8．（3分）函数y=x+（x＞）的最小值是．9．（3分）已知：定义在（﹣2，2）上的偶函数f（x），当x＞0时为减函数，若f（1﹣a）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．10．（3分）已知函数y=f（2x+5）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（x）的定义域为．11．（3分）某火车驶出A站5千米后，以60千米/小时的速度行驶了50分钟，则在这段时间内火车与A站的距离S（千米）与t（小时）之间的函数解析式是．12．（3分）函数f（x）=3ax2﹣2ax+1（x∈R）在（﹣1，1）内有一个零点，则实数a的取值范围是．13．（3分）设[x]表示不大于x的最大整数，则方程4x2﹣40[x]+51=0的实数解的个数是．二、选择题14．（3分）集合{（x，y）|xy≥0，x∈R，y∈R}是指（）A．第一象限内的所有点B．第三象限内的所有点C．第一象限和第三象限内的所有点D．不在第二象限、第四象限内的所有点15．（3分）若0≤x≤3，则y=x2﹣4x+3（）A．有最小值0，最大值3 B．有最小值﹣1，最大值0C．有最小值﹣1，最大值1 D．有最小值﹣1，最大值316．（3分）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（）A．﹣B．a2＜b2C．a3＜b3D．ab＞b217．（3分）下列四个命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x2+的最小值是2；（3）函数y=的最小值是2；（4）函数y=2﹣3x﹣（x＞0）的最大值是2﹣4．其中错误的命题个数是（）A．2 B．4 C．3 D．1三、解答题18．（10分）现有命题“矩形的两条对角线长度相等”，写出它的逆命题与逆否命题，并说明其真或假的理由．19．（13分）若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围．20．（13分）已知全集U=R，集合A={x|x﹣a+1≤0}，集合B={x|x﹣a﹣2＞0}，集合C={x|≥0}，若∁U（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．21．（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．2014-2015学年上海市黄浦区敬业中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）用列举法表示：大于0且不超过6的全体偶数的集合A={2，4，6} ．【解答】解析：A={x|x=2k，0＜x≤6，k∈Z}={2，4，6}．故答案为：{2，4，6}．2．（3分）集合A={﹣1}，集合B={x|x2﹣3x+a=0}且A B，则实数a=﹣4．【解答】解析：由A B，得﹣1∈B，即（﹣1）2﹣3×（﹣1）+a=0，解得a=﹣4．故答案为：﹣4．3．（3分）写出命题“x＞2”的一个充分非必要条件x＞3（答案不唯一）．【解答】解：由题意得，只需找一个x＞2的一个真子集即可，则x＞3，答案不唯一．故答案为：x＞3，（答案不唯一）．4．（3分）不等式x﹣2x2﹣1＜0的解集为R．【解答】解：原不等式可化为2x2﹣x+1＞0，∵△=12﹣8=﹣7＜0，∴原不等式的解集为R．故答案为：R5．（3分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=0．【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），解得a=0．6．（3分）函数y=+的值域为[，+∞）．【解答】解：函数的定义域为[1，+∞），又∵函数单调递增，则函数的值域为．7．（3分）若函数f（x）=2x2+ax+b在区间（﹣∞，4]上为减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣16] ．【解答】解：∵二次函数f（x）=2x2+ax+b的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣；且f（x）在区间（﹣∞，4]上为减函数，∴﹣≥4，即a≤﹣16，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣16]；故答案为：（﹣∞，﹣16]．8．（3分）函数y=x+（x＞）的最小值是．【解答】解：∵，∴2x﹣1＞0．∴．当且仅当x=时取等号．∴函数y=x+（x＞）的最小值是．故答案为：．9．（3分）已知：定义在（﹣2，2）上的偶函数f（x），当x＞0时为减函数，若f（1﹣a）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）为（﹣2，2）上偶函数且在x＞0时是减函数，∴f（|x|）=f（x），不等式转化为f（|1﹣a|）＜f（|a|），∴，解得故答案为：．10．（3分）已知函数y=f（2x+5）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（x）的定义域为[1，9] ．【解答】解：函数y=f（2x+5）的定义域为[﹣2，2]，∴﹣2≤x≤2；∴﹣4≤2x≤4，1≤2x+5≤9；∴函数f（x）的定义域为[1，9]，故答案为：[1，9]．11．（3分）某火车驶出A站5千米后，以60千米/小时的速度行驶了50分钟，则在这段时间内火车与A站的距离S（千米）与t（小时）之间的函数解析式是S=5+60t，t∈[0，] ．【解答】解：由问题的背景可得：50分钟=小时，则．故答案为：S=5+60t，t∈．12．（3分）函数f（x）=3ax2﹣2ax+1（x∈R）在（﹣1，1）内有一个零点，则实数a的取值范围是a∈（﹣1，﹣）∪{3} ．【解答】解：显然a=0时不符合题意．（1）当△=4a2﹣12a=0，即a=3或0，对称轴成立．但a=0时，不满足，舍去．（2）当△≠0，要满足题意，即f（﹣1）f（1）=（5a+1）（a+1）＜0，即．综上：所求a的范围是（﹣1，﹣）∪{3}．13．（3分）设[x]表示不大于x的最大整数，则方程4x2﹣40[x]+51=0的实数解的个数是0．【解答】解：由[x]表示不大于x的最大整数，即x﹣1＜[x]≤x，又，即，解得：，所以[x]=1，2，3，6，7，8，代入，均不成立，则方程解得个数为0．故答案为：0二、选择题14．（3分）集合{（x，y）|xy≥0，x∈R，y∈R}是指（）A．第一象限内的所有点B．第三象限内的所有点C．第一象限和第三象限内的所有点D．不在第二象限、第四象限内的所有点【解答】解析：由题意可知x，y同号，或者是至少有一个为0，则答案选D．15．（3分）若0≤x≤3，则y=x2﹣4x+3（）A．有最小值0，最大值3 B．有最小值﹣1，最大值0C．有最小值﹣1，最大值1 D．有最小值﹣1，最大值3【解答】解：由题意得，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，所以函数在x∈[0，2]单调递减，在x∈[2，3]单调递增，所以f min（x）=f（2）=﹣1，f max（x）=f（0）=3．故选：D．16．（3分）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正确的是（）A．﹣B．a2＜b2C．a3＜b3D．ab＞b2【解答】解：∵a＜0＜b，函数y=x3在R上单调递增，∴a3＜b3．故选：C．17．（3分）下列四个命题：（1）函数y=x+的最小值是2；（2）函数y=x2+的最小值是2；（3）函数y=的最小值是2；（4）函数y=2﹣3x﹣（x＞0）的最大值是2﹣4．其中错误的命题个数是（）A．2 B．4 C．3 D．1【解答】解：（1）当x＞0时，，当x＜0时，．∴的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），无最小值，故错误；（2）的值域为[2，+∞），最小值为2，正确；（3），当且仅当，即x2=﹣1，不成立，故错误；（4），故正确．故选：A．三、解答题18．（10分）现有命题“矩形的两条对角线长度相等”，写出它的逆命题与逆否命题，并说明其真或假的理由．【解答】解：逆命题是“若四边形的对角线相等，则该四边形是矩形”是假命题，反例如：等腰梯形；逆否命题是“若四边形的对角线不相等，则该四边形不是矩形”，是真命题，因为矩形的对角线是相等的．19．（13分）若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意得：ax2﹣6ax+9≥0对一切x∈R恒成立．（1）当a=0时，即9≥0恒成立．（2）当a≠0时，则，解得a∈（0，1]．综上a实数a的取值范围是[0，1]．20．（13分）已知全集U=R，集合A={x|x﹣a+1≤0}，集合B={x|x﹣a﹣2＞0}，集合C={x|≥0}，若∁U（A∪B）⊆C，求实数a的取值范围．【解答】解：由题意得：A=（﹣∞，a﹣1]，B=（a+2，+∞），C=（﹣∞，0）∪[4，+∞）．因为a﹣1＜a+2，所以A∪B=（﹣∞，a﹣1]∪（a+2，+∞），∁U（A∪B）=（a﹣1，a+2]，要使∁U（A∪B）⊆C，只要a﹣1≥4或者a+2＜0，解得a≥5或者a＜﹣2；所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[5，+∞）．21．（13分）设a为实数，函数f（x）=x2+|x﹣a|﹣1，x∈R（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（﹣x）=（﹣x）2+|﹣x|+1=f（x），此时，f （x）为偶函数．当a≠0时，f（a）=a2+1，f（﹣a）=a2+2|a|+1，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f （﹣a），此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，f（x）=x2+|x﹣a|﹣1=x2﹣x+a﹣1=（x﹣）2+a﹣，当a≤时，函数f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2﹣1．若a，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为f（）=a﹣．②当x ≥a 时，函数f （x ）=x 2+|x ﹣a |﹣1=x 2+x ﹣a ﹣1=（x +）2﹣a ﹣， 若a ≤﹣时，则函数f （x ）在[a ，+∞）上的最小值为f （﹣）=﹣a ﹣． 若a ＞﹣，则函数f （x ）在[a ，+∞）上单调递增，从而函数f （x ）在[a ，+∞）上的最小值为f （a ）=a 2﹣1．综上，当a ≤﹣时，函数f （x ）的最小值为﹣a ﹣， ﹣时，函数f （x ）的最小值为a 2﹣1， 当a时，函数f （x ）的最小值为a ﹣．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa BE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。