上海市上海中学高一数学上学期期中试卷(含解析)
高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套,上海市)
上海高一第一学期期中考试数学试卷一. 填空题 1. 不等式13x≤的解集是 2. 已知正数x 、y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为 3. 已知关于x 的不等式210kx kx -+≤解集为空集，则实数k 的取值范围是4.32a b-= （其中0a >，0b >）5. 不等式||4|1|x x <-+的解集是6. 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ， 若2212126x x x x +=-15，则k 的值为 7. 若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 8. 已知关于x 的不等式2(5)()0mx x m --<的解集为A ，若2A ∈且3A ∉，则实数m 的 取值范围为9. 已知集合2{(,)|1}A x y y x ax ==-+-，{(,)|3,03}B x y x y x =+=≤≤，若A B 中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围10. 已知正数a 、b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为二. 选择题11. 下列条件中，使“020x x >⎧⎨-<⎩”成立的充分不必要条件是（ ）A. 01x <<B. 02x <<C. 03x <<D. 11x -<< 12. 若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A. a b b c +>-B. ac bc ≥C.20c a b>- D. 2()0a b c -≥ 13. 设全集U =R ，{|4A x x =<-或3}x ≥，{|16}B x x =-<<，则集合{|13}x x -<<是（ ） A. AB B. A B C. A B D. A B14. 定义：区间[,]a b ，(,]a b ，(,)a b ，[,)a b 的长度均为b a -，若不等式1212m x x +≥--（0m ≠）的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则（ ）A. 当0m >时，l =B. 当0m >时，3l m=C. 当0m <时，l =D. 当0m <时，3l m=-三. 解答题15.（1）已知35a b m ==，且112a b+=，求实数m 的值； （2）已知lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示2log 3，12log 25.16.（1）当1x >时，求证：2211x x x x+>+； （2）已知x ∈R ，21a x x =-+，4b x =-，22c x x =-， 求证：a 、b 、c 至少有一个不小于1.17. 已知函数2()(41)4f x ax a x =-++（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式()f x b ≥的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 、b 的值； （2）解关于x 的不等式()0f x >.18. 设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和2()()0x a x a --<的解集分别为A 和B . （1）求集合A ；（2）是否存在实数a ，使得A B =R ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由； （3）若A B ≠∅，求实数a 的取值范围.四. 附加题19. 对任意a ∈R ，|1||1|a a ++-的最小值为A .（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，证明：2222x y z y z x++≥； （2）若三个正数x 、y 、z 满足x y z A ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++≥恒成立，求实数m 的取值范围.20. 已知集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅中的元素都是正整数，且12n a a a <<⋅⋅⋅<，集合A 具有性质M ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，都有||25xy x y -≥. （1）判断集合{1,2,3,4}是否具有性质M ； （2）求证：111125n n a a --≥； （3）求集合A 中元素个数的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. 1(,0)[,)3-∞+∞ 2. 9 3. [0,4) 4. a 5. 53(,)22- 6. 4 7. 7a ≥ 8. 55[,)(4,9]329. 103a >或3a = 10. 2【10解析】223240a b a b +-=，求根公式得b a ==-+，∴2a b +===二. 选择题11. A 12. D 13. C 14. B三. 解答题15.（1）m =（2）b a ，222aa b-+. 16.（1）证明略；（2）证明略.17.（1）1a =-，6b =；（2）当0a <时，解集为1{|4}x x a<<；当0a =时，解集为{|4}x x <； 当104a <<时，解集为{|4x x <或1}x a >；当14a =时，解集为{|4}x x ≠；当14a >时，解集为1{|x x a<或4}x >.18.（1）{|2A x x a =>+或1}x a <-；（2）不存在；（3）01a <<. 19.（1）证明略；（2）(,0][2,)-∞+∞.20.（1）具有性质M ；（2）证明略；（3）集合A 中元素个数的最大值是9.上海高一第一学期数学期中考试试卷满分：100分 考试时间：90分钟一、 填空题（每小题3分,满分36分）1．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是___________________.2．命题“若0>a 且0>b ，则0ab >”的否命题为__ _ ____ . 3．已知集合M ⊂≠{4,7,8},则这样的集合M 共有 个.4．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：______________ ___. 5．设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，() .U A C B ⋂= 6.11 .x<不等式的解集是 7．不等式｜2x －1｜＜ 2的解集是 . 8. 已知0x >，当2x x+取到最小值时，x 的值为_____ _. 9．已知集合}1|{≤=x x M ，}|{t x x P >=，若M P ⋂=∅，则实数t 的取值范围是 .10. 关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x R ≠∈，则实数a =___________.11. 已知24120x x +->是8x a -≤≤的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是______________________。
上海市高一上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，U 表示全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．AB ⋂ B ．A B ⋃C ．A BD ．A B ⋃【答案】A【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分为A B ⋂. 故选：A2．下列不等式恒成立的是（ ） A ．2a b ab +≤B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．222a b ab +≤【答案】B【分析】取3,4a b ==可判断A ；()22220a b ab a b ++=+≥可判断B ；2,4a b =-=-可判断C ；()22220a b ab a b +-=-≥可判断D.【详解】对于A ，取3,4,7,12a b a b ab ==+==，则743≤A 不正确； 对于B ，()22220a b ab a b ++=+≥，所以222a b ab +≥-，所以B 正确；对于C ，取2,4,6,8a b a b ab =-=-+=-=，则642-≥-C 不正确； 对于D ，()22220a b ab a b +-=-≥，所以222a b ab +≤，所以D 不正确. 故选：B.3．“0a =”是关于x 的不等式1ax b -≥的解集为R 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【分析】取0a =，1b =时可判断充分性；当不等式1ax b -≥的解集为R 时，分0a >，a<0，0a =讨论可判断必要性.【详解】若0a =，取1b =时，不等式111ax b -≥⇔-≥，此时不等式解集为∅； 当0a >时，不等式1ax b -≥的解集为1{|}b x x a+≥， 当a<0时，不等式1ax b -≥的解集为1{|}b x x a+≤， 当0a =，且1b ≤-时，不等式111ax b b b -≥⇔-≥⇔≤-， 所以，若关于x 的不等式1ax b -≥的解集为R ，则0a =.综上，“0a =”是关于x 的不等式1ax b -≥的解集为R 的必要非充分条件. 故选：B4．设S 是实数集R 的一个非空子集，如果对于任意的,(a b S a ∈与b 可以相等，也可以不相等），a b S +∈且a b S -∈，则称S 是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）. A ．存在一个集合S ，它既是“和谐集”，又是有限集B ．集合{}x x k =∈Z ∣是“和谐集”C ．若12,S S 都是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个不同的“和谐集”12,S S ，总有12S S ⋃=R 【答案】D【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.【详解】解：A 项中，根据题意{}0S =是“和谐集”，又是有限集，故A 项为真命题；B 项中，设1212,Z x k x k k k ==∈，则(1212x x k k S +=+，(1212x x k k S -=-，所以集合{}xx k =∈Z ∣是“和谐集”，故B 项为真命题； C 项中，根据已知条件，,a b 可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以12S S ≠∅，故C 项为真命题；D 项中，取{}12,Z S x x k k ==∈，{}23,Z S x x k k ==∈，12,S S 都是“和谐集”， 但5不属于1S ，也不属于2S ，所以12S S ⋃不是实数集，故D 项为假命题. 故选：D.二、填空题5．集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____． 【答案】{2}【分析】直接利用交集的定义求解． 【详解】解：∵A ={1，2}，B ={2，3}， ∴A ∩B ={1，2}∩{2，3}={2}． 故答案为：{2}．6．已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值. 【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性， 故实数a 的值为2， 故答案为：2.7．设a ，b 为实数，则22a b +___222a b --（填“＞，≥，＜或≤”） 【答案】≥【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为()()()()2222222110a b a b a b +---=-++≥所以22a b +222a b ≥-- 故答案为：≥8．关于x 的方程2840x x -+=的两根为12,x x ，则1211x x +=______. 【答案】2【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.【详解】由题意得128x x +=，124x x =，所以121212112x xx x x x ++==．故答案为：2.9．已知e 3m =，2ln n =，则23e m n +=__． 【答案】72【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值. 【详解】由ln 2e 2n n =⇒=，所以222333e e e (e )(e )9872m n m n m n +=⋅=⋅=⋅=. 故答案为：7210．命题“若x a >，则(1)0x x ->”是真命题，实数a 的取值范围是__________. 【答案】[1,)+∞【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解. 【详解】由题意得，x a >是(1)0x x ->的充分条件， 由(1)0x x ->可得0x <或1x >， 从而{|}{|0x x a x x >⊆<或1}x >， 从而1a ≥.故数a 的取值范围是[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞.11．若关于x 的不等式组1022x x x a -⎧≤⎪-⎨⎪-≤⎩的解集是∅，则实数a 的取值范是_______.【答案】()[),14,∞∞--⋃+【分析】分别求出102x x -≤-和2x a -≤的解集，由不等式组1022x x x a -⎧≤⎪-⎨⎪-≤⎩的解集是∅，即可得出答案.【详解】由1022x x x -⎧≤⎪-⎨⎪≠⎩可得：12x ≤<，又因为2x a -≤可得22a x a -+≤≤+，因为不等式组1022x x x a -⎧≤⎪-⎨⎪-≤⎩的解集是∅，所以2221a a -+≥+<或，解得：41a a ≥<-或， 所以实数a 的取值范是：()[),14,∞∞--⋃+. 故答案为：()[),14,∞∞--⋃+.12．集合{|1}A x x a =-=，{}13B b =-,,，若A B A =，则对应的实数对(),a b 有_____对. 【答案】4【分析】解出集合A ，再根据交集的性质，子集的定义分类讨论即可求出． 【详解】因为{}{|1}1,1A x x a a a =-==+-，()11a a -<+，{}13B b =-,,，而A B A A B ⋂=⇒⊆，所以，1311a a -=-⎧⎨+=⎩或131a a b -=-⎧⎨+=⎩或111a a b -=⎧⎨+=⎩ 或113a b a -=⎧⎨+=-⎩或111a ba -=⎧⎨+=⎩，解得：21ab =-⎧⎨=-⎩或23a b =⎧⎨=⎩或45a b =-⎧⎨=-⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．故答案为：4．13．已知关于x 的不等式2260kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围是_____.【答案】⎛-∞ ⎝⎭【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出．【详解】因为不等式2260kx x k -+<有解，当0k ≤时，显然不等式有解；当0k >时，不等式2260kx x k -+<有解等价于方程2260kx x k -+=有两相异实根，所以2Δ42400k k ⎧=->⎨>⎩，解得：0k <<k 的取值范围是⎛-∞ ⎝⎭．故答案为：⎛-∞ ⎝⎭． 14．已知非零实数x 、y 满足223x xy y ++=，则22x xy y -+的最小值是_______. 【答案】1【分析】利用基本不等式结合已知条件求出xy 的取值范围，再由2232xy x xy y +=--结合不等式的基本性质可求得结果.【详解】因为222x y xy +≥，当且仅当y x =±时，等号成立.所以，2232x y xy xy xy =++≥+.若0xy ≥，则33xy ≥，可得1xy ≤，此时01xy ≤≤；若0xy ≤，则32xy xy xy ≥-+=-，可得3xy ≥-，此时30xy -≤≤. 综上，31xy -≤≤.所以，()[]22222321,9x xy y y x x y x y y x -+=++-=-∈.所以22x xy y -+的最小值是1. 故答案为：115．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是_______. 【答案】11【分析】根据集合M 的元素特征以及有限集的子集个数即可解出．【详解】因为非空集合M 至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M 中不能含有0,1，且2,4不能同时存在于集合，所以由集合{}2,3,4,5的非空子集个数为42115-=， 再排除不符合题意的{}{}{}{}2,4,2,3,4,2,4,5,2,3,4,5，故满足题意的M 的个数是15411-=．故答案为：11．16．三个同学对问题“已知,m n R +∈，且1m n +=，求11m n+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：112m n m n n m m n m n m n+++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mn mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n mm n m n m n m n+=++=++，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当x =________时，2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值.【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件. 【详解】按照甲的思路： 2221100a y x x =+-()22222221001100100100a x x x x x x ⎡⎤⋅+-+-⎢⎥=+-⎢⎥⎣⎦()22222210011100100a x x a x x ⎡⎤-⎢⎥=+++-⎢⎥⎣⎦因为010x <<，所以21000x -> 由基本不等式得，()222221002100a x x a x x-+≥-，当且仅当()22222100100a x x x x-=-，0a >，即x =. 按照乙的思路：2221100a y x x=+-()()22222100100a x x x x -+=-，发现与设想不一样，故放弃此思路. 按照丙的思路： 2221100a y x x =+- ()2222211100100100a x x x x ⎛⎫=+⋅+- ⎪-⎝⎭ ()22222210011100100a x x a x x ⎡⎤-⎢⎥=+++-⎢⎥⎣⎦因为010x <<，所以21000x -> 由基本不等式得，()222221002100a x x a x x-+≥-， 当且仅当()22222100100a x x x x-=-，0a >，即x =.故当x =2221100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值.三、解答题17．已知x ，y R +∈，且2x y +>，求证：1x y +与1yx+中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析.【分析】假设1x y +与1y x +都大于或等于2，即1212xy y x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．【详解】证明：假设1x y +与1y x +都大于或等于2，即1212xyy x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，因为x ，y R +∈，故可化为1212x yy x +≥⎧⎨+≥⎩，两式相加，得2x y +≤，与已知2x y +>矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．18．已知关于x 的绝对值不等式：4111a x x a -++->-. (1)当0a =时，求不等式的解集；(2)若对于任意的实数x ，以上不等式恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(,2)(2,)-∞-+∞(2)()()21a ∈-∞-⋃+∞，，【分析】（1）分类讨论1x ≤-，11x -<<和1x ≥，解不等式即可求出答案； （2）由11x x ++-的几何意义求出11x x ++-的最小值为2，即2>41a a --，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）当0a =时，原不等式变为：由114x x ++-> 当1x ≤-时，114x x ---+>，解得<2x -； 当11x -<<时，114x x +-+>，无解； 当1x ≥时，114x x ++->，解得2x >. 故所求不等式的解集为：(,2)(2,)∞∞--⋃+.（2）由11x x ++-在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式），11x x ++-的最小值为2，则有2>41a a --，可化为201a a +>-， 所以()()21a ∈-∞-⋃+∞，，. 19．1.已知集合{}20(1,3)A x x mx n =-++>=-，集合{}2220B x x ax a =--<．(1)求常数m 、n 的值；(2)设:,:p x A q x B ∈∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2m =，3n = (2)(]3,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B ，注意对a 进行分类讨论，利用p 是q 的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a 的取值范围【详解】（1）因为{}20(1,3)A x x mx n =-++>=-，所以-1和3是方程20x mx n -++=的两个根，由韦达定理得：13m -+=，13n -⨯=-，解得：2m =，3n =（2）2220x ax a --<，解得：当0a >时，集合(),2B a a =-，当a<0时，集合()2,B a a =-，当0a =时，解集为∅因为p 是q 的充分不必要条件，:p x A ∈，:q x B ∈当0a =时，B =∅，此时p 是q 的必要不充分条件，不满足题意，舍去当0a >时，需要满足()(1,3),2a a -⊆-，此时123a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得：32a ≥当a<0时，需要满足()(1,3)2,a a -⊆-，此时213a a ≤-⎧⎨-≥⎩，解得：3a ≤-综上：实数a 的取值范围为(]3,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭20．运货卡车以x 千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制50100x ≤≤(单位千米/时，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油2(4)420x +升，司机的工资是每小时46元. （1）求这次行车总费用y (元)关于x (千米/时)的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用y 最低？求出最低费用的值. 【答案】（1）()2100030501007xy x x =+≤≤；（2）当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元.【解析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的x 的值. 【详解】解：（1）行车所用时间300()t h x=，根据汽油的价格是每升6元 而汽车每小时耗油2(4)420x +升，司机的工资是每小时46元 可得行车总费用为23004630021000306(4)(50100)4207x xy x x x x ⨯=⨯⨯++=+≤≤（2）210003026007x y x =+≥= 当且仅当21000307xx = 即70x =时，等号成立所以当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元. 【点睛】本题考查函数的应用，属于中档题. 方法点睛：（1）首先计算行车所用时间； （2）行车总费用包含汽车的费用和司机的费用；（3）行车总费用为行车时间乘以每小时耗油量乘以汽油的价格；（4）司机的费用为司机每小时的价格乘以时间.求和即可.21．对正整数n ，记{}1,2,3,,n I n =⋅⋅⋅，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. （1）用列举法表示集合3P ； （2）求集合7P 中元素的个数；（3）若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”.证明：存在n 使得n P 能分成两个不相交的稀疏集的并集，且n 的最大值为14.【答案】(1){1,；(2)46；(3)证明见解析. 【分析】(1)根据给定集合n P 的意义计算列举写出即可；(2)由每一个k 值可得7P 中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；(3)根据给定定义，证明15n ≥时n P 不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明14P 能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.【详解】(1)依题意，{}31,2,3I =，则333,1,2,3,22P I k I ⎧⎫⎪=∈∈=⎬⎨⎭⎪⎩； (2)显然每一个k 值，m 值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7当1k =时，7{}|m m I ∈中m =1，m =2，m =3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，当4k =时，7}m I ∈中m =2，m =4，m =6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数1357,,,2222，当{2,3,5,6,7}k ∈因此，77,)m I k I ∈∈计算可得7749⨯=个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则7P 中元素的个数为49346-=， 所以集合7P 中元素的个数是46；(3)假设当15n ≥时，n P 能分成两个不相交的稀疏集的并，设A ，B 为不相交的稀疏集，使n n A B P I ⋃=⊇，不妨设1A ∈，显然2132+=，则3A ∉，即3B ∈，同理6A ∈，10B ∈，又推得15A ∈，但21154+=，第 11 页 共 11 页 与A 为稀疏集矛盾，于是得当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的稀疏集的并，即14n ≤，若14n =，则当1k =时，1414}m I I ∈=可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取{}11,2,4,6,9,11,13A =，{}13,5,7,8,10,12,14B =，则1A ，1B 为稀疏集，且1114A B I ⋃=.当4k =时，集14}m I ∈中除正整数外剩下的数组成集13513,,,,2222⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，可分成下面个两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，23713,,222B =⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当9k =时，集14|}m I ∈中除正整数外剩下的数组成集12451314,,,,,,333333⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，可分成下面两个稀疏集的并：31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.最后，集合1414,,m I k I ∈∈且{1,4,9}}k ∉中的数均为无理数，它与14P 中的任何其他数之和都不是整数，则把1414,,m I k I ∈∈且{1,4,9}}k ∉中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为4A 与4B ，因此，令1234A A A A A =⋃⋃⋃，1234B B B B B =⋃⋃⋃，则A 和B 是不相交的稀疏集，且14A B P ⋃=，综上，所求n 的最大值为14.【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.。
上海高一数学上学期期中试卷含答案(共3套)
上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣。
2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（ ）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =， 则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（ ）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天； （2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+׳-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +죣ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+׳-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =×עע΢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。
上海市2022年高一数学上学期期中试题(含解析)
【解析】
【分析】
判断原命题的逆否命题为真，从而得到原命题为真.
【详解】原命题的逆否命题为：若 且 ，则 .
由同向不等式可加性，所以逆否命题为真，
所以原命题为真.
故答案为：真.
【点睛】本题考查原命题与逆否命题的等价性，如果原命题真假性不好判断，可转化成判断其逆否命题.
6.如图，A,B为全集U的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合为______.
【答案】B
【解析】
【分析】
举反例可判断充分性不成立；由 ，再利用真子集关系可判断必要性成立.
【详解】当 时，满足 ，但 无意义，即充分性不成立，
，因为 是 的真子集，所以 成立，
即“ ”是“ ”的必要非充分条件.
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合集合间的关系是解决本题的关键．
故答案为： ．
【点睛】本题考查集合之间的基本关系、一元二次方程的解法，考查分类讨论思想、方程思想的运用，考查推理能力与计算能力．
8.市场上常有这样的一个规律：某商品价格越高，购买的人越少，价格越低，购买的人越多。现在某杂志，若定价每本2元的价格，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则每一本杂志的最高定价为______元.
所以 .
【点睛】本题以取整函数、区间长度为问题背景，灵活考查不等式的求解问题，求解的关键在于读懂取整函数的意义及符号 的意义，考查创新意识和创新能力，对逻辑推理能力和运算求解能力的要求较高.
二、选择题
11.“ ”是“ ”的 （ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市杨浦高级中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．如图，U 表示全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．AB ⋂ B ．A B ⋃C ．A BD ．A B ⋃【答案】A【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可. 【详解】由韦恩图知：阴影部分为A B ⋂. 故选：A2．化简29log 3x 的结果为（ ） A ．x B ．1xC ．xD ．1||x 【答案】C【分析】利用对数的运算性质求解即可. 【详解】223329loglog log 333x x xx ===，故选：C3．不等式|1||2|x x k ++-≥对任意x ∈R 恒成立，则空数k 的取值范围为（ ） A ．[3,)+∞ B ．(,3]-∞ C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞【答案】B【分析】利用绝对值的几何意义求解.【详解】由题意得()min 12x x k ++-≥，因为12x x ++-123≥+-+=x x ，所以3k ≤. 故选：B.4．如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数12y x -=与AB 交于点P ，函数22y x =与BC 交于点Q ，当=a （ ）时，||||AQ CP +的值最小.A ．1B 2C 3D ．2【答案】B【分析】根据题意将||AQ 与||CP 分别表示出来，然后结合均值不等式即可得到结果. 【详解】因为点P 在函数12y x -=上，则12||CP aa -==点Q 在函数22y x =上，则22Q x a =，即||2Q a AQ x ==因为1a >，所以||||AQ CP +2a a =112222aa ≥⋅=， 2a a 2a = 所以当2a =||||AQ CP +的值最小. 故选:B.二、填空题5．幂函数y x =______; 【答案】{|0}x x ≥【分析】利用根式的性质求函数定义域. 【详解】由根式的性质知：0x ≥， 所以函数定义域为{|0}x x ≥. 故答案为：{|0}x x ≥6．设:1,:p x q x a <<，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤【分析】根据必要条件即得解. 【详解】因为p 是q 的必要条件，所以(),a -∞是(),1-∞的子集， 即1a ≤. 故答案为：1a ≤.7．关于x 的方程2840x x -+=的两根为12,x x ，则1211x x +=______. 【答案】2【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出. 【详解】由题意得128x x +=，124x x =，所以121212112x x x x x x ++==． 故答案为：2.8．已知0,,{,,}3x A x x B x x a b a A b A x ⎧⎫=<∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭Z ∣∣，试用列举法表示集合B =____;【答案】{}2,3,4 【分析】解出不等式03xx <-得到集合A ，然后可得答案. 【详解】因为{}{}0,03,1,23x A xx x x x x ⎧⎫=<∈=<<∈=⎨⎬-⎩⎭Z Z ∣∣， 所以{}{,,}2,3,4B xx a b a A b A ==+∈∈=∣， 故答案为：{}2,3,49．设全集{}22,4,5U m m =+-，集合{2,1}A m =-，若{1}A =，则实数m =______;【答案】3-【分析】根据{1}A =可得1U ∈，进而求得251m m +-=，解得m 并判断是否满足集合即可.【详解】因为{1}A =，故1U ∈，即251m m +-=，故()()320m m +-=，解得3m =-或2m =；当3m =-时，{2,4}A，{}1,2,4U =满足条件；当2m =时，{2,1}A =-，{}1,2,4U =不满足条件； 故3m =-. 故答案为：3-10．已知182,1.52x y ==，则12x y-=______;【分析】由指对数关系可得1832log 2,log 2x y ==，再应用对数的运算性质化简求目标式的值.【详解】由题设，1832log 2,log 2x y ==，则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=. 故答案为：311．已知a b c ∈R 、、，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上) ①若a b >，则22;ac bc > ②若0a b >>，则11a b<; ③若0ba>，则0ab >; ④若a b c >>，则||||a b b c +>+. 【答案】②③【分析】①取0c 检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取1,0,2a b c ===-检验即可【详解】①若a b >，当0c 时，则22ac bc =，故①错误； ②若0a b >>，不等式两边同时乘以1ab，则110a b <<，故②正确；③若0ba>，不等式两边同时乘以2a ，则0ab >，故③正确； ④若a b c >>，当1,0,2a b c ===-时，则||||a b b c +<+，故④错误； 故答案为：②③12．指数函数(0,1)x y a a a =>≠在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则=a ______;【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有0417a a +=，即可求参数值. 【详解】由(0,1)x y a a a =>≠在[0,4]上单调，则044117a a a +=+=， 所以2a =. 故答案为：213．存在[1,1]x ∈-，使得520x a +-≥成立，则实数a 的取值范围为______; 【答案】[)3,∞-+【分析】采用分离参数法，转化为求()52x -+的最小值即可. 【详解】不等式可化为520x a +-≥可化为:即只需()min 52a x ≥-+即可，且[1,1]x ∈-，所以当1x =时，()()min 525123x -+=-⨯+=- 即3a ≥-.故答案为: [)3,∞-+14．已知集合{}()(){}221,2,10∣==+++=A B x x ax x ax ，记集合A 中的元素个数为()N A ，若|()()|1N A N B -=，则实数=a ______.【答案】0a =或2a =或2a =-【分析】由()2=N A ，()()1-=N A N B 得()1=N B 或()3=N B ，分()1=N B 、()3=N B 讨论集合B 中的解，结合判别式可得答案.【详解】因为()2=N A ，()()2()1-=-=N A N B N B ，解得()1=N B 或者()3=N B ， ()1=N B 时，即()(){}2210∣=+++=B x x ax x ax 只有一个元素，当20x ax 只有一个解而210x ax ++=无解时，即22040⎧⎪⎨⎪-<⎩=a a ，解得0a =，当210x ax ++=只有一个解而20x ax 无解时，即22040⎧⎪⎨⎪-=⎩<a a ，a 不存在， ()3=N B 时，()(){}2210∣=+++=B x x ax x ax 有三个元素，当20x ax 只有一个解而210x ax ++=有2个不同解时，即22040⎧⎪⎨⎪->⎩=a a ，a 不存在， 当210x ax ++=只有一个解而20x ax 有2个不同解时，即22040⎧⎪⎨⎪-=⎩>a a ，解得2a =或者2a =-，综上所述， 0a =或2a =或2a =-. 故答案为：0a =或2a =或2a =-.三、解答题15．设集合{|12,},{|()(2)0,}A x x x B x x a x a x =-<<∈=--<∈R R ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】112a -≤≤【分析】讨论a 的范围，解含参一元二次不等式求集合B ，由集合的包含关系及不同a 对应的集合B ，列不等式组求a 的范围. 【详解】当0a >时，{|2}B x a x a =<<， 当0a =时，B =∅，当0a <时，{|2}B x a x a =<<， 由B A ⊆，而{|12,}A x x x =-<<∈R ，若0a >，有122a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则01a <≤；若0a =，显然B =∅A ⊆成立；若0a <，有212a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则102a -≤<；综上，112a -≤≤.16．已知函数(1)x y a =-是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点(2,4)，求函数的表达式；(2)解关于x 的不等式：|34|311x a a -⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)2x y = (2)71|33⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x【分析】（1）把(2,4)代入见解析，结合指数函数的定义可得答案； （2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.【详解】(1)因为指数函数的图象经过点(2,4)，所以()24101⎧=-⎪⎪>⎨⎪≠⎪⎩a a a ，解得3a =，所以2x y =；(2)因为12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，由3431133x -⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得334>-x ， 解得1373<<x ，所以不等式的解集为71|33⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x .17．如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下:①翻修1米旧墙的费用为25元; ②建造1米新墙的费用为100元;③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.记利用旧墙的一条矩形边长为x 米((0,20])x ∈，建造活动室围墙的总费用为y 元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低?并求出最低费用.【答案】保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为4600元.【分析】根据已知求得矩形另一边长为224x米，结合已知分别得到要建新墙、要翻修旧墙、要拆旧墙长度，进而写出总费用表达式，应用对勾函数性质求最小值，即可得结论. 【详解】由题设，一边为x 米，矩形另一边长为224x米， 则要建新墙为448x x+米，要翻修旧墙为x 米，要拆旧墙为20x -米，且(0,20]x ∈， 所以()44844800448002510050201751000217510004600y x x x x x x x x ⎛⎫=++--=+-≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当16(0,20]x =∈时等号成立；综上，保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为4600元. 18．已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z ). (1)若1k =，在平面直角坐标系中画出该函数的图像;(2)若该函数在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正，求整数k 的值. 【答案】(1)见解析 (2)0k =或1k =【分析】（1）先对函数化简，再列表，描点，连线可得函数图像，（2）由函数在区间[3,)+∞上是严格减函数，结合函数单调性的定义可得320->k ，再由在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正，可得30kx +>在[3,)+∞上有解，从而可求出k 的范围，进而可得整数k 的值. 【详解】(1)当1k =时，31122x y x x +==+++， 列表如下： x…… 4-3-2.5-1.5-1-0 …… y……121-3 232……函数图像如下：(2)3(2)3232222kx k x k ky k x x x +++--===++++， 任取12[,3,)x x ∈+∞，且12x x <，因为该函数在区间[3,)+∞上是严格减函数， 所以12323222k kk k x x --+>+++， 因为1220,20x x +>+>，所以()()()212(32)322x k k x +->-+， 因为12022x x <+<+ 所以320->k ，得32k <， 因为在[3,)+∞上存在自变量，使得函数值为正， 所以302kx y x +=>+在[3,)+∞上有解， 因为20x +>，所以30kx +>在[3,)+∞上有解，所以3k x >-在[3,)+∞上有解，所以min3k x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，因为3y x =-在[3,)+∞上递增，所以当3x =时，3y x =-取得最小值为313-=-，所以1k >-， 综上312-<<k ， 因为k ∈Z ， 所以0k =或1k =19．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(,)m n 是(,)p q 的"下位序列".(1)对于2、3、7、11，有序数对(3,11)是(2,7)的"下位序列"吗?请简单说明理由;(2)设a b c d 、、、均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序列”，试判断a c a cb d b d ++、、之间的大小关系；(3)设正整数n 满足条件:对集合{02021,}m m m <<∈N ∣内的每个m ，总存在正整数k ，使得(,2021)m 是(,)k n 的“下位序列”，且(,)k n 是(1,2022)m +的“下位序列”，求正整数n 的最小值.【答案】(1)是，理由见解析； (2)a a c cb b d d+<<+； (3)4043.【分析】（1）直接根据“下位序列”的定义判断即可； （2）由条件可得ad bc <，然后利用作差比较大小即可；（3）根据“下位序列”的定义列不等式组，利用不等式组求出n 的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出正整数n 的最小值. 【详解】(1)37112⨯<⨯ (3,11)∴是(2,7)的"下位序列"(2)(),a b 是(),c d 的“下位序列”ad bc ∴<a ，b ，c ，d 均为正数故0()a c a bc adb d b b d b+--=>++， 即0a c ab d b+->+a c ab d b +∴>+ 同理a c cb d d+<+， 综上所述：a a c cb b d d+<<+； (3)由已知得2021(1)2022mn km n k <⎧⎨+>⎩，因为,,m n k 为整数，故1202112022mn k mn n k +≤⎧⎨+-≥⎩，2021(1)202120222022(1)mn n k mn ∴+-≥⨯≥+40432021n m∴≥-，该式对集合{}02021m m <<内的每一个 m N *∈的每个正整数m 都成立， 4043404320212020n ∴≥=-所以正整数n 的最小值为4043.。
2020-2021上海上海中学东校高一数学上期中一模试卷(带答案)
2020-2021上海上海中学东校高一数学上期中一模试卷(带答案)一、选择题1．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,49．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]10．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3- B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33211．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 14．函数()1x f x +=的定义域是______． 15．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.16．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 18．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．19．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .20．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.三、解答题21．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围； （2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？24．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.25．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.26．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得32239b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．9．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.10．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()1x f x x+=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．15．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 16．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10【解析】因为2a=5b=m,所以a=log2m,b=log5m,由换底公式可得11a b+=log m2+log m5=log m10=1,则m=10.点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7【解析】【分析】【详解】设，则，因为112 22⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x，所以，,故答案为7.18．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．19．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则； 因为0x ≥时，，则 若时，令 若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则； 20．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题 解析：2【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.三、解答题21．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <． 试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．22．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4. 【解析】【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a a f f -=-==，解得32a =， ()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫⎪⎝⎭； （2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=， 解得4x =或12x =-. 【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-，因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.25．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞.【解析】【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解.【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-， 因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数， 故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==． （2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ， 化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ， 记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ， 所以k 的取值范围是(],0∞-．【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 26．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
上海市高一上学期数学期中考试试卷
上海市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·延安期中) 集合A={x|1≤x≤3且x∈z}的真子集的个数是（）A . 3B . 5C . 7D . 82. （2分）定义映射，若集合A中元素在对应法则f作用下象为，则A中元素9的象是（）A . －3B . －2C . 3D . 23. （2分） (2019高一上·长春月考) 下列图形是函数图象的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·浙江期中) 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 已知幂函数f（x）= ，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（）A . [﹣1，3）B . （﹣∞，5）C . （3，5）D . （3，+∞）6. （2分）下列式子中成立的是（）A . log0.44<log0.46B . 1.013.4>1.013.5C . 3.50.3<3.40.3D . log76<log677. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) F（x）=（x3﹣2x）f（x）（x≠0）是奇函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）为（）A . 奇函数B . 偶函数C . 奇函数或偶函数D . 非奇非偶函数8. （2分） (2019高一上·无锡期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·普宁期中) 函数y= -ex的图像（）A . 与y=ex的图像关于y轴对称B . 与y=ex的图像关于坐标原点对称C . 与y=e-x的图像关于y轴对称D . 与y=e-x的图像关于坐标原点对称10. （2分）(2020·淮北模拟) 已知，，，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·长春月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高三下·银川模拟) 当时，，则 a 的取值范围是（）A . （0，）B . （，1C . （1，）D . （，2）二、填空题 (共3题；共7分)13. （1分） (2018高二下·定远期末) ________．14. （1分） (2019高一上·镇海期中) 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为________．15. （5分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x+1），且当x≤0时，f（x）=x3 ，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2 f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共65分)16. （5分） (2016高一上·虹口期末) 已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．（1）求f（x）的解析式；（2） [f（x）]2=3f（x），求实数x的值；（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．17. （10分） (2020高一上·邹城月考) 设全集为R, .（1）求及（2）若，求实数a的取值范围.18. （10分） (2019高一上·乌兰察布月考) 已知函数，函数．（1）若函数在和上单调性相反，求的解析式；（2）若，不等式在上恒成立，求a的取值范围；（3）已知，若函数在内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．19. （10分） (2017高三上·邳州开学考) 已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．20. （10分） (2016高一上·武汉期末) 若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f （x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．21. （10分） (2019高一上·雅安月考) 已知函数是奇函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．22. （10分） (2019高二上·泊头月考) 已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求函数在[0，π] 上的最大值与最小值；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共7分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共65分) 16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（ ）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。
上海市上海中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷带讲解
【分析】（1）令 ，所以 ，得 ，结合基本不等式求解最值即可；
（2）方程 可化为 ， ，可知方程 有两不同的实根 ， ，再由韦达定理建立 得 最值，若不等式 恒成立，可转化为 ， 都成立，再求 最小值即可．
【详解】解：（1）已知 ，令 ，所以
则
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立
【分析】根据 ，得 ，讨论 中四个元素分别为1时，求 的值，判断此时集合 的元素是否符合集合与元素的关系，即可得结论.
【详解】解： ， ，若 ，所以
当 时，即 ，所以 ， ， ，所以不符合集合中元素特点，舍去；
当 时，即 ，舍去；
当 时，即 ，此时 无意义，舍去；
当 时， ， ，此时 ，不满足 ，舍去.
由于 的元素个数不超过一个，故在含 的三元数对中， ，
由m的任意性，不妨取 ，包含1的三元集合不妨取 满足 ，
去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组：
若选 这组中的2，则 中可选一个数字4或5，则满足 至多一个元素的三元集合还有 ，故 ,
故 可取7.
由于 ，所以 至多属于三元集组 中的3个，即 至多出现在3个三元集中， 中一共有7个元素，则这7个元素故总共出现的次数至多为
【详解】 ，
故答案为：
4.不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】将不等式变形为 ，利用数轴标根法得到不等式的解集.
【详解】解：不等式 ，即 ，
方程 的根有 （2重根）， ， ， ， （2重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为 .
故答案为：
5.已知 ， ，则 用a，b表示的值为______.
得 （等号不同时成立），得 .
故答案为：
2024—2025学年上海市闵行中学东校高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年上海市闵行中学东校高一上学期期中考试数学试卷一、填空题(★★) 1. 已知集合，集合，若，则 _________ .(★★) 2. 已知集合，用列举法表示集合为 ___________ .(★★) 3. “或”的否定形式为 ______ ．(★★) 4. 不等式的解集为 ______ .(★★) 5. 已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 ______ ．(★) 6. 已知方程的两个根为和，则 ______ .(★★) 7. 已知，则 ______ .(★★★) 8. 已知函数的定义域和值域都是，则_____________ .(★★) 9. 若，，且，则的最大值为 __________ .(★★★) 10. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______ .(★★★) 11. 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是___________ .(★★★★) 12. 若“对于任意的实数，关于的不等式在区间上总有解”是真命题，则实数的取值范围是 ______ ．二、单选题(★) 13. 第一象限的点组成的集合可以表示为（）A．B．C．且D．或(★★★) 14. 函数的图象是（）．A．B．C．D．(★★★) 15. 如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 16. 已知､是非零常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件三、解答题(★★) 17. 设，比较与的大小(★★★) 18. 已知全集，集合.(1)求集合A和B；(2)求和.(★★★) 19. 如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米.(1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内?(2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.(★★★) 20. 使不等式对一切实数恒成立的的取值范围记为集合，不等式的解集为.(1)当时，求集合；(2)当时，求集合；(3)当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.(★★★★) 21. 集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．。
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上海市上海中学高一数学上学期期中试卷（含解析）
一、选择题（本大题共4小题）
1.已知集合，则中元素的个数为
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4
【答案】A
【解析】
分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
详解：，
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，选A.
点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
2.已知实数x，y，则“”是“”的（）
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．
【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，
表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，
正方形是圆的内接正方形，
，推不出，
“”是“”的充分而不必要条件．
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．
3.设，，且，则（）
A. B.
C. D. 以上都不能恒成立
【答案】A
【解析】
【分析】
利用反证法可证得，进而由可得解.
【详解】利用反证法：
只需证明，
假设，
则：
所以：，
但是，
故：，，．
所以：与矛盾．
所以：假设错误，
故：，
所以：，
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．
4.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是（）
A. 是的零点
B. 1是的极值点
C. 3是的极值
D. 点在曲线上
【答案】A
【解析】
若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所
以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
二、填空题（本大题共12小题）
5.已知集合，用列举法表示集合______．
【答案】0，1，
【解析】
【分析】
先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．
【详解】因为，，即，
又，，，，，，，
故答案为：0，1，
【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．
6.设集合，集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集定义求出即可．
【详解】，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7.能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
分析：举出一个反例即可．
详解：当时，
不成立，
即可填．
点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．
8.集合，，若，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．
【详解】
，，
若，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．
9.命题“若，则且”的逆否命题是______．
【答案】若或,则
【解析】
试题分析：原命题：若则。
逆否命题为：若则。
注意“且”否之后变“或”。
考点：命题的逆否命题。
10.设，是方程的两个实根，则“且”是“，均大于1”的___条件．
【答案】必要但不充分
【解析】
【分析】
根据韦达定理表示出a，b，设出判断条件和结论，根据题意分别证明．
【详解】根据韦达定理得：，，
判定条件是p：，结论是q：；
还要注意条件p中，a，b需满足的大前提
由，得，
为了证明，可以举出反例：取，，
它满足，，但q不成立
上述讨论可知：，是，的必要但不充分条件，
故答案为：必要但不充分．
【点睛】本题考查了韦达定理，考查充分必要条件，是一道中档题．
11.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且
A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有__人
【答案】9
【解析】
【分析】
利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只参加A，不参加B，只参加B，不参加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．
【详解】设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的为，
则AB都不参加的人数为．
因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，
所以，解得．
所以只参加A项，没有参加B项的学生有．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较
基础．
12.已知不等式的解集为，则不等式的解集为
______．
【答案】{x|x>或x<}.
【解析】
依题意，令代入方程，解得，故，即，解得.
13.已知正数x、y、z满足，则的最小值为______．
【答案】36
【解析】
【分析】
由于正数x、y、z满足，可得
，再利用均值不等式即可得出．
【详解】正数x、y、z满足，
，
当且仅当，，，取等号．
故答案为36．
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．
14.如关于x的不等式对任意恒成立，则a的取值范围为___．【答案】
【解析】
【分析】
先去绝对值，变成不等式组恒成立，再转化为最值可解决．
【详解】解：因为，所以原不等式可化为：，
，
对任意恒成立，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数的问题属中档题．
15.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】
试题分析：（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为
与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与
仅两个交点，或．
（方法二）显然，∴．令，则
．∵，∴．结合图象可得或．
考点：方程的根与函数的零点．
16.定义表示，，，中的最小值，表示，，，中。