哈工大能源学院材料力学(上级)-应力状态分析
哈工大材力上机报告 应力状态分析
材料力学上机报告——应力状态分析班号：学号：姓名：哈尔滨工业大学MATLAB源代码clear all;flag=input('计算双向应力请输入2 计算三向应力请输入3\n ');if flag==2sx=input('请输入x向正应力=');sy=input('请输入y向正应力=');txy=input('请输入xy平面切应力=');a=linspace(0,pi,37);sa=(sx+sy)/2;sd=(sx-sy)/2;sigma=sa+sd*cos(2*a)+txy*sin(2*a);tau=-sd*sin(2*a)+txy*cos(2*a);plot(sigma,tau,'b-'),gridaxis equal;v=axis;line([v(1),v(2)],[0,0]);line([0,0],[v(3),v(4)])hold,plot(sa,0,'x')smax=max(sigma);smin=min(sigma);tmax=max(tau);asigma=((atan((2*txy)/(sx-sy)))/2)/pi*180;fprintf('σmax=%8.5fMpa\n',smax);fprintf('σmin=%8.5fMpa\n',smin);fprintf('τmax=%8.5fMpa\n',tmax);fprintf('α0=%8.5f度和%8.5f度\n',asigma,asigma+90);a=input('请输入方位角α/°=');a=a*pi/180;sigma=sa+sd*cos(2*a)+txy*sin(2*a);tau=sd*sin(2*a)-txy*cos(2*a);plot(sigma,tau,'or')fprintf('σ=%8.5fMpa\n',sigma);fprintf('τ=%8.5fMpa\n',tau);endif flag==3del1=5;sx=input('请输入x向正应力:');sy=input('请输入y向正应力:');sz=input('请输入z向正应力:');txy=input('请输入xy平面切应力：');tyz=input('请输入yz平面切应力：');tzx=input('请输入zx平面切应力：');I1=sx+sy+sz;tmp1=[sx,txytxy,sy];tmp2=[sy,tyztyz,sz];tmp3=[sz,tzxtzx,sx];I2=det(tmp1)+det(tmp2)+det(tmp3);tmp4=[sx,txy,tzxtxy,sy,tyztzx,tyz,sz];I3=det(tmp4);P=[1,-I1,I2,-I3];X=roots(P); X=X';ansf=sort(X,'descend');qiemax=(ansf(1)-ansf(3))/2;a12=(ansf(1)+ansf(2))/2;a13=(ansf(1)+ansf(3))/2;a23=(ansf(2)+ansf(3))/2;r12=(ansf(1)-ansf(2))/2;r13=(ansf(1)-ansf(3))/2;r23=(ansf(2)-ansf(3))/2;if abs(r12)<0.01 r12=0; end;if abs(r13)<0.01 r13=0; end;if abs(r23)<0.01 r23=0; end;tt=0:0.01:2*pi;plot(a12+r12*sin(tt),r12*cos(tt),'linewidth',1); hold on; plot(a13+r13*sin(tt),r13*cos(tt),'linewidth',1);plot(a23+r23*sin(tt),r23*cos(tt),'linewidth',1);title('三向状态应力圆视图');minx=min(-del1,a23-r23-del1);maxx=max(del1,a12+r12+del1);miny=min(-del1,-qiemax-del1);maxy=max(del1,qiemax+del1);axis([minx,maxx,miny,maxy]);plot([0 0],[miny maxy],'k',[minx maxx],[0 0],'k','linewidth',1);ax=[maxx,maxx-2,maxx-2;0,1,-1];fill(ax(1,:),ax(2,:),'k');ay=[0,1,-1;maxy,maxy-2,maxy-2];fill(ay(1,:),ay(2,:),'k');text(-1.5,-1.5,'O','Fontsize',15);text(maxx-2,-2,'{\sigma}','Fontsize',12);text(-5,maxy-5,'{\tau}','Fontsize',12);fprintf('\n'); fprintf('\n');fprintf('第一主应力:%6.2fMpa\n',ansf(1));fprintf('第二主应力:%6.2fMpa\n',ansf(2));fprintf('第三主应力:%6.2fMpa\n',ansf(3));fprintf('最大切应力：%6.2fMPa\n',qiemax);axis equal;end程序功能展示一、课本例题2-3计算双向应力请输入2 计算三向应力请输入32请输入x向正应力=40请输入y向正应力=-20请输入xy平面切应力=40Current plot heldσmax=59.92541Mpaσmin=-39.92541Mpaτmax=49.92541Mpaα0=26.56505度和116.56505度请输入方位角α/°=30σ=59.64102Mpaτ= 5.98076Mpa二、课本习题2-13计算双向应力请输入2 计算三向应力请输入33请输入x向正应力:60请输入y向正应力:20请输入z向正应力:20请输入xy平面切应力：-40 请输入yz平面切应力：0 请输入zx平面切应力：0第一主应力: 84.72Mpa 第二主应力: 20.00Mpa 第三主应力: -4.72Mpa 最大切应力： 44.72MPa。
材料力学课件(哈工大)第2章应力状态分析(1)
2-1 内力（internal force）1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。
•内力完全由外力引起，并随着外力改变而改变；•这个力若超过了材料所能承受的极限值，杆件就要在m-m 面处断裂；•内力反映了材料对外力有抗力，并传递外力。
1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。
2）内力的求法截面法截面法：截、去、代、平=∑x F FFFFF='=='-NN2-1 内力（internal force）1）内力的概念受力构件内相邻两部分间的相互作用力，称为内力。
2）内力的求法截面法截面法：截、去、代、平内力是连续地分布在截面各个点上的力系，一般情况下可向截面形心简化，合成一主矢和一主矩，它们在坐标上的分量分别为：0=∑x F F F F F F ='=='-N N 02-1 内力（internal force ）轴力—N F 剪力—y F s 剪力—z F s 扭矩—T 弯矩—y M 弯矩—z M 2-1 内力（internal force ）1）内力的概念2）内力的求法截面法3）内力正负号的规定正面—外法线沿着坐标正方向的截面；反之为负面正面上与坐标正方向相同的内力为正；反之为负。
负面上与坐标正方向相反的内力为正；反之为负。
2-1 内力（internal force）2-1 内力（internal force）1）内力的概念2）内力的求法截面法3）内力的符号规定例1 直径为d,长为l 圆截面直杆，铅垂放置,上端固定，若材料单位体积质量为r，试求在重力作用下杆m-m截面的内力。
解：整个杆件最大的轴力发生在固定端截面上，其值g d q r 4π 2=为杆单位长度的重力大小0=∑x F 0N =-qx F gx d qx F r 4π2N ==gl d F r 4π2N max =解：例2 直杆铅垂放置，上端固定，受力如下图所示。
若不计杆的重力，试求杆的m-m 截面的内力。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
D
C
sO
E
s 2 , 0
s 1 , 0
D
s
结论：所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用4
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
证： 1. 据纯剪切斜截面应变公式求e45。
2. 据广义胡克定律求 e45。
纯剪切时主应力在45度方向,
3. 比较
例 8-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN，
m 0.3，求钢块的主应力
解：
因二者均为压应力, 故
§8 电测应力与应变花
应力分析电测方法 应变花
已知 sa , ta , sa+90 , ta +90 ,画应力圆
应力圆绘制 先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
ta+90 sa+90
t
sa ,ta
D
t
sa ,ta
D
sa
ta
O
C
sO
E
sa+90 ,ta+90
C
s
E
sa+90 ,ta+90
应力圆的绘制方法(3): 由主应力画应力圆
适用范围： 各向同性材料，线弹性范围内
主应力与主应变的关系
主应变与主应力的方位重合 最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位
最大拉应变发生在最大拉应力方位 如果 s1 0，且因 m < 1/2，则
【原创】哈工大材料力学上机——应力状态分析
Harbin Institute of Technology材料力学上机大作业课程名称：材料力学题目：应力状态分析院系：机电学院班级：姓名：学号：指导教师：设计时间： 20130621哈尔滨工业大学一、题目要求：应力状态分析输入：1.平面应力状态输入：（xy y x τσσ、、）；某截面方位角α2.空间应力状态输入：（zx yz xy z y x τττσσσ、、、、、）输出：1.输出主应力（321σσσ、、）。
2.最大剪应力（23113max σσττ-==）。
3.如为平面应力状态则需输出方位角α斜截面上的应力αατσ、及主方位角*σα。
4.画出应力圆示意图。
算法：1.二向应力状态给定xy y x τσσ、、，某截面方位角α，由公式ατασστατασσσσσ2cos 2sin 22sin 2cos 22'''xy y x y x xy y x yx x +--=+-++=即可求得方位角α斜截面上的应力αατσ、， 再由公式y x xyσστασ-=22tan ，推出2/)2arctan(y x xy σστασ-=，于是求出主方位角σα的两个值。
最后由公式22min max )2(2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫得到min max ,σσ，并将0,min max 与σσ比较大小，最后得到321,,σσσ 再由公式23113max σσττ-==计算出max τ程序：由matlAB 程序GUI 功能实现可视化窗口，使界面更加友好。
已知正交界面的正应力和剪应力，求其应力状态，包括主应力大小、最大剪切应力、以及具体界面位置应力和剪切力。
第一个按钮用来绘制莫尔圆；第二个按钮用来计算具体界面位置应力和剪切力。
function varargout = gui_moore_13_4(varargin)% GUI_MOORE_13_4 M-file for gui_moore_13_4.fig% GUI_MOORE_13_4, by itself, creates a new GUI_MOORE_13_4 or raises the existing% singleton*.%% H = GUI_MOORE_13_4 returns the handle to a new GUI_MOORE_13_4 or the handle to% the existing singleton*.%% GUI_MOORE_13_4('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local% function named CALLBACK in GUI_MOORE_13_4.M with the given input arguments.%% GUI_MOORE_13_4('Property','Value',...) creates a newGUI_MOORE_13_4 or raises the% existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are% applied to the GUI before gui_moore_13_4_OpeningFunction gets called. An% unrecognized property name or invalid value makes property application% stop. All inputs are passed to gui_moore_13_4_OpeningFcn via varargin.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help gui_moore_13_4% Last Modified by GUIDE v2.5 07-Sep-2007 18:01:33% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @gui_moore_13_4_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @gui_moore_13_4_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before gui_moore_13_4 is made visible.function gui_moore_13_4_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin command line arguments to gui_moore_13_4 (see VARARGIN) % Choose default command line output for gui_moore_13_4set(handles.sx_edit,'String', 30);set(handles.sy_edit,'String', 0);set(handles.txy_edit,'String', 8);set(handles.rad_edit,'String', 1.0472); %pi/3handles.output = hObject;handles.output = hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes gui_moore_13_4 wait for user response (see UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);% --- Outputs from this function are returned to the command line. function varargout = gui_moore_13_4_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = handles.output;function txy_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to txy_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of txy_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of txy_edit as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function txy_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to txy_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction sy_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to sy_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of sy_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of sy_edit as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function sy_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to sy_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction sx_edit_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to sx_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of sx_edit as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of sx_edit as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties. function sx_edit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to sx_edit (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');end% --- Executes on button press in moore_pushbutton.function moore_pushbutton_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to moore_pushbutton (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)。
材料力学第9章 应力状态分析
B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
哈工大材料力学实验报告
哈工大材料力学实验报告哈工大材料力学实验报告引言哈尔滨工业大学（以下简称哈工大）是中国著名的工科大学之一，其材料力学实验是该校材料科学与工程专业的重要课程之一。
本文将对哈工大材料力学实验进行报告，介绍实验的目的、方法、结果和分析。
实验目的材料力学实验旨在通过实际操作和数据分析，加深学生对材料力学理论的理解，并培养学生的实验操作技能和数据处理能力。
通过该实验，学生可以了解不同材料的力学性能，如强度、韧性、硬度等，并掌握常见的力学测试方法和设备。
实验方法本次实验选取了常见的金属材料和聚合物材料，分别进行了拉伸试验和冲击试验。
拉伸试验通过引伸计测量材料在受力过程中的变形，从而得到材料的应力-应变曲线。
冲击试验则通过冲击试验机测量材料在受冲击载荷下的断裂韧性。
实验过程中，我们严格按照实验操作规程进行操作，确保实验的准确性和可靠性。
实验结果与分析拉伸试验结果显示，金属材料在受力过程中呈现出明显的弹性阶段和塑性阶段。
弹性阶段中，材料的应力与应变成正比，符合胡克定律。
塑性阶段中，材料开始发生塑性变形，应力逐渐增大，而应变增大的速度逐渐减小。
最终，材料发生断裂。
通过绘制应力-应变曲线，我们可以得到材料的屈服强度、断裂强度等重要参数。
冲击试验结果显示，聚合物材料在受冲击载荷下表现出较好的韧性。
冲击试验机通过测量材料的断裂能量来评估材料的韧性。
结果显示，聚合物材料的断裂能量较大，说明其在受冲击载荷下能够吸收较多的能量，具有较好的抗冲击性能。
实验结论通过本次实验，我们对材料力学的基本概念和测试方法有了更深入的了解。
拉伸试验和冲击试验结果表明，金属材料具有较高的强度和硬度，而聚合物材料具有较好的韧性和抗冲击性能。
这些结果对于材料的选择和设计具有重要的参考价值。
进一步讨论除了本次实验所涉及的拉伸试验和冲击试验，材料力学还包括很多其他的测试方法和实验技术。
例如，硬度测试可以用来评估材料的硬度和耐磨性。
疲劳试验可以用来评估材料在循环载荷下的寿命和稳定性。
六、 材料力学应力状态分析(1)
z
一点处应力状态的描述及其分类
b、平面应力状态（二向应力状态）
y
σy τxy τyx
x
y
在平面单元体上两个垂直面上都
有应力存在；
τyx
σy σx τxy
x
σx
c、空间应力状态（三向应力状态） 在空间单元体的六个平面上都有 应力存在； 平面应力状态是空间应力状态的 特殊情况；单向应力状态又是平 面应力状态的特殊情况， 工程中常见平面应力状态，也是 我们课程研究的重点。
FP l
FQ
+ Mz -
FP x x
FPl
σmax
A
x
τ σ
A
τ σ
一点处应力状态的描述及其分类
2、应力状态有三种：
y y σx σx x
z
a、单向应力状态(如图所示)
简单拉伸（压缩）的单元体；
σx
σx x
圆轴扭转（纯切应力）的单元 体；
y τ x y τ x
可以将空间单元体简化为平面
图形的单元体表示；
A x’
τxy
yˊ[σ0(1-cos2θ)/2; σ0(sin2θ)/2]
σ0(1+cos2θ)/2
c
2θ
σ0 σ
xˊ[σ0(1+cos2θ)/2; -σo(sin2θ)/2]
σ0(1-cos2θ)/2
τ σ0(sin2θ)/2 σ0(3+cos2θ)/2
x’
τmax
C=σ0
0
2
(1 cos 2q ) 2 sin 2 2q
2、将两单元体同方向上的应力 相加得到新的应力状态单元体。 3、用应力圆分析新单元体应力 状态，圆心c =σ 0;
材料力学应力状态分析PPT
4. 主应力与主平面
可见，圆周上A1和A2两点的 横座标分别代表该单元体的 垂直于xy平面的那组截面上 正应力中的最大值和最小值， 它们的作用面相互垂直(由 (b) A1和A2两点所夹圆心角为 180˚可知)，且这两个截面上 均无切应力。
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 (b) 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；
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-x
+ y
2
x
- y
2
cos 2
- x sin 2
(1)
x
-
2
y
sin 2
+x
cos 2
(2)
(1) 2 + (2) 2 , 得 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 R 2
-x
+
y
2
2
+
2
x
-
y
2
2
+
2 x
1.莫尔(Mohr)圆（应力圆）
-
x
+ 2
y
2
+
2
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：
材料力学第九章 应力状态分析
Dy
0,
35.7
连接Dx和Dy，其连线交σ轴于C点，以C
为圆心， CD为x 半径画出应力圆。
30
EC O
60
2．在应力圆上由CDx 顺时针转到60°确 定 D 点，量取
30
D
30 30
n
30MPa
Dx 63.7,35.7
OE 30o 17MPa, ED-30o 30o 46MPa
用比例尺量得的结果不够精确，
(9—1)
x
y
2
sin 2
x
cos 2
(9—2)
取 x , x y 0 可得
45
max
sin 2
（c）
45
min
max
cos 2
（d）
0
max
min
n
x
min
45
x
45
max
例9-1 图（a）中，d=100mm, F=500kN, Me=7kN.m,求圆杆表面
ydAsin sin ydAsin cos 0
Ft 0 dAxdAcos sin xdAcos cos
ydAsin cos ydAsin sin 0
(c)
注意到 x 和 y 的大小相等，其指向已画在图中，以 x 代替 y ，简化后得到
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
45
x
sin 2
（1）
cos 2
（2）
由（1）式和（2）式得：
45
t,max
45o t,max ; 45o c,max 45o 45o 0
主平面：切应力等于零的平面； 主应力：主平面上的正应力。
材料力学-应力状态分析
画出下列图中的A、B、C点的已知应力单元体图。
P
A y
P
σx
A
σx τ yx
B C z
P M x
σx
τzx
B
σx
τxz
C
τ xy
4、应力状态的分类
（1）、主平面与主应力 ）、主平面与主应力： 主平面与主应力：
σx
τy
σy τx
σx
主平面： 主平面：单元体中切应力为零的平面。 单元体中切应力为零的平面。 主应力： 主应力：作用于主平面上的正应力。 作用于主平面上的正应力。
圆心： 圆心：
(
σ x +σ y
2
,0)
半径：
R= (
σ x−σ y
2
) + τ xy
2
2
应力圆： 应力圆：
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
τ
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
R C
σ x +σ y
2
σ
二.应力圆的画法
y σ y
+ (σ y dA sin α ) cos α + (τ y dA sin α ) sin α = 0
b
由切应力互等定理和三角变换，可得：
n
σα
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ xy sin 2α
σx
材料力学-7-应力状态分析
y
x
yx
xy
x
y
y yx
x
y
xy
7.1 应力状态的基本概念
x
y
y
yx
x
x
xy
x
单向应力状态
( One Dimensional State of
Stresses )
纯切应力状态
( Shearing State of Stresses )
拉（压）、纯弯曲正应力
扭转
45 max xy
45 0
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx
45 0
Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴 方向缩短。这是为什么？
因为：圆轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
第7章 应力状态分析
7.3 主应力、主平面与面内 最大切应力——解析法
q＝
x
2
sin 2q
q＝
x－ y
2
sin 2q xy cos2q
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 例题3
n
q＝
x
2
＋
x
2
cos2q
x
x
2 3.当θ ＝45º 时，斜截面上既有 正应力又有切应力，其值分别为
q＝
x
sin 2q
45 ＝
三、描述一点应力状态的基本方法
微元（Element）
围绕所考察的点截取 正六面体，并使之边长足 够小，趋于宏观上的 “点”。 因此，微元及其各面 上的应力即可描述一点的 应力状态。
dz
dy dx
注意：由于微元各边长均为无穷小量，故有： 1.表面上的应力可视为均匀分布； 2.任一对平行平面上的应力相等。
哈工大材料力学第4章材料的力学性能 应力应变关系
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （4）铸铁的压缩试验 ） 与拉伸时相比， 与拉伸时相比，铸铁压缩时强度极 限很高， 例如， 限很高 ， 例如 ， HT150 压缩时的强度 极限约为拉抻时强度极限的四倍。 极限约为拉抻时强度极限的四 抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点， 抗压强度远大于抗拉强度，这是铸铁力学性能的重要特点， 也是脆性材料的共同特点。 也是脆性材料的共同特点。 铸铁试件受压缩发生断裂时， 断裂面与轴线大致成45°的 铸铁试件受压缩发生断裂时 ， 断裂面与轴线大致成 的 倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。 倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。
σp =
Fp A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 ）
• 第二阶段 第二阶段——屈服（流动）阶段 （曲线 段 ） 屈服（流动） 曲线bc段 屈服 外力在小范围内波动，但变形显著增加。 外力在小范围内波动，但变形显著增加。即，材料暂时失去 了抵抗变形的能力。 了抵抗变形的能力。 在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分 在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失， 变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形 塑性变形。 变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。试件表面出 滑移线（与试件轴线成45度角度 度角度）。 现滑移线（与试件轴线成 度角度）。
Fb σb = A
第4章 材料的力学性能 应力应变关系 章
4-2 轴向拉伸与压缩实验 （1）低碳钢的拉伸试验 ）
• 第四阶段 第四阶段——颈缩破坏阶段 （曲线 ef 段 ） 颈缩破坏阶段 过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小， 过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为 颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。 颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。 颈缩处试件横截面面积急剧减小， 颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速 降低，最后在颈缩处试件被拉断。 降低，最后在颈缩处试件被拉断。
材料力学8-1-应力状态概述
06
实际应用中的应力分析
机械零件的应力分析
机械零件在制造、使用过程中会受到各种力的作用，产生应力。对机械零件进行 应力分析，可以预测其承载能力和疲劳寿命，避免因应力过大而导致的断裂、变 形等问题。
例如，对发动机中的连杆、曲轴等关键零件进行应力分析，可以优化其结构，提 高发动机性能和可靠性。
晶体点阵在受力过程中发生的畸变。
应力和应变的关系
01
应力和应变之间的关系由胡克定 律描述，即应力与应变成正比， 比例系数为弹性模量。
02
在弹性范围内，材料遵循胡克定 律，即应力与应变成线性关系。
弹性模量
01
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的物理量，其
ห้องสมุดไป่ตู้
值取决于材料的种类和温度。
02
弹性模量是材料常数，用于计算在弹性范围内应力与
桥梁和建筑结构的应力分析
桥梁和建筑结构在设计和施工过程中需要进行应力分析，以 确保其安全性和稳定性。通过对桥梁和建筑结构的应力分析 ，可以了解结构的受力状况，优化设计方案，降低施工风险 。
例如，对大型桥梁的桥墩、桥跨结构进行应力分析，可以确 定合理的支撑结构形式和材料，提高桥梁的安全承载能力。
压力容器的应力分析
应力是描述物体内部受力状态 的物理量，与物体受力作用面 积有关。
应力大小与受力作用面积的倒 数成正比，即应力与受力作用 面积的乘积是一个常数。
分类：正应力和剪应力
正应力
垂直于受力作用面的应力，通常表 示为σ。
剪应力
平行于受力作用面的应力，通常表 示为τ。
应力单位
1
应力的国际单位是帕斯卡（Pa），1 Pa = 1 N/m^2。
举例
材料力学应力状态分析
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
1 2
( x
y ) sin
2
xy
cos 2
(
x
y )2
2
2
( x
y )2
2
2xy
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
19
8-3 图解法分析二向应力状态
3
2
1
7
8-2 解析法分析二向应力状态
1.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
8
8-2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
Fn 0
x αa
n
a
xy
dA
dA xy(dAcos )sin x (dAcos ) cos yx
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
14
8-2 解析法分析二向应力状态
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
xy
2
68.3MPa
x
m in
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材料力学（上级）报告题号：题目：姓名：学院：班级：学号：题目7应力状态分析输入：1.平面应力状态输入：（δx , δy ,τxy）；某截面方位角а2.空间应力状态输入：（δx ,δy ,δz ,τxy ,τyz ,τzx）输出：1输出主应力（δ 1 , δ 2 , δ 3 ）2最大剪应力（τmax =τ13 =（δ 1 -δ3）/2 ）3如为平面应力状态则需输出方位角а斜截面上的应力δа , τа,及主向角аδ ,4画出应力圆示意图用vb编程如下：1设计思路第一步：开始程序，选择是"平面应力状态分析"还是"空间应力状态分析"第二步：若为"平面应力状态分析"则A．输入数据（δx , δy ,τxy ）；某截面方位角а"B．计算主应力C．比较大小,输出主应力（δ1 , δ2 , δ3 ）和最大剪应力τmax=（δ1 - δ3）/2D．计算并输出δа,τа,аδE．输出应力圆F．若想继续，则可清空“文本框”和“图片框”，继续A操作第三步：若为"空间应力状态分析"则A．输入数据（δx ,δy ,δz ,τxy ,τyz ,τzx ）B．计算I1,I2,I3;得到方程"x^3-I1*x^2+I2*x-I3=0"C．用盛金公式求解方程"x^3-I1*x^2+I2*x-I3=0"的根X1,X2,X3D．比较大小,输出主应力（δ1 , δ2 , δ3 ）和最大剪应力τmax=（δ1 - δ3）/2以及应力圆E．若想继续，则可清空“文本框”和“图片框”，继续A操作第四步：退出程序2程序代码Private Sub Command5_Click()'开始运行程序,选择"平面"还是"空间"MsgBox "а按弧度制输入,单位是rad;应力单位均是Mpa.若为平面应力状态请按“平面应力状态分析”，否则，按“空间应力状态分析”", vbOKOnly, "温馨提示"Command7.Enabled = TrueCommand8.Enabled = TrueEnd Sub'若选择"平面"Private Sub Command7_Click()Command1.Enabled = TrueCommand2.Enabled = TrueText1.SetFocusEnd SubPrivate Sub Command1_Click()Dim δx As Double, δy As Double, τxy As Double, а As Double, x As Double, y As Double, z As Double'输入数据（δx , δy ,τxy ）；某截面方位角а"δx = Val(Text1.Text)δy = Val(Text2.Text)τxy = Val(Text3.Text)а = Val(Text4.Text)'计算主应力x = 0y = (δx + δy) / 2 + ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5z = (δx + δy) / 2 - ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5'比较大小,输出主应力（δ1 , δ2 , δ3 ）和最大剪应力τmax =τ13 =（δ1 - δ3）/2 If x >= y And x >= z ThenText5.Text = Str(x)Text6.Text = Str(y)Text7.Text = Str(z)Text8.Text = Str((x - z) / 2)ElseIf x <= y And x <= z ThenText5.Text = Str(y)Text6.Text = Str(z)Text7.Text = Str(x)Text8.Text = Str((y - x) / 2)ElseText5.Text = Str(y)Text6.Text = Str(x)Text7.Text = Str(z)Text8.Text = Str((y - z) / 2)End IfEnd If'计算并输出δа,τа,аδText9.Text = Str((δx + δy) / 2 + (δx - δy) / 2 * Cos(2 * а) + τxy * Sin(2 * а))Text10.Text = Str(-(δx - δy) / 2 * Sin(2 * а) + τxy * Cos(2 * а))If δx = δy ThenText11.Text = Str(45)ElseText11.Text = Str(Atn(τxy ^ 2 / (δx - δy)) / 2)End If'输出应力圆If ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5 <= 50 And ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5 >= 20 Then '半径在20-50间的输出Picture1.ScaleMode = 3Picture1.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture1.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture1.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture1.Line (0, -40)-(0, 40)Picture1.Circle ((δx + δy) / 2, 0), ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5, QBColor(12)ElseIf ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5 < 20 And ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5 > 0 Then '半径在0-20间的输出Picture1.ScaleMode = 3Picture1.Scale (0, 0)-(80, 40)Picture1.Scale (-40, 20)-(40, -20)Picture1.Line (-40, 0)-(40, 0)Picture1.Line (0, -20)-(0, 20)Picture1.Circle ((δx + δy) / 2, 0), ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5, QBColor(12)Else'半径在大于50间的输出Picture1.ScaleMode = 3Picture1.Scale (0, 0)-(400, 200)Picture1.Scale (-200, 100)-(200, -100)Picture1.Line (-200, 0)-(200, 0)Picture1.Line (0, -100)-(0, 100)Picture1.Circle ((δx + δy) / 2, 0), ((δx - δy) ^ 2 / 4 + τxy ^ 2) ^ 0.5, QBColor(12)End IfEnd IfEnd SubPrivate Sub Command2_Click()'清空文本框Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Text6.Text = ""Text7.Text = ""Text8.Text = ""Text9.Text = ""Text10.Text = ""Text11.Text = ""'清除图片框Picture1.Cls'返回光标Text1.SetFocusEnd Sub'若选择"空间"Private Sub Command8_Click()Command3.Enabled = TrueCommand4.Enabled = TrueText13.SetFocusEnd SubPrivate Sub Command3_Click()Dim δx As Double, δy As Double, δz As Double, τxy As Double, τyz As Double, τzx As Double '输入数据（δx ,δy ,δz ,τxy ,τyz ,τzx ）δx = Val(Text13.Text)δy = Val(Text14.Text)δz = Val(Text15.Text)τxy = Val(Text16.Text)τyz = Val(Text17.Text)τzx = Val(Text18.Text)'计算I1,I2,I3;得到方程"x^3-I1*x^2+I2*x-I3=0"I1 = δx + δy + δzI2 = δx * δy - τxy ^ 2 + δy * δz - τyz ^ 2 + δz * δx - τzx ^ 2I3 = (δy * δz - τyz ^ 2) * δx - (τxy * δz - τyz * τzx) * τxy + (τxy * τyz - τzx * δy) * τzx'用盛金公式求解方程"x^3-I1*x^2+I2*x-I3=0"的根X1,X2,X3a = I1 ^ 2 - 3 * 1 * I2b = -I1 * I2 + 9 * 1 * I3c = I2 ^ 2 - 3 * I1 * I3d = b ^ 2 - 4 * a * c'当有三个相等实根时If (a = 0 And b = 0) ThenX1 = I1 / 3X2 = I1 / 3X3 = I1 / 3End If'当有两个相等实根时If (a <> 0 And d = 0) ThenX1 = I1 + b / aX2 = -b / (2 * a)X3 = -b / (2 * a)End If'当有三个互不相等实根时If (d < 0 And a > 0) Thent = (-2 * a * I1 - 3 * b) / (2 * a ^ (3 / 2))If (t = 0) Thenu = 3.14159265357979 / 2X1 = (I1 - 2 * a ^ (1 / 2) * Cos(u / 3)) / 3X2 = (I1 + a ^ (1 / 2) * (Cos(u / 3) + 3 ^ (1 / 2) * Sin(u / 3))) / 3X3 = (I1 + a ^ (1 / 2) * (Cos(u / 3) - 3 ^ (1 / 2) * Sin(u / 3))) / 3ElseIf (-1 < t And t < 1 And t <> 0) Thenu = Atn((1 - t ^ 2) / t)X1 = (I1 - 2 * a ^ (1 / 2) * Cos(u / 3)) / 3X2 = (I1 + a ^ (1 / 2) * (Cos(u / 3) + 3 ^ (1 / 2) * Sin(u / 3))) / 3X3 = (I1 + a ^ (1 / 2) * (Cos(u / 3) - 3 ^ (1 / 2) * Sin(u / 3))) / 3End IfEnd IfEnd If'当不全是实根时If (d > 0 Or d < 0 And a <= 0) ThenMsgBox "方程可能不全是实根,无法比较根的大小,请重新输入", vbOKOnly, "温馨提示" Text13.Text = ""Text14.Text = ""Text15.Text = ""Text16.Text = ""Text17.Text = ""Text18.Text = ""Text13.SetFocusEnd If'比较大小,输出主应力（δ1 , δ2 , δ3 ）和最大剪应力τmax =τ13 =（δ1 - δ3）/2以及应力圆If (X1 >= X2 And X2 >= X3) ThenText19.Text = Str(X1)Text20.Text = Str(X2)Text21.Text = Str(X3)Text22.Text = Str((X1 - X3) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X1 - X2) / 2, QBColor(12)Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X1 - X3) / 2, QBColor(12)Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X2 - X3) / 2, QBColor(12)End IfIf (X1 >= X3 And X3 >= X2) ThenText19.Text = Str(X1)Text20.Text = Str(X3)Text21.Text = Str(X2)Text22.Text = Str((X1 - X2) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X1 - X2) / 2, QBColor(12)Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X1 - X3) / 2, QBColor(12)Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X3 - X2) / 2, QBColor(12)End IfIf (X2 >= X1 And X1 >= X3) ThenText19.Text = Str(X2)Text20.Text = Str(X1)Text22.Text = Str((X2 - X3) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X2 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X1 - X3) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X2 - X3) / 2, QBColor(12) End IfIf (X2 >= X3 And X3 >= X1) ThenText19.Text = Str(X2)Text20.Text = Str(X3)Text21.Text = Str(X1)Text22.Text = Str((X2 - X1) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X2 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X3 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X2 - X3) / 2, QBColor(12) End IfIf (X3 >= X1 And X1 >= X2) ThenText19.Text = Str(X3)Text20.Text = Str(X1)Text21.Text = Str(X2)Text22.Text = Str((X3 - X1) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X1 - X2) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X3 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X3 - X2) / 2, QBColor(12) End IfIf (X3 >= X2 And X2 >= X1) ThenText20.Text = Str(X2)Text21.Text = Str(X1)Text22.Text = Str((X3 - X1) / 2)Picture2.ScaleMode = 3Picture2.Scale (0, 0)-(200, 80)Picture2.Scale (-100, 40)-(100, -40)Picture2.Line (-100, 0)-(100, 0)Picture2.Line (0, -40)-(0, 40)Picture2.Circle ((X1 + X2) / 2, 0), (X2 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X1 + X3) / 2, 0), (X3 - X1) / 2, QBColor(12) Picture2.Circle ((X2 + X3) / 2, 0), (X3 - X2) / 2, QBColor(12) End IfEnd SubPrivate Sub Command4_Click()'清空文本框Text13.Text = ""Text14.Text = ""Text15.Text = ""Text16.Text = ""Text17.Text = ""Text18.Text = ""Text19.Text = ""Text20.Text = ""Text21.Text = ""Text22.Text = ""'清除图片框Picture2.Cls'返回光标Text13.SetFocusEnd SubPrivate Sub Command6_Click()'退出程序EndEnd Sub3应用举例A．平面应力状态已知二向应力状态δx = -15 , δy = 30 ,τxy= 20；试求（1）主应力δ1 ,δ2 ,δ3和最大剪应力τmax及主向角аδ；（2）方位角а=1rad的斜截面上的应力δа , τа；（3）画出应力圆。