高一数学复习

如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体记为 集合M，赞成B的学生全体记为集合N.设同时对A和B都投赞成票的 人数为x，则对A投赞成票，对B投否决票的人数为45-x；对B投赞成 票，对A投否决票的人数为20-x；同时对A和B投否决票的人数为x/6. 由题意得(45-x)+(20-x)+x+x/6=50，解得x=18. 故单投A赞成票的学生人数有27人，同时投A，B赞成票的学生 人数有18人.
(1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝ ________； (2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1， x∈R}，则M∩N＝( A．(0,1)，(0,2) C．{y|y＝1或y＝2} ) B．{(0,1)，(0,2)} D．{y|y≥1}
2．要充分注意集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，在解题中，集 合中元素的互异性常常忽略，从而导致解题的失败．下面再 结合例题进一步讲解，以强化对集合元素互异b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B， 求c的值．
【解析】 ∵A＝B，须分情况讨论． (1)若a＋b＝ac，且a＋2b＝ac2，解得a＋ac2－2ac＝0. a＝0时，集合B中的三个元素均为零，和元素互异性矛盾， 故a≠0.∴c2－2c＋1＝0，即c＝1. 但c＝1时，B中的三元素又相同，故无解． c 1 B (2)若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac， 消去b得2ac2－ac－a＝0. ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0. 又c≠1，故c＝－1/2. 综上所述，c＝－1/2.
当 x1＜x2≤－1 时， x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)， ∴函数 f(x)在(－∞，－1]上为增函数； 当－1＜x1＜x2＜0 时， x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， ∴函数 f(x)在(－1,0)上为减函数．
1．函数思想 ． 函数思想方法，即先构造辅助函数，将所给问题转化为构造的 辅助函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)研究后，得出所需结 论． 利用函数思想处理问题，须深刻理解，熟练掌握一次函数、反 比例函数、二次函数的具体特征，及一般函数y＝f(x)的单调性、奇 偶性、最值等，这是利用函数思想解题的必备基础． 同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含的 特性，从而构造恰当的函数和准确地利用函数性质，使问题得以解 决．
集合的基本问题
集合是数学中最基本的概念，学习集合知识一是要注意 把集合知识作为一种语言来学习，集合语言是用集合的有关 概念和符号来描述问题的语言，集合语言能简洁、准确地表 达相关的数学内容．二是要注意使用集合间的运算法则或运 算思想，解决一些逻辑关系较复杂的问题，例如运用补集思 想解决问题等．
1．要注意理解并正确运用集合概念 ． 正确理解一个集合，首先要注意这个集合的表示方法，然 后看这个集合是有限集还是无限集，还要注意用描述法表示的 集合中的元素的属性．最后再运用集合的运算性质转化为方程( 组)或不等式(组)求解．
设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x) 是增函数还是减函数； (4)求函数的值域． 【解析】 (1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1 ＝x2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
【解析】 ∵U=R，A={x|x＞1}， ∴∁UA={x|x≤1}． ∁ ∵x+a＜0，x＜-a，∴B={x＜-a}． 又∵B∁UA，∴-a≤1，∴a≥-1.
已知集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}． (1)若A∩B＝Ø，求实数m的取值范围． (2)若AB，求实数m的取值范围． 【解析】 如图． (1)由数轴知，若A∩B＝Ø，只有m≤－2.
4．要注意数轴分析法在求集合交、并、补集中的运用 对初学者来说，在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往 由于运算能力差或考虑不全面而极易出错．此时，数轴分析法是个 好帮手，能将复杂问题直观化，在具体应用时，要注意端点是实心 还是空心，以免增解或漏解．
设全集U＝R，A＝{x|x＞1}；B＝{x|x＋a＜0}，且B∁UA，求 实数a的取值范围．
2．函数及其表示 ． (1)本节是函数部分的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表 示法为主，同时考查实际问题中的建模能力． (2)以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要．特 别是函数的表达式，对以后函数应用起非常重要的作用．
3．函数的基本性质 ． (1)函数性质是本节的重点内容，特别是函数的单调性及最 值问题．函数的性质是函数的核心内容，以性质为载体考查数 列、三角、方程、不等式等有关知识的最值问题，是高考考查 的热点． (2)函数的图象是“形”与“数”的有机结合．函数图象中 识图、作图、用图是生活、生产、学习其他知识必需具备的能 力，以图象为载体着重考查函数的性质等有关知识． (3)函数图象以客观题为主，且抽象函数较多，在高考中是 考查的热点．
三、函数的基本性质 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合 具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．
1．集合 ． (1)以考查集合的运算为主，同时考查集合的性质及集合与元 素、集合之间的关系，同时注意“Venn”的考查． (2)以选择题为主，也有填空题以及与其他知识结合的大题． (3)本节是高中数学的起始章节，对函数的学习至关重要，是 高考必考内容，但都属于低档题、送分题．
(2)函数 f(x)在(－∞，－1]上为增函数， 在(－ 1,0)上为减函数． 2x2＋2 2x 2 证明如下：由(1)可知 f(x)＝ ＝ ＋ . 3x 3 3x 设 x1＜x2＜0， 2 1 则 f(x1)－f(x2)＝3(x1－x2)(1－x x ) 1 2 x1x2－1 2 ＝3(x1－x2)· x x . 1 2
2．数形结合思想 ． 数形结合思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题 方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的界 线，有较强的综合性，加强这方面的学习和训练，是巩固数学知 识、打好基础、提高能力的重要的一环． 数形结合能将抽象问题直观化、形象化，能使问题灵活直观 地获解，在数学学习中要注意把握并善于运用这种数学思想． 集合问题大都比较抽象，解题时要尽量运用Venn图、数轴或 直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利 用数形结合的思想方法使问题灵活、直观地获解．
【解析】 (1)集合A的元素为数，即表示二次函数y＝x2 自变量的取值集合；集合B的元素为点，即表示抛物线y＝x2上 的点．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝Ø. (2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集 R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项 A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝ {y|y∈R}，故M⊆N，所以M∩N＝M. 【答案】 (1)Ø (2)D
函数的奇偶性与单调性
函数的单调性与奇偶性都是函数的重要性质，是高考的重点内 容之一，主要考查利用定义判断函数的单调性、奇偶性，利用函数 的单调性与奇偶性之间的关系解决比较大小、求值或求最值、解方 程(组)等方面的问题．高考题型有选择题、填空题，也有解答题， 既有容易题与中等题，也有综合性的难题．
mx2＋2 5 已知函数 f(x)＝ 是奇函数， f(2)＝ . 且 3 3x＋n (1)求实数 m 和 n 的值； (2)判断函数 f(x)在(－∞，0)上的单调性，并 加以证明．
高一（上册） 高一（上册）数学小结与复习
一、集合 1．集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系． (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题． 2．集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
某班对两条新制定的班规A，B进行表决，结果A以90%的 得票率顺利通过，而B却因得票率为40%，未过半数被否决． 而且知道，对A，B都投赞成票的学生是过A，B都投否决票的 学生的6倍．已知全班共50人，并且不能弃权，问单投A赞成票 和同时投A，B赞成票的学生各有多少人？ 【解析】 据题意，赞成A的人数为50×90%＝45；赞成B 的人数为50×40%＝20.
(2)若AB，只有m≥4.
函数的图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过 函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之， 掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出． 函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、 明了、易懂的优点．在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用 图象解题的试题．
3．集合的基本运算 ． (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的 并集与交集． (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集 的补集． (3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算． 二、函数及其表示 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
3．要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集 合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关 系问题时，它往往易被忽视而导致解题失误．
已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A， 求实数a组成的集合C.
【解析】 由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 2， ∴A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A. (1)当 B＝Ø 时，a＝0，此时方程 ax－2＝0 无解， ∴a＝0 时满足 B⊆A. 2 (2)当 B≠Ø 时， B＝{x|ax－2＝0}＝{ }⊆{1,2}＝A， ⊆ a 2 2 ∴ ＝1 或 ＝2，∴a＝2 或 1. a a 综上，实数 a＝0,1,2，∴集合 C＝{0,1,2}．