初三数学 春季班 第6讲三角形和四边形讲座

第六讲三角形与四边形讲座
一、考点解读
1、三角形的边、角关系、等腰三角形和全等三角形的性质和判定
2、四边形以及特殊四边形的性质、判定、平移、翻折和旋转
3、三角形、四边形的面积
二、题型透视
题型1、等腰三角形和全等三角形的性质和判定的应用
（2011贵阳）如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
题型2、图形的平移、翻折和旋转
（1）（2012徐州）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF 与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）设BE=x，请用x的代数式表示AM的长。

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。

变式1、(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD 沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
变式2. （2011广东汕头9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC 与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；[来源:中.考.资.源.网]
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
题型3、相似形比例线段问题
（2011武汉10分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且
DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：
QC
PE
BQ DP
． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2=DM·EN ．
题型4. 动点问题
（2011上海14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，
sin ∠EMP =12
13
．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
图1 图2 备用图
变式. （2011四川绵阳14分）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ,如图1.
D
B A
E
(1)若BD 是AC 的中线，如图2，求BD
CE
的值；
(2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求BD
CE
的值；
(3)结合（1)、（2)，请你推断BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BD
CE
的
值能小于4
3
吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由.
D
B
C A
E
B
D
C
E
题型5．综合题型
（2010 浙江温州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度； (2)当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值；
(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A′C′． ①当t>
5
3
时，连结C′C ，设四边形ACC′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．
望子成龙学校家庭作业
校区： 教室： 科目： 数学 学生姓名：_________ 作业等级_____
第一部分
1（2012•台湾）如图，△ABC 中，AB =AC =17，BC =16， M 是△ABC 的重心，求AM 的长度为何？（ ） A ．8 B. 10 C .
217 D.30
289 2.（2012内蒙古呼和浩特3分）如图所示，在梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE=2AE ， 若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为错误!未找到引用源。

．
第二部分
3.(2009武汉)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于
点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ． （1）求证：ABF COE △∽△；
（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求OF
OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出
OF
OE
的值．
4（河北2012。

9分）如图12，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分别在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE =BK =AG .
⑴求证：①DE =DG ； ②DE ⊥DG ； ⑵尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当
1
CE CB n =时，衣直接写出ABCD DEFG
S S 正方形正方形的值.
B
B
A
A
C
O
E D D
E
C
O F 图1
图2
F A
B
C
D E
K
G 图11。