高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案
《圆的基本性质》的知识点及典型例题
第三章 《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
过三点可作 个圆。
过四点可作 个圆。
2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。
注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
在题目中，若让你求⌒AB ，那么所求的是弧长 4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆圆的相关计算 圆的相关证明圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为6、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=7、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n°的扇形面积为。
这里面涉及3个变量：，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。
我们中需要记住一个公式即可。
扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的9、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积：10、圆锥的母线长l，高h，底面圆半径r满足关系式11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理考点四、求圆心角、圆周角考点五、求阴影部分的面积考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题考点八、方案设计题，求最大扇形面积考点九、将圆锥展开，求最近距离练习一、选择题1、下列命题中：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，半径不是弦。
高二数学圆知识点
高二数学圆知识点一、圆的定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。
它有以下性质：1. 圆心：固定点叫做圆心，用字母O表示。
2. 半径：任意一条由圆心O到圆上任意一点A的线段叫做半径，用字母r表示。
3. 直径：由圆心O的两个端点确定的经过圆心的线段叫做直径，它的长度等于半径的两倍。
4. 弦：圆上任意两点的连线叫做弦。
5. 弧：两点间的弧是连接这两点的圆上的部分。
圆上除了直径之外的弦所对应的弧叫做圆弧。
圆弧可以用弧所对应的弦的两个端点来表示，如∠AOB所表示的圆弧所对应的弦是弦AB。
6. 弧长：圆弧的长度叫做弧长，用字母L表示。
7. 圆周率：π，是一个无理数，约等于3.14159。
二、圆的元素关系1. 圆心角：圆心角是一个角，顶点是圆心，两边是从圆心到圆弧上的两条弧的切线，圆心角通常用α、β、θ等字母表示。
2. 圆心角的度数：圆心角所对的圆弧的度数等于圆心角的两倍。
3. 弧度制：圆心角所对的圆弧的弧长和半径的比值叫做弧度制，用字母θ表示。
弧度制的换算公式是：θ（弧度）= L（弧长）/ r（半径）。
4. 圆内角和定理：如果一个三角形的一个顶点在圆上，那么这个三角形的其他两个顶点的对应角的和等于180度。
5. 弧与切线的关系：从圆外一点引圆的切线，切点和该点连接圆心所得的弧是切线所对应的弧。
该弧的切线与圆半径的夹角等于90度。
6. 弧所对圆心角相等的弧：两条相交的弧所对的圆心角相等。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果直线与圆相切，那么切点和直线连接圆心所得的线段垂直于直线。
2. 切线与半径的关系：垂直于半径的线段是一个圆的切线。
3. 弦切角定理：一个弦与切线的夹角等于弦所对的弧所对应的圆心角。
4. 垂径定理：半径垂直于弦，当且仅当该半径平分该弦。
5. 弦长定理：如果两根弦的弦长相等，则它们所对的圆内角相等。
6. 切割定理：如果一根弦平分了另一根弦，那么它们所对的弧要么相等，要么互补。
7. 环内切线定理：过一个点只能作两条切线，当且仅当这个点在两圆的圆心连线上。
圆的基本性质练习(含答案)
圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。
任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。
它的对称中心是_ ④ _____________________ 。
同时圆又具有旋转不变性。
温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。
考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。
常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。
温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。
在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。
第24章 圆章节知识点及习题及答案
第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。
7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。
高中圆的基本性质与点圆关系-知识点及试题答案
高中圆的基本概念与点圆关系知识点与答案解析第一节圆的基本概念1. 圆的标准方程：(x- a)2+ (y- b)2 = r2(圆心(a,b)，半径为r )例1写出下列方程表示的圆的圆心和半径(1)x2 + ( y + 3) 2 = 2 ; (2) (x + 2) 2 + ( y T) 2 = a2 ( a^0)圆心在直线x -2y -3 = 0上，且过A(2 ,£) , B(-,七)，求圆的方程.例3已知三点A(3 , 2) , B(5 , -3) , C( - , 3)，以P(2 ,-)为圆心作一个圆, 使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2. 圆的一般方程：x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0 (其中D2 + E2- 4F > 0),圆心为点(—D —1),半径r D2 E2—4F2 2 2(I)当D2+ E2- 4F = 0时，方程表示一个点，这个点的坐标为(--,--)2 2 (U)当D2+ E2- 4F < 0时，方程不表示任何图形。
例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。
解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，• •• (2k)2 42 4(3k 8) 0，解得k 4或k 1•••当k 4或k 1 时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2:若(2m2+m-1 x2+(m2-m+2)y2+m+2=啲图形表示一个圆，贝U m的值是._____ 0答案：—3 例3:求经过三点A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0,A (1,—1)、B (1,4 )、C (4,—2)三点在圆上，代入圆的方程并化简,得DEF 2D 4EF 17，解得D= —7, E= —3, F= 24D 2E F 20•••所求圆的方程为x2 y2 7x 3y 20。
(完整版)高中数学圆知识+习题总结.docx
1． 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r ＞ 0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，(D 2＋圆心： －D ，－E，一般方程22E 2－ 4F ＞ 0)半径：1D 2＋E 2－ 4F22． 直线与圆的位置关系 (半径为 r ，圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程＜ 0＝ 0＞ 0量观点 化几何d ＞ rd ＝ rd ＜ r观点3． 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1， r 2， d ＝ |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1－ r 2|＜ d ＜d ＞ r 1＋ r 2 d ＝ r 1＋ r 2 d ＝ |r 1－ r 2| d ＜ |r 1－ r 2| r 1＋ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 ＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2) 几何法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2．1.圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 6 与直线 2x＋ y－ 5＝ 0 的位置关系是 ()A ．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2.若直线 x－ y＋ 1＝ 0 与圆 (x－a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围为 ________．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 43.过原点且与直线6x－ 3y＋ 1＝ 0平行的直线 l 被圆 x2＋ (y－3)2＝ 7所截得的弦长为________．4.若圆 C1： x2＋ y2＝ 1 与圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0 外切，则 m＝ ()A． 21B． 19C． 9D．－ 115.若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞ 0)的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________．6.已知点 M 是直线 3x＋ 4y－ 2＝0 上的动点，点 N 为圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()A ．9B． 1 5413C．5D．51与圆 x2＋ y2－ 2x＝ 15 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y＝－ x－ 22截式为 ________．8.已知圆 M ：x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切D．相离9.已知圆 C 经过点 A(2，－ 1)，和直线x＋ y＝ 1 相切，且圆心在直线y＝－ 2x 上．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．。
高中圆公式知识点总结
高中圆公式知识点总结在高中数学中，圆是一个非常重要的几何形状，而圆的公式则是掌握圆的性质和计算圆的周长、面积等问题的关键。
本文将从圆的基本性质开始，逐步介绍圆的相关公式和知识点，方便同学们系统地掌握圆的知识。
1. 圆的基本性质(1) 圆的定义：圆是平面上所有距离等于定长的点的集合。
(2) 圆的要素：圆由圆心O和半径r决定，记为⊙O(r)。
其中，圆心是圆上所有点到圆心的距离都相等，记为r。
(3) 圆的直径：通过圆心，并且与圆相交，并且在圆上的直线叫做圆的直径，通常记为d。
(4) 圆的半径：从圆心到圆上的任一点的线段称为圆的半径，通常记为r。
(5) 圆的周长：圆的周长指的是圆的边长，通常记为L。
根据圆的性质得知，圆的周长等于直径的长度乘以π。
(6) 圆的面积：圆的面积指的是圆内的面积，通常记为S。
根据圆的性质得知，圆的面积等于半径的平方乘以π。
2. 圆的相关公式(1) 圆的周长公式：L = πd，其中d为直径的长度。
(2) 圆的面积公式：S = πr²，其中r为半径的长度。
(3) 圆的直径和半径的关系：d = 2r，即直径等于半径的两倍。
3. 圆的相关知识点(1) 弧长和弧度的关系：弧长指的是圆的一部分弧的长度，通常记为l。
弧的弧度指的是弧所对的圆心角的角度大小。
根据圆的性质得知，弧长等于弧度乘以半径的长度。
(2) 弧长公式：l = rθ，其中θ为弧所对的圆心角的角度大小。
4. 例题解析(1) 例题一：已知圆的周长为20π，求圆的直径和面积。
解：根据周长的公式L = πd，可得圆的直径d = 20。
将直径带入圆的面积公式S = πr²中，可得圆的面积S = π*10² = 100π。
(2) 例题二：已知圆的半径为3，求圆的周长和面积。
解：根据半径的长度r = 3，可得圆的周长L = 2πr = 6π，圆的面积S = πr² = π*3² = 9π。
5. 综合应用圆作为一个重要的几何形状，在日常生活中有很多实际应用，比如建筑设计中的圆形窗户、钟表表盘等。
高中圆知识点归纳总结
高中圆知识点归纳总结圆是圆心到圆周上任意一点的距离等于半径的线段，圆的直径是圆上任意两点的距离等于半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，圆的面积是圆内部的面积。
在数学中，圆是一个非常基础的几何图形，也是许多数学问题中的基础形状之一。
本文将对高中数学中关于圆的相关知识点进行归纳总结，包括圆的定义、性质、相关定理和定理的证明等内容。
一、圆的相关知识点1. 圆的定义圆是平面上到一个定点距离等于定长的动点的轨迹。
这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。
2. 圆的基本性质（1）圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
（2）圆上所有点到圆心的距离都相等。
（3）圆的直径是圆的两个端点的距离等于半径的二倍。
（4）圆的周长等于直径与π的乘积。
（5）圆的面积等于半径的平方与π的乘积。
3. 圆的相关定理（1）同弧（或同角）的圆周角相等。
（2）圆内切等腰三角形。
（3）弦上的圆周角等于弦所在圆的中心角（或外角）。
（4）圆内接四边形内角和为180度。
（5）相交弦定理：相交弦这俩一半与另一半分别相乘相等。
（6）直径上的等角：直径所含角都是90度。
二、重要定理及证明1. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
其中r为半径，π≈3.14159。
2. 弧长与圆心角以及面积的关系（1）弧长L=θr，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
（2）圆的面积S=θ/360*πr²，其中θ为圆心角的度数，r为半径。
3. 锥的切线定理（切割定理）如果直线L与圆C相交于点A和B，那么从点A、B作出的切线AB与L垂直（AB与弦的交角=弦的交角的一半）。
证明：设AB是切线，则AC、BC就是切线，所以∠ABC=∠ACB，所以AB⊥L。
三、常见的计算题目1. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
解：圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr²。
2. 圆的面积为S，求圆的半径和周长。
解：圆的半径r=√(S/π)，圆的周长C=2πr。
高中关于圆的试题及答案
高中关于圆的试题及答案题目一：求圆的面积和周长某圆的半径为5厘米，求该圆的面积和周长。
解答：圆的面积公式为：\[ A = \pi r^2 \]圆的周长公式为：\[ C = 2\pi r \]将半径 \( r = 5 \) 厘米代入公式计算：面积 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \) 平方厘米周长 \( C = 2\pi \times 5 = 10\pi \) 厘米题目二：圆的切线问题已知点P(4,3)在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上，求过点P的圆的切线方程。
解答：首先，我们知道圆心O的坐标为(0,0)，半径为5。
点P在圆上，所以OP是半径，OP的长度为5。
切线与半径垂直，因此切线的斜率与OP的斜率互为相反数的倒数。
OP 的斜率为 \( \frac{3-0}{4-0} = \frac{3}{4} \)，所以切线的斜率为 \( -\frac{4}{3} \)。
切线方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，代入点P(4,3)和斜率\( m = -\frac{4}{3} \)，得到：\[ y - 3 = -\frac{4}{3}(x - 4) \]化简得切线方程为：\[ 4x + 3y - 25 = 0 \]题目三：圆与直线的位置关系已知直线 \( l: 2x - 3y + 6 = 0 \) 与圆 \( C: x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0 \)，求直线l与圆C的位置关系。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \]圆心C的坐标为(2,3)，半径r为3。
接下来，计算圆心C到直线l的距离d：\[ d = \frac{|2\cdot2 - 3\cdot3 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 - 9 + 6|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \]由于 \( d < r \)，即 \( \frac{1}{\sqrt{13}} < 3 \)，所以直线l 与圆C相交。
高中圆的知识点
高中圆的知识点高中圆的知识点圆是数学中的基本图形之一，它在几何学、代数学、三角学等领域都有广泛应用。
在高中阶段，圆的相关知识点主要包括圆的定义、性质、判定方法、弧长与扇形面积、圆锥曲线等方面。
一、圆的定义和性质1. 定义：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
2. 性质：（1）圆心：定点称为圆心，通常用字母O表示。
（2）半径：从圆心到任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
（3）直径：通过圆心并且两端点在圆上的线段称为直径，它是半径长度的两倍。
（4）弦：连接圆上任意两点的线段称为弦。
（5）切线：与圆只有一个公共点且垂直于半径的直线称为切线。
二、判定方法1. 判定一个图形是否是一个圆：若该图形满足所有到某个定点距离相等，则该图形是一个圆。
2. 判定两个图形是否相交：若两个图形有公共部分，则它们相交；否则，它们不相交。
3. 判定两个图形是否相切：若两个图形有公共部分且只有一个公共点，则它们相切；否则，它们不相切。
三、弧长与扇形面积1. 弧长：圆上任意弧的长度称为弧长，通常用字母l表示。
2. 扇形面积：由圆心和圆上两点所构成的扇形所包含的面积称为扇形面积，通常用字母S表示。
四、圆锥曲线1. 椭圆：平面上所有到两个定点距离之和等于常数的点构成一个椭圆。
2. 双曲线：平面上所有到两个定点距离之差等于常数的点构成一个双曲线。
3. 抛物线：平面上所有到定点距离等于直线距离的点构成一个抛物线。
4. 圆：平面上所有到定点距离相等的点构成一个圆。
五、习题实战1. 已知正方形ABCD中心为O，半径为r，则以O为圆心，以r为半径作一圆与正方形ABCD相切。
求该圆周长和扇形面积。
解：由于圆与正方形相切，所以正方形的对角线等于圆的直径，即2r=AB=BC=CD=DA。
又由于正方形的中心是圆的圆心，所以该圆半径也为r。
（1）周长：C=2πr=2π×r=2πr（2）扇形面积：S=1/4πr²2. 已知一个半径为5cm的圆与一条长度为12cm的线段相交，求此线段与圆弧之间所夹的面积。
圆的基本性质(含答案).docx
.圆的基本性质基础知识回放考点 1对称性圆既是① _____对称图形，又是______②对称图形。
任何一条直径所在的直线都是它的____③。
它的对称中心是 _____④。
同时圆又具有旋转不变性。
温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。
考点 2垂径定理定理：垂直于弦的直径平分⑤并且平分弦所对的两条___⑥。
常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于⑦，并且平分弦所对的两条_____⑧。
温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。
在这里总结一下：（ 1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（ 2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（ 3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（ 4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点 3圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑨，所对的弦也 _____⑩。
常用的还有：（ 1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弦___11○。
_____12（ 2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角○，所对的弧○____13______14。
方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。
温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。
否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。
以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。
高二必修一数学圆的知识点
高二必修一数学圆的知识点圆是我们学习数学中的一个重要几何图形，也是高二必修一数学课程中的一个重点内容。
本文将围绕圆的基本概念、圆的性质以及常见的圆相关问题展开讲述。
1. 圆的基本概念圆是平面上一组与给定点距离相等的点的集合。
其中，给定点称为圆心，距离称为半径。
用字母O表示圆心，r表示半径。
圆上的任意一点到圆心的距离都等于半径，即OA=OB=OC=r。
2. 圆的性质（1）圆的直径圆的直径是通过圆心且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。
记作d=2r。
（2）圆的弦圆的弦是连接圆上两点的线段。
圆的直径也是一种特殊的弦，长度等于圆的直径。
（3）圆的弧圆上的弧是由两个端点和圆上的一段弧线组成的，弧上的点到圆心的距离与半径相等。
（4）圆的周长圆的周长是圆上边长的总和，也可以理解为圆的一周。
圆的周长公式为C=2πr，其中π是一个无理常数，约等于3.14159。
（5）圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域。
圆的面积公式为A=πr²，也就是圆的半径平方乘以π。
3. 圆的相关问题（1）判定两条线段是否相交于圆上如果两条线段的其中一条的两个端点都在圆上，那么这两条线段相交于圆上。
（2）求圆内接四边形的面积在一个圆内，有且只有一个内接四边形，它的四个顶点都在圆上。
求解内接四边形的面积可以使用海伦公式。
（3）求解圆与直线的交点当给定一个圆和一条直线时，可以通过联立圆的方程和直线的方程来求解交点的坐标。
（4）判断一个点是否在圆内如果一个点到圆心的距离小于半径，那么这个点在圆内；如果一个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上；如果一个点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外。
（5）求解切线与圆的交点切线是与圆只有一个交点的直线，而半径是与圆有两个交点的直线。
求解切线与圆的交点可以通过计算切线的斜率和圆心到切点的距离。
综上所述，圆是数学中的一个基础图形，具有许多特点和性质。
通过对圆的基本概念、性质和相关问题的学习，我们能够在实际问题中更好地应用圆的知识，解决各种与圆相关的数学问题。
高中圆的知识点
高中圆的知识点一、圆的定义和性质1.1 圆的定义- 圆是由平面内到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
- 圆心：圆的固定点。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
1.2 圆的性质- 圆上的任意两点和圆心连线构成的线段是圆的弦，而半径是弦的一种特殊情况。
- 半径相等的圆，互为同心圆。
- 圆的直径是任意两点在圆上的弦的最大长度。
- 圆的面积是半径的平方乘以π(pi)。
- 圆的周长是直径乘以π(pi)。
二、圆上的重要角度2.1 弧度与弧长- 弧度：圆上的角度可用弧度来表示，一个圆的弧度等于半径长的弧所对应的角度。
- 弧长：圆的弧长是圆心角所对应的弧的长度，计算公式为弧长 = 弧度× 半径。
2.2 弧度与角度的转换- 弧度与角度之间的转换公式：弧度= (π/180) × 角度。
2.3 弧度制的优势- 使用弧度制可以方便地处理圆形的运算。
三、圆的方程3.1 圆的一般方程- 圆的一般方程表示为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。
3.2 圆的标准方程- 圆的标准方程表示为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3.3 圆与其他图形的方程关系- 圆与直线的关系：直线与圆相交一次、相切或者不相交。
- 圆与两直线的关系：两直线与圆相交于两点、相切于一个点或者不相交。
- 圆与双曲线的关系：圆内不包含双曲线图像。
四、圆的切线与法线4.1 切线- 圆上一点的切线是通过该点并且与圆相切的直线。
- 切线与半径垂直。
- 垂直半径的切线称为半径的法线。
4.2 切线与圆心角的关系- 切线与圆心角相等的两线段互为相等弧所对应的角。
4.3 切线的判定- 切线的判定方法有三种：切线是半径垂直的直线、切线与过圆心的直线垂直、过圆外一点的切线是离圆心最近的直线。
五、圆与三角形的关系5.1 圆内接三角形- 圆内接三角形的三个顶点都在圆上。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外 ；点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
圆各知识点总结
第24章 圆知识点总结一、 圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。
(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。
）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。
优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。
（优弧通常用三个字母表示，如C AB。
） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。
3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解
析
第一节 圆的基本概念
1.圆的标准方程：222()()x a y b r （圆心(,)a b ，半径为r ） 例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径
（1）x 2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y – 1)2 = a 2 (a ≠0)
例2 圆心在直线x – 2y – 3 = 0上，且过A (2，–3)，B (–2，–5)，求圆的方程.
例3 已知三点A (3，2)，B (5，–3)，C (–1，3)，以P (2，–1)为圆心作一个圆，使A 、B 、C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.
2.圆的一般方程：2
20x y Dx Ey F （其中2240D E F ），圆心为点)2,2(E D ——，半径2422F E D r —
（Ⅰ）当2240D E F 时，方程表示一个点，这个点的坐标为
(,)22D E （Ⅱ）当2240D E F 时，方程不表示任何图形。
例1：已知方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k 的取值范围。
解： 方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，
∴0)83(44)2(22>+-+k k ，解得14-<>k k 或
∴当14-<>k k 或时，方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。
例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m 的值是＿＿＿。
答案：－3
例3：求经过三点A （1，－1）、B （1,4）、C （4，－2）的圆的方程。
解：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，
A （1，－1）、
B （1,4）、
C （4，－2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+--=++-=+-20241742F E D F E D F E D ，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2
∴所求圆的方程为023722=+--+y x y x 。
例4：若实数y x ,满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是__________。
解：由042422=--++y x y x ，得9)1()2(22=-++y x
∴点P(x, y)在以（－2,1）为圆心，半径r=3的圆C 上，
5)10()20(||22=-++=OC ，
∴原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为｜OC ｜＋r ＝5＋3 ∴22y x +的最大值为5614)35(2+=+。
3.圆的一般方程的特点：
(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0。
②没有xy 这样的二次项。
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，只要求出这三个系
数，圆的方程就确定了。
(3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。
4.圆的一般方程变形
如果220Ax Bxy Cy Dx Ey F 是圆，一定有（1）A=C 0；（2）B=0；
（3）D2+E2-4AF>0。
反之，也成立。
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
2
22214441290244412110x y x y x y x y
例2：方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m 的取值范围是（ D ） A. 1
14m B. 1m C. 14m D. 14
m 或1m 例3：如果圆的方程为x 2+y 2+kx+2y+k 2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（ ）
A.（-1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，0）
D.（0，-1） 例4：圆0sin 2cos 222=+-+θθay ax y x 的圆心坐标为 ，半径为 .
例5：方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆。
1：求实数m 的范围。
2：求该圆半径r 的范围。
3：求圆心C 的轨迹的普通方程。
解：(1)方程表示圆的充要条件是2240D E F ，即：
4(m +3)2+4(1-4m 2)2-4(16m 4+9)>0，
解之得-71
<m <1.
(2)2
422F E D r — ，得到r 的取值范围
(3)设圆心为(x ，y )，
则
消去m 得：y =4(x -3)2-1，
∵-71
<m <1，
∴720
<x <4，
即轨迹为：y =4(x -3)2-1(720
<x <4)。
例6：已知实数y x ,满足等式9)3()4(22=++-y x ，求
y x +的最值。
第二节 点与圆的关系
1.点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r 的关系的判断方法
（1）2200()()x a y b >2r ，点在圆外
（2）2200()()x a y b =2r ，点在圆上
（3）2200()()x a y b <2r ，点在圆内
例1：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C 求它的外接圆的方程。
解析：用待定系数法确定a b r 、、三个参数。
例2：已知圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,且圆心在:10l x y 上,求圆的标准方程。
解析：圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B ,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
例3：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点
12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
2.圆的对称性问题：圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r 相等。
例1：求x 2+y 2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程
解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。
设圆心关于直线的对称点O'(a,b) ，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：
解得
所求圆的方程为223226()()155x
y 。
3.与圆有关的轨迹方程
方法一：代入转移求轨迹方程
的轨迹方程。
的中点求线段上运动在圆端点的端点已知线段M AB y x A B AB ,4)1(),3,4(22 如： 方法二：参数法求轨迹方程
求圆心的轨迹方程。
表示的曲线是不同的圆——方程取不同的非零实数时，当03322222 a ay ax y x a 方法三：充分利用韦达定理
如：设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0，求直线PQ 的方程。
解：曲线方程为（x+1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.
∵点P 、Q 在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1。
∵直线PQ 与直线y=x+4垂直，
∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y=－x+b.
将直线y=－x+b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x+b 2－6b+1=0. Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b+1）>0，得2－3
2<b<2+32。
由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162 b b
—。
y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162 b b —+4b.
∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，
即b 2－6b+1+4b=0.
解得b=1∈（2－32，2+32）。
∴所求的直线方程为y=－x+1。
4.圆中的最值思想
（1）形如y b m x a 的最值问题，转化为动直线斜率的问题；
（2）形如m=ax+by 的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如m=(x-a)2+(y-b)2
最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。
如：已知点P （x,y ）是圆（x+2）2+y 2 =1上任意一点。
（1）求P 到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；
（2）求x-2y 的最大值和最小值；
（3）求2
1y x 的最大值和最小值。
解：（1）圆心C （-2,0）到到直线3x+4y+12=0的距离为： 224*0126534d ∴所以P 到直线距离的最大值为d+r=65+1=11
5,最小值为d-r=65-1=15。
（2）设t=x-2y,
∵直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y 2 =1有公共点 ∴圆心到直线的距离小于等于半径 （3）设2
1y k x ，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y 2 =1有公共点
∴圆心到直线的距离小于等于半径
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