立体几何专题——空间角

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做 。

2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式a =><=cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 ⋅方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a = ),,(222z y x b =222222212121212121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2A B C D P MAB1B 1A1D 1CCD（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC PB AC 所以故例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB =1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、B 、C 、(0,1,0)D 、(0,0,2)P 、1(0,,1)2E ，从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ ∴AC 与PB 1. 正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 {}οοο60,45,90 。

2. 正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3. 已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b4. 如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与CN5. 如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。

（1）AP 与BE 所成的角为（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为1. θ=30˚行吗？2. θ=75˚时；DPDF= 。

6. 空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ∆的重心，M 是AC的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120˚，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。

（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中，（1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C1的中点，则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，则CM 和D 1N 所成的角是 。

9、如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（3π） 解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ， ∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂A B 平面PAB ， ∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面PCB ．(II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+， 在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=26AF PF ==3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π．解法二：(II) 由(I) AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2，又∵AB=BC ，可求得BC=2．以B 为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，2，０），Ｂ（0，0，0），C （2，０，0），P （2，０，2）．),22,2(AP -=，)0,0,2(B C =．则22BC AP ⨯=⋅+0+0=2．,cos >=<=2222⨯=21． ∴异面直线AP 与BC 所成的角为3π．DABCDPE F第二节、直线和平面所成的角一、基础知识1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或⊂）2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。

（最小值定理）4. 求法： 几何法 公式法 问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。

（2）公式法：θθθθθθcos cos cos cos cos cos 2121=⇔=21,,,θθθα=∠=∠=∠⊥BOC AOC AOB B AB 于点（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值） （3,, 则><m 的余角或其补角的余角即为a 与α所成的角θ，m =><=cos sin θ二、例题讲解例1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求（1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角 （3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角例2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值。

例3、（2007高考全国卷1）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．例4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN ⊥1l ，MN ⊥2l ，点AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。

（1）证明：AC ⊥NB（2）若∠ABC=60˚，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

1、（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于 2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B CD -中，E 是1BC 的中点。

求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.3、过点P 作平面α的两条斜线段PA 和PB ，则PA=PB 是斜线PA 和PB 与平面α成等角的 条件。

4、如图所示，∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，∠AOB=∠AOC=60˚，OA=OB=OC=a ，BC=2a ，求OA 和平面α所成的角的大小。

5、如图，已知正方形ABCD ，SA ⊥现面ABCD ，且SA=AB ，M 、N 分别为SB 、SD 的中点，求SC 和平面AMN 所成的角6、给出下列命题，其中正确命题序号是 。

（1）若PA 、PB 、PC 与平面α成等角，则迠P 在平面α上的射影O 是∆ABC 的外心 （2）已知直线上l 与平面α所成角是4π，直线a 是α内与l 异面的任一直线，则l 与平面α 所成角范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ (3)在三棱锥P-ABC 中，若二面角P-AB-C ，P-BC-A ，P-CA-B ，大小相等，则点P 在平面ABC 上射影O 是∆ABC 内心。

（4）坡度为α的斜坡，有一条与坡脚水平线成30˚的小道，若沿小道每前进100m ，高度就上升25m,那么此坡坡度为30˚。

L2CA EB 1 D 1 DC 1 A 1B C 第7题图第6题图7、（2007湖北高考）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． （I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）试确定θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为6π。

（Ⅲ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB第三节 平面与平面所成的角一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。

在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。

2.求法：几何法 向量法 公式法（2）向量法：①分别求出α和β的法向量,，则二面角βα--l 的大小为><或π—>< 用此法须知：〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当βα--l 为锐角时=θ><n m , （><n m ,为锐角）或 π—><n m ,（><n m ,为钝角） ②在平面α内⎪⎩⎪⎨⎧∈⊥EFA 在平面β内，BD ⊥EF ，且B ∈EF 分别求出BD AC ,，则><BD AC ,即为二面角βα--EF 的大小（3）公式法： ①设二面角βα--l 的大小为,θ,,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥⊂⊂βα令,,,d BD n CD m AB ===则注意：与所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和QO NP ED CBAM CD 所成角的大小。