浙江版2013年高中数学 第二章 2.2等差数列(一)课时训练 新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.2第2课时等差数列的性质课时跟踪训练含解析新人教A版必
学习资料等差数列的性质[A组学业达标]1．已知｛a n}为等差数列,若a1＋a5＋a9＝4π,则cos a5的值为(）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!解析：因为｛a n｝为等差数列,a1＋a5＋a9＝4π，所以3a5＝4π，解得a5＝错误!。
所以cos a5＝cos 错误!＝－错误!。
答案:A2．在等差数列｛a n｝中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝（）A．24 B．22C．20 D．－8解析：因为数列｛a n}为等差数列，所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a3＋a13－a8＝a8＝24。
答案:A3．设e，f,g,h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d 等于（）A．1 B．2C．3 D．4解析：e，f,g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1（不合题意，舍去）；所以公差d＝错误!（h－e)＝错误!×(13－1）＝4。
答案:D4．已知等差数列｛a n｝的公差为d(d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为（)A．12 B．8C．6 D．4解析:由等差数列性质得,a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32,∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8。
答案：B5．若等差数列{a n｝和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是(）A．｛λa n｝（λ为常数) B．｛a n＋b n｝C．{a错误!－b错误!｝D．{a n·b n}解析：等差数列｛a n｝和｛b n}的公差均为d(d≠0)，对于A,由λa n＋1－λa n＝λ（a n＋1－a n）＝λd为常数，则该数列为等差数列；＋b n＋1－a n－b n＝（a n＋1－a n）＋(b n＋1－b n）＝2d为常数,则该数列为对于B,由a n＋1等差数列;对于C，由a2，n－b2，n＋1－(a错误!－b错误!)＝（a n＋1－a n)(a n＋1＋a n）－(b n＋1－b n)＋1＋b n)（b n＋1＝d(2a1＋（2n－1)d)－d(2b1＋（2n－1)d）＝2d(a1－b1)为常数,则该数列为等差数列;b n＋1－a n b n＝(a n＋d）(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数,则该数对于D，由a n＋1列不为等差数列．答案：D6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.解析：法一：d＝错误!＝错误!,∴a15＝a10＋5d＝b＋5×错误!＝2b－a.法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.∴a15＝2a10－a5＝2b－a。
高中数学人教A版浙江专版必修5讲义第二章2.2等差数列含答案
等差数列第一课时 等差数列的概念及通项公式[新知初探]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 3．等差数列的通项公式已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .[点睛] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关( )(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( ) (4)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列( )解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列． (3)正确．只需将项数n 代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列． 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝3，a n ＝298，则n 的值等于( ) A ．98 B ．100 C ．99D ．101解析：选B a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －2，令a n ＝298，即3n －2＝298⇒n ＝100. 3．在等差数列{a n }中，若a 1·a 3＝8，a 2＝3，则公差d ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．±2解析：选C 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(a 1＋2d )＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1.4．若log 32，log 3(2x －1)，log 3(2x ＋11)成等差数列．则x 的值为________．解析：由log 3(2x ＋11)－log 3(2x －1)＝log 3(2x －1)－log 32，得：(2x )2－4·2x －21＝0，∴2x＝7，∴x ＝log 27.答案：log 27[典例] n(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9. [解] (1)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d .由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴a 9＝2×9－1＝17.[活学活用]1．2 016是等差数列4,6,8，…的( ) A ．第1 006项 B ．第1 007项 C ．第1 008项D ．第1 009项解析：选B ∵此等差数列的公差d ＝2，∴a n ＝4＋(n －1)×2，a n ＝2n ＋2，即2 016＝2n ＋2，∴n ＝1 007.2．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？解：设首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(15－1)d ＝33，a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4.所以a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，解得n ＝45∈N *，所以153是所给数列的第45项.[典例] 已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66.求数列{a n }的通项公式．[解] 在等差数列{a n }中，∵ a 2＋a 3＋a 4＝18，∴3a 3＝18，a 3＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝12，a 2·a 4＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1时，a 1＝16，d ＝－5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋21.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11时，a 1＝－4，d ＝5. a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)·5＝5n －9.三数a ，b ，[活学活用]1．已知数列8，a,2，b ，c 是等差数列，则a ，b ，c 的值分别为________，________，________.解析：因为8，a,2，b ，c 是等差数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋2＝2a ，a ＋b ＝2×2，2＋c ＝2b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－1，c ＝－4.答案：5 －1 －42．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则a 5＝________.解析：由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列，则有1a 3＋1＋1a 7＋1＝2a 5＋1，可解得a 5＝75.答案：75[典例] 已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.求证：数列{b n }是等差数列．证明：[法一 定义法]∵b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2)，∴b n ＋1－b n ＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12，为常数(n ∈N *)．又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．[法二 等差中项法] ∵b n ＝1a n －2， ∴b n ＋1＝1a n ＋1－2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n 2(a n －2).∴b n ＋2＝a n ＋12(a n ＋1－2)＝4－4a n 2⎝⎛⎭⎫4－4a n －2＝a n －1a n －2.∴b n ＋b n ＋2－2b n ＋1＝1a n －2＋a n －1a n －2－2×a n 2(a n －2)＝0. ∴b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1(n ∈N *)， ∴数列{b n }是等差数列．[活学活用]已知1a ，1b ，1c 成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )也成等差数列．解：∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c ， ∴2b ＝a ＋cac ，即2ac ＝b (a ＋c )．(a ＋c )(a ＋c －2b )＝(a ＋c )2－2b (a ＋c )＝(a ＋c )2－2×2ac ＝a 2＋c 2＋2ac －4ac ＝(a －c )2. ∵a ＋c ，a ＋c －2b ，a －c 均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a ＋c )(a ＋c －2b )]＝lg(a －c )2，即lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )＝2lg(a －c )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．层级一 学业水平达标1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．－2D ．－3解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C. 2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( ) A ．a ＝－b B ．a ＝3b C ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0 解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2， x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b .4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( ) A ．1 006 B ．1 007 C ．1 008D ．1 009解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 015＝2 015＋32＝1 009.5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：137．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1， ∴a 1＝1.又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0， ∴d ＝－12.答案：－128．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4.∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.∵a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －39．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2， 所以a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q2解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ②①－②，得(p －q )d ＝q －p . ∵p ≠q ，∴d ＝－1.代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1. ∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列解析：选A 由题意知a n ＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2，应选A.4．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.5．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6， 令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：56．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ， a n －1)都在直线x－y －3＝0上，则a n ＝________.解析：由题意得a n －a n －1＝3，所以数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n ＝3n ，a n ＝3n 2.答案：3n 27．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由． 解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ， ∴a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4. a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16. 若数列{a n }为等差数列，则a 1＋a 3＝2a 2. 即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n }成等差数列．第二课时 等差数列的性质[新知初探]1．等差数列通项公式的推广2.若{a n }是公差为d 的等差数列，正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(1)特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ＋a n ＝2a k .(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a n}是等差数列，则{|a n|}也是等差数列()(2)若{|a n|}是等差数列，则{a n}也是等差数列()(3)若{a n}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a n＋1＝a n＋a n＋2()(4)数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋5，则数列{a n}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2成立．(4)正确．因为a n＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．在等差数列{a n}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33 D．29解析：选B∵数列{a n}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.3．在等差数列{a n}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90 B．270C．180 D．360解析：选C因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.4．在等差数列{a n}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30[典例] (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．30 B ．15 C ．5 6D ．10 6(2)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37[解析] (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 3＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.(2)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列， 则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100， c 2＝a 2＋b 2＝100， ∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0. ∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100. [答案] (1)B (2)C[活学活用]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选A a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，所以a 5＝π3，而a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos2π3＝－12，故选A. 2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28解析：选C 由等差数列的性质得：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋(2a 6)＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20，故选C.[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.[典例] 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第一年起，第n 年的利润为a n 万元， 则a 1＝200，a n ＋1－a n ＝－20(n ∈N *)， ∴每年的利润构成一个等差数列{a n }，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝220－20n . 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．[活学活用]某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案：23.2层级一学业水平达标1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20 D．24解析：选B因为数列{a n}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选A由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.3．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：选C因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．4．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 5．等差数列{a n }中， a 2＋a 5＋a 8＝9，那么方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0的根的情况( ) A ．没有实根 B ．两个相等实根 C ．两个不等实根D ．无法判断解析：选A 由a 2＋a 5＋a 8＝9得a 5＝3，∴a 4＋a 6＝6，方程转化为x 2＋6x ＋10＝0.因为Δ<0，所以方程没有实根．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________． 解析：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21. 答案：－217．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 答案：1或28．已知等差数列{a n }满足a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，且m >1，则a 1＋a 2m －1＝________. 解析：因为数列{a n }为等差数列，则 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，所以a 1＋a 2m －1＝2a m ＝2.答案：29．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.解：法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.∴(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．∴a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.10．有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少．解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n 成等差数列．设该数列为{a n}．a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式a n≥440，即800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800－20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600元．作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，当n<10时，600n<(800－20n)n，当n＝10时，600n＝(800－20n)n，当10<n≤18时，(800－20n)n<600n，当n>18时，440n<600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少．层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n}：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n}：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n}是()A．公差为－1的等差数列B．公差为20的等差数列C．公差为－20的等差数列D．公差为19的等差数列解析：选D(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.2．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A. 3 B．±3C．－33D．－ 3解析：选D由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan 8π3＝tan2π3＝－ 3.3．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12D.38解析：选C 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3| ＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12.4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升 解析：选B 设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4.解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升．5．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．解析：设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.答案：186．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.答案：n 27．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218，b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3.∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ， 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218，得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.8．下表是一个“等差数阵”：ij (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式，以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置． 解：通过每行、每列都是等差数列求解． (1)a 45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a 15，…成等差数列， 公差d ＝7－4＝3，则a 15＝4＋(5－1)×3＝16. 再看第2行，同理可得a 25＝27.最后看第5列，由题意a 15，a 25，…，a 45成等差数列，所以a 45＝a 15＋3d ＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a 1j ＝4＋3(j －1)； 第2行是首项为7，公差为5的等差数列a 2j ＝7＋5(j －1)； …第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， ∴a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得i (2j ＋1)＋j ＝2 017， ∴j ＝2 017－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝672.∴2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列．。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式练习（含解析）新人教A版必修5第一课时等差数列的概念与通项公式1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n-5,则此数列是( A )(A)公差为3的等差数列(B)公差为-5的等差数列(C)首项为3的等差数列(D)首项为-5的等差数列解析:因为当n≥2时,a n-a n-1=3n-5-[3(n-1)-5]=3,所以此数列是公差为3的等差数列.故选A.2.在等差数列{a n}中,若a3=2,a5=8,则a9等于( C )(A)16 (B)18 (C)20 (D)22解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为a3=2,a5=8,所以解得则a9=a1+8d=-4+8×3=20.故选C.3.已知a=,b=,则a,b的等差中项为( A )(A)(B)(C)(D)解析:设a,b的等差中项为x,则有2x=a+b=+=(-)+(+)=2,所以x=,故选A.4.已知x≠y,数列x,a1,a2,y与x,b1,b2,b3,y都是等差数列,则的值是( A )(A)(B)(C)(D)解析:a2-a1=,b2-b1=,则=.故选A.5.已知{a n}为等差数列,首项为,它从第10项开始比1大,那么公差d的取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(-∞,)(C)(,) (D)(,)解析:由题意可得a1=,且根据等差数列的通项公式可得从而解得<d≤.故选D.6.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3=2a1,则的值为( C )(A)(B)(C)(D)解析:a3=a1+2d=2a1,a1=2d,所以===,故选C.7.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),这个问题中,甲所得为( C )(A)钱(B)钱(C)钱(D)钱解析:甲、乙、丙、丁、戊五人依次设为等差数列的a1,a2,a3,a4,a5 , a1+a2=a3+a4+a5= ,即解得甲所得为钱,故选C.8.在数列{a n}中,若=+,a1=8,则数列{a n}的通项公式为( A )(A)a n=2(n+1)2(B)a n=4(n+1)(C)a n=8n2 (D)a n=4n(n+1)解析:因为=+,所以-=,数列是等差数列,由等差数列通项公式得=2+(n-1)·=n+,所以a n=2(n+1)2,选A.9.等差数列{a n}中,a2=-5,a6=11,则公差d= .解析:等差数列{a n}中,a2=-5,a6=11,可得d===4.答案:410.已知{a n}为等差数列,若a1=6,a3+a5=0,则数列{a n}的通项公式为.解析:设数列{a n}的公差为d,由a3+a5=0有2a1+6d=0,又a1=6,所以d=-2,故a n=6-2(n-1)=8-2n. 答案:a n=8-2n11.在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC的形状一定是.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.答案:正三角形12.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=,则数列{a n}的通项公式为a n等于.解析:因为a n+1=(+3)2,所以-=3,故数列{}是以=1为首项,以3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=(3n-2)2(n∈N*).答案:(3n-2)213.已知数列{a n}是等差数列,且a6=10,a9=19,求a n.解:法一由等差数列的通项公式直接列方程组求解.由已知,得解得故a n=-5+3(n-1)=3n-8.法二利用等差数列的性质公式:a m-a n=(m-n)d求解.因为a9-a6=3d=9,所以d=3.所以a n=a6+(n-6)d=3n-8.法三利用公差的几何意义求解.根据公差的几何意义有=,代入已知数据可得a n=3n-8.14.已知递减等差数列{a n}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?解:法一设等差数列{a n}的前三项分别为a1,a2,a3.依题意得所以解得或因为数列{a n}是递减等差数列,所以d<0.故取a1=11,d=-5,所以a n=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,即等差数列{a n}的通项公式为a n=-5n+16.令a n=-34,即-5n+16=-34,得n=10.所以-34是数列{a n}的项,且为第10项.法二设等差数列{a n}的前三项依次为a-d,a,a+d,则解得又因为{a n}是递减等差数列,即d<0.所以取a=6,d=-5.所以{a n}的首项a1=11,公差d=-5.所以通项公式a n=11+(n-1)·(-5),即a n=-5n+16.令a n=-34,解得n=10.即-34是数列{a n}的项,且为第10项.15.已知,,成等差数列,且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.证明:因为,,成等差数列,所以=+,所以=,即2ac=b(a+c).(a+c)(a+c-2b)=(a+c)2-2b(a+c)=(a+c)2-2×2ac=a2+c2+2ac-4ac=(a-c)2.因为a+c,a+c-2b,a-c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[(a+c)(a+c-2b)]=lg(a-c)2,即lg(a+c)+lg(a+c-2b)=2lg(a-c),所以lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.16.设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则( D )(A)d>0 (B)d<0(C)a1d>0 (D)a1d<0解析:法一a n=a1+(n-1)d,所以=,因为是递减数列,故有==<1=20,所以a1d<0.故选D.法二数列{}为递减数列等价于数列{a1a n}为递减数列,等价于a1a n-a1a n-1<0,即a1(a n-a n-1)<0,即a1d<0.故选D.17.已知数列{a n}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差d 不可能是( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题设,a n=1+(n-1)d,81是该数列中的一项,即81=1+(n-1)d,所以n=+1,因为d,n∈N*,所以d是80的因数,故d不可能是3,选B.18.已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有200项,则它们的公共项的个数为.解析:设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n},则a1=11.因为数列5,8,11,…与3,7,11,…的公差分别为3和4,所以 {a n}的公差d=3×4=12,所以 a n=11+12(n-1)=12n-1.又5,8,11,…与3,7,11,…的第200项分别为602和799,所以 a n=12n-1≤602,即n≤50.25.又n∈N*,所以两数列有50个相同的项.答案:5019.已知数列{a n},{b n}满足a1=2,b1=1,(n≥2, n∈N*).则a1 008+b1 008= .解析:由题意可得a n+b n=a n-1+b n-1+2,所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3为首项,2为公差的等差数列,所以a1 008+b1 008=3+2×1 007=2 017.答案:2 01720.已知无穷等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第503项是数列{a n}中的第几项?解:数列{b n}是数列{a n}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.(1)因为a1=3,d=-5,所以a n=3+(n-1)×(-5)=8-5n.数列{a n}中序号被4除余3的项是{a n}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}中的第n项,即b n=a m,则m=4n-1,所以b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n.即{b n}的通项公式为b n=13-20n.(3)由(2)知b503=13-20×503=-10 047,设它是{a n}中的第x项,则-10 047=8-5x,则x=2 011,即{b n}中的第503项是{a n}中的第2 011项.。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课时作业新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课时作业新人教A版必修5[选题明细表]知识点、方法题号等差数列的判定1,9等差数列的基本运算2,4,6等差中项的应用3,8综合应用5,7,10,11,12,13基础巩固1.下列数列不是等差数列的是( D )(A)3,3,3,…,3,…(B)-1,1,3,…,2n-3,…(C)-1,-4,-7,…,2-3n,…(D)0,1,3,…,,…解析:直接用等差数列的定义判断.选项A,a n+1-a n=0,是常数列,也是等差数列;选项B,a n+1-a n=2,是公差为2的等差数列;选项C,a n+1-a n=-3,是公差为-3的等差数列;选项D,a2-a1=1,a3-a2=2,不是同一个常数,故选D.2.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是数列的( C )(A)第12项(B)第13项(C)第14项(D)第15项解析:a n=3(2n-1)=6n-3,由6n-3=81,得n=14.故选C.3.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( C )(A)a=-b (B)a=3b(C)a=-b或a=3b (D)a=b=0解析:由等差中项的定义知,x=,x2=,所以=()2,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.故选C.4.若等差数列{a n}中,已知a1=,a2+a5=4,a n=35,则n等于( D )(A)50 (B)51 (C)52 (D)53解析:依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=.所以a n=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n-,令a n=35,解得n=53.故选D.5.(2019·皇姑区期中)数列{a n}中,a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,则a3等于( C )(A)(B)3 (C)5 (D)2 007解析:因为a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,所以=+,即=+,解得a3=5,故选C.6.(2019·临沂高二检测)已知{a n}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5= .解析:由条件可知解得所以a5=12+4×(-1)=8.答案:87.(2019·大连高二检测)已知数列{a n}满足:=+4,且a1=1,a n>0,则a n= .解析:根据已知条件=+4,即-=4.因为数列{}是公差为4的等差数列,=+(n-1)·4=4n-3.因为a n>0,所以a n=.答案:8.若,,是等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.证明:由已知得+=,通分有=.进一步变形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理,得a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2成等差数列.能力提升9.已知数列{a n},对任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,则{a n}为( A )(A)公差为2的等差数列(B)公差为1的等差数列(C)公差为-2的等差数列(D)非等差数列解析:由题意知a n=2n+1,所以a n+1-a n=2,应选A.10.(2019·石家庄高二检测)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,且公差d≠0,则( B )(A)a3a6>a4a5 (B)a3a6<a4a5(C)a3+a6>a4+a5(D)a3a6=a4a5解析:由通项公式,得a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d) =+7a1d+10d2,同理a4+a5=2a1+7d,a4a5=+7a1d+12d2,显然a3a6-a4a5=-2d2<0,故选B.11.(2019·沈阳二中月考)在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC 的形状一定是.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac,所以ac=a2+c2-ac,所以a2+c2-2ac=0,所以(a-c)2=0,所以a=c.故△ABC为正三角形.答案:正三角形12.已知数列{a n}满足a1=1,且a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*).(1)求a2,a3;(2)证明:数列{}是等差数列;(3)求数列{a n}的通项公式a n.(1)解:a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20.(2)证明:因为a n=2a n-1+2n(n≥2,且n∈N*),所以=+1(n≥2,且n∈N*),即-=1(n≥2,且n∈N*),所以数列{}是首项为=,公差d=1的等差数列.(3)解:由(2),得=+(n-1)×1=n-,所以a n=(n-)·2n.探究创新13.(2019·临沂高二期中)已知数列{a n}满足a1=3,a n-2a n a n+1-a n+1=0,求该数列的通项公式. 解:由a n-2a n a n+1-a n+1=0,得-=2.又因为a1=3,所以=,所以数列{}是以为首项,2为公差的等差数列,所以=+(n-1)×2=,所以a n=.。
(浙江版)高中数学 第二章 2.2等差数列(一)导学练 新人教a版必修5
§2.2 等差数列(一)课时目标1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2.3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 答案C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13. 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 B解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2²a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *) 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2²a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)³(－2)，得a n ＝－2n ＋10. 二、填空题7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________________________________________________________________________． 答案 38．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．答案 a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)³14＝n4＋1.9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 答案 43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13 n －m 14 n －m ＝43. 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0解得：83<d ≤3.三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋ a －d ＋ a ＋d ＋ a ＋3d ＝26， a －d a ＋d ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n－1a n －2＝a n 2 a n －2 －1a n －2＝a n －22 a n －2 ＝12.∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定 答案 B解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．(1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .。
高中数学第二章数列2.2第1课时等差数列的概念和通项公式课时跟踪训练含解析新人教A版必修5
等差数列的概念和通项公式[A 组 学业达标]1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B 、b －a 2 C 、b －a 3D 、b －a 4解析：由等差数列的通项公式， 得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3、 答案：C2．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 解析：设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎨⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8、所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15、 答案：A3．等差数列{a n }满足a 1＝39，a 1＋a 3＝74，则通项公式a n ＝( ) A ．－2n ＋41 B ．－2n ＋39 C ．－n 2＋40nD ．－n 2－40n 解析：因为等差数列{a n }满足a 1＝39，a 1＋a 3＝74，所以39＋39＋2d ＝74，解得d ＝－2、所以通项公式a n ＝39＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋41、 答案：A4．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝60，则2a 9－a 10的值为( ) A ．6 B ．8 C ．12D ．13解析：在等差数列{a n }中， 因为a 1＋3a 8＋a 15＝60，所以a 1＋3(a 1＋7d )＋a 1＋14d ＝5(a 1＋7d )＝60，所以a 1＋7d ＝12， 2a 9－a 10＝2(a 1＋8d )－(a 1＋9d )＝a 1＋7d ＝12、 答案：C5．在△ABC 中，B 是A 和C 的等差中项，则cos B ＝________、解析：∵B 是A 和C 的等差中项，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，cos B ＝12、 答案：126．在等差数列{a n }中，a 1＝3，d ＝2，a n ＝25，则n ＝________、 解析：a n ＝25＝3＋2(n －1)，解得n ＝12、 答案：127．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 9＝12，则a 3＋a 7＝________、解析：在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＋a 9＝12，所以a 2＋a 4＋a 9＝3a 1＋12d ＝3(a 1＋4d )＝3a 5＝12，解得a 5＝4，则a 3＋a 7＝2a 5＝8、 答案：88．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？解析：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108、令450≤a n ≤600， 解得85、5≤n ≤123、又因为n 为正整数，所以共有38项．9．已知a ，b ，c 成等差数列，试判断a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )是否成等差数列．证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ， ∴b 2(c ＋a )＝2b 3、而a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝a 2b ＋a 2c ＋c 2a ＋c 2b＝b (a 2＋c 2)＋ac (a ＋c ) ＝b [(a ＋c )2－2ac ]＋2abc ＝b (a ＋c )2＝4b 3，故2b 2(c ＋a )＝a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )，∴a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )成等差数列．[B 组 能力提升]10．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A 、14 B ．12 C 、13D 、23解析：⎩⎨⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，所以a ＝x 2，b ＝32x 、所以a b ＝13、 答案：C11．设集合A 1＝{a 1}，A 2＝{a 2，a 3}，A 3＝{a 4，a 5，a 6}，A 4＝{a 7，a 8，a 9，a 10}，…，其中{a n }为公差大于0的等差数列，若A 2＝{3,5}，则199属于( ) A ．A 12 B ．A 13 C ．A 14D ．A 15 解析：因为{a n }为公差大于0的等差数列， A 2＝{a 2，a 3}＝{3,5}， 所以⎩⎨⎧a 2＝a 1＋d ＝3，a 3＝a 1＋2d ＝5，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 由a n ＝2n －1＝199，解得n ＝100，因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝91， 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝105， 所以199∈A 14、 答案：C12．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则m ＋n 的值为________．解析：设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m ＞0,1－4n ＞0)．设数列的首项为x 1，则数列的第4项为x 2、 由题意知x 1＝14、∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712、 ∴m ＝x 1x 2＝316，n ＝x 3x 4＝512×712＝35144、 ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172、 答案：317213．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行、每列都成等差数列，其中a i ，j 表示表格中第4,5a i ，j ＝________、 解析：根据表格中每行、每列都是等差数列，该表格的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1，j ＝4＋3(j －1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2，j ＝7＋5(j －1)， 第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此a i ，j ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j 、 可得a 4,5＝2×4×5＋4＋5＝49、 答案：49 2ij ＋i ＋j14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ＞1，n ∈N *时，有a n －1－a n －4a n －1a n ＝0、(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列;(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解析：(1)证明：很显然，数列中的各项均不为0，当n ≥2时，a n －1－a n －4a n －1a n ＝0，两边同除以a n －1a n ，得1a n －1a n －1＝4，即1a n －1a n －1＝4对n ＞1，n ∈N *成立， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝5为首项，4为公差的等差数列．(2)由(1)得1a n＝1a 1＋(n －1)d ＝4n ＋1，所以a n ＝14n ＋1，所以a 1a 2＝15×19＝145、设a 1a 2是数列{a n }的第t 项， 则14t ＋1＝145，解得t ＝11∈N *、 所以a 1a 2是数列{a n }的第11项．。
浙江省杭州市高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教案
5.提问：等差数列的单调性与公差的关系是什么？（2分钟）
第2段落
13分钟。
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间6
分钟。
1.学生通过讨论等形式，了解等差数列公式的推导方法，体悟其中蕴含的数学思想。
2.学生继续培养观察，分析，归纳，推理的数学能力。
2、等差数列的通项公式
1.提问：如果等差数列 的首项 和公差 ，那么如何表示 呢？
等差数列
时间段落
教学目标
内容模块
教学过程与方法
第1段落
10分钟。
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间5
分钟。
1.通过具体实例的研究，学生能理究数学问题的过程。
3.知道等差数列的分类。
一、等差数列的定义
1.文字语言表示
2.等差数列定义的符号语言表示
（ ）
其中缄默
情境下学
生自主学
习活动的
时间1
分钟。
关注学生的自主体验，总结反思本节课在知识、方法上的体验、收获。
4、小结
一个定义：三种表示方法
两个公式:通项公式，性质公式
三种思想：方程思想，函数思想，
递推思想
三种方法：
五、课后作业
1.小结所学，形成体系。
2.作业布置
必做题：A作业本P28-29 B补充题：在等差数列 中，已知 是第一个大于1的数，求公差 的取值范围。
选做题：在等差数列 中，已知 =16，求
课后反思
时间段落
教学目标
内容模块
教学过程与方法
第3段落
20分钟。
其中缄默
情境下学
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时课后课时精练aa高二数学
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B 级：能力提升练
1．一个等差数列的首项为 a1＝1，末项 an＝41(n≥3)且 公差为整数，那么项数 n 的取值个数是( )
A．6
B．7
C．8
D．不确定
解析 由 an＝a1＋(n－1)d，得 41＝1＋(n－1)d，
d＝n4－01为整数，且 n≥3.
则 n＝3,5,6,9,11,21,41 共 7 个．
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课后课时(kèshí)精练
内容(nèiróng)总结
No
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2．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， λ 是常数．
(1)当 a2＝－1 时，求 λ 及 a3 的值； (2)是否存在实数 λ 使数列{an}为等差数列？若存在，求 出 λ 及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)由于 an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)， 且 a1＝1. 所以当 a2＝－1 时，得－1＝2－λ，故 λ＝3. 从而 a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
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(2)由(1)知，bn＝n－72，则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7，设函 数 f(x)＝1＋2x－2 7，易知 f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内 为减函数．
所以当 n＝3 时，an 取得最小值－1； 当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
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高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念及通项公式练习新人教A版必修5
第 1 课时等差数列的观点及通项公式课后篇稳固研究A 组1 .已知等差数列 {a n}的首项 1 2,公差3, 则数列 { n} 的通项公式为 ()a =d=aA. a =3n- 1B. a =2n+1n nC.a n=2n+3D. a n=3n+2分析 a =a1+( n- 1) d=2+( n- 1)·3=3n- 1.n答案 A2 .若△的三个内角 , ,成等差数列 , 则 cos() () ABC A B C A+C=A. B. C.- D. -分析由于 A, B, C成等差数列,所以 A+C=2B. 又由于 A+B+C=π,所以 A+C= ,故cos( A+C) =-.答案 C3.在等差数列 { a n} 中 , 已知a1=, a4+a5=, a k=33, 则k=()A.50B.49C.48D.47分析设等差数列 { a n} 的公差为d,∵ a1=, a4+a5=, ∴2a1+7d=, 解得d=, 则n(1)×, 则k=33, 解得k=50.a =+ n-a=答案 A4.在等差数列 { a n} 中 , a1=8, a5=2, 若在相邻两项之间各插入一个数, 使之成等差数列 , 则新等差数列的公差为()A. B. - C. - D.-1分析设原等差数列的公差为d ,则842, 解得d=-, 所以新等差数列的公差为-.+ d=答案 B5.若 { a n} 为等差数列 , 则以下数列仍为等差数列的有()①{ |a | }; ②{ a1-a};③{ pa +q}(p, q 为常数);④{2 a +n} .n n+n n nA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个分析设,n则 a n+1-a n=k,故②为常数列,也是等差数列 ;pa n +q=p( kn+b) +q=pkn+( pb+q),故③为等差数列 ;2a n+n=2( kn+b) +n=(2 k+1) n+2b,故④为等差数列 ;①不必定为等差数列, 如a n=2n- 4, 则 { |a n| } 的前 4 项为 2,0,2,4,明显{|a n|}不是等差数列.答案 C6.- 401 是等差数列- 5, - 9, - 13, ⋯中的第.分析等差数列的首-5,公差 -4. -401是数列的第n , - 401=- 5- 4( n- 1),解得n=100.答案 1007 .已知和 2n的等差中是 4,2 和n的等差中是 5,和n的等差中是.m m m分析由意 , 得①+②,得3(m+n)=18,6,和n 的等差中3∴m+n=∴m= .答案 38.正数列 { a } 足 : a =1, a =2,2* a =.( n∈N , n≥2),n127分析因2( n∈N* , n≥2),所以数列 { } 是以=1首,以 d==4- 1=3公差的等差数列, 所以=1+3( n- 1) =3n- 2,所以 a n=, n≥1.所以 a7=.答案9.在等差数列 { a n} 中 , a1=23, 公差d整数 , 若a6>0, a7<0.(1)求公差 d 的;(2)求通 a n.解 (1) 因 { a n} 是等差数列 , a1=23, a6>0, a7<0,所以解得 - <d<-.又公差 d 整数,所以 d=- 4.(2)因等差数列 { a n} 的首 23, 公差- 4,所以通 a n=23- 4( n- 1) =- 4n+27.10.学号 04994028 已知数列 { n}, 1 1,n+1 2 n 2na a = a = a + .(1)b n=, 明 : 数列 { b n} 是等差数列 ;(2) 求数列 { a n} 的通公式.n解 (1) 由于 a n+1=2a n +2 ,所以+1,所以=1, n ∈ N * .又由于 b n =, 所以 b n+1-b n =1.所以数列 { b n } 是等差数列 , 其首项 (2) 由 (1) 知 b n =1+( n- 1) ×1=n ,n- 1n- 1所以 a n =2 b n =n ·2 .b 1=a 1=1, 公差为 1. B 组1. 已知等差数列的前 4 项分别是 a , x , b ,2 x , 则等于 ( ) A.B.C.D.分析依题意,得 解得,故 .答案 C2. 以下命题正确的选项是 ()A. 若 a , b , c 成等差数列 , 则 a 2 , b 2, c 2 成等差数列B. 若 a , b , c 成等差数列 , 则 log a ,log b ,log 2c 成等差数列2 2C.若 a , b , c 成等差数列 , 则 a+2, b+2, c+2 成等差数列D.若,, c 成等差数列 , 则 2a ,2 b ,2 c 成等差数列a b分析 由于 a , b , c 为等差数列 , 所以 2b=a+c , 所以 2( b+2) =( a+2) +( c+2), 故 a+2, b+2, c+2 成等差数列 .答案 C3. 已知数列 { a n }, a 3=2, a 7=1, 若为等差数列 , 则 a 11=( )A .B .C .1D .2分析 由已知可得是等差数列 的第 3 项和第 7 项 , 故其公差 d=,由此可得+(11 - 7) d=+4×, 解得 a =.11答案 A4. 已知 { a } 是公差为 d 的等差数列 , 若 3a =a +a +a +12, 则 d=.n6 3 4 5分析 3a 6=a 3+a 4+a 5+12? 3( a 1+5d ) =a 1+2d+a 1+3d+a 1+4d+12? 6d=12, 解得 d=2.答案 25. 已知直角三角形的三条边的长度成等差数列 , 则它们长度的比等于 .分析个直角三角形的三分,,, 依据勾股定理 , 得(a-d) 22()2, 解得a-d a a+d+a = a+da=4d,于是个直角三角形的三分是3d,4 d,5 d, 即个直角三角形的三的比是3∶4∶5.答案 3∶4∶56.已知数列 { a n}, a1=1, a2=, 且( n≥2),a n=.分析∵,∴数列是等差数列,公差d=.∴+( n- 1) d=1+ ( n- 1) =.∴a n=.答案7.已知等差数列{ a n}:3,7,11,15,⋯.(1)求等差数列 { a n} 的通公式.(2)135,4b+19( b∈N*)是数列{ a n}中的?假如,是第几?(3)若 a m, a t( m, t ∈N*)是数列{ a n}中的, 2a m+3a t是数列{ a n}中的?假如,是第几?解 (1) 等差数列 { a n} 的公差 d.依意 , 得a1=3, d=7- 3=4,故 a n=3+4( n- 1) =4n- 1.(2) 令a n=4n- 1=135, 解得n=34,故 135 是数列 { a n} 的第 34 .∵4b+19=4( b+5) - 1, 且b∈ N* ,∴4b+19 是数列 { a n} 的第 ( b+5).(3)∵a m, a t是数列{ a n}中的,∴a m=4m-1, a t =4t- 1,∴2a +3at =2(4 m-1) +3(4 t- 1) =4(2 m+3t- 1) - 1.m∵2m+3t- 1∈ N* ,23是数列 {a}的第(2 31).t nm8.学号 04994029 在数列 { a n} 中, a1=1,3 a n a n- 1+a n-a n- 1=0( n≥2, n∈ N* ) .(1)明 : 数列是等差数列;(2)求数列 { a n} 的通公式 ;(3)若λa n+≥λ 随意的n≥2恒建立,求数λ 的取范.(1)明由 3a n a n- 1+a n-a n- 1=0( n≥2),整理得=3( n≥2),所以数列是以 1 首 ,3 公差的等差数列. (2) 解由 (1) 可得=1+3( n- 1) =3n- 2,所以 a n=.(3)解λa n+≥λ 随意的n≥2恒建立,即+3n- 2≥λ随意的 n≥2恒建立,整理 , 得λ≤随意的n≥2恒建立 .令f ( ),f( 1)( )3. n =n+ -f n == -因 n≥2,所以 f ( n+1) -f ( n) >0,即 f (2) <f (3) <f (4) <⋯,所以 f (2)最小 .又 f (2) =, 所以λ≤,所以数λ 的取范.。
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念和通项公式优化练习新人教A版必修5(2021
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第1课时 等差数列的概念和通项公式［课时作业]［A 组 基础巩固］1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是（ )A ．a n ＝a ＋(n －1)dB ．a n ＝a ＋（n －3）dC ．a n ＝a ＋2（n －2)dD ．a n ＝a ＋2nd解析:数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2（n －2)d . 答案：C2．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…,那么81是它的第几项( ）A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项,6为公差的等差数列，∴a n ＝3＋（n －1)×6＝3（2n －1）＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14。
答案:C3．在等差数列｛a n ｝中，a 2＝－5,a 6＝a 4＋6，则a 1等于（ )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－4 解析：法一：由题意，得｛ a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8。
高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列的概念及通项公式课后作业(含解析)新人教A版必修5-新人
第1课时等差数列的概念及通项公式1.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则角B等于( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析:∵A,B,C成等差数列,∴2B=A+C.又A+B+C=180°,∴B=60°.答案:B2.等差数列{a n}中,首项a1=6,公差d=7,如果a n=2015,则n等于( )A.278B.280C.288D.298解析:∵a1=6,d=7,∴a n=6+7(n-1)=7n-1.∴由a n=2015得,7n-1=2015,n=288.答案:C3.已知数列{a n}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.45解析:设公差为d,则a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.答案:B4.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是( )A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=0解析:由等差中项的定义知:x=,x2=,∴,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.答案:C5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围为( )A.d>B.d<3C.≤d<3D.<d≤3解析:设公差为d,a n=-24+(n-1)d,∴∴<d≤3.答案:D6.一个等差数列的前4项分别是a,x,b,2x,则=.解析:由题意得∴a=,b=x,∴.答案:7.已知数列{a n}中,a1=1,a2=,且(n≥2),则a n=. 解析:∵,∴数列是等差数列,公差d=.∴+(n-1)d=1+(n-1)=.∴a n=.答案:8.数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n,则实数a=.解析:∵{a n}是等差数列,∴a n+1-a n=常数∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.∴2a=0,∴a=0.答案:09.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,求b n及b15.解:设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得∴a n=3+3(n-1)=3n.∴b n=a2n=3×2n=6n.∴b15=6×15=90.10.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)是否存在实数λ,使数列{a n}为等差数列?若存在,求出λ及数列{a n}的通项公式;若不存在,请说明理由.解:(1)由于a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{a n}不可能为等差数列.证明如下:由a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在λ,使{a n}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.这与{a n}为等差数列矛盾.所以不存在λ,使数列{a n}是等差数列.。
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一、选择题
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于 ( )
A ．n 2
＋1 B ．n ＋1 C ．1－n
D ．3－n
2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是
( )
A ．第7项
B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项
3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为
( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则n 等于 ( ) A ．671
B ．670
C ．669
D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是
( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6
二、填空题 7．已知a ＝
13＋2，b ＝1
3－2，则a 、b 的等差中项是________． 8．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有________种可能．
9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2
的值为________． 三、解答题
10．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．
11．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2
成等差数列．
12.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t (s) 1 2 3 … ？ … 60 距离s (cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？ 四、探究与拓展
13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….
(1)135,4m ＋19(m ∈N *
)是{a n }中的项吗？试说明理由．
(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．
答案
1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C
7. 3 8.5 9.4
3 10.50
11．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1
a ＋
b 是等差数列，
∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a
. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )， ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，
∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2
＋c 2
＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2
， ∴a 2
＋c 2
＝2b 2
，
∴a 2
，b 2
，c 2
成等差数列．
12．解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，
所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .
(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，
s ＝9.8t ＝9.8×60＝588(cm)．
当s ＝49(cm)时，t ＝s 9.8＝49
4.8
＝5(s)．
13．解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d
＝4n －1.
(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项． 令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *
. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q
＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5
＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *
，
∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。