广西大学数值分析课后练习答案第6章
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析习题和答案解析(最新整理)
(1)
要使
应满足（）.
(2) 已知方程组
，则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=
公式（6.13）直接计算即可。
对
，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］
=( ).
(3) 设
为互异节点， 为对应的四次插值基函
数，则
＝( )，
＝( ).
(4) 设
是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为 0.565 8． 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
，显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
，再令
由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是
5.计算
取 ，利用 ：
式计算误差最小。
四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
数值分析课后参考答案06
第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。
数值分析课后部分习题答案
习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,300.2,521.13,001428.0***===z y x ,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解*20.001428=0.142810x -=⨯有4个有效数，即4n =，2m =-由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为611101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *213.521=0.1352110y =⨯有4个有效数，即4n =，2m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为211101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101022n a ---⨯=⨯； *12.300=0.230010z =⨯有4个有效数，即4n =，1m =由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为311101022m n --⨯=⨯， 由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为(1)3111101024n a ---⨯=⨯.2．下列各近似值的绝对误差限都是31021-⨯,试指出它们各有几位有效数字.***2.00021,0.032,0.00052x y z ===解*12.000210.20002110x ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，2n =；*10.0320.3210y ==⨯，即1m =由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，4n =；*30.000520.5210z -==⨯，即3m =-由有效数字与绝对误差的关系得 311101022m n --⨯=⨯， 即3m n -=-，所以，0n =.4.设有近似数35.2,84.1,41.2***===z y x 且都有3位有效数字，试计算***z y x S +=，问S 有几位有效数字.解 方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，|(**)||*(*)*(*)|*|(*)|*|(*)|e y z z e y y e z z e y y e z ≈+≤+222112.3510 1.8410 2.0951022---≤⨯⨯+⨯⨯=⨯，221|(***)||(*)(**)|10 2.095102e x y z e x e y z --+≈+≤⨯+⨯1110.259510102--=⨯≤⨯， 又1***=2.41 1.84 2.350.673410x y z ++⨯=⨯，此时1m =，1m n -=-，从而得2n =.方法一因*1*1*12.41=0.24110, 1.840.18410, 2.350.23510x y z =⨯==⨯==⨯都有3位有效数字，即3n =，1m =，则211|(*)|101022m n e x --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.41r e x e x x -⨯≤， 211|(*)|101022m n e y --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 1.84r e y e y y -⨯≤，211|(*)|101022m n e z --≤⨯=⨯，2110(*)2|(*)|=||* 2.35r e z e z z -⨯≤|(**)||(*)(*)|r r r e y z e y e z ≈+，***|(***)||(*)(**)|******r r rx y z e x y z e x e y z x y z x y z +≈+++2.41 1.84 2.35|(*)||(*)+(*)|2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35r rr e x e y e z ⨯≤++⨯+⨯22211110 1.8410 2.35102222.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35 2.41 1.84 2.35---⨯⨯⨯⨯⨯≤+++⨯+⨯+⨯20.385410-<⨯21102-<⨯，由有效数字与绝对误差的关系得2n =.5.序列{}n y 有递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n若41.120≈=y （三位有效数字），问计算10y 的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解 用0ε表示0y 的误差，由41.120≈=y ，得0=0.0042ε，由递推公式),2,1(,1101 =-=-n y y n n ，知计算10y 的误差为810=0.4210ε⨯，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明()1nkk lx ==∑，对所有的x其中()k l x 为Lagrange 插值奇函数. 证明 令()1f x =，则()1i f x =， 从而 0()()()()nnn k k k k k L x l x f x l x ====∑∑，又(1)1()()()0(1)!n n n f R x x n ξω++==+，可得 ()()1n l x f x ==，从而()1nkk lx ==∑.4. 求出在=012x ，，和3处函数2()1f x x =+的插值多项式. 解 方法一 因为给出的节点个数为4，而2()1f x x =+从而余项(4)34()()()04!f R x x ξω==，于是233()()()()=+1L x f x R x f x x =-=（n 次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二 因为(0)1(1)2(2)5(3)10f f f f ====，，，， 而0(1)(2)(3)1()=-(1)(2)(3)(01)(02)(03)6x x x l x x x x ---=------，1(2)(3)1()=(2)(3)(10)(12)(13)2x x x l x x x x --=-----，2(1)(3)1()=-(1)(3)(20)(21)(23)2x x x l x x x x --=-----，3(1)(2)1()=(1)(2)(30)(31)(32)6x x x l x x x x --=-----，从而30123()()(0)()(1)()(2)()(3)L x l x f l x f l x f l x f =+++2=+1x .5. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-.证明 因()()0f a f b ==，则1()0L x =， 从而1()()()()()2!f f x R x x a x b ξ''==--，由极值知识得 21max |()|()max |()|8a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤''≤-6. 证明 (()())()()()(+)f x g x f x g x f x g x h ∆=⋅∆+∆⋅. 证明 由差分的定义(()())(+)()()()f xg x f xh g x h f x g x ∆=+-[(+)()()(+)][()()()()]f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x =+-++-()()()(+)f x g x f x g x h =⋅∆+∆⋅或着 (()())(+)()()()f x g x f x h g x h f x g x ∆=+-[(+)()()()][()()()()]f x hg xh f x h g x f x h g x f x g x =+-+++- ()()()()f x h g x f x g x =+⋅∆+∆⋅7. 证明 n 阶差商有下列性质(a ) 如果()()F x cf x =，则0101[,,,][,,,]n n F x x x cf x x x =. (b ) 如果()()()F x f x g x =+，则010101[,,,][,,,][,,,]n n n F x x x f x x x g x x x =+.证明 由差商的定义 (a ) 如果()()F x cf x =，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n cf x x x cf x x x x x -=-120110[,,,]-[,,,]n n n f x x x f x x x c x x -=⋅-01[,,,]n cf x x x =.(b ) 如果()()()F x f x g x =+，则12011010[,,,]-[,,,][,,,]n n n n F x x x F x x x F x x x x x -=-12120110110[[,,,][,,,]]-[[,,,][,,,]]n n n n n f x x x g x x x f x x x g x x x x x --++=-12011120110,,,]-[,,,][,,,][,,,]+n n n n n n f x x x f x x x g x x x g x x x x x x x ---=--[ 0101[,,,][,,,]n n f x x x g x x x =+8. 设74()3431f x x x x =+++，求0172,2,,2]f [，0182,2,,2]f [.解 由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商0172,2,,2]=3f [(()f x 的最高次方项的系数)，8阶差商0182,2,,2]=0f [(8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式()P x ，使它满足：(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =.解 方法一 先求满足插值条件(0)0P =，(1)=1P ，(2)1P =的二次插值多项式2()P x 213=22x -+(L-插值基函数或待定系数法)， 设()P x 22=()(1)(2)(1)(2)P x Ax x x Bx x x +--+--213=22x x -+2+(1)(2)(1)(2)Ax x x Bx x x --+-- 从而()P x '323=4B +(39)(641)(2)2x A B x A B x A -+-+-++，再由插值条件(0)0P '=，(1)1P '=，得3=,4A -1=,4B所以 ()P x 213=22x x -+231(1)(2)(1)(2)44x x x x x x ---+--， 即 ()P x 41=4x 332x -29+4x .方法二 设()P x 23401234=a a x a x a x a x ++++， 则 ()P x '231234=234a a x a x a x +++由插值条件(0)(0)0P P '==，(1)(1)1P P '==，(2)1P =，得010********0123400++++1+2+3+41+2+4+8+161a a a a a a a a a a a a a a a a =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩ 解得 234931=,=-,=424a a a ， 从而()P x 41=4x 332x -29+4x . 方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造. 10. 下述函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数吗？3232321,12()=92217,23x x x x S x x x x x ⎧-++≤≤⎨-+-+≤≤⎩ 解 因为22362,12()=31822,23x x x S x x x x ⎧-+≤≤'⎨-+-≤≤⎩， 66,12()=618,23x x S x x x -≤≤⎧''⎨-+≤≤⎩而12(2)=1=(2)S S ，12(2)=2=(2)S S ''，12(2)=6=(2)S S ''''， 又()S x 是三次函数，所以函数()S x 在[1,3]上是3次样条函数.补 设f (x )=x 4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解 因为 (4)34()()()(+1)(1)(2)4!f R x x x x x x ξω==--，从而3233()()()22L x f x R x x x x =-=+-习题3 ( P.159)1．设n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组且)(x k ϕ为首项系数为1的k 次的多项式，则n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.解 方法一 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，采用反证法：若{}n ϕϕϕ,,,10 于],[b a 线性相关，于是，存在不全为零,,,,10n c c c 使0011()()()0,[,]n n c x c x c x x a b ϕϕϕ+++=∈上式两边与i ϕ作内积得到0011(,)(,)(,)0(0,1,,)i i n i n c c c i n ϕϕϕϕϕϕ+++==，由于{}i c 不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解),,,,(10n c c c 故系数矩阵的行列式为零，即{}0,,,10=n G ϕϕϕ 与假设矛盾.方法二 因为n k k x 0)}({=ϕ为],[b a 上具有权函数0)(≥x ω的正交多项式组,则其Gram 行列式不等于零，由( P.95)定理2得n k k x 0)}({=ϕ于],[b a 线性无关.2．选择α，使下述积分取得最小值1221()[],a x x dx α--⎰120()()x b e x dx α-⎰解1221()[]a x x dx αα-∂-∂⎰1221=[]x x dx αα-∂-∂⎰1221=2[]()x x x dx α--⋅-⎰5112=5x α-4=5α，令1221[]=0x x dx αα-∂-∂⎰，得=0α. 12()()x b e x dx αα∂-∂⎰120=()xe x dx αα∂-∂⎰1=2()()x e x x dx α-⋅-⎰2=23α- 令120()=0x e x dx αα∂-∂⎰，得=3α.3．设],3,1[,1)(∈=x xx f 试用},1{1x H 求)(x f 一次最佳平方逼近多项式.解 取权函数为()x x ω=(为了计算简便)，则32311(1,1)42x xdx ===⎰,33321126(1,)(,1)33x x x x dx ====⎰, 343311(,)204x x x x dx ===⎰,33111((),1)2f x xdx x x=⋅==⎰，3232111((),)42x f x x x dx x =⋅==⎰， 得法方程0126423264203a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，解得011211311a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以)(x f 的一次最佳平方逼近多项式1123()1111P x x =-. 8．什么常数C 能使得以下表达式最小？ ∑=-ni x i iCe x f 12))((解21(())i n x i i f x Ce C =∂-∂∑1=2(())()i i nx x i i f x Ce e =-⋅-∑， 令21(())=0i nx i i f x Ce C =∂-∂∑，得121()(),iinx x ii nx xx i f x ef x e C e e e=-=⋅==∑∑（）（，）. 14．用最小二乘法求解矛盾方程组2+314921x y x y x y =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩. 解 方法一方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，原问题转化成在已知三组离散数据3142211()922t f t ----下求一次最小二乘逼近函数1()P x x yt =+(x 与y 为一次函数的系数，t 为自变量)，取1H 基{}1,t ,求解法方程331133321113()()i i i i i i i i i i i x t f x t t t f x y =====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑, 即3-3-93737-32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得到矛盾方程组的解为37=-3156=31x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 方法二方程组可变形为31+22491122x y x y x y ⎧=⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=-⎩，令(,)I x y 2223111=+-+4+9++2222x y x y x y --（）（）（）(,)I x y x ∂∂3111=2+-+24+9+2+2222x y x y x y ⨯⨯-⨯-（）（）（）=6618x y -+，(,)I x y y ∂∂331111=+44+9+222222x y x y x y ⨯--⨯--⨯-（）（）（） 37=3372x y -+- 令(,)0(,)0I x y x I x y y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩， 得3373372x y x y -=-⎧⎪⎨-+-⎪⎩， 解之得矛盾方程组的解为37315631x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 习题47. 对列表函数 124810()0152127x f x求(5)(5).f f '''，解 一阶微商用两点公式(中点公式),得(8)(2)10(5),63f f f -'≈= 二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求(5)f , 由(4)5,(8)21,f f ==得一次插值函数1()411,L x x =-从而 1(5)(5)9f L ≈=,于是,2(2)2(5)(8)4(5).39f f f f -+''≈= 8. 导出数值数分公式)]23()2(3)2(3)23([1)(3)3(h x f h x f h x f h x f h x f ---++-+≈并给出余项级数展开的主部.解 由二阶微商的三点公式(中点公式),得213()[()2()()]2222h h h f x f x f x f x h h ''-≈+--+-,213()[()2()()]2222h h h hf x f x f x f x h ''+≈+-++-从而 (3)()()22()h h f x f x f x h''''+--≈3133=[()3()3()()]2222h h f x h f x f x f x h h +-++--- 将33()()()()2222h h f x h f x f x f x h ++--，，，分别在x 处展开,得2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()222!23!21313()()()()+()(1)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()222!23!211()()()()()(2)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+2(3)3(4)4(5)5511()=()()()()()()()222!23!211()()()()()(3)4!25!2h h h h f x f x f x f x f x h h f x f x O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+2(3)3(4)4(5)55331313()=()()()()()()()222!23!21313()()()()()(4)4!25!2f x h f x f x h f x h f x h f x h f x h O h '''-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+(1)－(2)×3 +(3)×3－(4), 得(5)222131()[()2()()]()()22228h h h f x f x f x f x h f x h O h h ''--+--+-=-+,即余项主部为(5)21()8f x h -习 题 5 (P. 299)3. 设n n R A ⨯∈为对称矩阵，且011≠a ，经高斯消去法一步后，A约化为11120T a a A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试证明2A 亦是对称矩阵. 证明设1111()=T ij aa A a A α⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 21311=n a a a α⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，121311=n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22232123=n n n nn a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭， 则经高斯消去法一步后，A 约化为111111110TT a a A a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 因而211111T A A a a α=-，若n n R A ⨯∈为对称矩阵，则1A 为对称矩阵，且1=a α，易知211111T A A a a α=-为对称矩阵. 13. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A(1) 计算2||||,||||A A ∞； (2) 计算∞)(A Cond ，及2)(A Cond . 解 (1) 计算||||=199A ∞,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A，其特征值为1,299λ=，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡=989999100A 为对称矩阵，则2=T A A A 的特征值为221,2(99λ=±，因此2||||99A ===+；(2)1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，1||||=199A -∞， 所以1()=||||||||=9801Cond A A A -∞∞∞⋅，1989999100A --⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦为对称矩阵，其特征值为1,299λ=-± 则1112()=()T A A A ---的特征值为221,2(99λ=，因此12||||99A -===+所以1222()=||||||||Cond A A A -⋅2(99=+15. 设,n n n A R x R ⨯∈∈，求证 （1）1xx n x ∞∞≤≤； (2)∞∞≤≤An A A n11.证明 (2) 由（1）1x x n x∞∞≤≤，得1AxAx n Ax∞∞≤≤，则 11Ax Ax n Ax n x xx∞∞∞∞≤≤，从而11max max max nnnx Rx Rx RAxAx n Ax n xxx∞∞∀∈∀∈∀∈∞∞≤≤，由算子范数的定义max nx RAx Ax∞∞∀∈∞=，111max nx RAx A x∀∈=，得∞∞≤≤An A A n11.17. 设n n R W ⨯∈为非奇异阵，又设x为n R 上一向量范数，定义WxWx=，求证：Wx是nR 上向量的一种范数（称为向量的W 一范数）.证明 ①正定性，因Wx为一向量，0WxWx =≥，下证=0=0Wxx ⇔，⇒“”若=0Wx 即=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx ，n n R W ⨯∈为非奇异阵，所以=0x ；⇐“”若=0x ，则=0Wx ，由向量范数的正定性得=0Wx 即=0Wx.②齐次性，任意实数α有=Wx W x Wxααα=，由向量范数的齐次性，得=WWxW x Wx Wx xααααα===；③ 三角不等式，任意实数,n n x R y R ∈∈，有+(+)=+Wx yW x y Wx Wy=，再由向量范数的三角不等式，得+(+)=+WWWx yW x y Wx Wy Wx Wy xy=≤+=+.习 题 6 (P.347)1. 设有方程组(b )1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，考查用Jacobi迭代法,G-S 迭代法解此方程组的收敛性.解 系数矩阵分裂如下,122111221A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--10022110112200-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=02211220-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭， J 的特征方程为2211022λλλ-=，展开得 30λ=，即01λ=<，所以用Jacobi 迭代法解此方程组是收敛的.G-S 迭代矩阵为1()G D L U -=-11022=11012210--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100022=110010210-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭122=023002-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭， G 的特征方程为12221002λλλ---=-， 展开得 (1)(2)(2)0λλλ---=，即1λ=或2λ=，由迭代基本定理得用G-S 迭代法解此方程组是不收敛的.4. 设有方程组Ax b =，其中A 为对称正定阵，且有迭代公式(1)()()()k k k x x b Ax ω+=+- (0,1,k =)，试证明当20ωβ<<时，上述迭代法收敛(其中A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤).证明 A 为对称正定阵， A 的特征值满足0()A αλβ<≤≤，且20ωβ<<，则0()2A ωλ<<又迭代公式可变形为(1)()()k k x I A x bωω+=-+ (0,1,k =)，从而迭代矩阵 B I A ω=-，迭代矩阵的特征值为1()A ωλ-，且满足11()1A ωλ-<-<，即 |()|1B λ<，由迭代基本定理得该迭代法是收敛的.5. 设111a a A aa a a⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中a 为实数，试确定a 满足什么条件时，解Ax b =的Jacobi 迭代法收敛.解 系数矩阵分裂如下,111a a A aa a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D L U =--1001100a a aa aa--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭Jacobi迭代矩阵为1()J D L U -=+=000a a aa a a--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，J 的特征方程为0a aa a aaλλλ=，展开得 323320a a λλ--=，即a λ=-或2a λ=-，()max{||,|2|}J a a ρ=--()1J ρ<当且仅当1122a -<<，所以当1122a -<<时，解Ax b=的Jacobi 迭代法收敛.。
数值分析习题六解答
数值分析习题六解答习题六解答1、在区间［0，1］上⽤欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。
(1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=?解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--=由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2；x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。
（2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++=由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1，021000(sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+=x 2=0.2，122110.1(sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2x y y h x e e --=++=+?+=+?+=指出：本⼩题的求解过程中，函数值计算需要⽤到计算器。
2、⽤欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。
22(00.5)(0)1y x y x y '?=-≤≤?=? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为21(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-=由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：x 0=0，y 0=1；x 1=0.1，221000(2)10.1(021)0.8y y h x y =+-=+?-?= x 2=0.2，222111(2)0.80.1(0.120.8)0.641y y h x y =+-=+?-?= (2)由预测校正公式11(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n y hf x y hy f x y f x y ++?=+?=++n+1n+1y y ，取h=0.1，本初值问题的预测－校正公式的具体形式为122210.1(2)0.05[(2)(2)]nn n n n n n n y x y y x y x y ++?=+?-??=+-+-??n+1n+1y y 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=1； x 1=0.1，2000220001120.1(2)0.8,0.05[(2)(2)]10.05[(02)(0.120.8]0.8205y x y y x y x y =+?-==+?-+-=+?-+-?=11y yx 2=0.2，211122211122220.1(2)0.82050.1(0.120.8205)0.65740.05[(2)(2)]0.82050.05[(0.120.8205)(0.220.0.6574]0.6752y x y y x y x y =+?-=+?-?==+?-+-=+?-?+-?=22y y3、试导出解⼀阶常微分⽅程初值问题000(,)()()y f x y x a x b y x y '==≤≤??=?的隐式欧拉格式111(,)(0,1,2,)n n n n y y hf x y n +++=+=并估计其局部截断误差。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字.8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量 a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nkkj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小r 是否唯一 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积19. 用许瓦兹不等式估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A fh --≈-++⎰;(2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-⎰;(2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式和辛普森公式当n →∞时收敛到积分()ba f x dx ⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)8.1xedx-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =,和处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析习题解答
6.（1）设(1,0,5,2)Tx =-，试求12,,x x x∞（2）设40004402A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求12,,,F A A A A ∞ 解12128,5;6,8,FxxxA AAA∞∞=======；4．设05813622,10612422A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， （1）试对A 进行PLU 分解：PA LU =； （2）根据PLU 分解求解Ax b =。
解 （1）162201011,102,00100.517100L U P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）(1,1,1)Tx =8．分别用Householder 变换法和MGS 法对A 进行QR 分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=542112111A解 (1) Householder 法对A 进行QR 分解[]()()()123123,,,1,2,2,1,1,4,1,1,5T T TααααααA ===--=-令()11,2,2Tαα==，调用算法2.1有[]13,,42212Tu ρβ=-==，所以 []1122333100412210102422123330012212333T uu β---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥H =I -=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 故1333003033--⎡⎤⎢⎥H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦再令()0,3Tα'=-,调用算法2.1得20110H ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,则 2100001010⎡⎤⎢⎥H =⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21333033003--⎡⎤⎢⎥H H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故121223331212,0333221003T TQ R -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=H H =--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. 10．设131112000,110001A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求Ax b =的最小二乘问题的全部解。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
数值分析-课后习题答案
证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
12
三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选 课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
第六章习题答案-数值分析
第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。
解：①由梯形公式：21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈，其中，(1,2)η∈。
4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()b a P x dx Z =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()-()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-，构造辅助函数2()()()()()2a b K t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()22bb b ba aa af a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()224baa b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯ 可解得：212.85n ≥即至少剖分213等分。
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
数值分析课后习题集部分参考答案解析
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。
解： 4.12=。
设*x 有n 位有效数字，则nx e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。
从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。
故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。
解之得，4≥n 。
414.1*=x 。
（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。
解：设边长为a ，则cm a 100≈。
设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。
按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。
Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。
解：设()γβα=-1A。
分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100γA 。
先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。
即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。
经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。
所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-3132132310313101A 。
（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解: 平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。
数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数学分析第六章习题答案
数学分析第六章习题答案数学分析第六章习题答案数学分析是一门重要的数学学科，它以函数、极限和连续性为基础，研究数学对象的性质和变化规律。
第六章是数学分析课程中的重要章节，主要涉及级数和函数项级数的理论与应用。
本文将为读者提供第六章习题的详细解答，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题1：证明级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 收敛。
解答：根据级数的判别法，我们可以使用比较判别法来证明该级数的收敛性。
比较判别法的核心思想是将给定级数与一个已知的收敛级数进行比较。
考虑级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 和级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))，显然，对于任意n，都有1/n^2 ≤ 1/n(n+1)。
由于级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1)) 是一个已知的收敛级数（可以使用比较判别法证明），所以根据比较判别法，原级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 也是收敛的。
2. 习题2：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2) 在区间(-1,1)上一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛，我们可以使用Weierstrass判别法。
该判别法要求级数的每一项函数都满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n^2| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的收敛幂级数（当|x| < 1时），所以根据Weierstrass判别法，原函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛。
3. 习题3：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n) 在区间(-1,1)上不一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛，我们可以使用Cauchy收敛准则。
该准则要求级数的部分和函数满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的发散幂级数（当|x| ≥ 1时），所以根据Cauchy收敛准则，原函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛。