数值分析课后习题答案

习 题 一 解 答

1．取3.14，3.15，

227，355113

作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:

e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差：

3()0.0016

()0.51103.14

r e x e x x -==≈⨯

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…

所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311

101022

--⨯=⨯

所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:

e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差：

2()0.0085

()0.27103.15

r e x e x x --==≈-⨯

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…

所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211

101022

--⨯=⨯

所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差:

22

() 3.14159265

3.1428571430.0012644930.00137

e x π=-=-=-≈-

相对误差：

3()0.0013

()0.4110227

r e x e x x

--=

=≈-⨯

有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 22

3.1428571430.3142857143107

==⨯，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-

所以 2213

22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.005

7

11

0.510101022

π----=-=≤=⨯=⨯=⨯

所以，22

7

作为π的近似值有3个有效数字。

（4）绝对误差:

355

() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271

113

e x π=-=-=-≈-相对误差：

7()0.000000271

()0.86310355113

r e x e x x

--==≈-⨯

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 355

3.141592920.31415929210113

==⨯，m=1。 而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-

所以

6617

355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005

113

11

0.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯

所以，355

113作为π的近似值有7个有效数字。

指出：

①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。

②为简单计，本题相对误差没有化为百分数。

③在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。

实际上，根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。

④祖冲之（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。在世界上最早计算出π的真值在3.1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出

π的两个分数形式：22

7（约率）和355

113

（密率），其中密率精确到小数第7

位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。

⑤近似数的有效数字只能是有限位。

⑥近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数，准确数是未知的。

⑦常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。

2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300